1 OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA DE PÓRTICOS DE HORMIGÓN ARMADO MEDIANTE USO DE ALGORITMOS DE PROGRAMACIÓN NO LINEAL Ing. JOSÉ LUIS BORDA FLORES Ingeniero Civil por la Facultad de Ciencias y Tecnología FCyT, Universidad Mayor de San Simón UMSS. Consultor en GEOHIDRA Ingenieros Consultores S.R.L., Av. Heroínas O-165 Edif. Alba II, Depto. 2A Cochabamba – Bolivia. Dirección de correo electrónico: [email protected]. Resumen. Este trabajo presenta una metodología para Diseño de Costo Óptimo (DCO) de pórticos de hormigón armado de edificaciones sometidos a cargas estáticas basado en los requerimientos de la norma ACI 318 – 08, mediante minimización matemática del costo de la estructura, tomado como la sumatoria de los costos del hormigón, acero de refuerzo y encofrados. Para lograr este objetivo se emplea la técnica de Programación Cuadrática Secuencial SQP, para posteriormente hacer la comparación con los resultados obtenidos por un diseño tradicional. El problema de optimización es resuelto con la librería “optimtool” del programa MATLAB R2009a. Se presenta un ejemplo aplicando la técnica SQP, obteniendo soluciones más económicas frente a diseños tradicionales en un 7.95% para vigas simplemente armadas y 31% para columnas cortas, llegando a considerar al Diseño de Costo Óptimo como una alternativa técnica y económicamente viable para proyectos de edificación. Palabras clave: Optimización estructural, pórticos de hormigón armado, minimización, Diseño de Costo Óptimo (DCO), algoritmo SQP. INDICE 1. INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………………………….2 2. OBJETIVOS…………………………………………………………………………………………..4 3. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN EN VIGAS…………………………...4 3.1 Función objetivo……………………………………………………………………………………4 3.2 Restricciones de comportamiento del reglamento ACI 318 – 08…………………………………..5 3.3 Restricciones de borde……………………………………………………………………………...7 4. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN EN COLUMNAS……………………8 4.1 Función objetivo……………………………………………………………………………………9 4.2 Restricciones de comportamiento del reglamento ACI 318 – 08…………………………………..9 4.3 Restricciones de borde…………………………………………………………………………….12 5. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN…………………………………………13 5.1 Algoritmo de Programación Cuadrática Secuencial SQP…………………………………………14 5.2 La herramienta de optimización de MATLAB……………………………………………………15 5.3 Procedimiento de optimización…………………………………………………………………...15 6. EJEMPLO DE APLICACIÓN………………………………………………………………………16 7. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES……………………………………………………..19 8. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS………………………………………………………………19
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OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA DE PÓRTICOS DE HORMIGÓN ARMADO MEDIANTE USO DE ALGORITMOS
DE PROGRAMACIÓN NO LINEAL
Ing. JOSÉ LUIS BORDA FLORES Ingeniero Civil por la Facultad de Ciencias y Tecnología FCyT, Universidad Mayor de San Simón UMSS.
Consultor en GEOHIDRA Ingenieros Consultores S.R.L., Av. Heroínas O-165 Edif. Alba II, Depto. 2A Cochabamba – Bolivia.
Dirección de correo electrónico: [email protected]. Resumen. Este trabajo presenta una metodología para Diseño de Costo Óptimo (DCO) de pórticos de hormigón armado de edificaciones sometidos a cargas estáticas basado en los requerimientos de la norma ACI 318 – 08, mediante minimización matemática del costo de la estructura, tomado como la sumatoria de los costos del hormigón, acero de refuerzo y encofrados. Para lograr este objetivo se emplea la técnica de Programación Cuadrática Secuencial SQP, para posteriormente hacer la comparación con los resultados obtenidos por un diseño tradicional. El problema de optimización es resuelto con la librería “optimtool” del programa MATLAB R2009a. Se presenta un ejemplo aplicando la técnica SQP, obteniendo soluciones más económicas frente a diseños tradicionales en un 7.95% para vigas simplemente armadas y 31% para columnas cortas, llegando a considerar al Diseño de Costo Óptimo como una alternativa técnica y económicamente viable para proyectos de edificación. Palabras clave: Optimización estructural, pórticos de hormigón armado, minimización, Diseño de Costo Óptimo (DCO), algoritmo SQP.
