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SOBRE LA IDEA MISMA... 9
AXEL ARTURO BARCEL ASPEITIA*
Resumen: El objetivo de este artculo es clarificar el sentido en
el cual el proyecto semntico deFrege, Russell y Carnap puede
llamarse correctamente de anlisis semntico. Para ello,
delineobrevemente la historia del concepto de anlisis en la
interseccin de la filosofa y las matemticasmodernas, teniendo como
hiptesis que el anlisis semntico en la filosofa analtica
tempranapertenece a una larga tradicin de adoptar metodologas
geomtricas a la solucin de problemasfilosficos. En particular, este
tipo de anlisis adapta la formalizacin cartesiana como mecanismode
representacin analtica, a problemas de semntica.
Abstract: The goal of this article is to clarify the sense in
which the semantic project of Frege, Russel andCarnap may be
correctly described as a kind of semantic analysis. To this goal, I
briefly trace the history of theterm analysis in modern philosophy
and mathematics, under the guiding hypothesis that semantic
analysis inearly analytic philosophy belongs to a long tradition of
adopting geometrical methodologies to the solution ofphilosophical
problems. In particular, it adapts Descartes development of
formalization as a mechanismof analytic representation, for its
application in semantics.
PALABRAS CLAVE: ANLISIS FILOSFICO, FILOSOFA ANALTICA, GEOMETRA,
MATEMTICAS
Segn afirma Max Fernndez de Castro en su artculo Tres mtodos de
anlisissemntico,1 a partir de On denoting de Bertrand Russell
(1905), el proyecto de
SOBRE LA IDEA MISMA DE ANLISIS SEMNTICO (SOBRE TRES MTODOSDE
ANLISIS SEMNTICO, DE MAX FERNNDEZ DE CASTRO)
* Profesor-investigador del Instituto de Investigaciones
Filosficas, Universidad Nacional Autnoma de
Mxico,[email protected]
1 Fernndez de Castro, 2003: 133-154.
Signos Filosficos, vol. VI, nm. 12, julio-diciembre, 2004, pp.
9-32
RECEPCIN: 16/10/03 9 ACEPTACIN: 20/04/04
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10 AXEL ARTURO BARCEL ASPEITIA
anlisis semntico en filosofa qued definido por tres problemas
bsicos que, segnel filsofo britnico, toda teora semntica debe poder
resolver:
Estos son, a saber, la paradoja de la identidad (cmo la
formulacin de una identidadpuede ser informativa?), la utilizacin
de trminos singulares sin denotacin en frasessignificativas (cmo
puede decirse algo verdadero de Pegaso si no existe?) y la excepcin
alas leyes de la identidad que surge en la ocurrencia de trminos
singulares en ciertos contex-tos (cmo es que puede decirse algo
falso de Londres que es verdadero de la capital deInglaterra?).
(Fernndez de Castro, 2003: 133)
El objetivo de este artculo es clarificar en qu sentido un
proyecto como el defini-do por Russell requiere de un anlisis
semntico. La tesis que intento fundamentar aqu esque el anlisis
semntico que llevan a cabo Glottb Frege, Bertrand Russell y
RudolfCarnap para el planteamiento y solucin de estos tres
acertijos semnticos formaparte de una larga tradicin que busca
adaptar desarrollos metodolgicos del anli-sis geomtrico a la
solucin de problemas filosficos. En particular, el mtodo deanlisis
de estos autores surge de la aplicacin de la formalizacin como
mecanismode representacin a problemas semnticos.
Para ello, hago una reconstruccin histrica del concepto de
anlisis en la filosofaoccidental moderna, culminando con la
fundacin de lo que, de manera apropiada, hasido conocido como
filosofa analtica.2 Esta reconstruccin est fuertemente basada
enMichael Beaney y Axel Barcel.3 Sin embargo, a diferencia de
Beaney, mi inters centrales la manera en cmo el concepto de anlisis
sirvi de puente entre matemticas yfilosofa a finales del siglo XIX
y principios del XX y, a diferencia de mi postura en2003, en vez
del carcter formal de la lgica moderna, me interesa elucidar el
carcteranaltico de la semntica filosfica de Frege, Russell y
Carnap.
En la primera seccin introduzco la til distincin que ha hecho
Beaney de los tresmodos del anlisis: el regresivo, el
descomposicional y el transformacional. Pese a laclara importancia
de cada uno de stos, me concentro en el ltimo, ya que es dentro
de
2 Por razones de espacio, me concentro en dos procesos histricos
claves: el surgimiento del lgebra modernaa principios del siglo
XVII y el nacimiento de la filosofa analtica a finales del siglo
XIX. En especial, meinteresa la interseccin e intercambio que se
dio entre ambas disciplinas en los dos periodos mencionados.Por lo
tanto, espero que mi trabajo tambin arroj nueva luz en el complejo
dilogo entre matemticas yfilosofa que se ha dado a lo largo de la
historia.
3 Cfr., Beaney, 2002 y Barcel, 2003.
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SOBRE LA IDEA MISMA... 11
l donde la formalizacin de la geometra por parte de Ren
Descartes (y, luego, de lasemntica filosfica por Frege, Russell y
Carnap) cobra mayor sentido. Para refinarla caracterizacin de
Beaney, me dedico en la siguiente seccin a precisar el
carcterformal del anlisis transformacional moderno. El objetivo es
distinguir la concepcinanaltica de forma de otras concepciones del
mismo trmino y de otros modos derepresentacin geomtrica. En la
tercera seccin ilustro la importancia de laformalizacin dentro del
anlisis transformacional usando como ejemplo la solucincartesiana
del problema de las tres o cuatro lneas.
En la cuarta seccin, repaso de manera breve la historia de la
tradicin formal-analtica dentro de la matemtica moderna, antes de
hacer lo mismo con la filosofa.Complemento esta historia con un
estudio de la ntima relacin entre funcin, for-ma y sintaxis que
surge de este proceso. Por ltimo, y una vez que el carcter
formaldel anlisis ha quedado ms claro, me centro a detalle en la
manera cmo los mto-dos de anlisis semntico de Frege, Russell y
Carnap encajan dentro de la caracteri-zacin del anlisis formal
transformacional desarrollada a lo largo del artculo.
I. MICHAEL BEANEY: EN QU SENTIDO ES ANALTICA LA FILOSOFA
ANALTICA?
De acuerdo con Beaney (2002), la nocin de anlisis en la filosofa
occidental modernaconsiste, en realidad, en un complejo de tres
conceptos distintos: regresin, descomposicin,y transformacin.
El pensamiento moderno hered el concepto de anlisis como
regresin, de la geo-metra euclidiana (en especial, de los
comentarios de Pappus de Alejandra).4 En estesentido, analizar un
problema consiste en buscar los principios, premisas, causas,
etc.por medio de las cuales algo puede ser derivado o explicado.5
Este modo de anlisiscomnmente se complementa con un proceso inverso
de sntesis, donde se parte delas bases encontradas en el anlisis
para construir la derivacin o explicacin que sebusca.6
4 Einarson (1936: 36) seala que el origen matemtico del termino
anlisis ha sido ya reconocido por lo menosdesde Blancanus (1615),
los comentarios de Waitz a su traduccin del Organon aristotlico
(cfr., Aristteles,1962) y Solmsen (1929).
5 Beaney, 2002: 55.6 Acerca del mtodo analtico clsico y su
influencia en el pensamiento moderno temprano puede encontrarse
en Hintikka y Remes (1974).
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12 AXEL ARTURO BARCEL ASPEITIA
El segundo sentido de anlisis tiene un linaje y races ms
profundas dentro de lafilosofa.7 Su origen puede rastrearse en el
mtodo platnico de divisin o dihairesis.Este mtodo consista en
descomponer los conceptos analizados en otros ms gene-rales.
Aristteles le da su formulacin clsica como mtodo para producir
definicio-nes esenciales en trminos de gnero y diferencia
especfica.8 As, el concepto de serhumano, por ejemplo, se
descompone en los de animal y racional. Si bien estos
ltimosconceptos son extensionalmente ms generales que el original,
tambin se puede decirque el primero de ellos los contiene desde el
punto de vista intensional, pues su definicinlos presupone. Escribe
Beaney:
[...] Understanding a classificatory hierarchy extensional, that
is, in terms of the classes ofthings denoted, the classes higher up
[the more general ones] are clearly the larger, containingthe
classes lower down as sub-classes [...] Intensionally, however, the
relationship ofcontainment has been seen as holding in the opposite
direction. If someone understandsthe concept human being, at least
in the strong sense of knowing its definition, then theymust
understand the [more general] concepts rational and animal. Working
back up thehierarchy in analysis (in the regressive sense) could
then come to be identified withunpacking or resolving a concept
into its constituent concepts (analysis in thedescompositional
sense). (Beaney, 2002: 69)
Finalmente, Beaney llama transformacional al tercer sentido del
anlisis, ya que contie-ne una parfrasis o cambio de representacin
del problema.9 Este tercer elemento pasa deser configuracional a
formal,10 gracias al trabajo del filsofo y matemtico Ren
Descartes,quien, al tratar de reconstruir el mtodo euclideano de
anlisis geomtrico, desarrollaun nuevo lenguaje algebraico y con l,
el anlisis formal en su sentido moderno.
Este mtodo de anlisis trata de encontrar los principios o
fundamentos en loscuales construir de manera sinttica todo el
conocimiento, tanto geomtrico como
7 Vale la pena mencionar que los tres tienen sus races
firmemente plantadas en la matemtica. Cfr., Einarson,1936:
36-39.
8 En Aristteles, el modo descomposicional tambin aparece en el
anlisis de figuras. Cfr., Einarson, 1936: 39.9 Es muy importante
distinguir entre el uso del termino representacin dentro de la
filosofa de la ciencia
contempornea y el uso del mismo en la filosofa de la mente y del
lenguaje. En este artculo restrinjo miuso al primer sentido.
10 Del anlisis configuracional dir poco ms que lo necesario para
contrastarlo con el anlisis formal. Para unavisin ms detallada de
este tipo de anlisis transformacional, cfr., Panza (en prensa).
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SOBRE LA IDEA MISMA... 13
filosfico.11 Descartes toma como paradigma metodolgico al
anlisis geomtricoclsico.12 Sin embargo, puesto que encuentra poca
informacin explcita acerca de estemtodo en los textos clsicos
disponibles,13 su reconstruccin es, en realidad, la crea-cin de un
nuevo mtodo analtico.14 La analitizacin de la geometra que lleva a
caboDescartes reside, precisamente, en la institucin de un mtodo de
resolucin de pro-blemas que incluye tanto un cambio de
representacin, como un mtodo de regresin15 ydescomposicin.16 En su
Geometra, Descartes crea un nuevo marco y una nueva nota-cin para
la representacin de los problemas geomtricos: el lenguaje
formal-algebraico.Como se ver ms adelante y en mayor detalle, este
cambio de notacin es en smismo una revolucin radical en las
matemticas. Si bien, es slo la mitad del mtodocartesiano. El resto
es el anlisis por descomposicin que este cambio de notacinpermite.
El anlisis cartesiano, pues, sintetiza las tres concepciones de
anlisis en unslo mtodo y concepto. A partir de entonces, la
historia del concepto de anlisis seconvierte en un constante dilogo
entre estas tres concepciones. De hecho, podemosver la historia
posterior del concepto anlisis como una pugna entre las
concepcionesdescomposicional y representacin-formal por capturar la
funcin regresivo-fundacionista del mtodo analtico.
En varias ocasiones ha sido sealado que el anlisis cartesiano
revolucion el rgi-men de representacin en ciencia, filosofa y
matemticas. Martin Heidegger (1977),Ernst Cassirer (1951), Michel
Foucault (1986) y, ms recientemente, Jonathan Crary(1990), entre
otros, han encontrado en el anlisis cartesiano el origen del
pensamientomoderno clsico. El estudio de Beaney va an ms all al
distinguir, dentro de la
11 Es importante recordar que la Geometra fue publicada
originalmente junto con el Discurso sobre el mtodo y quese ofreca
como ejemplo de aplicacin del mtodo presentado en l.
12 Descartes seala las similitudes entre su mtodo y el anlisis
de la geometra clsica en 1965: VII, 424, 444-445y 1992: I, 18-19,
II, 5, 111. Cfr., Flage y Bonnen, 1999: 3. Franois Vite, el primer
introductor de variables alanlisis geomtrico, era de la misma
opinin, cfr., Van der Waerden, 1985: 63.
13 Descartes acusa a los gemetras clsicos de esconder su mtodo
de anlisis en 1965: X, 336 y VII 157; 1992:I, 19 y II 111.
14 Aunque mantiene fuerte continuidad con el mtodo de Pappus.
Basta comparar la definicin de Pappus conla de Descartes en su
Geometra, 1965: VI, 372.
15 En el prefacio a la edicin francesa de los Principios, 1965:
IXB, 5; 1992, I, 181, Descartes describe el mtododel anlisis como
la bsqueda de las causas primeras. Cfr., Flage y Bonnen, 1999: 1,
14.
16 De manera ms obvia en la regla 13 de las Reglas, y la segunda
regla de su Discurso del Mtodo. Cfr., Flage y Bonnen,1999:
32-43.
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14 AXEL ARTURO BARCEL ASPEITIA
nocin cartesiana de anlisis, el cambio de representacin
propiamente dicho de loselementos de regresin y descomposicin. En
otras palabras, mientras los autoresantes mencionados aciertan en
sealar que el mtodo analtico cartesiano involucra unnovedoso y
revolucionario cambio de representacin, no lo distinguen de los
aspec-tos regresivo y descomposicional.17 Pero, como bien seala
Beaney, la distincin esesencial para entender el verdadero aspecto
innovador de este tipo de anlisis. Tanto laregresin como la
descomposicin tenan ya una larga historia dentro de la metodo-loga
matemtica y filosfica. La verdadera innovacin de Descartes fue la
combina-cin de estos elementos con el nuevo mtodo de representacin
formal.18
En la siguiente seccin, me interesa introducirme an ms en este
ltimo aspecto: laformalizacin como cambio de representacin. Para
ello, creo necesario distinguir larepresentacin formal de la
meramente simblica y acentuar la ntima relacin entrefuncin y forma
dentro de la tradicin analtica matemtica.
II. ANLISIS Y FORMA19
En primer lugar, es obvio notar que el cambio de representacin
que se da en elanlisis formal es un cambio de rgimen simblico. Sin
embargo, es importante recal-car que las herramientas simblicas que
usa el anlisis formal ya sea en geometra,lgica o semntica no es
meramente simblico. En este punto es importante apelar ala
tradicional distincin histrica entre el uso sincopado
(perteneciente al lgebraprecartesiana) y el uso formal o analtico
de los smbolos matemticos (propio de las
17 Otra diferencia importante entre la interpretacin de estos
autores y la de Beaney (y la ma) es el fuertenfasis que ellos hacen
en el orden, dentro del anlisis cartesiano. Efectivamente,
Descartes mismo acentala importancia del orden dentro de su mtodo
en (1965) X 379, 451; VI 21, VII 155; (1992) I 64, 121; II 110.Cfr.
Flage y Bonnen, 1999: 38-43. Sin embargo, la importancia
metodolgica del orden en Descartes noproviene de su lugar dentro
del mtodo analtico, sino dentro de la induccin matemtica.
Descartesmismo lo reconoce en (1965) X 388-9, (1992) I 25-6.
18 Es por ello que, en este artculo, me concentro en clarificar
este cambio de representacin. En este sentidomi estudio busca ir ms
all que el de Beaney. Ya que si bien l s distingue y seala el
cambio derepresentacin involucrado en la nocin moderna de anlisis,
no lo caracteriza detalladamente como paradistinguirlo de otros
cambios de representacin que se han dado en la historia de la
ciencia moderna.
19 La siguiente seccin es una versin abreviada del desarrollo de
la historia del concepto de anlisis formal enBarcel, 2003.
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SOBRE LA IDEA MISMA... 15
matemticas modernas). En el lgebra antigua, el lgebra rabe y la
cosstica occidental,no exista el concepto de variable tal y como lo
entendemos hoy en da. Si bien es ciertoque se usaban letras adems
de las constantes del propio clculo, stas no eran ms
queabreviaturas de expresiones ms complejas o recursos
mnemotcnicos. En conse-cuencia, el lgebra primitiva no contaba con
mecanismos para expresar clculos gene-rales. Puesto que su sistema
de smbolos slo contena constantes, no poda expresarms que clculos
particulares. La generalidad se formulaba por medio de casos
parti-culares que servan como ejemplos o paradigmas. A este uso de
los smbolos se lellama sincopado, pues no forma un lenguaje
simblico propiamente dicho. No fue sinohasta el trabajo de Franois
Vite y su posterior refinacin por parte de Descartes,20que
aparecieron en matemticas las variables dichas de forma propia y,
con ellas, ellgebra moderna. La introduccin de variables en el
lenguaje algebraico permiti dosavances importantes dentro de la
historia de la matemtica: la posibilidad de expresarformas
generales21 especies, en la terminologa de Vite y, an ms
importante, laposibilidad de calcular con ellas. A este respecto,
Morris Kline ha escrito:
Vite era completamente consciente de que cuando estudiaba la
ecuacin cuadrtica generalax2 + bx + c = 0 (en nuestra notacin),
estaba estudiando toda una clase de expresiones. Aldistinguir entre
logstica numerosa y logstica speciosa en su Isagoge, Vite distingui
tambin entrelgebra y aritmtica. lgebra, la logstica speciosa, dijo,
era un mtodo de clculo con especies o formasde cosas. Aritmtica, la
numerosa, trataba con nmeros. As, en un solo paso, el lgebra
seconvirti en un estudio de tipos generales de formas y ecuaciones,
dado que lo que se cumplepara el caso general cubre un infinito de
casos especiales. (Kline, 1972: 261-262)22
La diferencia central entre el lgebra moderna y la antigua es
que, mediante el usode variables, por fin se pudo abstraer la forma
de diferentes clculos particulares yexpresarla en una frmula
general. A diferencia de las frmulas con letras del lgebra
20 Tambin importantes fueron las aportaciones de Harriot,
Girard, Oughtred y Hudde. Cfr., Kline, 1972: 259-263.21 En la
matemtica moderna, cuando se habla de generalidad, sta no debe
entenderse en el mismo sentido
inductivo que tiene esta expresin fuera de las matemticas. En su
lugar, una expresin matemtica generaldebe entenderse como una
expresin formal (en el sentido inaugurado por el lgebra moderna),
es decir,como un esquema de expresiones o clculos de la misma
forma. As pues, podemos decir que enmatemticas no se generaliza,
sino se formaliza.
22 nfasis y traduccin mos. Para Kline, la introduccin de las
variables por parte de Vite fue el cambio mssignificativo en el
carcter del lgebra en los siglos XVI y XVII (Kline 1972: 261).
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16 AXEL ARTURO BARCEL ASPEITIA
antigua, que expresaban clculos particulares de manera
abreviada, las frmulas convariables del lgebra moderna permitan por
primera vez expresar formas generales declculo. Este nuevo lenguaje
simblico permiti a los matemticos manipular formasgenerales de una
manera que era casi imposible dentro del lenguaje anterior. Les
abrilas puertas a un nuevo tipo de clculo, ms abstracto y general
que el de la aritmticao la geometra. Es solo hasta entonces que
debe hablarse de un lenguaje formal propia-mente dicho. En este
sentido, un lenguaje formal no es slo aquel que usa smbolos,sino
uno que los utiliza para calcular. As entonces, si bien es cierto
que la introduccinde las variables trajo consigo la posibilidad de
expresar cierta generalidad o forma enmatemticas, el mayor logro
conseguido con ellas fue la posibilidad de crear un nuevotipo de
clculos. Como ya he sealado,23 el lgebra moderna inaugura la
posibilidad decalcular con formas.24 Es por ello que representa una
revolucin significativa en el desa-rrollo de las matemticas, en
particular, y del conocimiento cientfico en general.
III. EL ANLISIS GEOMTRICO COMO ANLISIS FORMAL: UN EJEMPLO
A diferencia de la comunidad filosfica, gran parte de la
comunidad matemticareconoci pronto el valor del nuevo mtodo de
Descartes. La resolucin del afama-do problema de las tres o cuatro
lneas25 demostr, en la mente de muchos matemticosmodernos, la
efectividad del anlisis cartesiano. Vale la pena, por tanto,
detenerse unpoco ms en esta solucin para ver con claridad el
importantsimo papel que juegael modo transformativo del anlisis en
la solucin de este problema y entender as elcambio radical que
representa la formalizacin en el desarrollo del anlisis
geomtrico.
El problema se plantea de la siguiente manera.26 Sean AB, AD, EF
y GH lneasrectas dadas como en la siguiente figura:
23 Cfr., Barcel, 2003.24 Vale la pena mencionar que la palabra
forma no fue utilizada con este sentido y en asociacin al mtodo
analtico al que aqu aludo de manera regular hasta el influyente
trabajo de George Peacock, quien en 1830propuso como carcter
definitorio del lgebra simblica su principio de permanencia de las
formas equivalentes:Whatever form is algebraically equivalent to
another, when expressed in general symbols, must be true,whatever
these symbols denote (Peacock, 1830: 104). A Peacock le debemos,
pues, la convergencia entrelo analtico, lo algebraico y lo
formal.
25 Segn Pappus, este problema haba sido discutido, pero no
resuelto, por Euclides y Apolonio.26 Tomo la reconstruccin del
problema de Van der Waerden, 1985: 74-75.
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SOBRE LA IDEA MISMA... 17
Se buscan los puntos C tales que los segmentos de lnea CB, CD,
CF y CH dibuja-dos a partir de C hacia las cuatro lneas dadas
satisfaga la condicin de que el productode CB por CD est en una
proporcin dada al producto de CF y CH. Tambin sequiere saber si
tales puntos caen dentro de una seccin cnica, es decir, si forman
uncrculo, parbola, hiprbola, elipse o similar.
En su anlisis del problema, Descartes empieza asumiendo que la
condicin essatisfecha, es decir, que un punto C existe. Hasta aqu,
el mtodo sigue de cerca elmodo regresivo presente en la definicin
de Pappus, segn la cual el primer paso delanlisis es asumir aquello
que se busca. Sin embargo, la manera en que Descartesrepresenta
esta suposicin es la que distingue a su mtodo del anlisis regresivo
clsico.Mientras que en el anlisis clsico, el punto C se representa
por un punto en unaconfiguracin geomtrica (similar a la figura con
la que he ilustrado este problema),Descartes representa a C por un
par de coordenadas algebraicas. Puesto que C se encuen-tra de forma
unvoca determinado por la longitud de los segmentos AB y BC, dadoel
ngulo ABC, basta asignarle a tales distancias dos incgnitas, x y y,
para representarde manera algebraica al punto C por el par ordenado
(x, y).
Aunque corro el riesgo de sonar reiterativo, quiero volver a
acentuar lo revolucio-nario del cambio de representacin que
Descartes lleva a cabo aqu. Al representar sussupuestos dentro de
una configuracin geomtrica, el anlisis configuracional clsicoslo
poda trabajar, a lo ms, con ejemplares particulares de aquello que
quera de-mostrar de manera general (lo mismo que suceda en el
lgebra preformal). Esto traaconsigo el riesgo de basar alguna
inferencia posterior en las particularidades de dichoejemplar, en
lugar de las especificaciones generales del problema. La
introduccin delas variables algebraicas resolvi tal problema. El
uso de variables permiti a Descar-tes representar sus hiptesis de
manera formal, es decir, algebraica y universal. En
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18 AXEL ARTURO BARCEL ASPEITIA
sentido estricto, el par de coordenadas cartesianas no
representa a ningn punto enparticular, sino la forma general de un
punto. En este caso, por ejemplo, la introduc-cin de variables
algebraicas le permite a Descartes representar de un golpe todos
lospuntos C que resuelven el problema, de tal manera que el anlisis
adquiera el carcterformal y general necesario.
El siguiente paso es mostrar que todos los segmentos CB, CD, CF
y CH sonfunciones lineales de x y y.27 De ah que la condicin
original de proporcionalidad entreCBCD y CFCH pueda expresarse en
una ecuacin cuadrtica de dos variables. Lospares de coordenadas (x,
y) que resuelven la ecuacin representan los puntos C busca-dos.
La representacin del conjunto de los puntos C en forma de una
ecuacin cuadrticano slo representa al concepto geomtrico original
en forma algebraica, sino tambinformal, ya que gracias a ella,
podemos saber el tipo de seccin cnica que dibujan talespuntos
atendiendo slo a la forma de la ecuacin. Efectivamente, en palabras
deWalter W. Rouse Ball (1960), Descartes descubri que:
[...] para investigar las propiedades de una curva, era
suficiente seleccionar como definicincualquier propiedad geomtrica
caracterstica y expresarla por medio de una ecuacin entrelas
coordenadas [actuales] de cualquier punto de la curva, esto es,
traducir la definicin allenguaje de la geometra analtica. (Rouse,
1960. Traduccin ma)
Espero que este ejemplo ilustre de manera clara cmo el aparato
formal algebraico, entanto mecanismo de representacin, permite a
Descartes renovar el mtodo de anlisisgeomtrico. Espero tambin quede
claro, exactamente, qu papel juega la formalizacindentro del
anlisis cartesiano. Slo as podremos ver si la formalizacin juega un
papelanlogo en el anlisis semntico de los primeros filsofos
analticos o no.
IV. LA TRADICIN ANALTICA EN MATEMTICAS
Por desventura, la importancia de esta nueva herramienta no fue
reconocida de mane-ra universal por todos los matemticos europeos
de su tiempo. Por el contrario, en los
27 Descartes logra esto por medio del clculo algebraico de las
relaciones aritmticas entre AB, BC y lossegmentos antes
mencionados. Es importante notar que este clculo no es slo
geomtrico ni aritmtico,sino algebraico, ya que los segmentos estn
representados en funcin de las coordenadas x y y.
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SOBRE LA IDEA MISMA... 19
siguientes 200 aos, la matemtica occidental vivi una intensa
lucha entre dos manerasde entender su quehacer propio: como el
paradigma formal del anlisis algebraico (porello conocido como
analtico), o como el paradigma constructivo de la geometra
(cono-cido como sinttico). La extensin de este conflicto es tan
obvia y tajante que es imposibleentender la historia de las
matemticas de estos siglos sin dar a dicha controversia unlugar
central. Por lo mismo, es fcil seguir el desarrollo de los ideales
formales en lasmatemticas de Francia a Inglaterra, y ah, en el
siglo XIX, con la gua de la Analytic Society,a la lgica, mediante
el trabajo de Augustus De Morgan y George Boole.28
Es tentador pensar que el carcter formal que introdujeron estos
primeros lgicosformales est relacionado con la vieja oposicin
filosfica entre forma y materia. Sinembargo, esto no es as.29 Por
el contrario, es claro que, al realizar su formalizacin dela lgica,
algebristas como De Morgan no crean estar aislando una cierta
formalgica, ausente de toda materia, sino estableciendo patrones de
invariancia entre fr-mulas lgicas. Esto resulta an ms claro si se
analiza la polmica entre De Morgan yHenry Longueville Mansel a
mediados del siglo XIX.30 En su comentario a De Morgan(1847),
Mansel (1851) lo acus de no manejar bien la distincin entre forma y
materia.No obstante, es claro que ambos pensadores utilizaban la
nocin de forma de maneradiferente: Mansel dentro de la tradicin
lgico-aristotlica y De Morgan dentro de laanaltico-algebraica. En
una primera reaccin a la crtica de Mansel, De Morgan tratde
conciliar ambas nociones, pero pronto se dio cuenta de la radical
diferencia entreellas. En 1847, De Morgan ya consideraba la nocin
de forma opuesta a materiacomo una nocin metafsica31 irrelevante
para su empresa de anlisis lgico.32
Es importante, pues, distinguir entre la nocin de forma opuesta
a materia y la nocinde forma usada en el anlisis. El lenguaje
formal de la lgica formal y el anlisis semnticose desarrolla dentro
de la tradicin analtico-algebraica.33 En este sentido, el
lenguaje
28 Cfr., Grattan-Guiness, 2000: 14-74.29 Para una visin distinta
a la ma a este respecto, vase MacFarlane, 2000.30 Cfr.,
Grattan-Guiness, 2000: 28-29.31 De Morgan, 1847: 27.32
Desafortunadamente, ms de medio siglo despus de la discusin entre
Mansel y De Morgan la distincin
entre lo formal y lo material regreso al vocabulario lgico con
la distincin entre implicacin material e implicacinformal
introducida por Russell. Grattan-Guiness (2000: 318) conjetura que
Russell debi de haber sidoinfluenciado por el esfuerzo de De Morgan
por conciliar ambas nociones de forma.
33 No es una casualidad que los primeros sistemas de lgica
matemtica, como los de Boole y De Morgan,fueran algebraicos. Acerca
de los orgenes algebraicos de la lgica moderna, vase Kramer,
1982.
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20 AXEL ARTURO BARCEL ASPEITIA
lgico-simblico nacido a finales del siglo XIX y principios del
XX, no es meramentesincopado, sino formal. No slo usa frmulas con
variables para expresar la formalgica de enunciados, sino que adems
cuenta con un clculo que permite su mani-pulacin.34 Ambas
propiedades son esenciales para que pueda servir su cometido
den-tro del anlisis.35 La formalizacin y el clculo son los dos
pilares en los cuales estconstruido el anlisis semntico. ste es
analtico precisamente porque opera en lasdos dimensiones. Ambas
distinguen al anlisis de otros cambios de representacin dela era
moderna. Por un lado, la representacin simblica involucrada en el
anlisissemntico esta inscrita en un clculo formal. Por el otro, sus
frmulas expresaranformas generales.
V. FORMA, FUNCIN Y SINTAXIS
Finalmente, es necesario explicar cmo esta representacin formal
posibilita un nuevotipo de explicacin cientfica en funcin de la
relacin entre el todo y las partes. Paraello es necesario explicar
tambin, por lo menos de manera somera, la evolucin de lanocin de
funcin dentro del anlisis y su relacin con la nocin de forma.
El Diccionario de la Lengua Espaola de la Real Academia Espaola
(22 edicin)define a la palabra funcin como la tarea que corresponde
realizar a una institucino entidad, o a sus rganos o personas.36 Si
bien sta no parece ser la manera en que seentiende la palabra
funcin en las matemticas de hoy en da (ni en nuestra semntica
ylgica formales, a decir verdad), ste era el sentido en el que la
palabra fue introducidaen la disciplina cuando Leibniz la us por
primera vez en su Methodus tangentiuminversa, seu de functionibus
(1673). Ah Leibniz habla de la funcin de una magnitud como
34 Esta doble dimensin de la lgica como clculo y como lenguaje
es por lo menos tan vieja como lacharacteristica universalis de
Leibniz (1971), la cual, adems de un lenguaje universal, contena
tambin un calculoratiocinator. Ah, Leibniz describe a sta como una
tcnica general por medio de la cual todo razonamientopueda
reducirse a mero clculo. Este mtodo debe servir, al mismo tiempo,
como un tipo de lenguajeuniversal, cuyos smbolos y vocabulario
propios puedan dirigir al razonamiento de tal manera que
errores,excepto aquellos de hecho, sean como errores de computacin,
meramente el resultado de no aplicar lasreglas de manera
correcta.
35 Cfr., Barcel, 2003.36 El Shorter Oxford English Dictionary, a
su vez, define la palabra inglesa function de manera ms general
como The
special kind of activity proper to anything; the mode of action
by which it fulfils its purpose.
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SOBRE LA IDEA MISMA... 21
su tarea a realizar, y de la funcin de una lnea como el papel
que sta juega en ciertafigura. De ah pasa, ms adelante (1692), a
hablar de tangente, normal, entre otros, comolas funciones que una
lnea puede tener respecto a una curva dada.37 Es Johann
Bernoulliquien transforma la nocin leibnizeana en la concepcin ms
familiar de funcin comocorrelacin entre cantidades. Su definicin de
1718 dice:
DEFINICIN. Uno llama aqu funcin de una variable a cualquier
cantidad compuestade cualquier manera de esta variable y de
constantes. (Bernoulli, 1968: 241)
La nocin analtica de funcin surge originalmente como un intento
de capturar demanera matemtica el papel que juega un objeto dentro
del todo del que formaparte.38 De esta manera, podemos ver a la
nocin analtica de funcin como un anlogomatemtico de nuestra nocin
cotidiana. Ambas estn ligadas de manera ntima a larelacin entre un
todo y sus partes. Slo podemos hablar de la funcin de un objetocomo
parte de otro. En este sentido, este tipo de anlisis va ms all del
merodescomponer,39 para guiarse por la funcin que juega cada una de
las partes dentro deltodo. En otras palabras, el analizar un todo
es descomponerlo en funcin de la fun-cin que juega cada una de sus
partes vlgase la redundancia.
Finalmente, el anlisis funcional matemtico tambin incorpora un
cambio de re-presentacin; su objetivo es conseguir una nueva
representacin acerca del objetoanalizado tal que el lugar que ocupe
la representacin de las partes en la representacindel todo
corresponda al papel que juegan stas dentro de l. De esta manera,
la fun-cin que juega cada elemento queda reflejada en la forma de
su representacin anal-tica. En otras palabras, la disposicin de las
partes dentro de la representacin susintaxis debe reflejar sus
diferentes funciones de manera tal que partes con la misma
37 Es interesante notar que en este mismo trabajo, Leibniz usa
el trmino relatio para referirse a lo que ms tardellamaremos una
funcin, es decir, una correlacin regular entre magnitudes. Cfr.,
Gonzalo Cabilln Functionen Miller, 2002.
38 Sin embargo, esta manera de ver la funcin matemtica fue
fuertemente criticada desde mediados del sigloXIX, y para mediados
del siglo pasado ya haba sido abandonada, gracias a los esfuerzos
de Dirichlet,Riemann y Hausdorff, entre otros. Nuestra visin
moderna de funcin matemtica, pese a mantener anlazos de parentesco
con esta vieja visin, ya no le corresponde. En el resto del artculo
usare la nocin defuncin en este primer sentido primitivo. Para un
anlisis histrico del concepto de funcin en matemticas,cfr., Kramer,
1982 y Kleiner, 1989.
39 Analizar en el sentido platnico-aristotlico.
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22 AXEL ARTURO BARCEL ASPEITIA
funcin ocupen el mismo lugar y que la funcin de una parte pueda
verse de formadirecta en la sintaxis de su representacin.
Gracias a este cambio de representacin, la nocin matemtica de
funcin se con-virti en una nocin formal. Es por ello que dentro de
una representacin formal oanaltica dentro de una frmula, por
ejemplo, la funcin de un objeto puedeobtenerse de manera directa
por un sencillo mtodo de descomposicin. No es desorprender, pues,
que por lo menos durante el siglo XIX, y bien entrado el siglo
pasa-do40 precisamente en los aos en los que pensadores como De
Morgan, Boole yFrege empezaban a introducir a la filosofa nociones
provenientes del lgebra y delanlisis como funcin y forma, el mtodo
para identificar funciones est basado en laidentificacin de
elementos (variables e invariables) en la representacin formal
deobjetos matemticos. De ah que las funciones (y sus argumentos)
sean vistas comopartes de un todo estructurado (el valor del
argumento). Durante ese largo periodohistrico, la funcin era
presentada en matemticas de una de dos maneras: (1)como el elemento
invariante en un sistema de transformaciones, o (2) como unelemento
insaturado en busca de complecin. En el primer caso, la distincin
entrefuncin y argumento se convierte en la distincin entre un
elemento variable (el argu-mento), y un elemento que permanece
constante durante tal variacin (la funcin). Ladistincin se explica
ms o menos de la siguiente manera: tmese una representacinformal
compleja; una ecuacin, por ejemplo. Vare uno de sus elementos (no
necesa-riamente simple), esto es, sustityase una de sus partes por
otra del mismo tipo de talmanera que la nueva representacin est
bien formada. La parte que permaneceinalterada en la variacin
representa la funcin del elemento representado por la parteque vara
(su argumento) dentro del todo analizado (su valor). En el segundo
caso,otra vez se empieza con una representacin compleja. Pero, esta
vez, se elimina uno desus elementos. La parte que queda representa
la funcin del objeto representado porla parte que se elimina. De
esta manera, la funcin no es invariante, sino incompleta.Ambos
tratamientos son muy similares y basta ver a la sustitucin como el
eliminar unelemento y poner otro en su lugar para que se vuelvan
equivalentes.41
De esta manera, la nocin de funcin queda determinada
completamente porpatrones de sustitutibilidad (dentro de una
representacin formal, fruto del anlisis).
40 Cfr., Luzin, 2001: 66.41 En este punto, estoy en desacuerdo
con Sandra Lapointe (2002), quien cree que los modos sustitucional
y
composicional del anlisis son independientes por completo.
Desafortunadamente, en su artculo del 2002,Lapointe no da un
argumento en favor de esta tesis (excepto decir que no parece ser
as, en la p. 109).
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SOBRE LA IDEA MISMA... 23
Diferentes objetos tienen la misma funcin dentro de un todo, si
sus representacionesson intersustituibles dentro de la
representacin de ese todo. Si al sustituir una por laotra, el
objeto representado cambia, se debe decir que su funcin es
distinta. De estamanera, al poner a prueba la efectividad de un
anlisis por medio de los patrones desustitutibilidad codificados en
su representacin formal. Se sabe que un objeto noha sido analizado
de forma correcta si al sustituir (la representacin de) objetos con
lamisma funcin, obtenemos (la representacin de) objetos distintos o
si al sustituir (larepresentacin de) objetos con distinta funcin,
no alteramos (la representacin de) elobjeto analizado.42
Por ltimo, en este tipo de anlisis, se dice que las diferentes
representaciones queresultan de asignar diferentes valores a la
misma funcin tienen la misma forma. Enotras palabras, valores
distintos de la misma funcin (con diferentes asignaciones
deargumentos) tienen la misma forma. As, por ejemplo, uno puede
hablar de maneraindistinta de una frmula como la disyuncin de otras
dos, o como siendo de laforma AB. En anlisis, pues, las nociones de
forma y funcin se encuentran ligadas demanera tan ntima que una se
puede obtener fcilmente de la otra.43 En este sentido,la forma nos
dice no slo cuales son las partes de un objeto (despus de todo, el
anlisisformal no es una mera descomposicin), sino tambin la funcin
que juega cada una deestas partes. La sintaxis de la representacin
se convierte en forma en el momento en questa captura la funcin de
cada parte dentro del objeto representado.
En conclusin, analizar en este sentido formal-transformacional
es encontrarla verdadera forma de un objeto, es decir,
representarlo de tal manera que la sintaxisde su representacin
refleje de manera directa las diferentes funciones que juegan
cadauna de sus partes.
42 Asimismo, cuando encontramos problemas de este tipo, nuestra
reaccin puede ser una de dos: o buscamosuna nueva forma de
representacin que evite el problema o asumimos que objetos que
creamos tenan lamisma funcin, tienen distintas. Como presentar ms
adelante, la respuesta de Russell a los problemas desubstitutividad
semntica es del primer tipo, mientras que las de Frege y Carnap
combinan los dos.
43 Entender de manera plena como forma y funcin llegaron a estar
tan compenetradas en las matemticasmodernas, requerira mayor
atencin a la analitizacin de estas nociones. Recurdese que uno de
losmayores logros de la geometra analtica fue el descubrimiento de
que objetos geomtricos de la mismaforma en el sentido de la misma
figura podan caracterizarse por ecuaciones de la misma forma enel
sentido analtico. Vase, por ejemplo, el caso del problema de las
tres lneas arriba, donde la formageomtrica de las cnicas puede
reconocerse directamente en la forma sintctica de la ecuacin
desegundo grado.
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24 AXEL ARTURO BARCEL ASPEITIA
VI. LA TRADICIN ANALTICA EN FILOSOFA
Analizar es reformular, traducir en mejores palabras.(URMSON,
1967: 295)
Si bien el complejo mtodo de anlisis cartesiano inicia casi de
inmediato una revolu-cin que transforma por completo el campo de
las matemticas, el xito de su pro-puesta metodolgica en filosofa es
ms accidentado. En contraste con lo sucedido enlas matemticas,44 la
concepcin de anlisis conceptual como descomposicin conti-nu siendo
el paradigma filosfico muchos aos despus de Descartes. Esta
concep-cin de anlisis aparece de manera clara en el trabajo de John
Locke y Leibniz, perono alcanza su cimentacin sino hasta el trabajo
de Immanuel Kant, cuya distincinentre juicios analticos y sintticos
est basada en una eminente visin del anlisis comodescomposicin.45
De esta manera, la discusin filosfica de los mtodos analtico
ysinttico queda desplazada por la discusin alrededor de la dualidad
analtico-sinttico.Segn Beaney, la mayora de los pensadores de la
filosofa posterior a Kant puedenfcilmente dividirse en dos
corrientes: aquellos quienes aceptaron la formulacin kantianade la
analiticidad y, con ella, una visin muy debilitada del mtodo
analtico; y aquellos,como Frege y Russell, quienes trataron de
recuperar la compleja concepcin cartesianadel olvido filosfico.46
En el proceso, estos ltimos pensadores fundaron lo que hoyconocemos
como la filosofa analtica.
Beaney no exagera al decir que: Lo que Descartes y Fermat
hicieron por la geome-tra analtica, Frege y Russell lo hicieron por
la filosofa analtica,47 ya que el mtodo deanlisis lgico y
conceptual fundado por ellos no slo repercuti en una revolucinen
filosofa comparable con la cartesiana en matemtica, sino que tambin
volvi areunir los tres sentidos de anlisis en un slo mtodo
filosfico: regresin, transforma-cin y descomposicin. Efectivamente,
los primeros analticos conceban sus mtodos
44 Con las salvedades sealadas ms adelante, en la seccin Anlisis
formal de este mismo texto.45 Cfr., Beaney, 2002 y 2003.46 En el
primer campo, Beaney ubica a Hegel y los idealistas y romnticos
alemanes, Bradley y los idealistas
britnicos y Bergson, mientras que del otro lado encuentra a
pensadores como Bolzano, Frege y Russell,Moore, el primer
Wittgenstein y los Positivistas Lgicos, reconociendo que corrientes
como lafenomenologa y la hermenutica no pueden fcilmente
clasificarse dentro de esta dicotoma (Beaney,2002: 66 y nota
24).
