Asservissement systèmes linéaires continus 1 / 38 ASSERVISSEMENT : SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS -I- ELEMENTS FONDAMENTAUX ....................................................................................................................................................................... 1 -I-1- GENERALITES SUR LES SYSTEMES ASSERVIS ..................................................................................................................................................... 1 -I-2- LES SYSTEMES CONTINUS........................................................................................................................................................................................ 3 -I-3- MODELISATION DES SYSTEMES.............................................................................................................................................................................. 4 -II- TRANSFORMATION DE LAPLACE ................................................................................................................................................................ 6 -II-1- GENERALITES ET DEFINITION ................................................................................................................................................................................ 6 -II-2- ELEMENTS SUR LA TRANSFORMEE DE LAPLACE.............................................................................................................................................. 7 -II-2- LA TRANSFORMEE INVERSE ................................................................................................................................................................................. 10 -III- FONCTION DE TRANSFERT ET SCHEMA FONCTIONNEL .................................................................................................................... 11 -III-1- REPONSE D’UN SYSTEME ..................................................................................................................................................................................... 11 -III-2- FONCTION DE TRANSFERT D’UN SYSTEME ..................................................................................................................................................... 12 -III-3- SCHEMA FONCTIONNEL ....................................................................................................................................................................................... 14 -IV- ETUDE TEMPORELLE DES SYSTEMES DU 1 ER ET DU 2 EME ORDRE .................................................................................................... 16 -IV-1- SYSTEME DU 1 er ORDRE ....................................................................................................................................................................................... 16 -IV-2- SYSTEME DU 2 ème ORDRE ..................................................................................................................................................................................... 18 -IV-3- IDENTIFICATION D’UN SYSTEME A PARTIR DE SA REPONSE INDICIELLE................................................................................................ 22 -IV-4- PRECISION ET RAPIDITE D'UN SYSTEME .......................................................................................................................................................... 23 -V- ANALYSE HARMONIQUE DES SYSTEMES DU 1 ER ET DU 2 EME ORDRE ............................................................................................. 25 -V-1- FONCTION DE TRANSFERT ISOCHRONE: ........................................................................................................................................................... 25 -V-2- REPONSE FREQUENTIELLE : ................................................................................................................................................................................. 26 -V-3- SYSTEME DU 1 er ORDRE......................................................................................................................................................................................... 27 -V-4- SYSTEME DU 2 ème ORDRE DE CLASSE 0 ............................................................................................................................................................. 29 -V-5- SYSTEME COMPORTANT UN INTEGRATEUR .................................................................................................................................................... 36 -V-6- IDENTIFICATION D’UN SYSTEME A PARTIR D’UNE REPONSE FREQUENTIELLE ...................................................................................... 36 -I- ELEMENTS FONDAMENTAUX -I-1- GENERALITES SUR LES SYSTEMES ASSERVIS -I-1-1- Introduction L'origine industrielle de l'automatique explique que ses domaines d'application soient historiquement mécaniques et électromécaniques. Cependant, l'ensemble des théories et des techniques de raisonnement développées en automatique en fait une science indépendante de tout domaine d'application. On fait appel à l'automatique chaque fois que se pose le problème de la commande d'un système pour lequel on cherche à atteindre de bonnes performances en termes de temps de réponse, de précision et de stabilité. Commande des systèmes automatiques: il existe trois grands types de commande: - systèmes combinatoires: la sortie dépend uniquement de l'état des paramètres d'entrée. Exemple: distributeur de boissons. - systèmes séquentiels: la sortie dépend non seulement de l'état des paramètres d'entrée mais aussi de l'état actuel de la sortie. Exemple: portail automatique - systèmes asservis: maintien d'un paramètre à une certaine valeur (régulation) ou suivi d'une loi d'évolution (mémorisée ou non). Exemples: pilote automatique. -I-1-2- Définitions : Un système asservi est un système qui: - traite des grandeurs continues sur sa partie opérative. - est commandé à partir de signaux continus (analogiques) ou numériques. - reçoit un retour de l'état des grandeurs de sortie, ⇒ Un système est asservi si la commande est en boucle fermée. La représentation symbolique est la suivante: ( appelé diagramme fonctionnel du système asservi ) Chaîne directe Chaîne de retour S(p) E(p) r(p) ε _ + La chaîne directe comporte généralement: - les organes de puissance (moteur ,charge , et alimentation par exemple) - les dispositifs de commande (électronique de contrôle d'une alimentation par exemple)
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Asservissement systèmes linéaires continus 1 / 38
ASSERVISSEMENT : SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS
-I- ELEMENTS FONDAMENTAUX ....................................................................................................................................................................... 1
-I-1- GENERALITES SUR LES SYSTEMES ASSERVIS ..................................................................................................................................................... 1
-I-2- LES SYSTEMES CONTINUS ........................................................................................................................................................................................ 3
-I-3- MODELISATION DES SYSTEMES.............................................................................................................................................................................. 4
-II- TRANSFORMATION DE LAPLACE ................................................................................................................................................................ 6
-II-1- GENERALITES ET DEFINITION ................................................................................................................................................................................ 6
-II-2- ELEMENTS SUR LA TRANSFORMEE DE LAPLACE .............................................................................................................................................. 7
-II-2- LA TRANSFORMEE INVERSE ................................................................................................................................................................................. 10
-III- FONCTION DE TRANSFERT ET SCHEMA FONCTIONNEL .................................................................................................................... 11
-III-1- REPONSE D’UN SYSTEME ..................................................................................................................................................................................... 11
-III-2- FONCTION DE TRANSFERT D’UN SYSTEME ..................................................................................................................................................... 12
-IV- ETUDE TEMPORELLE DES SYSTEMES DU 1ER ET DU 2EME ORDRE .................................................................................................... 16
-IV-1- SYSTEME DU 1er ORDRE ....................................................................................................................................................................................... 16
-IV-2- SYSTEME DU 2ème ORDRE ..................................................................................................................................................................................... 18
-IV-3- IDENTIFICATION D’UN SYSTEME A PARTIR DE SA REPONSE INDICIELLE ................................................................................................ 22
-IV-4- PRECISION ET RAPIDITE D'UN SYSTEME .......................................................................................................................................................... 23
-V- ANALYSE HARMONIQUE DES SYSTEMES DU 1ER ET DU 2EME ORDRE ............................................................................................. 25
-V-1- FONCTION DE TRANSFERT ISOCHRONE: ........................................................................................................................................................... 25
-V-3- SYSTEME DU 1er ORDRE ......................................................................................................................................................................................... 27
-V-4- SYSTEME DU 2ème ORDRE DE CLASSE 0 ............................................................................................................................................................. 29
-V-5- SYSTEME COMPORTANT UN INTEGRATEUR .................................................................................................................................................... 36
-V-6- IDENTIFICATION D’UN SYSTEME A PARTIR D’UNE REPONSE FREQUENTIELLE ...................................................................................... 36
-I- ELEMENTS FONDAMENTAUX
-I-1- GENERALITES SUR LES SYSTEMES ASSERVIS
-I-1-1- Introduction
L'origine industrielle de l'automatique explique que ses domaines d'application soient
historiquement mécaniques et électromécaniques. Cependant, l'ensemble des théories et des
techniques de raisonnement développées en automatique en fait une science indépendante de tout
domaine d'application. On fait appel à l'automatique chaque fois que se pose le problème de la
commande d'un système pour lequel on cherche à atteindre de bonnes performances en
termes de temps de réponse, de précision et de stabilité.
Commande des systèmes automatiques: il existe trois grands types de commande:
- systèmes combinatoires: la sortie dépend uniquement de l'état des paramètres
d'entrée. Exemple: distributeur de boissons.
- systèmes séquentiels: la sortie dépend non seulement de l'état des paramètres
d'entrée mais aussi de l'état actuel de la sortie. Exemple: portail automatique
- systèmes asservis: maintien d'un paramètre à une certaine valeur (régulation) ou
suivi d'une loi d'évolution (mémorisée ou non). Exemples: pilote automatique.
-I-1-2- Définitions : Un système asservi est un système qui:
- traite des grandeurs continues sur sa partie opérative.
- est commandé à partir de signaux continus (analogiques) ou numériques.
- reçoit un retour de l'état des grandeurs de sortie,
⇒ Un système est asservi si la commande est
en boucle fermée.
La représentation symbolique est la suivante:
( appelé diagramme fonctionnel du système
asservi )
Chaîne
directe
Chaîne de
retour
S(p)E(p)
r(p)
ε_+
La chaîne directe comporte généralement:
- les organes de puissance (moteur ,charge , et alimentation par exemple)
- les dispositifs de commande (électronique de contrôle d'une alimentation par exemple)
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La chaîne de retour renvoie vers l'entrée une image fidèle de la grandeur de sortie. Elle comporte
un capteur qui transforme la grandeur de sortie en un signal susceptible d’être mesuré (capteur de
position , dynamo tachymétrique,...)
Le comparateur permet d'obtenir `εεεε` grandeur d'entrée de la chaîne directe à partir du signal
d'entrée E et du signal de retour r par différence entre E et r . Cette opération provoque une réaction
négative de la sortie sur l'entrée.(on peut néanmoins obtenir une réaction positive avec certains
montages)
-I-1-3- Intérêt des systèmes asservis
Les actionneurs de la chaîne directe agissent sur la charge mais des perturbations extérieures
peuvent apparaître :
- la charge peut varier
- la chaîne elle-même peut évoluer sous l'influence de facteurs extérieurs.
Un système asservi doit pouvoir réagir à une perturbation de façon telle qu'une variation de la
grandeur de sortie S soit contrôlée en permanence en mesurant l'entrée de la chaîne directe :
εεεε = E - r
Propriétés des systèmes étudiés dans ce cours :
- système monovariable : il ne possède qu'une seule entrée et une seule sortie.
- système déterministe : pour une évolution donnée de l'entrée x(t), il n'existe qu'une
évolution possible de la sortie y(t).
- système continu : la fonction F est une fonction continue du temps t.
- système linéaire : pour toute entrée x1(t) et x2(t) ∀ ∈ℜλ λ1 2, ,
F(λ1x1(t) + λ2x2(t)) = λ1F(x1(t)) + λ2F(x2(t))
- système causal : la valeur de sa sortie y(t0) à un instant t0 ne dépend pas des valeurs de
son entrée x(t) pour t > t0. Ceci revient à dire que la valeur de la sortie ne peut
dépendre des évolutions futures de l'entrée. Cette propriété est toujours vérifiée pour
les systèmes physiques.
- système stationnaire (ou système invariant) est tel que ses caractéristiques ne changent
pas dans le temps (F est une fonction indépendante du temps).
Ces propriétés nous permettent de préciser la classe des systèmes sur lesquels pourront être
appliquées les méthodes que nous allons développer. Cependant, des systèmes ne vérifiant pas l'une
ou l'autre de ces propriétés pourront tout de même être étudiés grâce à ces méthodes.
-I-1-4- Classification des systèmes asservis
On distingue 2 classes de systèmes:
- les systèmes régulateurs: systèmes qui fonctionnent à entrée constante et maintiennent la
sortie constante malgrès les perturbations.
Exemples: régulation de température ,de débit , de vitesse,...la grandeur d'entrée est appelée
consigne.
les perturbations qui affectent le système sont considérées comme entrées principales.
- les systèmes suiveurs: systèmes qui maintiennent l'égalité entre le signal d'entrée et le
signal de sortie ils maintiennent une erreur nulle pour toutes variations du signal de
consigne.
Exemples: asservissement de position d'une antenne radar , asservissement de position et de
vitesse d'une commande numérique.
D'une façon générale , on distinguera les systèmes continus (linéaires ou non linéaires) et les
systèmes échantillonnés ( ou discrétisés). Ce cours est limité à la résolution des systèmes continus
linéaires.
-I-1-5- Performance des systèmes:
Les critères de performance d'un asservissement sont précision , rapidité , stabilité.
O
t
e
s
Stabilité : un système est
stable si pour une valeur
d’entrée constante la sortie
tend vers une constante.
A gauche un système stable
A droite un système instable
O t
e
s
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O t
e
s
Rapidité: un système a une
rapidité satisfaisante s’il se
stabilise à son niveau constant
dans un temps jugé satisfaisant.
A gauche un système rapide
A droite un système lent O t
e
s
perturbation
t
e
s0
Précision: un système est
précis si la sortie suis
l’entrée en toutes
circonstance.
A gauche perturbation
A droite erreur de traînage
t
e s0
-I-2- LES SYSTEMES CONTINUS
-I-2-1- Définition:
Un système est continu si E et S sont des grandeurs analogiques. (numériques pour les systèmes
échantillonnés)
Remarque: le développement des commandes par microprocesseurs fait que les systèmes
échantillonnés ont tendance à devenir prépondérants.
-I-2-2- Linéarité:
Un système est linéaire si les relations entre les grandeurs d'entrée et de sortie s'expriment sous la
forme d'équations différentielles linéaires à coefficients constants. Si la grandeur d'entrée est u = e et
la grandeur de sortie est y = s , un système continu linéaire se traduit par: ∑∑==
=m
q
q
q
n
p
p
p ubya0
)(
0
)(où
y(p)
est la dérivée pième
de y par rapport au temps.
Un système est linéaire lorsque la caractéristique d'entrée-sortie en régime permanent est linéaire
pour toute valeur de l'amplitude d'entrée : s = K e
-I-2-3- Causes de non Linéarité:
En réalité , aucune caractéristique n'est parfaitement linéaire. Citons simplement quelques causes de
non linéarité:
Courbure :
e
s
Saturation :
e
s +s max
-smax
émergence à amplitude élevée de nouveaux
phénomènes
- subie (saturation d’un transistor , butée
mécanique)
- provoquée pour éviter la dégradation d’un
composant
Seuil :
e
s
+emini
-emini
Hystérésis :
e
s
+h/2
-h/2
- dû à des pertes de mouvement
mécaniques ( jeux , fuites )
- provoquée pour éliminer des bruits de
fond.
Dû aux frottements internes ou aux
phénomènes électromagnétiques
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-I-3- MODELISATION DES SYSTEMES
L'approche d'un système qui consiste à l'isoler et à en identifier les entrées et sorties est typique
de la démarche de l'automaticien. Son but est de déterminer le signal de commande optimal à
appliquer au système qui permet d'atteindre les objectifs fixés pour la sortie. Pour cela, il est
nécessaire de connaître le comportement du système. Plusieurs démarches sont possibles,
l'automaticien peut détailler le comportement interne du système en traduisant, sous forme
d'équations, les différents phénomènes physiques mis en jeu. II peut aussi soumettre le système à un
signal d'entrée connu et analyser sa sortie. Quelle que soit la démarche utilisée, il obtiendra un
modèle mathématique qui lui permettra de prévoir l'évolution du système soumis à une entrée
quelconque. Cette phase de modélisation est souvent délicate à réaliser car le modèle doit être
suffisamment précis pour refléter correctement le comportement du système mais il ne doit pas être
trop complexe car sinon il deviendrait inexploitable. Construire un modèle c'est faire des compromis.
-I-3-1- Modèle mathématique d'un système.
Nous nous limitons, dans ce qui suit , à l'étude des systèmes monovariable dont le comportement
est régi par une équation différentielle linéaire à coefficients constants.
Dans l'introduction, nous avons vu que la
représentation de tels systèmes se fait en
utilisant un diagramme fonctionnel. A chacun
des blocs qui apparaît dans le diagramme
correspond une équation différentielle linéaire
indiquant la relation entre l’entrée du bloc et
sa sortie.
yx_+
De manière plus générale encore, un système peut être modélisé par un bloc placé entre une entrée
x(t) et une sortie y(t).La relation entre l'entrée et la sortie est donnée par une équation différentielle
de la forme :( ) ( )
0 0
( ) ( )n m
p q
p q
p q
a y t b x t= =
=∑ ∑ où y(t)(p)
est la dérivée d’ordre p de y(t) par rapport au
temps. Dans cette équation , le nombre n représente l'ordre du système. Les systèmes physiquement
réalisables, vérifient l'inégalité n > m . Nous dirons alors que le système vérifie leprincipe de
causalité c'est-à-dire que la connaissance de l'entrée et de l'évolution antérieure du système suffisent
à déterminer la valeur de la sortie à un instant donné.
-I-3-2- Mise en équations des systèmes.
Afin d'obtenir l'équation différentielle qui régit le comportement d'un système, deux approches
sont possibles :
Si le système est suffisamment bien connu et n'est pas trop complexe, l'équation sera établie à
partir des équations élémentaires associées à chacun des sous ensembles du système. Par exemple,
pour un système électrique, nous écrirons les relations entre le courant et la tension aux bornes de
chaque composant du circuit, puis nous éliminerons progressivement les grandeurs intermédiaires de
ces équations afin d'obtenir l'équation différentielle reliant la sortie du système à son entrée.
Une autre approche consiste à évaluer le degré de l'équation différentielle à partir, par exemple,
de la réponse du système à une entrée connue. I1 reste ensuite à déterminer les coefficients de cette
équation, qui traduisent au mieux le comportement du système. Cette opération s'appelle
identification. Elle est réalisée en minimisant l'écart entre la sortie réelle et celle prévue par
l'équation différentielle.
Des phénomènes physiques de natures très diverses peuvent être utilisés dans un système
automatisé, nous nous contentons d'en présenter quelques-uns. Nous montrons à travers quelques cas
élémentaires simples comment ces phénomènes sont pris en compte et traduits sous formes
d'équations. A chaque fois, les grandeurs physiques mises en jeu sont reliées par la loi de
comportement du système élémentaire étudié. Ces lois permettent d'appréhender le comportement
réel d'un système. Une des difficultés de l'automaticien est d'obtenir un modèle du système réel
suffisamment juste pour refléter le comportement réel sans que ce modèle soit trop complexe car il
serait alors trop lourd à manipuler et donc inexploitable. Un compromis doit être réalisé entre la
précision du modèle et sa simplicité.
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-I-3-3- Phénomènes physiques utilisés dans un système automatisé.
La liste présentée n’est pas exhaustive
Systèmes électriques :
Pour les trois composants usuels d'un système électrique que sont la résistance de valeur R , le
condensateur de capacité C et la bobine d’inductance L , les relation sont :
u = Ri ; u = Ldi
dt ; i = C
du
dt
Pour les moteurs électriques à courant continu ont a deux relations entre le couple et la vitesse de
rotation de l'arbre d'un moteur électrique à courant continu en fonction du courant et de la tension à
ses bornes. I1 faut noter que ces relations simplifiées ne reflètent le comportement des composants
qu'en première approximation.
u = K1.ω ; = K2.i où ω est la vitesse de rotation du moteur et le couple du moteur . Les
composants actifs utilisés en électronique permettent des réalisations très diverses , la plus courante
est sans doute celle de l'amplificateur opérationnel.
Systèmes mécaniques : pour un système mécanique, nous nous limitons ici à des mouvements simples
tels que les mouvements de translation rectiligne et les mouvements de rotation autour d'un axe fixe .
Pour la translation rectiligne, les grandeurs physiques mises en jeu sont des masse M ; des efforts F
, des positions x , des vitesses et des accélérations x•
et x••
. Les composants de base de tels systèmes
sont : - la masse M : F M x=••
,
- le ressort de raideur k : F = k. x ,
- l'amortisseur visqueux de coefficient de frottement f : F f x=•
.
S'il s'agit d'un système mécanique en rotation autour d'un axe le type d'équation est obtenu en
substituant respectivement à l'effort , à la position x , à la masse M et au ressort de raideur k les
grandeurs suivantes : le couple ; la position angulaire θ le moment d’inertie I et le ressort de
torsion de raideur k : = I θ••
; C = k.θ ; C = f. θ•
Système hydraulique: soit un réservoir de section S qui se remplit de fluide. La relation qui relie le
débit de fluide à la variation de hauteur dans le réservoir vaut alors : q = Sdh
dtLa différence de
pression
entre le fond du réservoir (P,) et la surface supérieure du fluide (P0) vaut alors : P1 - P0 = ρ.g.h où ρ
désigne la masse volumique du fluide et g l'accélération de la pesanteur.
La restriction de la section de passage d’un fluide dans une canalisation donne un débit de fluide
proportionnel à la différence de pression de part et d'autre de la restriction : qP P
R
1 0=−
Système thermique : dans un système thermique, un corps de capacité calorifique C, auquel on fournit
un débit de chaleur Q (au moyen d'un échangeur thermique) voit sa température varier selon la
relation : Q = Cd
dt
θ . D'autre part, le débit de chaleur traversant une paroi de résistance thermique R
vaut : Q = θ θ1 2−
R
Exemple : circuit RC.
Considérons le circuit électrique ci-contre . Il est
constitué d'une résistance et d'un condensateur .
L'entrée du système est la tension e , sa sortie s est
la tension aux bornes du condensateur . La tension
aux bornes de la résistance vaut, en fonction des
paramètres choisis, e - s . La résistance est traversée
par le courant i . La loi d'Ohm permet d'écrire :
R
C se
e - s = R.i . De façon analogue, nous obtenons pour le condensateur : i Cds
dt= .
En regroupant ces deux équations, nous obtenons l'équation différentielle qui régit le
fonctionnement de ce système : s + RCds
dte= . Une fois l'équation différentielle établie, nous
disposons d'un modèle du système qui pourra être utilisé pour prévoir l’évolution de la sortie lorsque
l’entrée est soumise à un signal donné.
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-I-3-4- Identification d’un modèle :
Pour illustrer l’autre approche fréquemment
utilisée en automatique, considérons l’exemple d’un
système dont l’entrée x(t) est soumise à un échelon
d’amplitude e(t) = 1 pour t > 0 avec e(t) = 0 pour
t < 0 . Sa sortie évolue selon le graphe ci-contre.
Nous verrons ultérieurement qu’une telle réponse à
un échelon est caractéristique d’un système du
premier ordre. Un tel système est décrit par une
équation de la forme : )()( tKedt
dyty =+τ
0 t
e
s = y ( t )
Il suffit d’identifier les coefficients τ et K pour que le système soit déterminé. Ceci peut être réalisé
par une lecture de la courbe : l’asymptote est une droite horizontale d’ordonné y = K , avec une
tangente à l’origine de pente K/τ ; d’où la valeur de τ = 2,2. Le modèle mathématique du système
étudié est donc : )(5,32,2)( tedt
dyty =+
-I-2-5- Méthodes d'Etude:
L'étude théorique et la vérification d'un système asservi s'effectuent de plusieurs façons :
Méthode temporelle: c'est l'étude de la réponse du système asservi à des signaux; bien définis (impulsion
,échelon , rampe). II est nécessaire de connaître les techniques de résolution des équations
différentielles linéaires.
Méthode fréquentielle: c'est l'étude de la réponse à des signaux sinusoïdaux. On utilisera un outil
mathématique : la Transformée de Laplace (voir plus loin). Elle permet d'étudier le comportement en
fréquence et d'en déduire le comportement temporel.
Le concept essentiel est celui de fonction de transfèrt qui sera développé ultérieurement
Méthodologie : Etude d'un
système asservi
Mise en équation(linéaire si le système
d'équationsdifférentielles est à
coeficients constants)
Mise en équation(linéaire si le système
d'équationsdifférentielles est à
coeficients constants)
Mise sous forme de
schéma blocset fonction de transfert
Réglage et correction en
fonction des performancesouhaité
(rapidité, précision ,stabilité)
Mise en équationdifficile ou impossible
Mise en équationaisée et possible
Transformation
(Laplace)
Identification(méthodes
d'identification)
Synthèse de
correcteurs
-II- TRANSFORMATION DE LAPLACE
-II-1- GENERALITES ET DEFINITION
Heaviside a inventé le calcul symbolique pour simplifier et codifier la résolution de certaines
équations différentielles en électricité. L’idée consistait à traiter l’opérateur de différentiation comme
élément algébrique. Ainsi si l’on pose pd
dt= (symbole de dérivation) , une équation différentielle
simple telle que d
dtx t f t( ) ( )= s’écrira : px t f t x t
pf t( ) ( ) ( ) ( )= ⇒ =
1
Ce qui fait que1
preprésentera un symbole d’intégration, plus précisément on appellera
1
0p
f t f s ds
t
( ) ( )= ∫ la primitive de f(t) qui s’annule avec t .
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Définition : Soit f(x) une fonction de la variable réelle x , définie pour ∀ x .
On appellera transformée de Laplace de f(x) , la fonction : ∫∞
∞−
−= dx)x(fe)p(F px ,
p étant une variable réelle ou complexe. Dans le cas des asservissements la variable x est le temps t .
En pratique on utilise la transformée de Laplace monolatérale qui s’applique aux fonction causales
( c’est à dire aux fonctions f(t) tel que f(t) = 0 pour t < 0 ) .
Soit f(t) une fonction de la variable réelle t , définie pour ∀ t , et nulle pour t < 0.
F p e f t dtpt( ) ( )= −∞
∫0
p étant une variable réelle ou complexe.
On notera F(p) = [f(t)] ; F(p) ⊂ f(t), signifiant transformée de Laplace de f(t) , F(p) est l’image
de f(t) et f(t) est appelé original de F(p) : [F(p)] ; f(t) ⊃ F(p)
Remarques :
- Si p est complexe, on suppose que Re(p) > nombre donné pour que l’intégrale soit
convergente.
- Si p est un imaginaire pur, il s’agit de la transformée de Fourier très utilisée en
analyse et traitement du signal.
- Il est essentiel de noter que les valeurs de f(t) n’interviennent pas pour t < 0, les
fonctions f(t) sont supposée nulles pour t < 0. En particulier, on ne calculera pas la
transformée de Laplace de la fonction cos(ωωωωt) mais celle de la fonction cos(ωωωωt)u(t)
où la fonction u(t) représente la fonction échelon unité ou fonction existence :
u(t) = 1 pour t > 0 et u(t) = 0 pour t < 0
-II-2- ELEMENTS SUR LA TRANSFORMEE DE LAPLACE
On suppose que les fonctions manipulées remplissent toutes les conditions nécessaires.
-II-2-1- PROPRIETES ET THEOREMES
Unicité : à f(t) ⊃ F(p) unique, à F(p) ⊂ f(t) unique.