associar a declinação solar a modelos
matemáticos, relacionando para certo dia do ano, a
latitude para a qual os raios solares são perpendi-
culares ao solo, próximo ao meio dia.
analisar as transformações gráficas dos tipos:
reflexão, translação, encolhimento e alongamento.
ObjetivosObjetivos
Declinação Solar ao Declinação Solar ao
longo do anolongo do ano.
Tempo previsto: 3h
Uma vez que a Terra é aproximadamente esférica,
a luz que vem do Sol sempre incide perpendicularmente
em algum ponto da superfície terrestre. Num dado dia do
ano, existe um conjunto de pontos da superfície
terrestre sobre os quais a luz do Sol passa exatamente
pelas normais desses pontos. Obviamente, a luz
somente será perpendicular a um ponto por vez, mas
como a Terra encontra-se em movimento de rotação,
vários são os pontos que, ao longo deste dia, receberão
a luz do Sol perpendicularmente.
Para esses pontos, a luz do Sol coincide com suas
normais exatamente no meio-dia solar ou meio-dia
verdadeiro (que difere um pouco do meio-dia de nossos
relógios).
Inclinação dos raios de luz solar num dado dia do ano para várias latitudes. A figura representa o solstício de verão no hemisfério sul, com a luz incidindo perpendicularmente sobre o Trópico de Capricórnio. Em cada momento do dia, algum ponto do Trópico de Capricórnio recebe a luz do sol perpendicularmente.
Esses locais da superfície terrestre em que a luz do
Sol é capaz de incidir perpendicularmente num dado dia
do ano possuem em comum suas latitudes, e assim,
juntos, formam um círculo de latitude constante em torno
da Terra.
Devido aos movimentos de rotação e translação da
Terra, a cada dia do ano, a luz do Sol é capaz de atingir a
Terra perpendicularmente em um círculo de latitudes
diferentes, entre as latitudes de -23,5º e +23,5º. A latitude
desses “círculos” de incidência perpendicular da luz do
Sol é chamada de declinação, e é função do dia do ano.
Uma forma simples de calcular a declinação é
utilizando a seguinte equação:
sendo que d é o dia juliano, contado de 1 (1º/jan) a 365
(31/dez), e é a declinação em graus.
A figura seguinte mostra a posição relativa Terra-
Sol ao longo do ano, destacando os dias em que os raios
do Sol são perpendiculares aos Trópicos de Capricórnio,
Câncer e à linha do Equador, ocasionando os Solstícios e
Equinócios.
)81(365
25,23 dsen
Modificação da posição relativa da Terra ao Sol ao longo do ano: estações do ano.
A palavra Equinócio significa “noite igual”, ou seja, a duração
do dia é igual à duração da noite. Durante os Equinócios, tanto o
hemisfério norte quanto o hemisfério sul recebem a mesma
intensidade de luz solar. Nos demais dias, um hemisfério sempre
recebe mais luz solar do que outro.
O dia mais longo do ano ocorre no Solstício de
Verão e a noite mais longa ocorre no Solstício de
Inverno. A palavra Solstício significa parado, imobilizado
e está associada à idéia de que o Sol estaria como que
estacionário.
Não é em toda a superfície da Terra que acontece
de o Sol "ficar a pino" em algum dia do ano. Para
localidades a 23,5° do equador terrestre (Trópicos de
Capricórnio e Câncer), o Sol fica a pino apenas no dia do
Solstício de Verão (ao meio dia solar, quando o Sol passa
pelo meridiano do lugar).
Localidades a mais de 23,5° do Equador terrestre,
ao norte ou ao sul, nunca têm o Sol a pino. Localidades
entre 23,5° sul e 23,5° norte, têm o Sol a pino dois dias
por ano. Esses dias estão simetricamente dispostos em
relação ao Solstício de Verão e tanto mais próximos do
dia desse solstício, quanto mais próxima da latitude 23,5°
estiver a localidade. Localidades sobre o equador
terrestre, têm o Sol a pino nos equinócios.
Dessa forma, pode-se calcular o ângulo que a luz
do Sol faz com a normal de um ponto, numa dada
latitude, ao meio-dia, através do módulo da diferença
entre a latitude do ponto desejado e a declinação.
onde = ângulo zenital solar (ângulo da luz do Sol
com a normal) e é a latitude do ponto desejado.
A figura a seguir ilustra o cálculo para o ângulo
dos raios solares formados com a horizontal na latitude
de 40°N no dia 22 de dezembro. Neste dia, os raios
solares são perpendiculares à superfície sobre o
Trópico de Capricórnio, ou seja, a 23,5°S.
Logo, existe uma diferença de 63,5° entre a
latitude em que se quer medir o ângulo zenital e a
latitude onde os raios são perpendiculares. Note que a
figura assinala o ângulo formado com a horizontal, ou
seja, o complemento de 63,5° que é 26,5°.
Abaixo segue a relação de algumas cidades e suas respectivas latitudes:
Com base nas informações anteriores, discuta com seu colega as atividades seguintes, respondendo de forma clara e concisa o que se pede.
1) Construa o gráfico da declinação em função do dia
juliano, limitando o domínio da função para os valores
informados no texto.
1.1) Verifique para qual declinação (latitude) os
raios solares serão perpendiculares à superfície ao
meio dia local de 14 de abril (104° dia juliano).
1.2) Esta latitude pertence ao Hemisfério Norte (HN)
ou Sul (HS)?
1.3) Dentre as cidades citadas no texto, qual mais se
aproxima desta latitude?
2) Santa Maria está localizada na latitude aproximada de 29,7°S. Existe algum dia do ano em que os raios solares são perpendiculares à superfície santa-mariense? Se sim, qual? Se não, por quê?
3) Os pontos do gráfico com declinações máximas e nulas coincidem com os dias dos Solstícios e Equinócios. Dada as informações na tabela abaixo, complete com o que falta:
4) Considerando que a cidade do Rio de Janeiro está a
23°S, pede-se:
4.1) Quantas vezes ao ano o Sol estará “a pino” no
céu da cidade?
4.2) Quais são esses dias?
5.1) Verifique qual será, ao longo do ano, o maior
ângulo zenital visto em Santa Maria e para que
dia ele ocorre.
5.2) Verifique qual será, ao longo do ano, o
menor ângulo zenital visto em Santa Maria e para
que dia ele ocorre.
5) Hoje é dia 30 de outubro, equivalente ao 303° dia
juliano e os raios solares estão perpendiculares à
superfície terrestre na latitude de 14,7°S. Sabendo-se
que Santa Maria está localizada a 29,7°S, descubra qual
o ângulo formado entre o Sol e a vertical (ângulo zenital)
ao meio dia local do dia de hoje.
6) Construa os gráficos de f(x)=sen(x)f(x)=sen(x) e g(x)=a+sen(x)g(x)=a+sen(x) e,
usando animação no parâmetro a, responda:
6.1) Faça a assumir valores negativos. O que
acontece com o gráfico de gg comparativamente ao
gráfico de ff?
6.2) Faça a assumir valores positivos. O que
acontece com o gráfico de gg comparativamente ao
gráfico de ff?
6.3) Que relação existe entre o parâmetro aa e o
intercepto -y-y?
6.4) Este tipo de transformação altera o domínio da
função?
6.5) Observe que a função ff varia de [-1,1]. Qual o
conjunto imagem da função gg?
7) Construa os gráficos de f(x)=sen(xf(x)=sen(x) e g(x)= sen(x+b) e,
usando animação no parâmetro bb, responda:
7.1) Faça bb assumir valores negativos. O que
acontece com o gráfico de gg comparativamente ao
gráfico de ff?
7.2) Faça bb assumir valores positivos. O que
acontece com o gráfico de gg comparativamente ao
gráfico de ff?
