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AULA 00: Conceitos iniciais
1. APRESENTAO
..............................................................................................................................
2
2. CRONOGRAMA DO CURSO
.............................................................................................................
4
3. ESTATSTICA: INTRODUO
...........................................................................................................
6
4. FORMAS DE APRESENTAO DE DADOS
.....................................................................................
14
5. FORMAS NO AGRUPADAS DE APRESENTAO DE
DADOS........................................................
14
6. DADOS TABELADOS AGRUPADOS POR VALOR
..........................................................................
20
7. FORMAS GRFICAS DE APRESENTAO DE DADOS AGRUPADOS POR VALOR
........................... 34
8. DADOS TABELADOS AGRUPADOS EM CLASSES
.........................................................................
37
9. FORMAS GRAFICAS DE APRESENTAO DE DADOS EM CLASSE
................................................. 41
10. QUESTES APRESENTADAS EM AULA
.....................................................................................
50
11. GABARITO
................................................................................................................................
57
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1. APRESENTAO
Ol pessoal!
Meu nome Vtor Menezes, sou Auditor Federal de Controle Externo
do Tribunal de Contas da Unio (turma de 2006), lotado na Secretaria
de Controle Externo do TCU em So Paulo.
Sou formado em engenharia eletrnica pelo Instituto Tecnolgico de
Aeronutica (ITA). Logo na faculdade percebi que meu negcio era
fazer concurso, e sa da graduao direto para meu primeiro cargo:
Auditor Fiscal do ICMS de Minas Gerais. L fiquei durante 1 ano e
meio, e vim parar no cargo que hoje ocupo, no Tribunal de
Contas.
Dou aulas para concursos pblicos desde 2005, sempre na rea de
exatas. Hoje tenho a felicidade de ser professor do Estratgia
Concursos, o melhor curso em pdf do Brasil.
Tambm sou professor do excelente site de vdeo-aulas Eu Vou
Passar.
Por ltimo, mas no menos importante: sou professor do Tec
Concursos, o melhor site de questes do pas. A propsito, a
ferramenta se enquadra perfeitamente como complemento para qualquer
curso que voc fizer. S de Estatstica so 1.261 questes comentadas
(nmero que aumenta frequentemente).
Bom, chega de falar do prof e vamos falar do curso.
O curso ser de teoria e exerccios. Nos basearemos no edital do
ltimo concurso. O contedo o seguinte:
ESTATSTICA: 1. Funes de distribuio e densidade de probabilidade.
Momentos das distribuies. 2. Teorema de Bayes. 3. Amostragem. 4.
Inferncia estatstica. Estimao por ponto e por intervalo. 5.
Independncia estatstica. 6. Expectncia. 7. Desvio padro. 8.
Varincia. 9. Covarincia. 10. Correlao. 11. Anlise de varincia. 12.
Intervalo de confiana. 13. Teste de hipteses. 14. Problemas com
dados. 15. Regresso simples.
Importante: o contedo acima abrange to somente estatstica
inferencial. No curso que dei para o Bacen/2009 eu me restringi
apenas a tais tpicos, supondo que os alunos j saberiam estatstica
descritiva (que pr-requisito para a inferncia). Resultado: tive que
dar praticamente um curso de descritiva via e-mail / frum para
vrios alunos.
Recentemente, no curso para o STN/2013, mesma coisa. O edital
(inicialmente) previa apenas inferncia. Pulei a parte de
descritiva. Resultado: muitas dvidas no frum.
Nesse curso no vou repetir isso. No d para contar que todo mundo
j chega com base em estatstica descritiva. Assim o contedo abordado
ser maior que esse a de cima. Vou dar os principais tpicos de
estatstica descritiva, para s depois entrar no contedo constante do
edital.
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Ah professor, mas eu j domino descritiva, no quero perder tempo
com isso!
A preocupao justa. Se voc j tem uma boa base em descritiva, peo
ento que aguarde algumas semanas, ignore as aulas iniciais (0, 1 e
2), e comece os estudos diretamente nas aulas de anlise combinatria
e probabilidade.
Se voc no tem base em descritiva, timo, para voc mesmo que estou
aumentando o tamanho do curso: leia todas as aulas! Vocs vero que
compreender bem descritiva fundamental para entender a parte de
inferncia. No final o segredo est justamente nisso: entender. Se
voc partir direto para um decoreba, estatstica vai virar uma matria
extraordinariamente complicada, pois a quantidade de frmulas
grande. Melhor entender de onde elas vm, que ajuda bastante.
Outra coisa: na falta de meno expressa a distribuies bivariadas
e multivariadas, vou deix-las de fora. O curso ficaria grande de
mais por algo pouco cobrado, mesmo em provas da rea de
estatstica.
Finalmente: no localizei questes sobre problemas com dados que
no envolvessem estatstica experimental, motivo pelo qual no
abordaremos tal assunto.
Exerccios: na falta de definio de banca, iremos utilizar questes
das principais bancas do pas, e que j foram responsveis pelo
concurso do Bacen em anos anteriores: Esaf, Cespe, FCC e
Cesgranrio. Podemos tambm complementar o estudo com questes de
outras bancas.
Vamos ao cronograma do curso:
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2. CRONOGRAMA DO CURSO
Aula Data Contedo Tpicos do edital
0 Disponvel Conceitos iniciais. Viso geral sobre os objetivos da
estatstica descritiva e da estatstica inferencial. Formas de
apresentao de dados. Dados brutos, dados em rol, diagrama de ramos
e folhas, dados tabelados (agrupados por valor e agrupados em
classe). Tipos de frequncia: simples, absoluta, relativa,
acumulada. Formas grficas de apresentao de dados: grficos de
colunas, de setores, histograma, polgono de frequncias.
NO CONSTA DO EDITAL PR-REQUISITO PARA DEMAIS MATRIAS
1 2/5/2013 Mdia aritmtica, mdia geomtrica, mdia harmnica, mdia
ponderada. Propriedades da mdia
2 9/5/2013 Medidas de disperso: desvio padro, varincia,
amplitude, desvio mdio, coeficiente de variao, intervalo
interquartlico. Box-plot.
3 16/5/2013 Anlise combinatria: combinao, permutao, arranjos,
princpio fundamental da contagem.
4 23/5/2013 Probabilidade: eventos e espao amostral,
probabilidade para eventos equiprovveis, abordagem frequentista da
probabilidade, probabilidade condicional, probabilidade da
interseco, probabilidade da unio, eventos independentes, eventos
mutuamente excludentes, probabilidade do evento complementar,
Teorema de Bayes, Teorema da probabilidade total, clculo de
probabilidades usando anlise combinatria.
2. Teorema de Bayes.
5 30/5/2013 Variveis aleatrias: introduo. Esperana, varincia e
desvio padro de variveis aleatrias, covarincia, funo densidade de
probabilidade, funo distribuio de probabilidade, momentos
1. Funes de distribuio e densidade de probabilidade. 5.
Independncia estatstica. 6. Expectncia. 7. Desvio padro. 8.
Varincia. 9. Covarincia.
6 6/6/2013 Variveis aleatrias discretas: distribuio uniforme
discreta, distribuio de Bernoulli, distribuio binomial, distribuio
de
Momentos das distribuies.
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Poisson, distribuio geomtrica, distribuio, hipergeomtrica
7 13/6/2013 Variveis aleatrias contnuas: distribuio uniforme
contnua, distribuio normal, distribuio exponencial, aproximao
normal binomial, distribuio de Qui-quadrado, distribuio T de
Student, distribuio F de Snedecor, distribuio exponencial.
Amostragem: amostragem aleatria simples, amostragem estratificada,
amostragem por conglomerados, amostragem por julgamento.
Momentos das distribuies. 3. Amostragem.
8 20/6/2013 Estimadores pontuais e distribuies amostrais: mdia
amostral, varincia amostral, proporo amostral.
Caractersticas dos estimadores: no viciados, mxima
verossimilhana, mnimos quadrados, momentos, propriedades
assintticas dos estimadores, estimadores de varincia mnima e
eficincia dos estimadores.
4. Inferncia estatstica. Estimao por ponto e por intervalo. 12.
Intervalo de confiana.
9 27/6/2013 Intervalos de confiana. Tamanho da amostra e erro
mximo da estimativa. Fator de correo para populaes finitas.
4. Inferncia estatstica. Estimao por ponto e por intervalo.
10 4/7/2013 Testes de hipteses: conceitos iniciais (nvel de
significncia, erros de tipo I e II, poder do teste), teste para a
mdia, teste para a varincia, teste para propores (usando a
distribuio normal, a distribuio binomial e a distribuio de
Qui-quadrado).
4. Inferncia estatstica. 13. Teste de hipteses.
11 11/7/2013 Correlao linear. Anlise de varincia 10. Correlao
11. Anlise de varincia.
12 18/7/2013 Regresso linear simples. Clculo das estimativas dos
parmetros. Anlise de varincia da regresso. Inferncias sobre as
estimativas dos parmetros.
15. Regresso simples. 11. Anlise de varincia.
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3. ESTATSTICA: INTRODUO
A estatstica cobrada em concursos usualmente dividida em duas
partes: a descritiva e a inferencial. Para melhor entendimento,
vejamos um exemplo.
Considere que nas eleies presidenciais de 2014, Dilma Rousseff e
Acio Neves vo disputar o segundo turno.
O Jornal Nacional ento encomenda junto ao Data Folha uma
pesquisa de inteno de voto.
Muito bem. O conjunto de todos os eleitores do pas a nossa
populao.
POPULAO = TODO
Existem duas maneiras de nos referirmos populao.
Podemos dizer que a populao o conjunto de todos os eleitores.
Seria formada pelo Joo, pelo Jos, pela Maria, etc.
Nesse primeiro caso, dizemos que a populao formada por elementos
que possuem determinada caracterstica. Todos os eleitores so
pessoas que possuem determinada caracterstica: tm ttulo de eleitor
e podem votar para presidente.
Podemos tambm nos referir aos atributos que essas pessoas tm.
Nesse segundo caso, a populao seria formada pelos conjuntos das
intenes de voto:
{Dilma, Dilma, Acio, Nulo, Dilma, Branco, Acio, ...}
Seria timo se o Data Folha pudesse entrevistar todos os
eleitores do pas. Se ele fizesse isso, teramos um censo. O censo
consiste na anlise de todos os elementos da populao.
O grande problema que o censo geralmente caro e demorado.
Imaginem o tanto de gente que o Data Folha teria que contratar para
entrevistar todos os eleitores do pas. E o tempo que ia
demorar...
Para evitar esse trabalho todo, o que se faz geralmente uma
amostragem. Uma amostra um subconjunto da populao. um pedao da
populao.
AMOSTRA = PARTE
E isso que o Data Folha faz. Ele escolhe um pedacinho da populao
(ou seja, alguns eleitores), entrevista, e faz sua pesquisa.
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Muito bem. Suponha ento que o Data Folha fez a tal da pesquisa.
Segue um trechinho do resultado:
{Dilma, Dilma, Acio, Nulo, Dilma, Branco, Acio, ...}
Simplesmente pegar essa listagem e entregar para o Jornal
Nacional nada vai adiantar. O que que o William Bonner vai fazer
com isso? Ele vai ler cada inteno de voto?
No, assim no d.
Antes de tudo, o Data Folha precisa apresentar o resultado de
sua pesquisa. Pode-se fazer isso usando grficos, tabelas,
diagramas. Podemos tambm utilizar medidas que descrevem,
resumidamente, o conjunto de dados. Tudo isso o objeto de estudo da
estatstica descritiva.
Assim, o Data Folha poderia dizer que, para a pesquisa feita, a
Dilma teve 40% das intenes de voto e o Acio teve 37% das intenes de
voto. Esses dois percentuais descrevem, resumidamente, todo o
resultado da pesquisa.
Poderia tambm ter sido feito um grfico:
Agora sim, o William Bonner j vai ter o que mostrar no Jonal.
Ele poder apresentar esse grfico e dizer que a Dilma teve 40% das
intenes de voto.
Ou seja, a estatstica descritiva, como o prprio nome indica,
busca descrever um conjunto de dados.
S que a pesquisa do Data Folha no para por a. Feita a
amostragem, calculadas as propores de intenes de voto para Dilma e
Acio, preciso inferir o que ocorre na
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populao. Nesse momento, utilizamos ferramentas de inferncia
estatstica. Buscamos fazer generalizaes. Generalizar o resultado da
amostra para toda a populao.
O Data Folha calcula ento que, na populao, com 95% de confiana,
a Dilma tem 40% das intenes de voto, com margem de erro de 2% para
mais ou para menos. Ou seja, na populao ela deve ter de 38% a 42%
das intenes de voto. Clculos como esse so objeto de estudo da
estatstica inferencial.
Podemos agora ver algumas questes de concurso:
Questo 1 ARCE 2006 [FCC]
O processo estatstico que consiste em uma avaliao direta de um
parmetro, utilizando-se todos os componentes da populao,
denomina-se:
a) amostragem
b) estimao
c) censo
d) parametrizao
e) correlao
Resoluo:
Quando temos acesso a todos os valores da populao, estamos
realizando um censo.
Gabarito: C.
Questo 2 TERRACAP 2009 [UNIVERSA]
Julgue os itens a seguir.
I Uma cidade possui 1.000 habitantes. Um estatstico,
necessitando fazer uma determinada pesquisa, entrevistou 200
pessoas. correto dizer que, nesse exemplo especfico, de uma amostra
de 1.000 pessoas, o estatstico entrevistou uma populao de 200
indivduos.
II Um estudante tinha 1 moeda, 1 folha de papel em branco e 1
caneta e, com esse material, resolveu fazer uma experincia.
Arremessou uma moeda 20 vezes seguidas. Em cada uma das vezes, ele
verificava se a face sorteada era cara ou coroa. Caso fosse cara,
ele escrevia o nmero 1 no papel. Caso fosse coroa, ele escrevia o
nmero 2 no mesmo papel. No final da experincia, o estudante obteve
7 coroas e somou todos os nmeros existentes no papel. Esse
resultado foi atribudo a uma varivel X. Com isso, o resultado
encontrado para X foi 27.
III Uma fbrica produz 100.000 lmpadas por ms. So sorteadas 100
lmpadas, e essas so mantidas acesas at queimarem, com o objetivo de
calcular a vida mdia desse tipo de lmpada. A experincia, que
utiliza um subconjunto de um grupo para calcular determinado
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parmetro e admite que esse parmetro vlido para todo o grupo, um
problema estudado pela estatstica inferencial.
Assinale a alternativa correta.
(A) Nenhum item est certo.
(B) Apenas os itens I e II esto certos.
(C) Apenas os itens I e III esto certos.
(D) Apenas os itens II e III esto certos.
(E) Todos os itens esto certos.
Resoluo.
Item I: a questo inverteu a utilizao dos termos populao e
amostra. A populao corresponde ao todo, ao conjunto de todos os
elementos que possuem certa caracterstica. No caso, a populao
formada pelos 1.000 habitantes. A amostra qualquer subconjunto da
populao. No caso, a amostra formada pelos 200 indivduos
entrevistados. O item est errado.
Item II:
Foram 7 coroas e 13 caras. A soma dos pontos obtidos fica:
7 2 + 13 1 = 14 + 13 = 27 Realmente o resultado encontrado 27. O
item est certo.
Item III: Quando generalizamos um resultado obtido em uma
amostra para toda a populao, utilizamos ferramentas de inferncia
estatstica. O item est certo.
Gabarito: D
Questo 3 SEFAZ AL 2002 [CESPE]
Julgue os seguintes itens.
1. Um censo consiste no estudo de todos os indivduos da populao
considerada.
2. Como a realizao de um censo tipicamente muito onerosa e(ou)
demorada, muitas vezes conveniente estudar um subconjunto prprio da
populao, denominado amostra.
Resoluo:
1. item est perfeito! Quando analisamos todos os elementos de
uma populao, temos um censo. Contrariamente, quando analisamos
apenas uma parte da populao, temos uma amostra. Raramente se faz um
censo, por razes de custo ( um procedimento caro) e tempo ( um
procedimento demorado).
Item certo
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2. Item correto
Para melhor entendimento, considere o censo realizado pelo IBGE.
necessrio contratar muitas e muitas pessoas para percorrer o pas
inteiro entrevistando as pessoas. Ou seja, algo caro. Alm disso,
demora para conseguir abarcar todas as famlias do pas (
demorado).
Por isso to difcil realizar um censo. Um procedimento
alternativo analisar s um pedao da populao, chamado de amostra. A
partir da amostra obtida possvel ter ideia do que ocorre na
populao.
Gabarito: certo, certo
3.1. Tipos de variveis
Para saber que tipo de grfico ou que tipo de medida podemos
calcular, importante conhecer os tipos de variveis.
Uma varivel de interesse pode ser qualquer coisa. Pode ser o
nmero de analfabetos de Belo Horizonte ao longo da dcada de 90, a
temperatura mxima anual das cidades do Centro-Oeste, o PIB
brasileiro ao longo do governo FHC etc.
Pois bem, estamos agora interessados em classificar as
variveis.
Uma varivel pode ser qualitativa ou quantitativa. Para entender
a diferena entre ambas, vou adaptar um exemplo constante do livro
Estatstica Bsica, dos autores Bussab e Morettin.
Considere uma pesquisa que ser feita junto aos funcionrios de
uma empresa. O questionrio contm os seguintes campos:
1 Grau de instruo (fundamental, mdio, superior)
2 Estado civil (solteiro, casado)
3 Nmero de filhos
4 Regio de procedncia (Centro-Oeste, Nordeste, Sul, Norte,
Sudeste)
5 - Altura
Todos esses quatro campos correspondem a variveis.
As possveis respostas para o campo 3 (nmero de filhos) so
nmeros. A pessoa pode ter 0, 1, 2, 3, 4 filhos. Tudo isso nmero.
Uma varivel cujas realizaes so numricas dita quantitativa.
As variveis quantitativas podem ser discretas ou contnuas.
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Uma varivel discreta apresenta valores que correspondem a um
conjunto enumervel de pontos da reta real.
No entendi professor, como assim?
o seguinte. Quando uma varivel discreta, ns conseguimos enumerar
seus valores. Por exemplo, para o campo 3, os possveis valores
so:
1 valor: zero filhos
2 valor: 1 filho
3 valor: 2 filhos
E assim por diante.
Ns conseguimos ordenar os possveis valores. Mais que isso:
conseguimos enumera-los. Ou seja, conseguimos relacionar todos
eles, em uma dada ordem. Conseguimos dizer qual o primeiro valor
possvel, qual o segundo valor possvel etc. Sabendo um dado valor,
ns conseguimos determinar o prximo.
J o campo 5 (altura) corresponde a uma varivel contnua. Ns no
conseguimos ordenar seus possveis valores. Dada uma altura, no
conseguimos identificar qual a altura que viria a seguir. Isto
ocorre porque ela pode assumir qualquer valor num intervalo
real.
Considere a altura de 1,70 m. Qual a altura que viria logo aps
este valor? No d para saber.
Uma pessoa poderia dizer que 1,71 m.
A outra pessoa poderia dizer que 1,701 m.
Outra pessoa diria que 1,7001 m.
E assim por diante. Para qualquer nmero que voc pensar, possvel
determinar outro que esteja ainda mais prximo de 1,70. A varivel
altura contnua.
O campo 1 corresponde a uma varivel qualitativa. Suas possveis
realizaes no so nmeros. So um atributo, ou uma qualidade. Apesar de
suas possveis realizaes no serem numricas, possvel orden-las.
Dizemos que se trata de uma varivel qualitativa ordinal.
possvel ordena-las? Como assim?
Ns conseguimos estabelecer uma ordem. Por exemplo, comeando do
grau de instruo inferior para o superior:
1 : nvel fundamental
2: nvel mdio
3: nvel superior.
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Existem outras variveis qualitativas que no podem ser ordenadas.
So as variveis qualitativas nominais. Um exemplo a varivel
associada aos campos 2 e 4. Voc no consegue ordenar as regies de
procedncia da forma como fizemos para o grau de escolaridade.
Resumindo, os tipos de variveis so:
quantitativas discretas (nmeros que podem ser enumerados)
quantitativas contnuas (nmeros que no podem ser enumerados)
qualitativas ordinais (atributos que podem ser ordenados)
qualitativas nominais (atributos que no podem ser ordenados)
Como vocs vero ao longo do curso, as questes de estatstica
basicamente se restringem s variveis quantitativas (discretas ou
contnuas). Para elas, poderemos calcular medidas como mdia,
mediana, moda, varincia, desvio padro, etc.
Questo 4 Prefeitura do Rio de Janeiro 2002 [FJG]
Os dados de um determinado estudo representam muitas variveis
para cada uma das pessoas que se submeteram ao estudo. Uma varivel
considerada qualitativa a seguinte:
a) idade
b) altura
c) sexo
d) peso
Resoluo:
As variveis "idade", "altura" e "peso" correspondem a
quantidades. So todas variveis quantitativas.
Por exemplo, podemos ter 45 anos de idade, 1,80 metros de altura
e 87 kg. Tudo isso nmero.
A varivel "sexo" no quantitativa. Ela tem duas realizaes,
correspondentes a dois diferentes atributos: "masculino" e
"feminino". Trata-se de uma varivel qualitativa.
Gabarito: C
Questo 5 PF 2004 [CESPE]
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Nos ltimos oito anos, a populao carcerria em uma unidade da
Federao cresceu de 1.200 presos (1996) para 4.000 presos (2003).
Essa populao carcerria formada por presos nas casas penais,
seccionais e delegacias. Por causa desse crescimento, foram
construdas novas cadeias pblicas, penitencirias e novos blocos
carcerrios. Mesmo assim, no foi possvel resolver o problema de
superlotao. Em 1996, a capacidade total de lotao das casas penais,
seccionais e delegacias era de apenas 800 vagas. Aps a inaugurao
das novas instalaes em 2003, o nmero de vagas aumentou para 3.200,
o que resulta em deficit de 800 vagas. O grfico acima apresenta a
evoluo temporal da populao carcerria (linha contnua) e do nmero de
vagas (linha pontilhada) de 1996 a 2003.
Com base na situao hipottica e no grfico apresentados ao lado,
julgue o item a seguir.
A capacidade total de lotao das casas penais, seccionais e
delegacias (nmero de vagas) em 2000 uma varivel aleatria
contnua.
Resoluo:
A capacidade total de lotao no pode assumir qualquer valor em um
intervalo real. Ela assume apenas valores inteiros, como: 1, 2, 3,
4, .... Logo, uma varivel discreta.
Alm disso, se tomarmos seu valor exclusivamente no ano de 2000,
temos uma observao, algo fixo, constante, que no varia. Ou seja,
seu valor para o ano 2000 uma constante, e no varivel.
Gabarito: errado.
Questo 6 PF 2004 [CESPE]
Um projeto de servios de assistncia social foi desenvolvido para
ser implementado em todas as delegacias e plantes policiais de um
estado brasileiro. Porm, antes da sua aplicao em todo o estado, ele
foi implementado em 10 municpios, em carter experimental, por 12
meses. Esses municpios foram escolhidos aleatoriamente entre os 250
municpios do estado. Nesse perodo experimental, foram registradas
48.000 ocorrncias nos 10 municpios selecionados. Em 25% dessas
ocorrncias, as pessoas envolvidas foram encaminhadas aos
assistentes sociais. A partir dessas ocorrncias, os 100 assistentes
sociais envolvidos nesse projeto atenderam, em mdia, 500 pessoas
por ms. Os resultados
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obtidos foram positivos, observando-se uma queda na reincidncia
de denncias e ocorrncias registradas nesses municpios aps a
implementao do projeto.
A partir dos dados apresentados no texto acima, julgue o item
subseqente.
O nmero de ocorrncias registradas durante o perodo experimental
de 12 meses nos 10 municpios selecionados (48.000) a realizao de
uma varivel aleatria contnua.
Resoluo:
O nmero de ocorrncias, sendo fruto de uma contagem, pode apenas
assumir valores inteiros no negativos, tais como: 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7.... Logo, no pode assumir qualquer valor em um dado intervalo
real. Deste modo, uma varivel discreta, e no contnua.
Gabarito: errado
4. FORMAS DE APRESENTAO DE DADOS
Antes de estudarmos as medidas que descrevem de forma sucinta um
conjunto de dados, precisamos saber de quais formas os dados podem
ser apresentados. Basicamente, eles podem ser organizados das
seguintes formas:
em ROL
em uma tabela, agrupados por valor
em uma tabela, agrupados em classes.
H ainda as formas grficas, que acabam guardando correspondncia a
pelo menos uma das formas bsicas acima indicadas.
5. FORMAS NO AGRUPADAS DE APRESENTAO DE DADOS
5.1. Dados brutos
Considere uma pesquisa salarial no Bairro Alfa.
Para realizar a pesquisa, entrevistamos alguns chefes de famlia
e perguntamos sobre seus salrios.
Os resultados obtidos foram:
Salrio dos moradores do Bairro Alfa amostra com dez salrios: R$
5.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 7.000,00; R$ 1.000,00; R$
4.000,00, R$ 2.000,00, R$ 4.000,00, R$ 3.000,00, R$ 6.000,00.
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O que significa a listagem acima? Significa que chegamos para um
primeiro morador e perguntamos: qual o seu salrio? Ele responde: R$
5.000,00. A gente pega e anota este valor. Fazemos a mesma pergunta
para uma segunda pessoa. Ela responde: R$ 2.000,00. A gente pega e
anota este valor. E assim por diante.
A estes dados desorganizados, chamamos de dados brutos. Eles
esto simplesmente na ordem em que foram coletados. No receberam
qualquer tratamento.
5.2. Rol
Se colocarmos nossos dados em ordem crescente (ou decrescente)
temos um ROL. Geralmente em concurso s aparece o rol crescente. O
rol da nossa pesquisa ficaria assim:
Rol: R$ 1.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$
3.000,00; R$ 4.000,00; R$ 4.000,00; R$ 5.000,00; R$ 6.000,00; R$
7.000,00.
O rol j uma primeira forma de organizar nossos dados. tambm uma
maneira de apresentarmos nossos dados. Como ainda vamos utilizar
este exemplo durante algum tempo ao longo da aula, vamos
simplificar a escrita. Vamos tirar o smbolo R$ e indicar apenas as
unidades de milhar.
Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7.
Ento rol apenas isto. Nada mais que um conjunto de nmeros
(resultados de uma pesquisa, de um experimento etc.), colocados em
ordem crescente (ou decrescente).
muito comum que se queira referir a um elemento em particular da
nossa srie de dados. Uma notao muito usual : (l-se xis, ndice i).
utilizada para nos referimos ao i-simo elemento. Vamos dar um
exemplo.
Quem o terceiro elemento? A pergunta pode ser reescrita
como:
Qual o valor de ? Resposta: o terceiro elemento 2 ( = 2)
Para chegar resposta, simplesmente nos dirigimos ao Rol e
contamos. O primeiro elemento o 1, o segundo elemento o 2 e o
terceiro elemento tambm 2.
Abaixo seguem mais valores de : X1 = 1; X2 = 2; X3 = 2; X4 = 2;
X5 = 3; X6 = 4; X7 = 4; X8 = 5; X9 = 6; X10 = 7.
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Somatrio
Conhecendo esta notao, podemos apresentar uma ferramenta muito
importante em estatstica: o SOMATRIO.
O smbolo de somatrio :
A utilidade do somatrio possibilitar uma escrita mais
compacta.
Desejamos saber qual o salrio total das pessoas pesquisadas. Ou
seja, queremos somar todos os valores de salrios das dez pessoas
entrevistadas.
Precisamos fazer o seguinte:
X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8 + X9 + X10 = 36.
O salrio total das dez pessoas entrevistadas de R$
36.000,00.
Em vez de escrever desta forma, poderamos escrever:
= 36
O que significa esta simbologia? Significa que queremos somar
valores (pois h um smbolo de somatrio). Que valores queremos somar?
Queremos somar valores de Xi. Quais valores de Xi? Aqueles para os
quais i vai de 1 at 10.
A expresso = 36 nada mais que uma forma compacta de escrever X1
+ X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8 + X9 + X10 = 36.
Passemos para outro exemplo. Para a nossa mesma srie de dados,
vamos calcular
Sabemos que queremos somar valores (pois h um smbolo de
somatrio). Queremos somar valores de Xi para os quais i vai de 2 at
5. Assim, queremos calcular a seguinte soma:
X2 + X3 + X4 + X5
Substituindo os valores, ficamos com:
= + + + = 2 + 2 + 2 + 3 = 9
Exemplos
Exemplo 1:
Considere a seguinte sequncia de dados:
2, 6, 1, 4, 6.
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Obtenha o rol correspondente
Exemplo 2:
Considere a seguinte sequncia de dados:
3, 1, 4, 2, 7, 3
Obtenha o valor de =
3
1i
iX
Exemplo 3:
Para a mesma sequncia de dados do exerccio anterior, obtenha (
)=
4
1
2
i
iX .
Resoluo
Resoluo - Exemplo 1:
ROL: 1, 2, 4, 6, 6
Resoluo Exemplo 2:
Primeiro passo: obtendo o ROL.
ROL: 1, 2, 3, 3, 4, 7
Identificando os termos.
X1 = 1; X2 = 2; X3 = 3; X4 = 3; X5 = 4; X6 = 7
Fazendo a soma:
= + + = 1 + 2 + 3 = 6
Resoluo Exemplo 3:
Fazendo a soma:
= 1 + 2 + 3 + 3 = 1 + 4 + 9 + 9 = 23
Propriedades do somatrio
O somatrio tem duas propriedades muito importantes, abaixo
resumidas:
+ = + =
-
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Em palavras:
O somatrio da soma a soma dos somatrios
O somatrio da diferena a diferena dos somatrios
Para entendermos isso, segue um exemplo.
Considere que X represente o seguinte conjunto de dados:
X: 2, 4, 6
Temos tambm o conjunto Y:
Y: 2, 3, 3
Vejam que:
= 2 + 4 + 6 = 12 = 2 + 3 + 3 = 8
Omiti os limites do somatrio, mas considere que estamos somando
todos os trs valores (i varia de 1 at 3).
Agora vamos determinar o conjunto correspondente diferena entre
X e Y:
2 2 0
4 3 1
6 3 3
Vejam que:
= 0 + 1 + 3 = 4 Que exatamente igual diferena dos somatrios:
= 4 = 12 8
Propriedades do somatrio:
+ = + =
5.3. Diagrama de ramos e folhas
A primeira forma de organizao de dados que ns vimos foi o
ROL.
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Pois bem, existe outra forma de apresentao de dados que guarda
perfeita correspondncia com o ROL. Costumo dizer que um ROL
modificado. o diagrama de ramos e folhas.
No diagrama de ramos e folhas ns separamos cada nmero em duas
partes.
