MATEMATICKÁ ŠTATISTIKA Základné pojmy matematickej štatistiky Matematická štatistika sa zaoberá štúdiom prijatia rozhodnutí v tzv. podmienkach známe, ktorý zo zákonov rozdelenia pravdepodobnosti pôsobí v danom prípade. isiace od náhodnej udalosti, avšak nepoznáme ani súhrn podmienok γ pravdepodobnosti pôsobí v Fyzikálny príklad gama kvantá – napr.: K - p → γγ + X. • ( 29 ( 29 2 2 1 2 2 1 p p E E m + - + = γγ jej odpovedajúci pravdepodobnostný zákon nepoznáme.. • • Výsledkom experimentu je rozdelenie m γγ. Obr. 1: spektrum invariantných hmotností γγ γγ-parov charakterizujúce daný γγ γγ-experiment
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
MATEMATICKÁ ŠTATISTIKA
Základné pojmy matematickej štatistiky
Matematická štatistika sa zaoberá štúdiom prijatia rozhodnutí v tzv. podmienkach������������ ����������� �������������� ���!"�����#��$%�� '&() �����������*&,+-�)��/.0 ��1��+�() ������2�3�)��456 �������87���9� �:;�)9�<���známe, ktorý zo zákonov rozdelenia pravdepodobnosti pôsobí v danom prípade.= ��4�>�?��:@�A7��B.C784�1�����!D:E+-:@�A���� ,F�#G3�� '&() �����������H&,+-� isiace od náhodnej udalosti,avšak nepoznáme ani súhrn podmienok γγ ��������$-() I�?J'78�-��C:@�-���#� ��4-�)8�� )�K���� ��2LM&N *&,+-�) ��) ��pravdepodobnosti pôsobí v ��4-�) �: 7���.O784�����QPH������R���S�����6��$S���T4566&N ���4?GU�-J�78�����:E�-���I��4&,+��)5�4���V:E�-��4��).�������#�6L�W-(X���56��.C�I4<&,4Y7� �:Z �W%�����#�#L�W-(X:E�?��[��H���B ,F�#GV7���.���5��8\B��$<&,+����-�]���
F��)���i7����������4-�) ���4?Gj��+-() �����b����59�������IW-(�4-��4-��������6&�?��b�W-�X��+k\0�-J�78�����:E�-���2�T7��B�� �: jej odpovedajúcipravdepodobnostný zákon nepoznáme..
• l �T4566&,+TW���j���2�/�� H��+-() ������2�m����59�������%�n4<&N.�����4-��42��b* ,784��) ���4-�).�:o�?J'78�-��C:@�-���#�p�• Výsledkom experimentu je rozdelenie mγγγγ.
Obr. 1: spektrum invar iantných hmotností γγγγ-parov charakterizujúce daný γγγγ-experiment
Predpoklad:
• qsr'tu�v-wExzyBr'tN{9|�}nx-u)~�x�u�vk}B�)r���x?��x�����r�y��k����� ���%��r'tu�v-wEx�t,v��)~��/{6r���� σσ od hmotnosti MyBr't��8����2�����Tx2�V�/�Q�T�k����~��TxQ�n�Vu�� γγγγ.
• qsr'tu�v-wEx���wZrK�6u)r�������y]��x2�`�T�k�B��~��x�� π0−mezón), teda poznáme jemu zodpovedajúcerozdelenie hustoty pravdepodobnosti invariantnej hmotnosti mγγγγ.
• �Mx���r'tu�v-wEx���wZrK�6u)r����"��y2����x2�D�T�k����~��TxU� η−mezón) a teda ani jemu zodpovedajúcerozdelenie hustoty pravdepodobnosti.
