FACULDADE ANHANGUERA DE CRICIÚMA TECNOLOGIA EM GESTÃO PÚBLICA MATEMÁTICA A.T.P.S. ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS Prof ª: M a Ivonete Melo de Carvalho
FACULDADE ANHANGUERA DE CRICIÚMA TECNOLOGIA EM GESTÃO PÚBLICA
MATEMÁTICAA.T.P.S. ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS
Prof ª: Ma Ivonete Melo de Carvalho
Criciúma20 de setembro de 2012
FACULDADE ANHANGUERA DE CRICIÚMA TECNOLOGIA EM GESTÃO PÚBLICA
MATEMÁTICAA.T.P.S. ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS
Carlos Gabriel Romão RA 349339Cristiano Damázio RA 390684
Gisele Delfino de Sousa RA 397865Marina Villas Bôas Schön RA 394669
Prof ª: Ma Ivonete Melo de Carvalho
Criciúma20 de setembro de 2012
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO................................................................................................................ 01
2. Apresentação da Empresa ................................................................................................. 02
2.1. A importância do estudo das funções de 1o grau ....................................................... 05
2.2. Fórmula de Báskara .................................................................................................. 08
2.3. Compreendendo a Função Exponencial e Porcentagens ........................................... 20
3. CONCLUSÃO .................................................................................................................. 24
REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 25
1. INTRODUÇÃO
O presente trabalho tem o objetivo de demonstrar a empresa Visual Decorações, uma empresa
especializada em decoração de interiores, focada no objetivo de se tornar uma referência no
setor.
Serão apresentados todos os setores desta empresa, entre eles os setores de Marketing, com
todas as suas ações voltadas ao cliente; Recursos Humanos com grande foco nos
colaboradores e aspectos organizacionais, além do setor Financeiro, com grande potencial e
visão de lucro.
Serão abrangidos principalmente os fatores econômicos, de custos, juros descontos e receitas
utilizadas em nosso negócio. Também serão apresentadas algumas situações do cotidiano
desta empresa, utilizando fórmulas aprendidas na matemática.
1
2. APRESENTAÇÃO DA EMPRESA
Visual Decorações
A Visual Decorações é uma empresa especializada em decorações de ambientes internos,
entre móveis e objetos de decoração. A empresa foi criada em 2012, com o objetivo de
atender seus clientes, com o que há de melhor no mercado da região sul de Santa Catarina e
tornar-se referência na área de móveis e artigos para decorações desenvolvidos com
qualidade, criatividade e originalidade.
É uma empresa com princípios e valores orientados pela transparência, inovação e eficiência
em tudo que faz, com a missão de fornecer móveis sob medida de qualidade para todos os
tipos de ambientes e aplicações, seguindo a fidelidade daquilo que foi planejado pelos clientes
e projetistas, com preços adequados, cumprindo os prazos prometidos.
O publico alvo da empresa são pessoas que buscam transparência e qualidade nos produtos
oferecidos para a decoração de suas residências, apartamentos, condomínios, hotéis e até
mesmo para empresas, com móveis para escritório.
Atualmente a empresa dispõe de um capital social de R$145.000,00. A meta é expandir,
abrindo filiais em outras cidades do estado, aumentando gradativamente nosso número de
clientes em torno de 20% ao ano.
Com a responsabilidade no cumprimento de prazos, possui uma variada forma de atuação,
com procedimentos definidos por leis, com discrição na troca de informações de fornecedores
ou clientes.
Possui um alto controle na administração de seus valores, observando matematicamente a
cada processo de seus projetos e custos, utilizando diversas fórmulas de cálculos: calculando a
obtenção dos custos fixos e variáveis para que se possa ter o controle da produção; utilizando
da função Receita para obtermos finalmente o Lucro desejado e aplicando descontos simples
aos clientes.
Atuando sempre com responsabilidade social e ecológica, utiliza-se de recursos naturais,
garantindo assim a Sustentabilidade.
2
Marketing
O marketing da empresa nada mais é do que um conjunto articulado de esforços, ações,
estratégias e produtos de comunicação, planejados e desenvolvidos por nossa empresa com o
objetivo de agregar valor a marca e consolidar nossa imagem junto à sociedade, atraindo o
público.
