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Razes e otimizao

Razes e otimizaoRenato AssunoDCC, UFMG

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Razes de equaesUm tipo de problema bastante comum o de achar razes de equaes da forma f(x) = 0, onde f(x) pode ser um polinmio ou uma funo transcendentalO valor de x que satisfaz f(x) = 0 chamada de raiz da equao. Raramente podemos obter as razes de tais funes de modo exato.Vrios procedimentos fornecem mtodos para calcular uma seqncia de aproximaes, que convergem para uma soluo to precisa quanto necessria, resguardadas algumas condies

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De funes relativamente simples...Polinmios ecombinaes finitas de funestranscendentais Fcil de plotar.f(x)=3*sin(x2) + e-x - (x-3)2 + 4*x

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...a funes mais complexasAchar a primeira raiz positiva da funo de Bessel de primeira ordem (soluo de certas equaes diferenciais ordinrias)

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Outro problema: maximizaoMaximar uma funo: otimizao de recursos.No fundo, problema pode ser reduzido a encontrar a raiz de uma funo.Achar Maxx f(x) E equivalente a achar a raiz da funo derivadaf (x) = 0 Assim, maximizar reduz-se a achar razes de equaes no-lineares.

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Sistemas de equaes no-lineares

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=/4

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Sistema de equaes no-lineares

Equao do mssilEquao do interceptador

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O que vamos cobrirVamos estudar apenas UMA NICA FUNCAO NO_LINEAR f(x)No vamos estudar sistemas de equaes no-lineares

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Um teorema que dispensa provaAntes de examinarmos vrios mtodos para determinar razes isoladas de f(x) = 0, vamos ver o teorema abaixo e alguns exemplosTeorema: Suponha que uma funo contnua f(x) assume valores de sinais opostos nos pontos extremos do intervalo [a,b]. Isto , suponha que f(a) * f(b) < 0Ento existe pelo menos um ponto x [a,b], tal que f(x) = 0Isto e, existe uma raiz entre a e b.

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ExemplosVamos examinar o comportamento dasfunes f(x)= ln(c xp ) e f(x)= e(x)

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Mtodo da BissecoConsidere o intervalo [a,b] para o qual f(a) * f(b) < 0.

No mtodo da bisseco ns calculamos o valor da funo f(x) no ponto mdio x1 = (a + b)/2

Caso f(x) =0, x1 a raiz procurada e o processo para.

Se f(a) * f(x1) < 0, a raiz procurada est entre a e x1, e repete-se o processo para o intervalo [a, x1].

Caso contrrio, f(x1) * f(b) < 0, e a raiz procurada est entre x1 e b. Logo, repete-se o processo para o intervalo [x1,b]

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Mtodo da Bisseco

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e a raiz procurada

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Preciso e parada: cuidados

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Preciso e parada: cuidados

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Falta ainda o limite maximo do numero de iteraes. Se atingido, enviar uma mensagem de warning: limite atingido

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Exemplo

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Vantagens e desvantagens

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Mtodo de Newton

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Iterao 1

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Iterao 2

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Iterao 3

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Vantagens

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Desvantagens

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Mtodo das secantes

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Ilustrao mtodo das secantes

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Metodo Regula Falsi

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Ordem de convergncia

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