Aufgaben zum Vorkurs Mathematik f¨ ur Natur- und Ingenieurwissenschaften ¨ Ubungen zu ”Mengen” Aufgabe 1: Geben Sie folgende Mengen durch Aufz¨ ahlen ihrer Elemente an: A = {x ∈ N 0 | 0 <x< 4, 8} B = {t ∈ N 0 | t ist Teiler von 24} C = {z ∈ Z | z ist positiv, durch 3 teilbar und kleiner als 21} D = {x ∈ R | x 2 - 1=0} E = {x ∈ R | (x - 1) 2 =0} F = {x ∈ R | x +8=9} Aufgabe 2: Schreiben Sie als Aufz¨ ahlung (i) {k |-2 ≤ k ≤ 4,k ∈ Z} (ii) {(2k + 1) 2 | k ∈ N 0 } (iii) {n | n 2 < 5,n ∈ Z} Aufgabe 3: Schreiben Sie mit Hilfe einer definierenden Eigenschaft (i) {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...} (ii) {5, 10, 15, 20,...} (iii) {1, 4, 9, 16, 25 ...} (iv) {1, 4, 9, 16, 25} (v) {1, 1 2 , 1 3 , 1 4 ,...} Aufgabe 4: Gegeben seien die Mengen A = {0, 1, 2} und B = {1, 2, 3}. Bilden Sie die folgenden Mengen: (i) A ∩ B (ii) A ∪ B (iii) A \ B und B \ A 1
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Aufgaben zum Vorkurs Mathematik f ur Natur- und ... · Aufgaben zum Vorkurs Mathematik f ur Natur- und Ingenieurwissenschaften Ubungen zu "Trigonometrie" Aufgabe 1: Bogen und Gradmaˇ
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Aufgaben zum Vorkurs Mathematik fur Natur- und Ingenieurwissenschaften
Ubungen zu ”Mengen”
Aufgabe 1:
Geben Sie folgende Mengen durch Aufzahlen ihrer Elemente an:A = {x ∈ N0 | 0 < x < 4, 8}B = {t ∈ N0 | t ist Teiler von 24}C = {z ∈ Z | z ist positiv, durch 3 teilbar und kleiner als 21}D = {x ∈ R | x2 − 1 = 0}E = {x ∈ R | (x − 1)2 = 0}F = {x ∈ R | x + 8 = 9}
Aufgabe 2:
Schreiben Sie als Aufzahlung
(i) {k | −2 ≤ k ≤ 4, k ∈ Z}
(ii) {(2k + 1)2 | k ∈ N0}
(iii) {n | n2 < 5, n ∈ Z}
Aufgabe 3:
Schreiben Sie mit Hilfe einer definierenden Eigenschaft
(i) {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .}
(ii) {5, 10, 15, 20, . . .}
(iii) {1, 4, 9, 16, 25 . . .}
(iv) {1, 4, 9, 16, 25}
(v) {1,1
2,
1
3,
1
4, . . .}
Aufgabe 4:
Gegeben seien die Mengen A = {0, 1, 2} und B = {1, 2, 3}.Bilden Sie die folgenden Mengen:
(i) A ∩ B
(ii) A ∪ B
(iii) A \ B und B \ A
1
Aufgabe 5:
Gegeben sei die Grundmenge M = {x ∈ Z| − 5 ≤ x ≤ 7} sowie die Mengen A = {−1, 0, 1, 2},B = {2, 3, 4, 5} und C = {0, 2, 6}.Fuhren Sie die folgenden Mengenoperationen durch:
(i) A ∩ B
(ii) A ∩ Cc
(iii) (A ∩ Bc) ∪ B
(iv) Ac ∪ B
(v) A ∪ C
(vi) B ∪ C
(vii) (A ∪ B) ∪ C
(viii) (A ∩ B) ∩ C
(ix) Ac ∩ B
(x) (Ac ∩ Bc) ∪ Cc
(xi) ((A ∩ B) ∪ C)c
Aufgabe 6:
Prufen Sie, ob folgende Mengenformeln gultig sind (Benutzen Sie Mengendiagramme zur Veranschau-
lichung)
(i) (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ B
(ii) (A ∪ B) ∩ C ⊆ A ∩ (B ∪ C)
(iii) (A ∩ B) ∪ C = A ∩ (B ∪ C)
Aufgabe 7:
Sei C ⊂ A und C ⊂ B.
(i) Ist dann C ⊂ A ∩ B?
(ii) Ist dann C ⊂ A ∪ B?
(iii) Ist C = A ∩ B moglich?
(iv) Ist das immer der Fall?
Aufgabe 8∗:
Gegeben sind die vier Mengen
A = {1, 2} , B = {{1}, {2}} , C = {{1}, {1, 2}} , D = {{1}, {2}, {1, 2}}
Diskutieren Sie die Gultigkeit folgender Beziehungen:(i) A = B , (ii) A ⊆ B , (iii) A ⊂ C , (iv) A ∈ C , (v) A ⊂ D
(vi) B ⊂ C , (vii) B ⊂ D , (viii) B ∈ D , (ix) A ∈ D
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Aufgabe 9∗:
Beweisen Sie folgende Mengenformeln:(i) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(ii) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Aufgabe 10∗:
Beweisen Sie, dass die eine der folgenden Mengenformeln immer richtig, die andere manchmal falsch
ist:(i) A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ C
(ii) A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C
Aufgabe 11∗:
Richtig oder falsch?