Para que esse objetivo seja alcançado temos uma equipe com o foco principal em conhecer o
nosso próprio produto, nossa qualidade, portanto, conhecerem a empresa como um todo,
desde o projeto inicial ao produto acabado, onde essa mesma equipe passa a observar e
analisar as características e estratégias dos concorrentes e seus produtos, buscando o
diferencial dos produtos.
Nossos profissionais utilizam-se de pesquisas de mercado, com base no que o consumidor
deseja para que através destas pesquisas possam ser criadas propagandas e anúncios que
chamem a atenção deste público, fazendo com que o consumidor tenha interesse em conhecer
a qualidade oferecida em nossos produtos.
Administração das vendas
Como métodos de vendas, obtemos todas as taxas adequadamente aplicadas a qualquer
parcela seja essa relativamente alta ou baixa, deixando assim que seja de fácil acesso para
clientes e de alto lucro para a empresa.
Administração da propaganda e publicidade
A Visual Decorações possui várias formas de divulgação de seus projetos, sendo desde a
decoração de pequenos ambientes a interiores de maiores dimensões e para ambos os
públicos.
Utiliza de recursos como Outdoors de fácil visualização para melhor destaque, recorrendo
também à utilização da internet, rádios, televisão e propagandas.
3
Recursos Humanos
A Visual Decorações, sempre preocupada em oferecer o melhor ambiente de trabalho, conta
com um departamento de Recursos Humanos muito bem estruturado, para atender as
necessidades de todos os seus colaboradores, com uma equipe completamente preparada e
com foco no objetivo para tornar nossa empresa uma das melhores empresas para se trabalhar
na visão dos nossos colaboradores.
Contamos hoje, com total de 200 funcionários, entre cargos administrativos e operários.
Buscamos pessoas no mercado de trabalho que tenham força de vontade e comprometimento
com a empresa.
Disponibilizamos vagas para estagiários e também para portadores de deficiência física, pois
contamos com um programa de treinamento muito bem estruturado, que busca ensinar uma
profissão, e dar oportunidade de crescimento profissional aos nossos funcionários.
Departamento Financeiro
O departamento financeiro da Visual Decorações tem como função controlar a empresa,
controlar os gastos. É considerado o departamento mais importante. Este departamento tem
como finalidade vários itens como: analisar financiamentos, controlar financeiramente,
recursos de entrada e saída, analisar e participar do mercado financeiro.
Sabendo que é necessário planejamento e organização para o sucesso da empresa, a equipe de
funcionários desse setor trabalha com afinco penetrando em todos os outros setores da
empresa, objetivando o lucro.
4
2.1 IMPORTÂNCIA DO ESTUDO DAS FUNÇÕES DO 1º GRAU
As funções são utilizadas nas mais diversas ocasiões do nosso dia-a-dia. Nem sempre
percebemos, mas estamos em contato diário com as funções.
Quando assistimos ou lemos um jornal, muitas vezes nos deparamos com um gráfico, que
nada mais é que uma relação, comparação de duas grandezas ou até mesmo uma função, mas
representada graficamente.
Para que esse gráfico tome forma, é necessário que essa relação, comparação, seja
representada em uma função na forma algébrica.
Até mesmo uma simples compra, pode ser mais bem sucedida se o comprador tiver o mínimo
de conhecimento sobre juros simples e descontos simples, estudados na matemática
financeira.
A seguir mostraremos como as funções ajudam a resolver inúmeros problemas práticos e
teóricos:
A. A receita obtida na comercialização de um determinado produto pode ser obtida por meio
da equação R=1,50x, na qual x representa a quantidade de produtos comercializados. Se a
receita for de R$ 9.750,00, quantos produtos foram comercializados?
Portanto,
R= 1,50x
9750 / 1,50
X=6500 produtos comercializados.
Então,
R= 1,50x
5
R= 1,50 . 6500
R=9750
Para obter uma receita de R$9.750,00, foram comercializados 6500 produtos.
B. Um empresário da área da engenharia mecânica compra matéria-prima para produção de
parafusos específicos por R$0,75 para cada duas unidades e os vende ao preço de R$3,00 para
cada 6 unidades. Qual o número de parafusos que deverá vender para obter um lucro de
R$50,00?
