Arte e matematica: la scoperta della simmetria Renato Betti (Politecnico di Milano) S. Pellegrino Terme 1 o settembre 2008
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Arte e matematica:
la scoperta della simmetria
Renato Betti
(Politecnico di Milano)
S. Pellegrino Terme
1o settembre 2008
Simmetria proprietà di figure geometriche in cui i
punti corrispondenti si trovano allineati da
parti opposte e alla stessa distanza rispetto
a un punto (detto centro di simmetria), a
una retta (asse di simmetria) o ad un piano.
(fig.) disposizione, collocazione ordinata e armonica delle
parti che costituiscono un insieme.
Sinonimi: armonia, equilibrio, proporzione.
La vera bellezza è una deliberata, parziale,
rottura di simmetria(proverbio Zen)
Saqqara, 25 sec. a.C.
1. Suggerire principi scientifici
3. Visualizzare la matematica
2. Geometrizzare la natura fisica
Variazioni sul tema del sole
terra
fuoco
acqua
aria
etere
(modello di universo)
I solidi platonici
Le simmetrie di una figura piana sono le isometrie
T del piano che lasciano inalterata la figura: T(F) = F
Classificazione delle isometrie pianeLe uniche isometrie piane sono traslazioni, rotazioni,
riflessioni e glissoriflessioni.
(isometria destrorsa) (isometria sinistrorsa)
Le traslazioni e le rotazioni non alterano l’orientazione
delle figure (sono pari, o destrorse), le riflessioni e le
glissoriflessioni sono isometrie dispari, o sinistrorse.
Le isometrie del piano
traslazione
rotazione
riflessione
glissoriflessione
……
identità
…….
“Quanta” simmetria ha una figura ?
{id , !/2
, !
, 3!/2
} {id , !
, "1 , "
2 }
Per ottenere una “misura” della simmetria non è
sufficiente contare il numero di isometrie che portano la
figura in sé. Bisogna anche tener conto di come si
compongono e della loro parità.
I numeri misurano quantità, i gruppi misurano la
simmetria.
Un gruppo G di isometrie piane è detto discreto se per ogni punto A del piano esiste un cerchio di centro A e (raggio r
A) in cui non sono contenuti altri punti
dell’orbita di A:
{g(A)| g A}
Gruppi discreti di isometrie piane
…………
rosoni
fregi
mosaici
Gruppi (finiti) di isometrie piane
D3={", | "2= 3=id, 2"=" }
D4={", | "2= 4=id, 3"=" }
.............
Dn={", | "2= n=id, n-1"=" }
I gruppi diedrali Dn
(gruppi di simmetria dei poligoni regolari)
I gruppi ciclici Cn
C1={id} C2={ | 2=id}
C3={ | 3=id} C4={ | 4=id}
C1 C2 C3
D2 D3 D4 D5D1
C5C4
……
……
Maya Egitto pre-dinastico
Rosoni dell’Alhambra
Teorema di Leonardo: ogni gruppo di rosoni è un
gruppo diedrale oppure ciclico finito
Bernini, originale della pianta di S. Pietro
fregi del paleolitico
rotazioni ?
no si
rifl. vert. ?
rifl. orizz. ?no si
pm11rifl. orizz. ?
pmm2rifl. vert. ?no
glissorifl. ?
p111 p1g1
pm11 p112 pmg2
Classificazione dei fregi
no si
I gruppi dei fregi
P111 ...PAPAPAPA…
P112 ….NONONONO…
Pm11 ...MAMAMAM…
Pmm2 ….HOHOHOHO….
Pmg2 .....#$#$#$#$....
P1g1 .....#E$E#E$E...
Pm11 …..OKOKOK...
Egitto
Cnosso
I gruppi cristallografici piani
o gruppi dei mosaici
o gruppi di carte da parati
o arabeschi
Restrizione cristallografica: le rotazioni dei
mosaici possono avere ordine 1, 2, 3, 4 oppure 6
(ma non 5)
no no si
no si
no no no no
si si si
si si no
no si no no si no si
no si no
no no si
Rotaz. !/6? Rifles.?
P6 P6m Rotaz. !/2?
Rotaz. 2!/3? Rifles.?
P4
Assi per
centri?
P4g P4m
Rotaz. !?Rifles.?Glissorifl.?P1
Pg Glissorifl.?
Pm Cm
Rifles.?
Glissorifl.?
P2 Pg4
Assi per
centri?
Pmg Centri di
rotaz.?
Cmm Pmm
Rifles.?
P3 Centri di
rotaz.?
P31m P3m1
I gruppi cristallografici piani
p1 p2 p3
p4 p6
pm pg
cm pmm
cmm pmg
pgg
p4g p31m
p3m1 p6m
p4m
p3
p4
p4g
p4g
p4m
pm
cm
cmm
Escher:
Simmetria p3 nel
piano iperbolico
Bibliografia
M.A. Armstrong, Groups and Symmetry, Springer 1988
G. Caglioti, Simmetrie infrante, nella scienza e nell’arte, Clup 1983
M. Dedò, Forme. Simmetria e topologia, Zanichelli 1999
S.V. Jablan, Theory of Symmetry and Ornaments, Beograd Mat. Institut
n. 17, 1995
E.H. Lockwood, R.H. Macmillan, Geometric Symmetry, Cambridge
Un. Press 1978
G.E. Martin, Transformation Geometry. An Introduction to Symmetry,
Springer 1982
H. Weil, La simmetria, Feltrinelli 1962
La simmetria: una scoperta matematica, Polipress 2007
(a cura di R. Betti, E. Marchetti e L. Rossi Costa)
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