ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito. Una definición más formal es: DEFINICIÓN Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función. Las asíntotas se clasifican en: a. Asíntotas verticales (paralelas al eje OY) Si existe un número “a” tal, que : La recta “x = a” es la asíntota vertical. Ejemplo: es la asíntota vertical.
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ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN
Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.
Una definición más formal es:
DEFINICIÓN
Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.
Las asíntotas se clasifican en:
a. Asíntotas verticales (paralelas al eje OY)
Si existe un número “a” tal, que :
La recta “x = a” es la asíntota vertical.
Ejemplo:
es la asíntota vertical.
b. Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX)
Si existe el límite: :
La recta “y = b” es la asíntota horizontal.
Ejemplo:
es la asíntota horizontal.
c. Asíntotas oblicuas (inclinadas)
Si existen los límites: :
La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua.
Ejemplo:
es la asíntota oblicua.
Nota-1
Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir la existencia de unas, implica la no existencia de las otras.
Nota-2
En el cálculo de los límites se entiende la posibilidad de calcular los límites laterales (derecho, izquierdo), pudiendo dar lugar a la existencia de asíntotas
por la derecha y por la izquierda diferentes o solo una de las dos.
Posición relativa de la función con respecto a la asíntota
Para estudiar la posición relativa de la función con respecto a la asíntota, primero calcularemos los puntos de corte de ambas resolviendo el sistema:
Estos puntos determinan los cambios de posición de la función respecto de la asíntota. Estos cambios quedarán perfectamente establecidos estudiando el
SIGNO[f(x)-Asíntota].
Ejemplo:
La función tiene por asíntota oblicua la recta
Calculamos los puntos de intersección de ambas:
El punto de corte de las dos funciones es P(2/3, 8/3).
Ahora estudiamos el signo de FUNCIÓN-ASÍNTOTA.
Esto nos indica que en el intervalo la función está por encima de la
asíntota y en el intervalo la función está por debajo de la asíntota.
Se dice que y = f(x) tiene una asíntota vertical en x=a si o alguno (o ambos) de los límites laterales vale . Es decir, puede haber asíntota vertical por la derecha, por la izquierda o por ambos lados. La posición de la curva respecto a la asíntota dependerá del signo de los límites laterales. Como ejemplo, determinar la asíntota vertical y su posición con respecto a la gráfica de la función
B2) Asíntotas horizontales.
Se dice que y = f(x) tiene una asíntota horizontal en y=b si . La asíntota
puede aparecer cuando La posición de la gráfica de la función respecto a la asíntota vertical se determina estudiando si el signo de f(x) - b es positivo o negativo cuando . Como ejemplo, determinar la asíntota horizontal y su posición con respecto a la gráfica de la función
B3) Asíntotas oblicuas. Dada la función y = f(x), si se verifica que
a) b) c)
entonces se dice que y = mx + h es una asíntota oblicua de dicha función para .
La asíntota puede aparecer cuando Para estudiar la posición de la gráfica de la función con respecto a la asíntota basta estudiar el signo de f(x)-(mx + h). Como ejemplo, determinar la asíntota oblicua y su posición con respecto a la gráfica de la función
Objetivos Mínimos
Conocer los conceptos de límite de una función en un punto (tanto finito como infinito) y de límite en el ± .
Saber calcular límites de cocientes de polinomios. Saber determinar las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de una
función . Conocer el concepto de límite lateral y su relación con el de límite. Conocer las propiedades algebraicas del cálculo de límites, los tipos principales
de indeterminación que pueden darse y las técnicas para resolverlas. Conocer el concepto de continuidad de una función en un punto, incluida la
continuidad lateral, y, como consecuencias elementales, la conservación del signo y la acotación de la función en un entorno del punto.
Saber donde son continuas las funciones elementales . Conocer los distintos comportamientos de discontinuidad que pueden
aparecer y saber reconocerlos usando los límites laterales. Saber determinar la continuidad de las funciones definidas a trozos. Conocer el concepto de continuidad de una función en un intervalo y qué
significa eso en los extremos del intervalo. Conocer el teorema del valor intermedio de Bolzano y su aplicación a la
localización de ceros de una función y al dibujo de gráficas de funciones que se cortan.
Conocer el teorema de existencia de extremos absolutos de Weierstrass y, como consecuencia, que toda función continua en un intervalo cerrado y acotado está acotada y alcanza sus extremos.
LÍMITES Y CONTINUIDAD
Como les dije en la Tutoría aquí hay mucho más ejercicios de los que hicimos pero todos les van a servir ( fijarse que están en desorden ) Suerte en la Solemnes Saludos Tomás
Problema 1
Calcule el límite para las siguientes funciones:
a) b) c)
SOLUCIÓN:
a)
b)
c) Como , se tiene que:
Calculando límite a:
Por lo tanto por teorema del sándwich:
Problema 2
Demuestre a través de la definición de límite que:
SOLUCIÓN:
Problema 3
Calcule el límite para la siguiente función:
SOLUCIÓN:
Problema 4
Obtenga utilizando límites, las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas
para las siguientes funciones:
a) b)
SOLUCIÓN:
a) Asíntotas verticales:
y
Por lo tanto es asíntota vertical.
Asíntotas Oblicuas:
Por lo tanto existe una asíntota oblicua en
b) Asíntotas verticales:
, por lo tanto y son asíntotas verticales.
Asíntotas oblicuas:
Por lo tanto hay asíntotas oblicuas en y en .
Problema 5
Calcule el siguiente límite:
SOLUCIÓN:
Problema 6
Sea . Calcule . (Asuma que )
SOLUCIÓN:
Diferencia de cubos
Problema 7
Calcule:
SOLUCIÓN:
Aplicamos álgebra de límites
Problema 8
Calcule:
SOLUCIÓN:
Problema 9
Demuestre que y úselo para calcular
SOLUCIÓN:
Demuestre que y úselo para calcular
Utilizando límite conocido:
Tenemos que:
Para tenemos que:
Donde , por lo que
Problema 10
Calcule:
SOLUCIÓN:
Problema 11
Calcule:
SOLUCIÓN:
Sea :
Por lo tanto :
=
Luego:
Problema 12
Sea . Calcule (asuma que )
SOLUCIÓN:
Problema 13
Calcule el límite para cada una de las siguientes funciones:
a) b) c)
SOLUCIÓN:
a)
b)
c) Como , se tiene que:
Calculando límite a:
Por lo tanto por teorema del sándwich:
Problema 14
Determine, si existen, todas las asíntotas de la siguiente función:
SOLUCIÓN:
Asíntotas Verticales:
Punto crítico en la función
Ahora:
Por lo tanto existe una asíntota vertical en
Asíntotas Oblicuas:
LA forma de la asíntota oblicua es
En este caso, primero:
La pendiente de la asíntota es 3.
Ahora:
El punto de intersección con el eje y es en -3.
Así la asíntota oblicua queda
Problema 15
Obtenga los valores de a, b, x, de modo que f sea continua.
SOLUCION:
i) Para , es continua, pues es una función constante
ii) Para , es continua, excepto posiblemente para el valor
de x, tal que:
iii) Para , pues es una función constante:
Análisis:
Caso 1: x = 0
Para que exista, los límites laterales deben ser iguales, por lo tanto:
Caso 2: x = 1
Para que exista, los límites laterales deben ser iguales, por lo tanto:
Finalmente, se observa que:
Por lo tanto, debe excluirse del intervalo (dominio), así la función será
continua en todos los valores de los reales excepto en . Rescribiéndose la
función.
Problema 16
Sea dada por
i) Pruebe que f es continua y estrictamente decreciente en .
ii) Demuestre que o es continua y creciente en .
SOLUCIÓN:
Sea dada por
iii) Pruebe que f es continua y estrictamente decreciente en .
iv) Demuestre que o es continua y creciente en .
;
i) f es continua y estrictamente decreciente en .
En efecto, las funciones y son continuas en
(son polinómicas) y es continua al ser cuociente de
continuas.
Así es suma de continuas y luego
continua. También, es decreciente y es
estrictamente creciente por lo que es estrictamente
decreciente de modo que es suma de funciones, una
decreciente y la otra decreciente estricta. Así, es
estrictamente decreciente.
ii) es continua y creciente en .
En efecto, es composición de funciones continuas y por lo
tanto es continua.
Además, como f es decreciente
es decir , es decir f o f es creciente.
Problema 17
Considere la función definida por
si
0 si
i) Justifique porque f es continua .
ii) Pruebe que si , entonces f es continua .
iii) Para , utilice la sucesión para probar que f es
no continua en . Justifique.
SOLUCIÓN:
Problema 18
Sea:
Determinar de modo que
SOLUCIÓN:
Calculando los límites laterales:
Ahora:
Luego, el si , esto es:
Problema 19
Sea la función definida por:
Determinar los valores de a y b para que la función sea continua en 0 y 4.
SOLUCIÓN:
Nos están pidiendo los puntos en que cambia la definición de la función: 0 y
4.
Problema 20
Calcular, si es que existe, el
SOLUCIÓN:
Observemos que:
Si x<1, entonces x-1 < 0 y
Si x>1, entonces x-1 > 0 y
Además
Por lo tanto
Por otra parte
Dado que los límites laterales son distintos no existe
Problema 21
i) Muestre haciendo uso de la definición, que
SOLUCIÓN:
Nos dicen, demuestre que
Pd:
EE:
Acotando (x+2)
ii) Calcular . Justifique cada paso.
SOLUCIÓN:
Problema 22
REPETIDO
Sea:
Determinar de modo que
SOLUCIÓN:
Calculando los límites laterales:
Ahora:
Luego, el si , esto es:
Problema 23
Sea
Obtenga los valores de a, b, y x, de modo que f sea continua.
SOLUCION:
i) Para , es continua, pues es una función constante
ii) Para , es continua, excepto posiblemente para el valor
de x, tal que:
iii) Para , pues es una función constante:
Análisis:
Caso 1: x = 0
Para que exista, los límites laterales deben ser iguales, por lo tanto:
Caso 2: x = 1
Para que exista, los límites laterales deben ser iguales, por lo tanto:
Finalmente, se observa que:
Por lo tanto, debe excluirse del intervalo (dominio), así la función será
continua en todos los valores de los reales excepto en . Rescribiéndose la