Esse empresário deu um desconto sobre a venda de um lote de parafusos e, mesmo assim,
conseguiu um lucro de 20% sobre o custo do lote. Se o desconto não fosse dado qual seria seu
lucro, em porcentagem?
Portanto, se
O valor de 6 peças é R$3,00, o valor unitário será R$0,50.
O custo de 2 peças é R$0,75, o custo unitário será R$ R$ 0,375.
Na fórmula temos:
R= p. q
50 = 0,125 . q
50 / 0,125 = q
Q = 400 parafusos
Então:
6
R= p. q
R= 400. 0, 125
R=50
Portanto houve um desconto de 20%, constituindo o valor de R$10,00.
Analisando as finanças da Visual Decorações, foi verificado o seguinte:
1. O preço unitário de luminárias é de R$230,00. Se foi obtida uma receita de R$5750, em
relação à venda deste produto especifico no período de uma semana, qual foi a quantidade de
luminárias vendidas?
A função a ser utilizada é a seguinte:
R= p . q
5750= 230 . q
5750/230 = 25
Portanto, foram vendidos 25 luminárias.
2. O custo de fabricação de um papel de parede é R$3,64 o metro, e é vendido à R$6,64, se
foi obtida uma receita de R$398,40. No dia em questão, foram vendidos 60 metros de papel
de parede, qual é a função Lucro?
L= R – C
L= 398,4 – 218,4
L=180
Logo o lucro obtido com a venda de papéis de parede do dia em questão foi de R$180,00.
7
3. FÓRMULA DE BÁSKARA
Denomina-se equação do 2° grau, toda equação do tipo ax²+bx+c, com coeficientes numéricos
A, B e C com .
Exemplos:
Equação A b c
x²+2x+1 1 2 1
-2x²+5x-1 -2 5 -1
Classificação:
Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º
grau incompleta.
1º caso: b=0
Considere a equação do 2º grau incompleta:
x²-9 = 0 » x² = 9 » x= » x =
2º caso: c = 0
Considere a equação do 2º grau incompleta:
x²-9x=0 » Basta fatorar o fator comum x.....................................................................................
x(x-9)=0 » x=0,9
3º caso: b = 0 e c = 0
2x² = 0 » x = 0
Resolução de equações do 2º grau:
A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolver
equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.
8
Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula
de Bháskara.
Como chegar na fórmula de resolução da equação de 2º ?
Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bháskara.
A idéia é completar o trinômio ax2 + bx + c de modo a fatorá-lo num quadrado perfeito:
ax2 + bx + c = 0 , inicialmente multiplicamos a igualdade por 4a ,
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 , agora somamos b2 aos dois lados da igualdade
4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2 ---> 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac --> (2ax + b) 2 = b2 - 4ac
2ax + b = --> 2ax = - b
Agora que já sabemos a fórmula vamos solucionar a equação x2 -8x + 15 = 0
Temos 2 soluções:
xI = → xI = → xI =
9
Já achamos uma solução, faremos agora a resolução para achar o xII:
xII = → xII = → xII
Portanto a equação possui 2 raízes, ou soluções.
♦A seguir mostraremos como a fórmula de Báskara ajuda a resolver inúmeros problemas
práticos e teóricos:
1.A (ANGLO) O lucro L obtido por uma empresa de ônibus em uma certa excursão é em
função do preço x cobrado. Se x for um número muito pequeno, o lucro é negativo, ou seja, a
empresa terá prejuízo. Se x for muito grande, o lucro também será negativo, pois poucas
pessoas adquirirão novamente a excursão. Um economista, estudando a situação, deduziu a
fórmula para L em função de x: L = -x2 + 90x – 1.400 (L e x em unidades monetárias
convenientes).
a. Haverá lucro se o preço for x = 20?
L = -x² + 90x – 1400
L = -20² + 90.20 – 1400
L = -400 + 1800 – 1400
L = 1400 – 1400
L = 0
Portanto, não haverá lucro se o preço de x for igual a 20, nem prejuízo.
b. E se o preço for x = 70?
