This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
• Frekvencijske karakteristike mogu se prikazati na više nacina; zapraksu su najvažniji Nyquistov i Bodeov dijagram
• Nyquistov dijagram predstavlja graficki prikaz G(jω) = A(ω)ejϕ(ω) ukompleksnoj G-ravnini, gdje je ω parametar
• Nyquistov i Bodeov dijagram daju brzi uvid u vladanje sustava; iznjih se jednostavno ocita pojacanje i fazno kašnjenje(prethod
_enje) za razlicite frekvencije
• U frekvencijskim podrucjima u kojima asimptote dobro prateamplitudno-frevencijsku karakteristiku Bodeova dijagrama (spozitivnim ili negativnim nagibom) sustav se može aproksimiratiderivatorom odnosno integratorom
• Neminimalnost faze odnosi se na sustave koji imaju nule i polove udesnoj poluravnini kompleksne s-ravnine
• Stvorena je osnova za analizu stabilnosti linearnih vremenskinepromjenljivih sustava zasnovanu na frekvencijskimkarakteristikama
• Prijenosna funkcija, definirana kao odnos Laplaceovetransformacije izlaza sustava i Laplaceove transformacije njegovaulaza uz pocetne uvjete jednake nuli, u opcem se slucaju možeizraziti odnosom dvaju polinoma:
G(s)def=
Y (s)
U(s)=
B(s)
N(s)(10-1)
• Uz pretpostavku da polinomi B i N nemaju zajednickih nul-tocaka
• Iz N(s) = 0 slijede konacni polovi sustava• Iz B(s) = 0 slijede konacne nule sustava
• Napomena: U daljnjem tekstu se pod pojmovima polovi i nulesustava podrazumijevaju konacni polovi i nule sustava
Sustavi prvog reda Sustavi prvog reda s nulom u lijevoj poluravnini
Prijenosna funkcija sustava prvog reda s nulom u lijevojpoluravnini s-ravnine (1)
• Opci oblik prijenosne funkcije sustava prvog reda s nulom u lijevojpoluravnini s-ravnine:
G(s) = Ks + b
s + a(10-3)
• Primjer 10.1: Realizacija G(s) iz (10-3). Jednostavna realizacijaprijenosne funkcije (10-3) sklopom s operacijskim pojacalom(shvacenim kao idealno pojacalo), Slika 10.3, glasi:
G(s) =U2(s)
U1(s)= K1
1 + Ts
1 + αTs= K1
a
b
s + b
s + a, (10-4)
pri cemu je K1 statickopojacanje sustava, a T i αT suodgovarajuce vremenskekonstante, te je prema (10-3)a = 1
Sustavi prvog reda Sustavi prvog reda s nulom u lijevoj poluravnini
Osvrt na Primjer 10.1. (1)
• Usporedbom odziva PT1-sustava i onih dobivenih u Primjeru 10.1.stjece se uvid u bitan utjecaj nula prijenosne funkcije sustava navremenski odziv
• Pri tome je, nadalje, važno u kakvom su odnosu vrijednosti nula ipolova (odnosno pripadajucih vremenskih konstanata) prijenosnefunkcije
• Nule iz lijeve poluravnine kompleksne s-ravnine koje su bližeimaginarnoj jω-osi nego polovi dominantnije utjecu na vremenskiodziv sustava
• Ta se dominantnost ogleda u izraženom nadvišenju (“špici”)prijelazne funkcije h(t) (Slika 10.5): za vrijednosti α bliske nuli "špica"poprima enormno visoke vrijednosti (za promatrani sklopneizvedive!)