INDICE 1. INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………………………….2 2. OBJETIVOS…………………………………………………………………………………………..4 3. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN EN VIGAS…………………………...4
3.1 Función objetivo……………………………………………………………………………………4 3.2 Restricciones de comportamiento del reglamento ACI 318 – 08…………………………………..5 3.3 Restricciones de borde……………………………………………………………………………...7
4. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN EN COLUMNAS……………………8 4.1 Función objetivo……………………………………………………………………………………9 4.2 Restricciones de comportamiento del reglamento ACI 318 – 08…………………………………..9 4.3 Restricciones de borde…………………………………………………………………………….12
5. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN…………………………………………13 5.1 Algoritmo de Programación Cuadrática Secuencial SQP…………………………………………14 5.2 La herramienta de optimización de MATLAB……………………………………………………15 5.3 Procedimiento de optimización…………………………………………………………………...15
6. EJEMPLO DE APLICACIÓN………………………………………………………………………16 7. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES……………………………………………………..19 8. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS………………………………………………………………19
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1 INTRODUCCIÓN
Hasta hace unos pocos años, el proceso de diseño requería fundamentalmente una gran
experiencia por parte del diseñador, el cual debía utilizarla en casi todas las etapas del proceso
de diseño. Según [1] el método que se empleaba era el siguiente: el ingeniero definía un diseño
inicial cuyo comportamiento era analizado numéricamente; de los resultados de dicho análisis
se podían deducir (por experiencia o intuición) los cambios a realizar para mejorar dicho diseño.
Se finalizaba el proceso cuando se consideraba que el diseño era lo suficientemente bueno.
NECESIDADESY OBJETIVOS
DISEÑO INICIAL
ANÁLISIS
¿VÁLIDO?
NUEVO DISEÑO
DISEÑO FINAL
EXPERIENCIA
COMPUTADORALEYES FÍSICAS
NORMATIVACONDICIONESDE DISEÑO
SI
NO
EXPERIENCIA
EXPERIENCIA
Figura 1: Proceso tradicional de diseño por “Prueba y Error” [1].
Tal método, denominado de “Prueba y Error” (Figura 1) presentaba el inconveniente de que
las modificaciones dependían totalmente de la experiencia del diseñador, lográndose
soluciones buenas, pero no las mejores y además, con un alto costo en tiempo por parte del
proyectista.
Por otro lado, en los últimos años ha cobrado gran impulso una rama de la ingeniería conocida
como “Optimización Estructural”, en la cual los problemas de diseño se reformulan en base a
una o más funciones objetivo, la cual se quiere minimizar o maximizar, mientras se le sujeta a
una serie de restricciones (Figura 2). Técnicas de programación matemática suelen ser la
herramienta básica de los ingenieros que trabajan en esta área y un gran número de métodos
numéricos y heurísticas se han desarrollado para enfrentar la alta no-linealidad y no-
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convexidad de los problemas de diseño, que se caracterizan por tener un gran número de
mínimos locales.
NECESIDADESY OBJETIVOS
DISEÑO INICIAL
ANÁLISIS
¿VÁLIDO?
NUEVO DISEÑO
DISEÑO FINAL
EXPERIENCIA
COMPUTADORALEYES FÍSICAS
NORMATIVACONDICIONESDE DISEÑO
SI
NOCOMPUTADORA
TÉCNICAS DE OPTIMIZACIÓN
Figura 2: Proceso de diseño óptimo [1].
El diseño de pórticos de hormigón armado para edificaciones juega un papel primordial en la
ingeniería civil boliviana, por su uso tan extendido en nuestro país. Tradicionalmente este
proceso se efectúa de forma iterativa tal como ilustra la Figura 1, asumiendo el peso propio de
los elementos a los que se les desea diseñar sus secciones. Posteriormente se determinan los
esfuerzos resistentes para verificar si corresponden a las solicitaciones aplicadas. Este proceso
se repite una y otra vez, gastándose una cantidad considerable de tiempo, hasta que se
encuentran las secciones apropiadas.
En dicho proceso suele ser difícil, por ejemplo, hacer que el momento resistente de la sección
de una viga corresponda con el momento total aplicado, incluyendo el producido por el peso
propio de la viga, el cual puede ser substancial en muchos casos. De tal forma, el diseño de
pórticos no solo es lento, sino que además tiene una carencia total de economía, puesto que lo
único que interesa es encontrar cualquier sección que se acomode a las condiciones
establecidas, sin siquiera considerar la posibilidad de hacerla lo más barata posible. En el
presente trabajo se hará la aplicación del esquema de la Figura 2 al diseño óptimo de secciones
y elementos estructurales de pórticos de hormigón armado.
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2 OBJETIVOS
El objetivo de este trabajo es presentar una metodología para el Diseño de Costo Óptimo
(DCO) de pórticos de hormigón armado de edificación sometidos a cargas estáticas, basado en
los requerimientos de la norma ACI 318 – 08, mediante minimización matemática del costo
estructural de secciones transversales de vigas y columnas, tomados como la sumatoria de los
costos actualizados del hormigón, acero de refuerzo y encofrados, incluyendo porcentajes por
impuestos y mano de obra.
