An´ atica II 1 a Aula Pr´ alise Matem´ atica 2 o Semestre 2004/2005 1 a Aula Pr´ atica c˜ Observa¸oes: Recorde que “P cos x = sen x” significa “uma primitiva de cos ´ e ...”, e que so- c˜ mando uma constante qualquer se obt´ em outra primitiva. A no¸ao de primitiva e as suas propriedades elementares a usar nesta aula podem ser revistas observando os seguintes exemplos: P cos x = sen x porque D sen x = cos x P 2 cos x = 2 sen x porque . . . x P(cos x + e x ) = sen x + e porque “a derivada da soma ´ e...” 1 P cos 3x = sen 3x porque D sen 3x = ... 3 · 2 P 2x cos x 2 = sen x porque . . . 1) Determine uma primitiva da fun¸ao definida (em algum intervalo apropriado) pela ex- c˜ press˜ao: a) x 5 b) x + √ x 3 x √ x c) + √ x 4 2 1 1 d) 2 + x √ x x 1 e) 2 cos x f) 2 x 1 g) √ 4 − x 2 1 h) 5+ x 2 i) e x+3 j) (x 2 + 1) 3 k) 2 x−1 1 l) 5 √ 1 − 2x m) tg 2 x 2) Determine uma primitiva da fun¸ao: c˜ a) sen 2x b) e 5x c) x sen x 2 x d) 1+ x 2 e) tg x 1/2
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c˜Observa¸oes: Recorde que “P cos x = sen x” significa “uma primitiva de cos e . . . ”, e que so-c˜mando uma constante qualquer se obtem outra primitiva. A no¸ao de primitiva e as suas
propriedades elementares a usar nesta aula podem ser revistas observando os seguintesexemplos:
P cos x = sen x porque D sen x = cos x
P 2 cos x = 2 sen x porque . . .xP(cos x + ex) = sen x + e porque “a derivada da soma e . . . ”
1P cos 3x = sen 3x porque D sen 3x = . . .
3·
2P 2x cos x2 = sen x porque . . .
1) Determine uma primitiva da fun¸ao definida (em algum intervalo apropriado) pela ex-c˜pressao:
1) Determine a ´ ao compreendida entre o eixo dos xx e o gr´ c˜area da regi˜ afico da fun¸ao
f(x) = (x + 2)−2 , x ∈ [0, 2] .
2) Determine a area delimitada pelas curvas
y = x , y = sen x , x = π/2 .
area do conjunto de todos os pontos (x, y) que verificam as condi¸oes:3) Determine a ´ c˜
2 2x + y ≤ 10
x + y| | | | ≥ 4
4) Calcule a ´ ao plana delimitada pelas linhas dearea e o comprimento do bordo da regi˜c˜equa¸oes y = x + 1 e y = (x − 1)2.
5) Calcule a ´ ao delimitada pelo gr´area da regi˜ afico de y = log x e pela recta que o intersectanos pontos de abcissa 1 e e. Calcule o comprimento da linha que delimita esta regiao.
area da regi˜ aficos das fun¸oes f e g definidas em R por:6) Calcule a ´ ao delimitada pelos gr´ c˜
2f(x) = 3x3 − x − 10x
g(x) = −x2 + 2x
area da regi˜ c˜7) Calcule a ´ ao delimitada pelas curvas de equa¸ao x = 3 − y2 e x = y + 1.
8) Considere a fun¸ao f : R R definida por:c˜ →
f(x) =cos x (x ≤ 0)
ex (x > 0)
a) Determine todas as primitivas de f em R.
b) Determine todas as primitivas de f em R \ {0}.c) Determine a primitiva F de f em R \ {0} tal que F (1) = F (−π) = 0.
3 + cos x x9) Calcule uma primitiva de , recorrendo ` c˜a substitui¸ao tg = t.
1) Considere a fun¸ao g : D → R definida por g(x, y) = log y − x no domınio D destac˜ | 2|expressao.
a) Determine o domınio D e represente-o geometricamente. Diga se e um conjuntolimitado, e justifique.
b) Verifique se a fun¸ao g e limitada.c˜
c) Identifique as linhas de nıvel da fun¸ao g e represente-as graficamente. Calcule oc˜contradomınio de g.
d) Mostre que o conjunto D e aberto.∂ge) Determine ∂g e∂y
para (x, y) ∈ D.∂x
2) Considere a fun¸ao f definida porc˜
1f(x, y) =
2 − y2x
no conjunto D em que a expressao do 2o membro faz sentido.
a) Determine e represente graficamente o domınio de f .
b) Determine as linhas de nıvel de f e esboce-as graficamente.
c) Determine o contradomınio de f .∂fd) Determine ∂f e∂y
no ponto (1, 0).∂x
3) Considere o subconjunto de R2 definido por:
D = (x, y) : xy > 1
a) Represente-o graficamente e diga se e aberto, fechado ou limitado. Identifique a suafronteira.
b) De um exemplo de uma sucess˜ aoao de termos em D que convirja para um ponto n˜pertencente a D.
4) Considere a fun¸ao f : D R definida por:c˜ →D = (x, y) : xy > 0
f(x, y) = x log(xy)
a) Interprete geometricamente o domınio D e determine o seu interior, exterior e fron-teira. Diga se D e aberto, fechado, limitado. (Justifique a resposta.)
c˜b) A fun¸ao f e contınua no seu domınio? Justifique a resposta.
c) Mostre que para qualquer semi-recta S com origem no ponto (0, 0) e contida em D olimite
c˜ afico da fun¸ao f(x, y) = 3x2−y no ponto1) Determine a equa¸ao do plano tangente ao gr´ c˜ 2
correspondente a (5, 2). Determine as equa¸oes da recta normal a esse plano no mesmoc˜ponto.
c˜ a curva de equa¸ao x+y−log xy = e2) Determine as equa¸oes das rectas tangente e normal ` c˜no ponto (x, y) = (1, e).
3) Determine a equa¸ao do plano que e tangente ao parabol´ c˜ 2c˜ oide de equa¸ao z = 2x2 + 3yc˜e que e paralelo ao plano de equa¸ao 4x − 6y − z = 10.
4) Para cada um dos seguintes casos, determine a equa¸ao do plano tangente ao gr´c˜ afico dafun¸ao f no ponto correspondente ao ponto P do domınio de f . Sendo p o polin´c˜ omiocujo grafico e esse plano, compare o erro que se comete ao aproximar f(Q) por p(Q) coma distancia entre P e Q.