Os diagramas que mais caem em prova separam a unidade de um lado
e o resto do nmero do outro lado. Assim, considere o seguinte
ROL:
10, 11, 13, 14, 15, 15, 16, 18, 18, 19, 20, 22, 25, 26, 29.
Se quisssemos representar esses dados por meio de um diagrama de
ramos e folhas, ficaria assim:
1 0134
1 556889
2 02
2 569
Observem como separamos cada nmero em duas partes. Na coluna da
esquerda temos as dezenas. As dezenas seriam os ramos. Do lado
direito, temos as unidades, que seriam as folhas. As folhas se
prendem aos ramos.
Assim, 1 espao 0134, num diagrama de ramos e folhas, significa
que, no ROL original, ns temos os nmeros 10, 11, 13, 14.
Outro detalhe. muito comum que os diagramas de ramos e folhas
separem as unidades em dois grupos: de 0 a 4 e de 5 a 9.
Para entendermos isso, vamos focar nos nmeros que iniciam com 1
(10, 11, 13, ..., 19). Foram necessrias duas linhas para
representar tais nmeros. Na primeira linha, representamos os nmeros
de 10 a 14 (logo, o algarismo das unidades variou de 0 a 4). Na
segunda linha, representamos os nmeros de 15 a 19 (unidade variando
de 5 a 9).
Ento isso. Os diagramas que mais caem em concursos adotam as
seguintes regras:
separam as unidades do resto do nmero (a unidade seria a
folha)
para cada dezena so necessrias duas linhas: uma para as unidades
de 0 a 4; outra para as unidades de 5 a 9
Por fim, cumpre destacar que no existe uma regra fixa para
construo do diagrama de ramos e folhas. A ideia apenas isso:
dividir os nmeros em duas partes. Em concursos, geralmente
separamos as unidades do restante do nmero. O algarismo das
unidades corresponderia s folhas.
Mas seria perfeitamente possvel, por exemplo, o seguinte
ROL:
ROL: 1,23; 1,24; 1,56; 1,89; 2,31; 2,87; 3,14; 3,67; 4,45; 4,67;
4,89
E poderamos construir o seguinte diagrama:
1 23 24 56 89
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2 31 87
3 14 67
4 45 67 89
Novamente separamos os nmeros em duas partes. Mas as folhas
agora so os nmeros aps a vrgula. E os ramos so as unidades. Alm
disso, no foram necessrias duas linhas para os nmeros iniciados com
1 (um vrgula qualquer coisa). Idem para os nmeros iniciados com 2,
3 e 4.
Exemplo 4:
Considere o seguinte ROL:
23, 24, 25, 26, 28, 28, 32, 38, 43, 44, 48, 51, 55, 59, 60, 65,
76, 79, 82.
Elabore o diagrama de ramos e folhas correspondente, adotando as
seguintes regras:
- separe as unidades (folhas) das dezenas (ramos)
- para cada dezena, utilize duas linhas: uma para algarismos das
unidades indo de 0 a 4; outra indo de 5 a 9.
Resoluo:
2 3 4
2 5 6 8 8
3 2
3 8
4 3 4
4 8
5 1
5 5 9
6 0
6 5
7
7 6 9
8 2
Notem que a primeira linha correspondente dezena setenta est em
branco, pois no h nenhum nmero entre 70 e 74.
6. DADOS TABELADOS AGRUPADOS POR VALOR
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Voltemos ao nosso rol l do comeo da aula, formado pelos salrios
das pessoas do Bairro Alfa.
Rol: R$ 1.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$
3.000,00; R$4.000,00; R$ 4.000,00; R$ 5.000,00; R$ 6.000,00; R$
7.000,00.
Simplificando a escrita, temos:
ROL (salrios em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7.
Como so apenas dez dados, at que no to difcil trabalhar com o
ROL. Agora, imagine que tivessem sido entrevistadas cem mil
pessoas. J pensou ficar escrevendo: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, .... uma
quinhentas vezes. Depois 2, 2, 2, 2 ... umas mil vezes e assim por
diante.
Isso sem levar em conta que ainda poderamos ter valores como 1,1
(mil e cem reais) ou 2,25 (dois mil duzentos e cinquenta
reais).
Com um nmero muito grande de dados, trabalhar com o ROL pode no
ser a melhor opo.
Pois bem, outra maneira de se trabalhar com os dados agrupar os
valores iguais. Colocamos os dados em uma tabela, indicando a
frequncia com que cada valor acontece.
Salrios (em R$ 1.000,00) Frequncia absoluta simples
1 1
2 3
3 1
4 2
5 1
6 1
7 1
Daqui a pouco falamos sobre os vrios tipos de frequncia. Por
enquanto, basta saber que a frequncia absoluta simples nos indica
quantas vezes um valor ocorre.
A frequncia do valor 1 (=mil reais) 1. Isto significa que temos
uma pessoa com o salrio de mil reais.
A frequncia do valor 2 (= dois mil reais) 3. Isto significa que
temos trs pessoas com salrio de dois mil reais. Ou ainda, o salrio
de dois mil reais ocorre trs vezes.
Assim, em vez de escrever 2, 2, 2 (indicando que o valor dois
ocorre trs vezes), apenas colocamos sua frequncia absoluta simples.
Agrupamos todos os salrios de R$ 2.000,00 em uma nica linha.
Dizemos que estamos agrupando os dados por valor.
A frequncia do valor 3 (=trs mil reais) 1. Isto significa que
temos uma pessoa com o salrio de trs mil reais. Ou ainda, o salrio
de trs mil reais ocorre uma vez. E assim por diante.
comum chamar essa relao de valores e suas respectivas frequncias
(que pode ser expressa tanto por meio de tabelas, quanto de
grficos) de distribuio de frequncias.
Vamos agora estudar os outros tipos de frequncia.
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6.1. Frequncias
Um conceito recorrente em estatstica o conceito de frequncia. So
de quatro tipos:
frequncia absoluta simples (f);
frequncia absoluta acumulada (F);
frequncia relativa simples (fr);
frequncia relativa acumulada (Fr).
Todas as frequncias guardam relao com o nmero de ocorrncias de
um valor ou classe de valores. Em seguida, analisaremos cada tipo
de frequncia.
6.2. Frequncias absolutas
A frequncia absoluta simples indica o nmero de ocorrncias de um
valor ou classe de valores (obs: ainda nesta aula veremos o que uma
classe).
Para exemplificar, voltemos aos nossos dados (1, 2, 2, 2, 3, 4,
4, 5, 6, 7).
Quantos valores iguais a 2 ns temos? (ou ainda: quantas pessoas
ganham R$ 2.000,00?).
Resposta: so trs valores iguais a 2 (ou ainda: trs pessoas
ganham R$ 2.000,00).
Dizemos que a frequncia absoluta simples do nmero 2 3.
O nmero 4 ocorre 2 vezes. Assim, a frequncia absoluta simples do
nmero 4 2.
A tabela abaixo mostra as frequncias para cada valor de X.
Salrios (em R$ 1.000,00) Frequncia absoluta simples
1 1
2 3
3 1
4 2
5 1
6 1
7 1
TOTAL 10
Quando os dados esto agrupados por valor, natural que a gente
queira se referir a um especfico valor e sua frequncia. Para tanto,
usamos a notao (xis ndice i) para nos referirmos a cada valor e
(efe ndice i) para nos referirmos a cada frequncia. Deste modo, o
primeiro valor 1. Dizemos que = 1. Sua frequncia tambm igual a 1.
Dizemos que = 1. O segundo valor 2. Ou seja, = 2. E sua frequncia
igual a 3. Portanto, = 3.
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Repare que o total das frequncias absolutas simples 10. E 10
justamente o nmero de pessoas pesquisadas. Isto no coincidncia.
Na tabela acima, indicamos quantas pessoas ganham cada um dos
salrios. Se so 10 pessoas, natural esperar que, somando todas as
frequncias, obtenhamos justamente 10.
Como regra geral, se tivermos n elementos, podemos dizer
que:
=
Para o caso acima, temos 7 valores de frequncia. O somatrio de
todas as frequncias fica:
= + + + + + +
= 1 + 3 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10
A frequncia absoluta acumulada nos d quantas observaes so
menores ou iguais ao valor observado. Para a nossa sequncia de
dados, podemos construir a seguinte tabela:
Salrios (em R$ 1.000,00) Frequncia absoluta acumulada
1 1
2 4
3 5
4 7
5 8
6 9
7 10
Tomemos como exemplo o valor 4 (linha em vermelho).
Quantos valores menores ou iguais a 4 ns temos? (ou ainda:
quantas pessoas ganham de R$ 4.000,00 para baixo?)
Valor
observado (X)
Freqncia absoluta
simples1 12 33 14 25 16 17 1
TOTAL 10
sempre igual a n
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Resposta: temos 7 valores menores ou iguais a 4 (so eles: 1, 2,
2, 2, 3, 4, 4). Ou ainda: sete pessoas ganham salrios menores ou
iguais a R$ 4.000,00.
Portanto, a frequncia acumulada do valor 4 7.
Note que a ltima frequncia acumulada igual a 10 (exatamente o
nmero de dados). Isto no coincidncia. Se o maior valor 7, ento
todos os dados sero menores ou iguais a 7. Portanto, a frequncia
absoluta acumulada do valor 7 10.
importante saber como se faz para, a partir da frequncia
absoluta simples, chegar frequncia absoluta acumulada.
Suponha que temos apenas os valores de frequncias simples e
queremos obter as frequncias acumuladas. Como fazer?
A primeira linha da coluna de frequncia acumulada coincide com a
de frequncia simples.
Assim, o primeiro valor de frequncia acumulada igual a 1.
A partir da segunda linha, os valores comeam a se diferenciar.
Tomamos o valor de frequncia acumulada da linha anterior (no caso
1). Tomamos o valor da frequncia simples da linha atual (no caso
3). Somamos os dois (1+3 = 4) e preenchemos a segunda linha da
coluna de frequncia acumulada. Esta sequencia est expressa nas
linhas de cor vermelha.
Valor
observado (X)
Freqncia absoluta
acumulada1 12 43 54 75 86 97 10
sempre igual a n
Valor
observado (X)
Freqncia absoluta
simples
Freqncia absoluta
acumulada1 1 12 3 43 1 54 2 75 1 86 1 97 1 10
-
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Para a linha seguinte, a mesma coisa.
E o mesmo raciocnio segue at a ltima linha.
tambm importante saber como se calcula, a partir da tabela de
frequncias acumuladas, os valores de frequncias simples. Basta
fazer o procedimento inverso do descrito acima.