3 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN EN VIGAS
El método de diseño por resistencia basado en el Reglamento ACI 318 – 08 [2] es usado para
formular el modelo matemático. El método de diseño por resistencia usa factores de
mayoración de cargas que incrementan las cargas de servicio, basados en una evaluación
probabilística de la variabilidad de cargas [3]. La estructura es entonces diseñada para proveer
la resistencia necesaria para soportar las cargas factoradas. El cálculo de la resistencia toma
en cuenta un comportamiento esfuerzo-deformación no lineal del hormigón. La combinación
de carga empleada a lo largo de este estudio es (ACI 318 – 08 art. 9.2.1):
U = 1.2D + 1.6L. (1)
Donde: D son cargas muertas, momentos y fuerzas internas correspondientes y L = cargas
Tabla 4: resultados del DCO y comparación con el diseño tradicional para la columna CGK.
Como se puede ver en función a los resultados de las Tablas 2 y 3, el factor φ = 0.9 asumido
para vigas en la formulación general es correcto para todos los tramos debido a que εt > 0.005.
El algoritmo SQP produce los resultados con un número de iteraciones no mayor a 8 para el
máximo momento negativo que se presenta en todo el tramo de la viga continua. El costo por
metro lineal de la viga obtenido por el método SQP es 7.95% más económico frente al diseño
tradicional, siendo el DCO una sección de 25x40 cm2 y área de acero igual a 12.06 cm2
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(6φ16), aumentando solo una barra de acero frente al diseño tradicional (5φ16) lo cual hace
más económico al diseño.
En el caso de la columna CG se obtiene un DCO para la combinación de carga (13) en un 31%
mas económico frente al diseño tradicional, obteniendo una sección final de 30x45 cm2 y área
de acero total igual a 13.58 cm2 (12φ12) en 7 iteraciones, además se pudo observar que para
este caso la restricción activa es la relación de esbeltez g6 debido al valor alto de la longitud
sin soporte lateral. Finalmente la sección óptima para la columna GK es igual a 30x30 cm2 y
refuerzo total igual a 9.05 cm2 (8φ12), debido a los escasos valores de carga que soporta,
efectuándose el cálculo en 18 iteraciones.
7 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
En la actualidad los procedimientos de diseño están incompletos según [16], [19] y [20], ya
que se preocupan más por el aspecto de resistencia, descuidando el aspecto económico,
generando diseños costosos, a veces hasta prohibitivos en Bolivia.
En función a los ejemplos numéricos presentados, se puede apreciar que el método SQP es
potente y robusto para este tipo de problemas, siendo el más adecuado para problemas de
minimización no lineal restringida. La metodología propuesta no solo es aplicable a diseños
existentes, sino que puede usarse para hacer predimensionamientos de proyectos en desarrollo
y verificar que las secciones asumidas no estén sobredimensionadas.
Al obtener soluciones más económicas frente a diseños tradicionales en un 7.95% para vigas
simplemente armadas y 31% para columnas cortas, se puede considerar al Diseño de Costo
Óptimo (DCO) como una alternativa técnica y económicamente viable para proyectos de
edificación. Para el caso de columnas de planta baja es recomendable disponer de vigas de
arriostre o por ultimo disponer de un sótano para que la restricción de esbeltez g6 no domine el
diseño, ya que produce secciones más grandes frente las restricciones de resistencia g1 y g2.
8 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
[1] Torrano M.S., Diseño óptimo de secciones y elementos estructurales de Hormigón Armado. Tesis Doctoral. Departamento de Estructuras y Construcción. Universidad Politécnica de Cartagena. España, 2003. [2] Comité ACI 318, Requisitos de Reglamento para Concreto Estructural (ACI 318S - 08) y Comentario. American Concrete Institute, Farmington Hills, MI – USA, 2008.