10
L = -x² + 90x – 1400
L = -70² + 90.70 – 1400
L = -4900 + 6300 – 1400
L = 1400 – 1400
L = 0
Também não haverá lucro se x for igual a 70, nem prejuízo.
c. O que acontece quando x = 100? Explique.
L = -x² + 90x – 1400
L = -100² + 90.100 – 1400
L = -10000 + 9000 – 1400
L = -1000 – 1400
L = - 2400
Neste caso houve prejuízo pois o número x é muito grande.
d. Esboce o gráfico dessa função,
Os coeficientes dos termos das funções são a = -1, b = 90 e c = -1400.
● A concavidade é voltada para baixo, pois a ˂ 0.
● A parábola corta o eixo L em c = -1400, pois quando q = 0, temos
L(0)= -1.02 + 90.0 -1400 → P(0) = -1400
● A parábola corta o eixo x quando L = 0, o que leva a
-x2 + 90x - 1400 = 0
11
Ao acharmos as duas soluções ou as duas raízes dá para perceber que a função só é positiva
entre 20 e 70, e como vimos nas questões anteriores se o valor de x for igual a 20 ou a 70 a
função é igual a zero. Para qualquer outro valor fora desse intervalo a função será negativa.
Para esboçar o gráfico escolhemos alguns valores para mostrar justamente o que foi explicado
acima:
(x,y) = A (19,-51), B (20,0), C (25,225), D (69,49), E (70,0)
10 20 30 40 50 60 70 80-100
0
100
200
300
400
500
600
700
preço
lucr
o
e. A empresa deverá cobrar quanto (moeda vigente) para ter lucro máximo? Qual é esse lucro
máximo?
Para saber o lucro máximo basta descobrirmos o vértice da parábola, ou seja, o seu ponto
máximo. É este ponto máximo que será também o lucro máximo.
● O vértice da parábola é dado pelo o ponto V=(xv;Lv) =
V = → V = (45;625)
13
Portanto o ponto máximo da parábola é dada por (x,y) = (45,625). Isso significa que quando o
preço de x for R$ 45 teremos o lucro máximo que é de R$ 625.
1.B Em uma empresa de x colaboradores, seria feita uma divisão igualmente de R$ 1.00,00.
Como faltaram 5 colaboradores, cada um dos outro ganhou R$10,00 a mais.
a. Escreva a equação que corresponde a esta situação.
1.000 / x = y
1.000 / ( x – 5 ) = y + 10
b. Qual é o número real de colaboradores?
Sabendo que y segundo a 1ª equação é igual a 1000 / x :
1.000 ( x – 5) = (1.000 / x ) + 10
1.000 = (1.000 / x ) +10 * ( x – 5 )
1.000 = ( 1.000 x – 5.000 ) / x +10 x -50
1.000 + 50 = 1.000 – 5.000/x + 10x
50 = -5.000 / x * ( x )
5 x = - 500 + x2
x2 – 5x – 500 = 0
Por Báskara:
14
→ → x1 = 25
→ x2 = -20
Descartamos o 2° resultado pois foi negativo. Então a resposta é 25 colaboradores.
c. Quanto cada um recebeu?
Se o número de colaboradores era 25 cada um deveria receber R$40,00, pois
R$1.000,00/ 25 = R$40,00
Mas como apenas 20 estavam presentes sobraram R$200. Estes R$200 foram divididos
igualmente ente os 20 colaboradores que compareceram e cada um recebeu R$10 a mais. No
total cada um dos 20 colaboradores recebeu R$50.
15
♦Analisando algumas situações em nossa empresa foi possível aplicar a fómula de Báskara
para solucioná-las, como mostraremos a seguir:
1. Em nossa linha de produtos, a produção P, de almofadas depende da quantidade, q, de
tecido utilizado, e tal dependência pode ser expressa por P = -3q2 + 90q +525. Considerando a
produção de almofadas em unidades e a quantidade de tecido em m2, faça um esboço de
gráfico e determine a quantidade de almofadas para que a produção seja máxima, bem como a
produção máxima.
Os coeficientes dos termos da função são a = -3, b = 90 e c = 525.
● A concavidade é voltada para baixo, pois a ˂ 0.
● A parábola corta o eixo P em c = 525, pois quando q = 0, temos
P(0)= -3.02 + 90.0 + 525 → P(0) = 525
● A parábola corta o eixo q quando P = 0, o que leva a
-3q2 + 90q + 525 = 0
Cujas raízes, se existirem, são obtidas por Báskara:
△= b2 – 4ac → △= 902 -4.(-3) . 525
△=14.400 → △ > 0
Duas raízes reais e distintas são dadas por:
q = → q = → q =
16
q1= → q1 = -5 e q2
= → q2 =
35
ou seja, a parábola corta o eixo q nos pontos q1 = -5 e q2 = 35.
● O vértice da parábola é dado pelo o ponto V=(qv;Pv) =
V = → V = (15;1200)
Com isso sabemos que a quantidade máxima de tecido é de 15 m2 para produzirmos o número
máximo de almofadas que é 1200 unidades. A seguir esboçamos a parábola:
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 400
200
400
600
800
1000
1200
1400
quantidade de tecido
Pro
du
çã
o d
e a
lmo
fad
as
2. Um cliente nos procurou e disse que queria por divisórias em sua pequena empresa para
fazer mais um escritório. O cliente comprou 22m de divisórias e nos pediu para calcular a
metragem de cada lado, já que o formato do escritório é retangular e com área total de 25m 2.
Que medidas deve ter esse retângulo para que possamos aproveitar os 22m de divisórias num
escritório retangular de 25m2?
17
Solução:
O escritório retangular pode ser representado pela figura abaixo,
y
x
Sabemos que área de um retângulo é o produto da base pela a altura. Daí tiramos nossa
primeira equação: xy = 25.
Sabemos também que a soma de todos os lados deve ser igual a 22:
x + y + x + y = 22
2x + 2y = 22 (/2)
x + y = 11
y = 11 - x
Portanto, já temos nossa segunda equação: y = 11 - x.
Agora, basta substituir o valor de y desta equação na equação que foi apresentada primeiro. E
fica assim:
xy = 25
x (11 – x) = 25
11x – x2 = 25
–x2 + 11x – 25 = 0 (–)
x2 – 11x + 25 = 0
Assim chegamos em uma função de 2o grau e sabemos que os coeficientes são:
a = 1, b = - 11 e c = 25
18
25m2
x1 = 7,79
x2 = 3,21
Então os lados do retângulos são 7,79 e 3,21 e somando todos os lados chegamos ao total de
22m de divisórias,
7,79 + 3,21 + 7,79 + 3,21 = 22
Como podemos ver na figura:
7,79
3,21 3,21
7,79
19
Agora já sabemos quanto medirá cada lado do escritório retangular e poderemos fazer a metragem
correta de divisórias para cada lado, atendendo as necessidades do nosso cliente.
2.3 COMPREENDENDO A FUNÇÃO EXPONENCIAL E PORCENTAGENS
● Um veículo após sua compra, desvaloriza-se exponencialmente à razão de 20% ao ano. Se
o valor da compra foi de R$ 75.000,00, depois de 5 anos esse trator terá seu valor:
a. Reduzido a aproximadamente a metade de seu valor de compra.
b. Reduzido a aproximadamente um terço de seu valor de compra.
c. Reduzido a aproximadamente um quarto de seu valor de compra.
d. Reduzido a aproximadamente um quinto do seu valor de compra.
e. Reduzido em 20%.
V = 75.000 (1 – 0,20 ) 5
24.576,00
75.000/ 3 = 25.000
Resposta correta é a letra B, reduzido aproximadamente 1/3 do seu valor.
20
● (UFMT) Uma financiadora oferece empréstimos, por um período de 4 meses, sob as
seguintes condições:
1ª) Taxa de 11,4% ao mês, a juros simples;
2ª) Taxa de 10% ao mês, juros compostos.
Uma pessoa fez um empréstimo de R$ 10.000,00 optando pela 1ª condição. Em quantos reais
os juros pela 1ª condição serão menores do que os cobradores pela 2ª.
