Aula 8 - Séries Uniformes

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administração

amintas paiva afonso

MATEMÁTICA FINANCEIRAMATEMÁTICA FINANCEIRA

SÉRIES DE PARCELAS IGUAISSÉRIES DE PARCELAS IGUAIS

Curso : Administração

Professor : Amintas Paiva Afonso

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Séries de parcelas iguaisSéries de parcelas iguais

As séries de parcelas deverão ser:

• Iguais (uniformes) e Consecutivas• Postecipadas – 1ª parcela após 1 período (modo normal, ou final, ou END).

• Antecipadas 1ª parcela no início (modo inicial ou BEGIN).

Em que consistem na prática as séries de parcelas iguais?

São as prestações (pagamentos ou recebimentos) que você já conhece, aquele carnê da loja de eletrodomésticos ou o carnê do leasing do carro novo.

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Séries de parcelas postecipadas ou no modo END

São séries de parcelas iguais e consecutivas sem entrada, isto é, sem parcela igual na data zero, ou seja, a primeira parcela acontece no período imediatamente seguinte à operação efetuada de “empréstimo”.Ex: Crédito pessoal, compra de carro, etc ...

n0 1 2 3 4

P

A

n0 1 2 3 4

A

S

. . .

AAAA

. . .A A A A

5


S = Montante-Valor futuro P = Capital-Valor Presente

A = Parcela-Anuidade i = taxa de juros

n = número de parcelas

P = A *

(1+ i)n – 1

(1+ i)n

* iA = P *

(1+ i)n * i

(1+ i)n - 1

FÓRMULASFÓRMULAS

S = A *

(1+ i)n – 1

i A = S *

i

(1+ i)n - 1

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Exemplo 1: Calcular o valor da parcela mensal de um Empréstimo Pessoal de R$ 25.000,00 que foi financiado em 15 parcelas iguais, na taxa de 2,25% ao mês.

A = P *

(1+ i)n * i

(1+ i)n - 1

A = 25.000 * (1+ 0,0225)15 * 0,0225

(1+ 0,0225)15 - 1

150 1 2 3 4

25.000

AAAAA

. . .

7


A = 25.000 * 1,3962 * 0,0225

(1,3962 - 1)

A = 25.000 *

0,0314

0,3962

A = 25.000 * 0,0793 => A = R$ 1.982,21

O devedor do empréstimo de R$ 25.000,00 deverá pagar 15 parcelas de R$ 1.982,21, sendo a primeira parcela paga no primeiro mês após o empréstimo.

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Exemplo 2: Determinar o valor que foi emprestado num financiamento em 10 parcelas mensais e iguais de R$ 1.656,82, considerada a taxa de 1,85% ao mês e o percentual de juros pagos pelo empréstimo.

P = A *

(1+ i)n - 1

(1+ i)n

* i

P = 1.656,82 *

(1+ 0,0185)10 - 1

(1+ 0,0185)10 * 0,0185

0 101 2 3 4

P

1.656,82

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P = 1.656,82 *

(1,2012 - 1)

(1,2012) * 0,0185

P = 1.656,82 *

0,2012

0,0222

P = 1.656,82 * 9,0535 => P = R$ 15.000,00

O valor do empréstimo é de R$ 15.000,00 para o pagamento de 10 parcelas de R$ 1.656,82, sendo a primeira parcela paga no primeiro mês após o empréstimo.

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S = 1.000,00 *

(1+ 0,025)15 - 1

0,025

Exemplo 3: Calcular o valor que você possuirá ao final de 15 meses se fizer depósitos mensais de R$ 1.000,00 em um fundo de aplicação com uma taxa de 2,5% ao mês, sendo o 1o depósito feito ao final do 1o mês.

S = A *

(1+ i)n – 1

i150 1 2 3 4

S

10001000 1000 1000 1000. . .

11


S = 1.000,00 *

(1,4483 - 1)

0,025

S = 1.000,00 *

0,4483

0,025

S = 1.000,00 * 17,9319 => S = R$ 17.931,93

Ao final de 15 meses você terá uma quantia de R$ 17.931,93 para o depósito de 15 parcelas de R$ 1.000,00, sendo o 1o depósito feito ao final do 1o mês.

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Exemplo 4: Calcular quanto você deve depositar mensalmente em um fundo de aplicação com taxa de 1,5% a.m. para que possua um montante de R$ 2.000,00 ao final de 12 meses sendo o 1o depósito feito ao final do 1o mês

A = 2.000 *

0,015

(1+ 0,015)12 - 1

A = S *

i

(1+ i)n - 1 120 1 2 3 4

A

2000

A A A A. . .

13


A = 2.000 *

0,015

(1,1956 - 1)

A = 2.000 *

0,015

0,1956

A = 2.000 * 0,0767 => A = R$ 153,36

Você deverá depositar mensalmente a quantia de R$ 153,36 para obter um montante de R$ 2.000,00 ao final de 12 meses, sendo o 1o depósito feito ao final do 1o mês.

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Uso da Calculadora HP12C

Exemplo 1:25000 PV 15 n 2.25 i g ENDPMT -1.982,21

Exemplo 2: 1656.82 CHS

PMT 10 n 1.85 i g END PV 15.000,01

Exemplo 3: 1000 PMT 15 n 2.5 i g END FV -

17.931,93

Exemplo 4: 2.000 PV 12 n 1.5 i g ENDPMT -153,36

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Séries de parcelas antecipadas ou no modo BEGIN

São séries de parcelas iguais e consecutivas com entrada, ou seja, a 1a parcela é paga ou aplicada na data zero.

Ex : Financiamentos:

n0 1 2 3 4

P

A

n0 1 2 3 4

A

S

AAAA A

AA A A A

. . .

. . .

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S = Montante-Valor Futuro P = Capital-Valor Presente

A = Parcela-Anuidade i = taxa de juros

n = número de parcelas

FÓRMULASFÓRMULAS

S = A *

(1+ i)n+1 – (1+i)

i A = S *

i

(1+ i)n+1 - (1+i)

P = A *

(1+ i)n – 1

(1+ i)n-1

* iA = P *

(1+ i)n-1 * i

(1+ i)n - 1

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Exemplo 1: Calcular o valor das prestações mensais na compra de uma TV de R$ 1.100,00 que foi financiada em 8 parcelas mensais iguais, na taxa de 1,55% ao mês, sendo a primeira de entrada.

A = P *

(1+ i)n-1 * i

(1+ i)n - 1

A = 1.100 * (1+ 0,0155)7 * 0,0155

(1+ 0,0155)8 - 1

A

70 1 2 3 4

1.100

AAAAA

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A = 1.100 * (1,1137) * 0,0155

(1,1309 - 1)

A = 1.100 *

0,0173

0,1309

A = 1.100 * 0,1318 => A = R$ 145,01

O comprador da TV no valor de R$ 1.100,00 deverá pagar 8 parcelas de R$ 145,01 sendo a primeira de entrada.


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Exemplo 2: Determinar o valor à vista de uma moto, adquirida em 18 prestações mensais iguais de R$ 309,76 com a primeira de entrada, considerada a taxa de financiamento de 2,1%.

P = A *

(1+ i)n - 1

(1+ i)n-1

* i

P = 309,76 *

(1+ 0,021)18 - 1

(1+ 0,021)17 * 0,021

309,76

170 1 2 3 4

P

. . .

20

P = 309,76 *(1,4537) - 1

(1,4238) * 0,021

P = 309,76 *

0,4537

0,0299

P = 309,76 * 15,1731 => P = R$ 4.700,00

O valor da moto à vista é de R$ 4.700,00.


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Exemplo 3: Calcular o valor que você possuirá ao final de 15 meses se fizer depósitos mensais de R$ 1.000,00 em um fundo de aplicação com uma taxa de 2,5% ao mês, sendo o 1o depósito feito no início do 1o mês.

S = 1.000,00 *

(1+ 0,025)16 - (1+0,025)

0,025

S = A *

(1+ i)n+1 – (1+i)

i 150 1 2 3 4

1000

S

1000 1000 1000 1000 1000

. . .

22

S = 1.000,00 *

1,4845 - 1,025

0,025

S = 1.000,00 *

0,4595

0,025

S = 1.000,00 * 18,3802 => S = R$ 18.380,22

Ao final de 15 meses você terá uma quantia de R$ 18.380,22 para o depósito de 15 parcelas de R$ 1.000,00, sendo o 1o depósito feito no início do 1o mês.


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Exemplo 4: Calcular quanto você deve depositar mensalmente em um fundo de aplicação com taxa de 1,5% a.m. para que possua um montante de R$ 2.000,00 ao final de 12 meses sendo o 1o depósito feito no início do 1o mês.

A = 2.000 *

0,015

(1+ 0,015)13 - (1+0,015)

A = S *

i

(1+ i)n+1 - (1+i)120 1 2 3 4

A

2000

A A A A A. . .

24

A = 2.000 *

0,015

(1,2136 - 1,015)

A = 2.000 *

0,015

0,1986

A = 2.000 * 0,0756 => A = R$ 151,09

Você deverá depositar mensalmente a quantia de R$ 151,09 para obter um montante de R$ 2.000,00 ao final de 12 meses, sendo o 1o depósito feito no início do 1o mês.


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Uso da Calculadora HP12C

Exemplo 1:1100 PV 8 n 1.55 i g BEGPMT -

145,01

Exemplo 2: 309,76 CHS

PMT 18 n 2.1 i g BEG PV 4.700,00

Exemplo 3: 1000 PMT 15 n 2.5 i g BEG FV -

18.380,22

Exemplo 4: 2.000,00 CHS

PMT 12 n 1.5 i g BEGPMT 151,09

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Caso com entrada diferente das parcelas

Ex: Um automóvel Gol 1000-16V, de valor à vista de R$ 24.600,00, foi comprado, dando-se um Gol GL usado na troca, avaliado em R$ 13.200,00 e com o saldo financiado em 18 parcelas mensais iguais, na taxa pré-fixada de 2,75% ao mês. Determinar o valor das prestações.

A

18

01 2 3 4

24.600

13.200A

18

01 2 3 4

11.400

. . .

AAAA AAAA

. . .

27

A = P *

(1+ i)n * i

(1+ i)n - 1

A = 11400 * (1+ 0,0275)18 * 0,0275

(1+ 0,0275)18 - 1


A

18

01 2 3 4

11.400

. . .

AAAA

28

A = 11.400 * 1,6296 * 0,0275

(1,6296 - 1)

A = 11.400 *

0,0448

0,6296

A= 11.400 * 0,0712 => A = R$ 811,46

O comprador do carro deverá pagar 18 parcelas de R$ 811,46 além de ter dado seu carro usado de R$ 13.200,00 como entrada no negócio.


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