A primeira frequncia simples coincide com a primeira frequncia
acumulada.
A partir da segunda linha, os valores comeam a diferenciar.
Tomamos o valor de frequncia acumulada da linha atual (no caso, 4).
Tomamos o valor de frequncia acumulada da linha anterior (no caso,
1). Subtramos um do outro. E obtemos a frequncia simples da linha
atual. Este procedimento est expresso nas linhas azuis.
Valor
observado (X)
Freqncia absoluta
simples
Freqncia absoluta
acumulada1 1 12 3 43 1 54 2 75 1 86 1 97 1 10
1+3=4
Valor
observado (X)
Freqncia absoluta
simples
Freqncia absoluta
acumulada1 1 12 3 43 1 54 2 75 1 86 1 97 1 10
4+1=5
Valor
observado (X)
Freqncia absoluta
simples
Freqncia absoluta
acumulada
Memria
de clculo1 1 1 =12 3 4 =1+33 1 5 =4+14 2 7 =5+25 1 8 =7+16 1 9
=8+17 1 10 =9+1
Valor
observado (X)
Freqncia
absoluta simples
Freqncia
absoluta acumulada1 1 12 3 43 1 54 2 75 1 86 1 97 1 10
-
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Para a linha seguinte, a mesma coisa.
E o procedimento segue at a ltima linha.
6.3. Frequncias relativas
As frequncias relativas so muito parecidas com as absolutas. A
nica diferena que, em vez de estarmos interessados em valores
absolutos, queremos saber valores relativos.
A palavra relativo tem a ver com relao. Em matemtica, relao
sinnimo de diviso.
Pois bem, as frequncias relativas sero obtidas a partir de uma
diviso. Diviso esta em que o denominador o nmero de dados.
A frequncia relativa simples dada pela frequncia absoluta
simples dividida pelo nmero de dados.
Na nossa pesquisa de salrios, temos 10 valores (n = 10). Vamos,
a ttulo de exemplo, calcular a frequncia relativa simples do nmero
2.
O nmero 2 ocorre trs vezes (a frequncia absoluta simples do
nmero 2 trs; isto porque h trs pessoas que ganham R$ 2.000,00).
Para obter a frequncia relativa simples do nmero 2, basta
dividir 3 por 10. A frequncia relativa simples do nmero 2 :
Valor
observado (X)
Freqncia
absoluta simples
Freqncia
absoluta acumulada1 1 12 3 43 1 54 2 75 1 86 1 97 1 10
5-4=1
Valor
observado (X)
Memria de
Clculo
Freqncia
absoluta simples
Freqncia
absoluta acumulada1 =1 1 12 =4-1 3 43 =5-4 1 54 =7-5 2 75 =8-7 1
86 =9-8 1 97 =10-9 1 10
-
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! =310 = 0,3 = 30%
(l-se efe erre ndice dois, pois estamos nos referindo frequncia
relativa simples do segundo valor).
O que isto significa? Significa que trinta por cento das pessoas
pesquisadas ganham R$ 2.000,00.
A tabela abaixo nos mostra as frequncias relativas simples para
os dados.
Salrio (em R$ 1.000,00)
Frequncia absoluta Simples (f)
Frequncia relativa Simples (fr)
1 1 0,1
2 3 0,3
3 1 0,1
4 2 0,2
5 1 0,1
6 1 0,1
7 1 0,1
TOTAL 10 1,0
Observe que cada valor de frequncia relativa igual respectiva
frequncia absoluta dividida por 10 (porque foram 10 pessoas
pesquisadas). Note tambm que a soma de todos os valores da coluna
de frequncia relativa simples igual a 1. Isto sempre acontece.
A frequncia relativa acumulada dada pela diviso da frequncia
absoluta acumulada por n. Fornece-nos o percentual de valores que
so iguais ou menores ao valor analisado. A tabela abaixo mostra os
valores de frequncia relativa acumulada.
Salrios (em R$ 1.000,00)
Frequncia absoluta acumulada )(F
Frequncia relativa acumulada )(Fr
1 1 0,1
2 4 0,4
3 5 0,5
4 7 0,7
Valor
observado (X)
Freqncia
relativa simples1 0,12 0,33 0,14 0,25 0,16 0,17 0,1
TOTAL 1
sempre igual a 1
-
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Salrios (em R$ 1.000,00)
Frequncia absoluta acumulada )(F
Frequncia relativa acumulada )(Fr
5 8 0,8
6 9 0,9
7 10 1,0
O que significa dizer que a frequncia relativa acumulada do
valor 4 0,7? Significa que 70% das pessoas entrevistadas ganham
salrios iguais ou inferiores a R$ 4.000,00.
Note que a frequncia relativa acumulada do ltimo valor igual a
1. Isto sempre acontece.
Saber o que significa cada uma das frequncias muito importante
para qualquer prova de estatstica. Contudo, no h questes que cobrem
exclusivamente o seu conceito. Por isso, na sequncia, trago alguns
exerccios propostos (no so de concursos) s para nos familiarizarmos
com os conceitos vistos.
Por fim, um comentrio. Vimos como, a partir da frequncia
absoluta simples, obter a frequncia absoluta acumulada (e
vice-versa).
Para as frequncias relativas, o procedimento exatamente o mesmo.
Se tivssemos apenas as frequncias relativas simples, para obter as
frequncias relativas acumuladas faramos:
E se tivssemos apenas as frequncias relativas acumuladas, para
obter as frequncias relativas simples faramos o seguinte:
Valor
observado (X)
Freqncia
relativa acumulada1 0,12 0,43 0,54 0,75 0,86 0,97 1
sempre igual a 1
Valor
observado (X)
Freqncia relativa
simples
Freqncia relativa
acumulada
Memria
de clculo1 0,1 0,1 =0,12 0,3 0,4 =0,1+0,33 0,1 0,5 =0,4+0,14 0,2
0,7 =0,5+0,25 0,1 0,8 =0,7+0,16 0,1 0,9 =0,8+0,17 0,1 1
=0,9+0,1
-
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Exemplo 5:
Considere a seguinte sequncia de dados:
2, 3, 1, 2, 4, 3, 9, 2, 10, 5, 12, 4, 4, 7, 2, 4, 1, 10, 3,
3.
a) obtenha o ROL
b) construa a tabela de frequncias absolutas simples
c) construa a tabela de frequncias absolutas acumuladas
d) construa a tabela de frequncias relativas simples
e) construa a tabela de frequncias relativas acumuladas
Resoluo:
a) Para achar o ROL, basta colocar os dados em ordem
crescente.
ROL: 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 7, 9, 10, 10,
12
b)
Valores Frequncia absoluta simples
1 2
2 4
3 4
4 4
5 1
7 1
9 1
10 2
12 1
TOTAL 20
Note que a soma de todas as frequncias simples igual a 20, que
justamente o nmero de dados do nosso ROL.
c) Podemos construir a coluna de frequncias acumuladas a partir
da coluna de frequncia simples.
Valor
observado (X)
Memria de
Clculo
Freqncia
relativa simples
Freqncia
relativa acumulada1 =0,1 0,1 0,12 =0,4-0,1 0,3 0,43 =0,5-0,4 0,1
0,54 =0,7-0,5 0,2 0,75 =0,8-0,7 0,1 0,86 =0,9-0,8 0,1 0,97 =1-0,9
0,1 1
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Valores Frequncia absoluta simples
Frequncia absoluta acumulada
Memria de clculo
1 2 2 =2
2 4 6 =2+4
3 4 10 =6+4
4 4 14 =10+4
5 1 15 =14+1
7 1 16 =15+1
9 1 17 =16+1
10 2 19 =17+2
12 1 20 =19+1
Note que a ltima frequncia acumulada simples igual ao nmero de
dados do nosso ROL (=20).
d) Podemos obter as frequncias relativas simples a partir das
frequncias absolutas simples.
Valores Frequncia absoluta simples
Frequncia relativa simples
Memria de clculo
1 2 0,1 =2/20
2 4 0,2 =4/20
3 4 0,2 =4/20
4 4 0,2 =4/20
5 1 0,05 =1/20
7 1 0,05 =1/20
9 1 0,05 =1/20
10 2 0,1 =2/20
12 1 0,05 =1/20
TOTAL 20 1
Note que a soma de todas as frequncias relativas simples igual a
1.
e) Podemos obter as frequncias relativas acumuladas de duas
formas. A partir da frequncia relativa simples ou a partir da
frequncia absoluta acumulada (dividindo todos os valores por
20).
Primeira forma:
Valores Frequncia relativa simples
Frequncia relativa acumulada
Memria de clculo
1 0,1 0,1 =0,1
2 0,2 0,3 =0,1+0,2
3 0,2 0,5 =0,3+0,2
4 0,2 0,7 =0,5+0,2
5 0,05 0,75 =0,7+0,05
7 0,05 0,8 =0,75+0,05
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Valores Frequncia relativa simples
Frequncia relativa acumulada
Memria de clculo
9 0,05 0,85 =0,8+0,05
10 0,1 0,95 =0,85+0,1
12 0,05 1 =0,95+0,05
Note que o ltimo valor de frequncia relativa acumulada igual a
1.
Segunda forma:
Valores Frequncia absoluta acumulada
Frequncia relativa acumulada
Memria de clculo
1 2 0,1 =2/20
2 6 0,3 =6/20
3 10 0,5 =10/2
4 14 0,7 =14/20
5 15 0,75 =15/20
7 16 0,8 =16/20
9 17 0,85 =17/20
10 19 0,95 =19/20
12 20 1 =20/20
Exemplo 6:
Considere a seguinte tabela:
Valores Frequncia absoluta simples
1 2
3 5
5 2
7 1
Obtenha os valores de frequncia relativa acumulada.
Resoluo
Podemos, a partir da frequncia absoluta simples, obter a
frequncia absoluta acumulada e, a partir desta, obter a frequncia
relativa acumulada.
Obtendo as frequncias absolutas acumuladas:
Valores Frequncia absoluta simples
Frequncia absoluta acumulada
Memria de clculo
1 2 2 =2
3 5 7 =2+5
5 2 9 =7+2
7 1 10 =9+1
Obtendo as frequncias relativas acumuladas:
Valores Frequncia absoluta Frequncia relativa Memria de
clculo
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acumulada acumulada
1 2 0,2 =2/10
3 7 0,7 =7/10
5 9 0,9 =9/10
7 10 1 =10/10
Exemplo 7:
Considere a seguinte tabela:
Valores Frequncia relativa acumulada
1 0,1
4 0,5
6 0,8
15 1,0
Sabendo que ao todo so 50 dados, obtenha os valores de frequncia
absoluta simples.