O cálculo de juros simples é representado por : J = P * i *
J = P * i * n
J = 10.000 * 0,114 * 4
J = 4.560
10.000 + 4.560 = 14.560
O cálculo de juros compostos é representado por: M = P * (1 + i)n
M = P * (1 + i)n
M = 10.000 * (1 + 0,1) 4
M = 10.000 * (1,1)
M = 10.000 * 1,4641
M = 14.641,00
Para sabermos a diferença de juros entre os dois cálculos basta utilizarmos subtraímos o valor
total dos juros compostos pelo o valor toral dos juros simples.
21
14.641,00 – 14.560 = 81,00
Portanto a diferença é de R$ 81,00.
Usando a função exponencial conseguimos resolver a seguinte situação dentro de nossa
empresa:
●Nosso veículo para entrega de mercadorias aos clientes, desvaloriza-se exponencialmente à
razão de 15% ao ano e o valor de compra inicial foi de R$80.000.
Com base nessas informações calcule:
a. A função representativa do valor V em função do tempo x.
b. O valor V do veículo após 3 anos de uso.
M = C * (1 – i) x
V = 80.000 (1 – 0,15) x
V = 80.000 * 0,85 x
V = 80.000 * 0,85 3
V = 80.000 * 61,4125
V= 49,130
O valor do veículo após 3 anos será de R$49.130,00.
● A Visual Decorações oferece financiamento para seus clientes para compras acima de R$
1.000,00 por um período de até 6 meses, sob tais condições:
1a) Taxa de 4,6% ao mês, a juros simples;
2a) Taxa de 4,2% ao mês, a juros compostos.
Certo cliente efetuou compras no valor de R$5.000,00 e quis saber quanto ele pagaria de juros
por cada taxa e a diferença entre elas se ele fosse financiar sua compra em 6 meses.
22
Solução:
Para calcular os juros simples iremos aplicar os valores a fórmula J = P . i . n
Sendo que J representa juros, P representa o capital inicial, i representa a taxa de juros e n
número de períodos.
J = 5.000 * 0,046 * 6
J = 1,380
Este seria o valor dos juros simples e o cliente pagaria o valor final de 6,380 por suas compras.
Para calcular os juros compostos iremos usar a fórmula M = P (1 + i)n, onde M representa o
montante final.
M = 5.000 (1 + 0,042)6
M = 5.000 (1,042)6
M = 5.000 * 1,2799
M = 6.399,50
O valor total das compras a juros compostos seria de R$6.399,50 sendo que o valor dos juros
seria R$1.399,50, como podemos ver em J = M – P
J= 6.399,50 – 5.000
J = 1.399,50
23
Portanto o valor dos juros simples seria de R$1.380,00 enquanto que o valor dos juros compostos
seria de R$1.399,50 e a diferença entre eles seria de R$ 19,50. Mostrando estes valores para
nosso cliente ele optou em fazer o financiamento a juros simples.
3. CONCLUSÃO
Este trabalho foi de suma importância para o aprendizado eficaz de todo o grupo, pois tivemos a chance de ver como os conceitos e teorias aprendidas são colocados em prática dentro de uma empresa. Pelo que podemos perceber, é necessário que a empresa tenha bons administradores e uma equipe de colaboradores comprometida com o trabalho para obter o lucro final positivo. O departamento financeiro infuencia diretamente todos os demais setores da empresa.
A matemática, com seus diversos cálculos, gráficos e funções, é utilizada constantemente no dia-a-dia de uma empresa, seja ela de pequeno, médio ou grande porte, visto que, na maioria das vezes, cada tomada de decisão exige raciocínio lógico e cálculos concretos.
24
4. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo. Matemática aplicada e adminstração,
economia e contabilidade. São Paulo: Cengage Learning, 2012. 506p
UOL. UOL Educação: Fórmula de Bháskara. Disponível em:
<http://educacao.uol.com.br/matematica/bhaskara.jhtm>. Acesso em 10 de setembro de 2012.
HOME PAGE. Alessandro Andreatini: Fórmula de Bháskara. Disponível em
<http://sandroatini.sites.uol.com.br/bhaskara.htm>. Acesso em 10 de setembro de 2012.
YOUTUBE. Novo Telecurso – Ensino Médio – Matemática – Aula 25 do Telecurso – item
1 de 2. Disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=2PQe969Zu00>. Acesso em 16 de
setembro de 2012.
25