-
ARITUTICA PRACTICAPENTRU
CLASELE SECUNDARE
SPIRU C. HARETUProfesor la Universitatea din Bucuresci
EDITIUNEA a VI-a, rev6clutd
BUCURESCI1:EDITURA LIBRARIET SOCECU & Gomp.
21, CALEA VICTOETEY7 21
1896.
Pretui lei 1,50.
. .
r
/
DEI. .1
,
*ACADEM'IL1 4.
1W.\
www.dacoromanica.ro
-
ARITIETIOA PRACTICAPEN'TRU
CLASELE SECUNDARE
DE
SPIRU C. HARETUProfesor la Universitatea din Bucuresei
EDITIUNEA a VI-a, reveciutd
BUCURESCIEDITURA LIBRARIEI SOCECU & Comp.
21, CALEA yICTORIEY, 211896.
www.dacoromanica.ro
-
'9137. Stabilimentul grafic I. V. SOCECO". Bucuresci.
www.dacoromanica.ro
-
ARITMETICA PRACTICAPENTRU
CLASELE SECUNDARE
www.dacoromanica.ro
-
PR EFATA
Ctr Domnii Profesori de eoli seeundare
Programa cOlelor secundare prevede, in primeleclase, aritmetica
elementara. De re-ce colarif poseddeja cunotinta ei din clasele
primare, repetireaare de scop a intari acst cunotinta, inainte de
ase intra in studiul altor parti de sciinta mai superiOre.Tot de o
data insa, de re-ce etatea colarilor estemai inaintata, se pot cu
dinii complecta i desvoltamai bine unele parti de materie, ceea ce
nu se puteaface in clasele primare. Ast-fel, in unele puncte,
nueste gret a se da chiar explicatiunea rationale a unorregule, fan
a ei din limitele impuse de programa,care cere numal aritmetica
practica; cu modul acesta,pe nesimtite se face un pas 'insemnat de
introducerein aritmetica rationata.
De acea, cartea de fata, de i purtand acelatitlu ca i cea
destinata claselor primare, se distingede dinsa prin adaogirea a
dou capitule, asupra pro-
el
www.dacoromanica.ro
-
6prietatilor numerelor, 0 asupra puterilor 0 radacinilor,precum
i a altor cate-va cestiuni, carl nu puteag gasiloc in cartea pentru
incepatori. De alta parte, amrestrins, pe cat s'a putut, WA a
compromite integri-tatea cursului, pailile de tot elementare a
caror cu-noscint nu e cu putinta sa nu o aiba copil ce intrain
scolile secundare. In fine, pe ici pe colo, nu m'amtemut a pune i
ceva rationamente, de tot simple.
Peste tot, m'am silit sa fit deicea mai mare con-cisiune,
convins fiind-ca, in mare parte, acusarea cese aduce programelor ca
sunt prea incarcate, vinei din prolixitatea imora din manualele de
c61.
A fi fericit daca a fi reuit a aduce inveta-mentuluI un servicia
macar cat de mic.
S. C. H.
www.dacoromanica.ro
-
ARITMETICA PRACTICA
CAPITOLUL I.
Definitiunl. Numeratiunea.
1. Unitatea sat unimea Pste un lucru singur. Asa, unom, un mar,
o carte, sunt unimi.
Unitate se mai chiam i mrimea cu care m6surammArimele de acelas
fel. Asa, metrul, cu care masurrn hm-gimile, gramul cu care masurAm
greutAtile, sunt unitati.
2. Num& se chiama, o grup6 de una sat mai multeunitati de
acelas fel. Ast-fel, cinci oameni-, trei mere, sese
o easel, sunt numere.Tot numere sunt i dna, trel, sse, una,
chiar cand
nu spunem anume ce fel de lucruri insemnza ele.3. Numb' concret,
este acela in care se. spune felul lu-
crurilor ce insemnz11; si num& abstract, este acela in
carenu se spund felul lucrurilor ce insemndz6,. Ast-fel,
cincioamenr este numdr concret, iar cinct este numdr abstract.
4. Aritmetica este sciinta numerilor. Ea ne inva0 s5,numim
numerele, s le scriem i sa. le calculam.
5. IVumerafiunea este partea din aritmeticA care se o-cup b. cu
numirea, scrierea i citirea numerelor.
Numirea numerelor.
6. Cele d'intait zece numere at urmAtOrele numirT :Jena, doue',
fret, patru, cincr, sise, pipe, opt, mull, zece.
0 grupA, de zece uniihl se chiamA o zecime.
arfr,
www.dacoromanica.ro
-
8O grup b. de tece zecimi se chiamA o sutd sau sutime.O grupa de
zece sute se chiam o mie.Regula I. Pentru a numi un numer pima la o
mie,
numim pe rand num&ul sutelor, zecimilor ,ri unimilor
cecoprinde el.
Esemplu. Un numr care ar coprinde trel zecimi, opt unimisi cinci
sutimi, se va nuini asa : cinci sute trel zed si opt (unimi).
Cuvintul de unimr de ordinar nu se mal spune.7. 0 grill:A, de o
mie de ma se chiam5, un milion.O grup5, de o mie de miline se chiam
un bilion.O grup, de o mie de biliOne se chiam D. un trilion.i asa
mai departe.jirul numerelor este nesfar,cit.Regula II. Mule,
milinele, bilinele, etc. se numh-d
ca unimile.Vom avea dar :Mil ;Zecimi de mil ;Sute de mii
;Miline;Zecimi de miline ;Sute de miliOne ;Biline;Zecimi de biline
;Sute de bilicine ;etc.8. Regula III. Pentru a numi un num& mar
mare de
cat o mie, numim mar intai grupele de felul cel mai mare ; fipe
urna, pe rand pe cele-lalte,mergand ',and la cele mai mice.
Esemplu. Dac .. un numr coPrinde :Dou6 sute-trel-spre-zece mil
;Patru sute opt miliOne ;Cinci-sute dou6-zeci si una de unitatl
;Dou6-zecI si patru de biline;
el se va spune asa :
www.dacoromanica.ro
-
9Dou-zecl i patru de biline, patru sute opt miline,dou6 Bute
trei-spre-zece mil, cinci sute dou-clecl i una.
Scrierea numerelor.9. Prime le noul3 numere se suit cu
urmacirele semne,
cari se chiama cilre: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.Tar semnul 0 se
chiama zero sat nuld; el insemnza, nimic.
Regula I. Pentru scrierea numerelor cari nu suntcoprinse intre I
i 9, se face invoire ca o cifrd pusd lastanga alteia se insemneze
de zece ori mat mult de cat dacdar fi pusd in locul aceleia.
Esemple. I. Cand scriem83,
cifra 3 insemnza uniml; iar cifra 8, pus la stanga el,
insem-nOza zeciml, carl sunt de zece orl me marl de cat
unimile.
Din contra, scriind38,
cifra 8 insemnza unimi iar 3, care e la stanga
unimilor,insemn6za zeciml.
II. J. numrul48709,
cifra 9 lnsemn6za unimi ;Cifra 0, pusa la stanga lui 9, tine
locul zecimilor;Cifra 7, pusa la stanga lul 0, insemn6za sute
;Cifra 3, pusa la stanga lul 7, Insemn6za mil ;Cifra 4, pus la
stanga lul 3, insemnza zeci de mil.II. Din regula I, urmza ca
:Cifra cea mai de la dr6pta a unul numr insemneza unimLA doua
cifra, spre stanga, zecimt ;A treia cifra, sute;A patra cifr, mit;A
cincia cifra, zed' de mil' ;A 6sea cifra, sute de mit;A ptea cifra,
miluMe;A opta cifra, zed' de milicine;A mina cif: a, sute de miline
;
10.
www.dacoromanica.ro
-
10
A zecea cifra, ;A un-spre-zecea cifr, zea de billne ;
douspre-zecea cifr, sute de biliime;A trel-spre-zecea cifra,
trilione, etc. etc.Prima, a doua si a treia cifr, represint clasa
unimilor;A patra, a cincea si a s6sea, clasaA leptea, a opta si a
noua, clasa miliOnelor;A zecea, a un-spre-zecea si a doue-spre
zecea, clasa
Iiimelor etc.12. Regula IL Ca sd scriem un num& in cifre,
scriem
num&ul unimilor aeij fie-care fel, punand cifra care le
re-presint la locul ce z se cuvine, chip regula I; lar dacduncle
feluri de unimi lipsesc, locul lor ii implinim cu nule.
.Esemplu. S. se scrie in cifre numrul : patru bilidne,dou-sute
opt-spre zece milidne, cind-sute trel-zeci de mil,noue-sute
septe-zecI i se.
Acest nu mei- se scrie asa :4,218,530,976.
Am soils 4, pentru bilidne ;La drepta bilidnel or, am pus 2,
pentru sute de milidne, pen-
tru c bilidnele aunt de zece orT mai marl de cat sutele de
milidne;La drepta sutelor de milidne, am pus 1, pentru zed de
milidne.i asa maT departe.Neavend mil", am pus zero in locul
lor.
