Astrofísica

Apunts d’astrofısica i cosmologia (Part d’astrofısica)

March 26, 2014

1

Contents

1 Introduccio 51.1 Estrelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Ambient i formacio estel·lar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Generacio i transport d’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Escales de temps estel·lars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Equilibri hidrostatic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Evolucio estel·lar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 El medi interestel·lar 92.1 L’estructura galactica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 El contingut del medi interestel·lar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 El Teorema del Virial 103.1 Consequencies del teorema del Virial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1.1 Estabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.1.2 Contraccio gravitatoria i alliberament d’energia . . . . . . . . . . . . 113.1.3 Exercici: la temperatura estel·lar mitjana . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Formacio de les estrelles 134.1 Formacio de les protoestrelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.1.1 El criteri de Jeans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.1.2 Col·lapse homoleg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.1.3 Fragmentacio de nuvols col·lapsant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.1.4 Exercici: la lluminositat d’Eddington . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5 Equilibri hidrostatic 175.1 Equacio de conservacio de la massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.2 Equacio de conservacio del moment i equilibri hidrostatic . . . . . . . . . . 18

5.2.1 El camp gravitatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.2.2 Equilibri hidrostatic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.3 La formulacio Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6 Escala de temps dinamica, termica i nuclear 206.1 Escala de temps dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.2 Escala de temps termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.3 Escala de temps nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2

7 Estructura mecanica 237.1 L’equacio d’estat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.2 Exercici: una estimacio de la temperatura i pressio centrals . . . . . . . . . 247.3 Exercici: un lımit inferior en la pressio central . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

8 L’estrella politropica 258.1 L’equacio del gas politropic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258.2 Solucions de l’equacio del gas politropic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

8.2.1 Exercici: l’estrella en equilibri radiatiu d’Eddington . . . . . . . . . 26

9 L’estructura termica 279.1 L’equacio de conservacio d’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

10 Transport d’energia 2910.1 Transferencia d’energia: difusio de fotons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

10.1.1 Exercici: l’escala de temps d’ajustament termic . . . . . . . . . . . . 3010.1.2 L’opacitat mitjana de Rosseland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

10.2 Transferencia d’energia: conduccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3210.3 Transferencia d’energia: conveccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

10.3.1 El criteri d’estabilitat de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . 3210.3.2 Lluminositat d’energia de conveccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3410.3.3 Causes de la inestabilitat convectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3410.3.4 La teoria de longitud de mescla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

10.4 L’equacio del gradient de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

11 Generacio d’energia i nucleosıntesi estel·lar 3611.1 Combustio nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3611.2 Nucleosıntesi estel·lar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

11.2.1 Les cadenes proto-proto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3711.2.2 El cicle CNO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3811.2.3 Elements mes pesats que el ferro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

12 Atmosferes estel·lars 4012.1 Transferencia de radiacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4012.2 Obtenint T(τ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4112.3 Estructura mecanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4212.4 Processos que determinen les lınies espectroscopiques . . . . . . . . . . . . . 42

13 Evolucio presequencia principal 4213.1 La trajectoria de Hayashi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

14 Sequencia principal 43

3

15 Perdua de massa en estrelles poc i molt massives 43

16 Evolucio estel·lar postsequencia principal 43

17 Calculs de l’evolucio estel·lar 43

18 El gas degenerat 4318.1 L’energia de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

18.1.1 Exercici: la condicio de degeneracio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4518.2 L’equacio d’estat per al gas degenerat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4518.3 El lımit de Chandrasekhar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

19 Objectes compactes 4619.1 Nanes blanques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4619.2 Estrelles de neutrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4819.3 Forats negres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

20 Sistemes binaris 51

21 Acrecio i fluxos relativistes 5221.1 Acrecio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5221.2 Fluxos relativistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4

1 Introduccio

Les estrelles son objectes molt importants en la conformacio de l’Univers. Processen elmedi ambient convertint-lo en elements mes pesats, produeixen llum, i donen forma alseu entorn de diferents maneres, a traves de la seva radiacio, vents, gravetat i fenomensexplosius. La formacio, evolucio i mort estel·lars donen forma al nostre cel en gran mesura,i nomes un estudi adequat d’aquests processos ens permetra una comprensio adequada del’Univers tal i com es i ha estat.

L’objectiu d’aquests apunts es donar una visio global de la manera en que les estrellestreballen. Estan enfocats en l’estructura de les estrelles, i en una descripcio de la sevaevolucio des de la seva formacio fins al punt en que acaben les seves vides per processosviolents i es converteixen en objectes compactes. En aquesta seccio es dona una descripciobreu i inacabada dels continguts d’aquests apunts. En les seguents seccions se’n presentaranexplicacions mes detallades.

1.1 Estrelles

Les estrelles son boles de gas l’estructura i evolucio de les quals estan majoritariamentdeterminades per la seva propia gravetat i pressio, aixı com els processos termonuclearsque tenen lloc al seu interior.

Les estrelles es poden estudiar mitjancant la llum que emeten i ens n’arriba. Aque-sta llum es generada en l’atmosfera estel·lar, i porta informacio principalment de la su-perfıcie gracies a les seves caracterıstiques espectrals. Tambe se’n poden derivar propietatsestel·lars globals, com la gravetat superficial i la velocitat de rotacio. La lluminositat i latemperatura superficial de l’estrella tambe ajuden a caracteritzar les propietats estel·larsglobals (intrınseques). Pel cas del Sol, se’n poden resoldre detalls mes acurats degut ala seva proximitat. Finalment, el temps i les dades morfologiques tambe son rellevants al’hora d’estudiar les propietats de l’estrella, com la seva activitat magnetica, la sismologiaestel·lar, les seves capes o vents mes externs, etc.

L’evolucio de les estrelles es molt lenta i no es pot seguir per casos individuals, llevatd’esdeveniments violents, pero com que hi ha moltes estrelles amb propietats similars perod’edats diferents, se’n por extrapolar una visio forca completa de l’evolucio estel·lar. Lesdiferencies principals entre estrelles estan majoritariament relacionades amb la massa, i enmenor mesura amb la composicio quımica, aixı com la rotacio, camps magnetics, binaritat,etc.

1.2 Ambient i formacio estel·lar

La nostra galaxia es una estrucura complexa composta per un bulb central, una barraatravessant-la, i un disc al voltant del centre consistent en diversos bracos en espiral. Elbulb, la barra i el disc contenen ∼ 1011 estrelles. A mes de les estrelles, al voltant del50% del volum del disc esta compost per hidrogen atomic fred, junt amb heli i altres

5

elements mes pesats, un altre 50% consisteix en hidrogen calent, ionitzat i diluıt, i ∼ 1%consisteix en hidrogen molecular dens i fred i pols, aquesta ultima consistent en gransde molecules complexes formades per C, Si, etc. L’halo galactic, que conte gas calentmolt diluıt, embolcalla els altres components galactics mencionats. La massa i estructuragalactica tambe es complementa de materia fosca de naturalesa encara ara desconeguda.Aquesta materia fosca es necessaria per a explicar el perfil de velocitat de rotacio de laGalaxia, ja que es viola la llei de Kepler si no es te en compte un component fosc.

Les estrelles neixen en els nuclis freds i densos dels nuvols moleculars que poblen lesregions interiors del disc galactic, principalment concentrats en els bracos espirals i el centregalactic. Aquestes estrelles poden ser el producte de la formacio d’estrelles de l’Universprimigeni i per tant contenir una petita quantitat de metalls (elements mes pesats queHe), aquestes estrelles s’anomenen de Poblacio II. Les estrelles tambe poden ser mes jovesi metal·liques (Poblacio I), com el nostre sol i totes les estrelles (relativament) joves. S’hahipotetitzat sobre una poblacio d’estrelles sense metalls: les de Poblacio III. Aquestesserien les primeres estrelles que es van formar, contenint nomes els elements originats enla nucleosıntesi inicial de l’Univers.

La formacio d’estrelles requereix una lligadura gravitacional, a mes d’un desequilibrientre forces atractives i centrıfugues (en un sentit general). Es considera que un atomd’hidrogen esta lligat al material circumdant, formant un nuvol de massa Mc, pes molec-ular mitja µc, temperatura Tc, densitat ρc i radi Rc, si l’energia cinetica de l’atom esaproximadament menor que la potencial (veure seccio 4.1.1). Aixo determina un radi, elradi de Jeans

RJ ∼

√15kTc

4πGµcmHρc, (1)

dins del qual el material se separa del medi circumdant, i pot patir inestabilitats grav-itacionals que porten al seu col·lapse gravitacional. Inicialment, aquest col·lapse es radiati-vament eficient i en caiguda lliure i es desaccelerat despres degut a la captura de radiacio.Les inhomogeneıtats en la densitat poden produir fragmentacio i generar estructures mespetites. El nuvol que s’esta col·lapsant se segueix contraient a una escala de temps τKH(veure seccio 1.4) fins que les condicions al seu nucli son les adequades per a la combustionuclear, cosa que marca el comencament de la sequencia principal.

Aproximadament, el rang de massa estel·lar va des de ≈ 0.08M, lımit determinat perla degeneracio del gas d’electrons prevenint una major contraccio i la ignicio de combustionuclear eficient, fins ≈ 100M, mes enlla de la qual la pressio de radiacio bloqueja l’acreciodel material.

1.3 Generacio i transport d’energia

Les estrelles es consideren cossos negres per simplicitat, als quals se’ls assigna un radi fixati temperatura efectiva, a partir dels quals es poden obtenir la lluminositat i l’espectre

6

continu. Les estrelles es mantenen calentes durant la majoria de la seva vida degut a lacombustio d’hidrogen i la seva conversio en heli, tot i que a vegades l’energia gravitacionalpot ser important quan es dona la contraccio.

El transport d’energia sovint te lloc per difusio, en la qual els fotons son absorbits ireemesos quan interaccionen amb electrons lliures o lligats al medi. El camı lliure mitjaes extremadament curt, amb els fotons seguint una trajectoria aleatoria. La radiacio esgairebe isotropica dins l’estrella fins que arriba a les capes externes de l’estrella, quan elflux sortint creix.

Sota gradients forts de temperatura i/o grans opacitats, el flux sortint net alimentantl’emissio superficial no es pot sostenir nomes per difusio de radiacio. Degut a interaccionsmateria-radiacio es diposita massa moment de radiacio i energia en el material. En aquestpunt, l’estructura laminar de les capes estel·lars es trenca per moviments convectius, queesdevenen el mecanisme de transferencia d’energia dominant. La conveccio pot ser impor-tant en les capes externes de per exemple estrelles poc massives, introduint pertorbacionsen l’atmosfera estel·lar, o en el nucli d’estrelles supermassives, homogenitzant la composicioquımica als seus centres.

1.4 Escales de temps estel·lars

L’escala de temps relacionada amb la importancia de la gravetat es l’escala de temps decaiguda lliure τff , que dona una mesura de la resolucio de la gravetat per introduir canvisen l’estructura estel·lar. Es pot derivar aquesta escala de temps, fins a ordre zero, perexemple mitjancant arguments dimensionals, utilitzant la massa estel·lar M i radi R, i laconstant gravitacional G:

τff ∼ (R3/GM)1/2 ≈ 1.6× 103(R/R)3/2(M/M)−1/2s (2)

on vol dir el valor solar. Aquesta escala de temps tambe es coneix com l’escala detemps dinamica. Sota pertorbacions de pressio d’una magnitud superant la de la gravetat,l’escala de temps caracterıstica sera similar.

Una altra escala de temps important es correspont amb quant de temps brillara unaestrella gracies a la seva reserva d’energia gravitatoria. Aquesta reserva es pot obtenir perarguments dimensionals com

Ω ∼ −M2G/R ≈ 4× 1048(M/M)2(R/R)−1erg (3)

Per al Sol, donada la lluminositat solar L ≈ 4×1033erg s−1, s’obte τKH ∼ Ω/L ≈3 × 107 anys. Aquesta escala de temps es similar a la tambe anomenada escala de tempstermica τth, el temps que una estrella podria sostenir una certa lluminositat radiant la sevaenergia interna (i.e. refredant-se).

Durant la major part del temps de vida d’una estrella, la llum d’aquesta es alimentadamitjancant processos nuclears. L’escala de temps nuclear τnuc resulta ser molt mes gran

7

que τff i que τKH , i es pot estimar si s’assumeix que 0.1% de la massa del Sol es converteixen energia. D’aquı resulta τnuc ∼ 1010anys τKH . Per tant, el material estel·lar es potadaptar rapidament mitjancant contraccions al lent esgotament del combustible nuclear,en un temps ∼ τKH .

1.5 Equilibri hidrostatic

Si les estrelles han de ser estables durant perıodes llargs de temps, com per exemple el Soldurant el perıode de temps en que ha existit vida a la Terra, han d’estar aproximadamenten equilibri. A aquest equilibri s’hi arriba per la forca exercida per la pressio P , generadaper un gradient de pressio negatiu amb el radi, contra la gravetat dins l’estrella.

Per saber l’estructura mecanica de l’estrella es necessita una equacio d’estat que rela-cioni P amb la densitat estel·lar ρ i temperatura T . Aquesta ultima relacionada tambe ambla produccio i transport d’energia dins l’estrella. En la majoria de casos, el gas estel·lar espot considerar ideal, de manera que P = ρkT/µmH , amb una menor contribucio degudaa la pressio de radiacio, tot i que en estrelles supermassives la radiacio pot ser una fontdominant de pressio. A vegades, el gas pot no tenir dependencia amb la temperatura,com en l’interior d’estrelles degenerades sota el principi d’exclusio de Pauli com les nanesblanques i les estrelles de neutrons.

En equilibri hidrostatic, en estrelles dominades per la pressio termica, l’energia internaes menys una meitat de l’energia gravitatoria (l’energia gravitatoria es pren negativa).Aquest es el resultat de l’anomenat teorema del virial. Interessantment, sota contracciogravitatoria, l’estrella nomes radia la meitat de l’energia gravitatoria que s’ha perdut,i l’altra meitat escalfa l’estrella, per tant, la calor especıfica d’una estrella en equilibrihidrostatic es negativa.

1.6 Evolucio estel·lar

Quan la combustio nuclear ha consumit al voltant del 10% de l’hidrogen estel·lar, l’estrellase’n va lluny de la sequencia principal, refredant-se, contraient-se i subsequentment escalfant-se, expandint llavors el seu embolcall i cremant elements mes pesats. Les reaccions nuclearss’aturen a un cert punt, depenent de la massa de l’estrella, i llavors nomes es poden aturarper degeneracio del gas.

Per estrelles amb M < 8M, una massa ∼M −MCh s’expulsara en forma de nebulosaplanetaria, on MCh = 1.4M es la massa de Chandrasekhar, i l’objecte romanent sera unanana blanca (degenerada).

Per M > 8M, el nucli cremara fins a formar un nucli de ferro. A partir d’aquest punt,la fotodesintegracio del ferro i elements lleugers, un proces fortament endotermic, fa que elnucli es torni inestable i col·lapsi, normalment portant a una explosio supernova.

El col·lapse porta a la formacio d’una estrella de neutrons si l’objecte romanent no esprou massiu (M ∼ 1.4 − 3M). En aquest cas, el col·lapse s’atura pel principi de Pauli

8

aplicat als neutrons que es formen a partir de protons que han capturat electrons i amb unaabundant produccio de neutrins. Si l’objecte romanent es massa massiu per a sostenir-seper degeneracio del gas de neutrons, se seguira contraient fins a formar un forat negre. Laformacio d’estrelles de neutrons i de forats negres va acompanyada, tot i que no sempre,per una explosio supernova.

Els residus compactes de les estrelles poden jugar un paper molt important en l’Universdes d’un punt de vista tant fısic com purament fenomenologic (veure part IV).

