Atividade 5 - MA211- Calculo II - Unicamp Desenvolvimento Questão 1 e 2 : Matheus Rufino 160925 Questão 3: Leticia Martins Marreiro 146925 Apoio: Professor Márcio Antônio de Faria Rosa Wesley Henrique 140986 Eduardo Silva 155208 Vanessa Teixeira 139201 Gabriel Vieira 155482 Phillipe Oliveira 157020 Isabela G. Fernandes 159753 A priori, Ávila, nos elucida o conceito de que “ f é diferenciável num ponto (x 0 ,y 0 ) se Δf = ⅆ f +r η, onde η → 0 com r → 0”. Ou seja, há existência de um plano tangente a origem de f em que a distância das perpendiculares do plano tangente ao plano Oxy tende a zero mais depressa do que r. Portanto, para que f da forma z = f(x,y) seja diferenciável num dado ponto (x 0, y 0 ) a diferenciável assume a forma ⅆ z = ⅆ f = f x (x 0 ,y 0 )(x - x 0 )+ f y (x 0 ,y 0 )(y - y 0 ).Sendo os acréscimos Δx e Δy variáveis independentes ∀ n ϵ ℝ. Printed by Wolfram Mathematica Student Edition
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Atividade 5 - MA211- Calculo II - Unicampmarcio/ps2015/nbooks/atv5Matheus160925.pdf · de que a distância entre a superfície e o plano de equação π = f(x0, y0)+fx(x0, y0)(x-x0)+fy(x0,
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Atividade 5 - MA211- Calculo II -
Unicamp Desenvolvimento
Questão 1 e 2 : Matheus Rufino 160925
Questão 3: Leticia Martins Marreiro 146925
Apoio:
Professor Márcio Antônio de Faria Rosa
Wesley Henrique 140986
Eduardo Silva 155208
Vanessa Teixeira 139201
Gabriel Vieira 155482
Phillipe Oliveira 157020
Isabela G. Fernandes 159753
A priori, Ávila, nos elucida o conceito de que “ f é diferenciável num ponto (x0, y0) seΔf = ⅆ f +rη, onde η → 0 com r → 0”. Ou seja, há existência de um plano tangente a origem
de f em que a distância das perpendiculares do plano tangente ao plano Oxy tende a zero mais
depressa do que r.
Portanto, para que f da forma z = f(x,y) seja diferenciável num dado ponto
(x0, y0) a diferenciável assume a forma
ⅆz = ⅆf = fx (x0, y0) (x - x0) + fy (x0, y0) (y - y0).Sendo os acréscimos Δx e Δy
variáveis independentes ∀ n ϵ ℝ.
Printed by Wolfram Mathematica Student Edition
Caso f seja f(x,y) = x então fx = 1 e fx = 0 portanto ⅆf = Δx ou ⅆx = Δx ; ⅆy = Δy. Logo a expressão
da diferencial de f fica: ⅆf = fx ⅆx + fy ⅆy = ∂f ⅆx∂x
+ ∂f ⅆy∂y
. Onde ⅆx e ⅆy são agora as vars indepe-
dentes ∀ ⅆx,ⅆy ϵ ℝ.
Com isso, Ávila enuncia a condição de diferenciabilidade formulada em termos de ⅆf mais o incre-
mento. Denotando da forma como demonstrado anteriormente: rη + Δf = ⅆf. Juntamente a condição
de que a distância entre a superfície e o plano de equação π =
f (x0, y0) + fx(x0, y0) (x - x0) + fy(x0, y0) (y - y0)medida ao longo de perpendiculares ao plano Oxy tende
a zero mais depressa que r.
Mas, isso não é tudo, Ávila atenta ao fato de que NÃO basta que f tenha derivadas parciais uma
vez que funções não contínuas - logo não diferenciáveis - vez em quando possuem
∂z∂x
, ∂z∂y. Para que a função seja de fato diferenciável é condição necessária
e imprescindível que f seja contínua em todos e qualquer ponto (x0, y0).
Tendo em argumento o exemplo de uma função que possui tanto derivadas parciais como um
ponto contínuo mas não sendo diferenciável. Provando pelo absurdo o teorema “Toda função
diferenciável necessita abarcar tanto a condição de de ser derivável ∀ (x0, y0) ϵ ℝ e ser contínua
em todos os seus pontos e ter limite com r → 0”
Podemos com o auxílio do Mathematica verificar graficamente que f(x,y) = x y entra nesse
caso, tem derivadas parciais, continuidade em (0,0) mas não é diferenciável.