KAMILLA Plv6vAR DA CRUZ ARQUIMEDES: 0 VOLUME DA ESFERA Monognlfia llprcsent:ldn it Banea Examinadol'a do Pl'ograma de Pos-Gl'adua~ao em Educ:H;ao M:ttcmiltica da Univcl'sidadc Tuiuli do Pamna, como exigcncia palTial pam a qllalifica~iio do gmu de -Esllccialista em Edllca~;,o Matemlitica. Ol'icntadol': PI'of. Mestr'c Carlos Petrollzelli UNl VIi:RSIDADE TUTUTI 00 PARANA Curitiba - 2001
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ARQUIMEDES: 0 VOLUME DA ESFERA - tcconline.utp.brtcconline.utp.br/media/tcc/2016/04/ARQUIMEDES.pdf · E como 0 volume do cone e 1/3 do volume do cilindro conclui·se que 0 volume
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KAMILLA Plv6vAR DA CRUZ
ARQUIMEDES: 0 VOLUME DA ESFERA
Monognlfia llprcsent:ldn it Banea Examinadol'a doPl'ograma de Pos-Gl'adua~ao em Educ:H;aoM:ttcmiltica da Univcl'sidadc Tuiuli do Pamna,como exigcncia palTial pam a qllalifica~iio do gmude -Esllccialista em Edllca~;,o Matemlitica.
Ol'icntadol': PI'of. Mestr'c Carlos Petrollzelli
UNl VIi:RSIDADE TUTUTI 00 PARANA
Curitiba - 2001
TNTRODUc;:Ao
A priori, queremos frisar que a conhecimento da genese hist6rica dos
conceitos matematicos pode ser uma ferramenta de grande valia para a
elabora98o da lingua gem matematica. Portanto, enfatizamos tambem que a
genese da produ980 hist6rica do conhecimento expressa com mais profundidade
as conceitos da ciencia matematic8.
o nosso objetivo principal desse trabalho e caracterizar a contribuiC;80 de
Arquimedes para a Matematica, mostrando que a resoluc;ao dos problemas era
feita de maneira empirica, nao havendo regras gerais para a solw;:ao de
problemas semelhantes.
Em particular, daremos enfase ao processo de calculo utilizado par
Arquimedes a cerea do volume da esfera, conceito este consolidado nos trabalhos
ja efetuados per "Euclides" - mais especificamente no livre 5 (Os Elementos) que
aborda 0 estudo de proporl'oes.
Arquimedes - 0 Volume da Esfera
Na bacia do Mediterraneo e em suas adjacencias podemos observar,
atraves dos documentos hist6ricos, que grandes transforma90es econ6micas e
paliticas acarreram do secula VII a.C. aa secula II a.C.
As cidades que surgiram aD longo da costa da Asia Menor e no continente
grego ja nao eram centros administrativQs de urn despotismo oriental. A proposito,
identificamos varias cidades na regiao dominada palos 9re905 que S8 destacaram
devido as suas atividades comerciais. Outro fator que nos chama a atenQflo e a
fonna de governo baseada em principios democn:3ticos que fizeram de Atenas 0
grande centro hegemonica de tada a helade.
Nessa masma perspectiva de desenvolvimento poria mas identificar outras
cidades costeiras que tambem enriqueceram e S8 destacaram, mas, dentre elas,
queremos dar enfase a Siracusa.
A prop6sito, queremos dar destaque a essa nova organiza<;8o social que
propiciou 0 desenvolvimento de varias cidades que se destacavam como centros
comerciais e culturais. Assim, com 0 surgimento de novas necessidades e como
decorrencia desse processo de desenvolvimento nos deparamos com um novo
tipo de homem e de sociedade que tinha na guerra - ou no saque, 0 modelo de
desenvolvimento. E em decorrencia da dissemina9ao das guerras vemos tambem
crescer uma nova classe de comerciantes - os mercadores que nunca tinham
desfrutado de tanta independencia, mas sabiam que estas conquistas eram 0
resultado de uma luta constante e dura.
E como decorrencia desse desenvolvimento comercial destacamos que a
matematica ajudava a encontrar a ordem no caos, a ordenar as idei8s em
sequencias 16gicas, a encontrar principios fundamentais. Ou seja, era a mais
racional de todas as ciencias e tambem queremos destacar a influencia da
matematica oriental na cultura Grega. Os gregos, dado 0 comercio intensivo com
as principais cidades orientais, descobriram depressa que, apesar do grande
desenvolvimento da civiliza9ao oriental, eles tambem tinharn deixado por fazer a
maior parte da sistematizac;ao da ciencia matematica.
Oeste modo, a matematica grega, levada para nossos ambientes,
conservou muita das suas caracteristicas tradicionais. Mas como era de se
esperar ela tambem sofreu as influencias dessa grande civiliza9ao que tinha na
geometria e na astronomia as suas bases de desenvolvimento. Este contato
estreito entre a cultura grega e a cultura oriental foi extrema mente fertil,
especialmente durante os primeiros seculos para 0 desenvolvimento da ciencia
grega.