Part I

El medi interestel·lar i la formacioestel·lar

2 El medi interestel·lar

2.1 L’estructura galactica

La Galaxia esta composta per materia normal que emet i absorbeix llum. Tot i aixı, unagran fraccio de la massa de la galaxia es troba en la forma de materia fosca, de naturalesanuclear, pero necessaria per a explicar la dinamica de la rotacio de la Galaxia. La Galaxiatambe conte un forat negre supermassiu al seu centre de ≈ 4× 106M.

La materia normal es troba majoritariament en forma de gas atomic neutre i ionitzat,gas molecular, pols, estrelles, i els productes del final de l’evolucio estel·lar. Els componentsestructurals de la Galaxia son un bulb central poblat majoritariament per estrelles velles(Poblacio II intermedia), una barra de pocs kpc de mitja llargada, i un disc que presentadiversos bracos espirals on s’hi troben estrelles mes joves (Poblacio I) que al bulb, ambles mes joves de totes (Poblacio I extrema) mes a prop del pla galactic i al centre que lesmes velles (Poblacio I intermedia). Finalment, les estrelles mes velles es troben en cumulsglobulars que s’obren camı per l’halo galactic, una gran regio de gas molt calent i diluıt queembolcalla l’estructura interna galactica. La Figura 1 ens proporciona una visio generaldels components estructurals principals de la Galaxia.

2.2 El contingut del medi interestel·lar

El disc galactic conte hidrogen en estat gasos neutre i ionitzat, mes a prop i mes lluny delpla galactic, respectivament. Aquests components gasosos ocupen la majoria del volum deldisc. El disc, en particular els bracos espirals, alberga regions denses i compactes de nuvolsmoleculars, hidrogen ionitzat dens, i pols. El gas i la pols del disc galactic enfosqueixen lallum provinent de les regions centrals de la Galaxia, corrent-la cap al vermell degut a laseva opacitat mes gran en longituds d’ona mes curtes.

9

Tot i les condicions ambientals hostils del medi interestel·lar per la presencia de molecules,aquestes es poden formar degut a la proteccio contra la radiacio UV proporcionada per lapols. La pols tambe millora la velocitat de formacio de molecules proporcionant un lloc delligadura atomica. Degut a la seva gran densitat i baixa temperatura, els nuvols d’hidrogenmolecular son bons llocs per a la formacio estel·lar. Per tant, la formacio estel·lar te llocal disc galactic, principalment als bracos espirals, donant aixı a aquestes estructures unaspecte mes brillant que a les regions properes del disc. L’origen dels bracos espirals encarano esta clar, tot i que podria ser la manifestacio d’una ona de densitat propagant-se cap al’exterior.

Amb finalitats il·lustratives, la Figura 2 presenta tots els components del medi interestel·lar de la Via Lactia amb les seves propietats mes importants.

En la seguent seccio, abans de discutir les bases de la formacio estel·lar, proveım ambuna explicacio generica del teorema del Virial, una llei de balanc energetic important perobjectes en quasiequilibri dinamic. Aquesta sera una eina util per a seguir el col·lapse denuvols moleculars en estrelles, i tambe l’evolucio energetica de les propies estrelles.

3 El Teorema del Virial

El teorema del Virial de la mecanica classica es molt util per entendre el balanc energeticd’un nuvol esferic de gas, ja que permet relacionar l’energia total E del nuvol i la sevaenergia interna U i gravitatoria Ω. Aquest teorema ens sera util quan estudiem estrelles,pero l’introduım aquı perque tambe es rellevant per al balanc energetic d’un gas quan escol·lapsa en una estrella.

Comencem amb la seguent equacio

4πr3 ∂P

∂m= −Gm

r(4)

on m es la massa dins d’un radi r en simetria esferica, i ho reescrivim com

∂

∂m(4πr3P )− 4πr2 · 3P ∂r

∂m= −Gm

r(5)

L’equacio (4) s’obte de la conservacio de moment en la formulacio Lagrangiana del’equilibri hidrostatic (veure seccio 5.3) multiplicant els dos costats per 4πr3. Aquestaequacio es d’importancia cabdal pel que fa a l’estructura estel·lar i la seva validesa implicaacceleracio zero, i.e. equilibri hidrostatic, a qualsevol punt dins del nuvol.

Integrant sobre∫M

0 dm, usant l’equacio de conservacio de la massa(∂m

∂r

)t

= 4πr2ρ (6)

resultat discutit a la seccio 5.1, i assumint que la pressio a la superfıcie es zero, s’obte del’equacio (5)

10

3

∫ M

0

P

ρdm+ Ω = 0 (7)

que es el teorema del Virial en astrofısica. Aquesta equacio es pot reescriure introduintl’energia interna del gas mitjancant l’equacio d’estat P/ρ = (γ − 1)u:

3

∫ M

0

P

ρdm+Ω = 3

∫ M

0(γ−1)udm+Ω = 3(γ−1)

∫ M

0udm+Ω = 3(γ−1)U+Ω = 0 (8)

o

U = − 1

3(γ − 1)Ω (9)

on u es l’energia interna especıfica. Per a l’energia total que es E = U +Ω, tenim la relacio

E = U + Ω =3γ − 4

3(γ − 1)Ω = (4− 3γ)U (10)

Per a un gas ideal monoatomic, γ = cP /cV = 5/3, U = −12Ω i E = −U , i per a un gas de

fotons, γ = 4/3, U = −Ω i E = 0. El teorema del Virial te consequencies importants pelque fa a estabilitat i als efectes de la contraccio gravitatoria del material estel·lar.

3.1 Consequencies del teorema del Virial

3.1.1 Estabilitat

Per a la formacio d’un nuvol de gas en equilibri hidrostatic (per exemple una protoestrellao estrella), el gas ha d’estar gravitatoriament lligat, la qual cosa implica E < 0. En cascontrari, l’energia cinetica extra portara el gas a l’infinit, escapant de l’atraccio gravitatoria.L’analisi previa usant el teorema del Virial mostra que per a que el gas sigui estable,γ > 4/3, ja que d’altra manera E ≥ 0 despres que el gas s’hauria d’haver relaxat i claramentno es una configuracio estable.

3.1.2 Contraccio gravitatoria i alliberament d’energia

Si el nuvol de gas (per exemple una protoestrella o estrella) pateix una contraccio amb unaescala de temps molt mes gran que l’escala de temps dinamica (per exemple l’escala detemps de caiguda lliure -veure seccio 6.1-), anira passant suaument d’un estat a un altre,cadascun dels quals complint el teorema del Virial. Una contraccio es canviar la relacioentre E, U i Ω degut a modificacions en Ω i consequentment en els altres componentsenergetics:

Ω ∼ −GM2

R→ ∆Ω ∼ GM2

R2(−∆R) (11)

11

per a una contraccio de R + ∆R→ R. Aquı hem utilitzat analisi dimensional per obtenirla relacio funcional entre Ω, M i R. Aixo, junt amb les relacions establertes pel teoremadel Virial, implica que per γ > 4/3

∆E =3γ − 4

3(γ − 1)∆Ω < 0 (12)

i

∆U = − 1

3(γ − 1)∆Ω > 0 (13)

L’impacte d’una contraccio es una reduccio de l’energia total fins i tot quan l’estrellas’escalfa (∆U > 0). L’energia ha de ser per tant perduda per a que la contraccio es doni, ien general sera radiada cap a fora amb una lluminositat

L = −dEdt

= − 3γ − 4

3(γ − 1)

dΩ

dt> 0 (14)

Interessantment, la perdua d’energia implica tanmateix un increment en T .Durant la formacio de l’estrella, la principal font d’energia es la gravitatoria, la qual

sota una baixa opacitat radiativa (veure Seccio 4.1.3) es rapidament radiada cap a forapermetent un col·lapse gravitatori rapid. Quan les estrelles estan en la sequencia central,l’energia expulsada per radiacio de cos negre s’equilibra per reaccions nuclears. Es quan elcombustible nuclear comenca a ser escas que les estrelles tornen a utilitzar la seva reservad’energia gravitatoria a traves de la contraccio, com a mınim en les regions centrals.

3.1.3 Exercici: la temperatura estel·lar mitjana

El teorema del Virial ens permet obtenir una temperatura estel·lar mitjana. A partir del’equacio (7) i assumint que l’estrella esta formada per un gas ideal de partıcules de massaµmH ,

−Ω =

∫ M

0

Gm

rdm = 3

∫ M

0

P

ρdm = 3

∫ M

0

kT

µmHdm (15)

es pot obtenir la temperatura mınima mitjana de l’estrella com es fa a continuacio. Primer,∫ M

0

Gm

rdm = 3

∫ M

0

kT

µmHdm >

∫ M

0

Gm

Rdm =

GM2

2R(16)

Reordenant, es pot obtenir que la temperatura mitjana ha de complir

〈T 〉 =1

M

∫ M

0Tdm >

GMµmH

6kR≈ 4× 106µK (17)

o 2 × 106K per a un plasma d’hidrogen completament ionitzat en equiparticio d’energiae− −H+ (µ = 0.5).

12

4 Formacio de les estrelles

4.1 Formacio de les protoestrelles

Les estrelles es formen a partir del col·lapse gravitatori dels nuvols moleculars interestel·lars.El col·lapse d’aquests nuvols es degut a altres factors a part de la gravetat, com la rotacio,l’eficiencia de refredament del gas, el nivell de ionitzacio i el moviment de les turbulencies,el camp magnetic, etc. En les seccions seguents, caracteritzarem el proces de formacio deles estrelles en les seves primeres etapes, tot i que aquests factors seran majoritariamentnegligibles. Per simplicitat, tambe assumirem simetria esferica i homogeneıtat del gas, ivelocitats del gas i gradients de pressio negligibles.

4.1.1 El criteri de Jeans

Sir James Jeans va investigar el 1902 l’estudi del col·lapse dels nuvols a partir d’una analiside l’estabilitat del gas. Aquesta analisi es basava en el teorema del Virial, el qual per agasos monoatomics, no relativistes, adiabatics es pot escriure com

2U + Ω = 0 (18)

on U es l’energia cinetica (interna) i Ω l’energia potencial dels elements gasosos dins d’unaesfera de gas en equilibri en un cert radi Rc. Si la quantitat 2U+Ω 6= 0, aleshores el gas dinsde l’esfera no es troba en equilibri, i tendira a canviar. En particular, per 2U + Ω < 0, elgas es contraura fins a arribar a un nou estat d’equilibri, si pot ser, per al qual 2U +Ω = 0.

Per a un nuvol esferic de densitat constant ρc, i massa total Mc = (4/3)πR3cρc l’energia

potencial gravitatoria es

Ω = −3

5

GM2c

Rc(19)

i l’energia cinetica interna del nuvol es

U =3

2NckTc =

3

2

Mc

µmHkTc (20)

on Nc es el nombre de partıcules del nuvol. D’aquestes equacions, es pot derivar la seguentcondicio per que el nuvol col·lapsi:

MJ ∼(

5kTcGµmH

)3/2( 3

4πρc

)1/2

(21)

per a la massa mınima, i per al radi mınim:

RJ ∼(

15kTc4πGµmHρc

)1/2

(22)

13

Pel cas en que la pressio externa P0 es rellevant, es pot reescriure la densitat com ρ = P0/v2T

(massa de Bonnor-Ebert) i obtenir la seguent relacio:

MBE ∼cBEv

4T

P1/20 G3/2

(23)

on vT =√kTc/µmH es la velocitat del so isoterm. Amb cBE = 1.18, s’obte la maxima

massa que un nuvol isotermic en equilibri de pressio amb el medi pot tenir.

4.1.2 Col·lapse homoleg

Sota els suposits esmentats anteriorment, el col·lapse es dona en caiguda lliure sempre quela calor (energia cinetica interna) s’alliberi en forma de radiacio despres de ser produida,degut a un gradient de pressio mantingut molt per sota de la gravetat. Caiguda lliure voldir

d2r

dt2= −Gm(r)

r2(24)

clarament fora de l’equilibri hidrostatic.Per a una esfera de radi Rc i densitat ρc, l’equacio (24) es pot reescriure com

dr

dt

d2r

dt2= −

(4π

3GρcR

3c

)1

r2

dr

dt(25)

La solucio de la qual per a la velocitat es

dr

dt= −

[8π

3GρcR

2c

(Rcr− 1

)]1/2

(26)

i desenvolupant una mica, es pot derivar una formula implıcita per r(t) i per tant el tempsde caiguda lliure

tff = −(

3π

32

1

Gρc

)1/2

(27)

Aquesta formula ja ens diu unes quantes coses importants. En principi el col·lapse es donaa tot arreu al mateix pas en un nuvol homogeni complint la condicio de Jeans, perquela velocitat de contraccio no depen del radi inicial. S’anomena col·lapse homogeni. No

obstant, tenint ρ1/2c dividint ja ens diu que el col·lapse es donara mes de pressa en regions

de densitat mes gran (per exemple el/s nucli/s del nuvol).

14

4.1.3 Fragmentacio de nuvols col·lapsant

A mesura que el nuvol es col·lapsa gravitatoriament sota col·lapse isotermic, en el qual lacalor es radiada cap a fora i T es mante en equilibri per un cert valor constant, MJ i tffdisminueixen a ρc creixent. Aixo implica que, un cop una regio del gas s’ha comencat acontraure, regions mes petites a l’interior es poden contraure a velocitats mes grans sotaalguna pertorbacio. Aquest proces pot semblar imparable i molt eficient produint estrelles,pero no es el cas. En algun moment, pero, el col·lapse es torna menys radiatiu perque lacalor produıda comenca a quedar-se atrapada dins del gas col·lapsant mitjancant processosd’absorcio.

Sota les condicions del nuvol, les col·lisions son rares i la pressio magnetica encara noes rellevant, per tant el col·lapse es bloqueja per absorcio de radiacio; es a dir, el nuvoles torna opticament gruixut a la seva propia radiacio. Arribats a aquest punt, la radiacioescalfa el medi i la pressio aguanta el nuvol, el qual es torna gairebe adiabatic (es perdmolt poca calor). Per a un gas purament adiabatic on no es perd gens de calor, es potescriure T ∝ ργ−1 i MJ ∝ ρ(3γ−4)/2. Llavors la massa de Jeans creix per γ = 5/3, per tant,la contraccio rapida hauria de parar eventualment. Cal notar que la transicio entre un gasradiatiu i un adiabatic se suposa que ha de ser suau.

Es pot trobar la massa mınima de Jeans fent que la lluminositat (la radiacio ques’escapa) del nuvol considerat com un cos negre sigui igual a l’energia gravitatoria evac-uada per segon. Si es mes petita, la contraccio queda gairebe bloquejada. Si el nuvol estaenvoltat per mes material radiant, la radiacio eficient que s’escapa es mes reduida que ladel cos negre, de manera que es pot introduir el parametre e: la fraccio de lluminositat quees permet escapar. Aixo produeix una lluminositat radiada:

Lrad = 4πR2JeσT

4 (28)

La lluminositat de caiguda lliure es pot obtenir a partir de l’energia interna disponible dinsdel radi de Jeans: Lff ∼ ∆U/tff , on ∆U ∼ 3

10GM2J/RJ = −Ω/2, es a dir:

Lff ∼ G3/2(MJ/RJ)5/2 (29)

Fent Lrad = Lff , es pot veure que el col·lapse es bloquejat per refredament ineficient a

MJ min ∼ 0.03

(T 1/4

e1/2µ9/4

)M (30)

Aquesta simple estimacio ja ens dona valors ∼ 0.1− 1M, tot i que models mes complexosprediuen una massa mınima de 0.01M. Aixo mostra que la fragmentacio s’atura enmasses de l’ordre d’aquests objectes estel·lars o subestel·lars.