Citirea numerelor.Regula. Pentru a citi un num& scris in
cifre, 11 des-
parlim in despdrfituri de tre1 cifre, mergiind de la drePtaspre
sfang-a, ,si citim fie-care cifrd, de la stanga spre dripta,spunind
la fie-care numele felulia de unimi ce' represintd.
Esemplu. St se citsca numerul :12,624,308,116.
Dupa, ce-1 despart dupe regula, vac] a el se citeste asa
:Dou-spre-qece biliOne ;se-sute dou-zecl i patru do
miliOne;Trei-sute opt mii ;
A
miller;
03.
ti
www.dacoromanica.ro
-
11
0 sun, ssesprezece.Pentru a se scurta vorbirea, cuvintele
mit nu s'at repetat la fie-care cifr, ci s'a spus numai
dupafie-care desprtitun de trei cifre.
CAPITOLUL II.Operatiuni asupra numerilor intregi.
Adunarea.14. Adunarea este operatia prin care unim unintile
mai multor numere de acela fel in un singur numr, carese chiam6,
sumd.
Cand dou sail mai mlte numere trebue s se ad une unulcu altul,
se pune intre dinsele semnul , care se citeste plus.
Esemplu. Cat fac 7 mere si cu 5 mere? R. 12 mere.12 este suma.
Acsth adunare se scrie:
7 5.15. Adunarea numerelor de cate o cifrd se face din
memorie.Esemplu. 5 + 8 +3 + 7 23.16. Regul. Pentru a aduna
numere de mal multe
cifre, le scrim unele sub altele, tqa ca unimile sa fie
subunimi, zecimile sub zecimi, sutimile sub sutimi, ,ri a,ra
maideparte. Adundm cifrele din fie-care coland vertzcald,incepandde
la unimi, ,si suma, dacd e mat mica de tht o scriemdedesubt ; iar
dacd e mat nzre de cat zo, scriem dedesubtnumai unimz7e et, i
zecimile le adundm la suma colonel' dealaturt de la stanga.
Esemplu. Sa se adune numerele 637, 5091 si 28.637
509128
5 756 . . . Suma.Suma colOnei unimilor a fost 16 ; am scris
dedesubt uni-
mile 6, iar zecimea 1 am adunat-o la colOna zecimilor.Suma
colemei zecimilor, Impreuna cu 1 zecime venit de la
adunarea unimilor, a fost 15; am pus pe 5 dedesubt, iar 1
zecime
biliOne, miliOne,
10,
www.dacoromanica.ro
-
32
de zeciml, care facea 1 sun., am adunat-o la coldna
su-telor.
Suma coldnef-sutelor a fost 7, iar a coldnel miilor 5 ;le-am
scris pe fie-care dedesubt.
17. Proba adunarii. Proba uneT operatil se chiamAo alt6,
operatie, pe care o facem ca s ne incredintAm cAcea d'inttia a fost
bine facuta.
Pentru a face proba adundrir, dacd am adunat nume-rele merglind
de sus in jos, le vom aduna a doua oard mer-gyind de jos in sus ;
,si daa suma gasitd a doua oard estetot una tu cea gdsitd
intlziii,i lucrdrea a lost bine facutd.
Esemplu. Proba. . . 5756687
509128
Sumn. . . 575618. Proba adundrir se mal pole face, desfdaind
adu-
narea in mar multe adundrt par-gale, ,si adunnd sumeleafiate de
la fie-care adunare par/jai d ; suma lor trebue sd fieeg-aM cu suma
tutulor numelor date.
Esemplu. 32181405
7100347
629 75673 . . Suma, partialA.11803 88704
825222325 88223 . . Suma. partiala.
18650
341605483
Suma p-neraltt 508977 345081 . . Su ma, partialL508977 . . Su ma
general.
www.dacoromanica.ro
-
13
Probleme. I. Cine va a vindut o casn, cu 5124 lei, ovie cu 9436
lei, i o gradina cu 3752 lei; -cati lei a luat cutotul ? (R. 18312
lei).
II. Intr'o gradina se afl 518 pruni, 87 meri, 359 peri,
413ciresi 0 92 alti arbori ; cati arbori sunt cu totul ? (R.1532
arbor!).
III. De la Giurgiu la Bucurescl sunt 67 kilometri; de
laBucuresci la Pitesci 108 kilometri; de la Pitesci la Slatina,
81kilometri ; de la Slatina la Craiova, 61 kilometri ; cati
kilo-metri sunt de la Giurgiu pana la Craiova? (R. 317
kilometri).
IV. Cine-va a cump6rat o Casa cu 28316 lei, i o vindepe urma,
mai castigand la vinzare 4126 lei ; cu cat a yin-dut'u ? (R. Cu
32442 lel).
V. 0 ostire num6ra 14515 solda.ti de infanterie si 5729
decavalerie ; cati soldati numra ea cu totul? (R. 20044
soldatl).
VI. Cine-va face o cash i cheltuesce 8226 lel cu cumpra-rea
locului, 14369 lei cu zidirea case, 2962 lei cu lernnaria1413 cu
feraria; cat il costa casa cu totul ? (R. 26970 lei).
VII. Un proprietar pune sal sape un put, i platescelucratorului
5 lei pe primul metru, 7 lei pe al douilea, 9lei pe al treilea, i
asa mai departe, mailed plata cu cate 2lei la fie-care metru ; cat
va plati cu totul, sciind ca adan-cimea putului a fost de 8 metri ?
(R. 96 lei).
Scaderea.19. Scdelerea este operatia prin care sctem unimile
unul num6r mai mic din ale altuia mai mare de acelas. fel.Numrul
cel mai mare se chiama desazut; numrul
cel mai mic se chiamil sceIzeltor; iar ceea ce remane dupace se
face scaderea, se chiama rest sail difereng.
20. Scazatorul se scrie la dr6pta descazutului, i intredinsele
se pune semnul care se citesce minus.
Esemplu. Din 8 mere se scad 3 mere ? cate ail mairmas ? R. 5
mere.
8 este descazutul, 3 sea ztorul, 5 restul. Acst sea-dere se
scrie 8-3.
,
1
9Si
www.dacoromanica.ro
-
14
2 1. Din chiar definitia scaderii se vede c, daca adunampe
scazator cu restul trebue sa regasim pe descazut; asa dar
R egula I. Descazutul este egal ca scdzatorul plus restul.As.t,
in esernplul precedent, 8 = 3 + 5.22. Scaderea numerilor mici, de
cede o cifrci sail dour,
se face din memorie.Esemplu- 13 8 = 5.23. Regula II. Pentru a
scadea unul din altul dour
numere de mat multe cifre, scricm pe cel mai mic sub celmai
mare, ca 19 adunare, ,si.scadem fie-care cifra de jos dincea de
d'asupra et,scriind restul dedesubt. Daccl vre-una dincifrele de
sus este mai mica de ciit cea de sub dinsa, o ma-rim cu 10, ci pe
urma mdrim cu r cifra de jos din stanga.
Esemplu. S. se scada 4356 din 7503.7503 Desca zutul.4356
-Scaztorul.3147 .
6 unimi nu s'ati putut scadea din 3 unimi; am maritcu 10 pe 3,
si atuncl 6 scazut din 13, a dat restul 7.
Pe 5 zecimi l'am marit cu 1, tacandu-se 6 din causa ma-rirel lui
3 de la unimile descazutului. Inn nu se p6te scadeadin 0; am marit
pe 0 cu 10, si atuncl 6 din 10 da rest 4.
La sute, 3 de la scaztor facut 4, care scazutdin 5 da rest
1.
In fine, la mii, 4 din 7 ha rest 3.Restul este dar 3147.24.
Proba scaderii. Proba scadera se face adunnd
pe scazrtor cu restul, suma trebue sa fie egala cu
descazututlEsemplu. 7503 Descazutul.
4356 Scaztorul.3147 Restul.7503 Proba.
Pr oble m e. I. Cine-va avea o datorie -de 14302 lei; adinteinsa
4266 lei; frisa pe urma s'a maI imprumu-
tat cu 2118 lei ; cata datorie mai are? (R. 12154 lei).
Restul.
sail
pltit
www.dacoromanica.ro
-
15
IL 1ntr'o corabie s'a incarcat 76531 kilograme de marfa;pe drum
se strica 14937 kilograme din acsta marfa ; catamarfa a mai r6mas
bunk ? (R. 61597 kilograme).
III. Un judet are 236511 locuitori ; alt judet are
316083locuitori; cu cati locuitori este mai populat un judet de
cataltul? (R. Cu 79569 locuitori).
IV. Un calator avea sa faca un drum de 263 kilo-metri ; el a
facut dintr'insul 96 de kilometri; cat drum i-amai rOmas de facut ?
(R. 167 kilometri).
V. Cine-va cumpra postav de 59 lei si da un bilet de100 lei ;
cat rest i se cuvine ? (R. 41 lel).
VI. Doi negustori ail pus in tovarasie un capital de21500 lei;
din care partea celui d'intaiil este de 13882 lei ;care este partea
celui de al doilea ? (R. 7618 lel).
VII. 0 mosie s'a cumprat cu 49328 lei; inteinsa s'ailmai facut
cheltuell de 12752 lei, si pe urma s'a vindut indou una de 42305
lei, iar alta de 27114 lei; cat s'acastigat la Oinsa? (R. 7339
lei).
Immultirea.
25. Immultirea este operatia prin care adunam un nu-m6r de mai
multe
Num6rul care trebue sa se adune se uhiania deimmul-fit; numrul
care arata de cate orl trebue sa se adune de-immultitul, se chiaina
immulfitor.
Amandou6 cu un nunle, se chiama factort.Resultatul immultirei,
se numesce produs.Semnul immultirei este X, care se citeste
immultit cu.Esemplu. In clasa nOstra sunt 4 band, si in
fie-care
banca se afla cate 6 copii ; cati copii sunt cu totul in clasa
?R. 6 + 6 6 + 6 copil, sail 24 copii.
In acest esemplu, factorii sunt 6 si 4, din earl 6
estedeimmultitul si 4 immultitorul ; produsul esle 21.
26. Regula I. Dacd deimmulfitul este nundr concret,
parti;
ori.
www.dacoromanica.ro
-
16
produsul este i el numer tonere% de acelal fel cu
deim-mullitul.
Esemple. I. Un lucrator a primit in 4 zile, cate 6 lelpe zi; cat
a primit peste tot ? R. 21 leI, pentru ca 6 lel+6 lel+ 6 lel+ 6 leI
=21 lel.
Deinmultitul a fost id. i produsul tot let.S'at cumprat 7 metri
de stofa, i s'a platit cate.
5 lei metru; cat costa OM stofa ? E. 35 leI, pentru ca. 5lel + 5
leT + 5 lel+ 5 lel + 5 leI + 5 leI + 5 lel =35 lel.
deimmultitul, i produsul at fost lel.27. Immullirea numerelor de
ate o air ?! se face din
memorie.Pentru acesta serva tabla immultfrel numerelor de
cate
o cifra, care se pune sub urmatOrea forma prescurtata :
Orizontale
1 2 3
2 1
3
4
5
6
7
8
9
4 5
4 6 8 10
6 9 12 15
8 12 16 v0
10 lb 20 25
12 18 24 80
14 21 28 35
16 24 32 40
18 27 36 45
67 7 8 1 912
18
24
30
36
21
28
35
42
24 1 27
32 1 36
40 1 45
48 54
42
48
54
49 56 63
56 64 72
63 72 81
AcstA tabla, se nuniesce labia lul Pitagvra.Pentru a gnsi
inteinsa prod usul a dou numue de ate o
cifra, spre exemplu al lul 8 prin 6, cautam pe deimultitul 8
inprima linie orizontalA, i ne scoboram de la dinsul in jos pan6,
la
0a>
14 16 13
II.
.1
,
1
--
--
www.dacoromanica.ro
-
17
Mita orizontala care trece prin nume'rul 6, pus in prima
colOraverticalti la stanga ; i acolo gasim produsul 48.
28. Regula II. and inmultitorul are numai o cifrd.iar
deinmultitul mat multe, inmultim cu pe fie-care din cifrele
deinmultitulut, mergand de la drpta sprestanga. Dacd hrodusul este
mai mic de cat io, ii scriemtsubcifra cu care Pam cdpdtat; iar dacd
este Asaimare de cat 10, scriem dedesubt numar unimile hit ,ri
num?-rul zecimilor addogim la produsul urmetor.
Esemplu. S. se inmultsca, 3078 cu 6.3078 . . . Deinmultitul.
6 . . Inmultitorul18468 . . . Produsul.
Am zis: de 6 ori 8 fac 48 ; am scris dedesbut cifra 8
a-unimilor, iar 4 de la zecimi ii tinem ca sA-1 adAogim la
zecimi.
De 6 orl 7, fac 42; i cu 4, tinute de la Unirill, fac 46 ;scrit
pe 6, si tin pe 4.
Urmand tot aa panA la fine, gAsesc produsul 18468.29. Regula
III. Cand ,si deinmultitul
ad mai multe cifre, scriem pe inmultitor sub deinmulfit, caIa
adunare; pe deinmullit cu fie-care cifrd a in-mullitorulur, dupd
regula II, ,ci fie-care produs Ii scriemdedesubt, incepand de sub
cifra ininuijitorulzd cu care lain.cdpdtat; adundm tote aceste
produse ast-fel (tie sumaeste produsul total.
.Esemplu Sa se inmultsca 28453 cu 607.28453 . . .
Deinmultitul.
607 . Inmultitorul.199171
17071817270971 . . . Produsul.
Am inmultit pe 28453 cu 7, i produsul 199171 l'anasods dedesubt,
incepand de sub 7.
Am inmultit pe 28453 cu 6, i produsul 170718 l'amscris dedesubt,
incepand de sub 6.
49137. AritInetka. Ed.. VI. 2
deinmulfitului
II
inmulfitorul,
pi
.
www.dacoromanica.ro
-
18
Zecimi nefiind la inmultitor, nu am inmultit cu ele.Adunam cele
dou6 produse dobandite, asa cum sunt
aseclate, gasim 17270971, care este produsul total.30. Regula
IV. Dacd vre-unul din factort, sail si a-
mndot, all nule a sfiirsit, inmulfim feird sti ne nitaln
ladinsele, si le scriem numai la drepta produsulta.
Esemple. Sa se inmultsca 438000 cu 50600.43800050600
2628219022162600000
Am inmultit numaI pe 438 prin 506; si la drpta pro-dusulul
221628, am scris pe cele cinci nule de la deinmultitsi de la
inmultitor.
II. SA se inmultsca 4286 cu 1000.Urmand dupa regu1a, gasesc ca
produsul este 4286C00.
Asa dar, dacd inmullitorul este 1 urmat de nule, produsulse
gtisesce scriind acele nule a drepta deinmulfitulur.
31. Proba inmultirel. Ca sd facem proba inmulfirei,schimbam
rtindul factorilor, inmulfim din nal; dacd pro-dusul ce cdpittdm
acum este tot una cu cel lucrareaa fost bund.
Esemplu.Inmulfire. Proba
Deinmultit 4608 527 . . . DeinmultitInmultitor 527 4608 . .
Inmultitor
32256 42169216 3162
23040 2108Produs 2428416 2428416 . . . Produs
Probleme. I. Un stknjen de lemne costa 58 lel; catvor costa 26
stanjenl? (R. 1508 lel).
II. Un padurar taie si curta 28 de arbori pe zi; catT ar-boil
putea el sa tale i s curete In 49 zile? (R. 3 127 arborI).
,si
. .
vs
www.dacoromanica.ro
-
19
III. Inteo zi sunt 24 de ore, si intr'o ora 60 minute;cate
minute sunt in 8 zile ? (R. 11520 minute).
IV. Cat costa 27 bucatT de panza, de cate 56 metrifie-care
bucata, cate 2 lei metrul? (R. 3024 lei).
V. Cat costa o mosie de 326 pogke, protul unui po-gon hind de
135 lei? (R. 44010 lei).
VI. Intr'o fabrica lucrza 42 de lucratori, a cate 3 lei pezi de
fie-care lucrator. Cat se platesce la tog lucratorii pe zi? catli
se platesce pe 6 zile? (R. 126 lei pe zi; 756 lei pe 6 zile).
VII. Un om castiga 118 lei pe luna; cat castiga pe? (R. 1776
lei).
VIII. Cate minute sunt intr'un an de 365 de zile? (R.525600
minute).
IX. 0 carte are 236 pagine ; pe fie-care pagina suntcate 28 de
randurl, si in fie-care rand cate 39 de litere ;-cate litere sunt
In OM cartea ? (R. 257712 litere).
Impartirea32. Imparfirea este o operatie prin care scadem pe
un
nunir din altul de 01e-oil se 'Ate.Num6ru1 din care trebue s
scadem, se chiama deim-
,peYrfit; numrul pe care trebiF, scadem, se chiarnaiar
resultatul impartirei, se chiama tht.
33. Impartitorul se scrie la drpta deirnpartitului,intre dinsele
se pune semnul : care se citesce imparfit cu.
Impartirea se m0 arata si scriind pe impartitor subdeimpartit,
si despartindu-I printr'o linie dr6pta orizontala.
Esemple. I. In clasa nstra sunt 24 de scolari, si Infie-care
banca incap cate 6 scolari; in cate band vor inca-pea toti colarii?
R. In 4 band' ; pentru a punnd 6 sco-lari in banca 1.a, 6 in banca
2-a, 6 in banca 3.a si 6 inbanca 4-a , se implinesce numrul de 24
scolari.
24 este deimpartitul, 6 este impartitorul, si 4 este
catul.Acesta irnpartire se scrie asa :
24sail24 : 6,
6
-
sail tut-pIrfiter;
pi
www.dacoromanica.ro
-
20
IL Cine va vrea sa imparta 20 mere la 5 copii; catemere trebue
sa dee la fiecare cate 4 mere ; pentru ca(land mai intal fieadrui
copil cate tin mar din cele 20,facand acsta de 4 ori, se isprveso
tOte cele 20 de mere..
20 este deimpartitul, 5 este impartitorul, si 4 este catul.III.
S'a pldtit cate 7 lei pe metrul de postav ; cati
metri de postav se pot cump6ra cu 25 lei?Vom socoti asa :Din
col' 25 lei, pot sd scot de 3 oil cate 7 lei: prim
urmare pot cumpara 3 metri de postav. Insa 3 metri, a 7lei, fac
numai 21 leT; prin urmare ail mai rrnas 4 lei, eaearl nu pot
cump6ra Inca in metru de postav.
In acest esemplu, impartitorul 7 riu s'a putut sc,ddeadin
deimpdrtitul 25, asa incat O. nu mai r6mana uimicNum6ru1 4 care a
t6mas se chiama restul imprfire ; ir im-prtirea se zice a nu se
face exact.
34. Regula I. Rtstul este tot-d'a-una nue mic de
catimptYrfitorul.
35. Din definitia impartirel, precum si din esempleleprecedente,
se vede cd, daca adundm pe impartitor de ata-tea oil cate unimi are
catul, i daca adunam Si restul, candse afla, trebue sa regasim pe
deimprtit. Asa dar'
Regula II. DeimAyitul este egal cu imparlitorulcu catul, plus
restul, and se afid
Ast-fel, in esemplul I, 24=6X4 ;in esernplul 11, 20=5X4 ;in
esemplul III, 25.7>
-
21
icu caul, 3 lei; iar restul, 4 lei, este de acela fel cu
de-ImpArtitul 25 la
37. Imparfirea numerilor celor mid se face din me-merle.
Esemple. I. SA se linpartA 40 prin 8.Catul este 5, pentru c
8x5----40.II. S. se impart 7 prin 9.Catul este 6, cu restul 3,
pentru a 9 X 6+ 3=-57.38. Regula IV. Daca imparfitorul are mar
multe
daca inmulfit cu 10 se face mar mare de cat deim-parfitul,
despdrfim la stanga deimpdrfitulur una sa doue.cifre, cafe trebite
ca porn confine prima cifrd a imparfito-rulur,si numerul
desparfitll impartim prin acea prima cifrd
iMpdiforului cu claul afiat, inmulfim pe tot imparfito-produsul
acesta II scadem din deimpdrfif. arca scd-
derea se pole face, catul aflat este bun; iar daca nu, el
mal.trehue micsorat, si din nod trebue inmulfim pe impdrfitorcit
dinsul i produsul sel scddem din deimpdrfit. Restul ce-va remane
din acista scadere va fi restul impdrfirer, ci tre-hue sd _fie mar
mic de cat imparfitorul.
Esemplu. SA se imparta 24305 prin 4753.Impartitorul este 4753;
dacal inmultesc cu 10, adea daa
'1 adaog o nula la lne, el se face 47530, numr maT maxe de
catdeimpAi titul 24305; aa dar impArtirea se face dupa regula
IV
Deimpartftul . . 24303 4753 ImpArtitorul,23765 5 . . Catul.
R,estul . 540Prima cifra de la deimpArtit, 2, nu pOte coprinde
pe prima
cifra de la impArtitor, 4 ; de acea luAm primele dou6 cifre dela
deimpartit, i le Impartim eu 4. Catul este 6; insA dacA in-multesc
pe 4753 cu 6, gasesc un produs mai mare de cat 24805;de aceea, lag
pe 6 si pun pe 5 la cat. Produsul lui 4753 prin.5 este 23765, care
este mai mic de cat 24305, si scadut din-tr'insul d restul 540,
I-nal mic de cat 4753; prin urmarecatul impArtirel ml 24305 prin
4753 este 5, cu restul 540.
,vi
s
,rul, ,vi
ti-fee,
at
54
www.dacoromanica.ro
-
22
39. Regula V. Dacd impdrritorul inmulgt en ..to estemai mic de
cat deimpdrfitul, desparlim.de Ia stavkz deim-
atatea cifre ate trebue ca th coprindli pe impdr-impdrlim dupd
regula IV: La dripta restului ce va
remane, scriem cifra nrmdtOre a deimpdrfitului, i imparlinzdin
nod prin imp4r/itov, urnzand ast fel pand se vor terminatote
cifrele deimpdrlitului. Dacd vre-una din impdrfirile a-cestea nu se
va putea face, vom pune zero la cat, iar lucra-rea se va urma
intoczned dupd reguM.
Esemplu. SA se impartg 19110561 prin 3789.ImpArtitorul 3789
inmultit cu 10, face 37890, numr-
mai mic de cat deimpArtitul ; prin urmare vom aplica re-gula
V.
Deimpgrtiitul . 19110564 3789 Impartitorul18945 5043 Catul
165561:5156
1400411367
Restul 2637De la dein-1.04ft, am despartit cifrele 19110, ate
pot
coprinde pe 3789, si irnpArtind dup. regula V, am gasitcatul 5,
pe care l'am scris la cat, i restul 165.
La drepta acestui rest, 165, scriu cifra 5, care vine
ladeimpArtit indatA dupg 19110, si formez numrul 1655, pecare il
impart rgsi prin impartitorul 3789 ; insa fiind-a-1655 e mai mic de
cat 2789, pun 'zero la cat.
Urmand tot asa pang, se terming, tOte cifrele de la de-impartit,
ggsesc catul 5043 si restul 2637.
Regula VI. Dacd impdrlitorul are nule Ia fine,le Mthm la o parte
; tdienz ,si de la finele deimpIrfitulut totatatea cifre cate nule
all fost la imparfitor, imprfinz nu-nua numerele ce mai relme'n;
iar la drepta restuluz scrientcifrele ce am tdiat de la
ddmptIrlit.
filar, fi
40.
pdrfitulut
www.dacoromanica.ro
-
23
Esemplu. S6, se impartA 1046568330 prin 413000.1046568530
413000826 253122052065
1406123916781652
26530Am lnsat la o parte cele trei nule de la drepta Im-
pritoru1u, precum Si cele treT cifre 530, de la drpta
de-ImpArtitului, si am impArtit numaY numerile ce a mai r6-mas,
adica 1046'568 prin 413. Am gAsit catul 2531 i restul26. La drpta
acestuY rest, am scris cifrele 530, thiate dela deimpArtit, asa, c
restul adevrat este 26530.
41. Proba imprtirei. Proba in:par/ire se face in-mulfind pe
impeir/itor cn thtul ci adunend restul, colnd seaft& Dacd
resultatul este egal cu deimpdrlitul, operapa a lostbine fdcuM.
Esemple. I. SA se fac proba impArtirei lig 89816 prim827, la
care am gAsit catul 108, farA rest.
827 . . . ImpArtitorul108 . . . CAtul
661682789316 . DeimpArtitul.
IL Am impArtit pe 173509 prin 4582, si am gAsitcatul 37 si
restul 3975. SA se faca. pioba.
4582 . . . ImpArtitorul37 . CAtul
3207413746
16953439 3 Restul
173509 . Deimprtitul
,ri
.
www.dacoromanica.ro
-
24
Probleme, I. Pentru 426 chile de orz s'at platit 8946lei ; cat
costa chila ? (R. 21 lel).
II. 31 de Omeni, lucrand impreuna, ai sapat un sant lungde 44-2
metri; cati metri a sapat fie-care din el? (R. Cate 13 m.)
III. S'at platit 708 lei pentru nisce lemne fie-care stan-jen
costand cate 59 iei; cati gtanjeni de lemne cumna-rat ? (R. 12
stanjeni).
IV. Un cal merge 56 kilornetri in 7 ore ; cati kilometrimerge pe
ora? (R. 8 kilometri).
V. Cine-va cheltuesce pentru hrana sa si a familieisale, 2190
lei pe an ; cat cheltues.;e pe zi, sciind c anulare `,165 zile? (R.
6 lel).
VI. Chila de porumb costa 47 lel; cate chile se potcumpra cu
3423 lel? (R. 115 chile, si mal r6nian 18 lei).
VII. Cine-va are o datorie de 4775 lei, i se invoesceplatsca
cate 25 lei pe saptamana, pana la plata datoriei intregl;in cate
saptamani se va plati el de.datorie ? (R. In 191 sApt.)
VIII. Un lucrator primesce cate 2 lei pentru fie-caremetru de
stofa ce lucreza ; in 24 zile el primesce 288 lel ;cati Meth de
stofa, a lucrat el pe fie-care zi ? (R. 6 metri).
IX. Cine-va are un venit de 3066 lei pe an, din carervrea sa
economissca a 6-a parte; cate cat trebue sa chel-tniasca el pe zi ?
(R. Cate 7 lei).
Probleme asupra celor patru operatiunTcu numere Intregf
I. Un oras este impartit in cinci colori (despartiri), din-tre
carl una are 9524 locuitori i 893 case ; a doua, 11910locuitorl si
1013 case; a treia, 7922 locuitori si 729 case ;a patra, 11505
locuitori si 951 case; a cincea, 18137 locuitorisi 1287. case; cati
locuitori si cate case are orasul intreg ?
