ASPECTOS TEORICOS EDPs

7/28/2019 ASPECTOS TEORICOS EDPs

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METODOS NUMERICOS EN INGENIERIATEMA: SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (EDP)EDWIN MARTIN PINO VARGASESCUELA DE INGENIERIA GEOLOGICA-GEOTECNIA, UNJBG TACNA

TELEFONOS: 952298638, 241595, #701907 E-MAIL: [email protected]

METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA

TEMA: ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (EDP)

Contenido

1. Introduccin ......................... .......................... .......................... ......................... .......................... .. 2

2. Clasificacin Matemtica ....................... .......................... ......................... ........................... .......... 2

2.1. Ecuaciones Elpticas ......................... .......................... ......................... ......................... ....... 3

2.2. Ecuaciones Parablicas ........................ .......................... ......................... .......................... .. 4

2.3. Ecuaciones Hiperblicas ....................... .......................... ......................... .......................... .. 4

3. Resolucin Numrica de las EDP .......................... ......................... .......................... ....................... 5

3.1. Ecuaciones Elpticas ......................... .......................... ......................... ......................... ....... 5

3.2. Ecuaciones Parablicas ........................ .......................... ......................... .......................... .. 7

3.2.1. Mtodo Explcito ......................... .......................... ......................... ........................... .......... 8

3.2.2. Mtodos Implcitos. ......................... .......................... ......................... ......................... ..... 10

3.2.2.1. Mtodo Implcito Simple ...................................................................................... 10

3.2.2.2. Mtodo Implcito de Crank - Nicolson ......................... ......................... ................. 12

4. Ecuaciones Hiperblicas ......................... .......................... ......................... ........................... ........ 13

4.1. Mtodo Explcito ......................... .......................... ......................... ........................... ........ 14

4.2. Mtodo Implcito ........................ .......................... ......................... ........................... ........ 17


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1. IntroduccinA modo de introduccin a la resolucin numrica de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales

recordamos algunos conceptos bsicos vistos en cursos previos de Anlisis Matemtico:

Se denominan ecuaciones diferenciales parciales (EDP) a aquellas ecuaciones que involucranderivadas parciales de una funcin desconocida con dos o ms variables independientes.

Se denomina orden de una ecuacin diferencial al orden de la derivada ms alta que exista en dichaecuacin.

Una ecuacin diferencial parcial lineales aquella que es lineal en la funcin desconocida y en todassus derivadas, con coeficientes que dependen solo de las variables independientes de la funcin.

Vemos a continuacin distintos ejemplos de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales:

ordensegundodelinealnoxy

uux

x

u

ordentercerdelinealnox

yx

u6

x

u

ordentercerdelinealy5u8y

ux

yx

u

ordensegundodelineal1uy

uyx2

x

u

2

2

2

33

2

2

2

2

2

3

2

2

2

2

.. (1)

La mayora de los problemas fsicos y de ingeniera de importancia prctica estn descriptos por este

tipo de ecuaciones diferenciales, y fundamentalmente por ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Por ello el tratamiento de las EDP que se desarrollar en lo sucesivo se concentrar sobre ecuaciones

lineales de segundo orden.

2. Clasificacin MatemticaLas ecuaciones diferenciales de segundo orden en derivadas parciales pueden expresarse de formageneral como:

0y

u

x

u2

2

2

2

.. (2)


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0Dy

uC

yx

uB

x

uA

2

22

2

2

.. (3)

Donde A, B y C son funciones de x y de y, y D es una funcin de x, y, u, u/x y u/y. Es decir que

estamos asumiendo que esta ecuacin es lineal.

Dependiendo de los valores de los coeficientes de los trminos de la segunda derivada A, B y C, la

anterior ecuacin puede clasificarse en una de las tres categoras siguientes:

Esta clasificacin es til por dos razones:

Cada grupo est asociado a diferentes problemas especficos de ingeniera. Cada grupo requiere tcnicas de solucin especiales.La terminologa utilizada para clasificar a las ecuaciones surge por analoga con la utilizada en la

clasificacin de ecuaciones generales de segundo orden en la geometra analtica. Es importante notar

que para los casos donde A, B y C dependen de x y de y, la ecuacin puede estar en una categora

diferente, dependiendo del dominio para el cual se quiere calcular dicha ecuacin.

