Aspectos matemáticos en la música
Aspectos matemáticos en la música
Benson: ofrenda matemática
1. Acústica, ondas, armónicos2. Fourier3. Matemática de los instrumentos4. Consonancia y disonancia5 y 6. Escalas y temperamentos7. Música digital8. Síntesis del sonido musical9. Simetrías
Béla BártokMúsica para cuerdas, percusión y
celesta
Pequeña digresión
Primer movimiento
89 compases, 55 + 34 55 = 34 (con sordina) + 21 (sin sordina)
Sucesión de Fibonacci
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 ... → 1,618...
Series dodecafónicas
Número de seriesLema (Burnside): Sea G un grupo finito que actúa sobre las permutaciones de un conjunto finito X.
Para g en G, sea n(g) el número de puntos fijos de g. Entonces el número de órbitas de G en X es
Operaciones
T = trasposiciónT4(5 8 1) = 9 0 5
R = retrogradaciónR(5 8 1) = 1 8 5
I = inversiónI(5 8 1) = 7 4 11
Iannis Xenakis: Strategie (1962)
Música = conflicto
Tácticas básicas
I. Vientos (madera y metal)II. PercusiónIII. Toques con la mano en la caja de resonanciaIV. Efectos puntillistas con instr. de cuerdaV. Glissandi con instr. de cuerdaVI. Armonías continuas (cuerdas)
Compatibilidad de las “tácticas”
192 = 361 jugadas posibles en cada turno
Reglas del juego (finito de suma cero)
1. Elección arbitraria de tácticas
2. Matriz de pagos (con símbolos que permiten distinguir las cualidades sonoras de las tácticas)
Matriz del juego
Reglas del juego
3. Duración de los turnos ≥ 10 segundos.
4. Puntuación: por ejemplo, con un árbitro.
5. Ejecución de tácticas: de manera cíclica hasta que el director haga señal de parar. El director indica el número de táctica y la letra con unas
tarjetas que muestra a la orquesta.
6. Resultado: gana el que obtiene más puntos.
Versión de la Yomiuri Nippon Symphony Orchestra
A moverse con EuclidesAlgoritmo de división: D = C * d + r
Máximo común divisor
159 = 7 * 21 + 12
21 = 1 * 12 + 9
12 = 1 * 9 + 3
9 = 3 * 3 + 0
MCD(159,21) = MCD(21,12) = MCD(12,9)= MCD(9,3)= 3
Ritmos euclideanos
17 = 2 * 7 + 3
1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0
1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 01 1 10 0 0
Ritmo E(7,17): 10010100101001010
7 = 3 * 2 + 1
E(2,3) 110 → 101
cueca
E(2,5) 11000 → 1 1 0 → 10100 0 0
Tchaikovsky
E(5,11) 11111000000 → 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 → 10101010100
Mussorgsky
E(3,7) 1110000 → 1 1 1 0 0 0 0→ 1010100
Money (Pink Floyd)