Асимптотическая нормальность в классической задаче о ...

Math-Net.RuОбщероссийский математический портал

Б. А. Севастьянов, В. П. Чистяков, Асимптотическая нор-мальность в классической задаче о дробинках, Теория ве-роятн. и ее примен., 1964, том 9, выпуск 2, 223–237

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразу-

мевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 65.21.229.84

11 марта 2022 г., 21:45:41

Т Е О Р И Я В Е Р О Я Т Н О С Т Е Й Том IX И Е Е П Р И М Е Н Е Н И Я Выпуск 2

1964

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ НОРМАЛЬНОСТЬ В КЛАССИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ О ДРОБИНКАХ

Б. А . СЕВАСТЬЯНОВ, В. П. ЧИСТЯКОВ

§ 1. Постановка задачи

Пусть п дробинок независимо друг от друга случайно бросаются в N-ящиков. Обозначим цг случайную величину, равную числу ящиков, в которых содержится ровно по г дробинок, г = О, 1,2, . . ., п. Значения тг случайных величин \х,г связаны двумя соотношениями

п п ^mr = N,^rmr = n. (1)

Совместный закон распределения цг, г = 0,1, . . ., п задается вероятностями

п N"Y[[(r\)mr тг\

Р {ц, = /пг, г = 0, ! , . . . , « } = г ^ ^ — , (2)

причем тг удовлетворяют (1). Рассматриваемая урновая схема встречается в литературе довольно час

то. Особенно интересен вопрос о предельных распределениях \ir, когда n,N-^°o. В книге С. Н. Бернштейна [1] показано, что при n,JV->oo и — = а + log N случайная величина \х0 в пределе распределена по закону

Пуассона с параметром е~а:

lim P {fx0 =. т} = Ле ' е

т\

Эрдеш и Реньи • [2] показали, что вообще '-при""«,'iV-^> оо' и — = с 4-- • . - . • - ' . . . . . . r . N

И-log N + г log log N случайная величина цл имеет предельное распределение •.•'-' • 1 " • " . - • • • - ' . " ' . > ' • ' Пуассона с параметром — е~а: Л

( * - ) ' : т\

. • , •

- ехр V Л I Г 1 lim Р {\иг = ш},,= -^-^ 'т— ехр —•,— е~

г\

224 Б. А. Севастьянов, В. П. Чистяков

Метод доказательства в [1] и [2] — это прямой анализ формул, выражающих допредельные вероятности P{\ir = m}. И. Вейс [3] методом моментов

я доказал асимптотическую нормальностьц0 при п, N—> оо,— = а. В этой работе мы доказываем методом перевала многомерную предельную локальную нормальную теорему для случайных величин \iri,\iri, . . .,{1Г5(где s ^ 1, О <; гг <^ г2 <С • • • <С rs —• какие-нибудь фиксированные целые числа) при

Одно из применений рассматриваемой схемы приведено в книге Уилкса [4]. Это так называемый непараметрический критерий пустых ящиков, который состоит в следующем. Для проверки того, что выборка хъ х2, . . ., хп произведена из генеральной совокупности с непрерывной функцией распределения F (х), ось х делится на N интервалов так, чтобы вероятности попадания xi в каждый из этих интервалов равнялись 1/N. Обозначим \х0 число интервалов, не содержащих ни одного xi, i = 1, . . ., п. Тогда наша гипотеза отвергается, если JJ,0 ^> С. Для расчета при больших п, N этого и других аналогичных критериев очень существенно знать предельные законы распределения случайных величин \хг, рассматриваемых в настоящей работе.

§ 2. Вывод производящих функций

Ниже мы будем обозначать иногда случайные величины цг, относящиеся к схеме с N ящиками и п дробинками, через цг(Ы,п). Введем производящую функцию

со со

Ф ™ ( 2 , i ) = 2 2 y P farW,п) = Щг-хК (3) А— 0 я=0

Теорема 1. Производящая функция Ф(гы> (г,х) равна

(4)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Разделим всю совокупность N ящиков на две группы по Ni и N2 — N — Nx ящиков. Запишем вероятность Р {цг (N, п) = — k} по формуле полной вероятности

p{ib(N,n) = k}= 2 2 c(^r(-^rp{Mtfi,/ii) = я,+ла=л kt+k2=k V " / \ Я J = h1}P{nf(Na,nt) = ka}. (5)

дг«1 Nn2

Здесь Сп1 —-—— — вероятность того, что из п дробинок пг дробинок по-

пало в первую группу ящиков, а п2 — во. вторую. Если умножить'обе час-

Асимптотическая нормальность в классической задаче о дробинках 225

Nn

ти равенства (5) на znxk и просуммировать по k и л, то мы получим п\

Ф ^ {г,х)^Ф(г^)(г,х)Ф(

г^)(г,х). Отсюда следует

<^lf)(z,x) = [Or(z,x)f,

где Фг (z, х) = Ф*1' (z,x). Производящая функция Фг (z, x) равна ег — zr zr

\-х —, так как Р{ц,Л(1,л) = 0} = 1, если п=Ф=г,и Р{цг(1,п) = 1} = 1, если п = г.

Следствие 1. Производящая функция СО

ф№ /z) = V JSh.(iV' п) = °} N" гП

я=о л !

равна Ф<">(2) = ^ _ ^ ) " (6)

В самом деле, в силу определения введенных выше производящих функций, ФгЫ) (z) = Ф(

ГЫ) (z, 0), поэтому (6) вытекает из (4).

Следствие 2. Вероятности P{\xr(N, п) = Щ следующим образом выражаются через вероятности P{\ir(N',n') = 0}:

Р{ц г (Ли) = Ф =

Эта формула получается, если разложить (4) по степеням х и воспользоваться производящей функцией (6).

Аналогичным образом доказывается более общая Теорема 2. Производящая функция

СО СО

= 22 — Р ^ = К . . . ,[XAs = ks} Zn х\\ . . X, ге=о ki &s=o n-

имеет следующий вид

Ф1г?)..,Лг,х1,....,х,) = Zri ,. ,ч , , 2's ег + — ( * ! - ! ) + . . . + - ^ - ( ^ - 1 ) • (8)

Из этой теоремы вытекают: Следствие 3. Производящая функция

< U (z> - 2 Р ^ = °- • • •' Vft = 0} ~ z» Л=0

3 Теория вероятностей и ее применения, Ла 2

226 Б. А.: Севастьянов, В. П. Чистяков

равна г, \N <^H"-tr---^) (9)

Следствие 4. Имеет место следующее равенство

P{\iri = ki, i = 1, . . ., s} N\ n\ kt\ . . . ks[(N — k)\ (r^b _ _ _. (j.^ks ^ _ ^ r ) ) .

X

X N^,r) \—.jfX l\-P{^l{N-k,n-(k,r)l-0,i.^l, ,s}, (10)

где k = kx + k2 + . . . + ks, (k, r) = r A + . . . + rsks.

Рассмотрим более общую схему, предполагая, что каждая дробинка неза • висимо от других с вероятностью щ попадает в /-и ящик. Обозначим в-этой схеме \ir (аъ . . ., aN, n) случайную величину, равную числу ящиков,, содержащих ровно по г дробинок. Введем производящие функции

ФГ1...гв'(г,х1, . . ., xs;alt..:aN) =

Nn

2J.- У1 Р{11г)(аъ ...,aN,n) = ki, i = 1,2, . . •> s} — znx^ . .'. X s я klt..., k„

И

Ф, ...rs(z;a1, . . ., aN) =

2 Nn

zn P {|x,. (a1; . . ., ад?, и) = 0, г = 1,2, . . ., s}. n n\

Рассуждая так же, как при доказательстве теорем 1 и 2 и. следствий; 1 и 3, можно доказать, что

TV ®n...rs (z, хъ . . ., xs; аг, . . ., aN) = Д

/e=i / = 1 Г,-! ( * / - 1)

Фг,..л(2; a b . . ., aN) = Д . егЛ/а* .—2 ~ ^ 7 ~ й = 1 L г = 1 2 '

§ 3. Вычисление моментов

Дифференцируя: производящую функцию (8) по,хг- в точке % = . . . . ... = xs = 1, можно получить выражения для любых факториалвных моментов случайных величин \ir. В частности, ,

1 / 1 \п-г M F r = yVC„-— 1 Г ;

Мцг(цг — 1) = /V(/V — 1)

М}х/ц;^Л/-(Я— 1)

я! 1 - — ( 1 — •

(г!)3 (я — 2т)!

и! */ fl--i-

Л/

(11)

(12)

n—r—t ,Гф1.

Асимптотическая нормальность в, классической задаче о дробинках J227

Если п,Ы-^ооя n/N = а ограничено, то отсюда следует

MyLr^Npr, D\\r~ N arr, COV(\ir,\lt)—'NOrtr

где,

r\ • е-*, orr = pr

Orf =? — Pr Pt

l - p r - ^ r - ( < x - r ) a

a

; m -• x

(14)

1 (a — r) (a — t)

В дальнейшем нам понадобится предельное значение В2 определителя ковариационной матрицы -

I Vr, (15)

вектора My, My

1 2 My,

a — г. Определитель В2, равен определителю

Обозначим для краткости А/

D = U, бу — prt prj 1 + —£_Z *rArr ( IO

если в нем положить xt = pri, i = 1, • - •. s. Для вычисления D разложим его в сумму по переменным хъ . . ., xs. Коэффициентами: этого разложения будут определители вида

— PrtPrjil ЛГ.Л,-

г 1 '] (Щ

разных порядков. Определитель (17) первого порядка равен— р\ ФШ ( Д . - А г

определитель (17) второго порядка равен P*.pf. ч ''

а все определители высших порядков, равны, нулю. Поэтому

B» = p; 1 . . .p , i, | i _2Pr i ( i + -^LJ + -i---2

k=i.

PrkPrt (Л г , -д гу| . :ЭД К 1=1 }•*

Если ввести обозначение </ = 1 —рГх— рГ2— . . . — рг$> то (18) можно преобразовать в другой вид

В2 Pr,/y2 • • • Prs4 (19)

В § 5 нам понадобится следующая ^3£


Лемма 1. При любом 0 < а <[ оо, В2 ^>0. Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу (19), неравенство £ 2 > 0 равносильно не

равенству

*(а-2'**дО>(2*А*)- (20)

V k=i I \Й=1 / оо со со со

Так как 2 Рг = 1, 2 '"А- = а> 2 Р/- Аг = 0, 2 Р/- А* = а, то неравен-г=о г=о г=о г=о

ство (20) можно записать в виде

2 Р^2 p , A ! > ( 2 А-А,) , (21)

где 5 = (гъ . . . ,rs). Неравенство (21) представляет собой неравенство Ко-ши—Буняковского. Случай равенства здесь невозможен, так как при СЪС2 =f= =j= 0 не может быть Сг + С2 (а — г) = 0 при всех г.

Следствие 5. Если 0<^а0<^а1<^ оо,mo min В2^>0.

В самом деле, В2 непрерывно зависит от а и В2 ]> 0 для любого а ^> 0. Нам еще понадобятся в § 5 алгебраические дополнения Вы элементов

« ^ матрицы (15), которые даются следующими выражениями:

pn...prs(q + prk) Bkk =

— Pn-.-Pr

aprk

(22)

i н—^^^ 2J p a a / = i

, ft=^Z. (23)

Алгебраическое дополнение Bkk вычисляется так же, как и В2. Для вычисления Вы, k=f=l, поступаем следующим образом. Пусть k <^ I. Алгебраическое дополнение Вы равно умноженному на (— 1 )k+l определителю матрицы ^15), у которой вычеркнуты k-я строка и 1-й столбец. Для вычисления этого определителя k-й столбец перенесем на / — k — 1 мест вправо. Эта операция дает множитель (— 1 у—*—1. Полученный определитель будет иметь ту же структуру, что и определитель В2, только (I—1)-я стро-

рта будет состоять из элементов вида—Prt РтЛ 1-| I, а [(/ —1)-й

столбец — из элементов вида — prjргА\ -] r ' rk ). Применяя использо

ванный при вычислении В2 метод, мы получаем (23). Формулы (22) и (23) можно преобразовать и записать в следующем виде

В» = # - + •£- + РП • • • ^ (Ь*Я + 2 PrtАX (24) prk Ч

Вы = ^ + ^ 1 ^ 1 a q

А,, Я + 2 Рг, А,,) (Дг, <7 + 2 Р - Аа) • (25)


В более общей схеме с неравными вероятностями аъ а2,...,ам первые и вторые моменты цг (alt..., а^, п) просто выражаются через следующие факториальные моменты

N

м ^ = 2 0 П 1 - * Г . (26)

M|v (цг - 1) = 2 , , "' „ „ &ri О - о* - « / Г " . .(27)

M № = 2 - ^ л ,°* а ' (1 - а * - а ' ) " ^ ' - С28) fc^Z

§ 4. Теорема об асимптотическом поведении интеграла

В этом параграфе мы будем иметь дело с целыми функциями оо

А (г) = 2 akzh,

у которых ak > 0, бесконечное число щ ^> 0, и общий наибольший делитель попарных разностей индексов k' — k отличных от нуля [коэффициентов аи, ak' равен единице. Определим в правой полуплоскости функцию. f (г) = log A(z) — т log z так, чтобы на действительной оси она была дей^ ствительной.

Лемма 2. Если а0 + Ci + . . . + аП1^1 = 0, а аП1 ^> 0, то для любого Т > пг уравнение f (х) = 0 имеет единственный .действительный положительный корень ху, причем A V > X Y при т ' !>Т-

Д о к а з а т е л ь с т в о . Уравнение /'(л;) = 0 равносильно уравнению

хА' (х) — гА (х) = ^ (х — т) akxk = — 2 (Т — k) a"xk + fc=o fc=o

оо

+ 2 (k-r)akXk = 0

или уравнению GY (*) = - 2 (Г - fe) а**й~М

+ ^ (ft - T) a ^ ~ M = 0. k=nt k= ifH-l

Нетрудно видеть, что при 0 < л : < х ' , т < Т ' имеют место неравенства Gy(x)<C.Gy(x') и G r (x)<GY (х). Кроме того, при х-ч>оо GY(x)->ao, а если т ^> «х, то при малых х GY (x) < 0. Отсюда следуют утверждения леммы.


' " Теорема 3. Пусть а0 + ах + • • • + ani—1 = 0 и a„t^>0..Если f"(xy);> I > : S > 0 для всех r e [To. Til. где пг < То < T i < °°>' «о "Р" Я,-»оо рае-твяерно по у ЕЕ [То> Til выполняется соотношение

1х = 2ш'

И=*,

'4(z). cfe = 1

xY / 2 я Я / " (дг, : е * у ) [1+0(Я-1/.)]. (29)

Доказательство . Представим /х в виде суммы 1х-}-12, где

1, = 2л $ • " " * '• = £ • S

Л(г) de ( 2 = x T e ' \ e > 0 ) . (30) 'в<|9[<я

Оценим сначала /2- На окружности \г\ = хч. при гфху А (г)

<

Покажем, что при любом е^>0 существует такое 0<^<7<Ч, что

/ , = 0 Д ( 0 равномерно по у ЕЕ [Yo. Til- Модуль /2 можно оценить

следующим образом:

l''l<S А{х') \ iTY(6)|^e,

£де"'*¥?(0) = Л(xyeis)/A(xr) при любом T o ^ T ^ T i представляет собой .Характеристическую функцию с максимальным шагом, равным" единице. Нетрудно видеть, что Ч^ (G) непрерывно зависит от^(т, 6) при т0 ^ Т ^ Ti. ®Щ | @''| <С я- Положим q — sup | 4TY (0) |. Покажем, что q -< 1. Выберем Л .'.• , Y e [ Y o , Y i ]

• ' 8 < | 9 | < Я ;

последовательность (ТЙ, 9A)->(T,J) при й->оо так, чтобы liml^(9^)|'==

= д ; носледовательность 4^(6) сходится к характеристической функции W^-Щ. Тогда j4*Y(6) | = q <^\, так как максимальный шаг характеристической функции ЧЛ7(б) равен единице и 0 < е <; | 0 | <JJT.

Для оценки 1Х введем обозначения для действительной и мнимой частей /(хге'в) = ы(8) + гу(9).1Так Как 'и(— 0) = ы(9) и о (—в) = — о (6), то /х запишется в виде

к / 1 = = 1 е мо) .С cos у (0) е-Я[н(о)-в(9)]^д; (31)

Сделаем в (3.1) замену переменных т — ]/"ы(0) — ы(6). -Поскольку «(0) = •»= д (0) + £ 0 # + Се3 + ...,• то

. 2 1 . . 31

т_,/_!ф..увй. (32)


где g (9) = —~-——^--. Функция g (9) в окрестности 9 = 0 аналитична и ^ - L L 6 2 . • . . . . . • • •

.• 2 . , , •. •. • , : : . . • •

близка к единице. Кроме того, %' (0)=f=0. Следовательно, в окрестности •6 = 0 функция т = т(9) и обратная ей функция 9 = 6 (т) аналитичны. Бо-"лее того, можно доказать, что существует такое е^>0, что при любом Т ЕЕ [То. Til функция х = т (9) имеет обратную функцию 9 = 9 (т), определенную на одном и том же отрезке [0, е]; кроме того, при любых Т£Е[0, в], Т €= [То. Til выполняются неравенства

Ci < 6' (t) < С2, 19" (т) | > С8, 8' = 9 (ё) > С4, (33)

'где ^^'Сг^Сз, С4 —некоторые положительные постоянные. Для этого продифференцируем (32) два раза до 9: . , .

А [ '• и"{0) Г г'(в) •,л.&Г(в)

_Ув(в) 21/^(6) е [g' (в)]»"

(34)

(35) t" =

Так как f(z). аналитична и f'.(#Y) = 0, то можно выбрать такое в > 0 , чтобы в условиях теоремы равномерно по 0ЕЕ[О, в] и т^[То. Til-функции |g'(6)| :и | g" (9) | были ограничены сверху и g (9) была не меньше 72. Из оценки

и формулы (34) следует, что производная т'(6) ограничена сверху и снизу положительными при всех 9GE[0, e], ТЕ[То> Til константами. Отсюда следует существование обратной функции 9 = 9(t) и неравенства (33) для 9'(т) и 6(e). Неравенство (33) для 9"(т) вытекает из (35), оценки 9'(т) и формулы второй производной обратной функции. Замена переменной 9 на т в МШ) приведет к ' ' ' '

В Е '

Гг ==• — е "(°) [ cos ue-%x2d§:= еЛи<°> — С ф (t) e-'^dV, .Я . , : J . . . . . Я J , ' ,

где ф(т) = 9'(т)со8о(е) = - ^ | / - г ^ - + Т ф ' ( т ) ( 0 < т < е ' ) > аф ' (т )ра-

.вномерно'ограничена при те [0 , в'],' тё[То. .Til- Таким'образом, • • &' , - , , 8 ' ' . ;•. . . . . . \ " J":;,'

л = еМо) _ 1 _ -, / __?_ С e - i f dt + e^(») — С ТФ' (т) e-^'dt," (36) Я*-, V f"(Xy) J ' Jt.O

'' ' ! 0 0

еде ы(0) = f(*Y). Второй интеграл в этом равенстве не: превосходит постоянной, умноженной на

*•'••-• . eWVixe-Xx'dx. (37)

232 5. А. Севастьянов, В. П. Чистяков

В силу (33) е ' > С 4 при любых TG[To> Til- Применяя лемму из [5J (стр. 447) к оценке интеграла (37) и первого интеграла в (36), мы получим оценки, равномерные по TGS[To> Til- Объединяя их, находим, что при X—> оо

h = • 1 еЧ{х^ [ 1 + 0 (А,-1/.)]. (38) ху у 2лЛ/" (xj

Из (38) и оценки для /2 вытекает (29).

§ 5. Локальная предельная теорема

Теорема 4. При п, N-> оо и 0<^а0<^ — = a^at < оо равномерно" N

по \ш\<^С<^оо-и осеЕ[а0, аг] имеет место следующее асимптотическое' равенство: Р К, = къ..., цГз = fc} = / s exp J - 1 Jj B , m )(1 + 0 (ЛГ *")),.

(39> kr.—Npr.

где щ = ——=r^, a prp В2 и Вц определяются формулами (11), (19),. BVN

(22), (23). Д о к а з а т е л ь с т в о . Пользуясь формулой (10), мы получаем

log Р {Ргг = k1,...,\irs = ks} .= log Хг + log Х2 + log Х3, где

v Nl v я! Л1 ~ ~7Т, 77ТТ~. ТГ > Л 2 = ' (ЛГ — Щ\кг\ ...ks\ ( r i ! ) * . . . , (rs[)bsM"

^ 3 = - ~ - P K ( i V ' , «') = 0, * = 1 (40>

и п' = п — (ft, r), N'= N — &. В формулах (40) полагаем n = aN, kt = Nprt + щВ y~N; тогда можно записать n'=N[a — (г, р)]— (г, и) В УЫГ

N' = Nq — BuYW, где S S S S

« = 2 "'»(г> Р) = 2 Г//,г<; ( г ' " ) = 2 Г г " ' ' ' q = ! ~~ 2 *v J = 1 2 = 1 2 = 1 / = 1

При N —> оо с помощью формулы Стерлинга получаем

log Хх = — log (2яЛ/)»/« — log VpnPr2...Prsq —

— ( 2 Prtl°gPri + qlogq\+ В YN Utogq — j$ UilogprA —

Асимптотическая нормальность в классической задаче о дробинках 233-

log Х2 = log Y2naN + N (а — (р, г)) log а — а^ + 2 Prt log Ргг.

•B]/iV (г, M)loga —а«— 2 "Hog'p,-, + 0 (-r^M • (42)-

С помощью теоремы 3 оценим Х3. В силу (9) и (40)

Х 3 = = - f lz|=const

zP dz, (43).

где

P = —, Л(2) = е г - — — — - . . . - — Л" гх! г2! г.!

(44),

Положительный корень уравнения —EdrL = о, где

f{x,f)=-logAQc) — $logx, (45)-

обозначим а. Точка г = a — это точка перевала в (43). Таким образом,-a и р связаны соотношением

•p = * = L ^ I , (46)"

где

Рг = ^-е—, (г, р) = 2 >7рг,, <7 = 1 - 2 Р>,:

В частности, при a = а мы будем писать Р = Р, т. е. a — (г, р)

Р = ' Покажем, что

дЧ (х, р) 9л-2

В2

a?«pripri . . . р л

(47)

(48)

Для этого продифференцируем (45) два раза по х и положим х = а, Р~=3:

('-|^V,)^(.-2^ а2

234 5. А. Севастьянов, В. П. Чистяков

Подставляя р = —— : — и г,• = а — Д,, получаем

да2

s Д2 1 / s \ 2

' - 2 и» т - . 7 2""4' 1 = 1 • , Л • / = ! . •• • '

В2

Р а . . . р

Отсюда вытекает (48). : :При больших Л/ МЫ можем разложить

В~= Я— = п"~ (й' г> — N [а — (г, р)] — (г, и) В VN N' N — k.~ Nq—uB УЖ

во степеням t == Л/~1/2 и. воспользоваться обозначением 3 в (47):

р = р + t - [ри - (г, и)] + ** [р« - (г, «)] + О (*»). , (49)

_ i_

Аналогично с помощью (46) и (49) разлагается по степеням t — N 2

_ р р . . .р q ya^-a+t " s .[0g — (r, и)] + О ( 2)- ..(50)

(Чтобы воспользоваться для оценки интеграла (43) теоремой 3, надо показать, что выполняются условия этой теоремы. Из (50) видно, что при ^-^0 ос->сс, а так как 0 < ^ а 0 ^ а ^ o c j ^ оо, то и 0 < а 0 < ; а «^«i<C °° при больших Л/. В силу леммы 2 р в выражении (46) является строго монотонно возрастающей функцией от ос. Если ^ = 0, г2 = 1 , . . . , /"„, == пг — 1, -r«i+i ]> "i. т 0 и з (46) следует, что при а —* 0 Р —> fti. Поэтому при а ^> 0 — д2/ (а В) 'ji]>rti. В силу (48) и леммы 1 при больших N min _' ^>б^>0.

а 0 <а<а! За 2

'Таким образом, выполнены все условия теоремы 3, и

1оеХ» = -1ое— _ - + iV'f(a,p)+0U' 2 |. ^ (51) а]/2яЛ^7"(а. 3)

Разложим f'[a(t), Р(Л] по степеням f = l/lAV:

Асимптотическая' нормальность в классической задаче о дробинках 235

ждественно по f) и

-'- = — — ос' — В" log а.

Используя (49) и (50), получаем отсюда

дЧ 1 * ' 1=0

t=0

Рг^г, • • • Prs

а

Р-[Вы— (г, ы)] log a, (53) Я

[Вы — (г, ы)]2 — v n log а. (54)

Из (52), (53), (54) и /(а, В) = а + log q — В log а, N' =Nq — BuYN получаем

l°g ^з = N (<xq + q log q — 3c/ log a) — В ]/iV [Вы log a — (г, ы) log a +

/ V j P ^ • • • Pr Я --f-аи+и log q — «B log a] — — [Зы — (г, ы)]2 —

2a . , ' . ' .

