ar_ss_tema5(1).pdf

unidad 5 Ecuaciones

Qu es una ecuacin.Solucin de una ecuacin

Pgina 1

Veamos un ejemplo:

2x2 10x = 3 es una ecuacin.

El valor x = 2 es solucin, porque 2 22 102 = 3.

Una ecuacin es una igualdad en la que interviene alguna letra (incgnita) cuyo valor queremos conocer.

Solucin de la ecuacin es el valor de la incgnita que hace cierta la igualdad.

actividadES

1 Comprueba, en cada caso, si cada uno de los dos valores es o no solucin de la ecuacin:

a) 3x + 11 = 38 x = 5, x = 9 b) 5(x 3) = 15 x = 6, x = 6

c) 5x + 1 = 6 x = 1, x = 7 d) x3 20x = 16 x = 5, x = 4

e) 12x x2 = 1 x = 4, x = 6 f) 2x 1 = 512 x = 9, x = 10

g) x x + 1 = 28 x = 3, x = 1 h) x + 3 x 2 = 1 x = 1, x = 6

unidad 5 Ecuaciones

Pgina 2Qu es una ecuacin.Solucin de una ecuacin

Vamos a buscar, por tanteo, alguna solucin de la ecuacin x2 5x + 6 = 0:

Ser x = 0 solucin? 02 5 0 + 6 = 6 ? 0 8 NO

x = 1? 12 5 1 + 6 = 2 ? 0 8 NO

x = 2? 22 5 2 + 6 = 0 8 SI

Resolver una ecuacin es encontrar su solucin (o sus soluciones) o averiguar que no tiene solucin. Seguramente, conoces proce-dimientos para resolver metdicamente algunos tipos de ecuacio-nes. En esta unidad se repasan y amplan esos procedimientos. Pero si llegamos a la solucin mediante cualquier otro camino, tambin es vlida la resolucin.

actividadES

2 Tanteando, halla alguna solucin de cada una de las ecuaciones siguientes (todas ellas tienen solucin entera):

a) 5(x2 + 1) = 50 b) (x + 1)2 = 9 c) x3 + x = 10

d) (x 5)(x + 2) = 0 e) 3x + 1 = 81 f) x x = 3 125

3 Tanteando con ayuda de la calculadora, encuentra una solucin (aproximada hasta las dcimas) de cada una de las siguientes ecuaciones:

a) x 3 + 1 = 100 b) 3x = 1 000 c) 8x 40 = 5

unidad 5 Ecuaciones

El manejo de la calculadora para comprobar si un nmero es o no solucin de una ecuacin

Pgina 3

En la pgina XIII del apndice de tu libro de texto, encontrars indicaciones para comprobar con la calculadora si un nmero es o no solucin de una ecuacin, tanto si tu calculadora es de pantalla sencilla como si lo es de pantalla descriptiva.

actividadES

1 Comprueba si alguno de los nmeros

1,6 5,1 20 3,27

es solucin de alguna de las siguientes ecuaciones:

a) 2(x 4) + 5(x + 7) = 4x + 36,81

b) 3x 45 4(x + 3)

3 = x15

8,88

c) 2x 57 + 3(x 15)

5 = x 12

unidad 5 Ecuaciones

algunas peculiaridades de las races cuadradas de un nmero

Pgina 4

Un nmero positivo tiene dos races cuadradas. Por ejemplo, las races cuadradas de 4 son 2 y 2, pues 22 = 4 y (2)2 = 4.

Si ponemos 4, nos referimos a 2. Es decir, 4 = 2. Pero si x2 = 4, entonces x = 2 o x = 2.

El 0 solo tiene una raz cuadrada: x2 = 0 8 x = 0Los nmeros negativos no tienen ninguna raz cuadrada.

actividadES

1 Resuelve las siguientes ecuaciones dando sus dos soluciones o diciendo que no tienen solucin:

a) x2 = 25 b) x2 = 16 c) x2 + 16 = 0 d) x2 100 = 0

1 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:

a) 1 + = x 8 x =

b) + x = 1 8 x =

c) 4 = + 3x 8 x =

d) + = x 8 x =

e) = 1 8 x =

f ) 1 = 8 x =

g) 4 = + + 8 x =

h) 1 + = 8 x =

i) (x ) = + 1 8 x =

j) 2 (1 ) = 3 (1 ) 8 x = x9x4

3x4

12

23

x6

58

x3

x12

15

2x5

3x2

x6

2x4

x9

13

13

x2

25

3x5

x3

13

x2

UNIDAD 5 Ecuaciones

Pg. 1 de 12. Iniciacin. Resuelve ecuaciones con denominadores muy sencillas

UNIDAD 5 Ecuaciones

Pg. 1 de 13. Ayuda al razonamiento. Obtencin de la frmula

que resuelve la ecuacin de segundo grado

PROCESO

Vamos a resolver la ecuacin general de segundo grado: ax2 + bx + c = 0 con a ? 0.

ax2 + bx + c = 0 8 ax2 + bx = Pasa c al segundo miembro.

x2 + bx = c Multiplica ambos miembros por 4a.

4a2x2 + 4abx + = 4ac Suma b2 a los dos miembros.

(2ax + ) = b2 4ac Observa que el primer miembro es el cuadrado deuna suma y exprsalo como tal.

2ax + b = Haz la raz cuadrada de los dos miembros.

x = b2 4ac Despeja x.

CONCLUSIN

x = b b2 4ac

2a

Las soluciones de la ecuacin general de segundogrado ax2 + bx + c = 0 con a ? 0 se obtienenaplicando la siguiente frmula:

ACTIVIDADES

Resuelve, paso a paso, la ecuacin 3x2 7x + 2 = 0.

3x2 7x + 2 = 0 8 3x2 7x = 8 36x2 x = 8 36x2 84x + = 24 8

8 (6x )2 = 8 6x 7 = 8 x = =

UNIDAD 5 Ecuaciones

Pg. 1 de 24. Ayuda para resolver ecuaciones de segundo grado

1 Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x2 + 4x 5 = 0

8 x = =

b) 2x2 7x + 3 = 0

8 x = =

c) x2 + x + 6 = 0

8 x = =

d) 2x2 7x 4 = 0

8 x = =

e) x2 10x + 25 = 0

8 x = = =

f ) x2 x + 2 = 0

8 x = = = 2 4

2

a =

b =

c =

2 4 2

a =

b =

c =

x =

x =

2 4 2

a =

b =

c =

x =

x =

2 4 2

a =

b =

c =

x =

x =

2 4 2

a =

b =

c =

x =

x =

2 4 2

a =

b =

c =

UNIDAD 5 Ecuaciones

Pg. 2 de 24. Ayuda para resolver ecuaciones de segundo grado

2 Completa el siguiente cuadro:

a b c TIENE SOLUCIN? x1 x2

5x2 8x = 0

x2 64 = 0

x2 3x + 4 = 0

4x2 + x 3 = 0

UNIDAD 5 Ecuaciones

Pg. 1 de 25. Refuerza la resolucin de problemas

mediante ecuaciones

1 Si a un nmero se le quita su mitad y luego su tercera parte se obtiene 9. Cul es ese nmero?

Ayuda: La mitad de un nmero desconocido es y su tercera parte .

Solucin:

2 La base de un rectngulo es igual al doble de la altura disminuida en 4 cm y su permetro es 100 cm. Halla lalongitud de sus lados.

Ayuda: Si la altura es x la base es 2x 4.

Solucin:

3 Un padre de 37 aos tiene dos hijos de 8 y 5 aos. Cuntos aos tienen que pasar para que la suma de lasedades de los hijos sea igua a la edad del padre?

Ayuda: Completa esta tabla para organizar los datos.

Solucin:

4 Una madre tiene 42 aos y su hijo 15. Cuntos aos hace que la edad de la madre era cuatro veces la del hijo?

Ayuda: Completa esta tabla para organizar los datos.

Solucin:

5 Divide 1 600 en tres partes de modo que la segunda parte supere a la primera en 100 y la tercera partesupere a la segunda en 200 .

Ayuda: Completa esta tabla para organizar los datos.

Solucin:

PRIMERA PARTE SEGUNDA PARTE TERCERA PARTE

x x + 100 x + 100 +

x3

x2

MADRE HIJO

EDAD HOY 42 15

EDAD HACE

X AOS42 x

PADRE HIJO 1 HIJO 2

EDAD HOY 37 8 5

EDAD DENTRO

DE X AOS37 + x 8 + x

UNIDAD 5 Ecuaciones

Pg. 2 de 25. Refuerza la resolucin de problemas

mediante ecuaciones

6 Halla tres nmeros enteros consecutivos tales que la diferencia entre el cuadrado del mayor y el del menor seaigual al producto del menor por el intermedio aumentado en cuatro unidades.

Ayuda: x, x + 1, x + 2 son tres nmeros enteros consecutivos.

Primera solucin:

Segunda solucin:

7 La tercera parte del cuadrado de un nmero entero, sumado a la quinta parte del mismo nmero, da como re-sultado 78. Halla dicho nmero.

Ayuda: Si el cuadrado de un nmero es x2, la tercera parte del cuadrado ser .

Solucin:

8 La superficie de un rectngulo es 494 cm2. Halla sus dimensiones sabiendo que una es 7 cm ms larga que laotra.

Solucin:

9 Uno de los catetos de un tringulo rectngulo es 14 m ms largo que el otro y la hipotenusa mide 26 m.Cunto miden los catetos?

Solucin:

10 Tenemos dos tipos de pintura, cuyos precios son 5,2 /kg y 4,6 /kg, para obtener una mezcla cuyo preciosea 5 /kg. Si ponemos 15 kg de la pintura ms cara, cuntos kilos habr que poner del otro tipo de pintura?

Ayuda: Completa esta tabla para organizar los datos:

Solucin:

x2

3

TIPO 1 TIPO 2 MEZCLA

CANTIDAD 15 x 15 + x

PRECIO (/kg) 5,2 4,6 5

COSTE () 15 5,2 x 4,6

mat3eso_recordar_0596_ar_298_rc_398_ar_4101_ar_5