Resoluo
Vamos obter os valores de frequncia relativa simples.
Valores Memria de clculo
Frequncia Relativa simples
Frequncia relativa acumulada
1 =0,1 0,1 0,1
4 =0,5-0,1 0,4 0,5
6 =0,8-0,5 0,3 0,8
15 =1,0-0,8 0,2 1,0
Agora vamos obter os valores de frequncia absoluta simples.
Valores Frequncia relativa simples
Frequncia absoluta simples
Memria de clculo
1 0,1 5 =0,1 x 50
4 0,4 20 =0,4 x 50
6 0,3 15 =0,3 x 50
15 0,2 10 =02 x 50
Questo 7 MPU/2007 [FCC]
Uma empresa procurou estudar a ocorrncia de acidentes com seus
empregados e realizou um levantamento por um perodo de 36 meses. As
informaes apuradas esto na tabela a seguir:
Nmero de empregados Nmero de meses
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acidentados
1 1
2 2
3 4
4 5
5 7
6 6
7 5
8 3
9 2
10 1
A porcentagem de meses em que houve menos de 5 empregados
acidentados :
a) 50%
b) 45%
c) 35%
d) 33%
e) 30%
Resoluo:
A varivel em estudo o nmero de empregados acidentados em um ms.
Ela assume o valor 1 uma vez. Isto significa que, em uma nica vez,
tivemos 1 acidentado por ms. Por duas vezes, tivemos 2 acidentados
por ms. Por quatro vezes tivemos 3 acidentados por ms. E assim por
diante.
Poderamos representar a nossa varivel pelo seguinte ROL:
Nmero de acidentados por ms: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4,
5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9,
9, 10
Em vez de fazer desta forma, o exerccio agrupou os valores
iguais. Em vez de escrever o nmero 4 cinco vezes, a tabela nos
informa que o nmero 4 tem frequncia 5. Dizemos que os dados esto
agrupados por valor.
Vamos ver em quantos meses houve menos que cinco empregados
acidentados por ms. A tabela abaixo destaca os valores
procurados:
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Em 12 meses tivemos menos que cinco empregados acidentados por
ms (=1+2+4+5).
12 meses representa 33% de 36.
Gabarito: D.
Questo 8 Sefaz AL 2002 [CESPE]
Julgue o seguinte item.
Em uma distribuio de frequncias para um conjunto de n indivduos,
pode-se calcular as frequncias relativas, dividindo-se cada
frequncia absoluta pela amplitude da correspondente classe ou do
intervalo.
Resoluo:
A frequncia relativa igual diviso da frequncia absoluta pela
quantidade total de elementos (n). O item errou ao afirmar que o
denominador a amplitude de classe.
Gabarito: errado
7. FORMAS GRFICAS DE APRESENTAO DE DADOS AGRUPADOS POR
VALOR
7.1. Colunas justapostas
Vamos pegar o mesmo rol trabalhado no comeo da aula (aquela
pesquisa com os salrios dos moradores do bairro Alfa).
Rol: R$ 1.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$
3.000,00; R$ 4.000,00; R$ 4.000,00; R$ 5.000,00; R$ 6.000,00; R$
7.000,00.
Podemos representar estes dados em um grfico de colunas.
Nmero de empregados acidentados Nmero de meses1 12 23 44 55 76
67 58 39 210 1
meses com menos
de 5 empregados
acidentados por
ms
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Este tipo de grfico bem comum no nosso dia a dia. A altura de
cada coluna est relacionada com a respectiva frequncia absoluta de
cada salrio.
Agrupamos todos os salrios de R$ 4.000,00 numa coluna de altura
2, o que indica que duas pessoas ganham R$ 4.000,00 por ms. Ou
ainda, o valor 4.000,00 ocorre duas vezes. Da mesma forma,
agrupamos todos os valores R$ 2.000,00 em uma coluna com altura 3,
que indica que este valor ocorre 3 vezes. E assim por diante.
7.2. Colunas compostas
Aqui ns empilhamos as colunas, de forma que cada pedao tenha
altura proporcional frequncia do respectivo valor. Assim, a coluna
do valor R$ 1.000,00 trs vezes menor que a coluna do valor R$
2.000,00. Se lembrarmos do ROL original, temos que apenas uma
pessoa recebe R$ 1.000,00, enquanto trs pessoas recebem R$
2.000,00.
7.3. Grfico de setores
Igualmente usual o grfico em forma de pizza:
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A rea de cada fatia da pizza proporcional frequncia absoluta do
valor.
Alm destes, h diversos outros tipos de grficos. Apesar de haver
inmeras possibilidades, grficos para dados agrupados por valor
pouco caem em prova.
Questo 9 SENADO 2002 [CESPE]
Julgue o item seguinte.
Considere os resultados apresentados na tabela abaixo, que foram
obtidos a partir de informao da Fundao Coordenao de Aperfeioamento
de Pessoal de Nvel Superior (CAPES), acerca dos programas de
ps-graduao no Brasil avaliados no ano 2000.
Nessa situao, pode estar correta a representao dos dados da
tabela no grfico de setores mostrado abaixo.
Resoluo:
Em um grfico de setores (em forma de pizza), cada setor (cada
fatia da pizza) tem rea proporcional frequncia relativa do valor em
anlise.
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Exemplificando, se a frequncia relativa do conceito 6 de 10%,
ento o setor correspondente ter rea igual a 10% da rea total.
A representao grfica dada no item est correta.
Gabarito: certo
8. DADOS TABELADOS AGRUPADOS EM CLASSES
Na nossa pesquisa salarial no bairro Alfa no so muitos os
valores envolvidos. Foram entrevistadas apenas dez pessoas. Colocar
os dados obtidos em ROL ou em uma tabela, de forma agrupada por
valor, no to trabalhoso.
Agora imagine que pesquisamos os salrios de milhares de pessoas.
Mesmo que colocssemos tais valores em uma tabela, de forma agrupada
(por valor), ainda seriam necessrias muitas e muitas linhas.
Um trechinho da tabela poderia ser:
Valor observado (R$) Frequncia absoluta simples
R$ 500,00 12
R$ 500,01 2
R$ 500,02 3
R$ 500,03 6
... ...
E a tabela continuaria com centenas de linhas.
Nesses casos, preciso agrupar os valores um pouco mais. Podemos
agrup-los em classes.
A tabela poderia ficar assim:
Classe de valor (R$) Frequncia absoluta simples
500,00 at 999,99 661
1.000 at 1.999,99 240
2.000 at 2.999,99 120
3.000 at 3.999,99 68
... ...
Cada faixa salarial uma classe. Classe apenas isto. uma faixa de
valores, ou ainda, um intervalo de valores.
Na primeira classe, temos salrios entre R$ 500,00 e R$ 999,99. A
tabela nos informa que 661 pessoas entrevistadas ganham salrios que
esto nesta faixa de valores.
Na segunda classe, temos salrios entre R$ 1.000,00 e R$
1.999,99. E a tabela informa que 240 pessoas ganham salrios nesta
faixa de valores.
E assim por diante.
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H uma simbologia especfica para representar os dados em classes
de valores. Vamos passar a estud-la. Para tanto, voltemos ao nosso
exemplo da pesquisa salarial dos moradores do bairro Alfa.
Relembrando nosso Rol:
R$ 1.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 2.000,00; R$ 3.000,00;
R$ 4.000,00; R$ 4.000,00; R$ 5.000,00; R$ 6.000,00; R$
7.000,00.
Suponhamos agora que, em vez de divulgarmos todos os dados
obtidos na pesquisa, colocamos apenas a seguinte tabela, agrupando
os valores em classes:
Classes de valores Frequncia absoluta simples
[1;4) 5
[4;7) 4
[7;10) 1
Deste modo, h 5 pessoas que ganham entre R$ 1.000,00 e R$
4.000,00 (incluindo R$ 1.000,00 e excluindo R$ 4.000,00), h quatro
pessoas que ganham entre R$ 4.000,00 e R$ 7.000,00 e h apenas uma
pessoa que ganha entre R$ 7.000,00 e R$ 10.000,00.
No custa nada repetir a utilidade dos dados em classes. No nosso
exemplo, foram apenas dez pessoas entrevistadas. um nmero pequeno.
Poderamos perfeitamente divulgar todos os dados da pesquisa.
J num caso em que o nmero de dados muito grande, divulgar todos
eles pode fazer com que fique difcil de fazer uma leitura adequada
da pesquisa. s vezes se quer publicar o resultado num jornal, numa
revista, num mural. O espao disponvel para as tabelas restrito.
Imagine tentar colocar num mural o resultado de uma pesquisa que
envolveu milhares de valores distintos. invivel apresentar todos
eles. Seriam pginas e pginas de tabelas. Nestes casos, til
apresentar somente a quantidade de valores em cada classe.
Assim procedendo, temos a vantagem de ganhar espao e de
facilitar uma visualizao geral dos dados. S que, por outro lado,
perde-se um pouco de informao. Por exemplo, analisando apenas a
tabela com os valores em classes, no sabemos qual o salrio de cada
uma das cinco pessoas que ganham entre R$ 1.000,00 e R$ 4.000,00.
Pode ser que todas elas ganhem um salrio de R$ 2.000,00. Pode ser
que cada uma ganhe um salrio diferente (por exemplo: R$ 1.500,00;
R$ 1.525,32; R$ 1.678,00; R$ 3.980,05; R$ 3.988,00). E poderamos
listar inmeras outras possibilidades. Enfim, no temos como
descobrir o salrio de cada uma delas. Apenas sabemos que h cinco
pessoas que ganham entre R$ 1.000,00 e R$ 4.000,00.
Resumindo: com os dados em classes, ganhamos espao, mas perdemos
informao.
Aqui tambm podemos usar a expresso distribuio de frequncias, a
exemplo do que fizemos com os dados agrupados por valor. L tnhamos
a relao entre frequncias e respectivos valores. Aqui temos a relao
entre as frequncias e respectivas classes.
Agora vamos detalhar um pouco mais a representao em classes de
valores.
Vejamos a classe [4; 7). O colchete ao lado do quatro indica que
o nmero 4 faz parte da classe. O parntesis ao lado do sete indica
que o nmero 7 no faz parte da classe.