No entanto queremos destacar que boa parte do conhecimento matematico
foi sistematizado por Euclides e mais tarde aprofundado por Arquimedes.
Neste periodo surgiram os "cientistas profissionaisft ou melhor "os sofistas":
homens que se dedicavam a procura de conhecimento. E um dos representantes
deste grupo, fo; Arqu;medes Este grego nasceu em 287 a.C., na magna Grec;a,
onde hoje e a ilha de Sicilia, na Italia. Estudouem Alexandria e foi considerado urn
dos mais importantes mate maticos gre905 da antiguidade classic8. A prop6sito,
queremos enfatizar a importancia do trabalhos de Arquimedes, como tambem
ressaltar as qualidades desse grande pensador grego. E dentre as sua
descobertas destacamos:
as seus estudos sabre 0 equilibria de figuras planas;
• volume da esfera;
a medlda do circulo;
corpos flutuantes;
as con6ides e esfer6ides;
• e finalmente sobre a esfera e 0 cilindro ao qual daremes destaqu8.
Muitos dos importantes resultados em Geometria obtidos par Arquimedes,
fcram concebidos a partir da equivalencia ou equilibria de modelos fisicos. Assim
podemos supor que sle tenha visualizado urn disco como sendo composto de
circulos concentricos extrapolando 0 modele par cordees.
Nessa perspectiva de analise Arquimedes esticou cada um dos cord6es e
pode intuir e depois provar 0 resultado de que a area do circulo e equivalente a de
um trianguto retimgulo cujo cateto maior e iguat ao perimetro do disco e 0 cateto
menor igual ao seu raio.
Segundo Arquimedes, 0 metoda para calcular areas e volumes baseia-se
em imaginarmos uma dada figura a qual sera decomposta em partes menores que
num processo de aproximac;6es sucessivas totaliza a sua area.
Estas ideias de Arquimedes foram tao ferteis que influenciaram 0
desenvolvimento de grande parte da matematica ate os dias de hoje. Nessa
perspectiva de analise verificamos que esse processo de aproximac;6es
sucessivas permite estimar a area de uma figura qualquer por mais irregular que
seja.
Assim, para obtermos a area de um circulo, podemos tambem decomp6~lo
em partes
E fazendo uso do mesmo conceito podemos imaginar partes cada vez
menores que ao serem colocadas lado a lado por justaposiC;80, se aproximarao
cada vez mais da forma de urn ret~mgulo.
Intuimos assim que a area de um circuto e equivalente a area de um
retanguto que tem por base 0 comprimento do raio e por altura metade do
comprimento do circulo.
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Observamos assim que esse resultado e equivalente aquele obtido por
Arquimedes.
E como decorrencia dessas observar;6es constatamos que a percepr;80 das
formas e os process os de medidas de objetos desenvolveram~se desde
civilizar;oes muito antigas. Isto se comprova atraves dos resultados
surpreendentes ja dominados pelos egipcios como 0 calculo do volume de uma
piramide e suas secy6es.
Esses resultados eram amplamente dominados pelos gregos que por um
processo de decomposir;ao concluiram que piramides de qualquer base tin ham
sempre 1/3 do volume do prisma correspondente.
Aproximando 0 cone sucessivamente por piramides tambem concluimos
que seu volume e 1/3 do cilindro correspondente. E por analogia Arquimedes - de
maneira semelhante ao que fizera nurn plano, partiu para a concep9ao de s61idos
e conclui que toda esfera tern quatro vezes 0 volume de urn cone. Ou seja,
ele conclui tarn bern que 0 cilindro cuja base e igual a urn cfrcuto maximo da esfera
cuja altura e igual ao diametro desta, tem volume uma vez e meia maior que a
esfera.
A figura mostra as tres s61idos - esfera, cone e cilindro - como se disp6es
entre si.
Assim, se conduzimos um corte vertical pela figura, passando pelo eixo
comum, e reproduzimos a figura da secyao teremos:
~I--I! .. ,tI :;""
," I ,/ ~.~r;' i "".! ' I~--- --------.-~ -- --
\ I T, ! I" 'If;:
<!-I-II
'"'------iC. I
----.I
I
. I'=1~'. . IL
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Vejamos como Arquimedes formalizou esse processo: Sejam ABeD um
circulo com diametros perpendiculares AC e BD; um tliangulo (retangulo em A)
isosceles, com base FG e altura AC; e EFGH um retangulo. Girando esta figura
em tome do eixo ee' obtemos: uma esfera, gerada pelo circulo ABeD; urn cone,
gerado pelo tliangulo AFG; e um cilindro, gerado pelo retangulo EFGH. Seja MN
uma reta do plano perpendicular a AC, cortando este segmento no ponto Q. Como
QP = AQ e a triangulo OAQ e retangulo e, como era de se esperar, teremos: