Aula 13 teste de hipóteses

Teste de hipóteses - unilateral

Profa. Dra. Juliana Garcia

Cespedes

Inferência

Distribuição desconhecida

ou

Parâmetros desconhecidos

amostra

Inferir certas características da

população

X

S2 2

p p

Intervalo

de

confiança

estimar

estimar

estimar^

Teste de hipóteses

= 100

amostra56,107X

Uma população com

média =100 conhecida

poderia produzir uma

amostra com média

107,56?

O objetivo do teste de hipóteses é verificar se os dados

amostrais trazem evidências que contrariam ou não uma

hipótese estatística formulada.

Teste de hipóteses

Suponha que entre pessoas sadias, a concentração de

uma certa substância no sangue se comporta segundo

um modelo Normal com média 14 unidades/ml e desvio

padrão 6 unidades/ml. Em pessoas doentes a

concentração média se alterada para 18 unidades/ml

com mesmo desvio padrão.

Sadios: N(14,36)

Doentes: N(18,36)

Teste de hipóteses para a média

Desejamos verificar se um determinado

tratamento é eficaz a essa doença.

Uma amostra aleatória de 31 pessoas doentes que

foram submetidas ao tratamento é selecionada.

X1, X2, ... Xn Xi ~ N( , 36)

O valor da média desta amostra vai indicar se o

tratamento foi eficaz (=14) ou não foi eficaz (=18)


Pelo teorema do limite central, sabe-se que:

Um critério que pode ser utilizado para

decidir a qual população (=14 ou =18)

pertence a amostra é determinar um valor

crítico xc

31

36,N~X


Se X>xc concluímos que a amostra pertence

à população doente (=18), ou seja o

tratamento não é eficaz;

Se X xc concluímos que a amostra

pertence à população sadia (=14) sendo o

tratamento considerado eficiente.

xc

= 14 = 18

xobs


Podemos formular duas hipóteses para esse

problema:

H0: O tratamento NÃO é eficaz;

Ha: O tratamento é eficaz.

Hipótese nula

Hipótese alternativa

H0: = 18

Ha: = 14

H0: = 18

Ha: < 18

H0: = 18

Ha: 18

Hipótese simples Hipótese composta

Teste unilateral Teste bilateral


TESTE UNILATERAL:

No caso do tratamento ser eficaz é razoável

assumirmos que ele foi capaz de fazer com

que as pessoas ficassem curadas, ou seja,

que mudassem para uma população que

X<18

TESTE BILATERAL

Para verificar se o tratamento produziu algum

efeito benéfico X<18 ou danoso X>18

H0: = 18 versus Ha: < 18

H0: = 18 versus Ha: 18


Como X é uma estimativa (é apenas 1 de

infinitas amostras possíveis) pode-se correr o

risco de concluir incorretamente que o

tratamento é eficaz, ou decidir que o tratamento

não é eficiente quando na verdade ele é.

Devemos quantificar os possíveis erros

associados a essa decisão.

Teste de hipóteses

Rejeitar a hipótese H0, quando tal hipótese é

verdadeira

Não rejeitar a hipótese H0, quando ela deveria

ser rejeitada

Erro tipo I

Erro tipo II

Erro tipo I Sem erro

Sem erro Erro tipo II

Rejeitar H0

Não rejeitar H0

H0 verdadeira H0 falsa

Situação

Decisão

Teste de hipóteses

= P(erro tipo I) = P(Rejeitar H0| H0 é verdadeira)

= P(erro tipo II) = P(Não rejeitar H0| H0 é falsa)

= P(concluir que o tratamento é eficaz | na verdade ele não é)

= P(concluir que o tratamento não é eficaz | na verdade ele é)

No exemplo:

Qual é o erro mais

importante de ser

evitado?

Nível de significância


Com determinar o valor crítico xc?

)(

316

18

)18|(

.)|()( 00

c

c

c

zZP

x

n

XP

xXP

verdHHrejeitarPIerroP

Sendo que Z ~ N(0,1)


O valor de zc é obtido na tabela da distribuição

normal, dado um valor para e o valor crítico é

calculado como:

31

618

316

18

cc

cc

zx

xz

Intervalo de confiança

para com n>30!!!

Para =0,05:

64,1

)(05,0

c

c

z

zZP


Logo

Se Xobs < 16,23 rejeitamos H0 concluindo que o

tratamento é eficaz.

23,1631

664,118 cx

Região crítica:

RC={x : x<xc}

RC={x : x<16,23}


Se a amostra forneceu estimativa da média

16,04 então 16,04<16,23 e rejeitamos H0 ao

nível de significância =0,05 ou =5%.

Portanto o tratamento é eficaz.

Passos para construção do TH.

Passo 1: Estabelecer as hipótese nula e

alternativa;

Passo 2: Definir a forma da região crítica, com

base na hipótese alternativa;

Passo 3: Identificar a distribuição do estimador

e obter sua estimativa;

Passo 4: Fixar e obter a região crítica;

Passo 5: Concluir o teste com base na

estimativa e na região crítica.

Exercício

Uma variável aleatória tem distribuição

normal com desvio padrão igual a 12.

Estamos testando se sua média é igual ou

menor que 20 e coletamos uma amostra de

100 valores dessa variável, obtendo uma

média amostral de 17,4.

Formule as hipóteses.

Obtenha a região crítica e dê a conclusão do

teste para os seguintes níveis de

significância: 1%, 4% e 8%.

Teste de hipóteses - bilateral

Profa. Dra. Juliana Garcia

Cespedes

Teste de hipóteses

Suponha que entre pessoas sadias, a concentração de

uma certa substância no sangue se comporta segundo

um modelo Normal com média 14 unidades/ml e desvio

padrão 6 unidades/ml. Em pessoas doentes a

concentração média se alterada para 18 unidades/ml

com mesmo desvio padrão.

Sadios: N(14,36)

Doentes: N(18,36)


NOVO OBJETIVO:

Verificar se o tratamento produziu algum efeito

benéfico X<18 ou danoso X>18

H0: O tratamento NÃO é eficaz

Ha: O tratamento produz algum efeito (benéfico ou

danoso)

H0: = 18 versus Ha: 18


A região crítica, ou região de rejeição para

o teste de hipóteses bilateral será dada

por:

A região de aceitação é o completar da

região crítica:

}:{ 21 cc xxouxxxRC

}:{ 21 cc xxxxRA


Para fixo, encontramos os ponto críticos xc1 e xc2:

2)(

2)(

)(

316

18

316

18

316

18

)18|()18|(

.)|()(

21

21

21

21

00

cc

cc

cc

cc

zZPezZP

zZouzZP

xXou

n

xXP

xXouxXPRCXP

verdHHrejeitarPIerroP


Os valores de zc1 e zc2 são obtidos na tabela da

distribuição normal, dado um valor para e o

valor crítico é calculado como:

31

618 cici zx

Intervalo de confiança

para com n > 30!!!

Para =0,05:

96,1

)(025,0

1

1

c

c

z

zZP

96,1

)(025,0

2

2

c

c

z

zZP


Logo

A região crítica para =0,05 é:

11,2031

696,118

89,1531

696,118

2

1

c

c

x

x

}11,2089,15:{ xouxxRC


Como Xobs não pertence a RC, aceitamos H0 a

um nível de 5% de significância. Concluímos

que o tratamento não é eficaz.


Também podemos calcular a probabilidade de

acontecer o erro tipo II

Para calcular , nós conhecemos o valor de :

)18|(

.)|(

)(

00

RCXP

verdHHrejeitarP

IerroP


Mas para calcular a probabilidade de ocorrer o

erro tipo II não sabemos quem é .

)18|(

)|(

)(

00

RCXP

falsaHHrejeitarNãoP

IIerroP

Quem é o

verdadeiro

valor de ?


Desta forma será uma função dos valores de

definido na região da hipótese alternativa.

Então a probabilidade do erro tipo II será

denotada por ().

Por exemplo, se verdadeiro for =16

)16|11,2089,15(

)16|(

)()16(

XP

RCXP

IItipoerroP


5397,0

499,00398,0

)81,310,0(

3136

1611,20

3136

16

3136

1689,15)16(

ZP

XP

Se o verdadeiro =16, estamos concluindo

equivocadamente, com probabilidade de

0,5397, que H0 é verdadeiro.

Exercício

Um relatório de uma companhia afirma que 40%

de toda a água obtida, através de poços

artesianos no nordeste, é salobra.

Mas alguns dizem que a proporção é maior,

outros que é menor.

Para diminuir as dúvidas, sortearam 400 poços

e observou-se, em 120 deles, água salobra.

Qual seria a conclusão, ao nível de 3%?

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