2.1. Ecuaciones ElpticasEste tipo de ecuaciones permite resolver los llamados problemas de equilibrio, que son problemas

donde se busca la solucin de una ecuacin diferencial dada, en un dominio cerrado, sujeta a

condiciones de frontera prescriptas. Es decir que los problemas de equilibrio son problemas de

condiciones de frontera. Los ejemplos ms comunes de tales problemas incluyen a distribuciones

estacionarias de temperatura, flujo de fluidos incompresibles no viscosos, distribucin de tensiones en

slidos en equilibrio, el campo elctrico en una regin que contenga una densidad de carga dada, y en

general problemas donde el objetivo sea determinar un potencial.


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2.2. Ecuaciones ParablicasEste tipo de ecuaciones permite resolver los denominados problemas de propagacin que son

problemas de transitorios donde la solucin de la ecuacin diferencial parcial es requerida sobre un

dominio abierto, sujeta a condiciones iniciales y de frontera prescritas. Los ejemplos ms comunes de

estos problemas incluyen a problemas de conduccin de calor, problemas de difusin, y en general

problemas donde la solucin cambia con el tiempo.

2.3. Ecuaciones HiperblicasLas ecuaciones hiperblicas tambin tratan con problemas de propagacin, como por ejemplo la

ecuacin de la onda, pero con la distincin de que aparece una segunda derivada respecto del tiempo.

En consecuencia la solucin consiste en distintos estados caractersticos con los cuales oscila el sistema.

Es el caso de problemas de vibraciones, ondas de un fluido, transmisin de seales acsticas yelctricas.


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3. Resolucin Numrica de las EDPLas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, tanto las elpticas como las parablicas e

hiperblicas, pueden ser resueltas sustituyendo planteando distintos esquemas numricos donde las

derivadas parciales son reemplazadas por su aproximacin en diferencias finitas divididas.

A continuacin trataremos cada uno de los tres grupos antes mencionados de EDP.

3.1. Ecuaciones ElpticasPara abordar la resolucin numrica de las ecuaciones elpticas utilizaremos como caso de estudio a la

ecuacin de Laplace por ser utilizada en diversas reas de ingeniera donde se trata con problemas que

involucran la determinacin de un potencial. Por ser un problema simple de plantear y resolver

utilizaremos el caso de flujo de calor en rgimen estacionario en una placa delgada. La expresin es:

0y

u

x

u2

2

2

2

.. (4)

Para abordar la solucin numrica, trataremos a la placa como una malla de puntos discretos (nodos)

donde plantearemos la representacin en diferencias finitas de la ecuacin diferencial, lo cual

transforma a la EDP en una ecuacin algebraica en diferencias. Utilizando diferencias finitas centradas

de segundo orden, entonces podemos escribir:

)uu2(ux

1

x

uj1,iji,j1,i2

ji,2

2

... (5)

y

)uu2(uy

1

y

u1j1,ji,1ji,2

ji ,2

2

... (6)

Reemplazando estas expresiones en la EDP, queda:

0)uu2(uy

1)uu2(u

x

11j1,ji,1ji,2j1,iji,j1,i2

. (7)

0uy

1u

y

1u

x

1u

y

1

x

12u

x

11j1,21j1,2ji,12ji,22j1,i2

. (8)

Las condiciones de borde o de frontera deben estar especificadas para que exista una solucin nica.

Existen dos posibilidades en cuanto a condiciones en la frontera:


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Especificar el valor de la funcin en el borde. Es la forma ms simple y se la conoce como condicin de

frontera de Dirichleto condicin forzada.

Especificar el valor de la derivada en la frontera. En general la derivada que se especifica es en ladireccin normal al borde (flujo). Esta condicin es conocida como condicin de Neumann o condicin

natural. Esta condicin es de la forma:

an

u

... (9)

Donde n es la direccin normal al borde, y a es el valor.

La expresin de esta condicin utilizando diferencias centrales es, para n = x:

x2uu

xu

nu j1,ij1,i

... (10)

y para n = y

y2

uu

y

u

n

u 1ji,1j1,

... (11)

Al imponer el cumplimiento de esta condicin en los puntos de la frontera del dominio, se obtendrn

las expresiones correspondientes a los puntos que por aplicacin del operador de diferencias han

quedado fuera del dominio, y reemplazarlos en las correspondientes ecuaciones.

Debe tenerse presente que si solamente se especifican condiciones de Neumann, existirn infinitas

soluciones. Por lo tanto para obtener una nica solucin deber especificarse al menos una condicin

de tipo Dirichlet en algn punto de la frontera.

Adems de los valores de la funcin potencial suele interesar el valor de variables secundarias. En

general estas variables estn asociadas al valor del flujo en cada punto del dominio y en las fronteras

donde se ha especificado una condicin forzada. En un caso podr representar el flujo de energa, en

otro ser la velocidad, etc. Estas variables secundarias o derivadas estn vinculadas con la derivada del

potencial a travs de una constante (o funcin) que multiplica al valor de la derivada en el punto. Por

ejemplo, para un problema de transmisin de calor ser el flujo de calor, para el escurrimiento de unfluido en un medio poroso ser el campo de velocidades.

j1,ij1,ix uux

uq

... (12)

Flujo en la direccin x


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1ji,1ji,y uuy

uq

... (13)

Flujo en la direccin y

3.2. Ecuaciones ParablicasAbordaremos el estudio del tratamiento de este tipo de ecuaciones mediante la resolucin de la

ecuacin de conduccin del calor en una dimensin. No debe perderse de vista que los mtodos que se

desarrollaran a continuacin son de aplicacin a todas las ecuaciones que correspondan a esta

clasificacin. La ecuacin de conduccin de calor unidimensional es:

t

T

x

Tk

2

2

... (14)

En esta ecuacin la funcin Tes la temperatura que depende dexy de t, xes la variable independiente

espacial, tes la variable independiente temporal, y kes el coeficiente de difusividad trmica [cm2

/ s].

Un esquema tpico que representa este tipo de problemas es el siguiente:

En este caso hay que considerar que la solucin presenta cambios en el espacio y en el tiempo. La malla

usada para la resolucin por diferencias finitas de las EDP con dos variables independientes puede ser

representada por:


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3.2.1. Mtodo ExplcitoLa ecuacin de conduccin del calor que estamos tratando requiere de dos aproximaciones. Para la

derivada segunda respecto de la variable espacial x, podemos hacerla con una diferencia dividida

centrada con una aproximacin de segundo orden:

2

l1i

li

l1i

2

2

x

TT2T

x

T

... (15)

y una diferencia dividida finita hacia delante para aproximar a la derivada en el tiempo:

t

TT

t

Tli

1li

... (16)

De la aproximacin adoptada para la variable x, utilizando operadores que corresponden a una

interpolacin limitada de segundo orden, surge que el error de truncamiento para x es del orden de

O(x3 ). De la misma forma, para la variable t, donde utilizamos un operador que corresponde a una

interpolacin limitada de 1er orden, surge que el error de truncamiento para t es del orden de O(t2

).

Sustituyendo en la ecuacin:

t

T

x

Tk

2

2

... (17)

Se obtiene:

tTT

x

TT2Tk

li

1li

2

l1i

li

l1i

... (18)

Que puede ser expresada tambin como:

l

1ili

l1i

li

1li

TT2Tx

tkTT

2

... (19)

Y si hacemos 2x

tk , nos queda:

l1ilil1ili1li TT2TTT ... (20)


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Esta ecuacin, que puede ser escrita para todos los nodos interiores de la barra, proporciona un modo

explicito para calcular los valores en cada nodo para un tiempo posterior, con base en los valoresactuales del nodo y sus vecinos. Esto puede ser esquematizado mediante la siguiente representacin:

Si las condiciones de contorno son del tipo forzada o de Dirichlet, donde el valor de la funcin incgnita

es conocido, la ecuacin anterior no debe ser aplicada en los puntos de la frontera, puesto que all no

hay incgnitas.

Las condiciones de contorno o de frontera del tipo de Neumann (o condicin natural) pueden ser

incorporadas sin inconvenientes a las ecuaciones parablicas, de la misma manera que con las elpticas.