(i) (A ∪ B)× C = (A× C) ∪ (B × C)
(ii) (A ∩ B)× C = (A× C) ∩ (B × C)
Aufgabe 12∗:
Veranschaulichen Sie die Mengen jeweils an einer Skizze
(i) (A ∪ B)× N = (A× N) ∪ (B × N)
(ii) (A ∪ B)× (M ∪ N)
(iii) (A ∩ B)× (M ∩ N)
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Aufgaben zum Vorkurs Mathematik fur Natur- und Ingenieurwissenschaften
Ubungen zu ”Zahlen”
Aufgabe 1:
Stellen Sie die folgenden Summen in Kurzschreibform dar:
(i) 12 + 14 + 16 + ...+ 138
(ii) 1 + 4 + 9 + 16 + ...+ 144
(iii) 1 + 6 + 11 + ...+ 116
(iv) 1− 2 + 4− 8 + ...+ 1024
Aufgabe 2:
Stellen Sie die folgenden Produkte in Kurzschreibform dar:
(i) 3 · 5 · 7 · ... · 31
(ii) 11 · 14 · 17 · ... · 98
(iii) 1 · 8 · 27 · 64 · ... · 1000000
(iv) 5 · 9 · 13 · ... mit insgesamt 8 Faktoren
Aufgabe 3:
Berechnen Sie:
(i)4∑k=1
(k + 2k2)
(ii)5∏n=3
(n2 − 16)
(iii)5∑k=2
(2k + 1)
(iv)5∑k=2
2k + 1
(v)5∏n=2
(1n+ 1)
Aufgabe 4:
Schreiben Sie die folgenden Summen aus:
(i)n∑k=1
(3k + 2)
1
(ii)5∑
k=−53,
(iii)n∑k=1
2k −n−2∑k=−1
2k+1
(iv)n∑k=0
(−1)kx2k
Aufgabe 5:
Benutzen Sie die Potenzrechenregeln, um den Ausdruck zu vereinfachen:
(i)26 · 5m − 5m
5m+2, (ii)
(15x2y−3)−4
(25x3y−6)−2
(iii)an + 2an−1
an−2 + 2an−3, (iv)
(a2b
cd3
)3:
(ab2
c2d2
)4
Aufgabe 6:
Bestimmen Sie die Losungsmenge der quadratischen Gleichung (durch quadratische Erganzung):
Aufgaben zum Vorkurs Mathematik fur Natur- und Ingenieurwissenschaften
Ubungen zu ”Skalar- und Vektorprodukt”
Aufgabe 1:
Sei α der Winkel bei A in dem Dreieck 4ABC mit
A = (2,−1, 1)T , B = (1,−3,−5)T , C = (3,−4,−4)T
Bestimmen Sie cosα (nicht berechnen).
Aufgabe 2:
Bestimmen Sie einen Vektor ~x , der linear abhangig von
110
und011
ist, senkrecht steht auf101
und die Lange 1 hat.
Aufgabe 3:
Wo liegen alle Vektoren, die mit einem festen Vektor ~a 6= 0 ein festes Skalarprodukt haben?
Aufgabe 4:
Berechnen Sie
(i) Das Kreuzprodukt
102
× 3211
.
(ii) Das Kreuzprodukt
231
× 0411
.Aufgabe 5:
Geben Sie alle Losungen von ~x × ~a = ~b an fur
(i) ~a =
101
, ~b =010
(ii) ~a =
101
, ~b =011
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Ubungen zu ”Geraden und Ebenen”
Aufgabe 1:
(i) Geben Sie die Parameterdarstellung an
a) der Geraden durch die Punkte P = (1, 2)T , Q = (−2, 5)T
b) der Geraden mit der Gleichung y = −x + 3c) der Strecke von A = (−1, 2)T nach B = (3, 1)T
(ii) Welche der Geraden mit den Parameterdarstellungen
g1 : x =
14−115
+ t−64, 5−9
, g2 : x =
46, 50
+ t 4−36
g3 : x =
694
+ t−304
, g4 : x =
3−610
+ t−618
sind parallel?
(iii) Liegen die drei Punkte A = (2, 2, 3)T , B = (−2, 3, 1)T , C = (−6, 4, 1)T auf einer Geraden?Diskutieren Sie verschiedene Moglichkeiten, dies zu prufen.
Aufgabe 2:
(i) Liegen die vier Punkte
A = (0, 2, 2)T , B = (2, 0,−1)T , C = (3, 4, 0)T , D = (0,−1, 1)T
in einer Ebene?
(ii) Geben Sie die Normalenform der Gleichung der Ebene in vektorieller Schreibweise an, wenn die
Ebene die Gleichung 2x − y + 2z = 12 hat.
(iii) Durch folgende Gleichungen sind vier Ebenen gegeben:
e1 : x + 2y − 2z = 5 , e2 : 3x − 6y + 3z = 2 , e3 2x + y + 2z = −1 , e3 : x − 2y + z = 7
Stellen Sie fest, welche der Ebenen parallel bzw. senkrecht zueinander sind.
Aufgabe 3:
(i) Welche Punktmenge beschreibt die Gleichung x + y = 3
a) in der Ebene,
b) im Raum?
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(ii) Berechnen Sie den Schnittpunkt der Geraden ~x =
3−38
+ λ−130
und der Ebene ~x =
211
+ µ−101
+ ν 2−12
,indem Sie die Ebene zunachst in Normalenform bringen.
Aufgabe 4:
Haben die Geraden mit den Parameterdarstellungen
~x =
694
+ t−304
, ~x =
3−610
+ s−618
einen Schnittpunkt?
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Aufgaben zum Vorkurs Mathematik fur Natur- und Ingenieurwissenschaften
Ubungen zu ”Komplexe Zahlen”
Aufgabe 1:
Berechnen Sie i2, i3, i4, i5, . . .. Was fallt auf? Berechnen Sie weiter i3 − i4, i3(i + i6), i + i2 + i3.
Aufgabe 2:
Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in ihrer”Normalform“ a + bi dar und zeichen Sie die