Aula19 Complexo

NÚMEROS COMPLEXOS

Introdução Como é sabido, no universo dos números reais, a operação de radiciação apresenta algumas restrições. Assim, por exemplo, não estão definidos os símbolos:

64 1164 Essa “limitação” desafiava os algebristas e há registros de tentativas de enfrentá-los desde o século XVI. Cardano, Tartaglia, Bombelli, Euler e Gauss, foram alguns dos matemáticos que contribuíram para a superação desse impasse, o que culminou com a criação do campo dos números complexos. Definição C = {z / z = a + bi} a, b R i: unidade imaginária (i2 = –1) onde a é a parte real Re(z) = a b é a parte imaginária Im(z) = b Exemplo:

z = 2 + 5i Re(z) = 2 e Im(z) = 5 Note que se fizermos b = 0 em z = a + bi, teremos z = a e como a é real, concluímos que o conjunto dos reais é subconjunto do conjuntos dos complexos, em símbolos temos: R C Assim, se z = a + bi com a e b reais e i2 = –1, temos: Se b = 0, z é real Se b 0, z é imaginário Se b 0 e a = 0, z é imaginário puro. Exemplos: 7 é um número real. 2 + i é uma número imaginário. 2i é um número imaginário puro. Igualdade de Números Complexos

z1 = a + bi z2 = c + di com a, b, c e d reais

z1 = z2 a = c e b = d Conjugado de um Número Complexo Denomina-se conjugado do número complexo z = a + bi, o número complexo z* = z = a – bi, ou seja, fizemos a substituição de i por –i.

CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA

AULA 19 – Prof. Raul Brito

2 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 19 – Prof. Raul Brito NÚMEROS COMPLEXOS

Exemplos: z = 2 + 3i z* = 2 – 3i z = – 5 z* = – 5 z = 7i z* = – 7i Norma de um Número Complexo Denomina-se norma do número complexo z = a + bi, o número real N(z), tal que:

N(z) = a2 + b2 ou ainda N(z) = zz Operações na Forma Algébrica z1 = a + bi z2 = c + di Adição z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i Subtração z1 – z2 = (a – c) + (b – d)i Multiplicação z1z2 = (ac – bd) + (ad + bc)i Divisão

2222

21

2

1

dci)adbc(bdac

zzzz

zz

Propriedades P1: 2121 zzzz P2: 2121 zzzz

P3: nn zz

P4: 0z,zz

zz

22

1

2

1

Potências de i Observe algumas potências de i com expoente natural. i0 = 1 i4 = i3i = 1 i8 = i7i = 1 i1 = i i5 = i4i = I i9 = i8i = i i2 = –1 i6 = i5i = –1 i10 = i9i = –1 i3 = i2.i = – i i7 = i6.i = – I i11 = i10.i = – i Observe que são 4 e somente 4 os resultados obtidos:

1 i –1 –i De maneira geral, se n é um número natural, n > 4 para calcular in, procedemos da seguinte maneira: 1o passo: Efetua-se a divisão de n por 4

q quociente r resto


2o passo: Procedemos à igualdade:

in = ir Exemplos: i95 = i3 = – i

i310 = i2 = – 1

i–310 = 1/i310 = 1/(– 1) = –1 Plano de Gauss Em 1831, o matemático alemão Carl Friedrich Gauss apresentou um trabalho no qual propunha que, a cada número complexo a + bi, fosse associado o par ordenado de números reais (a, b). Essa interpretação permite representar um número complexo em sistema de coordenadas cartesianas. Veja a figura: Ao complexo z = a + bi, com a e b reais, vamos associar o ponto P(a, b) chamado afixo imagem de z.

z = a + bi P(a, b)

O eixo x é chamado eixo real. O eixo y é chamado eixo imaginário. Exemplo:

z = 2 + 3i P(2, 3)

Módulo de um Número Complexo Definição: Chama-se módulo de um número complexo z = a + bi, à distância de seu afixo P à origem do plano de Gauss. O módulo de z será denotado por |z| ou pela letra grega .

2 2z a b ou ainda N(z)


Exemplo: 2 2z 3 4i 3 4 z 5

Argumento de um Número Complexo Seja o número complexo não-nulo z = a + bi e P(a, b) seu afixo. Chama-se argumento de z e indica-se por arg(z) = , onde 0 2, o ângulo formado por 0P com o eixo x, medido a partir do semi-eixo positivo, no sentido anti-horário.