II. Averea cui-va se .compune din o casa, in pret de42536 lei ;
dou6 mosil, din earl una de 131508 lei, i altade 416256 lel; o vie
de 14000 lei; o pAdure de 32175 lel,si bani in numrtOre 44613 leI ;
cat nce tOta averea sa ?
s'at
sit
www.dacoromanica.ro
-
25
III. Inteo scOlh sunt 83 scolari in clasa f, 57 in clasa II,41
in clasa III si 31 in clasa IV; cati scolari sunt in -kith scOla
?
W. Prate-met cel mai mare s'a nhscut in anul 1858,in ce an va fi
el de 43 ani?
V. 17n negutator a cumperat 26 metri de postav cu.385 lel, si
vindut cu un castig de 32 let A doua Ora amai cumprat 37 metri cu
547 lei, si '1-a vindut cu untig de 69 lei. CAI' metri de postav a
cump6rat el cu totul ?Cat a plhtit in totul ? Cat a castigat cu
totul ?
VI. SA se fach socotla cheltuelilor urmhtOre :Haine pentru trei
copii . . 98 leiProvisii pentru srbatori . . . 35Un stanjen de
lemne . . . . 47Ufa servitOrei. 26
VII. Nisce marfh s'a crunp6rat cu 235 lei i s'a vindutcu 271
leT; cat s'a castigat la dinsa?
VIII. Un merar cantaresce cosurile sale pline cu mere,gasesce ch
canthresc cu totul 53 kilograme; cate mere
are el, sciind ch cosurile Ole canthresc 8 kilograrne ?IX. Tata
s'a nhscut in anul 1853; de catf ani este el astzi?X. Ion este
astazi de 53 de ani; in ce an s'a nhscut el?XI. Un negutator
castigh intr'un comert 4251 lei, iar
in altul perde 2633 lei ; cat 'I-a Minas castig curat ?XII. 0
buchthrsh se duce in piatA cu tin bilet de 20
leI; ea cumphrh came de 3 lei, legume de 2 lei, pane de 1leu si
cafea de 4 lei; cati bani 'I mai r6man ?
XIII. Cine-va prinde 556 'lei din vintlarea until cal,until bot
i unel vaci. Pe cal a luat 362 leT ; pe bou, cu 231lei mai putin de
cat pe cal ; cat a luat pe vach ?
XIV. Un om avea 42534 leT ; din acestia el ia 124] 8leI ca fach
o cash, i 3248 ca sh platesch o datorie ?cat 'I a mai rmas ?
XV. Un corp de armata consuma pe zi 2856 kilogramede pane, 652
kilograme de came si 1943 kilograme de legume;cath pane, cath carne
i cate legume va consuma intr'un an ?
'1-a
saisl
www.dacoromanica.ro
-
26
XVI. cao locuitori are un district, in care se ancommie cu cate
2114 locuitori, 75 comune cu cate 913 lo-cuitori, 108 comune cu
cate 522 locuitori, si 235 comune-cu cate 351 locuitori?
XVII. Cate zile sunt in 36 septarnani?XVIII. Un sticlar pune
geamuri la 7 ferestre; fie-care-
ferestra are cate 8 giamuri, i pentru fie-mre giam se pla-tesce
cate 2 lei; cat trebue sa primesca sticlarul?
XIX. 0 baterie de artilerie coprinde 6 tunuri; fie-caretun pete
trage 25 lovituri pe ora; cate lovituri va puteatrage bateria
intrega in 5 ore ?
XX. 13 pers6ne impart intre ele o sung', de ban], sifie care
prirnesce cate 22 lei ; cat a fost suma intrega ?
XXI. 18 lucrtori a facut un lucru Ore-care in 16.zile; cate zile
ar trebui pentru ca un singur lucrator sa facaacelas lucru ?
XXII. Un ceasornic inaintza cu cate 5 minute pe zi;iar altul
r6rnane inapol cu cute 3 minute pe zi ; cu cat va fimai inainte cel
d'intaiu de cat cel de al douile peste 15 zile ?
XXIII. Un lucratot este tocmit cu cate 4 lel pe zi;el lucreza 38
zile, si in timpul acesta primesce 69 lei; catmai are de primit ?
-
XXIV. Intr'o fabrica lucreza 14 lucratori cu cate 3 leipe zi, si
18 lucratori cu cate 2 lei pe zi; cat va fi platatuturor
lucratorilor pe o septamana de lucru, sciind c Du-minica nu se
lucreza?
XXV. Un negutator cumpera o bute de 68 vedre de'yin cu cate 13
lei vadra, vinde cu cate 11 lei vadra ;cat a perdut in acest comert
?
XXVI. Cat trebue st pltesca pentru 15 duzine debatiste, fie-care
batista costand 35 ban!?
XXVII. Cat costa 13000 crarnicii, a 38 lei mia ?XXVIII. 0 cismea
da 18 litri de apa pe alta
mea cla cate 15 litri pe ork iar a treia cate 12 litri ; cati
litride apa vor da ele in 2 zile si 6 bore, curgend impreuna ?
ora; cis-
ill
pil
www.dacoromanica.ro
-
27
XXIX Un negustor cump6ra 525 metri de panza cuate 2 lei metrul;
el vinde dintr'insa 85 metri cu catelei, iar restul cu cate 3 lei
metrul; cat a castigat?
XXX. Pentru construirea, unel case, s'aa intrebuintat
15lucratori in timp de 13 zile, cate 3 lei pe zi de fie-care.
Materialele de constructie aa costat 834 lei. Casa a fostpe urma
vinduta cu un castig de 214 lei; cu cat s'a vindut?
XXXI. Un ciasornic intarzie cu 3 minute pe sapta-mann, ; in cate
saptamani va intarzia cu o ora ?
XXXII. 9531 kilograme de marfa trebue incarcate In9 carute; cate
cat trebue pus in fie-care caruta?
XXXIII. I7n negutator a cumparat 8 metri de pos-tav cu 152 1i, i
vrea vanza cu un castig total de 21lei; cu cat trebue sa, vinza
fie-care metru de postav?
XXXIV. 0 suma de 931 lei se imparte la 5 persOne;cele dou6 iaa
fiecare cate 216 ; cate cat trebue saia fie-care din cele-alte trel
?
XXXV. Nisce marfa a fost cumparata cu cate 3 leikilogramul, s.i
a costat 450 lei; cheltuelile de transport aufost de 55 lei. Cat sa
se vinda kilogramul de acsta marfapentru a avea un castig total de
93 lei ?
XXXVI. S'a pltit 1800 lei la 25 lucratori pentru 24zile de
lucru; cat era platit pe zi fie-care lucrator ?
CAPITOLTJL III.Numere zecimale
Despre fractiunl in genere42. Fragiunea se chiama una sail mai
mune din par-
tile egale in earl' se imparte unirnea, sat mai multe
unirni.Esemplu. Linia dr6pta AB se imparte in 9 parti egale,
si se ia partea AC, care coprinde 5 parti din aceste; AC
Aeste o fractie din linia intrega.
4
platindu-li-se
d'intaiti
sIt
www.dacoromanica.ro
-
28
43. Ca sa cundscem marimel unei fractiuni trebue s.scim dona
lucruri:
1,0. In cate parti egale s'a impartit unimea ;20 . Cate din
acele prtits'a luat.Ast-fel, in esemplul precedent, ca sa, scim cat
de mare
este AC, a trebuit s, scim c linia intrga s'a iiiipartit In9 i
ca din acele parti s'a luat 5.
Numerul care arattl in gate pdrp egale s'aunimea se chiamii
numitor; iar cel care aratcl cate s'aii luat
acele pdr11 .ge chiamd nurnrtor.In esemplul precedent,
nuinitorul este 9, iar numra-
torul este 15.Numratorul i numitorul, amibdoi irnpreona, se
chiama
iermenit44. Regula I. 0 fraclie .se scrie punand pe numitor
sub numerlitor, j despcirlindu'i prin o linie dreptd; iar
lacitire se citesce i,ztjzi numcrlitorul, pe nrmd numitorul,
pu-nand intre dan,fil cuvintul din, sail pe, sail a.
Asa, fractia 5 parti din 9 din esemplulprecedent, se va
scrie
59 '
si se va piti : 5 din 9; sail 5 pe 9 ; sail 5 a 9-a.45. Regula
II. Dintrc doue cari ail acela,r numdrator,
fractia cea mat mica este cea care are numitorul mat mare
;pentru c atunci unimea se imparte in `parti mai multe,da acea
partile sunt mai mici.
Esemplu. Fractia ps- este mai mica de cat pentruc i una, si alta
coprinde 5 parti din unime ; insa in u-nimea s'a impartit in 9
parti, iar in P8- in 18 parti, prinurrnare partile din sunt mai
midi de cat cele din -R.
46. Regula III. Din regula II urmeza, ca dacel se In-multesce
numitorul une fraclit cu Ufl numer, fraclia se Im-parte ca acel
numer; iar daccl se Imparte numitorul cu unnumer. frac/la se
inmultesoe cu acel numer.
parti,impelrfit
fracfier.
