Sistemas lineares Aula 2 - Sistemas
Definição
Sistemas:
Modelo matemática de um processo físico que relaciona o sinal de entrada
(excitação) com o sinal de saída (resposta).
Transformação (mapeamento) de x em y
Sistemax(t) y(t)
Sinal de
entrada
Sinal de
saída
SISO (Single Input – Single Output)
Uma entrada – Uma saída
MIMO (Multiple Input – Multiple Output)
Múltiplas entradas – Múltiplas saídas
Definição
Sistemas:
Representação:
Matemática: operador linear T*
Diagrama de blocos
Sistema
x1(t) y1(t)
Sistemax(t) y(t)
x𝑁(t) yM(t)
.
.
.
.
.
.
Classificação
Em relação ao tempo:
Contínuo:
Entrada(s) e saída(s) são sinais de tempo contínuo
Discreto:
Entrada(s) e saída(s) são sinais ou sequências de tempo discreto
Em relação à memória:
Sem memória:
A saída depende apenas da entrada em cada instante de tempo. Ex.: resistor
𝑣 𝑡 = 𝑅. 𝑖(𝑡)
Com memória:
Caso contrário. Ex. Capacitor
𝑣 𝑡 =1
𝐶 −∞
𝑡
𝑖 𝜏 𝑑𝜏
Classificação
Em relação à causalidade:
Causal:
A saída em um tempo arbitrário 𝑡 = 𝑡0 só depende da entrada para 𝑡 ≤ 𝑡0. Não depende de valores futuros.
Não causal:
Caso contrário
Em relação à transformação da entrada em saída:
Linear:
Obedece ao princípio da superposição (homogeneidade e aditividade)
Não linear:
Caso contrário
Classificação
Princípio da superposição:
Admitindo 𝑇𝑥1 = 𝑦1 e 𝑇 𝑥2 = 𝑦2
Aditividade:𝑇 𝑥1+ 𝑥2 = 𝑦1 + 𝑦2
Homogeneidade:𝑇 𝑥1 = 𝛼𝑦1
Superposição:𝑇 𝛼𝑥1+ 𝛽𝑥2 = 𝛼𝑦1+ 𝛽𝑦2
classificação
Em relação à variação no tempo:
Invariante:
Entrada deslocada no tempo provoca a mesma saída deslocada no tempo.
𝑇 𝑥 𝑡 − 𝑡0 = 𝑦(𝑡 − 𝑡0)
Variante:
Caso contrário.
Em relação a estabilidade (interna ou externa):
Estável – Entrada limitada e saída limitada (BIBO)
Para qualquer entrada limitada 𝑥(𝑡) ≤ 𝑘1, a saída será limitada 𝑦(𝑡) ≤ 𝑘2, Onde k1 e k2 são constante reais finitas.
Instável:
Caso contrário.
classificação
Em relação à inversibilidade
Inversível:
A entrada aplicada ao sistema pode ser recuperada a partir da sua saída do sistema inverso:
Não Inversível:
Caso contrário.
Sistema
T
x(t) y(t) Sistema
T-1
x(t)
Descrição de sistemas
Modelo do Sistema:
Descrição matemática do comportamento dinâmico do sistema.
Relação Entrada-Saída:
Equação Diferencial;
Resposta em frequência, 𝐻(𝜔)
Característica:
Externa: Resposta ao impulso, ℎ(𝑡) (medida nos terminais externos do sistema)
Interna: Espaço de estados (descrição completa)
Exemplos
Circuito RC:
Situação 1:
Entrada: 𝑥 𝑡 = 𝑣𝑠 𝑡
Saída: 𝑦 𝑡 = 𝑣𝑐 𝑡
Situação 2:
Entrada: 𝑥 𝑡 = 𝑣𝑠 𝑡
Saída: 𝑦 𝑡 = 𝑖(𝑡)
AC
RC
+
-vc(t)
+
-vs(t)
i(t)
Exemplos
Circuito RLC:
Usando L = 1 H, R = 3 Ω e C = 0,5 F, determine a equação diferencial que
relaciona a Entrada-Saída, considerando 𝑣𝑠(𝑡) como sinal de entrada e i(t)
como sinal de saída.
AC
RC
+
-vc(t)
+
-vs(t)
i(t)
L