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SOLUO NUMRICA DO ESCOAMENTO LAMINAR PLENAMENTE
DESENVOLVIDO NO INTERIOR DE DUTOS
Francisco Magalhes Costa
Programa de Ps-Graduao em Engenharia Mecnica
Universidade Federal de Santa Catarina UFSC
[email protected]
Professor Orientador: Clovis R. Maliska
Departamento de Engenharia Mecnica
Universidade Federal de Santa Catarina UFSC
[email protected]
RESUMO
O software TRANSCAL resolve a equao da energia com gerao de
calor, que possui a
mesma equao diferencial do problema do escoamento 2D plenamente
desenvolvido em
dutos. O objetivo principal desse trabalho a soluo numrica do
campo da componente de
velocidade pela analogia com o campo temperatura na direo do
eixo de dutos. A equao
obtida ser uma equao de Poisson, que ser resolvida numericamente
mediante emprego
do software Transcal, desenvolvido pelo Sinmec. A equao
governante do problema de
difuso de calor bidimensional resolvida numericamente utilizando
o mtodo dos volumes
finitos com uma formulao totalmente implcita. Objetiva-se
sugerir as etapas a serem
seguidas da simulao numrica como ferramenta de anlise de um
escoamento em um duto
com geometria genrica. Desde as simplificaes em relao ao sistema
fsico real, estudo de
malhas at a etapa de ps-processamento e anlise dos dados
produzidos pelo software, so
descritos neste texto.
Palavras-chave: Transcal, difuso, volumes finitos,
ABSTRACT
The Transcal software solves the energy equation with heat
generation, which has the same
differential equation 2D flow problem of fully developed ducts.
The main objective of this
work is the numerical solution of the velocity component of the
field by analogy with the
temperature field in the direction of the axis of ducts. The
obtained equation is a Poisson
equation, which is solved numerically by use of TRANSCAL
software developed by SINMEC.
The governing equation of two-dimensional heat diffusion problem
is solved numerically
using the finite volume method with a fully implicit
formulation. It objective to suggest steps
to be followed the numerical simulation as an analysis tool of a
flow in a duct with generic
geometry. Since the simplifications compared to actual physical
system, mesh study to post-
processing step and analysis of data produced by the software
that are described in this text.
Keywords: Transcal, diffusion, finite volumes
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2
1. INTRODUO
Uma rea importante no ensino de vrios ramos de engenharia aquele
referente
transferncia de calor. Com relao a esta rea, em particular,
existe no mercado uma farta
oferta de livros-texto de preo acessvel. Dentre estes, podem ser
citados (BEJAN, 1993),
(BEJAN, 1995), (KREITH e BOHN, 2001), (INCROPERA e DeWITT, 2002)
e (KAVIANY,
2002). Em contraste com a ampla disponibilidade de livros-texto
na rea de transferncia de
calor, escassos so os softwares destinados ao ensino desta
matria.
Repetidas buscas na Internet possibilitam afirmar que
praticamente inexistem
softwares destinados ao ensino de transferncia de calor. Duas
excees a essa regra so o
Transcal Verso 1.1 desenvolvido por (MALISKA, 1998) e o CFD
Sinflow (PIERITZ et al.,
2002) e (PIERITZ et al., 2003), destinados ao estudo
bidimensional de conduo de calor e
escoamento. Uma dentre as vrias caractersticas favorveis do
Transcal a facilidade de uso,
o que o torna um poderoso aliado de alunos no estudo de
disciplinas ligadas transferncia de
calor. Conforme os autores, ele utilizado para induzir o
raciocnio investigativo sobre os
fenmenos fsicos envolvidos atravs da simulao e visualizao de
fenmenos simples e
educativos. Por resolver problemas de conduo de calor
bidimensionais transientes (ou em
regime permanente), com (ou sem) gerao de calor e em domnios
arbitrrios, praticamente
todos os problemas que se discutem em sala de aula podem ser
resolvidos e investigados com
o auxlio do software.
Neste trabalho apresentou-se a soluo numrica do escoamento de
fluidos
compressveis, o interesse o estudo numrico do escoamento laminar
plenamente
desenvolvido no interior de dutos com diferentes sees (quadrada,
retangular, etc.) e a
comparao dos mesmos com os resultados analticos encontrados na
literatura. A soluo
numrica ser realizada por analogia das equaes da conduo do calor
bidimesional e a
equao do escoamento interno laminar na regio plenamente
desenvolvida.
Esse estudo consiste em gerar uma malha contendo os pontos do
domnio de
interesse e sobre este so resolvidas as equaes de Navier-Stokes
(quantidade de
movimento), conservao da massa, juntamente com a relao de estado
e a equao da
energia em coordenadas cartesianas.
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3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
w
y
w
x
wg
z
p
Dt
Dw
z
v
y
v
x
vg
y
p
Dt
Dv
z
u
y
u
x
ug
x
p
Dt
Du
z
y
x
(1)
0
z
w
y
v
x
u (2)
z
w
y
v
x
u
z
T
y
T
x
TK
Dt
uD
2
2
2
2
2
2~ (3)
No duto a soluo corresponde a um perfil de velocidade parablico
e simtrico
devido aos efeitos viscosos para baixo nmero de Reynolds, onde
as velocidades na parede
so nulas, aumentando na direo do centro do duto os quais esto de
acordo com a literatura.
O campo de velocidade apresenta perturbaes junto superfcie, pois
o gradiente de presso
adverso dificulta a convergncia nesta regio; isto pode ser
melhorado pelo refino da malha
ou pelo estabelecimento de condies de contorno fisicamente mais
apropriadas.
Figura 01: Escoamento na regio de entrada de um tubo
A figura 01 mostra um escoamento laminar na regio de entrada de
um tubo circular.
Uma camada limite desenvolve-se ao longo das paredes do duto. A
superfcie do tubo exerce
uma fora de cisalhamento retardante sobre o escoamento; assim a
velocidade do fluido nas
proximidades da parede reduzida. O efeito da superfcie slida
sentido cada vez mais para
dentro do escoamento. Suficientemente longe da entrada do tubo a
camada limite em
desenvolvimento atinge a linha de centro do mesmo e o escoamento
torna-se inteiramente
viscoso.
Quando isto acontece a forma do perfil de velocidades no se
altera com o avano do
escoamento diz-se que o mesmo encontra- se completamente
desenvolvido. A distncia a
-
4
jusante, a partir da entrada, at o local em que o escoamento se
torna completamente
desenvolvido chamada de comprimento de entrada.
2 FORMULAO DO MODELO FSICO E MATEMTICO
2.1 Descrio do modelo fsico do problema
O problema aqui considerado o escoamento de um fluido atravs de
uma tubulao
de seco transversal. O primeiro passo ser definir a geometria do
problema (retangular,
quadrada,) estudado e suas dimenses (Largura x Altura). Em
seguida, definir as condies de
contorno para a temperatura (Norte, sul, leste, Oeste) ao passo
final definir tamanho
especfico do nmero de volumes nas direes (I x J).
importante ressaltar que, nesse estudo, foi realizada uma
comparao entre perfis de
velocidade completamente desenvolvidos. Foi preciso adotar
diferentes casos variando a malha
desde baixo nmero de clulas de volume controle at malhas
exageradamente grande para captar
um perfil de velocidade num ponto em que este estivesse
plenamente desenvolvido, com
percentual de erro menor possvel. Para o escoamento laminar a
velocidade mxima do
escoamento atingida no centro do duto e corresponde duas vezes a
velocidade mdia do
mesmo.
Figura 02: Comportamento da velocidade u no escoamento do
fluido
Alm disso, pode-se calcular a velocidade mdia pela seguinte
expresso:
(4)
Com objetivo de se extrair o mximo de informaes do problema e
tornar fcil a
compreenso do problema no final da simulao plota-se um grfico
comparativo do fator
( hDf Re* ) calculado versus o fator de ( hDf Re* ) definido na
literatura (tabela 1).
mxu
U
2
u
V
mx
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5
Tabela 1-Nmero de Poiseuille para diferentes sees de
dutos.Fonte: Bejan (2013) pag.: 107.
2.2 Descrio do modelo matemtico do problema
A formulao do modelo matemtico e como se d a analogia entre as
duas equaes
podem ser entendidas com o uso das equaes abaixo e baseando-se
nas seguintes hipteses
e simplificaes. Considere um duto retilneo de seo transversal
genrica cujo sistema de
referncia est definido em x, y. Assumindo que o escoamento se
encontra em regime
permanente e que as propriedades do fluido se mantem inalterada
e a fora do campo
negligencivel, as equaes que modelam o problema so a da
conservao da massa (5), as
de Navier-Stokes nas direes x, (6) e y (7) e equao da energia
com termo fonte (8), dadas,
respectivamente por:
0
y
v
x
u (5)
2
2
2
2
2
2
2
2
10
10
y
v
x
vv
x
p
y
u
x
uv
x
p
(6) e (7)
y
v
x
uq
y
T
x
TK "'
2
2
2
2
(8)
-
6
Onde a densidade; T a temperatura em uma dada posio; u e v so as
velocidades; k a condutividade do
e ( "'q ) o termo fonte do meio.
A equao (8) pode ser entendida mais facilmente atravs de um
prvio estudo sobre
fenmenos de transporte, o que pode ser feito, seguido de um
estudo especfico sobre
transferncia de calor e mtodos numricos, tema disponvel, por
exemplo, em (VERSTEEG
e MALALASEKERA, 1995) e em (MALISKA, 2004). No TRANSCAL a equao
(8)
discretizada e resolvida numericamente usando o mtodo dos
volumes finitos atravs de uma
formulao totalmente implcita.
Comparando agora as escalas das velocidades (u , v ), percebe-se
que medida que o
comprimento na direo do escoamento L aumenta, v cada vez menor,
enquanto permanece
com a mesma escala. Baseado nisto razovel se esperar que a
partir de um certo
comprimento L >> D, v ser bem menor, assim, v = 0.
Utilizando est hiptese na equao da continuidade observa-se que
x
u
= 0.
Assumindo as hipteses anteriormente definidas e agora pela
anlise de escalas podemos
chegar as equaes que sero usadas para analogia entre equao de
energia com gerao de
calor que possui a mesma equao diferencial do problema
escoamento em 2D plenamente
desenvolvido em duto. Para o escoamento plenamente desenvolvido
hidrodinamicamente
tem-se:
2
2
2
21
y
u
x
u
x
p
. Alm disso, podemos definir em funo do operador nabla ( ),
a forma do laplaciano do campo vetorial velocidade:
u2 =x
p
1 (9)
A equao (9) uma tpica equao de Poisson. Assim como ela, a equao
da
conduo de Calor bidimensional, dada por:
K
q
y
T
x
T '''2
2
2
2
(10)
Que para facilitar analogia podemos reescrever a expresso em
funo do operador Nabla ( )
e assim definir o Laplaciano do campo da Temperatura, como:
T2
K
q ''' (11)
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7
O que torna fcil perceber a semelhana entre os dois campos
definidos, conclui-se que:
x
p
1=
K
q ''' (12)
Se o domnio assim como as condies de contorno das equaes (9) e
(12) forem os
mesmos, as solues de u e T so exatamente as mesmas. Logo, para
se resolver a equao (9)
pode-se resolver uma equao de conduo de calor equivalente. De
fato, para se obter as
solues desse trabalho foi empregado o software Transcal,
software desenvolvido para
problemas de conduo de calor.
2.3 Gradiente de Presso e fator de atrito no escoamento
plenamente desenvolvido
Com frequncia o engenheiro est interessado na queda de presso
necessria para
manter um escoamento interno, pois esse parmetro determina a
exigncia de potncia. Para
determinara queda de presso conveniente trabalhar com o fator de
atrito de Mood (ou
Darcy) que um parado adimensional definido pela expresso:
2/
)/(2
m
h
u
Dxpf
(13)
Se mu a velocidade mdia e D h o dimetro hidrulico, o nmero de
Reynolds baseado em D h fica:
hm
h
DuD
2
Re (14)
Anteriormente definido o fator de atrito local, e com a definio
do nmero de
Reynolds podemos encontrar o produto ( f * hDRe ):
m
hm
m
h
h
u
D
x
pDu
u
Dxpf
hD
*2
1)
2/
)/((Re*
2
2
(15)
Onde:
f : fator de atrito
hD : Dimetro hidrulico
Re : Nmero de Reynolds baseado no dimetro hidrulico mu :
velocidade de escoamento dentro de um duto
: viscosidade dinmica
P: presso
O produto ( f * hDRe ): segundo Bejan (2004) funo apenas da
geometria do tubo.
Dessa forma, pode-se especificar para a obteno da soluo numrica
que:
-
8
11
x
p
(16)
Da analogia com o problema de conduo de calor equao (12), tem-se
que, para
que haja equivalncia:
x
p
1=
K
q ''' (11),
K
q '''-
x
p
1=1, assim temos:
T2 u2 = 1 (17)
Para concluir esta seo deve mencionar uma diferena de escala
entre o escoamento
externo e o escoamento interno desenvolvido. Enquanto no
escoamento externo sobre uma
superfcie o comprimento caracterstico a distncia superficial
percorrida pelo escoamento
(L), no escoamento interno hidrodinamicamente desenvolvido, fica
claro que o comprimento
caracterstico associado o espaamento do duto, D.
3. RESULTADOS E DISCUSSES
3.1 Geometria Quadrada
Assumindo a dimenso unitria para o lado do quadrado L=1m, e
Dh=1, em seguida
realizando a simulao para 6 casos diferentes para obter um
resultado aproximado de
( hDf Re. ) para cada caso e seus respectivos erros (%). A
velocidade mdia foi encontrada de
acordo com o que foi definido pelo modelo fsico (eq. 4). Abaixo
geometria definida, volume
controle utilizado.
Figura 3: Seo Quadrada com volume de 2500 unidades
Fonte: Software Transcal (1998)
-
9
Nesta caixa deve-se informar, na ordem, a temperatura inicial
(To) e os limites em
que variam a temperatura no escoamento. So introduzidas as
condies de contorno de
temperatura nas fronteiras norte, sul, leste e oeste, conforme
mostrado na figura 4.
Figura 4: Condioes de Contorno para T=T0.
Fonte: Software Transcal (1998).
Na caixa abaixo deve-se informar, na ordem, as propriedades
fsicas (constante):
condutividade trmica (k), a densidade ( ) e o calor especfico
(Cp) do meio. Alm disso,
define-se o termo forte gerao de calor (q). Para todos os casos
simulados as propriedades
fsicas do material foram assumidas de acordo com os valores que
se encontram na figura 5.
Figura 5: Propriedades Fsicas do material introduzidas .
Fonte: Softwares Transcal (1998)
Deve-se informar, ainda, o intervalo de tempo e o nmero de
passos no tempo, que o
nmero de avanos (incrementos) do intervalo de tempo estipulado e
as tolerncias
-
10
Figura 6: Parmetros de simulao .
Fonte: Softwares Transcal (1998)
O quadro 1 mostra os dados de entrada e sada aps simulao no
software Transcal.
Quadro 1: Valores de ( hDf Re. ) para diferentes malhas geradas
na geometria quadrada (1x1)
Evoluo do perfil de temperatura para caso geometria quadrada
(1x1)
Malha: 5 x5 Malha: 10 x 10 Malha: 20 x 20
Malha: 30x30 Malha: 40x40 Malha: 50 x 50
-
11
O grfico 1 facilitar a visualizao de convergncia do termo (f.
ReDh (calculado)) para o
valor analtico encontrado na literatura em funo do nmero de
clulas por volume de
controle.
Grfico 1: Valores de (f. ReDh (calculado)) x (f. ReDh
(analtico)
A figura 7 mostra respectivamente, as isolinhas da soluo de (um)
e o perfil de
temperatura obtido no Transcal. A malha empregada cartesiana,
apresentando (50x50)
volumes nas direes x e y.
Figura 7 : Linhas Isotermas de velocidade na geometria quadrada
para 2500 unidades de volumes.
Fonte: Software Transcal (1998).
3.3 Geometria
A largura do retngulo fixada em L= 4 m, ao passo que sua altura,
em H=1 m, e
Dh=1,6 em seguida realizando a simulao para 6 casos diferentes
para obter um resultado
aproximado de ( hDf Re. ) para cada caso e seus respectivos
erros (%). A velocidade mdia foi
encontrada de acordo com o que foi definido pelo modelo fsico
(eq.4). Abaixo modelo da
geometria utilizada.
-
12
Figura 8: Geometria retangular com volume de 2500 unidades de
volume.
Fonte: Software Transcal (1998)
Os dados adicionais, propriedades fsicas, parmetros de simulao e
condies contorno
do escoamento nesta geometria, foram os mesmos definidos
anteriormente para simulao na
geometria quadrada. O quadro 2 mostra os dados de entrada e sada
aps simulao no
software Transcal.
Quadro 2: Valores de ( hDf Re. ) para diferentes malhas geradas
na geometria retangular (4x1)
Evoluo do perfil de Temperatura Para Caso Geometria Retangular
(4x1)
Malha: 30 x 30
Malha: 10 x 10
Malha: 5 x 5
Malha: 20 x 20
Malha: 5 x 5
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13
Para facilitar a visualizao de convergncia do termo (f. ReDh
(calculado)) para o valor
analtico encontrado na literatura em funo do nmero de clulas por
volume de controle foi
demonstrado graficamente o resumo da simulao.
Grfico 2: Valores de (f. ReDh (calculado)) x (f. ReDh (analtico)
gerados na geometria retangular (4x1)
A figura 8 mostra, respectivamente, o perfil de temperatura e as
suas isolinhas da
soluo de (um,), obtidas no Transcal. A malha empregada
cartesiana, apresentando (50x50)
volumes nas direes x e y.
Figura 8: Linhas Isotermas de velocidade na geometria retangular
para 2500 unidades de volumes.
Fonte: Software Transcal (1998).
Malha: 40 x 40 Malha: 50 x 50
-
14
4. CONCLUSO
Avaliou-se nesse trabalho analogia entre o perfil de
temperaturas e o perfil de velocidades
produzidos nas diferentes configuraes de malhas, at a obteno de
uma configurao em
que as velocidades no mudassem significativamente com o refino
da malha.
O modelo matemtico foi resolvido numericamente a partir de um
software Transcal que
resolveu um problema de conduo de calor equivalente. Houve boa
concordncia entre os
resultados aqui obtidos e os disponveis na literatura para ambas
geometrias. Alm disso,
aplicando-se condies de contorno apropriadas, o resultado do
termo (f.ReDh) calculado, tende
a convergir conforme esperado.
Com base nos resultados apresentados tem-se para malhas cada vez
mais refinada menor ser
o erro apresentado pelas diferenas significativas em relao s
outras. Conclui-se tambm
que a partir de certo ponto utilizao de malhas mais refinada,
seria desnecessria, pois a
partir do caso 4 a variao do erro percentual da velocidade no
ponto avaliado no
significativa, com o refino da malha, perfil no se altera, porm,
o campo de velocidades
descrito de maneira mais consistente.
5. REFERNCIAS:
BEJAN, A., 1993. Heat transfer. New York: John Wiley &
Sons
BEJAN, A.,1995. Convection heat transfer. New York: John Wiley
& Sons
INCROPERA, F. P.; DEWITT, D. P.2002. Heat and mass transfer. New
York: John Wiley &
Sons
KAVIANY, M., 2002. Principles of heat transfer. New York: John
Wiley & Sons
KREITH, F.; BOHN, M. S., 2001. Principles of heat transfer.
Australia: Brooks/Cole
MALISKA, C. R. Transcal V 1.1 (1998). Disponvel em
MALISKA, C. R., 2004. Transferncia de calor e mecnica dos
fluidos computacional. Rio de
Janeiro: LTC Editora
PIERITZ, R. A.; ANDRADE, R. F.; MENDES, R. Projeto CFD SinFlow,
Disponvel em:
PIERITZ, R. A. et al.; 2003 CFD Studio: an educational software
for CFD analysis.
Engenharia Trmica, Curitiba, n. 4, p. 9-16.MALISKA, C.R., 1995.
Transferncia de Calor e
-
15
Mecnica dos Fluidos Computacional: Fundamentos, Coordenadas
Generalizadas, LTC
Editora, Brasil.
VERSTEEG, H. K.; MALALASEKERA, W., 1995. An introduction to
computational fluid
dynamics: the finite volume method. Harlow: Pearson
Education.