1. q y�x-��x-y�~�����µ,��rK��¶�t� �¸·,xD��y2�)r��o��k����~9�r�����x π0−mezón − teda pre známe rozdelenie���8�B��rK�6µ¹��y��-�)��x���r���r,º�u)r�����~ tN~��B��~#�»u��-�)r�¼n�)r½�¦x¾��y����)��x���r���r,º�u�v¿��µN��rK��¶�t,� �d·,x¿�experimente sa realizuje rozdelenie mγγγγ zodpovedajúce π0−mezónu.
2. �Mv2�����À���8����rK�#�½y�r'tN��x�{�x-u)~9����y��-�)��x���r���r,º�u)r�����~Á��y�xÂ��y2�����Ã�T�k�B��~���� �Z��x��� u�v2�-�B�Ät,v-�)r�upravdepodobnosti, ktorý popisuje jej prejavenie sa v experimente. q y��-����~��-��µeu�v2�������wZrK�6u)r����_�B����wE�-u�x2�I�T�k����~��TxÅ�ÆtNr��,��r���x���2�����-� σσ rozdelenia mγγγγ �Ç�0�~Q�n�H��x���u�vÁr���x��u����k����~9�-�I�Y��r��8�
Poznámka: Vyššie spomínaný γγ-experiment prakticky delíme na 2 sub-experimenty:v rámci prvého (mγγ < 300 MeV) sa rieši úloha 1 a v rámci druhého sub-experimentu(mγγ > 300 MeV) sa rieši úloha 2�jÈQ~9xk}nx-u)~9x`��yBr,º�{�¶-w*�É�/~¸��µK·,����?��xÊ��y�~ ���?���R��xk����r����?�hypotézu o pozadí, t.j. o rozdelení mγγ v ��y�|O�8���xN�Æ·,x γ-kvantá nie sú geneticky spojené(nepochádzajú z y�r't��8����S��x2�Z~��B��x2�E��k����~9�Tx�Ë/�Æqsr't,���~9x¸��x@wZr'·u�¶E��y�xk�B����wE�?�Åw@x-��Ì���r��DÍdÎA���µ,��·N~ �����Y��y�~���r�wo�2�mwZr'·u)r����A~���x-y��T�-u�¶-�)r3��yB|����#�'���p�
ÏÅÐ�Ñ�ÒiÓpÔpÒ0ÓaÕ<Ó�Ö,×eÓ�ØjÙ
Náhodný výberÚ Û�ÜÝ,Þ�ß�à)á�âÝ�âäã�å@Ükæ_ç,ÜÄè�Û�éê�ë6ì;Ü?í'Þ8Ü-ÛBê�å@Ü�ît sme n-krát opakovali za tých istýchÞ�ß�Ý�åZê�Ü-î)ß�àaæ8â¸ç,ÜMïBå@Ü«ðNñ�ïBà�âá9ê
n na sebe nezávislých pozorovaní x1, ... xn è�Û�éê�ë�Ü2ãóò�Üá6ê�éêCî�ô8õ
premennej ΞΞ=( ξξ1,..., ξξn )æ�à�ë�ß�Û�Ü2ãóðNá9ß'çà�ô ξξi , i=1..n sú nezávislé a majú to isté rozdelenie
pravdepodobnosti ako náhodná premenná ξ sÝ�ê�ï�ë#Û�êOü�è�é-î)ß�èEý�è�î�à
ciou F(x) charakterizujúcazákladný súbor.
Náhodný vektor (ξξ1,..., ξξn ) sa nazýva jednoduchým náhodným výberom zozákladného súboru. N-tica hodnôt ( x1, ... xn ) sa nazýva realizáciou tohoto náhodnéhovýberu.
Výberová funkcia.
þ?Ü�ë�ßZÿnè'ü�ß�ò)ß�ÿnî�û�Û�ÜTû�á�î�â«ý�è�î�à�øê�â�î�û�ù)ß�Ý�î��-ù)ß*ò�ì,ü8Ü�Û]è ΞΞ teda g(ξξ1,..., ξξn) � ã¦Ü3ë�ßIë�ê�Ü�ç«î�û-ù)ß�Ý�î�ûò�Ü�á9ê�é�ê�î�â�õ������� ���������������������� ��!�"$#$�%�
. Nech náhodná premenná ξξ å@ûQÝ�ê�ï�ë6ÛBêCü�è�é-î�&�ý�è�î�à�øê�è F(x) a nechE(ξξ) = a a D(ξξ) = σσ2. Nech ΞΞ=( ξξ1,..., ξξn ) je náhodný výber o rozsahu n ( >1 ) a nechvýberová funkcia je:
')( ∑=
==n
iin n
g1
,...,1
1)( ξξξξ , po tom ju nazývame výberovým aritmetickým
priemeromæTÞ�Û�ê9éß�åÉÞ�á9â?ë�ñ+* E a D
n( ) , ( )ξ ξ
σ= =
2
b) ( )h snn i
i
n
( ),...,ξ ξ ξ ξ12 2
1
1= = −
=∑ , potom ju nazývame výberovou disperziou,
Þ�ÛBê�éß�åÂÞ�á�â?ë�ñ�* E sn
n( )2 21
=−
⋅σ .
Štatistický odhad
Výberová funkcia g(ξξ1,..., ξξn)æ8à�ë�ß�Û�ûXå@ûXë&Åò)á9âkï�ë#î)ß�ï�ú�æ�ç,ܸÞ8â-Û�â�å@Ü?ë#Û�Üjã¦Ü2ãAÛ�ß'ðNÝ�Üá9Ü-î)ê�â
ï�&�ò)ê�ï/ê9âdïEè�Û�éê�ë6ì,å Þ8â-Û�â�å@Ü?ë#Û�ß�å θθ základného súboru, nazývame štatistickým odhadomdaného parametra.
Štatistický odhad, ktorého stredná hodnota sa rovná hodnote odhadovanéhoparametra sa nazýva neodchýleným štatistickým odhadom
Kvantil .
,.-�/1032547698;:�-=<�>7?A@�BA>DC�E�F�G�HJI7E�G�K�/�>MLN?�O�PQ:R>�@S-T:.G�H10)P�<UG�-V:WO�BX-1YZ-1G�G�-V:ξ a nech je danéF\[7?�]P
α ∈4V^9_T`�8Ra�bcKdF�[7?X]MPe6
α je riešením pravdepodobnostnej rovnice:
F x P x( ) ( )α αα ξ α= < = t. j. (2.1),
potom xα nazývame αα××100 %-ným kvantilom.
Testovanie hypotéz
f�gih+j9k l�monqpTr.s5tum5vwn�x�l9syp h+x
Predpoklad:experiment je charakterizovaný náhodnou premennou ξξ s normálnym rozdelením
N(x,a,σσ2). Pritom poznáme σσ2 (=σo2) avšak nepoznáme a .
Obr. 2 °Q±%²�³D´~µM¶\·�¸º¹M»�¼\½�·�¾�¸À¿Á¶�¼\¹M³%¿�»�µS´5¼\ÂQ¾�·�Âûº·�µS·�Äi´�³Àµ7· a ¹�Å�¼\´XÆ¿ÈÇ�¿È´~²1³D¼�ÄɹM»�¼\½�·�¾�¸À¿Á¶�¼\¹M³%¿ 1-α
Metóda najmenších štvorcovÊ�Ë~ÌÎÍ1Ï�Í�ÐDÑ�Ò ÓÉÔ�Õ�Ö.×RÍ�Ø�ͺ×AÖ�ÙÚ×AÖSÕ1Û�ͺÜÞÝ Ó ßàÕ1ßZÓ ßZÙ�Ô�Ó\ÐSÜ�Í�ÐMÓáÏ�Ó�â�Ù�Ò�Ï�Õ1ßZÓdã�Ó1ä)ÙåÛçæRÓ�Ö�è�é
parametre, teda forma hustoty rozdelenia pravdepodobnosti (h.r.p.) je známe noÏ�ÓQâ�Ù�Ò�Ï�Õ1ßàÓêÛçæRÓ�Ö�è�éëã�ÓVãìâçÍ1ËAÍ1ßàÓ�Ö�ËXÓUíJî�ÍQâ�Ë�íðï�è�ñ�ßZÍ1Ï�ÕòÏ�Õ�ä)Ù�ÔUÏ�ÕóÛ�Ó�ÐÌ�Ø�ÌDÏ�ÍóßàÕòÏ)ÙUË+ßZÕ�Ð%Ï�Órozdelenie, avšak nepoznáme jej strednú hodnotu resp. disperziu.
×�ßàÓìßàÓ1ËAÍ�ÐMÌ5Ï�Ó\Ò Õ�Û)Ì7×�ÐMôeÏ�Õ�ä)Ù�ÔUÏ�ôeÛ�Ó\ÐMÌ�Ø\Ì%Ï�éy1 ,…, yn
s disperziami σ2i , i=1…n. Teda xõ je dané (nezávisle premenná) a yö je náhodný výber,è�Ö�ÙUË+ÑÉ÷�ä�÷�Ó1ßàÓ.â�ÙUø9Ý$Ì%ù¢Ï�ÍZÙ�ÔUä�Í\ÔÉÒ Õ1Û)Ì�×�ÐMÙ9×AÖ�Ì
E(y)=f(x). Nech teoretický model predpovedáÒ Õ�Û)Ì7×�ÐÙ9×Aùf(x; θö ) kde θö je súbor L
Nezávisle premenná xi : stredné hodnoty binov histogramu
Nezávisle náhodné premenné yi : obsah jednotlivých binov histogramu.
Disperzie n.p. yi : ii y=2σ
Príklad: Predpokladajme lineárny model (f(x)=a++bx) pre prípad súboru nekorelovanýchbodov: (xi, yi ±± σσi ) i=1,…,aPotom
2
1
)(∑=
+−=
n
i i
iiSQ
bxayL
σ (2.11)
Z rovníc:
0 a 0 =∂
∂=
∂∂
b
L
a
L SQSQ (2.12)
dostávame:
D
SSSSb
D
SSSSa
yxxy
xyxxxy
⋅−⋅=
⋅−⋅=
1
(2.13)
kde
∑∑
∑∑∑
−⋅=⋅
==
⋅===
ixxx
i
iixy
i i
iy
i i
iixx
i i
ix
i i
SSSDyx
Sy
S
xxS
xSS
2122
2221
1
σσ
σσσ
(2.14)
Disperziu (varianciu) parametrov parametrov θA (v uvedenom prípade
=
b
aθA )
získame nasledovne:TSyVSV ⋅⋅= )()( AAθ (2.15)
kde
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
n
n
y
b
y
by
a
y
a
S BB
1
1 (2.16)
Konkrétne pre náš prípad:
−
−=
1
1)(
SS
SS
DV
x
xxxθA (2.17)
Metóda maximálnej pravdepodobnosti
Princíp: vyberáme takú hypotézu, ktorá dáva C�DFE�G�HJI6K�LNMPO2Q�D(GR2S(O�T�R�TVU2CT�W�XYO�T,Z[T$Q�T$G�D/C�\V]udalostiam.^ G�D�_�M�E�]`SaC�b/cT�R$C�deO2Q�S(]`S/C�C�d�W�TfW4O�TgEgL'hiT$Mjclk Q(k O p(x||θθ) kde θ je parameter (x||θθ mR�n$Q�D�Z�o�M�E(S[p_VSfW�DaEgS�R$C�bqTrO�T�R$]�L�S(C�S/C�dsO2Q�D/GR2SgO�T�R�TVU2CT�W�Xq]�D�XqG�\2W�t�S�R�T$u x pri hodnote parametra θθ).Ak máme náhodný výber o rozsahu n, potom mu prislúcha h.r.p.:
∏=
=n
iin xpxxP
11 )|(),...,( θ (2.18)
