Aula 20 Sinais e Sistemas – Capítulo 7 Simon Haykin
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Sinais e Sistemas – Capítulo 7
Simon Haykin
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Propriedades da Região de Convergência
1.A região de convergência não deve conter nenhum pólo.
Prova: Se d é um pólo, então |X(d)|=∞, de modo que a transformada z não converge no pólo.
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Propriedades da Região de Convergência
2.A região de convergência de um sinal de duração finita inclui o plano Z inteiro, com exceção, possivelmente, de z=0 e/ou z=∞.
Prova: Suponha que x[n] seja diferente de zero somente no intervalo n1≤n≤n2. Logo
2
1
n
nn
nznxzX
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Propriedades da Região de Convergência
A soma convergirá, desde que cada termo seja finito.
Se um sinal tiver quaisquer componentes causais diferentes de zero (n2>0), então X(z) terá um termo que envolve z-1, de modo que a região de convergência não poderá incluir z=0.
2
1
n
nn
nznxzX
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Propriedades da Região de Convergência
Se um sinal tiver quaisquer componentes não causais diferentes de zero (n1<0), então X(z) terá um termo que envolve z, de modo que a região de convergência não poderá incluir |z|=∞.
2
1
n
nn
nznxzX
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Propriedades da Região de Convergência
Inversamente, se um sinal não tiver nenhum componente causal diferente de zero (n2≤0) diferentes de zero, então a região de convergência incluirá z=0. Se um sinal não tiver nenhum componente não causal diferente de zero (n1≥0), então a região de convergência incluirá |z|=∞. Logo, x[n]=cδ[n] é o único sinal cuja região de convergência é o plano inteiro, de fato.
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Propriedades da Região de Convergência
Considere agora um sinal de duração infinita. A condição de convergência é |H(z)|<∞. Logo,
n
n
n
n
n
n
znxznx
znxzX
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Propriedades da Região de Convergência
Dividindo a soma infinita em partes de tempos positivo e negativo, temos que
1
n
nznxzI e
0n
nznxzI
Logo, temos que zIzIzX
Assim, |X(z)| será finito se I-(z) e I+(z) forem finitos, o que exige que |x[n]| seja limitado de alguma forma.
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Propriedades da Região de Convergência
Suponhamos, então, que possamos limitar |x[n]|, encontrando as menores constantes positivas, A-, A+, r- e r+, tais que
e 0, nrAnX n
Um sinal que satisfaz esses limites não cresce mais rápido do que r-n, quando n<0, ou do que r+n quando n≥0.
0, nrAnX n
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Propriedades da Região de Convergência
Se é satisfeito, então 0, nrAnX n
0, nrAnX n
1
11
k
k
n
n
n
nn
r
zA
z
rAzrAzI
Observe que o último somatório converge se rz
Se é satisfeito, então
00 n
n
n
nn
z
rAzrAzI
Observe que o último somatório converge se rz
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Propriedades da Região de Convergência
Logo, se , então tanto I+(z) quanto I-(z) convergirão, de modo que |X(z)| também convergirá.
rzr
Observe que se , então não existirão valores de z para os quais a convergência é garantida
00 n
n
n
nn
z
rAzrAzI
Observe que o último somatório converge se rz
rr
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Propriedades da Região de Convergência
Exemplo: identifique a região de convergência associada à transformada z de cada um dos sinais a seguir.
nununw
nununy
nununx
nn
nn
nn
4
12
2
1
4
12
2
1
4
12
2
1
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Propriedades da Região de Convergência
Solução:
00
0
0
4
122
4
12
2
1
n
n
k
k
n
n
n
n
zz
zzzX
Limites de convergência: e 21z 41z
41
2
21
1
z
z
zzX
Pólos: e 21z 41z
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Propriedades da Região de Convergência
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Propriedades da Região de Convergência
Solução:
00 4
12
2
1
n
n
n
n
zzzY
Limites de convergência: e 21z 41z
41
2
21
z
z
z
zzY
Pólos: e 21z 41z
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Propriedades da Região de Convergência
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Propriedades da Região de Convergência
Solução:
00
00
422
4
12
2
1
k
n
k
k
n
n
n
n
zz
zzzW
Limites de convergência: e 21z 41z
zzz
zW4
2
21
1
Pólos: e 21z 41z
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Propriedades da Região de Convergência
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Propriedades da Transformada Z
Nas propriedades apresentadas a seguir, supomos que
zXnxZ
e
com região de convergência Rx.
zYnyZ
com região de convergência Ry.
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Propriedades da Transformada Z
Linearidade
zbYzaXnbynaxZ
com região de convergência igual a no mínimo Rx∩Ry.
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Propriedades da Transformada Z
Exemplo: Suponhamos que
23
21
12
3
2
1
zz
zzXnununx
Znn
com região de convergência igual a 2
3
2
1 z
e
21
21
41
2
1
4
1
zz
zzYnununy
Znn
com região de convergência igual a 2
1z
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Propriedades da Transformada Z
Avalie a transformada Z para nbynax
Solução:
2
3
2
1 z
Em geral, a região de convergência é igual à interseção das regiões de convergência individuais, isto é
4121
41
2321
zz
zb
zz
zanbynax
Z
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Propriedades da Transformada Z
Observe o que acontece no caso particular em que a=b. Neste caso,
2
3
4
1 z
Para este caso, a região de convergência é igual
nunuanbynax
nn
4
11
2
3
A transformada z da combinação é
2341
45
zz
zazaYzaX
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Propriedades da Transformada Z
X(z) Y(z)
aX(z)+aY(z)
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Propriedades da Transformada Z
Inversão de Tempo (Reflexão)
z
XnxZ 1
com região de convergência igual a 1/Rx.
Se Rx tem a forma , então, ao fazer z=z-1, temos que
bza
bza 1 bza 11 ou
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Propriedades da Transformada Z
Deslocamento no Tempo
zXznnx nZ
00
com região de convergência igual a Rx, com exceção, possivelmente, de z=0 ou |z|=∞.
Observe que a multiplicação por introduz um pólo de ordem n0 em z=0, se n0>0. Neste caso, a região de convergência não pode incluir z=0, mesmo que Rx inclua z=0, a menos que X(z) tenha um zero de ordem pelo menos n0 em z=0, de modo a cancelar os novos pólos introduzidos.
0nz
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Propriedades da Transformada Z
Deslocamento no Tempo
zXznnx nZ
00
com região de convergência igual a Rx, com exceção, possivelmente, de z=0 ou |z|=∞.
Observe que se n0<0, então a multiplicação por introduzirá n0 pólos no infinito. Se esses pólos não forem cancelados por zeros no infinito em X(z), então a região de convergência não poderá incluir |z|=∞.
0nz