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[3] Pirzada B.G., Saand A. and Durrani N.A., Minimum cost design of rectangular reinforced concrete section using system simulation. Quaid-e-Awam University Research Journal of Engineering, Science & Technology, 1(1): 27-32, 2000. [4] Al-Salloum Y.A. and Siddiqi G.H., Cost-Optimum Design of reinforced concrete beams. ACI Journal Structural, 91(6): 647-655, 1994. [5] Borda F.J. y Rodriguez R.G., Diseño óptimo de vigas de hormigón armado mediante el uso de técnicas de programación no lineal. IV Congreso Internacional ICG de Ingeniería Estructural, Sísmica y Puentes, Lima – Perú, 2010. [6] Córdova A.C., Diseño de Estructuras de Hormigón Armado. Ed. L. d. X. 2º edición. La Paz – Bolivia, 2004. [7] Morales M.R., Diseño en Concreto Armado. Fondo Editorial ICG (Instituto de Construcción y Gerencia) PT – 06. 3º edición ICG. Lima – Perú, 2006. [8] Zielinski Z.A., Long W. and Troitsky M.S., Designing Reinforced Concrete Short-Tied Columns Using the Optimization Technique. ACI Journal Structural, 92(5): 610-626, 1995. [9] Camp C.V., Pezeshk S., and Hansson H., Flexural design of reinforced concrete frames using a genetic algorithm. ASCE Journal of Structural Engineering, 129(1): 105-115, 2003. [10] Borda F.J., Diseño Óptimo de Pórticos de Hormigón Armado sometidos a cargas estáticas mediante el uso de Algoritmos de Programación No Lineal. Proyecto de Grado para optar al Diploma Académico de Licenciado en Ingeniería Civil. Facultad de Ciencias y Tecnología, Universidad Mayor de San Simón. Cochabamba – Bolivia, 2010. [11] Torrano S. y Martí P., Diseño óptimo de geometría y de propiedades de estructuras de hormigón armado. Anales de Ingeniería Mecánica, 2(11): 161-168, 1997. [12] The Mathworks Inc. MATLAB: Optimization Toolbox 4.2, User Guide. MA – USA, 2009. [13] Ravindran A., Ragsdell K.M. and Reklaitis G.V., Engineering Optimization. Methods and Applications. John Wiley and Sons Inc. Second edition. New Jersey – USA, 2006. [14] Taha A.H., Investigación de Operaciones. Una Introducción. Ed. Prentice Hall. 6º edición. Juárez – México, 1998. [15] Armitano O., Edelman J. y García P.U., Programación No Lineal. Editorial Limusa. 1º edición. México, 1985. [16] Elachachi S.M. and Djellouli F., Conception dimensionnelle optimisee des structures courantes en beton arme. XXII Rencontres Universitaires de Génie Civil – Ville & Génie Civil. France, 2004. [17] Revista: Presupuesto y Construcción, Guía de Productos y Servicios. Año 21, Nº 49, Abril – Julio 2010, Publicación cuatrimestral, La Paz – Bolivia. [18] CSI Computers and Structures Inc., SAP 2000 v. 14 – Basic Analysis Reference Manual. Berkeley, California – USA, 2009. [19] Hernández I.S., Métodos de Diseño Óptimo de Estructuras. Colección SEINOR Nº 8. Ed. Paraninfo S.A. Madrid – España, 1990. [20] Coelho V.L., Optimização de Seções Transversais de Concreto Armado. Aplicação a Pórticos. Dissertação de Mestre em Engenharia de Estructuras. Escola de Engenharia de São Carlos. Universidade de São Paulo. Brasil, 2003. [21] Coello C.C., Santos H.F. y Alonso F.F., Diseño óptimo de vigas de concreto reforzado mediante algoritmos genéticos. 2º Congreso Internacional de Investigación en Ciencias Computacionales y Matemáticas, Chiapas – México, 1995.
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DATOS Y CURRÍCULO VITAE RESUMIDO Nombre: José Luis Borda Flores Fecha de nacimiento: 12 de marzo de 1983, Cochabamba (Cercado). Nacionalidad: Boliviano Ingeniero Civil con menciones en Estructuras y Vialidad de la Facultad de Ciencias y Tecnología FCyT - Universidad Mayor de San Simón UMSS. Autor de varias publicaciones sobre interacción suelo-estructura en túneles falsos de hormigón armado y optimización estructural aplicada a la minimización de costos de vigas y columnas de pórticos de hormigón armado. Disertante en distintos congresos y jornadas nacionales e internacionales sobre Mecánica Computacional, Ingeniería Civil y Estructural. Ha desarrollado diversos proyectos de consultaría de forma independiente y con algunas empresas locales sobre: preparación de perfiles de factibilidad y constructivos, levantamientos topográficos para mejoramiento de caminos, cálculo estructural y otros. Actualmente es Consultor en GEOHIDRA Ingenieros Consultores S.R.L., área de Estructuras, donde hace la simulación, diseño y dimensionado de estructuras de túneles falsos de hormigón armado y obras anexas en proyectos de túneles carreteros nacionales. Miembro de la Asociación Boliviana de Ingeniería en Recursos Hídricos ABIRH y de la Asociación Boliviana de Geomecánica BAG. Áreas de interés: Cálculo estructural, Interacción suelo-estructura, optimización estructural, hormigón armado, simulación numérica. E-mail Personal: [email protected] E-mail Trabajo: [email protected] Teléfono Oficina: 591-4-4256287 Dirección Oficina: Av. Heroínas O-165. Edificio Alba II, Dpto. 2A. Cochabamba – Bolivia. Teléfono Domicilio: 591-4-4024119 Cel.: 72747450 Dirección Domicilio: Calle Cap. Héctor Quiroga s/n, zona La Chimba. Cochabamba – Bolivia.