Praktikumsanleitung Atwood’sche Fallmaschine NTB Interstaatliche Hochschule für Technik Buchs Werdenbergstrasse 4 CH‐9471 Buchs 1/10 Atwood‘sche Fallmaschine Die Atwood’sche Fallmaschine kann zum Bestimmen der Erdbeschleunigung und zum Darstellen der Zusammenhänge zwischen Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung verwendet werden. 1) Aufgaben a) Stellen Sie das Diagramm Geschwindigkeits‐Zeit‐Diagramm ݒൌ ݒሺݐሻ für eine geeignete Kombination von Massen ଵ und ଶ dar. b) Berechnen Sie aus v(t) den zurückgelegten Weg und stellen diesen in einem Diagramm s=s(t) dar. c) Stellen Sie den Weg ݏሺݐሻ als Funktion der Zeit im Quardrat ݏൌ ሺ ݐଶ ሻ als Diagramm dar. Welche physikalische Erkenntnis kann aus dem Diagramm gewonnen werden? d) Bestimmen Sie möglichst genau die Erdbeschleunigung aus den Messungen der Beschleunigung der Massen für vier verschiedene Massenverhältnisse. e) Berechnen der Seilkraft während der Bewegung (für alle gemessenen Massenkombinationen) f) Durch welche systematischen Messfehler wird die Messung der Erdbeschleunigung beeinflusst? 2) Theorie a) Kinematische Zusammenhänge: Aus der Kinematik ist bekannt, dass bei einer gleichförmig beschleunigten Bewegung der Weg s durch folgende Beziehung gegeben ist. ݏሺݐሻൌ 1 2 ∙ ݐଶ Dabei ist a Beschleunigung in [m/s 2 ], s der Weg in [m] und t die Zeit in [s]. Die Beschleunigung die Geschwindigkeitsänderung Δ ݒpro Zeiteinheit Δݐ. ൌ Δ ݒΔ ݐ
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Praktikumsanleitung Atwood’sche Fallmaschine
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CH‐9471 Buchs 1/10
Atwood‘scheFallmaschine
Die Atwood’sche Fallmaschine kann zum Bestimmen der Erdbeschleunigung und zum Darstellen der
Zusammenhänge zwischen Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung verwendet werden.
1) Aufgaben
a) Stellen Sie das Diagramm Geschwindigkeits‐Zeit‐Diagramm für eine geeignete
Kombination von Massen und dar.
b) Berechnen Sie aus v(t) den zurückgelegten Weg und stellen diesen in einem Diagramm s=s(t)
dar.
c) Stellen Sie den Weg als Funktion der Zeit im Quardrat als Diagramm dar.
Welche physikalische Erkenntnis kann aus dem Diagramm gewonnen werden?
d) Bestimmen Sie möglichst genau die Erdbeschleunigung aus den Messungen der
Beschleunigung der Massen für vier verschiedene Massenverhältnisse.
e) Berechnen der Seilkraft während der Bewegung (für alle gemessenen
Massenkombinationen)
f) Durch welche systematischen Messfehler wird die Messung der Erdbeschleunigung
beeinflusst?
2) Theorie
a) Kinematische Zusammenhänge:
Aus der Kinematik ist bekannt, dass bei einer gleichförmig beschleunigten Bewegung der Weg s
durch folgende Beziehung gegeben ist.
12
∙
Dabei ist a Beschleunigung in [m/s2], s der Weg in [m] und t die Zeit in [s].
Die Beschleunigung die Geschwindigkeitsänderung Δ pro Zeiteinheit Δ .
ΔΔ
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Wenn zum Beispiel die Geschwindigkeit für verschiedene Bewegungszeiten gemessen wird, kann die
Abhängigkeit
~
einfach gezeigt werden.
b) Zusammenhang der Erdbeschleunigung und der Massen an der Atwood‘schen
Fallmaschine
An einem Seil, das über eine reibungsfreie Rolle mit vernachlässigbarer
Masse geführt wird, hängen die ungleichen Massen und mit
(Abb. 1). Mit welcher Beschleunigung bewegen sich die
Massen, wenn sie losgelassen werden und wie gross sind die Seilkräfte
und ?
Man geht nach folgendem Rezept vor:
1. die Körper m1 und m2 separat freimachen d.h. die
Umgebung der Körper durch die auf die Körper ausgeübten
Kräfte (= äusseren Kräfte) ersetzen
2. ein geeignetes Koordinatensystem einführen
3. die resultierenden Kräfte auf und bestimmen
4. das Aktionsprinzip formulieren
5. die Kopplung der beiden Massen über das Seil
berücksichtigen
Abbildung 1: Atwood’sche Fallmaschine
Auf die Masse m1 wirkt die Seilkraft und entgegengesetzt dazu das Gewicht . Die Summe der
beiden Kräfte bewirkt die Beschleunigung von nach oben:
⋅
Wir wählen als Koordinatenachse das Seil, mit der in Abbildung 1 eingezeichneten Richtung und
bezeichnen die Beträge der Vektoren mit S1, G1 und a1. Damit erhalten wir in
Komponentenschreibweise:
⋅
Auf die Masse wirkt die Summe der Kräfte ⋅ bzw. in Komponentenschreibweise:
⋅
Das Seil, das die Körper miteinander verbindet, hält den Abstand der Massen konstant. Die Massen
und bewegen sich daher in jedem Moment mit gleicher Geschwindigkeit und mit gleicher
Beschleunigung:
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Ferner gilt nach dem Reaktionsprinzip:
.
Somit lautet das Aktionsprinzip für die beiden Massen:
⋅ ⋅ (1)
⋅ ⋅ (2)
Dies sind 2 Gleichungen für die beiden Unbekannten und . Ein solches Gleichungssystem kann
standardmässig mit den Hilfsmitteln der Mathematik gelöst werden. Ein eleganter Weg besteht z.B.
darin, die beiden Gleichungen zu addieren (3):
⋅ ⋅ (3)
⋅
Damit ist die erste Unbekannte bestimmt. Einsetzen des Ergebnisses für a in die Gleichung (1) ergibt
dann den Ausdruck für die gesuchte zweite Unbekannte :
⋅
2⋅
Zum Schluss noch eine Plausibilitätsprüfung der gewonnenen Ergebnisse:
1. Fall: ⟹ 0 und ⋅ (ok.)
2. Fall: → 0 ⟹ → 0 und → 0 (ok.)
Das Resultat (3):
⋅
lässt sich auch als
schreiben und kann damit folgendermassen interpretiert werden:
Die totale Masse wird durch die Gewichtsdifferenz
beschleunigt.
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3) Versuchsaufbau
Der Versuchsaufbau besteht aus zwei konfigurierbaren Gewichten an einer Schnur, welche über zwei
leichte Rollen geführt werden. Die Massenverhältnisse der beiden Massen kann einfach variiert
werden, indem an der einen oder anderen Seite Einheitsmassen hinzugefügt oder entfernt werden.
An einer dieser Rollen ist eine Lichtschranke angebracht, mit welcher die Geschwindigkeit der Schnur
gemessen werden kann. Die Lichtschranke wird über einen Mess‐PC ausgelesen.
Abbildung 2: Prinzip der Atwood’schen Maschine
Abbildung 3: Aufbau der Atwood’schen Maschine mit Mess‐PC.
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PASCO stellt ein Messprogramm zur Verfügung, in welchem die Daten einfach erfasst und dargestellt
werden können. Das Messprogramm atwood.db stellt direkt die Geschwindigkeit der
verschiedenen Experimente als Funktion der Zeit dar. Mit einem Cursor‐Tool kann die Steigung dieser
Geschwindigkeitskurven und damit die Beschleunigung der beiden Massen und direkt
ermittelt werden.
Abbildung 4: Darstellung der Geschwindigkeit als Funktion der Zeit für zwei Experimente mit unterschiedlichen
Massenverhältnissen m1:m2.
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4) Messungen und Messresultate
Messungen:
a) Messen Sie für 4 verschiedene Massekombinationen zu die Geschwindigkeit als
Funktion der Zeit mit dem PASCO‐Messprogramm atwood.db.
b) Wählen Sie für die steilste Kurve acht verschiedene Zeitpunkte t1,t2,….t8 und lesen Sie die
entsprechende Geschwindigkeit v(t) ab. Tragen Sie diese Wertepaare , mit 1. .8in ein Excel‐Sheet ein und stellen Sie die die Werte als Liniengrafik dar. Wählen Sie einen
geeigneten Massstab und geben Sie die Einheiten an.
c) Bestimmen Sie für die restlichen Massekombinationen die Geschwindigkeit mit Hilfe des
Cursor‐Tools im PASCO‐Messprogramm und tragen Sie die Resultate in eine weitere Tabelle
in Excel ein
d) Bestimmen Sie die Beschleunigung durch Differenzbildung: Die Beschleunigung ist die
zeitliche Änderungsrate der Geschwindigkeit.
ΔΔ
Oder allgemein für den Index der acht Messungen ( 1…8 :
ΔΔ
e) Bestimmen Sie die Beschleunigung für die verschiedenen Massekombinationen als
Geradensteigung durch lineare Regression. D.h. mittels eines Kurvenfits mit einem Polynom
erster Ordnung in Excel und tragen sie die Steigungen in Tabelle 2 ein.
4 a) v‐t Diagramm
Tabelle 1: Geschwindigkeit v als Funktion der Zeit t für ein Masseverhältnis (steilste Kurve)
Zeit (s) v (m/s) t=tk+1‐tk v =vk+1‐vk a=v/t
t1 1 v1
t2 2 v2
t3 3 v3
t4 4 v4
t5 5 v5
t6 6 v6
t7 7 v7
t8 8 v8
Mittelwert:
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Masse m1 Masse m2 Zeit Geschw. Beschleunigung
in g in g t v av/t50 100
100 150
150 200
200 250 Tabelle 2: Berechnung der Beschleunigung für die vier Masseverhältnisse
4 b) s‐t Diagramm
Aus den Messdaten der steilsten Kurve lässt sich nun der zurückgelegte Weg berechnen:
12
∙
Erstellen Sie in Excel ein Diagramm für die acht Zeitpunkte den zurückgelegten Weg ein.
Verwenden Sie für die Beschleunigung entweder den Mittelwert der Beschleunigungen oder den
Wert der Geradensteigung aus dem Kurvenfit.
Excel‐Hints:
Der Mittelwert der Beschleunigung lässt sich in Excel durch die Funktion
«=Mittelwert(Startzelle:Endzelle)» berechnen.
Der Weg kann ebenfalls mit einer Formel in Excel berechnet werden. Der Befehl, der in Zelle
G18 eingetragen werden muss, lautet beispielsweise so: «=0.5*$G$13*C18^2». Dabei
befindet sich der Mittelwert der Beschleunigung in Zelle G13 und die Zeit in Zelle C18.
Durch Herunterziehen der Zelle G18 mit der Maus bis Zelle G25 kann diese Formel auf die
übrigen Zellen übertragen werden.
Tabelle 3: Weg s(t) als Funktion der Zeit t.
4 c) s‐t2 Diagramm
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Wird der Weg s(t) nicht gegen die Zeit t, sondern gegen die Zeit im Quadrat t2 aufgetragen, so ergibt
sich eine Gerade. Dies besagt, dass der Weg proportional zur Zeit im Quadrat ist, oder in Formeln
ausgedrückt:
~
Zeit Zeit2
Geschw. Weg s
[s] [s2] [m/s] [m]
t1
t2
t3
t4
t5
t6
t7
t8
Weg
(s)
Zeit2 (t2)
Tabelle 4: Weg s als Funktion der Zeit im Quadrat
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4 d) Berechnen der Beschleunigungen für alle 4 gemessenen Massekombinationen
Die Beschleunigung ist die Geschwindigkeitsänderung pro Zeitintervall:
ΔΔ
Die Beschleunigungen für die verschiedenen Massenverhältnisse werden in der folgenden Tabelle
eingetragen. Aus der Theorie (Gleichung 3) kann die Beschleunigung berechnet werden.
∙
Wird die Beschleunigung a gegen das Masseverhältnis (Differenz der Massen durch die Summe der
Massen) dargestellt, so ergibt sich eine Gerade, deren Steigung gerade der Erdbeschleunigung g
entspricht. Die Beschleunigungen haben Sie bereits in Tabelle 2 berechnet.
Bestimmen Sie die Erdbeschleunigung g graphisch aus den vier Messpunkten, indem Sie eine
möglichst passende Gerade durch diese vier Punkte legen. Wenn Sie wollen, können Sie die
Messpunkte auch in ein xls‐Sheet eintragen, und eine Regressionsgerade bestimmen.
Zeit Geschw. Beschl. Masse 1 Masse 2 Masseverhältnis
t [s] v [m/s] a=v/t [m/s2] kg kg (m2‐m1)/(m1+m2)
0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0
Beschleu
nigu
ng a [m/s
2]
Massenverhältnis
Tabelle 5: Beschleunigung a versus Masseverhältnis.
4 e) Berechnung der Seilkräfte
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Berechnen Sie die Seilkräfte für die vier gewählten Masseverhältnisse. Die Seilkräfte können nach
folgender Beziehung berechnet werden.
∙∙
Messung Nr. Masse 1 Masse 2 Erdbeschleunigung Seilkraft S