Logo, na classe de 4 a 7, estamos contando todas as pessoas que
ganham de quatro mil reais (inclusive as que ganham exatamente R$
4.000,00) at sete mil reais (sem contar as
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que ganham exatamente R$ 7.000,00). Na verdade, como se nossa
classe envolvesse as pessoas que ganham de R$ 4.000,00 at R$
6.999,99.
E se a nossa classe fosse assim: [4; 7]?
Caso a nossa classe fosse [4;7], com dois colchetes, estaramos
levando em considerao as pessoas que ganham exatamente R$ 4.000,00
e tambm as que ganham exatamente R$ 7.000,00.
E se nossa classe fosse (4; 7)?
A estaramos levando em conta as pessoas que ganham de R$
4.000,01 at R$ 6.999,99.
Uma outra forma de representar a classe [4;7) seria assim:
4 7
Ao lado do nmero quatro temos um trao vertical. Significa que
estamos levando em conta as pessoas que ganham exatamente R$
4.000,00. Ao lado do nmero sete no tem um trao vertical. Significa
que no estamos levando em conta as pessoas que ganham exatamente R$
7.000,00.
E se a representao fosse assim: 4 7?
A no levaramos em conta nenhum dos extremos (pois no h nenhum
trao vertical). Estaramos nos referindo s pessoas que ganham de R$
4.000,01 a R$ 6.999,99.
Na classe [4; 7) dizemos que 4 o limite inferior. Dizemos tambm
que 7 o limite superior.
A tabela abaixo mostra o limite inferior e superior para cada
classe.
Classes de valores Limite inferior Limite superior
[1;4) 1 4
[4;7) 4 7
[7;10) 7 10
muito nome para saber no ? E vamos a mais alguns nomes...
diferena entre os limites superior e inferior, chamamos de
amplitude de classe. No nosso exemplo, todas as classes tm a mesma
amplitude de 3.
Classes de valores Limite inferior Limite superior
Amplitude de classe
[1;4) 1 4 3 = 4 1 [4;7) 4 7 3 (= 7 4)
[7;10) 7 10 3 (= 10 7) E, por fim, vamos ao ponto mdio de
classe. O ponto mdio de classe a mdia dos limites superior e
inferior.
Classes de valores Ponto mdio
[1;4) 2,5
[4;7) 5,5
[7;10) 8,5
Na primeira classe os limites so 1 e 4. Ento o ponto mdio da
primeira classe fica:
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1 + 42 = 2,5
Para as demais classes, o clculo anlogo.
Ah, outra coisa muito importante: a densidade de frequncia.
Densidade de frequncia igual frequncia simples dividida pela
amplitude de classe.
Podemos tanto calcular:
A diviso entre a frequncia absoluta simples, dividida pela
amplitude de classe;
A diviso entre a frequncia relativa simples, dividida pela
amplitude de classe;
O mais importante dos clculos o da densidade de frequncia
relativa (segundo item acima).
Vejamos como fazer:
Classes de valores
Frequncia relativa
Amplitude de classe
Densidade de freq. relativa
[1;4) 0,5 3 0,5/3 = 0,166
[4;7) 0,4 3 0,4/3 = 0,133
[7;10) 0,1 3 0,1/3 = 0,0333
Utilizaremos o conceito de densidade de frequncia relativa
quando estudarmos as medidas separatrizes.
Questo 10 SEFAZ SC 1998 [FEPESE]
A tabela abaixo mostra a distribuio de frequncia dos salrios
mensais, em reais, de 95 funcionrios da empresa TUDO TOPA LTDA.
Em relao a essa tabela, a porcentagem de funcionrios que ganham
menos de R$ 7.000,00 de:
a) 21,1%
b) 15,7%
c) 36,9%
d) 63,1%
e) 78,9%
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Resoluo:
Abaixo destacamos as frequncias correspondentes aos funcionrios
que ganham menos de R$ 7.000,00:
Somando todas as frequncias:
12 + 10 + 20 + 18 = 60 60 funcionrios, entre os 95 existentes,
ganham menos de R$ 7.000,00.
O percentual de funcionrios correspondente :
6095
60100 = 60%
Quando substitumos o denominador 95 por 100, ns diminumos um
pouco o resultado. Na verdade, a resposta correta um pouco maior
que 60%.
Gabarito: D
9. FORMAS GRAFICAS DE APRESENTAO DE DADOS EM CLASSE
Nas aulas de inferncia eu costumo fazer um paralelo entre
estatstica descritiva e inferencial. Isso ajudar a entendermos
melhor as futuras aulas.
Um dos paralelos que faremos envolve justamente a utilizao de
dados em classe. Para permitir tal paralelo, importante j
destacarmos algumas coisas.
Para dados em classe, no nos referimos frequncia de um valor
especfico. Referimo-nos apenas frequncia de uma classe de valores
(ou de uma faixa de valores).
Isso muito importante no caso de variveis contnuas.
Vejamos. Considere uma pesquisa sobre a composio etria de uma
cidade. As pessoas podem ser classificadas em: jovens, adultos,
idosos. Temos uma varivel qualitativa. Mas isso no impede que a
gente calcule a frequncia de cada possvel valor da nossa
varivel.
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Assim, para X = idoso, podemos ter, por exemplo, 80.000
observaes. A frequncia absoluta 80.000.
O mesmo se aplica para uma varivel quantitativa discreta.
Mas agora considerem que temos um termmetro mgico, capaz de
medir a temperatura de um ambiente com infinitas casas aps a
vrgula.
Nesse caso, estamos diante de uma varivel contnua. simplesmente
impossvel ns listarmos todos os possveis valores de X, para depois
determinar as frequncias de cada um deles.
Deste modo, se medirmos a temperatura em diversos instantes, o
mximo que d para fazer calcular as frequncias associadas a classes,
ou faixa de valores.
Exemplo: podemos dizer que em 23% das medies a temperatura
esteve entre 20C e 30C. Estamos associando a frequncia 23% faixa 20
30.
O resultado disso que as representaes grficas utilizadas para
dados em classe servem particularmente para variveis contnuas.
Existem questes que exploram justamente este aspecto.
9.1. Histograma
Considere o seguinte exemplo.
Quarenta alunos de um curso fizeram uma prova de 20 questes,
cada uma delas valendo 0,20. Deste modo, se um aluno acertar todas
as questes, sua nota seria igual a 4.
As notas obtidas pelos alunos esto resumidas na tabela
abaixo.
Notas Frequncia
0 1 5
1 2 10
2 3 20
3 4 5
Conforme j estudamos, temos dados agrupados em classes.
Uma forma grfica que guarda perfeita correspondncia com os dados
acima dispostos o histograma.
O histograma para os dados acima ficaria:
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A primeira coluna, vermelha, corresponde primeira classe. A sua
altura guarda relao com a frequncia da primeira classe: ela indica
que temos 5 notas na primeira classe. A sua base coincide com os
extremos da classe.
Deste modo, a primeira coluna indica que a primeira classe vai
de 0 at 1 e que, nesta classe, temos 5 ocorrncias.
Vamos agora para a segunda coluna (verde). O histograma nos
indica que esta classe vai de 1 at 2. Indica ainda que temos 10
ocorrncia nesta classe.
Analogamente, a frequncia da terceira classe 20 e seus extremos
so 2 e 3 (ver coluna azul).
Por fim, a ltima classe vai de 3 at 4, possuindo frequncia 5
(ver coluna amarela).
Histograma apenas isso. um monte de barrinhas, cada uma delas
representando uma classe.
9.2. Polgono de frequncias
Vamos voltar ao histograma obtido na seo anterior.
Considere o seguinte histograma:
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Se ns passarmos uma linha unindo todos os pontos mdios das
laterais superiores dos retngulos do histograma, obtemos o seguinte
grfico:
Este grfico acima chamado de polgono de frequncia. uma forma
alternativa de representao de dados, que pode substituir o
histograma.
Questo 11 IRB 2006 [ESAF]
Histograma e Polgono de frequncia so:
a) a mesma representao grfica (idnticas) de uma distribuio de
frequncia.
b) um texto descritivo e uma representao grfica de uma
distribuio de frequncia.
c) um texto descritivo e uma funo grfica de uma distribuio de
frequncia.
d) duas representaes grficas de uma distribuio de frequncia.
e) duas representaes grficas de uma distribuio de frequncia,
porm com sentidos opostos.
Resoluo:
O histograma uma representao grfica. Temos vrias barras, cada
uma associada a uma classe. A altura das barras tem relao com a
frequncia da classe, no caso das amplitudes
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4
-
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de classe serem todas iguais. Se forem diferentes, a altura das
barras tm relao com a densidade de frequncia da classe (falaremos
sobre densidade de frequncia mais adiante).
O polgono de frequncia um grfico de linhas que relaciona valores
e frequncias.
Gabarito: D
Questo 12 Petrobras 2010 [CESGRANRIO]
Histogramas e polgonos de frequncias so duas representaes
grficas de distribuies
(A) uniformes.
(B) de frequncias.
(C) de acumulaes.
(D) no uniformes.
(E) assimtricas.
Resoluo.
Vimos que histogramas e polgonos de frequncia so formas grficas
de representarmos dados em classes.
Ao conjunto formado pelas classes, associadas s suas respectivas
frequncias, comum darmos o nome de distribuio de frequncias. Assim,
o histograma e o polgono de frequncias representariam graficamente
uma distribuio de frequncias.
Gabarito: B
Questo 13 SEFAZ RS 2009 [FUNDATEC]
Na revista Selees de setembro de 2009 foram publicados os
resultados da 8o edio da Pesquisa Marcas de Confiana, tambm
apresentados atravs de alguns tipos de grficos, dentre eles, os
dois primeiros que esto abaixo, sendo os outros dois fictcios. A
sequncia correta dos grficos abaixo , respectivamente,
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a) Polgono, Colunas, histograma, barras.
b) Histograma, colunas, barras, polgono.
c) Colunas, barras, histograma, polgono
d) Histograma, polgono, barras, colunas.
e) Barras, colunas, histograma, polgono
Resoluo:
Na primeira figura temos um grfico de colunas. As colunas so
colocadas ao longo do eixo horizontal e suas alturas tm relao com
as frequncias de cada observao.
Na segunda figura temos um grfico de barras. semelhante ao
grfico de colunas. A diferena que as barras so colocadas ao longo
do eixo vertical.