En el caso particular de la ecuacin de conduccin de calor unidimensional, debern agregarse dosecuaciones para caracterizar el balance de calor en los nodos extremos. Por ejemplo en el nodo inicial

escribiramos:

l1l0l1-l01l0 TT2TTT ... (21)

Donde el punto (-1) es exterior al dominio de anlisis. Este punto puede escribirse en funcin de los

interiores utilizando las condiciones de contorno que correspondan. En este caso:

x

TCkqx

... (22)

Utilizando una diferencia dividida finita centrada de segundo orden para aproximar a la derivada

respecto de la variable espacial x:

x2

TT

x

T l1il1i-

... (23)


10/17



Entonces nos queda:

Ck

qx2TT

x2

TTCk

x

TCkq

xl1

l1-

l1

l1-

x

... (24)

Luego, obtenemos la ecuacin para el primer punto:

Ck

qxTT2TTT2

Ck

qx2TTT xl0

l1

l0

l1

l0

xl1

l0

1l0

... (25)

De la misma manera se puede obtener una ecuacin para ser aplicada en el ltimo punto.

3.2.2. Mtodos Implcitos.3.2.2.1. Mtodo Implcito SimpleLos mtodos implcitos superan las dificultades de convergencia y estabilidad presentes en los mtodos

explcitos, esto es proporcionan esquemas numricos incondicionalmente estables, a expensas de usar

algoritmos algo ms complicados. El hecho de que sean incondicionalmente estables significa que la

solucin ser estable para cualquier relacin que exista entre x y t, a diferencia de los mtodos

explcitos que son condicionalmente estables. La diferencia fundamental entre ambas aproximaciones

reside en que en la forma explcita aproximamos la derivada espacial en el nivel de tiempo l, de modo

que nos quedaba una ecuacin con una sola incgnita1l

iT

, que podamos despejar en forma explcita.

En la forma implcita la derivada espacial es aproximada en un nivel de tiempo posterior l +1 de modo

que quedan ms de una incgnita en una misma ecuacin impidiendo la resolucin en forma sencilla

como ocurra en el mtodo explicito.

Esta diferencia fundamental puede apreciarse claramente en la siguiente figura:


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Entonces, por quedar una ecuacin con varias incgnitas, que no puede ser resuelta explcitamente el

sistema completo de ecuaciones que se originar debe resolverse simultneamente. Esto es posible

porque junto con las condiciones de frontera, las formas implcitas dan como resultado un conjunto de

ecuaciones lineales algebraicas con el mismo nmero de incgnitas. Entonces el mtodo se reduce a laresolucin de un conjunto de ecuaciones simultneas para cada instante de tiempo.

La ecuacin de conduccin del calor que estamos tratando requiere de dos aproximaciones. Para la

derivada segunda respecto de la variable espacial x, podemos hacerla con una diferencia dividida

centrada con una aproximacin de segundo orden, con el error de truncamiento que hemos discutido

con anterioridad:

2

1l1i

1li

1l1i

2

2

x

TT2T

x

T

... (26)

Y una diferencia dividida finita hacia delante para aproximar a la derivada en el tiempo:

t

TT

t

T li1l

i

... (27)

Sustituyendo en la ecuacin:

t

T

x

Tk

2

2

... (28)

Se obtiene:

tTT

x

TT2Tk

li

1li

2

l11i

1li

1l1i

... (29)

Que puede ser expresada tambin como:

li1l1i

1li

1l1i- TTT21T-

... (30)

Donde:

2x

tk

... (31)

Esta ecuacin se aplica en todos los nodos excepto en el primero y el ltimo. Para estos puntos valen

las apreciaciones hechas en el caso anterior respecto de las condiciones de contorno. Vale destacar que

el sistema de ecuaciones que se forma al aplicar este mtodo es tridiagonal, y que existen algoritmos

muy eficientes para la resolucin de este tipo de sistemas, como por ejemplo el mtodo de Thomas.


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3.2.2.2. Mtodo Implcito de Crank - NicolsonEl mtodo de Crank Nicolson proporciona un esquema implcito de mayor exactitud que el mtodo

implcito simple visto anteriormente. Esto se logra desarrollando las aproximaciones por diferencias en

el punto medio del incremento en el tiempo.

Para hacer esto la primera derivada temporal puede ser aproximada en tl+1/2 por:

t

TT

t

TT

t

TT

t

T li1l

i/1l

i/1l

i

222

1l221l

... (32)

La segunda derivada en el espacio puede se determinada en el punto medio al promediar las

aproximaciones por diferencias al inicio (tl ) y al final (tl+1 ) del intervalo del incremento del tiempo:

21l1i1li1l1i

2l1ilil1i

22

x

TT2T

x

TT2T21

xT .... (33)

Sustituyendo en la ecuacin de conduccin de calor queda:

tTT

x

TT2T

x

TT2T

2

k li1l

i2

1l1i

1li

1l1i

2

l1i

li

l1i

..... (34)

Reordenando:

li

1li

1l1i

1li

1l1i

l1i

li

l1i2

TTTT2TTT2Tx2

kt

..... (35)

Si hacemos 2x

kt

y reemplazamos:

l1ili

l1i

1l1i

1li

1l1i

l1i

li

l1i

li

1li

1l1i

1li

1l1i

l1i

li

l1i

li

1li

1l1i

1li

1l1i

li

1li

1l1i

1li

1l1i

l1i

li

l1i

TT22TTT22T

TT2TT2T2TT2T

TT2T

2

TTTT2T

2

TTTT2TTT2T2

..... (36)


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Esta ecuacin se aplica en todos los nodos excepto en el primero y el ltimo. Para estos puntos valen

las apreciaciones hechas en el caso anterior respecto de las condiciones de contorno. En las figurassiguientes puede apreciarse la diferencia entre las molculas computacionales del mtodo implcito

simple (a) y el mtodo implcito de Crank Nicolson (b).

(a) Molculas computacionales del mtodo implcito simple

(b) Molculas computacionales mtodo implcito de Crank Nicolson

4. Ecuaciones HiperblicasComo hicimos en los casos anteriores abordaremos el estudio del tratamiento de este tipo de

ecuaciones mediante la resolucin de una ecuacin particular, pero no debe perderse de vista que los

mtodos que se desarrollaran a continuacin son de aplicacin a todas las ecuaciones que

correspondan a esta clasificacin. La ecuacin a tratar en esta oportunidad es la ecuacin de la onda

unidimensional, cuya expresin es:


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2

2

2

2

t

u

x

u

... (37)

Donde:

u = u(x,t) es la funcin posicin.

2c

1 Siendo c la velocidad de propagacin en el medio.

En este caso, al igual que para las ecuaciones parablicas, debemos conocer las condiciones iniciales

del problema para poder hallar la solucin. Entonces tendremos que:

f(x)x,u 0 ... (38)

Es la configuracin del sistema para t= 0 y

g(x)t

u

0

... (34)

Es la velocidad inicial del sistema para t= 0

Como en el caso de las ecuaciones parablicas pueden plantearse esquemas numricos explcitos e

implcitos.

4.1. Mtodo ExplcitoEl esquema numrico que se obtiene en este caso surge de reemplazar las derivadas por su

aproximacin utilizando diferencias centrales en una interpolacin limitada de segundo orden.

Haciendo esto nos queda la expresin:

1lili1li2

l1i

li

l1i2

uu2ut

uu2u

x

1

... (39)

En esta ecuacin puede apreciarse que la nica incgnita es1l

iu

la cual puede despejarse

explcitamente de la expresin anterior:

1lilil 1ilil 1i2

21l

i uu2uu2ux

tu

.... (40)

Para simplificar la notacin llamaremos

2

22

x

tr , quedando:


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1lil 1i2li2l 1i21li

1li

li

l1i

li

l1i

21li

uurur22uru

uu2uu2uru

.... (41)

Esta ecuacin, que puede ser escrita para todos los nodos interiores del dominio, proporciona un modo

explicito para calcular los valores en cada nodo para un tiempo posterior (nodo i en el tiempo l+1), con

base en los valores actuales del nodo y sus vecinos (nodos i-1, 1 e i+1 en el tiempo l) y a un valor

anterior del nodo considerado (nodo i en el tiempo l-1).

Respecto de las condiciones de contorno, si estas son del tipo forzada o de Dirichlet, donde el valor de

la funcin incgnita es conocido, la ecuacin anterior no debe ser aplicada en los puntos de la frontera,

puesto que all no hay incgnitas. Si las condiciones de contorno son del tipo de Neumann (o condicin

natural) pueden ser incorporadas sin inconvenientes a las ecuaciones hiperblicas mediante la

utilizacin de una condicin del tipo:

l 1il 1i

l1i

l1i

uux2

1t)n(l,

x

tl,u

uux2

1t)m(0,

x

t0,u

... (42)

Donde hemos utilizado una diferencia dividida finita centrada de segundo orden para aproximar a la

derivada respecto de la variable espacial x. 0 y l son los extremos del dominio espacial y m y n

funciones de t o constantes. De esta forma ser posible expresar a los puntos exteriores al dominio en

funcin de los interiores. Luego, aquellos son reemplazados en la ecuacin general y se obtiene una

ecuacin para ser aplicada al primero o al ltimo punto del dominio, en el caso de que en alguno de

ellos la condicin de contorno sea del tipo natural. Por otro lado si planteamos la resolucin para el

primer instante de tiempo posterior al tiempo inicial la expresin general queda:

1-i0 1i20i201i21i uurur22uru ... (43)

Se observa que ha quedado en la ecuacin un punto correspondiente a un tiempo anterior al inicial.

Trataremos de eliminar esa incgnita haciendo uso de la condicin inicial en la cual tenemos prescrita

el valor de la derivada primera de la funcin u respecto de t en el tiempo inicial t0. Utilizando la

diferencia central como aproximacin a la condicin de derivada primera respecto de t queda:

i1i1i guu2

1

... (44)

Despejando el punto exterior, expresndolo en funcin del interior, y reemplazando, se obtiene:


16/17



i0 1i20i201i2211i gt2urur12uru

... (45)

El mtodo explcito, al igual que en las ecuaciones parablicas, es de muy sencilla aplicacin pero

presenta el inconvenientes de que el valor de la funcin, calculado en un punto P genrico solo

depende de los valores de la funcin en los puntos del dominio marcados con una X en la siguiente

figura :

Este conjunto de puntos es llamado dominio de dependencia numrica del punto P. Esto significa que

para encontrar la solucin en P es necesario conocer previamente la solucin en cada uno de estos

puntos.

Como vemos, en esta situacin el valor obtenido en P no depende ni de las condiciones inicialesdefinida para los segmentos DA y BE ni de las condiciones de contorno definidas en los extremos del

intervalo. Si hacemos la suposicin de que tales condiciones cambian, es obvio que el valor real de la

funcin en P se ver afectado. Sin embargo esta situacin no se refleja en nuestro clculo numrico

mediante la aplicacin del mtodo explcito.

Courant, Friedrichs y Lewy demostraron que este esquema numrico converge si se cumple con la

condicin:

1r0

Donde r est definido por la expresin:

2

22

x

tr

... (46)

Tambin se demostr que la estabilidad de la solucin obtenida queda asegurada cuando se verifica

que:


17/17


1r

Entonces, la convergencia y estabilidad del esquema numrico explcito quedan aseguradas cuando se

cumple con ambas condiciones en forma simultnea, es decir cuando:

1r0

4.2. Mtodo ImplcitoPara salvar los inconvenientes detallados con anterioridad en el esquema explcito aplicado a este tipo

de ecuaciones, es posible plantear un esquema implcito al costo de perder simplicidad en la

resolucin, puesto que en este caso deberemos resolver un sistema de ecuaciones para hallar la

solucin.

Siguiendo con el ejemplo de la ecuacin de la onda, pero sin perder de vista que el procedimiento

puede generalizarse para todas las ecuaciones de este tipo, tenemos que uno de los esquemasnumricos ms utilizados es:

1l1ii

1lii

1l1ii4

1

l1ii

lii

l1ii2

11l1ii

1lii

1l1ii4

1

21l

ili

1li2

uu2u

uu2uuu2u

x

1uu2u

t

1

(47)

Este se obtiene al reemplazar las derivadas por diferencias centrales en una interpolacin limitada de

segundo orden. Como vemos, en este esquema la derivada segunda respecto de x se plantea como un

promedio ponderado de la misma aplicada en los instantes de tiempo actual (l), anterior (l-1) y

posterior (l+1).

Este operador lleva a obtener un sistema de ecuaciones tridiagonal, y es incondicionalmente estable

para todo valor dex

tr .

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