Sustavi prvog reda Sustavi prvog reda s nulom u lijevoj poluravnini
Osvrt na Primjer 10.1. (3)
• Provedena razmatranja vezana za utjecaj polova i nula navremenski odziv sustava mogla bi se osvijetliti i analizompripadajuce frekvencijske karakteristike promatranog primjera
Primjer 10.2: Sustav drugog reda bez nula (PT2-clan) (2)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t [s]
g(t)
Slika 10.8: Težinska funkcija sustavaprijenosne funkcije G(s) = 2
(s+1)(s+2)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t [s]
h(t)
Slika 10.9: Prijelazna funkcija sustavaprijenosne funkcije G(s) = 2
(s+1)(s+2)
• Prijelazna i težinska funkcija karakterizirane su modovima e−1·t ie−2·t koji su posljedica polova sustava sp1 = −1 i sp2 = −2
• Pol sp1 = −1 bliže je jω-osi i više utjece na vrijeme potrebno zadostizanje ustaljenog stanja; ukoliko bi se pol sp2 = −2 dodatnoudaljio od ishodišta, njegov utjecaj na to vrijeme bio bi oslabljen
Sustavi drugog reda Sustav drugog reda s nulom u lijevoj poluravnini
Osvrt na Primjer 10.2. i Primjer 10.3.
• Usporedbom prijelaznih funkcija u Primjeru 10.2. (Slika 10.9) i uPrimjeru 10.3. (Slika 10.11) ocito je da sustavi drugog reda s istimrasporedom polova i istim statickim pojacanjem mogu imati bitnorazlicita ponašanja ovisno o postojanju nula
• Nula u lijevoj poluravnini s-ravnine u odred_enom rasponu svojih
vrijednosti ubrzava prijelaznu pojavu u sustavu
• Može se uociti da je odziv h(t) u Primjeru 10.3. dobiven na sljedecinacin:
• Ustvari, uz isto staticko pojacanje sustava, ukoliko bi nula bila bližeishodištu, koeficijent uz g(t)Primjer 10.2. bio bi veci pa bi prijelaznafunkcija h(t) imala vece nadvišenje
• Obrnuti efekt dogad_ao bi se udaljavanjem nule od ishodišta u
smjeru negativne realne osi; koeficijent uz g(t)Primjer 10.2. približavase nuli, nadvišenje nestaje te konacno h(t) → hPrimjer 10.2.(t)
Sustavi drugog reda Analiza sustava drugog reda bez nula
Primjeri sustava koje se može modelirati PT2-sustavom
• Neki primjeri sustava koje se može prikazati prijenosnomfunkcijom (10-9):
• RLC krug• Mehanicki oscilatorni sustav (masa, opruga, prigušivac)• Istosmjerni motor s nezavisnom i konstantnom uzbudom• Segment cijevi za transport fluida
Sustavi drugog reda Analiza sustava drugog reda bez nula
Odnos izmed_u položaja polova i vremenskog odziva
PT2-sustava (1)
• U ovisnosti o položaju polova PT2-sustava u kompleksnoj ravnini (tj.o iznosima ζ i ωn) dobiju se slucajevi prikazani sljedecom tablicom(odzivi su prikazani za K = 1)
Relativni koeficijent Položaj polova Prijelazna funkcija h(t)prigušenja
Neposredni pokazatelji kvalitete sustava upravljanja
Neposredni pokazatelji kvalitete sustava upravljanja
• Pri analizi kvalitete upravljanja (regulacije) promatra se vremenskiodziv upravljane (regulirane) velicine y(t) odnosno regulacijskoodstupanje e(t) uz djelovanje odabranog ispitnog signala(pobude); u ovom razmatranju pod pobudom ce sepodrazumijevati signal referentne velicine r ili signal poremecajnevelicine z
Vladanje sobzirom na
vodećuvrijednost
Vladanje sobzirom na
smetnju
proces
ue
z
++
+
z'
r +
_
yRegulacijskiureñaj
Slika 10.16: Pojednostavljena struktura sustavaupravljanja
• Uobicajeno se kaoispitni signal koristiodskocna funkcija S(t)te se promatraprijelazna funkcija sobzirom na referentnuvelicinu y(t) = hr(t)odnosno naporemecajnu velicinuy(t) = hz(t)
Neposredni pokazatelji kvalitete sustava upravljanjaPokazatelji kvalitete prijelazne funkcije s obzirom
Pokazatelji kvalitete hr(t)
• Za opis prijelazne funkcije hr(t) koriste se sljedeci pojmovi(neposredni pokazatelji kvalitete):
• maksimalno nadvišenje σm (engl. peak, overshoot)• vrijeme prvog maksimuma tm (engl. time to maximum overshoot)• vrijeme porasta tr (engl. rise time)• vrijeme ustaljivanja tε (engl. settling time)
Neposredni pokazatelji kvalitete sustava upravljanjaPokazatelji kvalitete prijelazne funkcije s obzirom
Vrijeme prvog maksimuma, vrijeme porasta
• Vrijeme prvog maksimuma tm (tm=tp) je vrijeme pri kojem sepojavljuje maksimalno nadvišenje
tm =π
ωn
√
1 − ζ2(10-22)
Napomena: prethodni izraz za tm tocan je za promatrani sustavdrugog reda, a zadovoljavajuce prihvatljiv i za sustave višeg reda
• Vrijeme porasta tr definira se kao vrijeme za koje prijelazna funkcijahr(t) poraste od vrijednosti 0 (ili 0.1hr(∞)) na vrijednost krhr(∞),gdje se u literaturi uobicajeno koristi kr = 0.9 ili kr = 1; za sustavdrugog reda (prema prijenosnoj funkciji (10-9)) i za ζ = 0.5 je:
Prikaz zahtjeva na sustav upravljanja u s-ravnini Odred_ivanje ζ i ωn zatvorenog regulacijskog kr
Primjer 10.4: Zatvoreni regulacijski krug (3)Rješenje (2)
ω2n =
KRKp
TIT2→ ωn =
√
KRKp
TIT2
2ζ
ωn=
TI
KRKp→ ζ =
ωnTI
2KRKp=
1
2
√
TI
KRKpT2
• Dakle, ωn i ζ ovise o parametrima procesa i o parametrimaregulatora
• Iz posljednjeg izraza slijedi
KR =1
4ζ2
1
Kp
TI
T2,
tj. pojacanje regulatora ovisi o relativnom koeficijentu prigušenja,pa se npr. za parametre procesa Kp = 10, T1 = 1 s, T2 = 0.1 s i zaodabrani ζ = 0.58 dobiva TI = 1s, KR = 0.74 i, posljedicno,ωn = 8.6 s−1
• Izracunani parametriregulatora dobiju se,primjerice, uz otpor u ulaznojgrani pojacala R = 100 kΩ,otpor u povratnoj granipojacala R = 75 kΩ, tekapacitet C = 13 µF
povratna veza
Referentnaveličina u
3 6
750.75
100
75 10 13 10 F 1 s
R
I
K
T −
= =
= ⋅ Ω ⋅ ⋅ ≈
Slika 10.21: Izvedba regulatora sklopoms operacijskim pojacalom
Sustav s konjugirano-kompleksnim parom polova i nulom u lijevoj poluravnini s-ravnineSustav s konjugirano-kompleksnim parom polo
Primjer 10.5: Oscilatorni sustav drugog reda s nulom u lijevojpoluravnini s-ravnine
• Iz prethodnih izraza ocito je da utjecaj nule sN1 = −βωn slabi sporastom β (usporedite g(t) i h(t) PT2S-sustava (10-12) i (10-13) snetom navedenima izrazima za β → ∞)
• Za ilustraciju ovog efekta, na slikama 10.22 i 10.23 dani su grafovitežinskih i prijelaznih funkcija sustava G(s) (10-26) za ζ = 0.5, kojemuse parametar β mijenja u rasponu 0.25 − 10
510
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
ntω
0.25β =
0.5β =
1β =
5, 8, 10β =
( )n
n
g tωω
Slika 10.22: Težinska funkcija za raznevrijednosti β
0 5 10
0.5
1
1.5
2
2.5
ntω
( )nh tω 0.25β =
0.5β =
1β =
5, 8, 10β =
Slika 10.23: Prijelazna funkcija za raznevrijednosti β
Kracenje nula-pol (kompenzacija utjecaja nula na dinamicko vladanje sustava)Kracenje nula i polova prijenosne funkcije
Kracenje nula i polova prijenosne funkcije (3)
• Dakle, svaki pol je i svojstvena vrijednost sustava, no svakasvojstvena vrijednost sustava ne mora biti i pol sustava (zbogmoguceg kracenja nula i polova)
• Prijenosna funkcija je i prije i poslije moguceg kracenja nula ipolova matematicki korektna, pa ispravno opisuje izlazno-ulaznovladanje sustava, tj. dio sustava koji je istodobno i upravljiv iosmotriv
Primjer 10.7: Oscilatorni sustav drugog reda s nulom udesnoj poluravnini s-ravnine (1)
• Ponovno razmatramo prijenosnu funkciju (10-26) (vidi Primjer 10.5.):
G(s) =ωn
β
s + βωn
s2 + 2ζωns + ω2n
,
i pripadajuce težinsku i prijelaznu funkciju (|ζ| < 1):
g(t) = ωne−ζωnt
[
1β
cos(ωn
√
1 − ζ2t) +1− 1
β√1−ζ2
sin(ωn
√
1 − ζ2t)
]
, t ≥ 0
h(t) = 1 − e−ζωnt
[
cos(ωn
√
1 − ζ2t) +ζ− 1
β√1−ζ2
sin(ωn
√
1 − ζ2t)
]
, t ≥ 0
• Razmotrimo prijelaznu funkciju sustava kada je β < 0, tj. kada senula sustava sN1 = −βωn nalazi u desnoj poluravnini s-ravnine(neminimalno-fazni sustav)
Primjer 10.7: Oscilatorni sustav drugog reda s nulom udesnoj poluravnini s-ravnine (2)
• Za slucaj β < 0 dobije se sustav s neminimalno-faznim vladanjem teje prijelazna funkcija za razne vrijednosti parametra β dana naSlici 10.25
• Usporedno je na Slici 10.26 prikazana i prijelazna funkcija sustavaza vrijednosti parametra β po iznosu iste, ali predznakom suprotneu odnosu na one sa Slike 10.25
Prijelazne i težinske funkcije neminimalno-faznih sustava
• Prijelazne i težinske funkcije neminimalno-faznih sustava imaju“inverzni” odziv, odnosno podbacaj (engl. undershoot)
• Ovisno o tome radi li se o neminimalno-faznom sustavu s neparnimili parnim brojem nula smještenih u desnoj poluravnini s-ravninedobiju se nacelno razliciti vremenski odzivi
• Uz neparni broj neminimalno-faznih nula prijelazna funkcija u trenutkut = 0+ krece u suprotnu stranu u odnosu na stacionarno stanje,primjeri:
G1(s) =1−T1s
(1+T2s)(1+T3s)→ h1(0
+) = − T1T2T3
, h1(∞) = 1
G2(s) =T1s−1
1+T2s→ h2(0
+) =T1T2, h2(∞) = −1
• Uz parni broj neminimalno-faznih nula prijelazna funkcija u trenutkut = 0+ krece u stranu odred
Neminimalno-fazni sustavi Primjeri neminimalno-faznih sustava
Primjer 10.10: Hidroelektrana (2)
• Privodni aparat cine pomicne lopatice cijim se zakretanjemodred
_uje protok vode kroz turbinu
• Efekt tromosti vode uzrokuje u pocetnom trenutku promjenuprotoka vode (i snage proporcionalne protoku!) suprotnog smjeraod promjene otvora privodnog aparata (zbog vece površineotvora)
• Izbor mjesta polova u s-ravnini (odred_enih parametrima ζ i ωn)
odred_uje dinamicke pokazatelje kvalitete sustava u vremenskom
podrucju (neposredni pokazatelji kvalitete)• Dobivene su relacije za odred
_ivanje neposrednih pokazatelja
kvalitete sustava drugog reda bez nula:
tr =1.8ωn, tm = π
ωn
√1−ζ2
,
t1% = 4.6ζωn
, σm[%] = 100e− πζ√
1−ζ2
• Te su relacije valjane i za sustave višeg reda od dva ako je jedanpar polova sustava dominantan, a ostali polovi relativno daleko odjω-osi (nedominatni polovi)
• Nule sustava znacajno utjecu na vremenski odziv, ovisno o njihovupoložaju u odnosu na polove sustava
• Nule sustava iz desne poluravnine s-ravnine uzrokuju pojavu“inverznog odziva” zbog cega je ove sustave teško upravljati