vxw D�R2D/C�\yO-D(Q�D/]�S�hzS/Q θθ má pri daných realizáciách x1,…, xn nasledovnú (podmienenú)O2Q�D/GR2S(O�T�R�TVU2CT�W�X�{
( )∑
∏
=
=
==
=
n
ii
n
ii
xpLogLlLog
xpxl
1
1
|()(
)|()|(
θ
θθ
(2.19)
Hodnota parametra θθ sa získavá z podmienky maxima L:
0=∂∂θL
(2.20)
Príklad:^ W0u�M2h�T2I/CL|t}L~W0]`S�D n pokusov s výsledkami x1,…, xn p�O2Q�L|I�T$] C�b/cT�R$C�b�O2Q�S(]`S/C�C�b� c�D/Q�D/u2hiS/Q�L7Z�M�E�d � D�C�b6K�S�m,O-S/Q0L']�S/C2h�]�b�CT$Q"]�b�t'C�S�Q0T,Z[R2S�t�S(CL�S�O2Q�D/GR2S(O�T�R�TVU2CT�W�h�Lzp�O2Q�L|I�T$]nepoznáme jeho strednú hodnotu a disperziu:
ÎÏ¡$¥�»[º'¤iº�� X = RNDM(V)Resp. Call RANLUX(xn,n) ! dimenzia pole xn
�f¥- ��,Ð2°:§ ≥≥ n.
3.2 Všeobecné metódy modelovania
Jednorozmerná náhodná premenná.
Majme náhodnú premennú ξξ ÑsÒ�Ó�Ñ�Ô}Õ0ÓNÖ2×�Ø/ÙÚ$×�Ûi×�Ù�Ü�Ý�Ó}Ú$× F(x) a náhodnú premennú αα srovnomerným rozdelením v (0, 1). Ak ξξ´’ je riešením rovnice:
dF x F( ) ( )= ⇔ ′ =−∞
′−∫ α ξ α
ξ1
(3.7)
potom ξ’ Þgß Õ�Ú,à[Ò ß�á�ß Ù�â�ã�Ñ4ä á�å Ò ß Ñ¹Ò�ÓiÑ�Ô7Õ�ÓNÖ2×�Ø(ÙÚ$×fÛi×�Ù�Ü�Ý�Ó}Ú$× F(x), teda ξξ’=ξξ .
Majme náhodnú premennú ξ s hustotou pravdepodobnosti p(x) definovaná v D ≡ (a,b)� ���� �"!"#p(x) je v D $&%' ��(*),+-#�(�./�/�10 23054 ' #6���5!/7�8 x∈ D ⇒ p(x) ≤ M.
Obr. 5: Generovanie náhodnej premennej so 9;:=<�>@?BAC<ED hustotou pravdepodobnosti .
Generujme α1 a α2, kde αi je rovnomerne rozdelená na (0,1) a definujme :x a b a
y M
= + −=
( )αα
1
2
(3.10)
ak y ≤ p(x) ⇒ x je realizácia ξ, ak nie pokus opakujeme. Takýmto spôsobom� $ (GFH� '1I*$&J ��(�.K4 $ML � I 4�( $MLHNOJ #3P�)C+3QR(TSO2@#K4 $ML � I 4�( $ML�N�$&IU' #-�3P,)WV".-X3)�Q ξ.Y #-�3P�)�V".-X5)C�6(�. %*$ 7&(�#Z2 J #3P�)C+3)R([ ξ:1. generujeme náhodný vektor ( a+(b−a)α1, α2M );2.