47 Beaney, 2002: 67.
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SOBRE LA IDEA MISMA... 25
de anlisis como la bsqueda de ciertos fundamentos, que aparte de
ser ms bsicos ygenerales, tambin se encontraban contenidos en
aquello que fundamentaban.
Al igual que en el caso de Descartes y su geometra, la verdadera
contribucin delos primeros analticos a la filosofa fue la
introduccin de un cambio en la represen-tacin de sus problemas.
Detrs de la formalizacin de la lgica por parte de Frege yla
analitizacin de la filosofa por parte de Russell, descansa la idea
de que una vezrepresentados en forma apropiada, los problemas de
ambas disciplinas haran evi-dentes sus soluciones y fundamentos. No
es de sorprender, entonces, que la transfor-macin involucrada en
estas revoluciones metodolgicas, tanto en matemticas comoen
filosofa, sea una formalizacin. Es por ello que la analitizacin de
la filosofa y lalgica que se da en el principio del siglo pasado
debe verse ante todo como unaformalizacin y algebrizacin de cada
una de estas ciencias.
Como consecuencia, en la filosofa analtica, analizar un problema
consiste en losmismos dos pasos que la visin cartesiana
(correspondientes a los sentidos de anlisisque su concepcin
sintetiza):1. La formalizacin del problema (anlisis como
transformacin)2. La descomposicin o resolucin del problema
formalizado (anlisis como
descomposicin), y3. La fundamentacin de la solucin al problema
en los componentes ltimos que
arroja el anlisis (en el sentido regresivo).48
48 En unas cuantas lneas, al final de su comentario acerca del
mtodo filosfico de Russell, Philip P. Weiner(1944: 274-275) dibuja
una lnea continua del anlisis platnico al de Carnap y Ludwig
Wittgenstein, pasandopor Plotino, Artistteles, los neo-platnicos,
Descartes, Spinoza, Leibniz, Locke, Berkeley, Hume, el
propioRussell, Wittgenstein y Carnap, sealando elementos tanto
regresivos como descomposicionales en losmtodos de estos tan
variados pensadores. Efectivamente, en la seccin Anlisis y sntesis
de su manuscritoindito Theory of Knowledge, Russell define de
manera explcita al anlisis, en trminos
eminentementedescomposicionales, como el descubrimiento de los
constituyentes y su manera de combinacin en uncomplejo dado.
(Russell, 1984: 119) Adems, es claro que el atomismo lgico de
Russell (y Wittgenstein)est ntimamente ligado a los modos
descomposicional y regresivo del anlisis (cfr., Tomassini, 1994).
Elhecho de que, antes de Russell y Wittgenstein, Moore tambin haya
definido al anlisis en estos trminos,ha causado que autores como
Alfred J. Ayer (1971) hayan interpretado al mtodo de anlisis
filosfico deesta tradicin de manera regresiva y descomposicional
antes que transformacional. Cuestiones de primacaentre modos de
anlisis no me interesan. Lo nico que espero haber dejado claro en
este artculo es que elmtodo de anlisis semntico aplicado por Frege,
Russell y Carnap en la definicin y solucin de ciertosproblemas
semnticos era formal-transformacional, adems de regresivo y
descomposicional.
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26 AXEL ARTURO BARCEL ASPEITIA
VII. FREGE, CARNAP Y RUSSELL
Una vez que he clarificado el sentido de anlisis contenido en
nuestra nocin de anlisissemntico puedo, por fin, responder la
pregunta original. Si seguimos el diagnsticode Fernndez de Castro
(2003), los problemas que definieron la agenda semntica deFrege,
Russel, Carnap son problemas que surgen en el seno del anlisis
semnticomismo.49 Como acertadamente lo seala, estos problemas
semnticos son en esenciaproblemas de sustitutibilidad y funcin
semntica. Tal y como lo hemos visto, la sustitutibilidady la
asignacin de funciones a las partes de un todo son elementos
esenciales quedefinen al anlisis formal. En el caso del anlisis
semntico, los objetos de anlisisdeben ser entidades semnticas
proposiciones, en este caso y han de ser anali-zadas por su funcin
en la determinacin de esa unidad semntica. Los problemasempiezan
cuando la forma gramtica del enunciado que expresa la proposicin
nosirve como forma semntica, es decir, no representa de manera
explcita la funcin de laspartes significativas dentro de la
proposicin. Estos problemas surgen cuando ele-mentos significativos
con la misma funcin semntica referencia, en este caso nopueden
sustituirse dentro de lo que se haba credo que era la forma del
enunciado, sinalterar el contenido semntico del enunciado en que se
sustituyen. Es por ello que susolucin requiere revelar la verdadera
forma semntica que subyace a esta forma gra-matical de tal manera
que las verdaderas funciones semnticas de sus partes
resultenevidentes. El objetivo es rescatar la sustitutibilidad de
partes con la misma funcinsemntica, y el medio para alcanzarlo es
el anlisis semntico.
De esta manera, es claro ver cmo los diferentes anlisis
semnticos de Frege,Russell y Carnap corresponden a diferentes
cambios de representacin. Frege propo-ne cambiar la representacin
del lenguaje natural, por una primera representacinformal
(sustituir la sintaxis gramtica del lenguaje natural por la
sintaxis formal de unlenguaje simblico artificial). Al encontrar
los patrones de sustitutibilidad antes men-cionados, Russell
reconoce fallas dentro del previo anlisis de Frege y, con su teora
delas descripciones, trata de proponer una nueva representacin
formal que evite estosproblemas. Igualmente, al distinguir las
funciones intensional y extensional de un tr-mino, Carnap apela a
patrones de sustitutibilidad. Escribe Fernndez de Castro:
49 Es suficiente con darse cuenta del ttulo mismo del artculo de
Fernndez de Castro.
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SOBRE LA IDEA MISMA... 27
Denotemos por a:
= si y son constantes individuales, nombres o descripciones
definidas
(x)(x=x) si y son predicados
( ) si y son enunciados*
Entonces diremos que y son equivalentes si es verdadero, y que y
sonL-equivalentes si es L-verdadero. Como siempre, a partir de una
relacin de equiva-lencia es posible definir un objeto por cada uno
de los elementos de la particin correspon-diente. As diremos que
dos designadores (es decir, constantes individuales, predicados
oenunciados) tienen la misma extensin si son equivalentes y la
misma intensin si son L-equivalentes. (Fernndez de Castro, 2003:
143)
En otras palabras, la intensin de un designador est determinada
por patrones desustitucin en L-contextos, mientras que su extensin
est determinada por patronesde sustitucin en otros contextos. As
pues, la extensin y la intensin son diferen-tesfunciones posibles
del designador dentro de diferentes enunciados.50
Ya haba dicho antes que es posible poner a prueba la efectividad
de un anlisis pormedio de los patrones de sustitutibilidad
codificados en su representacin. Sabemosque un objeto no ha sido
analizado de manera correcta si al sustituir (la representacinde)
objetos con la misma funcin, se obtienen (la representacin de)
objetos distintos;o si al sustituir (la representacin de) objetos
con distinta funcin, no se altera (larepresentacin de) el objeto
analizado.51 Ahora bien, cuando encontramos problemasde este tipo,
nuestra reaccin puede ser una de dos: o buscamos una nueva forma
derepresentacin que evite el problema o asumimos que objetos que
creamos tenan lamisma funcin, tienen distintas funciones. Como se
puede observar ahora, la respues-ta de Russell a los problemas de
sustitutividad semntica es del primer tipo, mientrasque las de
Frege y Carnap combinan ambos: por un lado, cambian la manera
de
* La fmula, como aqu se presenta, es como debi aparecer en el
volmen citado (nota del editor).50 En este sentido, Carnap ilustra
de manera ms clara el carcter formal de su anlisis semntico, pues
resalta
el papel que juegan las reglas de clculo en la determinacin de
la forma semntica de una proposicin.Gracias a ellas, Carnap puede
distinguir entre L-verdades y verdades de otro tipo.
51 Ntese que estos patrones de sustitutibilidad son condicin
necesaria, pero no suficiente, para un buenanlisis. Cuestiones de
explicabilidad y productividad deben ser tambin tomadas en
cuenta.
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28 AXEL ARTURO BARCEL ASPEITIA
formalizar los enunciados, y por el otro, introducen nuevas
distinciones en las funcio-nes que pueden jugar los designadores:
entre sentido y referencia en el caso de Frege, yentre extensin e
intensin en el de Carnap. En cada caso se intenta salvaguardar
lospatrones de sustitutibilidad determinados por la forma semntica,
ya sea cambiandola representacin o incorporando los resultados del
anlisis a la teora semntica. Encualquier caso, es claro que lo que
tenemos son distintos mtodos de anlisis semntico.
VIII. FORMALIZACIN Y LENGUAJE IDEAL
Antes de terminar quisiera aclarar un par de asuntos acerca del
papel de la formalizacindentro del mtodo filosfico de estos
autores. Primero que nada, la importancia delmodo transformativo en
el mtodo de anlisis de estos filsofos no debe confundirsecon el
giro lingstico en filosofa, por lo menos no en el sentido que ha
hecho famosoMichael Dummett (1993). Como Ray Monk (1996) ha dejado
claro, Russell nunca dioal lenguaje el papel fundamental que
supuestamente define a este giro lingstico. Es porigual dudoso que,
como ha sostenido el mismo Dummett,52 el pleno de la filosofade
Frege se funde en su filosofa del lenguaje. De cualquier manera, y
como trat deenfatizar a lo largo de este artculo, el inters por la
formalizacin por parte de estosfilsofos surge de su afn por
encontrar un medio de representacin adecuado parahacer anlisis. Sin
embargo, la formalizacin no es fin ni objeto del anlisis. As
debeentenderse la putativa bsqueda de un lenguaje perfecto
atribuida a estos autores. De lamisma manera como la formalizacin
cartesiana no pretenda sustituir al lenguajegeomtrico, as tampoco
los sistemas formales de Frege, Russell y Carnap pretendansustituir
al lenguaje natural en su uso cotidiano. Simplemente queran hacerse
de unaherramienta que les facilitase el anlisis filosfico.53
Por otro lado, de ninguna manera quiero sugerir que, para estos
filsofos, laformalizacin era el nico modo apropiado de resolver
problemas filosficos. Esclaro que el complejo pensamiento filosfico
de estos tres pensadores seminales no sereduce ni siquiera en el
rea restringida de la teora del significado a sus contribu-ciones
formales. Es claro que el anlisis filosfico llevado a cabo por
estos tres filso-fos mantiene elementos tanto regresivos como
descomposicionales. Por otro lado,tampoco he dicho que su mtodo
filosfico pueda reducirse al anlisis, formal o de
52 Cfr., Dummett, 1993.53 Cfr., Frege (1879), Russell (1959,
1985), Carnap (1934, 1951).
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SOBRE LA IDEA MISMA... 29
otro tipo. En este respecto, quiero hacer mas las palabras de
George Edward Moorequien, en respuesta a Josh Wisdom, exclam:
No es cierto que yo haya dicho, pensado o implicado que el
anlisis sea el nico quehacerapropiado para la filosofa! [...] Pude
haber implicado que es uno de los quehaceres propiosde la filosofa.
Pero ciertamente no puedo haber implicado ms que eso. (Citado por
Ayer,1971: 179-180)
Desde el principio he centrado mi atencin en los tres acertijos
semnticos a los queapela Russell en la cita de Fernndez de Castro
con la que abro mi artculo y las tresrespuestas que les dieron
Frege, Russell y Carnap. Creo haber demostrado, por unlado, que el
problema que subyace a los tres acertijos cmo es posible que
elemen-tos lingsticos del mismo tipo gramatical difieran en su
funcin semntica es unproblema especialmente adecuado para ser
resuelto mediante la formalizacin. Porotro lado, creo tambin haber
mostrado cmo tal problema y sus tres solucionespertenecen a la
tradicin metodolgica analtica inaugurada por Descartes. Por
su-puesto que pienso que mis conclusiones pueden extenderse ms all
de estos tresproblemas y autores, pues considero que la
formalizacin juega un papel ms impor-tante dentro del pensamiento
de Frege, Russell y Carnap que el que aqu he expuesto.Me parece
claro que, adems de las distinciones semnticas aqu tratadas, otras
distin-ciones filosficas importantes surgen de problemas de
sustitucin similares a los aquconsiderados y que otros filsofos han
mostrado rasgos metodolgicos que losemparentan con esta tradicin
analtica. Por ahora, no me queda ms que dejar estascuestiones
abiertas y su respuesta para otra ocasin.54
54 Quiero agradecer, en primer lugar, a Max Fernndez y Michael
Beaney por haber inspirado este trabajo y aSignos Filosficos y
Slvio Pinto en especial, por haberme invitado a escribir al
respecto. Tambin deboagradecer a Marco Panza sus valiossimos
comentarios y entusiasmo por el presente proyecto.
Igualmente,gracias a los rbitros annimos por sus recomendaciones y
muestras de aquello que los angloparlantesllaman encouragement.
Finalmente, agradezco a Martha Laura Trevio las revisiones de
estilo y ortografa quetanto necesitaba mi manuscrito original.
Diferentes versiones de este trabajo fueron presentados en el
XXSimposio del Instituto de Investigaciones Filosficas de la UNAM y
el Seminario sobre Razonamiento yHeurstica del mismo Instituto. La
investigacin en la que est basado este artculo fue llevada a cabo
conel apoyo del proyecto de instalacin DGAPA/UNAM Problemas
Filosficos de la Forma Lgica.
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30 AXEL ARTURO BARCEL ASPEITIA
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