Tambe val la pena notar, tot i les simplificaciones esmentades, que es pot necessitar lainclusio del camp magnetic per a alentir les etapes inicials del col·lapse dels nuvols. D’altramanera, els nuclis densos es convertirien en estrelles a escales de temps tan curtes que no

15

hi hauria estrelles en formacio visibles a la Galaxia, que no es el cas. Incloent el campmagnetic, la massa mınima per a que un nuvol comenci a col·lapsar es

MB ∼ 70M

(B

10µG

)(R

1pc

)2

(31)

L’efecte dinamic del camp magnetic interve a traves de la seva interaccio amb unafraccio relativament petita de gas ionitzat. A continuacio els ions s’acoblen neutres deguta les col·lisions. Donada la geometria particular del camp magnetic degut a ∇ · ~B = 0 ( ~Bconsisteix en bucles tancats de lınies de camp), sorgeixen fortes assimetries en els ions i elsneutres (per exemple la difusio ambipolar) i afecten la geometria del B-camp.

Tambe hi ha altres processos que influencien la importancia dinamica de B, com lareconnexio magnetica, que es dona quan diferents lınies de polaritat s’apropen massa i nohi ha prou carregues per a sostenir els corrents associats en condicions de plasma ideal.Els moviments i rotacio de les turbulencies tambe son influenciades per, i influencien, B.

4.1.4 Exercici: la lluminositat d’Eddington

La Lluminositat d’Eddington es un concepte important en astrofısica. Entra en diferentscamps, des de la formacio d’estrelles fins a vents estel·lars i fısica d’acrecio. Aquı se’n donauna breu descripcio.

Suposem que un nuvol de gas se soste per pressio de radiacio, la qual cosa en simetriaesferica implica que aquesta s’equilibra amb la gravetat:

κ

cLEdd =

c

κ

∫S∇φdS =

∫V∇2φdV = 4πG

∫VρdV = 4πGM (32)

on F es la lluminositat de radiacio (erg s−1), φ el potencial gravitatori, κ el coeficientd’opacitat de materia a radiacio, i c la velocitat de la llum. L’equacio (32) ens porta a

LEdd =4πGMc

κ≈ 1.3× 1038

(M

M

)erg/s (33)

per al cas d’hidrogen ionitzat i dispersio de Thomson (Compton), per a la qual κ = σTh/mp,i σTh = 6.65× 10−25 cm2.

La lluminositat d’Eddington (o lımit d’Eddington) canvia depenent del coeficient d’opacitat,que pot ser molt mes gran per exemple si s’inclouen transicions d’atoms lliures. En par-ticular, els vents de les estrelles massives son conduıts per l’excitacio de certes transicionsatomiques ressonants en elements com C i N. Aquests son processos amb una transversal-itat molt mes gran que la dispersio de Thomson d’electrons.

16

Part II

Estructura estel·lar

5 Equilibri hidrostatic

5.1 Equacio de conservacio de la massa

Les estrelles es poden aproximar per esferes formades per closques esferiques. Sota simetriaesferica, les propietats de la materia estel·lar son homogenies dins les closques esferiques deradi r i gruix dr. Donat que l’estrella pot canviar amb el temps, les condicions de la materiatambe depenen de t. Una altra manera de caracteritzar l’estructura estel·lar es prendreuna closca esferica de massa constant dm contenint dins seu materia de massa constantm. Dita closca podria canviar el seu radi i gruix amb el temps degut a les condicionscanviants de l’estrella, per exemple, degut a compressio o expansio del gas, pero m i dmseguirien constants. La primera manera d’enfocar-ho es diu Euleriana, on la coordenadaindependent es r, i la segona Lagrangiana, on la coordenada independent es m.

Sota la descripcio Euleriana, escrivim la massa total dins d’un radi r en un temps tcom m(r, t). Una variacio infinitessimal de la massa dmr es pot computar variant r unaquantitat dr a un cert t constant, i deixant despres que la materia flueixi a r constantdurant dt. Aixo produeix dos components per a la variacio de la massa (a t constant i a rconstant), que s’han d’afegir per obtenir dmr:

dmr =

(∂m

∂r

)t

dr +

(∂m

∂t

)r

dt = 4πr2ρdr − 4πr2ρvrdt (34)

on el - del davant del segon terme del membre de la dreta prove del fet que per a valorspositius vr la materia s’escapa de la regio de dins de r. El primer terme del membre de ladreta (

∂m

∂r

)t

= 4πr2ρ (35)

es l’equacio de conservacio de la massa per a un sistema estatic. A les figures 3 i 4 mostremexemples de les coordenades Eulerianes i Lagrangianes, respectivament.

Donada la igualtat (∂

∂t

(∂m

∂r

)t

)r

=

(∂

∂r

(∂m

∂t

)r

)t

(36)

i l’equacio (35), es pot escriure

∂ρ

∂t= − 1

r2

∂(r2ρvr)

∂r(37)

17

que es la component radial (hi ha simetria esferica) de l’equacio de continuitat de la massaen hidrodinamica:

∂ρ

∂t= −∇(ρ~v) (38)

amb ~v com el vector velocitat.

5.2 Equacio de conservacio del moment i equilibri hidrostatic

Tıpicament les estrelles brillen durant llargs perıodes de temps, per tant han de ser establesi en consequencia les seves forces internes han d’estar en equilibri molt de temps. En tal cas,la transferencia de moment entre closques veınes ha de ser negligible. A aquest equilibris’hi arriba gracies a les dues forces rellevants per al treball:

a) una forca de gradient de pressio relacionada amb el flux d’energia dins de l’estrella(en cas contrari no brillaria), generat a traves d’una closca de gruix dr:

dFP = −S∂P∂r

dr (39)

amb S = 4πr2, i

b) la forca gravitatoria dFG actuant en tal closca, presentada en la seguent seccio.

5.2.1 El camp gravitatori

El camp gravitatori es pot descriure a partir de la funcio potencial gravitatori φ(r, t), soluciode l’equacio de Poisson:

∇2φ = 4πGρ (40)

on ∇2 es l’operador Laplacia i G la constant de gravitacio. En simetria esferica es potescriure

1

r2

∂

∂r

(r2∂φ

∂r

)= 4πGρ (41)

d’on es pot obtenir facilment l’acceleracio

~g = −gr = −∇φ = −∂φ∂rr = −G(m+ C(0))

r2r = −Gm

r2r (42)

on m =∫ r

0 4πr′2ρ(r′)dr′, i C(0) = 0 ja que d’altra manera, ~g → −∞ per r → 0. La solucioa l’equacio (41) es

φ =

∫ r

0

Gm

r2dr + constant, amb φ(∞) = 0. (43)

18

Per tant, la forca gravitatoria es pot escriure com

dFG = −gdm = −gSρdr = −Gmr2

Sρdr (44)

5.2.2 Equilibri hidrostatic

Ara podem relacionar l’acceleracio amb el gradient de pressio i gravetat a la closca de radir i gruix dr

ρd2r

dt2dr = (dFG + dFP )/S = −ρGm

r2dr − ∂P

∂rdr (45)

es a dir, l’expressio de conservacio del moment en simetria esferica en hidrodinamica sotaun potencial gravitatori φ:

ρd~v

dt≡ ρ∂~v

∂t+ ρ~v · ∇~v = −ρ∇φ−∇P (46)

L’equacio (45) es pot reescriure com

∂P

∂r= −ρGm

r2− ρ d

r

dt2(47)

En equilibri hidrostatic, el terme de l’acceleracio en l’equacio (47) ha de ser negligible, iels termes del gradient de pressio i la gravetat han de ser aproximadament iguals, es a dir:

ρd2r

dt2 ∂P

∂r≈ −ρGm

r2(48)

Sense acceleracions fortes ni tensions, les condicions a l’interior de l’estrella canvien suau-ment en una successio d’estats en quasi-equilibri. Aixo permet un tractament simple del’evolucio estel·lar en que les diferents regions de l’estrella canvien quasi-simultaniamentamb el temps.

Es pot tractar l’evolucio estel·lar en quasi-equilibri sempre i quan no hi hagi processosdinamics rellevants dominants sobre els altres. Per exemple, un augment sobtat en lainjeccio d’energia al nucli estel·lar podria, a part d’altres efectes importants, provocar unarapida expansio del mateix nucli de l’estrella, o de les seves capes mes externes. A mes,massa poca injeccio d’energia, deguda per exemple a un refredament ineficient, pot portara una contraccio del nucli estel·lar o de tota l’estrella.

5.3 La formulacio Lagrangiana

Enlloc de r podem fer servir m com a coordenada espacial. Aixo ens assegura que lacoordenada es mante constant amb el temps (en absencia de fonts o embornals de massa).Ara, l’interval de la coordenada espacial no es 0 ≤ r ≤ R (amb R el radi estel·lar, que de

19

fet pot variar amb el temps), sino 0 ≤ m ≤M , amb M obviament constant. Les derivadesparcials en coordenades Lagrangianes son(

∂

∂m

)t

=

(∂r

∂m

)t

(∂

∂r

)t

(49)

(∂

∂t

)m

=

(∂

∂r

)m

(∂r

∂t

)m

+

(∂

∂t

)r

(50)

Notem que aquı, (∂r/∂t)m, sent aquesta derivada associada a un element de massa fixatsituat a m, es la velocitat a la qual aquest element de massa es mou radialment dinsl’estrella.

Aplicant l’equacio (49) a m i fent servir el primer terme del membre de la dreta al’equacio (35), es pot obtenir l’equacio de conservacio de la massa en la formulacio La-grangiana

1 =

(∂m

∂m

)t

=

(∂r

∂m

)t

(∂m

∂r

)t

→ ∂r

∂m=

1

4πr2ρ(51)

i per tant (a partir de l’equacio (49))

∂

∂m=

1

4πr2ρ

∂

∂r(52)

L’equacio de conservacio del moment es per tant:

∂P

∂m=

1

4πr2ρ

∂P

∂r= − Gm

4πr4(53)

Val la pena notar que computar derivades parcials de temps en formulacio Lagrangiana,(∂/∂t)m, que son les velocitats de canvi amb el temps d’una quantitat en repos respecte elflux, es molt mes simple que en la formulacio Euleriana, (∂/∂t)r, degut als termes convectiuspresents en la ultima (es a dir, en general hi ha un flux de massa per un r donat, pero no,per definicio, a una m donada).

6 Escala de temps dinamica, termica i nuclear

6.1 Escala de temps dinamica

L’equilibri d’una estrella, el qual com s’ha mencionat hauria de durar un llarg perıodede temps si tenim en compte la seva aparenca estable, es possible degut al balanc entrediferents forces: la gravetat i el gradient de pressio generat per el flux sortint d’energia(recordem que ja hem negligit alguns elements, com la rotacio, camp mangetic, etc.). Sil’estrella no presentes tal flux d’energia, la gravetat prendria el control i el material estel·lar

20

cauria a velocitat de caiguda lliure de manera accelerada. El temps associat, o escala detemps de caiguda llire, es pot calcular a partir d’una modificacio en l’equacio (45)

ρ∂2r

∂t2= −ρGm

r2(54)

la qual es pot simplificar mitjancant r → R, m→M i ∂2/∂t2 = 1/τ2ff per obtenir

τff =

(R2

GM

)1/2

= 1.6× 103

(M

M

)−1/2( R

R

)3/2

s (55)

Per altra banda, es por considerar que la gravetat es negligible. Llavors, el gradient depressio portara a l’expansio accelerada

ρ∂2r

∂t2= −ρ∂P

∂r(56)

que es por aproximar fent les modificacions ∂2/∂t2 = 1/τ2ff i 1/ρ∂P/∂r = P/ρR obtenint

τexp ≈(R

cs

)(57)

on cs = (γP/ρ)1/2 es la velocitat (mitjana) del so a l’interior estel·lar. Donades les aprox-imacions preses, aquesta escala de temps d’expansio es correspon a la d’un nuvol de gashomogeni de radi R amb velocitat del so cs.

En equilibri hidrostatic, tff ≈ texp, i per tant els dos determinen l’escala de tempsdinamica (τd). Recordem que una evolucio estel·lar suau requerira que aquesta evolucio,caracteritzada per tenir una escala de temps de la font d’energia (ja sigui termica, tth, o bel’escala de temps nuclear, τnuc), sigui molt mes llarga que τd. Nomes durant esdevenimentsexplosius l’evolucio estel·lar te τd com a escala de temps natural.

6.2 Escala de temps termica

L’escala de temps termica o de Kelvin-Helmholtz (KH) es l’escala de temps d’una esfera degas radiant quan la font d’emissio es la contraccio (energia gravitatoria). Es pot estimarusant el teorema del Virial. Comencem caracteritzant l’energia gravitatoria

Ω =

∫ M

0

Gm

rdm ≈ −qGM

2

R= −3.8× 1048q

(M

M

)2( R

R

)−1

erg (58)

on q = 3/5 per a una estrella de densitat homogenia, i en general q > 1/2. Com s’haensenyat abans, L = −dE/dt (tot i que tambe es podria definir com L = dU/dt), i delteorema del Virial dE = dΩ/2 (per γ = 5/3), on dΩ = (qGM2/R2)dR, per tant

L = −1

2qGM2

R

1

R

dR

dt(59)

21

Definint τth/KH = R/(dR/dt), s’obte

τth/KH ≈Ω

L≈ −1

2qGM2

RL(60)

Per al Sol, q = 3/2, que implica

τth/KH ≈ 2× 107

(M

M

)2( R

R

)−1( L

L

)−1

anys (61)

Per tant, la gravetat hauria d’alimentar l’activitat del Sol durant vint milions d’anys, quees massa poc temps per sostenir el Sol durant el seu temps de vida estimat.

Al voltant de 1900, es va postular la contraccio gravitatoria com a candidata per sub-ministrar l’energia del Sol, pero les evidencies geologiques i fossils a la Terra mostravenque un proces molt mes llarg i energetic havia d’alimentar la llum solar. No obstant, lagravetat pot jugar un paper important produint llum o proveint estabilitat estructural acerts objectes, com per exemple en una estrella en les primeres etapes de formacio o ennanes marrons (gens o massa poca activitat nuclear), o despres de la sequencia principal(quan s’ha acabat el combustible nuclear).

6.3 Escala de temps nuclear

L’escala de temps nuclear es pot estimar simplement dividint l’energia disponible per reac-cions nuclears (Enuc) entre la lluminositat de l’estrella: τnuc = Enuc/L. Obviament l’estrellapassa per diferents etapes evolutives i tant Enuc com L canvien amb el temps, pero encaraens podem centrar en la fase de combustio de l’hidrogen, essent aquesta tant la mes llarga,com la mes caracterıstica.

Tot i aixı, per estimar Enuc cal tenir en compte que nomes l’hidrogen mes interior esconverteix en heli, tıpicament ∼ 10%:

Enuc,H ≈ 0.1XMQH (62)

on X es la fraccio de massa d’hidrogen inicial, i QH = 6.3 × 1018 erg g−1 es l’energiaalliberada per un gram de H quan es converteix en He. Per tant

τnuc,H ≈ 9× 109 X

X

M

M

(L

L

)−1

anys (63)

i prenent la relacio massa-lluminositat en estrelles de la sequencia principal (L ∼ 4 ×1033(M/M)3.5 erg/s) i fixant X = X

τnuc,H = 9× 109

(M

M

)−2.5

anys (64)

22

L’equacio (64) clarament mostra que les estrelles mes massives, diguem M > 10M, du-raran nomes ∼ 106 anys, mentre que les estrelles amb M < 0.8M viuen per perıodes detemps mes llargs que l’edat de l’Univers.

L’equacio (64) tambe mostra que en general τnuc,H τth τff. Aixo implica quel’evolucio de l’estrella, fortament relacionada amb el seu subministrament d’energia, serasuau, i l’estructura estel·lar total s’adaptara rapidament als canvis en aquest. Aquestesrelacions entre les escales de temps permetran simplificacions en les equacions d’estructurai les seves solucions.