4 '1J �U� $&\ 4 $ (�#�(�� I 4 $&J �5! I 2@# \ #OV"� ' #-�3P�)�V".-X5) I ξ �]���^7 '1I% .6� $&\ 4 $ (�#�(��_� L 4�`ba��K4 $ 7 \ )C#�(� Iα2M<p(x) (3.11)
Dôkaz:Náhodný vektor (ξ′,η′) ≡ ( a+(b−a)α1, α2M ) je rovnomerne rozdelený v (a,b)×(0,M). Akprejdeme k náhodnému vektoru (ξ,η) ≡ (ξ′,η′) α2M < p(x), potom tento náhodný vektor jerovnomerne rozdelený v oblasti G ≡(a,b) × ( 0, p(x) )
�c2�# %*$ 7) L � ' )Rd I +�(�.fe I (��X3),�c2�#
0
ba α1(b-a)
α2M
M
p(x)
x
î
∉∈
=Gyx
Gyxyxf
),(0
),(1),(2 (3.12)
g h�ifjk l�mWh�kon�p�q�rsut prv�w3kRpξ platí:
)()(),()()()(
2 xFdttpdudtutfdudtxPxFx
a
x tpx
===⋅=<=′ ∫∫ ∫∫ ∫∞− ∞−∞−
∞
∞−
ξ (3.13)
q.e.d.
Metóda rejekcie (odmietania)
Veta 1. Nech ϕ(x)=ϕ(x1,...,xn) x iyr�i5z"{@|�}&h1r�{Ut prv�w5kC~�j�i-tZkbr*}&��~�r�{U~�kRr�m_i3�"hH}&��~Em_i5�@r�{y�n−mernom kvádri { }D a x bi i i i
n≡ ≤ ≤
=1a pritom ϕ(x) ≤ M
|�h�i�v�~5�/j��x∈ D, kde M je
v*}&rG�Hm_~�r�m ~�����~3�,i x r�i-w�� ( )′ ′α α1, ,�n je vektorová náhodná premenná s rovnomerným
rozdelením v D a α je náhodná premenná s rovnomerným rozdelením v (0, 1), potomhustota zodpovedajúca podmienenej pravdepodobnosti
{ }P x i n Mi i i n′ < = ′ ′ ≥α ϕ α α α, , , | ( , , )1 � � (3.14)
x i�m }]mC}��3r�{�� c⋅ϕ(x1,...,xn) , kde c je normovacia konštanta.
Kde ( )χ ϕt t t t Mtn n1 1,... : ( ,... ) ≥ x i�kbr*jkRv�{Em }&h��^r*}��/kbr��|�h�i���i�rr��w�� t1,...,tn pre ktoré platír�i�h�}&�r*}M��� ϕ ( ,... )t t Mtn1 ≥ . Analogicky:
( )ϕ α α αa b a a b a Mn n n n1 1 1 1 1 1+ − + − ≥ +( ) ,..., ( )º*¡ konštruujeme ξ αi i i i ia b a= + −( ) pre i=1,...,n»*¡ Ak nie − procedúru opakujeme.
Veta 2. Ak Ξ je vektorová náhodná premenná s hustotou pravdepodobnosti cϕ(x1,...,xn) v
Veta 5. Nech ξ1 a ξ2 sú nezávislé náhodné premenné s hustotami pravdepodobností p1(x)resp. p2(x), potom hustota pravdepodobnosti p(y) sumy ξ1 a ξ2 sa rovná konvolúcii:
∫∞
∞−
⋅−= dxxpxypyp )()()( 21
Modelovanie rovnomerného rozdelenia na povrchu sféry.