7.3) Um dos zeros da função ff é x=0. Se b=2, um
dos zeros de gg será:
8) Construa os gráficos de f(x)=sen(x)f(x)=sen(x) e g(x)= c.sen(x) e,
usando animação no parâmetro c, responda:
8.1) Faça c assumir valores positivos entre 0 e 1.
Você acha que, comparados ao gráfico de ff, os
gráficos de gg estão mais encolhidos ou alongados na
direção vertical?
8.2) Faça cc assumir valores positivos maiores do que
1. Você acha que, comparados ao gráfico de ff, os
gráficos de gg estão mais encolhidos ou alongados na
direção vertical?
8.3) Quando c = -1, o que se pode concluir sobre os
gráficos de ff e gg?
8.4) Faça cc assumir valores negativos entre -1 e 0.
Você acha que, comparados ao gráfico de ff, os
gráficos de gg estão mais encolhidos ou alongados na
direção vertical?
8.5) Faça cc assumir valores negativos menores do que
-1. Você acha que, comparados ao gráfico de ff, os
gráficos de gg estão mais encolhidos ou alongados na
direção vertical?
8.6) Resumindo: o que acontece com o gráfico de gg,
comparativamente ao de ff, quando ||cc|>1|>1?
E quando ||cc|<1|<1?
8.7) Observe que a função ff varia de [-1,1]. Qual o
conjunto imagem da função gg?
9) Construa os gráficos de f(x)=sen(x) e g(x)=sen(d.xf(x)=sen(x) e g(x)=sen(d.x)) e,
usando animação no parâmetro d, responda:
9.1) Faça dd assumir valores positivos entre 0 e 1.
Você acha que, comparados ao gráfico de ff, os
gráficos de gg estão mais encolhidos ou alongados na
direção horizontal?
9.2) Faça dd assumir valores positivos maiores do que
1. Você acha que, comparados ao gráfico de ff, os
gráficos de gg estão mais encolhidos ou alongados na
direção horizontal?
9.3) Quando d d = -1= -1, o que se pode concluir sobre os
gráficos de f e g?
9.4) Faça dd assumir valores negativos entre -1 e 0.
Você acha que, comparados ao gráfico de ff, os
gráficos de gg estão mais encolhidos ou alongados na
direção horizontal?
9.5) Faça dd assumir valores negativos menores do que
-1. Você acha que, comparados ao gráfico de ff, os
gráficos de gg estão mais encolhidos ou alongados na
direção horizontal?
9.6) Resumindo: o que acontece com o gráfico de gg,
comparativamente ao de ff, quando ||dd|>1|>1?
E quando ||dd|<1|<1?
9.7) Este tipo de transformação altera o conjunto
imagem da função?
9.8) Note que a função seno é periódica, ou seja, em
intervalos de tempos iguais, a função se repete. O
período da função ff varia de 0 a 6,28 (ou 2). Quando
d=2d=2, o período de gg varia de 0 a 3,14 (ou ), ou seja, a
metade do período de ff.
9.8.1) O que acontece com o período de gg quando
d = 3d = 3?
9.8.2) O que acontece com o período de gg quando
d = 1/4d = 1/4?
9.8.3) É correto concluir que o período da função gg
corresponde a ?d
2
10) Construa os gráficos de f(x)=sen(x+b) e g(x)=cos(x).f(x)=sen(x+b) e g(x)=cos(x).
Inicialmente, faça b = 0b = 0. Note que os dois gráficos são
muito parecidos, porém, não coincidentes. Anime o
parâmetro bb e descubra qual seu menor valor positivo
para o qual os dois gráficos coincidem.
11) Construa os gráficos das funções f(x)=cos(x) e g(x)=|
cos(x)|. No Winplot, a função gg dada pode ser
introduzida como abs(cos(x)).
11.1) O que você pode observar sobre o sinal da
função gg?
11.2) É correto concluir que o gráfico de gg pode ser
obtido traçando-se o gráfico de ff e refletindo em torno
do eixo x os pontos de ordenadas negativas?