Astrodinamica_2

E. Lorenzini Astrodinamica 1

Orbite

Testi consigliati: H.D. Curtis, “Orbital Mechanics for Engineering Students”

Elsevier Aerospace Engineering Series, 2005

E. Lorenzini Astrodinamica 2

Rappresentazione dell’orbita •  L‘orbita e la posizione del satellite

nell’orbita viene definita da sei parametri orbitali

• I parametri classici di Keplero sono:���- il modulo del momento angolare���(o in alternativa il semiasse maggiore)���- l’eccentricitá ���- l’ascensione retta della linea dei nodi���- l’argomento del periasse���- l’inclinazione ���- l’anomalia vera del satellite ���(o in alternativa l’anomalia media M ���o il tempo τ dal passaggio al perigeo)

• Si usano in alternativa le tre coordinate cartesiane di posizione e le tre componenti di velocitá del satellite

• Oppure coordinate geografiche di vario tipo

E. Lorenzini Astrodinamica 3

Tipi di sezioni di conica

E. Lorenzini Astrodinamica 4

Orbite circolari •  Ponendo e = 0 nell’equazione dell’orbita si ottiene l’espressione per le

orbite circolari

!

r =h2

µ e poiche' h = rv" = rvcirc

vcirc =µr

velocita'

# =µr3 velocita' angolare

T =2$#

periodo orbitale

• Imponendo che il periodo orbitale sia uguale al periodo sidereo di rotazione terrestre si ottiene il raggio dell’orbita geosincrona

da cui si ottiene

!

rGEO =µ

"E23 con "E = 7.292x10#5 rad /s velocitá angolare siderea

E. Lorenzini Astrodinamica 5

Orbite ellittiche

rp = a(1 - e) raggio del perigeo��� ra = a(1 + e) raggio dell’apogeo��� e = (ra - rp)/(ra + rp) ��� ae = distanza fuoco centro dell’ellisse��� l = h2/µ semi-lato retto

• Dall’equazione delle sezioni coniche si ha per l’ellisse:

!

r =em

1+ ecos"

• L’equazione generale delle sezioni coniche é:

con m la distanza del fuoco F dalla direttrice DD’ ed e l’eccentricitá

!

b = a 1" e2 semiasse minore

E. Lorenzini Astrodinamica 6

Perigeo ed apogeo •  Ponendo θ = 0 e θ = π nell’equazione dell’orbita si ottengono

rispettivamente i raggi di perigeo ed apogeo in funzione di e ed h

!

rp =h2 /µ1+ e

" > hrp

2 =µrp

3 (1+ e)

ra =h2 /µ1" e

" > hra

2 =µra

3 (1" e)

• Considerando che h = r2dθ/dt e computando dθ/dt al perigeo e all’apogeo si ottengono le velocitá (vp = rp dθp/dt e va = ra dθa/dt)

!

˙ " p =hrp

2 =µrp

3 1+ e # > vp =µrp

1+ e

!

˙ " a =hra

2 =µra

3 1# e # > va =µra

1# e velocitá all’apogeo

velocitá al perigeo

E. Lorenzini Astrodinamica 7

Velocitá di perigeo ed apogeo •  In alternativa si puó esprimere le velocitá di perigeo ed apogeo in

termini ancora piú semplici notando che h = rpvp = rava , per cui

!

vp =hrp

va =hra

velocitá all’apogeo

velocitá al perigeo

E. Lorenzini Astrodinamica 8

Energia e momento angolare • Rivisitando l’espressione dell’energia e calcolando E al perigeo dove���

vp2 = (µ/ rp)(1 + e)

!

E =v 2

2"

µr

=vp2

2"

µrp

= "12

µrp(1" e)

• Sostituendo rp = a(1 - e) nel momento angolare calcolato al perigeo

!

h = aµ(1" e2)

Utilizzando le precedenti espressioni e sostituendo rp = a(1 - e) si ottiene

!

E = "µ2a

• In conclusione l’energia orbitale dipende solo dal semiasse maggiore mentre il momento angolare dipende dal semiasse e dall’eccentricitá

!

h = rpµ(1+ e) si ottiene !

v =2µr"

µa

da cui sostituendo nell’eqn dell’ energia

• Sostituendo nell’equazione dell’orbita si ha anche

!

r = a 1" e2

1+ ecos#

E. Lorenzini Astrodinamica 9

Orbite ellittiche •  Abbiamo giá visto le espressioni dei raggi e delle velocitá di apogeo e

perigeo delle orbite ellittiche (e < 1). Qui ricordiamo che

!

rp =h2

µ1

1+ e, ra =

h2

µ1

1" e

• Otteniamo anche un’espressione dell’energia orbitale in funzione di e ed h Dall’equazione dell’energia (chiamata anche vis viva) si ottiene

ed inoltre

!

a =rp + ra2

=h2

µ1

1" e2

!

E = "µ2a

" > E = "12

µ2

h2 1" e2( )

dove abbiamo sostituito la formula del semiasse maggiore scritta sopra

E. Lorenzini Astrodinamica 10

Orbite ellittiche •  Per ottenere il periodo delle orbite ellittiche possiamo usare

l’espressione della velocitá areolare

!

"A =h2"t per una rivoluzione completa Δt = T e ΔA = A = πab

!

T = A 2h

=2"abh

=2"ha2 1# e2

ed essendo h = µa(1# e2) e b = a 1# e2

!

T = 2" a3

µ terza legge di Keplero

E. Lorenzini Astrodinamica 11

Orbite ellittiche •  La distanza media lungo un’orbita del satellite dal fuoco (ovvero la

media del raggio r nell’orbita) é data da

!

r 2" =12"

r(#)d#0

2"

$ =12"

h2

µd#

1+ ecos#0

2"

$

•  Usando la relazione h2 = µa(1 - e2) e sviluppando l’integrale si ottiene

!

r 2" =12"

a 1# e2( ) 2"1# e2

$

% &

'

( ) = a 1# e2 = b

e quindi la distanza media dal fuoco é il semiasse minore • Poiché rp = a(1 - e) e ra = a(1 + e) la distanza media si puó anche ���

esprimere come

!

r 2" = rpra

E. Lorenzini Astrodinamica 12

Orbite paraboliche e velocitá di fuga • Se l’eccentricitá diventa e = 1 l’equazione dell’orbita diventa

per anomalia vera θ -> 180° il raggio r tende all’infinito

• Dall’ equazione dell’energia ricavata prima si vede anche che per e = 1, ��� ���

e quindi dall’equazione della vis viva !

r =h2

µ1

1+ cos"

!

v 2

2"

µr

= 0 " > v =2µr

• Se un corpo é lanciato su un’orbita parabolica (senza altri campi gravitazionali) raggiungerá l’infinito con velocitá finale nulla

• Le orbite paraboliche si chiamano anche traiettorie di fuga

!

E = "12

µ2

h21" e2( ) = 0

Velocitá di fuga

E. Lorenzini Astrodinamica 13

• La velocitá di fuga é data da

con vcirc la velocitá circolare dell’orbita con raggio r

• In altre parole, per mettere un satellite in fuga partendo da un’orbita circolare bisogna aumentargli la velocitá del 41.4%

!

v fuga =2µr

= 2 µr

= 2vcirc

Massa pianeta

Raggio equat.

Velocitá di fuga (km/s)

Mercurio 0.055 0.382 4.242

Venere 0.815 0.949 10.361

Terra 1.000 1.000 11.180

Marte 0.108 0.533 5.033

Giove 318.1 11.21 59.55

Saturno 95.22 9.45 35.49

Urano 14.55 3.98 21.38

Nettuno 17.24 3.81 23.78

Luna 0.012 0.281 2.310

E. Lorenzini Astrodinamica 14

Orbite paraboliche

tan! = sin"1+ cos"

!da!cui

tan! = tan"2

! > ! = "2

• In un’orbita parabolica l’angolo della traiettoria é uguale alla metá dell’anomalia vera

• L’angolo della traiettoria di volo per una parabola (e = 1) diventa

E. Lorenzini Astrodinamica 15

Orbite iperboliche •  Se e > 1 l’equazione dell’orbita descrive un’iperbola. Il sistema ha

due rami simmetrici ma uno solo é occupato dal satellite in orbita

• L’anomalia vera del satellite varia fra ���-θ∞ < θ < θ∞ mentre per θ > θ∞ il punto descrive il ramo vuoto dell’iperbole

• Il perigeo giace sulla linea degli absidi del ramo occupato mentre l’apogeo é nella posizione simmetrica del ramo vuoto

• Il punto C nel mezzo é il centro dell’iperbole

r -> ∞ per cosθ = -1/e da cui si definisce��� θ∞ , che é l’anomalia vera dell’asintoto

!

r =h2

µ1

1+ ecos"

!

"# = cos$1($1/e) - > sin"# =e2 $1e

E. Lorenzini Astrodinamica 16

Orbite iperboliche •  Gli asintoti dell’iperbole si intersecano al punto C formando l’angolo

acuto con la linea degli absidi β = 180° - θ∞ per cui

• Le distanze di perigeo ed apogeo sono date da

• L’angolo fra gli asintoti δ = 180° - 2β si chiama l’angolo di rotazione perché é l’angolo di cui gira un satellite che si avvicina al corpo di attrazione seguendo l’orbita iperbolica

cos! =1/ e

!

sin"2

= sin 180° # 2$2

%

& '

(

) * = sin 90° # $( ) = cos$ =

1e

# > " = 2sin#1(1/e)

!

rp =h2

µ1

1+ e, ra =

h2

µ1

1" e

• Notare che la distanza di apogeo é negativa per l’iperbola che vuol dire che l’apogeo é alla destra del fuoco F

E. Lorenzini Astrodinamica 17

Orbite iperboliche •  La distanza fra il perigeo e l’apogeo é 2a = -ra - rp per cui

e per θ = 0 e θ = 180° si ottengono

• Da cui sostituendo nell’equazione dell’orbita si ottiene

!

rp = a(e "1), ra = "a(e + 1)

• Il semiasse minore che é la distanza verticale dal perigeo all’asintoto é dato da

!

2a = "h2

µ1

1" e+

11+ e

#

$ %

&

' ( " > a =

h2

µ1

e2 "1

!

r = a e2 "11+ ecos#

!

b = a e2 "1

notare che sono simili a quelle dell’ellisse rimpiazzando a con -a

E. Lorenzini Astrodinamica 18

Orbite iperboliche •  La distanza Δ fra l’asintoto e la linea parallela che passa per il fuoco F si chiama il

raggio di puntamento. Dalla figura dell’iperbole si ottiene

• L’energia si ottiene dalle formule ricavate per le orbite ellittiche

! = rp + a( )sin! = aesin! = ae e2 "1e

= aesin"#

= ae 1" cos2"# = ae 1"1/ e2 = a e2 "1 = b

!

E =µ2a

> 0

! si ottiene

!

a =h2

µ1

e2 "1

e sostituendo

!

E = "12

µ2

h21" e2( )

E. Lorenzini Astrodinamica 19

Orbite iperboliche

•  L’equazione mostra che l’eccesso iperbolico rappresenta l’eccesso di energia cinetica in aggiunta all’energia (di fuga) necessaria per scappare dal centro di attrazione

•  Si defisce inoltre l’energia caratteristica che é una misura dell’energia necessaria per un’inserzione in orbita interplanetaria

• Dall’espressione completa dell’energia (vis viva) si ottiene

!

v 2

2"

µr

=µ2a

e per r" > # v# =µa

!

v fuga =2µr

v2

2!µr=v"

2

2 !! >! 1

2v2 =

12vfuga

2 +12v"

2

v∞ si chiama l’eccesso di velocitá iperbolica •  Sempre dalla vis viva si ottiene sostituendo la velocitá di fuga

!

C3 = v"2

E. Lorenzini Astrodinamica 20

Inserzione orbitale La forma dell’orbita dopo un’ inserzione orbitale dipende dal rapporto fra la velocitá di inserzione Vi e la velocitá circolare Vc al punto di inserzione