Da figura acima podemos observar que:

acos

bsen

a = cos b = sen

Exemplo:

2 2z 1 i 1 1 z 2

rad4

22

21sen

22

21cos

Forma Trigonométrica ou Polar de um Número Complexo Conforme já visto, a forma z = a + bi é chamada forma algébrica de z. Vamos agora apresentar a forma trigonométrica ou polar.

z = a + bi senicosz Exemplo:

4seni

4cos2z

4

2i1z

Forma Exponencial Por meio de matemática superior, demonstra-se a expressão ez = ea+bi = ea(cosb + isenb). Fazendo a = 0 e b = rad, temos a chamada fórmula de Euler:

senicosei onde e 2,72

Logo, podemos escrever:

z = (cos + isen) iez


Exemplo:

4i

e2z

4

2i1z

Operações na Forma Trigonométrica

2222

1111

senicoszsenicosz

Multiplicação

1 2 1 2 1 2 1 2z z cos( ) i sen( ) Divisão

)sen(i)cos(zz

21212

1

2

1

Potenciação (1a Fórmula de De Moivre)

)nsen(i)ncos(z nn

Radiciação (2a Fórmula de De Moivre) Sejam

senicosz senicosrw

*Nn

w é uma raiz n-ésima de z se, e somente se:

nw z

)n

k2sen(i)n

k2cos(w nk

wk k-ésima raíz n-ésima de z ( nk )

Observações !!!

1. A expressão n

k2 deve variar no intervalo [0; 2[ onde o inteiro k deve assumir valores no intervalo [0; n – 1].

2. O complexo senicosz possui n raízes distintas, obtidas pela fórmula mostrada (2a Fórmula de De Moivre),

fazendo k assumir valores inteiros no intervalo [0; n – 1]. 3. Os afixos das raízes enésimas de um número complexo z de módulo e argumento pertencem a uma mesma

circunferência com centro na origem do plano de Gauss e raio n , dividindo-a em n partes iguais, os seus argumentos formam uma PA onde o primeiro termo é /n e a razão é 2/n.

4. Baseado no que foi dito na observação 3, concluímos que os afixos das raízes n-ésimas de um número complexo z

são vértices de um polígono regular de n lados, com centro na origem do plano de Gauss e que 2/n é o ângulo central desse polígono.


EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM Questão 01 Resolva a equação x4 – 1 = 0. Questão 02 O número complexo z, tal que 5z + z = 12 + 16i, é igual a: a) –2 + 2i b) 2 – 3i c) 1 + 2i d) 2 + 4i Questão 03 Calcular: i14 – 3i9 + 2i26. Questão 04 O valor da soma 1 + i + i2 + i3 + ... + i1996 onde i é a unidade imaginária, é igual a: a) 0 b) i c) 1 d) – i Questão 05

A potência 12

1+ i1 - i

é igual a:

a) – 1 b) 1 c) i d) – i Questão 06

Determinar m para que 2 + 3i2 + mi

seja um imaginário

puro:

a) 2m =5

b) 4m =3

c) m = 1

d) 3m =4

Questão 07 O número complexo 1 – i é raiz da equação x2 + kx + t = 0 (k, t ) se, e somente se: a) k = t = – 2 b) k = t = 2 c) k = – 2 e t = 2 d) k = 2 e t = – 2 Questão 08 (UECE) Se i é a unidade imaginária, a expressão complexa 7 + 3i 3 + 5i+1 - i 1 + i

é igual a:

a) 1 + 6i b) 1 + i c) 4 + i d) 1 + 4i


Questão 09 Seja z = 2iy, onde y é a diferença entre as raízes da equação 4x2 + 9 = 0 e i é a unidade imaginária, z2 é igual a: a) 36 b) 6 c) 81 d) 9 Questão 10 Calcular o argumento de z = – 4i. Questão 11

O módulo de 361z =

i é:

a) 3 b) 1 c) 2

d) 136

e) 36 Questão 12 O módulo do número complexo (1 + i)–3 é: a) 2 b) 1 c) – 3

d) 24

e) 0 Questão 13 Seja o número complexo z = (x – 2i)2, no qual x é um

número real. Se o argumento principal de z é 90º, então 1z

é

igual a:

a) i–8

b) – 8i c) 4i d) – 1 + 4i e) 4 – i Questão 14 Seja z um número complexo de módulo 2 e argumento principal 120º. O conjugado de z é: a) 2 – 2i 3

b) 2 2i 3

c) –1 – i 3

d) –1 i 3

e) 1 i 3


Questão 15 Escrever o número z = – 1 – 3i na forma trigonométrica.

a) z = cos + i sen3 3

b) 2 2z = 2 cos + i sen3 3

c) z = 2 cos + i sen6 6

d) 4 4z = 2 cos + i sen3 3

Questão 16

Dado o número complexo z = 2 cos + i sen4 4

, se z

pode ser escrito na forma a + bi, o produto (ab) é igual a: a) 213 b) – 2 c) 2 d) – 212 Questão 17 A imagem do número complexo

11 11z = 2 cos + i sen6 6

é o ponto:

a) 3 3 3; –2 2

b) 3 3 3; –2 2

c) 3 3 3– ; –2 2

d) 3 1– ;2 2

e) – 3 3 ; 3

Questão 18

(UFC) Sabendo que i2 = – 1 e que 02

, o número

complexo cosθ + isenθcosθ – isenθ

é igual a:

a) cos 2θ + isen 2θ

b) 1 i1 i

c) θ θcos + isen2 2

d) 1 i1 i

e) θcos + isenθ2


Questão 19 Considere o número complexo 1 i 3 1 .z

Assinale a opção na qual consta o menor inteiro positivo n, tal que zn seja real positivo. a) 6 b) 12 c) 18 d) 24 e) 30 Questão 20 Dados os números complexos: z = 8(cos 75º + i sen 75º) e w = 2 (cos 15º + i sen 15º), pode-se dizer que: a) zw = 16

b) z 2 2 3i.w

c) w = 4 (sen 60º + i cos 60º) d) zw = – 16i


EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Questão 01 (Unicamp) O módulo do número complexo 2014 1987z i i é igual a a) 2. b) 0. c) 3. d) 1. Questão 02 (Pucrs) Na figura abaixo, o ponto A é o afixo de um número complexo z no plano de Argand-Gauss.

Se a distância do ponto A até a origem O é 4, então a diferença entre z e o seu conjugado é igual a a) 4 2 4 2i b) 4 2 4 2i c) 4 2i d) 4 2i e) 4 2 Questão 03 (Uern) Seja z a bi um número complexo, tal que 4z zi 5 1 10i. Assim, o módulo do complexo z é a) 2 b) 2 2 c) 3 2 d) 4 2 Questão 04 (Fgv) No plano Argand-Gauss estão indicados um quadrado ABCD e os afixos dos números complexos Z0, Z1, Z2, Z3, Z4, e Z5.


Se o afixo do produto de Z0 por um dos outros cinco números complexos indicados é o centro da circunferência inscrita no quadrado ABCD, então esse número complexo é a) Z1. b) Z2. c) Z3. d) Z4. e) Z5. Questão 05

(Espcex (Aman) Seja o número complexo

x yiz ,3 4i

com x

e y reais e 2i 1.

Se 2 2x y 20, então o módulo de z é igual a: a) 0 b) 5

c) 2 55

d) 4 e) 10 Questão 06 (Ulbra) O produto das raízes cúbicas do número complexo z = –1 é igual a

a) 1 34

i .

b) iπ π cos sen .

3 3

c) 1 3 .2 4

i

d) 1 2 .3

i

e) -1. Questão 07 (G1 - ifal) O valor da potência 10(1 i) é:

a) 11i. b) 5i. c) 32i. d) 50i. e) 1 5i. Questão 08

(Mackenzie) Se y = 2x, sendo x= 1 i1 i

e i = 1 , o valor

de (x + y)2 é a) 9i b) – 9 + i c) –9 d) 9 e) 9 – i


Questão 09 (Fgv) Sendo a unidade imaginária do conjunto dos números complexos, o valor da expressão 6 6(i 1) (1 i) é: a) 0 b) 16 c) 16 d) 16i e) 16i Questão 10 (Uepb) O produto dos números complexos (3 – i) (x + 2yi) é um número real quando o ponto P(x,y) está sobre a reta de equação: a) 6x y 0 b) 6x y 0 c) x 6y 0 d) 6y x 0 e) 3y x 0 Questão 11 (Pucrs) Algumas das raízes do polinômio, com coeficientes reais e não nulos, 5 4 3 2p(x) ax bx cx dx ex, em C, são: 2 3i, 1 7i e _______. a) – i b) – 1 – 7i c) – 2 + 3i d) – 3i e) – 7i Questão 12 (Espcex (Aman) Sendo z o número complexo obtido na rotação de 90°, em relação à origem, do número complexo 1 + i, determine z3: a) 1 – i b) – 1 + i c) – 2i d) – 1 – 2i e) 2 + 2i Questão 13 (Uece) Se x e y são números reais não nulos, pode-se afirmar corretamente que o módulo do número complexo

x iyzx iy

é igual a

a) 1. b) 2. c) 2 2x y . d) xy .


Questão 14 (Uepb) O módulo e o argumento do número complexo

2z (1 i)(1 i) são respectivamente:

a) 2 e 3 2k , k .4π π

b) 2 e 2k , k .4π π

c) 2 2 e 3 2k , k .4π π

d) 2 2 e 7 2k , k .4π π

e) 2 2 e 5 2k , k .4π π

Questão 15 (Espcex (Aman)) Sendo Z o conjugado do número complexo Z e i a unidade imaginária, o número complexo Z que satisfaz à condição Z 2Z 2 Zi é a) z 0 1i b) z 0 0i c) z 1 0i d) z 1 i e) z 1– i Questão 16 (Esc. Naval) Qual valor de n,n inteiro maior que zero, para

que n1 i seja um número real? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Questão 17 (Unicamp) Chamamos de unidade imaginária e denotamos por i o número complexo tal que 2i 1. Então 0 1 2 3 2013i i i i i vale a) 0. b) 1. c) i. d) 1 i. Questão 18 (Insper) Considere um número complexo z, de módulo 10, tal que 2z K i , em que K é um número real. A parte real desse número complexo é igual a a) 5 3. b) 8. c) 5 2. d) 6. e) 5.


Questão 19 (Ufsj) Na figura abaixo, estão representados os números complexos Z1 e Z2 por meio de seus afixos A e B, respectivamente.

Considerando essa figura, é CORRETO afirmar que a) o afixo de (Z1 Z2) é um ponto do 2º quadrante. b) (Z1)2 = 2i c) 1 2Z Z 3

d) o afixo de 1

2

ZZ

é um ponto do 2º quadrante.

Questão 20 (Fgv) O número complexo z a bi, com a e b reais,

satisfaz z z 2 8i, com 2 2a bi a b . Nessas

condições, 2z é igual a a) 68. b) 100. c) 169. d) 208. e) 289.


GABARITO Resposta da questão 1: [A] Como 4 2 2 2i (i ) ( 1) 1, vem

2014 1987

4 503 2 4 496 3

4 503 2 4 496 3

z i i

i i

(i ) i (i ) i1 i.

Portanto,

2 2| z | | 1 i | ( 1) 1 2. Resposta da questão 2: [D] De acordo com as informações, segue que z 4 (cos135 i sen135 ) 2 2 2 2 i. Logo, sendo z o conjugado de z, temos z z 2 2 2 2 i ( 2 2 2 2 i)

4 2 i.

Resposta da questão 3: [B] Sendo z a bi, vem 4z zi 5 4(a bi) (a bi)i 5

4a 4bi ai b 5(4a b 5) (4b a)i.

Logo, deve-se ter

4a b 5 1 4a b 64b a 10 a 4b 10

a 2.

b 2

Portanto,

2 2| z | ( 2) 2 2 2. Resposta da questão 4: [B] É fácil ver que o centro da circunferência inscrita no quadrado ABCD é o ponto ( 1,5; 1,5). Desse modo, queremos calcular kZ , tal que

0 kZ Z 1,5 1,5 i. Assim, como 0Z 1 i, temos


k

2

1,5 1,5 iZ1 i

1,5 1,5 i 1 i1 i 1 i

1,5 1,5 i 1,5 i 1,51 1

1,5 iZ .

Resposta da questão 5: [C]

Sabendo que 1 1

2 2

z | z | ,z | z |

com 2z 0, obtemos 2 2

2 2

x y| x yi | 20 2 5| z | .| 3 4i | 5253 4

Resposta da questão 6: [E] O produto das raízes cúbicas do número complexo z 1 corresponde ao produto das raízes da equação algébrica

3x 1 0. Portanto, das Relações de Girard, segue que o resultado pedido é 1 1.1

Resposta da questão 7: [C] Sabendo que 5 4 2 2 2i i i (i ) i ( 1) i i,

vem 10 2 5

2 5

5

5 5

(1 i) [(1 i) ]

(1 2i i )

( 2i)

( 2) i32i.

Resposta da questão 8: [C]

x = iii

iiiii

ii

22

12

11

11

22

22 e y = 2i

(x+y)2 = (i + 2i)2 = (3i)2 = 9i2 = - 9 Resposta da questão 9: [E] Resposta da questão 10: [D] Efetuando o produto, temos: 23 i x 2yi 3x 6yi ix 2yi 3x 2y 6y x i Para que o complexo 3x 2y 6y x i seja real, devemos ter: 6y x 0 (equação da reta pedida)


Resposta da questão 11: [B] As raízes complexas não reais sempre aparecem aos pares (a + bi e a – bi) numa equação de coeficientes reais. Portanto: 2 – 3i é raiz, pois 2 + 3i é raiz. –1 – 7i é raiz, pois –1 + 7i é raiz. A outra raiz é um número real. Portanto, a alternativa [B] é a correta. Resposta da questão 12: [E]

O complexo obtido com a rotação de 90° de 1 + i é z = –1 + i Fazendo: (–1 + i)3, temos: z3 = (i – 1)3 = i3 –3.i2.1 + 3.i.12 –13 = –i + 3 + 3i – 1 = 2 + 2i Resposta da questão 13: [A]

2 2

2 2

x yi 1 1 2z 1.x yi 21 1

Resposta da questão 14: [D] Reescrevendo z, vem

2z (1 i)(1 i)(1 i)(1 i)(1 i)(1 1)(1 i)2 2i.

Logo, o módulo de z é dado por

2 2| z | 2 2 2 2. Daí

1arg(z) arccos2

e 1arg(z) arcsen2

implicam em 7arg(z) 2k , k .4π π


Resposta da questão 15: [D] Se z a bi, com a e b reais, então z a bi. Desse modo,

z 2z 2 zi a bi 2 (a bi) 2 (a bi) i3a bi (b 2) ai.

Logo, obtemos o sistema

3a b 2 a 1

.a b b 1

Portanto, o número complexo z que satisfaz a condição dada é z 1 i. Resposta da questão 16: [C]

Escrevendo 1 + i na forma trigonométrica: 1 i 2 cos i sen4 4π π

Portanto, nn(1 i) 2 cos n i sen n

4 4π π

Para que n(1 i) devemos ter:

n 0 k , com k Z4

n 4k, com k Z

π π

n é um múltiplo de 4, e o único múltiplo de 4 nas opções é o próprio 4. Resposta da questão 17: [D] Calculando a soma dos 2014 termos de uma P.G de primeiro termo 1 e razão i, temos:

2014 20 1 2 3 2013 1.(i 1) i 1 2 (1 i)i i i i i i 1

i 1 i 1 i 1 (1 i)

Resposta da questão 18: [B] Escrevendo o número complexo z na forma algébrica, obtemos

2 2z (k i) (k 1) 2k i. Sabendo que | z | 10 e 2 2 2| z | | (k i) | | k i | k 1, vem

2 2k 1 10 k 9. Portanto, 2Re(z) k 1 9 1 8.


Resposta da questão 19: [A] [A] Verdadeira. 1 2Z Z 2 3 2i 2 3i 2 ( 2 3 2) (2 2 3) i ( 2 3 2, 2 3 2) , ponto que pertence ao

2º quadrante.

[B] Falsa. 2 2 21Z 1 i 1 2 i i 2i

[C] Falsa. 2 21 2Z Z 1 2 3 i ( 1 2 3 ) ( 1) 3

[D] Falsa. 1

2

Z 1 i 3 1 1 i 1 1,Z 8 8 82( 3 1) 3 1

(1º quadrante)

Resposta da questão 20: [E]

2 2 2 2a bi a b 2 8i b 8 e a a b 2

2 2

2 2

2 2

a a 8 2

a 8 (2 a)

a 64 4 4a aa 15

Logo, 2 2 2z 15 8 289.

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