ÌÎÍ�Ï*ÐCÑ3Ò&Ó�Í6Ô^ÕMÖ�Ð,×CØ�ÓÏ�Ñ�Ù¯Ú�Û�Ü3ÝRÞ�Ñ6Þgenerovaní bodov rovnomerne rozdelených vnútri gule.ßcÛ]àCÛ&ÔáÙ;Ñ6Ó�ÍZâ@Ò�ØKÚ�ãH×CØ�Ù;Ø3Ü�Ó*ÝbÏuä
P) priamky vedenej vygenerovaným bodom z centra gule (O)ѳÚ�Û&Þã�å�æ*Û&Ôèç"é*ÐCØ&ê/ëìÑ�Ï�àCÛíÓ�ÍÁâ@Ò�Ø�Ó�îKÚ�ã�×,Ø�Ù;Ø-Ü�Ó*ÝRÏÕïÙ¯ðUã�Û&ÞÓ*Û&Ô�Ø�ã1Ó�Ø6ãHÛ�ñ/Ò�Ø3ÐCØ�Ó�î³Ú�ÛyÚ�Û&Þã�å�æé^ç"é*Ð,Ø&êòEØ5Ò&Ó*Û]à�Ï*Û&Þ�î6Þ�Ø�Ï�àCÛ&ã1Õ�ÐCØ5ó/×,Ñ-å-Ø6Ó�Ñ�Ù¯Ú�Û@â�Ó*×,å3×
OP vykazujú priestorovú izotropiu.
Algoritmus:
1. ô Ø�Ó�Ø�ãHÛ&Þ�ÑEõOÓ�Í�æ*ÛÒ&ÓöíÞ�Ø�Ï�àCÛ&ã ( )321~,~,~~ αααα = , kde )3,2,1(5.0~ =−= iii αα sú náhodnéÞ�Ø5Ð,×CÜ5×bÓÕTÙ÷ã�Û&ÞÓ*Û&Ô�Ø�ã1Óö"ÔøãHÛ�ñ/Ò�Ø3ÐCØ�Ó*ÝRÔøÞ^×RÓ�à_Ø�ãÁÞ�Ñ3ÐCØ
(-0.5, 0.5) (αi je rovnomernerozdelené v (0,1) ).
2. Ak náhodný vektorα~ Ù¯Ú�ùbú�ѳÚ�ÛÒ&Ô�×CØ�ÓÏé�û
41~~~ 23
22
21 ≤++ ααα (1) ,
teda odpovedajúci bod sa nachádza vnútri gule s polomerom ½, potom vytvoriõ
vektor: ( )321 ,, ττττ = , kde 23
22
21
~~~
~
ααα
ατ
++= i
i sú smerové kosinusy
jednotkového vektora s izotropným rozdelením.
3. Ak náhodný vektorα~ Ó�Ø�Ù¯Ú�ùRú�ÑKÚ�ÛÒ&Ô�×,Ø�ÓÏéuäEü�ýÂþ&Û"ÚGÑ�Ï*Û&Þ�ÑEõ�ÿ�ÛÒ&Õ ü�Ñ � ê
ãHÛ�ñ5ÚGÑ3ÒíÔ�ØEñ��&Óé�â�Øf×Wñ/Û]à�ã�Û"Ú�Óö�ê���ØEà_Ø�Ï�àCÛ&ãìäCÞ*× Û"ÿ�ã�ê ü�ýdetekuje kvantá γ, ktorých smer výletu zviera s osou z uhol menší ako 45°. RozpadajúciÙ Ñ6Ô�Ø5ñ��&Ó�â@ØfÐ,Û&Ï�Ñ5Ð,×�ñ/Û&Þ�Ñ�ÓöíÞuå-Ø�Ó�à�ã�ØOÒ�ØEà_Ø�Ï�àCÛ&ã�Ñ�äCÞ*× Û"ÿ�ã@ê ü�ý ê
• Energetické rozlíšenie detektora je: [ ]GeVE
%1=ε
• Súradnicové rozlíšenie je ideálne.
òEØ6à�ã�Ø@ÿGÑ6Ó�ÍÁâ�ÙHõspektrum invariantných hmotností páru γγγγ (mγγ) pochádzajúcich z
rozpadu vyššie uvedeného mezónu.
� ��������� ���������������������! #"mγγ je definovaná ako: