Aula Magna 8

Oxygen Diffusion in Silicon Revisited

8.5 Centro de massaPosio do centro de massa de um sistema de N partculas:Mdia, ponderada pelas massas, das posies das partculas

12i

Em componentes:

(idem para y e z)

(c) Em geral, o centro de massa um ponto intermedirio entre x1 e x2:

xxCMmx=02mx=L2/31/3(a)

xxCM

(b)

xxCM

Exemplos em 1D: 2 partculasKits LADIFExemplo: sistema de 3 partculas em 2D

Distribuies contnuas de massa (qualitativo)

Objeto homogneo com centro geomtrico: CM no centro

Objeto com eixo de simetria: CM ao longo do eixo

Note que o c.m. pode estar localizado fora do objeto

Movimento do centro de massa

Velocidade do centro de massa:

Massa total:

(momento linear total)Momento linear total igual massa total multiplicada pela velocidade do centro de massaComo vimos na aula passada, se a resultante das foras externas for nula, ou se o sistema for isolado:

Vdeo: Physics Demonstrations in Mechanics: Part II, No. 5

Exemplo: Y&F 8.14E se houver fora externa resultante no-nula?

Derivando mais uma vez:

Pela 2 Lei de Newton:

Somatrio de todas as foras que atuam sobre todas as partculas

Soma das foras externasSoma das foras internasComo vimos na aula passada, pela 3 Lei de Newton:

(pares ao e reao se cancelam)

Assim:

O centro de massa se move como uma partcula que concentrasse toda a massa do sistema, sob ao da resultante das foras externasVdeo: Physics Demonstrations in Mechanics: Part II, No. 6Ou:

Colises no referencial do centro de massa:

ausncia de foras externas, velocidade do c.m. permanece inalterada pela coliso

referencial do c.m. inercialMostrar applet: http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/more_stuff/Applets/Collision/jarapplet.html

BA

Referencial do c.m.

AB

ABReferencial do laboratrioTrajetria do c.m.C.m. est parado

ABVelocidades no referencial do centro de massa:

Conservao do momento linear:

Momento linear tambm se conserva no referencial do centro de massa (como esperado, pois trata-se de um referencial inercial)

Energia cintica no referencial do lab:

Antes:

Mudana de variveis para velocidade do c.m. e velocidade relativa:

Invertendo, obtemos:

Substituindo na expresso para a energia cintica:

Aps alguma lgebra (quadro negro):

Definindo: (massa total) e

(massa reduzida)

Obtemos finalmente:

Energia cintica do movimento do centro de massaEnergia cintica do movimento relativoAnlise:1. Parece com a expresso da energia cintica de duas partculas2. No referencial do c.m., temos:

Ou seja, a energia cintica depende do referencial, e a energia cintica mnima aquela calculada no referencial do c.m.

3. Antes e depois de uma coliso, a velocidade do c.m. no varia, de modo que a variao da energia cintica :

Ou seja, a variao de energia cintica no depende do referencial (como esperado)

4. Em uma coliso elstica, temos:

Ou seja, o mdulo da velocidade relativa no alterado pela coliso

5. A perda mxima de energia cintica (coliso totalmente inelstica), ocorre quando:

Desta forma, explica-se porque as partculas ficam grudadas depois de uma coliso totalmente inelstica

08.6 Propulso de um fogueteExemplo de movimento de um sistema de massa varivel:

Instante t

Massa mInstante t + dt

m +dmdm < 0

-dmVelocidade de exausto dos gases relativa ao foguetehttp://www.youtube.com/watch?v=sJj1WpbvxM4Conservao do momento linear:

Infinitsimo de ordem superior

Fora de propulso do foguete (proporcional taxa e velocidade de exausto)

Note que, ainda que a fora seja supostamente constante, a acelerao aumenta com o tempo, pois a massa diminui continuamente

Clculo da velocidade:

Exemplo: Y&F 8.16

Prximas aulas:4a. Feira 26/10: Aula de Exerccios (sala A-327)6a. Feira 28/10: Feriado4a. Feira 02/11: Feriado6a. Feira 04/11: Aula Magna (sala A-343) e Testes do Cap. 8