7 Estructura mecanica

El camp gravitatori,

φ =

∫ 2

0

Gm

r2dr + constant, amb φ(∞) = 0 (65)

l’equacio de conservacio de la massa

∂m

∂r= 4πr2ρ (66)

i l’equacio de conservacio del moment sota equilibri hidrostatic

∂P

∂r= −ρGm

r2(67)

proveeixen una descripcio mecanica de l’interior estel·lar. Noti’s que l’equacio (65) estainclosa en la (67), de manera que son de fet dues equacions amb tres incognites: m, ρ, P .Per tant, per tancar el sistema, necessitem una equacio adicional, l’equacio d’estat del gas,que ens deixara dues equacions en derivades parcials amb dues incognites. El centre del’estrella, r = 0, es un punt singular d’aquesta representacio, pero es pot resoldre mitjancantseries de Taylor per les quantitats quan r → 0.

7.1 L’equacio d’estat

Una famılia d’equacions d’estat comuna en astrofısica estel·lar es la dels models baritropics,en els quals ρ = ρ(P ), un cas especial n’es el model politropic

P = Kργ (68)

aplicable a certes estrelles, com les nanes blanques. Un altre tipus especial d’estrelles espot descriure mitjancant l’equacio (68), resolent les equacions de Lane-Emden (veure seccio8).

Malauradament, en la majoria de casos la temperatura no es pot eliminar amb aprox-imacions. Llavors ρ(P, T ) te T com a variable explıcita, i es necessiten mes equacions,

23

perque l’estructura termica i mecanica, i la generacio i transport d’energia, estan estreta-ment relacionades. Una equacio d’estat simple amb dependencia explıcita de T es la delgas ideal:

P =k

µmHρT (69)

on µ es el pes molecular mitja i mH la massa de l’hidrogen. Noti’s que l’aproximacio degas ideal es justificada sempre i quan les partıcules es puguin considerar puntuals i ambinteraccions elastiques.

7.2 Exercici: una estimacio de la temperatura i pressio centrals

Abans d’obtenir una equacio de l’estructura termica i caracteritzar la composicio estel·lar(ambdues coses requerides per a descriure completament l’estrella), estimem com a exercicila pressio (Pc) i temperatura (Tc) al centre de l’estrella.

Per a la pressio, es pot simplificar l’equacio (67) usant m→M/2, r → R/2, i ρ→ ρ =3M/4πR3:

∂P

∂r∼ −Pc

R∼ − 3

2π

GM2

R5(70)

i aixı

Pc ∼3

2π

GM2

R4= 5.4× 1015

(M

M

)2( R

R

)−4

dyn cm−2 (71)

i per a la temperatura

Tc ∼µmH

k

Pcρ

=2µmH

k

GM

R∼ 2.3× 107

(M

M

)(R

R

)−1

K (72)

Noti’s que calculs mes acurats prediuen pel Sol Pc, = 2.7×1017 dyn cm−2 i Tc, = 1.4×107

K.

7.3 Exercici: un lımit inferior en la pressio central

Es pot obtenir un lımit inferior en la pressio central, usant ara l’equacio de conservacio delmoment en coordenades Lagrangianes:

∂P

∂m= − Gm

4πr4(73)

i integrant sobre∫M

0 dm ∫ M

0

∂P

∂mdm = Ps − Pc =

∫ M

0− Gm

4πr4dm (74)

24

on Ps ∼ 0 dyn cm−2 es la pressio superficial. Llavors es pot usar 1/r4 > 1/R4, i aixıl’equacio (74) porta a

Pc >GM2

8πR4= 4.4× 1014

(M

M

)2( R

R

)−4

dyn cm−2 (75)

unes 10 vegades mes petit que el valor obtingut a la seccio 7.2.

8 L’estrella politropica

8.1 L’equacio del gas politropic

Assumir una relacio entre la densitat i la pressio com la donada a l’equacio (68) ens permetla construccio d’un model simple per a un gas en equilibri hidrostatic amb unes quantessolucions analıtiques: els ındexs politropics n = 0, 1, 5, on Pn = Kργn i sent γ = (n+ 1)/nl’ındex adiabatic, i una solucio numerica simple en la resta de casos. Com veurem, tot ila simplicitat del gas politropic pot ser una bona aproximacio en una quantitat de casosinteressants.

Per a obtenir l’equacio que descriu l’estructura d’una estrella politropica, es pot comencarreescrivint l’equacio de l’equilibri hidrostatic (equacio (67)), derivant ambdos costats pelradi, i fent servir l’equacio de conservacio de la massa (equacio (35)), s’obte

d

dr

(r2

ρ

dP

dr

)= −Gdm

dr= −G(4πr2ρ) (76)

Noti’s que, ja que en l’equilibri hidrostatic dP/dr = −ρdφ/dr, es pot reescriure l’equacio(76) com

1

r2

d

dr

(r2dφ

dr

)= 4πGρ (77)

que es l’equacio de Poisson en el cas de simetria esferica (recordem l’equacio (41)).

Fent servir Pn = Kρ(n+1)/nn a l’equacio (76), es pot escriure:(n+ 1

n

)K

r2

d

dr

[r2ρ(1−n)/n

c

dρcdr

]= −4πGρc (78)

que es pot simplificar usant ρn(r) = ρcDn(r)n:[(n+ 1)

(Kρ

(1−n)/nc

4πG

)]1

r2

d

dr

[r2dDn

dr

]= −Dn

n (79)

on Dn es una funcio adimensional de valors entre 0 i 1 amb ρc sent aixı la maxima densitat.

Ja que [(n + 1)(Kρ(1−n)/nc /4πG)] = λ2

n te unitats de distancia al quadrat, es pot ree-scriure l’equacio (79) usant una coordenada d’espai adimensional ξ = r/λn com

25

1

ξ2

d

dξ

[ξ2dDn

dξ

]= −Dn

n (80)

Noti’s que λn es una mena de distancia caracterıstica per a la funcio Dn(r) mes enlla dela qual Dn decau fortament.

Les condicions de contorn de l’equacio adimensional (80) son les seguents. En primerlloc, es pot veure que Dn(ξ1) = 0, on ξ1 = R/λn, es a dir, a la superfıcie estel·lar la densitattendeix a zero. En segon lloc, es pot demostrar a partir de dP/dr = −Gmρ/r2 < 0 iP ∝ ρ(n+1)/n que dρ/dr ha de ser negativa, la qual cosa afegida al fet que ρ(r < R) > 0pero finita, implica que ρ(0) es maximal (i igual a ρc). Aixı, la segona condicio de contornes dDn/dξ|ξ=0 = 0.

8.2 Solucions de l’equacio del gas politropic

Amb fins il·lustratius, presentem a la figura 5 les representacions grafiques de les solucionsDn(ξ) de l’equacio adimensional de Lane-Emden per als casos n = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Aquestsn-valors corresponen a γ =∞, 2, 3/2, 4/2, 5/4, 6/5 respectivament. Noti’s que les solucionsfısiques estan confinades a la primera regio amb ξ ≥ 0, Dn > 0 i dDn/dξ < 0.

Un gas ideal monoatomic adiabatic es correspondria al cas n = 1.5 (γ = 5/3, no mostrata la figura). Aquesta solucio proveeix una bona descripcio de l’interior d’una nana blanca,la qual es comporta com un gas politropic no relativista (veure seccio 18).

Per n = 3 (γ = 4/3), la solucio es correspondria a una estrella en equilibri radiatiu, esa dir, en la qual la pressio del gas es proporcional a la pressio de radiacio (veure mes enda-vant). Aquesta solucio tambe es aplicable a estrelles degenerades relativistes (no discutidesen aquests apunts). De fet, a la figura 6 mostrem una comparacio d’un model politropic(n = 3) amb un calcul acurat de l’interior del Sol, i son sorprenentment semblants.

Per n > 5, la solucio produeix una massa estel·lar divergent, per tant, n = 5 es unlımit superior, que de fet es correspon amb el cas ξ1 = ∞. El cas particular n = 0te ρ = ρc, P0 = ∞ i λ0 = ∞. Aparentment sense sentit fısic, prendre n = 0 donade fet la descripcio de l’estructura d’una esfera d’extensio infinita constant (λ0 = ∞)incompressible(P0 =∞).

8.2.1 Exercici: l’estrella en equilibri radiatiu d’Eddington

El model d’Eddington estandard associat a una estrella en equilibri radiatiu te la mateixarelacio entre pressio i densitat que mostra un gas politropic per n = 3. Aixo es potdemostrar fent la pressio del gas i la de radiacio proporcionals:

Pgas ∝ Prad (81)

ja que l’estrella esta en equilibri radiatiu, i utilitzant l’aproximacio de gas ideal

26

Pgas = ρkT (82)

Per tant, de l’equacio (82) i

Prad =4σ

3cT 4 (83)

s’obte

P ∝ ρ4/3 (84)

es a dir, un ındex politropic n = 3.

9 L’estructura termica

Suposar l’equilibri hidrostatic ens permet caracteritzar la pressio i densitat dins de l’estrella(nomes si P (ρ, )), pero la temperatura no es pot determinar a partir nomes de les equacionsmecaniques si es va mes enlla de l’aproximacio politropica; la seva determinacio requereixun model de generacio d’energia, vinculada a processos nuclears i a vegades contraccio,i transferencia, vinculada al gradient de temperatura i al mode especıfic de transportd’energia. En resum, es necessita modelitzar l’estructura termica.

9.1 L’equacio de conservacio d’energia

Com ja sabem, les estrelles produeixen grans quantitats d’energia durant intervals de tempsmolt llargs mentre mantenen les seves propietats mes o menys constants. La llei de con-servacio d’energia implica per tant que l’estrella ha d’equilibrar la perdua d’energia ambgeneracio d’energia.

Per a una estrella amb simetria esferica (es a dir, transport radial d’energia) i variacionstemporals negligibles, es te en compte la taxa d’injeccio d’energia per unitat de massa (ergg−1s−1 en cgs)

ε = ε[ρ(r), T (r), Xi(r)] ≡ ε[ρ(m), T (m), Xi(m)] (85)

la qual, a partir de la llei de conservacio d’energia, implica globalment una lluminositat degeneracio d’energia total

L =

∫ R

04πr2ρε(r)dr =

∫ M

0ε(m)dm (86)

El balanc energetic, pero, ha d’operar localment tambe, per tant, a cada radi les lluminosi-tats entrants i sortints s’han d’igualar les unes a les altres en absencia de fonts/embornalsd’energia, o s’han d’equilibrar per la lluminositat generada dLr a r:

27

dLr = (Lr + dLr)− Lr = 4πr2ρdr · ε (87)

o afegir termes diferents

∂Lr∂r

= 4πr2ρε⇔ ∂Lr∂m

= ε (88)

amb l’ultima equacio expressada en coordenades Lagrangianes. Aquesta es l’equacio debalanc energetic. Les derivades parcials es fan servir per tenir en compte que en realitathi podria haver dependencia temporal. A la figura 7 hi ha una il·lustracio de les taxesd’energia entrant i sortint en una closca de radi r i gruix dr.

De fet, ε tambe hauria de tenir en compte perdues, perque les reaccions nuclears (ialtres processos; veure mes endavant) produeixen neutrins a mes dels fotons i partıculesmassives. Ja que l’interior de les estrelles ”normals” es transparent als neutrins, s’escapenemportant-se energia. En el context de reaccions nuclears, la taxa de perdua d’energia s’had’incloure com εν :

∂Lr∂r

= 4πr2ρ(ε− εν)⇔ ∂Lr∂m

= ε− εν (89)

εν te la mateixa dependencia que ε.Quan l’estrella, ja sigui local o globalment, no es capac de sostenir el balanc d’energia

mitjancant reaccions nuclears, la gravetat es torna dominant i comenca la contraccio.D’acord amb el teorema del Virial, la meitat de l’energia gravitatoria alliberada se’n va enforma de radiacio, i la resta va a l’energia interna de l’estrella.

Notem que en algunes fases de l’evolucio estel·lar, la contraccio pot escalfar el nucliestel·lar prou com per desencadenar reaccions nuclears en les capes immediatament en-voltant el nucli. D’aquesta manera el perıode de combustio d’hidrogen s’esten a costa dela contraccio del nucli estel·lar.

Si s’abandona l’assumpcio de constancia de l’estructura mecanica, dLr podria ser posi-tiu fins i tot quan no hi ha reaccions nuclears. Aquesta quantitat tambe depen del refreda-ment, escalfament i expansio o contraccio estel·lars.

Assumint una modificacio lenta de les condicions termodinamiques de la closca, es potutilitzar la primera llei de la termodinamica

∂q

∂t≡ T ∂s

∂t=∂u

∂t+ P

∂v

∂t=∂u

∂t− P

ρ2

∂ρ

∂t(90)

on les magnituds son per unitat de massa. La llei de conservacio de l’energia mostra quela calor augmentara o decaura a mesura que l’energia es generada o perduda a la closcadegut a refredament o escalfament i expansio o contraccio. Aixo es pot reescriure com

∂q

∂t= (ε− εν)− Lr+dr − Lr

4πr2ρdr= (ε− εν)− 1

4πr2ρ

∂L

∂r(91)

28

o equivalentment

∂L

∂r= 4πr2ρ

[(ε− εν)− T ∂s

∂t

]= 4πr2ρ

[(ε− εν)− ∂u

∂t+P

ρ2

∂ρ

∂t

](92)

∂L

∂m= (ε− εν)− ∂u

∂t+P

ρ2

∂ρ

∂t(93)

on les dues ultimes equacions descriuen el balanc energetic en coordenades Eulerianes iLagrangianes en un cas molt mes general. Val la pena notar que Lr no necessariamentcreix amb r, ni dLr > 0. Si una estrella ha patit una gran expansio, Lr disminuiria ambr, es a dir, ∂Lr

∂r < 0 perque l’energia s’inverteix en exercir treball. En alguns casos, perexemple sota grans perdues de neutrins, ens podrıem trobar Lr < 0.

L’equacio de balanc energetic (89) no determina la lluminositat d’una estrella, peroreflecteix la dependencia del gradient de lluminositat en els diferents guanys i perduesd’energia. Per a caracteritzar el flux d’energia i aixı Lr, s’ha d’especificar el mecanisme detransport d’energia, que al seu torn depen del gradient de temperatura dins l’estrella.

10 Transport d’energia

El gradient de temperatura depen de com es transporta l’energia dins l’estrella. En lescondicions de l’interior estel·lar, els processos rellevants son radiacio en un regim opticamentgruixut, conduccio via col·lisions de partıcules (majoritariament electrons), i conveccioquan el gradient de temperatura es massa profund. L’eficiencia d’aquests tres processos esproporcional a ∇T .

10.1 Transferencia d’energia: difusio de fotons

El coeficient d’opacitat κ dels fotons permet obtenir el recorregut lliure mitja caracterısticλγ = 1/κρ (dins l’interior estel·lar), on κ[ρ(r), T (r), Xi(r)] (negligint de moment la de-pendencia amb la frequencia) amb unitats cm2 g−1. Per al Sol, κ ≥ 0.4cm2 g−1, i aixıs’obte per a la densitat mitjana del Sol λγ ∼ 2 cm. Ja que λγ R i el medi en que elsfotons son dispersats es basicament isotropic, els fotons es propaguen a traves del materialestel·lar de manera difusiva, i la distancia recta coberta d’aquesta manera es pot escriurecom l ∼ N1/2λγ , on N es el nombre de col·lisions. Per al radi del Sol i els parametressimplificats anteriorment, s’obte N ∼ 1021 i un temps de ”Sun-crossing” (?) de milersd’anys, tot i que el temps actual es de fet d’al voltant d’un milio d’anys, perque la difusioa les regions mes internes es mes llarg.

Com ja s’ha mencionat, el proces de difusio es gairebe isotropic, pero algun nivelld’anisotropia/inhomogeneitat ha de ser-hi present, en particular en la distribucio espacialde la temperatura, si l’energia s’ha de transportar cap a fora. Es pot estimar que lavariacio radial de la temperatura es ∆T/∆r ∼ (Tc − Ts)/R. El flux (radial) resultant es

29

pot estimar tornant a assumir radiacio de cos negre i prenent la temperatura a un radi r ia r + λγ . D’aquesta manera, s’obte

Frad ≈ F+rad(r − λγ → r)− F−rad(r + λγ → r) ∼ σ[(T + δT )4 − T 4] ∼ σT 4 δT

T(94)

on δT/T ∼ λγ(∆T/T∆r) ∼ 10−10.Per a la temperatura mitjana del Sol, el flux que es pot extreure per radiacio degut

al gradient de temperatura es ∼ 1011 erg cm−2 s−1, el qual es de l’ordre del flux a lasuperfıcie del Sol, pres com un valor representatiu aproximat. Per tant, la transferencia deradiacio sembla ser eficient per a transferir l’energia requerida des del nucli del Sol fins ala superfıcie.

Elaborem una mica mes la descripcio de l’aproximacio de difusio per a la transferenciade radiacio en interiors estel·lars. Sota aquesta aproximacio, es pot trobar una expressioper al gradient de temperatura quan el transport d’energia es radiatiu com a continuacio.El flux d’energia es

~Frad = −D∇u (95)

on D = λγc/3 es el coeficient de difusio i u es prendra com la densitat d’energia del cosnegre. Aixo comporta que per al flux sortint a un radi donat

Frad = −krad∇T amb krad =4ac

3

T 3

κρa = 4σ/c (96)

i prenent Frad = Lr/4πr2, finalment es pot obtenir el gradient de temperatura sota trans-

port de radiacio en simetria esferica:

∂T

∂r= − 3

4ac

κρ

T 3

Lr4πr2

(97)

o

∂T

∂m= − 3

64π2ac

κ

r4

LrT 3

(98)

Aixo completa la descripcio de l’estructura termica per material estel·lar en equilibri ra-diatiu aproximat. Noti’s que l’aproximacio de difusio falla quan s’arriba a la superfıcie (il’atmosfera estel·lar; veure seccio 12), perque λγ es torna de l’ordre de la mida tıpica de laregio i llavors materia i radiacio no poden estar en equilibri.

10.1.1 Exercici: l’escala de temps d’ajustament termic

Reordenant l’equacio (98) i utilitzant l’equacio (93) sense termes adiabatics ni d’injeccioo perdua d’energia (valid per a la majoria d’estrelles estatiques excepte els nuclis), es

30

pot obtenir una relacio entre la difusio d’energia amb el transport de radiacio i l’evoluciod’energia interna:

∂

∂m

(σ∗∂T

∂m

)= cv

∂T

∂tamb σ∗ =

64π2ac

3

r4T 3

κ(99)

Una equacio aixı ens permet estimar el temps que necessita l’estrella per a canviar la sevatemperatura significativament mitjancant difusio de radiacio, o escala de temps d’ajustament(τadj). Aixo es pot fer prenent els valors amitjanats per a les quantitats:

∂

∂m

(σ∗∂T

∂m

)=σ∗T

M2(100)

cv∂T

∂t∼ cv

T

τadj(101)

i

Lr = −σ∗ ∂T∂m∼ σ∗ T

M→ σ∗ ∼ ML

T(102)

per tant

τadj ∼cvTM

L≈ uM

L≈ U

L(103)

que es de l’ordre de τth com hem obtingut abans. Aixo vol dir que l’analisi dimensionalfunciona, perque un canvi substancial en T implica un canvi encara mes fort en L, i aixıτadj ∼ τth. Noti’s que τadj tambe es el temps necessari per a que una fluctuacio en T espropagui com una fluctuacio en la radiacio al llarg de l’estrella.

10.1.2 L’opacitat mitjana de Rosseland

Arribats a aquest punt, val la pena notar que el coeficient d’opacitat es de fet funcio dela frequencia, κν , pero sovint s’integren quantitats rellevants sobre fotons de qualsevolfrequencia. En particular, Frad permet la derivacio d’un coeficient d’opacitat amitjanat iponderat en frequencia, l’opacitat mitjana de Rosseland. Aixo es fa quan es compara elflux especıfic amb la seva forma bolometrica:

Frad =

∫ ∞0

Frad,νdν =

∫ ∞0−Dν∂uν/∂rdν =

∫ ∞0− c

3κνρ

4π

c

dBνdT

∂T

∂rdν =

= −4π

3ρ

∫ ∞0

1

κν

dBνdT

dν · ∂T∂r

= −krad∂T

∂r

(104)

amb

31

krad =4π

3ρ

∫ ∞0

1

κν

dBνdT

dν =4ac

3

T 3

κρ(105)

on

1

κ=

∫∞0 (1/κν)(dBν/dT )dν∫∞

0 (dBν/dT )dν(106)

D’aquesta manera, el coeficient d’opacitat mitjana es nomes funcio de la temperatura, laqual cosa dona una prou bona aproximacio quan materia i radiacio estan en equilibri, enel qual la majoria dels fotons tenen frequencies associades a la temperatura de cos negre.Per metal·licitat no nul·la, el coeficient d’opacitat mitjana s’ha de calcular pels diferentselements i sumar-se ponderadament amb la fraccio de massa relativa.

10.2 Transferencia d’energia: conduccio

La conduccio es un tipus de transport d’energia com la difusio de radiacio pero ambpartıcules de gas com a portadores d’energia. Com mes llarg es el camı lliure, mes granes la diferencia d’energia entre les partıcules del medi i les que provenen de regions mescalentes, fent el transport d’energia mes eficient. El transport d’energia mitjancant con-duccio es suprimit en la majoria de casos degut a un camı lliure mitja molt curt en lespartıcules involucrades, λpart ∼ 10−6 cm per a un coeficient d’opacitat 6 × 103 cm2g−1 ≤κcond ≤ 6× 105 cm2g−1.

En algunes situacions excepcionals el camı lliure mitja de les partıcules pot ser mesllarg que el dels fotons, com passa en el gas d’electrons degenerats d’una nana blanca, enel qual els electrons col·lisionen molt sovint per mantenir el seu moment constant en unespai de moments molt poblat.

Tractant-se d’un proces difusiu en un plasma en equilibri termodinamic, la conduccioes pot considerar junt amb transport de radiacio usant un coeficient d’opacitat de la forma

1

κ=

1

κrad+

1

κcond(107)

on la opacitat sera dominada per min(κrad, κcond).

10.3 Transferencia d’energia: conveccio

10.3.1 El criteri d’estabilitat de Schwarzschild

Un gradient molt gran de temperatura genera inestabilitats convectives que formen cel·les obombolles convectives. Aquestes bombolles transporten l’energia a diferencia de la radiaciode regions mes calentes a mes fredes. Es pot estimar el gradient de temperatura crıtic alqual la conveccio comenca. Comencem assumint que una cel·la de material comenca el seucamı fins a un r mes gran. Si la bombolla s’eleva prou rapid, no intercanviara calor i el

32

proces sera adiabatic. A mes, la velocitat de la bombolla sera molt mes lenta que la delso (que recordem es de l’ordre de la velocitat de caiguda lliure), per tant la pressio a labombolla es mantindra en equilibri amb la pressio externa.

Si la densitat de la bombolla es torna progressivament mes petita que la densitat delsvoltants, una forca d’Arquımedes l’empenyara mes amunt. D’altra manera, la bombollaacabara reenfonsant-se. Per tant, la condicio d’estabilitat es pot escriure com

∂ρ

∂r<

(∂ρ

∂r

)b

(108)

Noti’s que ∂ρ/∂r < 0. Suposant que el material es un gas ideal, i donat que la pressio esconstant, ρ ∝ T−1; podem reescriure la condicio com

∂T

∂r>

(∂T

∂r

)b

(109)

on el terme de la dreta es pot expressar com(∂T

∂r

)b

=

(∂T

∂r

)ad

=

(1− 1

γ

)T

P

∂P

∂r(110)

i la condicio d’estabilitat esdeve

∂T

∂r>

(1− 1

γ

)T

P

∂P

∂r(111)

Es important tenir present que aquestes derivades son negatives, perque ∆T < 0 amb rcreixent. Per tant, en valor absolut tenim∣∣∣∣∂T∂r

∣∣∣∣ < (1− 1

γ

)T

P

∣∣∣∣∂P∂r∣∣∣∣ (112)

Recordem que el gradient adiabatic no es una derivada espacial sino termodinamica i afectal’evolucio de la bombolla, en aquest cas parametritzada per r. Es util aixı expressar aquestgradient nomes amb quantitats termodinamiques. Per a aixo, dividim el gradient per∂P/∂r i rearreglem l’expressio per obtenir

∂ lnT

∂ lnP<

(∂ lnT

∂ lnP

)ad

=

(1− 1

γ

)=

2

5(113)

per a un gas ideal. Els membres de l’esquerra i la dreta sovint s’expressen com

∇rad < ∇ad (114)

manera en la qual es coneix la condicio d’estabilitat com a criteri de Schwarzschild. Enaquesta representacio, els gradients son positius.

33

Quan es dona la conveccio, l’acumulacio de material mes diluit i mes calent que ascen-deix fa que el material mes fred i mes dens descendeixi a les capes mes profundes. Lesregions estel·lars en les que aquest proces domina el transport d’energia es diu que estanen equilibri convectiu.

10.3.2 Lluminositat d’energia de conveccio

El criteri de Schwarzschild dona un valor maxim per a la radiacio-lluminositat transmesaa un cert R. Aıllant Lr de l’equacio (97) i posant ∂T/∂r = (∂T/∂r)ad s’obte

Lmaxr,rad = −16πac

3

r2T 3

κρ

(∂T

∂r

)ad

= −16πac

3

(1− 1

γ

)r2T 4

κρP

∂P

∂r(115)

que, substituınt ∂P/∂r per l’equacio d’equilibri hidrostatic i suposant que es un gas ideal,queda

Lmaxr,rad = −16πacGmH

3k

(1− 1

γ

)µmT 3

κρ(116)

Hi ha una font addicional de conveccio que esta relacionada amb un gradient en lesabundancies circumdants, la qual cosa implica un gradient en el pes molecular mitja µ.No entrarem en detalls.

10.3.3 Causes de la inestabilitat convectiva

Hi ha diferents causes possibles per al desenvolupament d’inestabilitat convectiva:Fixant-nos en ∇ad, i donada la proporcionalitat ∇ad ∝ c1

P, quan cP es gran la conveccioes dispara degut a les condicions especials del gas, aixı com passa en les regions de dissipaciomolecular en les protoestrelles, o en zones d’ionitzacio parcial d’hidrogen (per exemple laconveccio a prop de la superfıcie d’estrelles fredes) o heli. Aquest es el motiu pel qual lesestrelles poc massives tenen embolcall convectiu. Encara mes en l’estrella, ∇ad es tornagairebe constant i ∇rad es el factor dominant que dispara la conveccio.

Centrant-nos ara en ∇rad, en l’interior estel·lar, la conveccio esta associada a un ∇rad

gran respecte ∇ad. Aixo es pot escriure com

∇rad =∂ lnT

∂ lnT=

3

16πacGκP

T 4

Lrm

(117)

on els factors principals son κ i Lr/m, perque en equilibri radiatiu P/T 4 canvia lentamentamb r. Un κ mes gran implica un gradient de temperatura mes gran. Per exemple, unκ-valor disminuint a r mes profund implicara la supressio de conveccio. El mateix passaamb Lr/m. Si la generacio d’energia tendeix a estar acumulada en un nucli petit, compassa en les cadenes de reaccions nuclears molt sensibles a T (com els cicles CNO, veuremes endavant), m pot decreixer fortament mentre que Lr es mante relativament constant.

34

Aixo pot disparar la conveccio dins de l’estrella (com els nuclis convectius de les estrellesmolt massives; veure mes endavant). D’altra manera, quan les reaccions nuclears es donenfins a r mes gran, el nucli tendeix a mantenir-se radiatiu (com en estrelles poc massives).

Es interessant notar que la manera en que l’entropia varia amb r esta relacionada ambel desenvolupament de la conveccio. Usant relacions termodinamiques, es pot escriure

ds = cP(∇−∇ad)d lnP (118)

Com que d lnP creix cap a radis menors, es pot veure que s decreixera cap a dins quan∇ < ∇ad (radiacio), mentre que per ∇ > ∇ad (conveccio) s creixera cap a dins (fins quees doni la conveccio).

Alguns fenomens relacionats amb la conveccio que poden afectar l’evolucio de les es-trelles son ”overshooting” convectiu (les cel·les convectives arriben a regions que en principino son convectives) i la semiconveccio (conveccio disparada per inestabilitats vibratoriesen un retroces del nucli de combustio de H en una estrella molt massiva), pero no elstractarem aquı.

10.3.4 La teoria de longitud de mescla

Tot i que no ho elaborarem, es pot estudiar el regim convectiu i estimar quantitats rela-cionades importants, com la velocitat de la cel·la convectiva vconv, el flux d’energia trans-portada per conveccio Fconv, o la lluminositat de mescla Lconv, usant l’aproximacio delongitud de combinacio. Aquesta longitud es correspondria a la distancia recorreguda peruna cel·la/bombolla abans de diluir-se en el medi circumdant. Si resulta que la conveccioes important per al transport d’energia dins l’estrella, sembla raonable que les variablestermodinamiques hagin de canviar significativament al llarg d’aquesta longitud, i aixı lalongitud de mescla hauria de ser una fraccio no negligible de R. D’aquı i moltes altressimplificacions, es pot construir un model fenomenologic per a les propietats de conveccioi el transport d’energia associat. Una conclusio important d’aquesta teoria fenomenologicaes que, sota conveccio, ∇ ∼ ∇ad. Tambe cal remarcar que ja que la velocitat de la bom-bolla es significativament mes petita que la velocitat del so, l’equilibri hidrostatic no es veuafectat per la conveccio.

10.4 L’equacio del gradient de temperatura

Ara podem escriure el gradient de temperatura depenent del proces de transfeencia d’energia.Pel cas radiatiu tenim

∂T

∂r= − 3

4ac

κρ

T 3

Lr4πr2

(119)

i per al cas convectiu, usant l’equacio d’equilibri hidrostatic:

35

∂T

∂r=

(1− 1

γ

)T

P

∂P

∂r= −

(1− 1

γ

)µmH

k

Gm

r2(120)

on hem adoptat el gradient de temperatura adiabatic.

11 Generacio d’energia i nucleosıntesi estel·lar

Les estrelles produeixen radiacio i neutrins al llarg de tota la seva vida, que poden durar1010 anys en el cas d’una estrella com el Sol, produint ≈ 4× 1033 erg s−1 en fotons durant5× 109 anys (≈ 1.5× 1017 s) ha requerit ≈ 6× 1050 erg, o ≈ 3× 10−4Mc

2. Aixo implicaque els processos involucrats en la llum del Sol han de poder convertir al voltant del 0.03%de la massa en energia, i sostenir-la durant perıodes molt llargs.