A terceira figura corresponde a um histograma. Nesse caso, cada
barrinha corresponde a uma classe de valores (e no a um valor nico,
como ocorria com o grfico de colunas),
A quarta figura o polgono de frequncia. Fazemos assim. Partimos
do histograma. Marcamos os pontos correspondentes aos centros dos
lados superiores dos retngulos. Em seguida, unimos esses pontinhos
com linhas, formando o polgono de frequncias.
Gabarito: C
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Questo 14 SEFAZ SC 2010 [FEPESE]
Observe a tabela a seguir com as frequncias e percentuais do
tipo de empresa atuante em um municpio:
Se houvesse interesse em representar a tabela acima de uma forma
grfica, qual seria o grfico mais apropriado?
a) Histograma.
b) Grfico em setores.
c) Diagrama em caixas.
d) Diagrama de pontos.
e) Diagrama de disperso.
Resoluo:
Alternativa A - INCORRETA. Para utilizao de um histograma,
devemos ter dados em classes. No o caso dos dados em anlise, onde
sequer temos uma varivel quantitativa.
Alternativa B - CORRETA. O grfico em setores perfeito para a
representao de variveis qualitativas, pois ele mostra a composio
das partes, geralmente em forma de porcentagem. Exemplificando,
para os dados acima teramos o seguinte grfico:
Alternativa C - INCORRETA. Para utilizao do diagrama de caixa,
precisamos conhecer os quantis da distribuio (1, 2 e 3 quartis).
Ainda estudaremos esse assunto em outra aula.
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Alternativas D e E - INCORRETAS. Os dois tipos de diagrama so
apenas utilizados para variveis quantitativas. Ainda estudaremos
tais diagramas.
Gabarito: B
Questo 15 Prefeitura do Rio de Janeiro 2002 [FJG]
Considere o seguinte roteiro:
passo 1: no eixo horizontal, marque, sucessivamente, os limites
de cada classe;
passo 2: no eixo vertical, marque, em escala, os valores
relativos s freqncias absolutas das classes;
passo 3: para a primeira classe, construa um retngulo cuja base
o intervalo dessa classe e a altura a freqncia absoluta dessa
classe;
passo 4: para a classe seguinte, construa um retngulo adjacente
ao primeiro, cuja base tambm o Intervalo dessa classe seguinte e a
altura a freqncia absoluta dessa segunda classe;
passo 5: repita o procedimento para as outras classes.
O grfico resultante denomina-se:
a) linha
b) setores
c) categrico
d) histograma
Resoluo:
Notem que estamos construindo vrios retngulos. Ento s podemos
ter ou um grfico de colunas ou um histograma.
A diferena entre um e outro a seguinte. No histograma, cada
retngulo se refere a uma classe de valores. Em um grfico de
colunas, cada retngulo se refere a um valor isolado.
No caso desta questo, vejam que as bases se referem s classes.
Logo, temos um histograma.
Gabarito: D
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Questo 16 SEFAZ AL 2002 [CESPE]
O grfico acima, construdo com base em uma amostra de
trabalhadores brasileiros, uma adaptao de um artigo publicado no
jornal Folha de S. Paulo, em 24/3/2002.
Com base nessas informaes, julgue o item a seguir, referente aos
trabalhadores includos na amostra.
85% dos trabalhadores atualmente empregados ganharam no ltimo ms
at 5 salrios-mnimos.
Resoluo:
Destacamos na figura abaixo as classes que correspondem aos
salrios menores ou iguais a 5 salrios mnimos:
Somando as frequncias:
8% + 20% + 31%+ 26% = 85% De fato, 85% dos trabalhadores
includos na amostra receberam at 5 salrios mnimos.
Gabarito: certo
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Encerramos aqui nossa aula demonstrativa.
Bons estudos!
Vtor Menezes
10. QUESTES APRESENTADAS EM AULA
Questo 1 ARCE 2006 [FCC]
O processo estatstico que consiste em uma avaliao direta de um
parmetro, utilizando-se todos os componentes da populao,
denomina-se:
a) amostragem
b) estimao
c) censo
d) parametrizao
e) correlao
Questo 2 TERRACAP 2009 [UNIVERSA]
Julgue os itens a seguir.
I Uma cidade possui 1.000 habitantes. Um estatstico,
necessitando fazer uma determinada pesquisa, entrevistou 200
pessoas. correto dizer que, nesse exemplo especfico, de uma amostra
de 1.000 pessoas, o estatstico entrevistou uma populao de 200
indivduos.
II Um estudante tinha 1 moeda, 1 folha de papel em branco e 1
caneta e, com esse material, resolveu fazer uma experincia.
Arremessou uma moeda 20 vezes seguidas. Em cada uma das vezes, ele
verificava se a face sorteada era cara ou coroa. Caso fosse cara,
ele escrevia o nmero 1 no papel. Caso fosse coroa, ele escrevia o
nmero 2 no mesmo papel. No final da experincia, o estudante obteve
7 coroas e somou todos os nmeros existentes no papel. Esse
resultado foi atribudo a uma varivel X. Com isso, o resultado
encontrado para X foi 27.
III Uma fbrica produz 100.000 lmpadas por ms. So sorteadas 100
lmpadas, e essas so mantidas acesas at queimarem, com o objetivo de
calcular a vida mdia desse tipo de lmpada. A experincia, que
utiliza um subconjunto de um grupo para calcular determinado
parmetro e admite que esse parmetro vlido para todo o grupo, um
problema estudado pela estatstica inferencial.
Assinale a alternativa correta.
(A) Nenhum item est certo.
(B) Apenas os itens I e II esto certos.
(C) Apenas os itens I e III esto certos.
(D) Apenas os itens II e III esto certos.
(E) Todos os itens esto certos.
Questo 3 SEFAZ AL 2002 [CESPE]
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Julgue os seguintes itens.
1. Um censo consiste no estudo de todos os indivduos da populao
considerada.
2. Como a realizao de um censo tipicamente muito onerosa e(ou)
demorada, muitas vezes conveniente estudar um subconjunto prprio da
populao, denominado amostra.
Questo 4 Prefeitura do Rio de Janeiro 2002 [FJG]
Os dados de um determinado estudo representam muitas variveis
para cada uma das pessoas que se submeteram ao estudo. Uma varivel
considerada qualitativa a seguinte:
a) idade
b) altura
c) sexo
d) peso
Questo 5 PF 2004 [CESPE]
Nos ltimos oito anos, a populao carcerria em uma unidade da
Federao cresceu de 1.200 presos (1996) para 4.000 presos (2003).
Essa populao carcerria formada por presos nas casas penais,
seccionais e delegacias. Por causa desse crescimento, foram
construdas novas cadeias pblicas, penitencirias e novos blocos
carcerrios. Mesmo assim, no foi possvel resolver o problema de
superlotao. Em 1996, a capacidade total de lotao das casas penais,
seccionais e delegacias era de apenas 800 vagas. Aps a inaugurao
das novas instalaes em 2003, o nmero de vagas aumentou para 3.200,
o que resulta em deficit de 800 vagas. O grfico acima apresenta a
evoluo temporal da populao carcerria (linha contnua) e do nmero de
vagas (linha pontilhada) de 1996 a 2003.
Com base na situao hipottica e no grfico apresentados ao lado,
julgue o item a seguir.
A capacidade total de lotao das casas penais, seccionais e
delegacias (nmero de vagas) em 2000 uma varivel aleatria
contnua.
Questo 6 PF 2004 [CESPE]
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Um projeto de servios de assistncia social foi desenvolvido para
ser implementado em todas as delegacias e plantes policiais de um
estado brasileiro. Porm, antes da sua aplicao em todo o estado, ele
foi implementado em 10 municpios, em carter experimental, por 12
meses. Esses municpios foram escolhidos aleatoriamente entre os 250
municpios do estado. Nesse perodo experimental, foram registradas
48.000 ocorrncias nos 10 municpios selecionados. Em 25% dessas
ocorrncias, as pessoas envolvidas foram encaminhadas aos
assistentes sociais. A partir dessas ocorrncias, os 100 assistentes
sociais envolvidos nesse projeto atenderam, em mdia, 500 pessoas
por ms. Os resultados obtidos foram positivos, observando-se uma
queda na reincidncia de denncias e ocorrncias registradas nesses
municpios aps a implementao do projeto.
A partir dos dados apresentados no texto acima, julgue o item
subseqente.
O nmero de ocorrncias registradas durante o perodo experimental
de 12 meses nos 10 municpios selecionados (48.000) a realizao de
uma varivel aleatria contnua.
Questo 7 MPU/2007 [FCC]
Uma empresa procurou estudar a ocorrncia de acidentes com seus
empregados e realizou um levantamento por um perodo de 36 meses. As
informaes apuradas esto na tabela a seguir:
Nmero de empregados acidentados
Nmero de meses
1 1
2 2
3 4
4 5
5 7
6 6
7 5
8 3
9 2
10 1
A porcentagem de meses em que houve menos de 5 empregados
acidentados :
a) 50%
b) 45%
c) 35%
d) 33%
e) 30%
Questo 8 Sefaz AL 2002 [CESPE]
Julgue o seguinte item.
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Em uma distribuio de frequncias para um conjunto de n indivduos,
pode-se calcular as frequncias relativas, dividindo-se cada
frequncia absoluta pela amplitude da correspondente classe ou do
intervalo.
Questo 9 SENADO 2002 [CESPE]
Julgue o item seguinte.
Considere os resultados apresentados na tabela abaixo, que foram
obtidos a partir de informao da Fundao Coordenao de Aperfeioamento
de Pessoal de Nvel Superior (CAPES), acerca dos programas de
ps-graduao no Brasil avaliados no ano 2000.
Nessa situao, pode estar correta a representao dos dados da
tabela no grfico de setores mostrado abaixo.
Questo 10 SEFAZ SC 1998 [FEPESE]
A tabela abaixo mostra a distribuio de frequncia dos salrios
mensais, em reais, de 95 funcionrios da empresa TUDO TOPA LTDA.
Em relao a essa tabela, a porcentagem de funcionrios que ganham
menos de R$ 7.000,00 de:
a) 21,1%
b) 15,7%
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c) 36,9%
d) 63,1%
e) 78,9%
Questo 11 IRB 2006 [ESAF]
Histograma e Polgono de frequncia so:
a) a mesma representao grfica (idnticas) de uma distribuio de
frequncia.
b) um texto descritivo e uma representao grfica de uma
distribuio de frequncia.
c) um texto descritivo e uma funo grfica de uma distribuio de
frequncia.
d) duas representaes grficas de uma distribuio de frequncia.
e) duas represe