-logjAxtA^ fi3a - + ,Q(^V. ) . . :• •, \ . (55)

Из (41), (42), (55), (19), (24) и (25) вытекает (39). Теорема доказана.;

§ 6. Некоторые интегральные теоремы

В случае равных вероятностей попадания дробинок в ящики, интегральная теорема для величин :\лГ1,..., цГв может быть обычным методом получена из локальной теоремы. Приведем формулировку интегральной теоремы.

Теорема 5. При N, n->oo, ос = я/TV, равномерно по сс£Е[ос0> аг], 0 < C a o ^ a i <С °°

i imp{(J^w^' /- i'---'sN= " (£j * 'а 6ХР I ^ ?'•' ВЦЩЩ\dUl' "dUs' ^56)

.где G-—квадрируемая s-мерная область. Покажем теперь, что эту интегральную теорему легко можно распро

странить и на более общий случай. Заметим сначала, что из сходимости / Нт.-.^Лч Vr~~"'NPri\

распределения I —:— ,. . . ; j=.—- J к нормальному закону вытекает сходимость соответствующих характеристических функций. Таким об-


разом, при N, п-->оо, — — а

(а 0 \ ( s { 4PrjN-

•— _L nL Г ~ 2ni Nn J

s rk

ez + 2^r ' _ le IBV~N_I nN

-n+i dz exp **P'k 1 lzl=const

•exp J—-- 2 <»ft./M/L ft,/=l

(57)

где <Sk,i берутся из (14). Рассмотрим теперь обобщенную схему, в которой дробинки попадают

в ящик с номером k с вероятностью ак. Если ан близки к 1/N, то справедлива следующая

Теорема 6. Пусть аи 1 + 4 N • Если при . ./V -» оо ^ е& ~* О» то Рав~

k=i

номерно по — = аЕЕ[а0» ai]> 0<Сао^<х1<С00' выполняется предельное соотношение (56).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Для доказательства теоремы надо показать, что характеристическая функция

1 \Prb VW

k=i

X \ п |z|=const k=i

В 2rtt Nn

П *+e*) , v [г(1 + вА)]г ' Б ? ^ 2 г,!

(e K N - 1) dz

сходится к exp /— -1- ^ a a Ah) • А это вытекает из (57) и соотношения V 2 w=i /

г ЛГ , 7 V

+ 2тг<г<-1> + ° S e * •fc=l

Поступила в редакцию 5.3.63

- I

Asymptotic Normality in a Classical Problem with Balls 237

ЛИТЕРАТУРА

;[1] С. Н. Б е р н ш т е й н , Теория вероятностей, 4-е изд., М.—Л., 1946. [2] P. E r d 6 s, A. R e n у i, On a classical problem of probability theory, Magyar tud.

akad. Mat. Kutato Int. Kozl, 7, A, 1—2 (1961), 215—220. ;j3] I. W e i s s , Limiting distributions in some occupancy problems, Ann. Math. Statist.,

29, 3 (1958), 878—884. 14] S. S. W i 1 к s, Mathematical Statistics, N. Y., 1962. |5] M. А. Л а в р е н т ь е в , Б. В. Ш а б а т , Методы теории функций комплексного пе

ременного, М., Физматгиз, 1958.

ASYMPTOTIC NORMALITY IN A CLASSICAL PROBLEM WITH BALLS

B. A. SEVAST'YANOV, V. P. CISTYAKOV (MOSCOW)

(Summary)

Each of n balls is deposited in a cell selected at random out of N given cells. The probability of one cell being selected is equal to 1/N, with the successive selections being mutually independent. Let 0 < rx < r2 < . . . < rs be arbitrary fixed integers. The symbol \ir denotes a random variable representing the number of those cells that contain exactly

,r balls. In [3] I. Weiss has proved the integral normal theorem for u,0 by the method of moments. In this paper we prove the local normal theorem for the random vector (|xr,,

n . . . , \ir ) when N, n -^ oo and 0 < a0 < —- <a 1 <oo (a0, ax are the constants). In the proof

s д/ * e use the saddle-point method.

Асимптотическая нормальность в классической задаче о ...

Documents