En estrelles, es poden considerar basicament tres processos per produir energia. Un esenergia quımica, pero es molt ineficient perque la conversio massa-energia es molt baixa,o al voltant de 10−5 vegades la que es necessita. L’energia termica o gravitatoria podriasostenir la brillantor de l’estrella durant un perıode de temps, pero com es mostra a laseccio 6.2, la lluminositat del Sol nomes duraria ∼ 107 anys, en contradiccio amb l’edatde la Terra i moltes troballes astronomiques, biologiques i geologiques. Finalment, tambehi ha reaccions nuclears. Com s’ha introduit anteriorment, les reaccions nuclears podrienalimentar l’emissio estel·lar durant tant de temps com τnuc,H ∼ 1010 anys per a una estrellatipus Sol, i son per tant, les millors candidates per a explicar la generacio (de la majoria)d’energia estel·lar. La fisio nuclear, tot i ser ∼ 10 vegades menys eficient que les reaccionsnuclears, podria ser prou energetica, pero aquest proces es pot descartar donat que lesestrelles estan formades (majoritariament) per elements massa lleugers i estables per patirfisio.

11.1 Combustio nuclear

Sota condicions normals, la fusio dels nuclis es extremadament improbable degut a la fortabarrera de potencial. Els nuclis han de poder arribar a estar molt a prop els uns delsaltres per a interactuar, i aixo nomes pot passar si la seva energia cinetica, directamentrelacionada amb T , es prou gran com per superar la forca repulsiva de Coulomb. Un altrefactor important es la densitat, perque per desencadenar una reaccio en cadena de fusionuclear les interaccions dels nuclis han de ser molt frequents. Tıpicament, la velocitat deles reaccions en les estrelles depen fortament de potencies de ρ i T .

Tot i que no discutirem el balanc entre la barrera de coulombiana i l’energia cinetica,notem que els efectes tunel quantics son importants, aixı com la presencia d’una cua enla distribucio de Maxwell-Boltzmann en que les partıcules tenen energies molt per sobrede kT . L’efecte tunel fa que la penetracio de la barrera coulombiana sigui possible pera partıcules amb energia per sota de l’energia mınima classica necessaria per sobrepassaraquest potencial, mentre que la cua en la distribucio de partıcules a altes energies ens

36

assegura que algunes partıcules seran capaces d’atravessar-la fins al nucli. El rang d’energiesen que l’efecte combinat dels dos factors es mes fort, es a dir, no massa poques partıcules(disminuint amb l’energia) ni massa poc efecte tunel (augmentant amb l’energia), es coneixcom el pic de Gamow (veure dibuix a la figura 8).

Un cop les partıcules sobrepassen la barrera coulombiana, cauen en els regnes de la forcaforta, que es molt curta en rang i mante la integritat del nucli. Val la pena notar que lapresencia d’electrons lliures en el medi ionitzat al voltant dels nuclis, o major interaccio enla seccio transversal a energies especıfiques (ressonancies), poden augmentar la probabilitatd’interaccio.

En el nucli de les estrelles, les temperatures i densitats son adients per a que es donifusio nuclear efectiva. Donat que l’hidrogen es de lluny l’element principal del materialestel·lar al principi de la sequencia principal, les cadenes de reaccions nuclears dominants,proto-proto (PP) i CNO, comencen a l’hidrogen. Les cadenes de reaccions tıpicament in-volucren interaccions de dos cossos (i en alguns casos de tres cossos), pero no esdevenimentsimprobables, com quatre atoms d’hidrogen col·lisionant i formant heli-quatre. En les sec-cions seguents presentem les dues cadenes de combustio d’hidrogen, PP i CNO. Totes lesreaccions nuclears han de conservar la carrega, i els nombres barionic i leptonic.

11.2 Nucleosıntesi estel·lar

11.2.1 Les cadenes proto-proto

La primera cadena proto-proto (PPI) converteix hidrogen en heli

11H +1

1 H →21 H + e+ + νe

21H +1

1 H →32 He+ γ

32He+3

2 He→42 He+ 21

1H

D’on 32He pot interactuar amb un nucli d’heli-4 donant lloc a la segona cadena proto-proto

(PPII)32He+4

2 He→74 Be+ γ

74Be+ e− →7

3 Li+ νe

73Li+1

1 H → 242He

Al Sol, la cadena PPII te lloc el 31% del temps, mentre que el 69% de les reaccions passenper PPI. Aixı i tot es possible una altra cadena comencant per 7

4Be (PPIII; 0.3% de lesreaccions al Sol)

74Be+1

1 H →85 B + γ

85B →8

4 Be+ e+ + νe

84Be→ 24

2He

37

Per a les estrelles mes fredes/lleugeres, nomes pot tenir lloc la cadena PPI, perque com mesgran es la massa del nucli, mes gran es l’energia (i T ) necessaria per atravessar la barreracoulombiana. La velocitat de generacio d’energia de les cadenes PP combinades es ∝ T 4.

11.2.2 El cicle CNO

Hi ha una altra cadena de reaccions nuclears, principalment important en estrelles moltmassives que tenen una dependencia amb la temperatura mes forta que la de les cadenesPP. Involucren carboni, nitrogen i oxigen com a catalitzador, i com les cadenes PP tediferents branques

126 C +1

1 H →137 N + γ

137 N →13

6 C + e+ + νe136 C +1

1 H →147 N + γ

147 N +1

1 H →158 O + γ

158 O →15

7 N + e+ + νe157 N +1

1 H →126 C +4

2 He

El producte de l’ultima reaccio sera, en el 0.04% dels casos:

157 N +1

1 H →168 O + γ

168 O +1

1 H →179 F + γ

179 F →17

8 O + e+ + νe178 O +1

1 H →147 N +4

2 He

Al cicle CNO, la dependencia amb la temperatura es molt forta, amb una velocitat deproduccio d’energia ∝ T 19.9. Aixo te consequencies importants en l’estructura estel·lar,per exemple pel que fa a la conveccio, com hem vist anteriorment. Tambe, donada laparticipacio d’elements mes pesats, la temperatura ha de ser mes elevada que per a lacadena PP. Per masses lleugerament mes grans que M, la generacio d’energia comenca aser dominadada pel cicle CNO.

Amb l’acumulacio d’elements mes pesats al nucli estel·lar, µ creix i consequentmentP disminueix lentament, portant el nucli estel·lar fora de l’equilibri hidrostatic. Aixocomporta una contraccio que augmentara ρ i T , permetent que es cremi l’He.

Proces triple alfa de combustio d’HeAquest proces involucra tres nuclis d’heli/partıcules alfa, dos de les quals col·lisionen

primer formant beril·li, que hauria de ser immediatament colpejat per una altra partıculaalfa produint 12

6 C + γ.Aquest proces es molt sensible a T , amb una velocitat de generacio d’energia ∝ T 41

(tambe depen de la densitat en ∝ ρ3, sent gairebe un proces de tres cossos).

38

Combustio de carboni i oxigenSota les condicions de combustio d’He, es poden donar les seguents reaccions

126 C +4

2 He→168 O + γ

168 O +4

2 He→2010 Ne+ γ

La captura de partıcules alfa pot portar a elements encara mes pesats, encara que la barreracoulombiana vagi creixent i oposant mes resistencia.

Quan T → 6 × 108 K, elements com 168 O (endotermic), 20

10Ne,2311Na,

2312Mg i 24

12Mg espoden produir a partir de 12

6 C +126 C, i a 109 K, 24

12Mg (endotermic), 2814Si,

3115P,

3116S,

3216S a

partir de 168 O +16

8 O.L’energia de lligam per nucleoL’energia necessaria per nucleo per a que els nucleons mantinguin els components junts

creix des de 11H fins arribar a 56

26Fe, que es l’element mes estable. Fins arribar al ferro, lesreaccions nuclears alliberen energia, pero no mes enlla; els nuclis son inestables i decauenamb el temps. La Figura 9 ens dona una idea de la distribucio de l’energia de lligam pernucli amb la massa del nucli.

11.2.3 Elements mes pesats que el ferro

A la natura, dos mecanismes poden explicar l’existencia d’elements mes pesats que el ferro.Si els neutrons son capturats a una velocitat mes lenta que la de desintegracio dels neutronscapturats via decaıment beta, el proces es coneix com s-proces (”slow”), i produeix un nucliestable ja sigui directament

AZX + n→A+1

Z X + γ (121)

o secundariament via decaıment beta

A+1Z X →A+1

Z+1 X + e− + νe + γ (122)

Els elements creats despres de cada captura son estables sota decaıment beta. D’altramanera, si la velocitat de captura es mes rapida que el decaıment beta, el proces es coneixcom r-proces (”rapid”), i produeix un nucli ric en neutrons perque es poden acumular abansde decaure. Els elements inestables sota decaıment beta es poden obtenir directamentd’aquesta manera.

Els s-processos tendeixen a donar-se en etapes mes ”suaus” de l’evolucio estel·lar, comen la fase AGB (Assimptotic Giant Branche), mentre que els r-processos succeeixen durantsupernoves, quan hi ha presents grans quantitats de neutrons. Aquests dos processos podenexplicar les abundancies d’elements mes pesats que el ferro, tot i que energeticament noson rellevants.

39

12 Atmosferes estel·lars

En la majoria d’estrelles (exceptuant les estrelles a temperatures baixes i les nanes blanquesen que la conveccio pot ser dominant), la transferencia d’energia en l’atmosfera estel·lar esdona a traves de radiacio. A diferencia de l’interior estel·lar, no hi ha fonts d’energia enaquesta regio, i la radiacio viatja a traves seu patint absorcio, reemissio i dispersio, perono es creada. Aixo vol dir que hi ha un fort lligam entre gas i fotons, i una comprensioadequada de l’atmosfera estel·lar pot ajudar a obtenir informacio fısica important a partird’observacions de la llum estel·lar. La caracteritzacio de l’atmosfera estel·lar necessital’estudi de la transferencia de radiacio al gas, que enllaca condicions de plasma, relacionadesa l’estructura mecanica del gas (temperatura, densitat i pressio), a la radiacio observada.

12.1 Transferencia de radiacio

L’estudi de l’atmosfera estel·lar requereix la caracteritzacio del reprocessament de ra-diacio, i en particular els processos d’absorcio: absorcio lligam-lligam, lligam-lliure i lliure-lliure, dispersio d’electrons i fotoionitzacio de ions H−. Els coeficients d’absorcio d’algunsd’aquests processos es poden simplificar usant la opacitat mitjana de Rosseland (veureseccio 10.1), que es pot calcular com

κ−1 =

∫∞0 κ−1

ν dBν(T )/dTdν∫∞0 dBν(T )/dTdν

(123)

L’us de la opacitat mitjana de Rosseland permet la obtencio d’una prescripcio relativamentsimple de la transferencia de radiacio a l’atmosfera estel·lar, tot i que amaga propietatsdel gas perque negligeix informacio espectroscopica (per exemple estats de composicio iionitzacio) degut a la interaccio amb la frequencia.

L’equacio de transferencia de radiacio es pot escriure com

λνdIν/ds = −(1/κνρ)dIν/ds = Iν − Sν (124)

on Iν es la intensitat especıfica de radiacio amb unitats [erg cm−2 s−1 srad−1 Hz−1], Sν lafuncio font, ρ la densitat del gas, i ds l’interval de camı optic. La funcio font Sν es jν/κν ,on jν i κν son els coeficients d’emisivitat i absorcio, i es poden interpretar com la intensitatespecıfica local quan no hi ha contribucio d’altres regions. Recordem que λν = 1/κνρ es elcamı lliure mitja de radiacio.

Usant la opacitat mitjana de Rosseland, el coeficient d’opacitat diferencial en l’observador,dτ = −dS/λ, i en la direccio z, dτz = −κρdz (on dτ = dτz/ cos θ), l’equacio (124) es potreescriure com

cos θdI

dτz= I − S (125)

40

Aquesta forma es util en l’aproximacio d’atmosfera planoparal·lela, que es justificableperque h R, on h es l’alcada tıpica de l’atmosfera i R el radi estel·lar.

12.2 Obtenint T(τ)

Es pot obtenir T (τ) de la seguent forma. Es pot integrar l’equacio (125) sobre tot l’anglesolid,

∫4π dΩ, i tambe sobre

∫4π cos θdΩ, que dona

dFrad

dτz= 4π(〈I〉 − S) (126)

i

dPrad

dτz=Frad

c(127)

on 〈I〉 es la intensitat ν-amitjanada en l’angle solid, Frad el flux de radiacio cap a l’observador,i Prad la pressio de radiacio.

En equilibri, suposant que la radiacio estel·lar es Planckiana amb temperatura Teff, Frad =σT 4

eff i constant amb z, la qual cosa implica de l’equacio (126): 〈I〉 = S, i aixı, de l’equacio(127)

Prad =Fradτzc

+ C (128)

La constant d’integracio C de l’equacio (128) es pot calcular usant l’aproximacio d’Eddington,que es basa en suposar que I es pot descompondre en dues components isotropiques per acada hemisferi, Iout en la direccio z+, i Iin en la direccio z−. Aquesta aproximacio dona

〈I〉 =1

2(Iout + Iin) (129)

Frad = π(Iout − Iin) (130)

Prad =2π

3c(Iout + Iin) (131)

Com que a τz = 0 Iin = 0, es pot derivar Prad(0) = 23cFrad, per tant, Prad =

σT 4effc (τz + 2

3).Es pot completar la derivacio suposant equilibri termodinamic local, es a dir Prad = 4σ

3c T4,

la qual cosa comporta

T 4 =3

4T 4

eff

(τz +

2

3

)(132)

41

12.3 Estructura mecanica

La distribucio de densitat i pressio es pot trobar adoptant una equacio d’estat per al gasde l’atmosfera (P (ρ, T )) i suposant equilibri hidrostatic:

dP

dr=−Gm(r)

r2ρ (133)

on r es el radi estel·lar i m(r) la massa estel·lar dins de r, tot i que aquesta equacio es potsimplificar de manera molt acurada per a l’atmosfera estel·lar com (r → z)

dP

dz=−GMR2

ρ2 (134)

on gs = −GMR2 es la gravetat a la superfıcie. Aquesta equacio es difıcil de resoldre a no ser que

es facin certes aproximacions, com per exemple una equacio d’estat relativament senzilla,prenent la opacitat mitjana de Rosseland com a constant, una atmosfera isotermica, etc.

12.4 Processos que determinen les lınies espectroscopiques

Les lınies tenen una ampliacio natural degut al principi de Heisenberg, pero moviments aescala termica o mes gran (com per exemple turbulencies, rotacio) tambe poden causar im-pacte mitjancant l’efecte Doppler. Tambe es poden donar ampliacio de col·lisions o pressio,en que els ions propers afecten els orbitals dels atoms a traves dels seus camps electrics, jasigui per col·lisio o per influencia per proximitat.

Part III

Evolucio estel·lar

13 Evolucio presequencia principal

Quan el gas ha col·lapsat ha arribat a un gradient de pressio prou fort per equilibrar lagravetat, l’evolucio de la protoestrella esdeve caracteritzada no per l’escala de temps decaiguda lliure, sino per la de Kelvin-Helmholtz, es a dir, el temps que necessita el gas enequilibri hidrostatic per reajustar-se mentre el refredament radiatiu prossegueix. Per a unaestrella de 1M, aquesta fase dura al voltant de 20 milions d’anys.

13.1 La trajectoria de Hayashi

A mesura que el gas es contrau

42

14 Sequencia principal

15 Perdua de massa en estrelles poc i molt massives

16 Evolucio estel·lar postsequencia principal

17 Calculs de l’evolucio estel·lar

Part IV

Resultats de l’evolucio estel·lar

18 El gas degenerat

El nucli estel·lar esta format per ions de diferents tipus i electrons lliures. Les temper-atures i densitats assolides son molt altes, i el gradient de pressio termica equilibra lagravetat. Eventualment, amb el consum de combustible nuclear, es fa cada cop mes difıcilsostenir l’equilibri hidrostatic. Les temperatures assolides son massa baixes per cremarels productes mes pesats de les fases anteriors de les reaccions nuclears, o les reaccions estornen endotermiques, com en un nucli de ferro, de manera que no hi ha prou calor al nuclii guanya l’atraccio gravitatoria. Arribats a aquest punt, la contraccio del nucli estel·larallibera partıcules, en particular electrons lliures, amb molt poc espai, i el gas d’electronses torna degenerat. Aquesta situacio esta ben caracteritzada per l’energia de Fermi. Es lapressio de degeneracio la que preve que se segueixi col·lapsant un cop el nucli estel·lar s’haquedat sense combustible nuclear.

18.1 L’energia de Fermi

La compacitat a la que pot arribar el gas d’electrons depen del moment dels electrons ila longitud d’ona associada, el fet que els electrons son fermions, i l’espai que ocupen enl’espai de fases. Aquests tres punts es poden entendre a partir de la hipotesi de de Broglieque afirma que les partıcules amb massa son, com els fotons, ones amb longitud d’onaλ = h/p i frequencia ν = E/h, on p i E son el moment i l’energia de la partıcula. A mes,el principi d’exclusio de Pauli afirma que dos fermions no poden ocupar el mateix estatquantic, que caracteritza la localitzacio d’una partıcula en l’espai de fases del sistema alque pertany. Finalment, el principi d’incertesa de Heisenberg afirma que ∆x∆p ≥ ~ (on∆x i ∆p son les incerteses en la posicio i el moment d’una partıcula) i implica un volummınim de la cel·la l’espai de fases per partıcula:

∆x3∆p3 ∼ ~3 (147)

43

Per explorar les implicacions dels principis de Pauli, Heisenberg i de Broglie, es pot con-siderar que els electrons lliures son ones estacionaries a la caixa del nucli estel·lar amblongituds d’ona determinades per

λx =2L

Nx, λy =

2L

Ny, λz =

2L

Nz(148)

en tres dimensions. Aixo, junt amb les relacions de de Broglie, dona el moment tıpic del’electro:

px =Nxh

2L, py =

Nyh

2L, pz =

Nzh

2L(149)

on Nx, Ny i Nz son nombres quantics enters que caracteritzen la localitzacio d’electronsen l’espai de fase i energia; com mes gran es el valor de les N ’s, mes gran es el moment itambe l’energia de l’electro. L’energia de l’electro en el cas no relativista es pot escriurecom

ε =p2

2m=

h2

8mL2(N2

x +N2y +N2

z ) =h2N2

8mL2(150)

A l’estat de mınima energia del gas, quan tots els electrons estan empaquetats en lesseves cel·les respectives en l’estat de fases per no violar el principi d’exclusio de Pauli, elnombre d’electrons ha de ser igual al nombre d’estats quantics disponibles per sota d’unacerta energia multiplicat per 2, que prove de la degeneracio del spin. Aquesta energia esl’energia de Fermi.

En l’estat de mınima energia, s’acaba amb la seguent relacio entre la densitat d’electronsNe i un octant d’esfera d’estats quantics amb radi N = (N2

x +N2y +N2

z )1/2:

Ne = 21

8

4π

3N3 (151)

De les equacions (150) i (151) es pot derivar una relacio entre l’energia de Fermi i la densitatd’electrons ne = N/L3

εF =~2

2m(3π2ne)

2/3 =~2

2me

[3π2

(Z

A

)(ρ

mH

)]2/3

(152)

on Z i A son els nombres atomic i massic mitjans, i ρ es la densitat del nucli estel·lar.En aquesta derivacio l’energia i l’espai de fases es consideren iguals. Aixo es cert per

ones estacionaries en una caixa en la que els moments son zero i nomes importa l’incertesaen el moment, pero no en general, ja que electrons amb moments en direccions oposades imateixa energia tindrien nombres quantics diferents.

Remarquem que l’energia de Fermi es un valor de referencia. Si la majoria dels electronsestan per sota d’aquesta energia, llavors els sera difıcil canviar el seu estat quantic perquetots els seus estats veıns estaran ocupats i per canviar d’estat haura de saltar a un nivell

44

d’energia per sobre de la de Fermi, que es altament improbable. Aixo implica que aquestselectrons no poden modificar la direccio dels seus moments ni poden es interpenetrar lescel·les espacials els uns als altres. Per tant, no es permetran col·lisions i aixı la conducciosera molt eficient, a mes a mes, si una forca intenta comprimir mes el gas, els electronsactuaran com esferes rıgides.

18.1.1 Exercici: la condicio de degeneracio

Comparem l’energia de Fermi i l’energia termica d’un electro no relativista, εth = 3kT/2.Aquest es un exercici simple i util que ens pot donar un criteri per a la degeneracio delgas:

εF = εth →~2

2me

[3π2

(Z

A

)(ρ

mH

)]2/3

=3

2kT (153)

Aixo ens permet derivar la seguent relacio entre les variables termodinamiques

εF = εth → D = T/ρ2/3 (154)

on

D =~2

3mek

[(3π2

mH

)(Z

A

)]2/3

≈ 105 K cm2g−2/3 (155)

amb Z/A = 0.5. El gas sera degenerat per T/ρ2/3 < D, perque aixo significa que latemperatura es massa baixa per a que els electrons estiguin per sobre de l’energia deFermi. Per al nucli del Sol, T/ρ2/3 ∼ 106 D, per tant, molt pocs electrons tindranenergia per sota del nivell de Fermi. Tot i aixı, per a una nana blanca, T/ρ2/3 ∼ 103 D,per tant el grau de degeneracio sera alt.

18.2 L’equacio d’estat per al gas degenerat

Fent us del principi de Heisenberg, i suposant que tots els electrons tenen el mateix momentp (≈ ∆p), es pot trobar una relacio entre la pressio de degeneracio i el moment delselectrons:

P ≈ nepv

3=nep

2

3me(156)

Com que p2 = p2x + p2

y + p2z ≈ 3p2

x, px ≈ ~/∆x i ∆x ≈ n−1/3e = [(Z/A)(ρ/mH)]−1/3, es pot

escriure

P ≈ ~2

me

[(Z

A

)(ρ

mH

)]5/3

(157)

45

que es aproximadament correcte. L’equacio (157) mostra que un gas degenerat no rela-tivista satisfa l’equacio d’estat politropica amb ındex adiabatic 5/3.

18.3 El lımit de Chandrasekhar

Com hem vist a la seccio 18.2, un gas d’electrons degenerat no relativista te una equaciod’estat amb ındex adiabatic 5/3. Un gas aixı, com s’ha discutit en la seccio 3, es establesota petites desviacions de l’estat d’equilibri. Tot i aixı, la velocitat dels electrons sotadegeneracio

v =p

me≈√

3~me

[(Z

A

)(ρ

mH

)]1/3

(158)

esdeve v ∼ 1010 cm s−1 per a una densitat ρ ≈ 5 × 105 g cm−3, que es correspon a ladensitat tıpica d’una nana blanca de massa ∼ M. Suposant densitat constant i equilibrihidrostatic, s’obte al centre de l’estrella

P =2

3πGρ2R2 (159)

Les equacions (159) i (157) porten a una relacio R ∝M−1/3, o ρ ∝M2, per tant v ∝M2/3.Aixo ens mostra que les velocitats dels electrons ja son lleument relativistes per a nanesblanques pesades, i per a masses lleugeraments mes grans el gas degenerat sera relativista.Per tant, s’han de tenir en compte els efectes relativistes.

A partir de la relacio energia-moment d’una partıcula relativista: ε ≈ pc, es pot derivaruna nova equacio d’estat:

P ≈ (3π2)1/3

4~c[(

Z

A

)(ρ

mH

)]4/3

(160)

Aquesta relacio entre pressio i densitat per al gas degenerat relativista te γ = 4/3 com aındex adiabatic. Com hem vist a la seccio 3, un gas aixı no es estable sota petites pertor-bacions, per tant, per a un nucli estel·lar degenerat molt pesat la pressio de degeneraciodels electrons no parara el col·lapse gravitatori.

19 Objectes compactes

Anem a fer una ullada a algunes propietats fenomenologiques i fısiques dels romanents del’evolucio estel·lar, en particular de les nanes blanques, estrelles de neutrons i forats negres.

19.1 Nanes blanques

Les nanes blanques no son blanques, sino que el seu color depen de la temperatura superfi-cial, que varia entre 5000 K i 80000 K. El tipus espectral te subdivisions: DA (el grup mes

46

gran), amb nomes lınies d’absorcio eixamplades d’hidrogen, DB (8%), amb nomes lıniesd’hidrogen, i DC (14%), sense lınies.

La pressio al nucli de les nanes blanques es pot estimar a partir de l’equacio (159):

P ≈ (2/3)πGρ2R2wd ≈ 4× 1023dyne cm−2 (161)

es a dir ∼ 106 vegades la del Sol, i la temperatura es pot obtenir simplificant l’equacio

∂T/∂r = −(3/4ac)(κρ/T 3)(Lr/4πr2) (162)

a partir de la qual es deriva Tc ∼ 8× 107 K.Aquests valors per a la pressio i la temperatura assenyalen condicions on la combustio

nuclear de l’hidrogen seria molt eficient. Tot i aixı, les nanes blanques son fosques, la qualcosa implica que no estan fetes de partıcules capaces de patir fusio normal donades lesdensitats i temperatura del seu nucli.

Les nanes blanques es produeixen en estrelles de menys de ∼ 8M despres de la brancaasimptotica de les gegants, i les que tinguin masses > 0.5M tindran un nucli degeneratde carboni+oxigen ionitzat. L’embolcall es expulsat durant la fase BAG, en el cas delsprogenitors mes pesats, en forma de forts vents i pulsacions estel·lars.

L’espectre d’hidrogen en nanes blanques DA es pot explicar per el baix pes d’aquestelement, que porta a un fluid mes lleuger per a la mateixa pressio i temperatura. Aixoprovoca una forca d’Arquımedes que porta l’hidrogen amunt i els elements mes pesatsavall. Aquest proces te lloc durant uns 100 anys. La conveccio o les pulsacions podentreure aquesta capa d’hidrogen, deixant nanes blanques DB o DC.

L’estat d’energia d’un sistema de partıcules es pot representar per un conjunt denumeros quantics (sense potencials addicionals, nomes tres numeros quantics associats ales tres components del moment). Si les partıcules son fermions, dues partıcules no podentenir la mateia identificacio quantica. Quan la temperatura es molt baixa, les partıculess’acumulen al voltant del nivell fonamental, pero s’amunteguen energeticament produintuna pressio de degeneracio a mes de la de col·lisio normal. Les nanes blanques son prou fre-des com per a que succeeixi aquest fenomen degut a les molt altes densitats involucrades;noti’s que l’energia de Fermi εF ∝ ρ2/3. Amb unes densitats tant elevades, el principid’incertesa de Heisenberg ∆x∆p ≈ h/2π i ρ ∝ ∆x−3 imposen que les partıcules han detenir ∆p ∝ ρ1/3 i P ∝ ρ5/3.

Com que les partıcules estan acumulades en l’espai de moments, els es difıcil canviarel seu moment de l’unica manera possible, es a dir, mitjancant col·lisions. Aixo implicaque la conduccio sera efectiva, sent de fet el mecanisme dominant de transport d’energiaen nanes blanques.

Com mes gran es la massa d’una nana blanca, mes gran n’es la densitat. Donada larelacio P ∝ ργ , com mes gran sigui ρ, mes rapid es mouran les partıcules, arribant a c permasses prou grans, es a dir, el gas es torna relativista. La massa limitant es la massa deChandrasekhar, MCh ≈ 1.44M. Aixo canvia el coeficient adiabatic del gas per 4/3, i fent

47

que l’estrella sigui inestable per petites pertorbacions. Sota aquestes circumstancies, lapressio dels electrons falla i la nana blanca col·lapsa donant lloc a una explosio supernova.

19.2 Estrelles de neutrons

Dos anys despres que James Chadwick descobrıs els neutrons (1932), Walter Baade i FritzZwicky van proposar que les supernoves representaven la transicio d’estrelles normals aestrelles de neutrons, les quals consistirien en neutrons molt estretament empaquetats.Aquesta seria la seguent configuracio estable despres que la pressio dels electrons degeneratses torni insuficient per evitar el col·lapse gravitatori.

Inicialment, el nucli es estable amb una composicio dominant de ferro. Quan la massadel nucli de ferro d’una estrella massiva es superior a MCh, la pressio de degeneraciodels electrons no pot sostenir l’atraccio gravitatoria de l’objecte, i el col·lapse comenca.Despres que hagi comencat el col·lapse, la captura d’electrons (p+ + e− → n + νe) portaa la conversio de protons en neutrons al nucli. Alguns neutrons poden decaure de nou enprotons via decaıment-β estandard (n → p+ + e− + νe), pero la degeneracio d’electronsinhibeix aquest proces. Amb la densitat creixent, es mes probable trobar neutrons lliures,de manera que el material esta format per nuclis rics en neutrons, neutrons lliures norelativistes i electrons lliures relativistes. Al voltant de ≈ 4× 1012 g cm−3, la degeneraciode neutrons es torna la font de pressio dominant. A mesura que la densitat s’apropa isupera la densitat d’un nucli atomic (≈ 2×1014 g cm−3), el fet d’estar dins o fora del nuclideixa de ser important. Llavors, la majoria del material esta format per neutrons, algunsprotons i electrons. Eventualment, el col·lapse s’atura degut a la pressio de degeneraciodels neutrons.

Les estrelles de neutrons estan formades d’al voltant de 1057 neutrons i d’una quantitatsignificativament menor de protons i electrons. Es pot trobar ferro i alguns altres elementsmes pesats a les capes mes externes. El radi d’una estrella de neutrons es 10-15 km, ila seva densitat mitjana ≈ 7 × 1014 g cm−3. La temperatura superficial d’una estrellade neutrons sera d’al voltant de ∼ 106 K, amb una lluminositat ≈ 7 × 1032 erg s−1. Lavelocitat d’escapament d’un objecte aixı es una fraccio substancial de la velocitat de lallum, la qual cosa indica que es de naturalesa relativista.

L’equacio d’estat de la materia que forma una estrella de neutrons no es coneix. Ambdensitats superiors a la densitat nuclear, i requerint correccions relativistes, actualmentno es possible fer prediccions quantitatives acurades de les condicions dins de l’estrellade neutrons. La rao es que la termodinamica quantica no es molt coneguda en aquestescondicions extremes. Una consequencia d’aixo es que la massa maxima a la que l’estructurade l’estrella de neutrons sencera es torna inestable no es clara. S’espera, pero, que mesenlla de, diguem ∼ 3M, l’estrella de neutrons hauria de col·lapsar mes i probablementformar un forat negre (si no son possibles altres formes de materia, com per exemple enestrelles de quarks i altres objectes exotics). La rotacio podria augmentar aquesta massalımit en valors superiors, pero mes enlla d’algun punt s’espera el col·lapse total.

48

S’espera que tant el camp magnetic com la velocitat angular de l’estrella de neutronssiguin molt alts, perque ambdues quantitats son proporcionals al quadrat del radi (perconservacio del flux magnetic i del moment angular), el qual disminueix en quatre ordres demagnitud de l’estat de nana blanca. Un camp B i una rotacio tant forts fan de les estrellesde neutrons emissors de polsos de radiacio molt efectius quan la rotacio i l’eix magnetic noson paral·lels. Les estrelles de neutrons de les quals se’n detecten les pulsacions es coneixencom a pulsars. Els pulsars (i les estrelles de neutrons) van ser detectats per inadvertenciaper primer cop el 1967 per Jocelyn Bell.

19.3 Forats negres

Despres del fracas de la degeneracio de neutrons, actualment es creu que el col·lapse totaldel nucli estel·lar es inevitable. En aquesta etapa, el material pot arribar a densitatsprou elevades dins d’un radi donat per a formar un horitzo de successos. L’ultim es quanla velocitat d’escapament a una certa distancia del centre es torna igual a la velocitatde la llum. A partir d’aquest punt, el material dins d’aquest radi es torna causalmentindependent del material extern, i cap pressio pot aturar la caiguda de la materia. L’horitzode successos es troba a rSch = 2GM/c2 ≈ 3(M/M) km. Per a estrelles molt massives, elnucli col·lapsat podria tenir > 10M.

Les dificultats per a determinar la massa maxima d’una estrella de neutrons s’hand’afegir a les dificultats per modelitzar la perdua de massa en estrelles molt massives. Toti que son qualitativament conegudes, les etapes finals de la vida d’aquestes estrelles sondifıcils de modelitzar i per tant les prediccions de les seves masses finals no poden sermolt acurades. Tot aixo vol dir que es difıcil determinar el numero de forats negres queexisteixen, i el fet que no produeixin llum en fa la detectabilitat molt baixa (veure seccio21).

La fısica dels forats negres es complexa pero els seus detalls es basen en la geometriade l’espai-temps corbat que sorgeix quan la materia es comprimeix mes enlla d’un certpunt. La gravetat Newtoniana s’aplica sempre que |Ω| Mc2, l’espai sigui euclidia i eltemps vagi sempre al mateix pas a tot arreu. Sota tals condicions, qualsevol cos en caigudatindra velocitats c, i cap efecte espai-temps estrany tindra lloc. D’altra manera, quanl’energia potencial gravitatoria d’un cos a prop de l’objecte central assoleix o sobrepassala seva energia en repos, significa que l’espai i el temps es corben i el seu entrellacament esfa evident. Aixo pot ser il·lustrat per exemple amb la trajectoria de la llum, la qual potser extremadament doblegada en cas d’un objecte relativista. Una gravetat forta tambeafecta al temps, alentint-ne el seu pas.

En el cas d’un forat negre sense rotacio, el quadrat d’un infinitessim d’un interval del’espai-temps es pot escriure com (Schwarzschild 1915)

ds2 = −(√

1− rSch/rcdt)2 + (dr/

√1− rSch/r)

2 + (rdθ)2 + (r sin θdφ)2 (163)

49

on les coordenades r i t son les d’un observador a l’infinit. l’interval ds es relaciona amb dτmitjancant ds2 = −(cdτ)2, que es pot entendre com el temps percebut per un observador encaiguda lliure a una distancia r del forat negre. Aquest interval ds tambe es pot entendre,vist des de l’infinit, com la distancia espacial entre dos esdeveniments instantanis. Per a unobservador en repos a l’infinit, el temps transcorregut amb respecte al temps transcorregutper un observador en caiguda lliure al forat negre es

dt = dτ/√

1− rSch/r (164)

i la distancia entre esdeveniments instantanis es

dr =√

1− rSch/rds (165)

la primera implicant dt→∞ i la segona dr → 0 quan r → rSch.Noti’s que els forats negres poden rotar, en tal cas les relacions anteriors (es a dir la

geometria espai-temps, la seva metrica) canviarien, i s’hauria de tenir en compte el momentangular. Els forats negres tambe poden, com a mınim temporalment, tenir carrega. En elcontext de la teoria de la relativitat general, els forats negres es poden caracteritzar com-pletament per la seva massa, moment angular i carrega, independentment de l’estat inicialde l’objecte abans del col·lapse. Aixo implica un augment enorme en l’entropia, perquemoltes configuracions diferents poden acabar formant un objecte molt simple caracteritzatper nomes aquestes tres quantitats (teorema de no pel).

A prop de l’horitzo de successos, per a un observador molt llunya, sembla que el temps escongeli. Aixo es degut a l’atraccio gravitatoria dels fotons produıda molt a prop d’aquestasuperfıcie, els quals hauran d’escalar el profund pou de potencial en que estan enterrats.Aixo significa que el temps necessari per a abandonar la regio circumdant al forat negre,tal i com el veu un observador a l’infinit, esdeve molt llarg. Aixo tambe significa que laseva energia disminueix amb r, perque es necessari que salti del pou de potencial.

Els forats negres es poden detectar mitjancant la radiacio produıda indirectament perla seva presencia. Per exemple, si el gas es acretat cap a ells, l’alliberament d’energiagravitatoria associat al gas en caiguda pot tenir efectes observables. A mes, es pot re-distribuir part de l’energia gravitatoria en els processos en que interve el camp magnetic,part d’aquest gas sent expulsat a velocitats relativistes en forma d’un flux sortint bipolar icolimat (jet). L’ultim proces es molt important quan s’estudien processos d’altes energiesen astrofısica, perque les partıcules mes energetiques detectades fins ara podrien formar-seen aquest tipus d’estructures.

Es creu que existeixen forats negres a part dels d’origen estel·lar. Per exemple, escreu que les estructures lligades gravitatoriament formades per moltes estrelles podrienser el bressol de forats negres mes pesats que els de massa estel·lar. Eventualment al-guns d’aquests forats negres de massa intermedia es podrien haver convertit el nucli deles galaxies actuals com forats negres supermassius despres de perıodes d’acrecio activa(relacionat amb l’activitat del nucli galactic actiu). Alguns d’aquests forats negres pesats

50

encara es podrien trobar avui en dia en cumuls globulars que no es van ajuntar amb altresestructures per formar galaxies. Les fluctuacions de densitat en l’Univers primigeni podrienhaver portat tambe a la formacio de forats negres de diferents masses.

Els forats negres es podrien evaporar, tal com ha suggerit Stephen Hawking, mitjancantradiacio. Amb el seu temps de vida directament proporcional a M3, els forats negres petitsde l’Univers primigeni es podrien estar evaporant ara mateix, la qual cosa hauria de serdetectable per raigs gamma. Tot i aixı, no hi ha evidencies que s’estiguin donant talsprocessos, la qual cosa estableix un lımit superior en la densitat d’aquests forats negreslleugers primordials.

20 Sistemes binaris

Al voltant de la meitat de les estrelles es formen en sistemes multiples. En el cas dela majoria d’estrelles massives, aquesta fraccio podria ser encara mes gran. En moltscasos, els membres d’aquests sistemes estan prou allunyats els uns dels altres com perno interactuar entre ells significativament, i per tant es consideren sistemes independents.Aquestes estrelles evolucionaran com si estiguessin aıllades. En alguns d’aquests sistemes,si el seu lligam gravitatori es massa feble, es poden trencar sistemes multiples per influenciagravitatoria d’estrelles veınes, tal com passa en regions concorregudes de formacio estel·lar.Quan les estrelles en un sistema binari estan prou a prop, les seves formes es poden veureafectades per l’atraccio gravitatoria de la companya, patint deformacions i pulsacions. Aixoindueix una dissipacio de l’energia de moviment orbital, i el sistema tendeix al seu estatde mınima energia compatible amb el seu moment angular. A mes, quan els membresdel sistema evolucionen fora de la sequencia principal i el seu embolcall s’expandeix, espoden intercanviar massa mitjancant el primer punt de Lagrange (L1), que es el punt ons’equilibren les seves forces gravitatories. La superfıcie equipotencial que toca L1 es coneixcom el lobul de Roche. Quan nomes una estrella desborda el seu lobul de Roche, es diuque el sistema es semiindependent, mentre que quan ho fan ambdues, es diu que el sistemaes un contacte binari.

El futur d’un sistema binari proper depen dels detalls del sistema i els seus elements.Tot i aixı, es pot derivar qualitativament una relacio entre la transferencia de massa deles dues estrelles i la mida i perıode del binari. En aquest proces, tant la separacio orbitalcom el perıode poden disminuir, la qual cosa es causada per la redistribucio de momentangular i massa, els valors totals dels quals son constants i es poden expressar com (en unsistema circular):

L = µ√GMa (166)

M = M1 +M2 (167)

51

on µ = M1M2/M aquı es la massa reduıda, i a la distancia de separacio. Suposant que noes perd massa ni moment angular pels vents estel·lars ni radiacio gravitatoria, la derivadade L es zero:

0 =dL

dt=√GM

(dµ

dt

√a+

µ

2√a

da

dt

)(168)

i la derivada de µ es

dµ

dt=

1

M

(dM1

dtM2 +

dM2

dtM1

)(169)

La massa perduda per una es guanyada per l’altra, per tant M1 = −M2 i

dµ

dt=M1

M(M2 −M1) (170)

que permet escriure

1

a

da

dt= 2M1

M1 −M2

M1M2(171)

i donada la llei de Kepler, T ∝ a3/2, per al perıode T s’obte

1

T

dT

dt=

3

2

1

a

da

dt(172)

es a dir, el perıode s’acurta quan disminueix la separacio orbital.L’evolucio d’un sistema binari es pot il·lustrar com dues estrelles orbitant-se l’una a

l’altra, amb l’estrella 1 sent mes massiva que la 2, per tant M1 −M2 > 0. L’estrella 1evolucionara mes rapidament, convertint-se en una gegant vermella i desbordant el seulobul de Roche i iniciant la transferencia de massa de 1 a 2 (es a dir M1 < 0). Les estrelless’aproparan seguint una espiral, la qual cosa implicara un encongiment del lobul de Roche,accelerant la transferencia de massa. El sistema acabara com un contacte binari amb unembolcall comu, que tant podria ser que s’expulses com que el binari esdevingues un solobjecte, depenent de les circumstancies.

21 Acrecio i fluxos relativistes

21.1 Acrecio

Quan una de les estrelles desborda el seu lobul de Roche, i la materia comenca a caure enl’objecte company (una altra estrella, una nana blanca, una estrella de neutrons o un foratnegre), el corrent de materia tant pot impactar directament la superfıcie del company, comfallar. En l’ultim cas, tot i no haver-hi contacte directe, l’energia de la materia caient es

52

negativa, i per tant esta lligada gravitatoriament. En principi, aquesta materia pot entraren orbita al voltant de l’objecte company, amb una energia total

E = −GMm

2r(173)

Sota refredament radiatiu eficient, la materia te la majoria de la seva energia es trobaen forma d’energia cinetica del moviment orbital, i energia potencial. Tot i aixı, l’orbitaque segueix el gas no es del tot Kepleriana, sino que pateix dissipacio d’energia i momentangular, la qual cosa dona forma de disc al gas del voltant de l’objecte acretor. Aquestadissipacio s’explica per la friccio entre els elements del gas a diferents distancies de l’objectecentral. Aquesta friccio, molt probablement relacionada a inestabilitats del plasma asso-ciades al camp magnetic, permet que s’alliberi energia en forma de radiacio (refredamenteficient), i que es transporti moment angular lluny del sistema, ambdos efectes causantla naturalesa no Kepleriana, cada vegada menor de l’orbita. La simetria al voltant del’eix perpendicular al pla orbital fara que el gas adopti una estructura semblant a un disc,l’anomenat disc d’acrecio.

Quan el refredament no es eficient, l’energia gravitatoria es alliberada en forma de calori no es pot formar el disc. Enlloc d’aixo, l’estructura es torna molt gruixuda, amb la sevaenergia emmagatzemada en els moviments termics dels ions i electrons. Ara la dissipacioopera per reduir la velocitat tangencial i per tant la forca centrıfuga, la qual cosa porta auna caiguda rapida de la materia propera a l’objecte acretor. Per altra banda, la materiaa les regions externes d’aquest gas calent tindra energia positiva i pot ser advectada cap afora empesa per un gradient de pressio.

l’energia alliberada per un anell del disc d’acrecio quan el refredament es ineficient espot obtenir diferenciant la seva energia com a funcio del radi

dE =dE

drdr =

d

dr

(−GMm

2r

)dr = −GMmt

2r2dr (174)

on mt es la massa de l’anell del disc d’acrecio a traves del qual la materia passa en untemps t. Aixo produeix una lluminositat de l’anell en situacio estacionaria

dL =d(E/t)

drdr = −GMm

2r2dr (175)

i una lluminositat total del disc

Ldisc = GMm

2R(176)

que es una meitat de la lluminositat total disponible per acrecio

Lacc = GMm

R(177)

53

la qual cosa implica que al voltant de la meitat de la lluminositat produıda per acrecio esradiada cap a fora eficientment, i l’altra meitat es dipositada en l’objecte company. Peracabar, suposant equilibri hidrostatic local, es a dir,

dL = πr2σT 4dr (178)

s’obte la relacio entre T i r:

T =

(GMm

8πσR3

)1/4(Rr

)3/4

(179)

21.2 Fluxos relativistes

L’acrecio esta darrere dels objectes mes brillants de l’Univers. Diverses estrelles de neutronsi forats negres acretors en sistemes binaris es troben entre els objectes mes lluminosos dela nostra galaxia. En l’ambit extragalactic, els forats negres supermassius acretors situatsal centre d’algunes galaxies son els objectes mes energetics que es poden observar (nuclisgalactics actius), i episodis d’acrecio molt alta en forats negres formats al col·lapse de lesestrelles mes massives son els objectes mes lluminosos que han existit des del Big Bang,els anomenats esclats de raigs gamma. Tot i que son limitats en numero, la naturalesaextrema d’aquests objectes, i la seva alta detectabilitat (es van detectar molt de pressaquan van comencar a operar amb telescopis amb longituds d’ona diferents de la optica), enpermeten l’estudi de processos fısics molt violents que son irreproductibles en laboratorisa la Terra.

Tot i ser energeticament molt eficients, amb fraccions > 10% de la mc2 involucradaconvertides en energia, l’acrecio no pot explicar per si mateixa la fenomenologia com-plexa que els objectes mencionats presenten. L’acrecio majoritariament produeix radiaciotermica o parcialment termica, majoritariament concentrada a la banda IR-raigs X. Tot iaixı, els binaris galactics amb objectes compactes acretors, nuclis galactics actius i esclatsde raigs gamma poden produir radiacio en un rang molt mes ampli de frequencies, desde radio <GHz fins a raig gamma altament energetics (> 1012 eV), a vegades amb unavariabilitat molt rapida que sembla violar les lleis de la Natura. Aquesta emissio de bandaampla seria generada en fluxos colimats molt rapids de materia entrellacats amb campselectromagnetics que es propaguen a gairebe la velocitat de la llum, els jets. Mitjancantcops forts i altres processos dissipatius no termics, que distribueixen l’energia mes enllade temperatures possibles en equilibri termodinamic, es produeixen partıcules de veloci-tat ultrarelativista. Aquestes partıcules, en interaccio amb la materia, radiacio i campsmagnetics ambients, pateixen perdues molt fortes d’energia produint fotons i altres tipusde partıcules, algunes de les quals poden escapar de la font i arribar a la Terra, on po-den ser detectades per grans instruments que fan us de tecnologia molt avancada i fısicad’avantguarda.

54

La manera en que aquests objectes sembla que violin lleis com la conservacio d’energia,o la causalitat, es mitjancant relativitat especial, com l’enfocament d’emissio en la direcciodel moviment o la dilatacio temporal a velocitats molt altes, i altres efectes com el corrimentde Doppler.

Els fluxos colimats de materia que acceleren partıcules, i generen emissio des de lesenergies mes baixes a les mes altes que poden assolir la instrumentacio, son produits molta prop del forat negre i son alimentats per acrecio (tot i que l’energia de rotacio dels foratsnegres tambe pot ser una contribucio important). En la seva produccio participen campsmagnetics annexionats al flux d’acrecio i oberts per rotacio rapida. Aquesta rotacio rapidaforca que els camps magnetics es connectin al disc d’acrecio i les regions properes a l’objectecompacte amb el flux colimat que s’esta produint. D’aquesta manera, el camp magneticjuga el paper de mediador, orientant i accelerant la materia normal fins a velocitats moltaltes amb alta colimacio.

Els fluxos relativistes son per tant omnipresents al nostre Univers. Detectables desde distancies molt llunyanes, son eines utils per estudiar no nomes processos fısics queno es poden donar a la Terra, sino que tambe les propietats dels objectes en els quals esprodueixen, aixı com el medi en que es propaguen, o en que es propaga la seva radiacio.

55