;;;
158-
din
www.dacoromanica.ro
-
29
Escutple. I. Fie fractiafractia 5 5Inmulfindnumitorul cu 3, avem
9X 3=27' care
este de 3 .orl mat mind de cat /55-.Impdrlind nurnitorul cu 3,
avern fractia 5 =
3a
care9 : 3 'este de 3 ori mat mare de cat
II. Fractia T1-6 este de 10 off mai mare decatTh de 10 ori mai
mare decat 1-1515.; 13175-0. de 10 oil maimare do cat 10-0-;
etc.
47. Regula IV. Dintre done fracfil cart ali acelaslnumitor,
fragia cea vial mare este cea care are numrtormat mare; pentru ca
atunci se iaU mai multe din partile incarl s'a impartit
unirnea.
Esemplu. Fractia Tr este mai mare de cat ?,; pentrui in una, i
in alta unimea s'a impartit tot in 9 parti, insa, incea d'intaia
luat 7 parti, iar in cea de a doua nutnal 5.
48. Regula V. Din regula IV urmz c daccl se in-multesce
numeratorul uuei fracjit cv un numer, fragia seinmultesce cu acel
numer ; iar dacd se imparte nunterdtorulcv un numer, fraclia se
imparte cu acel numer.
Esemplu. Fie fractia4 X2Inmultind num6ratoru1 cu 2, avem fractia
9 9 '
care este de 2 ori mat mare de cat 41.1Implirfind numrtorul cu
2, avem fractia 4 : 2 29 9
care este de 2 oil mar mica' de cat49. Regula VI. Din regulele
III i V urmza, c dacet
inmulfim saz impeIrlim ambit terment a unel acelasnumer, val6rea
frac/id nu se schimbd; pentru c atunci CUcat se inmultesc de o
parte se imparte de cea alta parte.
Esemple. I. Fractia t este tot atat de mare cat i5 X3=159X3 27'
pentru ca, inmultindul numratorul cu 3, am fa-
1.Tto
ca,
s'at
8
t.
fracf il" cv
www.dacoromanica.ro
-
30
,cut'o de 3 ori mai mare ; i inrnultinclu'l numitorul cu 3
amfacut'o de 3 oil mai mica ; asa ca ea a r6mas neschimbata.
II. Fractia este tot atat de mare cat si 6 : 3 nen.
facut'o de 3 offam facut'o de 3
tru Ca, impartindu'i numeratorvl cu 3 ammai mica ; i
impartindu'i numitorul cu 3,mai mare; asa ca ea a rtnas
neschimbata.
50. Fractiuni zecimale sunt aceleaeste ro, sag zoo, sati z000,
saii r0000, etc.
Fractiunile carT pot avea ca numitorchiam frac/hie ordinare.
Esemple. lb- sunt fractiiFractiiie A, sunt fractii ordinare.51.
Num6r zecimal se clziamd un
prinde fi intregi, fractie zecimald.
Scrierea numerelor zecimale
in care numitorul
ori ce numr se
zecimale.
numer care co-
52. Regula I. La numerele zecimale, se scrid mai In-tiz dacd
sunt; iar dacd nu sunt, se pune o nuld inload lor. Dupd intregr se
pune o virguld. Dupd virguld,cea cifrd care vine se socote,ste ca
avt'nd de numitorpe ro ; a doua pe roo; a treia, pe r000 ; a patra
pe r0000;
a,sa mai departe.Esempu. In nuinrul
36,47853,partea 36 insemnza intregl, dupa cari este pusa
virgula.
Cifra 4, care vine indata dupa virgula, este zecimalecu
numitorul 10, si se 'numesce din ro.
Cifra 7, care vine a doua dupa virgula, este din 100,i se numesc
7 din roo.
Cifra 8, care vine a treia dupa virgu1a, este din 1000,se
citesce 8 din woo.
asa mai departe.
1
ri a
intregit
4
23 ;
A
dintaid
Ii
www.dacoromanica.ro
-
31
53. Din acest esemplu se vede a, intr'un numrunimile aratate de
fie-care cifra sunt de 10 orl mai
marl de. cat unimile aratate de cifra urmatdre, pentru ca
nu-mitorii cresc din 10 in 10, cand trecem de ht o cifra la
ceaurm6tre. Asa, cifra 4 arata unitti din 10, iar cifra 7
unitatidin 100 ; cele d'intaia sunt de 10 ori mai marl de cat cele
de aldoilea. Tot asa unittile ar6tate de cifra 7 sunt de 10 ori
maimarl de cat unitatile artate de cifra 8, si asa mai departe.
54. Din acelas esemplu se mai vede ca o fractie zeci-mala pOte
coprinde WO de mai multe feluri. Asa in 36,47853,avem 4 p5rti din
10 ; 7 din 100; 8 din 1000 ; 5 din 10000,
3 din 100000.55. Observare. Regula de mai sus nu este alt ceva
de
cat regula I de la scrierea numerelor (10), intinsa la
frac-iunile
In adevr, dupa acea reguIA, o cifrd pusti la stangaalteia
inseinnezd de zece ad nal multe uniteifi de cat driedar fi pusd in
local aceleia.
In numrul36,47853
cifra 6 insemnza unimi ;cifra 4, find la drepta unimilor,
insemn6za de 10 oil
mai putin de cat daca ar fi la unimi, adica din 10 ;cifra 7,
fiind la drpta celor din 10, insemnza de 10
.ori mai putin de cat daca ar fi in locul lor, adica din 100
;cifra 8, fiind la dr6pta celor din 100, insemnza de 10
oil mai putin de cat ar fi in locul lor, adica din 1000 ;Si asa
mai departe.56. Regula III. Pentru a scrie un num& zecimal,
scriem mat mnthii2 Intregi i punem virgula dupddupd virguM
scriem num&dtorul frac/id, aFa cd cea din urmdcifrel a luz sit
aibit locul ardat de numitorul fracJie, dupdregula I ; iar clacd
cif rele numerdtorulut nti sunt de ajunspentru acsta, mar addogim
yule hare virguld ,ri num&dtor-
ze-
cimal,
zecimale.
dinsit;
www.dacoromanica.ro
-
32
Esemple. I, SA se scrie numrul zecimal : dou6zecicirid de
intregi, i patru sute dou6 zed SI noun din o mie.
In acest num6r, 25 sunt intrPgii, 429 este numrnto-rul, si 1000
este numitorul. El se scrie asa :
25,429Am sods partea intregn 25, si am pus virgula; pe urma
am scris nurarntorul. 429, asa c& cea din urmA cifrA, 9,
skfie din 1000, adicn a treia dupn virgula.
IL SA se scrie : cinci-zeci si sapte din zece mil.Intregi nu
sunt, si de aceea se va pune zero in local
lor ; numerntoruL este 57, iar numitorul 10000. Num6ru1 sescrie
asa
0,0075Am pus zero pentru intregi; iar dupn virguln, a,m pus
mai int= dou6 nule, pentru c fractiunea fiind din 10000,trebuia
ca cifra 7 sn fie a patra chip& virgulA.
Esercieil. S.1 se scrie in cifre numerile urm6tOre :I.
Cinci-zeci si opt din o sutn.II. Tref spre-zece din o sutn.III. Doi
intregi i trel-zeci i una din zece mil.IV. Dou sute sase dinteun
milion.V. NicT un intreg i patru zeci i doi din o sutn de mitVI.
Trei mil cinci sute de intregi si patru din o mie.
Citirea numerilor zecimale
57. Reguya. Pentru a citi un num& zecimaCcitimmat Int iii
intregir; le urmll citim partea zecimald, carevine dupa virgul4,
intocrnal ca Dri cum ar fi intregi, spunand,s.i vumitorul cifrel el
de la urmd.
Esemplu. Sn se citscn num6ru1 2,000297.Acest numbr se citesce:
doi intregi, i dou6 sute nou6-
zeci i apte dinteun rnilion. Am zis dintr'un Indian, pen-tru cn
cifra 7 de la finele pArtif zecimale este a ,thea chip&virguln,
si prin urmare dinteun milion.
www.dacoromanica.ro
-
33
Esercifit. sa se cit6sca numerele:48,502 5,0450010,06
0,3231740,0028 75,271.00,0000005 0,000202
829,060430 500,0007
Proprietap ale numerelor zecimale.58. Regula I. 0 fracliune
zecimaM este cu atat mai
mare c' ctt ctfra cea Inca apropiaa dupa vilguM este
marmare.
Esesfteplu. Dintre fractiunile 0,054; 0,007034 si 0,01489,cea
mai mare este 0,054, pentru ca intr'iusa a doua cifra dupavirgula
este 5, pe cand in a doua fractiune este 0, si in a treia 1.
59. Regula II. Un num& zecimal schimbd va-lOrea, dacd i se
adaoge sag i se tale ort crite nide. la ince-put sail la fine.
Esemple. Numerul 5,07 este tot atit de mare cat si5,0700, precum
si 005,0700. Tot asa, fractiunea 0,0730000este egale cu 0,730 cu
0,73.
Causa este ca, adaogind sat taind nule de la finele untilnumer
zecimal, inrnulOm sat impartim, i pe numerator, i penumitor, cu
acelas numer; iar nulele adaogite sat taiute de lainceput, nu
schimba de loc, nici pe numerator, nici pe numitor.
Ast-fel fractia 0,730000 are de numerator pe 730000 si denumitor
pe 1000000; iar 0/13 are de numerAtor pe 73, careeste de 10000 de
on mal mic de cat 730000 ; iar de numi-tor pe 100, tot de 10000 de
off maI mic de cat 1000000.
Numerele 5,07 si 005,07 sunt egale, pentru Ca aman-doue ail de
numitor pe 100.
6o. Regula III. Un num& zecimal se inmulfesce cu zodacd i se
mutd virgula cu o triptd cdtre dr pta; se inmul-/eyte cu zoo, data
virgula se mug cu doue trepte catre drepta ;cu moo, (lath' se mutd
cu trel &epic; cu z0000, dacd se mutdcu patru trepte ; Fi aa
mal departe.
49137. Aritmetica. Ed. VI, 3
si
nuz,a
www.dacoromanica.ro
-
31
Esemple' I. Fie fractiile
:7382,501496,73825,01496,738250,1406,7382501,496,
cari nu se deosibesc intre ele de cat prin locul uncle este pus4
vir-gula. A doua dintre dinsele este de 10 off mal mare de cat
cea
; a treia de 100 ori mai mare ; a patra de 1000 deoff mai mare,
etc. ; pentru a in a doua, virgula este mutata spredrepta cu o
treptA; in a treia, cu dou, in a patra, cuArei; etc.
Causa c fractiunea se inmultesce cu 10, cu 100, cu 1000..cand
virgula se muta cAtre drepta cu una, dou, trei..., trepte,este a
atunci numitorul sell se face de 10, de 100, de 1000...de or! mai
mic. Ast-fel in exemplul de mai sus, prima fractieare numitorul
1000000 ; in a doua, 100000 ; a treia 10000;a patra 1000.
II. SA se inmatesca numrul zecimal 23,51 cu 1000.Ar trebui sa
mut virgula spredrdpta cu patru trepte ; dar,
ffind-cA nu am patru zeci male, i adaog dou nule, si-lscria
23,5100pe urni mut virgula cu patru -trepte, i asa gAsesc
num6rul235400.
61. Regula IV. Un num& zecimal se imparte cu zo,dacd i se
mutel virgula cu o triptd spre stanga: se impartecu zoo, dacd
virgula se mutd cu ((ma trepte spre stanga ; CU1000, dacd virgula
se mutd cu tre trepte spre stanga; ,ri a,samiii departe
Esemple I. Fie fractiunlle
:7382,501496,736,2301496,73,82001496,7,382501496,
0,7362501496,
A doua este de 10 ori mai micA de cat cea pentrua virgula este
inteinsa cu 0 trpta mai spre stanga de cat in
d'intaiii
d'intaiu,
www.dacoromanica.ro
-
35
cea d'intait; a treia este de 100 de oil mai mica; a patra,(le
1000 de ori mai mica ; a cincea, de 10000 de oil mai mica.
Causa ca fractiunea se imparte cu 10, cu 100, cu 1000,..cand
virgula se muta catra stanga cu una, dou6, trei... trep-te, este
ca. atunci numitorul WI se face de 10, de 100, de1000,... de oil
mai mare.
Ast-fel, In esemplul de mai sus, prima fractie are numi-torul
1000000; a doua, 10000000 ; a treia, 100000000, etc.
IL sa se imparta num6ru1 zecimal 7,503 cu 10000.Ar trebui se mut
virgula spre stanga cu patru trepte;
numerul nu are destule cifre la stanga virgulei, indaog nule,
scrit 00007,503. Mutand acum virgula spre.stanga cu patru trepte,
gasese 0,0007503.
III. SA se imparta num6ru1 360514 cu 1000.Numerul 380514, fiind
intreg, se pOte socoti ca un numr
zecimal, thra parte zecimala ; prin urmare, virgula s'ar
puneinteinsul tocmai la fine, dupe cifra 4- Pentru a imparti
cu1000, mntam virgula cu trei trepte spre stanga, i gasim
-380,514..Esercitii. I. S. se spuna care este cel mai mare
si
care este cel mai mic din numerele urmatOre :0,0125; 0,00838 ;
0,10.
II. SA se scrie una dape alta, in ordinea marirnei lor,fractiile
urmatre :
0,23; 0,659 ; 0,0196; 0,4000715 ; 0,2300III. Sa se faca, de 10,
de 100, de 1000 de oil mai
mari numerele :7,5426 21,58
15,25143 4,50,417 0,12.
IV. Sa se fan de 10, de 100, de 1000 de oil maimid numerele
:
2551,11 1,1837318,392 8,291
815,17 0,5
dir flind-cai.1
www.dacoromanica.ro
-
36
Adunarea numerelor zecimale.62. Regulk Pentru a aduna mai multe
numere zed-
male, le scriem unul sub altul, a,ca ca virgulele sd fie unasub
alta. fi adundm ca la numerele intregi; punand la sumdvirgula tot
in drcptul virgulelor celor-alte.
Esemplu. sa se adune numerele zecirnale 8,574 ;154,00792; 0,5;
13,2314.
Operatiunea se as6zA asa:8,574
154,007920,5
13,2314176,31332
Eserci/ii. SA se fad, adunArile urrnAtOre:4,558 + 0,7193+
432,5.1,4091 + 11,53+ 0,00073.0,594 + 18,74 +0,45.9,2504+ 0,17 +
84,00514+ 4693,1.0,0025 + 0,0000333 +0,0000116+0,00001012.
Scaderea numerelor zecimale.
63. Regul. Pentru a scdolea un numrr .zecimal dinaltul, scriem
pe scelzNor sub descazut, astfel Ca virgulele sdfie una sub alta;
dacd descelzutul are mai Mine zecimale-de cat scdze'torul, addogim
nule la fine piina ce are acela,sizum?r de zecimale; pe urna scddem
ca la intregi, punandla rest virgula tot sub virgulele
cele.alte.
Esemplu. Din 18.59 sA se scadA, 13,0738.DescAzutul are numai
dou6 zecimale, pe cAnd scAzty-
rul are patru; de acea la drepta descazutului mai scriemdou6
nule, ca sA aibA si el patru zecimale, si apoi scAdemdui-A
regulA
18,590013,07385,5162
7
www.dacoromanica.ro
-
3 I
Esercifii. SA se facA scAderile urmAtOre28 05 4,3244,387
2,1538,38_ 5,9826
14,524 7.281517,8256 8,14
Inmultirea numerelor zecimale.
64. Regulg. Pentru a face inmullirea numerelor ze-cimale, le
inmulpm intoemal ca pe thee numere intregi,fdrela Ina virguldc in
Mgare de smd; iar la produs, despelrlimdespre dripta atatea
zeczmale cate au fost la amandoue nu-Inerele date.
Esemple. I. SA se inmultsca, 824 prin 52,43.824
52,432472
39961648
412043202,32
Am inmultit ca la intregY, frA a ne uita la virgule,lar de la
produs am desp6r1it dou6 zecimale, pentru cN unulAin factori avea
dou zecimale, iar cel alt nici una,
II. SA se inmultsca 18,254 prin 4,17.48,254
4,1712777818251
7301676,11918
Am lucrat tot ca la esemplu I; insA de la produs amAespArtit
cinci zecimale, pentru cA unul din factori aveatreI zecimale, iar
cel alt dou.
www.dacoromanica.ro
-
38
EserciA se faca Inmultirile urmatdre:3,72 X 4 3,272 X 8,0529,39
X 2,4
215,7 x 8,39456 X 7,13
0,012 x 4 851,0073 X 0,03
33,1705 X 1,171
Impartirea numerelor zecimale.
65. Regula I. Pentru a face impdifirea numerelorzecimale,
stergem vii-gula de la impdrfitor, clacd este, tar ladeimpd, fit
mutdm virgula spre drepa cu atatea trepte catezecimale a avut
impdrEitorul, mid addogind nule la dripterdeimpdifitulia, dacd el a
avut mai pufine zecimale de cat
pe urmd impdrfim ca la intregt, punnd vir-gula la cat indatd ce
se terminei impdrfirea intregilor de lez
Esemple. S6, se Imparta 634,32 prin 18.
631,32 1854 35,24
904336
72720
Fiind-ca imOrtitorul 18 nu are zecimale, virgula dela deimpartit
am lasat-o unde este, si am impartit ca la in-tregi; insa am pus
virgula la cat indata ce am terrninatimpartirea intregilor 634 prin
18. Catul este 35,24.
IL Sa se imparta 82,75431 prin 8,69.Impartitorul 8,69 are dou6
zecimale. II stergem vir-
gula, iar la deirnpartit muthin virgula spre drOpta cu dou6
impdt fitorul;
debagarfit.
www.dacoromanica.ro
-
39
trepte, punand-o dupa cifra 5; pe urma impartim ca la esem-plul
I. Catul este 9,522, iar 813 este rest.
8275,431 8697821 9,5225,11
434519931738
25,511738813
III. Sa se imparta 8,364 prin 12.8,364 1272 0,69711610884
0Am impartit ca si in esemplul precedent ; insa, ffind-ca
im-
partitorul 12 este mai mare de cat nurnrul 8 al intregilor de
ladeimpartit, am pus la cat zero ca intregi. Catul este 0,697.
IV. Sa se imparta 752 prin 4,15.Impartitorul, 4,15 are dou
zecimale. Ii tergem vir-
gula, iar la deirnpartit trebue s'o mutrim spre drpta cudoua
trepte; si de vreme ce ast deimpartit, 752 nu are ze-cimale, '1
adaogim dou nule. Catul este 181, cu restul 85.
75200 415415 18133703320500415
so.
84
www.dacoromanica.ro
-
40
66. Regula II. Pentru a gdsi catul impdrfirel nume-relor
zecimale cu lin numb- cerut de zecimale, dupd ce ampregatit
numerele ca la regula I, addogim nule la dreptadeimparritulul, sad
mar tdiem din zecimalele ce are el, pandva avea atatea zecimale
cate se cer la cat; ,ri pe urmd im-pdrlim dupd regula I.
Esemple. I. Sa se imparta 3,2517 prin 18,405, catultrebuind sa
alba trei zecimale.
Mai intaia prepar numerele ca la regula I, adica stergvirgula de
la impartftor, iar la deimpartit o mut cu trei treptespre drOpta.
Deimpartitul devine atund 3251,7, si are numalo zecimala ; fiind-ca
la cat se cer trei zecimale, 'I mai adaogdou6 nule, si se face
3251,700. Acum impart dupa regula I.
3251,700 1840532517 0,17618405141120128835
122850110430
12420Catul este 0,176.
II. Sa se imparta 1,317852 prin 0,6, mergdnd 'Dana laa doua
zecimala.
Preparand numerele dupa regula I, deimpartitul devine13.17852 si
are cinci zecimale. La cat cerandu-se numai dou,tail"' pe cele trei
de la urma, si fac nurnal imprtirea urmatre:
13,17 611 2,19
573
Catul este 2,19.III. Sa se imparta 369 prin 26, mergand pana la
a
patra zecimala.Aci numerele date sunt amandou6 intregi. Nu avem
de
www.dacoromanica.ro
-
41
eat sa punern virgula la drpta deimpartitulul, s1 adaogimpatru
nule cerute pentru cat, si sa impartim dupa regula I.
369,0000 26109 14,n23
50240
6080
2Catul este 14,1923.
Esercifit. I. S. se faca impartirile urinate-re :12,548 : 92 5,7
: 0,214
258,32 : 8 524: 8,177,54 : 0,12 310,03 : 4,017
8,4526 : 13,6 71.25 : 3,2427II. Sa se fad impartirile urmatere,
catul trebuind sa
alba dou, trel, patru sa due zecimale :1,71 : 3,28 0.81725149 :
7,08
0,00716 : 0,23 413,5 : 752,7 : 8,313 5837 : 817
CAPITOLUL IV.Sistemul metric.
Numirea i descrierea unitatilor de msurd.67. A msura o melritne
va s zica a vedea de cate
ori incape Intr'insa o marime cunoscuta, de acela fel, care-se
numesce unitatca de mesurel.
.Ast-fel, a m6sura lungimea unei sfori, insemneza, acauta de
cate oil incape intr'insa lungimea cunoscuta subnumele de metru; i
daca, metrul incape intr'insa de 43 deoff, se zice c sfra e lunga
de 43 de metri. Metrul a fostaci unitatea de msura pentru
lungime.
De Ore-ce marimile nu se pot msura de cat cu ma-rirrIT de acela
fel trebue ca la fie-care fel de marirne detasurat sa avem cate o
unitate de m6sura.
www.dacoromanica.ro
-
42
Principalele marimi ce avem de msurat in viata de tOtezilele
sunt : lungimile, suprafetele, volumele, capacittile,greutatlle si
valorile banescl. Avem dar sose feluri de uni-tati de m6surrt:
10 Lungimile se msOra cu o lungime nurnita metru ;2 Suprafetele
se msOra cu o suprafata numita, metru pci-
trat, care are forma unui patrat, cu tOte laturile de cate un
metru ;30 Volumele se msr cu un volum numit metru cub,
care are forma unui cub cu tote laturile de cate un metru ;4
Capacitatea vaselor pentru liquide i grane, se m6-cu o capacitate
numita litru ;5 Greutatfle se Inse:Ira cu o greutate numita
gram;
Metrul prttrat.4---117ieVeL; --4
lletrul cub.
6 Valorile banescr se msra cu valOrea unei monedede argirn.
numita leil.
Aceste saseunitatise nurnesc principah de m&urti.68. Daca
rnarirnea pe care voim s o mesuram este prea
mare, este greu a o msura cu unitatea principala de msura.Spre
esemplu, daca este vorba a mOsura distanta de la Bu-
curesci pana la Ploesci, ar trebui s punem metrul in
lunguldrumului acestuia de cate ori se pOte, ceea ce ar fi prea
lung.
De aceea, pentru marimile mai marl, se intrebuinteza u-nitati de
msura mai man de cat unitatile principale i anume:unittI de 10 ori
mai marl de cat unitatea principala ;
de 100de 1000de 1000077
77 7)
77 77 7)
77 7)
gra
anthill
)1 )7
,,)7 71
)1 71,,
www.dacoromanica.ro
-
earn
BeER
AS
Num
irea
un i
tatil
or
10 P
entru
lung
init
Met
rul
Dec
amet
rul
..
Ecto
met
rut .
..
.
Kdo
met
rul .
..
.
Miri
amet
rul.
..
.
20 P
entru
sup
rafe
teM
etru
l pat
rat.
..
Dec
amet
rul p
atra
t .Ec
tom
etru
l pat
rat .
Kilo
met
rul p
atro
l.
tmet
rul p
atro
l.30
Pen
tru v
olum
e.M
etru
l cub
..
..
Dec
amet
rul c
ab.
.
Fcto
met
rul c
ub .
.
Kilo
met
rul c
ub.
.
Miri
amet
rul c
ub .
40 P
entru
cap
acita
tlLi
trul
Dec
alitr
ul .
Ecto
lttru
l50
Pent
ru g
reut
ati
Gra
mul
Dec
agra
mul
.Ec
togr
amul
.K
ilogr
amul
..
.
1m
.1
Dm
.1
Em.
1 K
m.
1 M
m.
1 m
pp.
1 D
me.
1 Em
p.1
Km
p,1
Mm
p.
1 m
e.1
Din
e.1
Em1
K m
e,1
Mm
c.
1 L.
1 D
L.1
EL.
1 gr
.1
Dgr
.1
Egr.
1 K
gr.
Cfit
pret
uesc
Form
a ce
au
1 m
.10
tn.
100
m. s
ad 1
0 D
rn.
1000
in. s
an 1
0 Em
.10
000
m. s
an 1
0 K
m.
1 in
. p.
100
m. p
.10
00 m
. p. s
ad 1
00 D
mp.
1000
000
rn.p
. sau
10
) Emp
,10
000
000
m. p
.sa
u 1
00 K
mp.
1 m
. c.
1000
rn. C
.10
0000
0 in
. c. s
au 1
000
Dm
c.10
0000
0000
m. c
. sau
100
0 Em
r.10
0000
0000
000
in. c
,sau
1000
Km
e.
1 lit
ru10
litri
100
litri
sad
10 D
L.
1 gr
am10
gra
me
100
grar
ne sa
d 10
Dgr
.10
00 g
ram
e sa
d 10
Egr
.
Un
pAtr:
en
latu
rea
de 1
mtr,
11lo
mtr.
If77
1110
0 m
tr.7)
)110
00 1
11 tr
.17
.7
1000
0 m
tr.
Un
cub
cu la
t ure
a de
1 m
etru
1.0
met
i i71
1)10
0 m
etri
met
ri10
000
mob
il
c(1--
CD
r..-
(-3(1)
CAD
.
Miri
n
1000
-
1101
1.
..
.
..
..
.
..
.
www.dacoromanica.ro
-
44
Observam ca unitatile de lungime, de capacitate si degreutate
cresc din 10 in 10; cele de suprafata, din 100 in100; iar cele de
volum, din 1000 in 1000.
60 Pentru .Monede.Pentru monede nu este obiceiul a se
intrebuinta uni-
tati mal marl de cat leul.Esercifii. I. Cati metri fac 18
miriametri, 7 kilometri,
5 decametri 0 525 metri cubic)?II. Cati metri cubici fac 7
kilometri cubici, 22 deca-'
metri cubici 0 425 metri cubici ?III. cag litri fac 426
ectolitri, 3 decalitri i 2 litri ?IV. CAI decarnetri patrati fac
4276 metri patratl?V. Cate ectograme fac 18 kilogr., 37 decagrame i
400 gr.VI. Sa se desfaca in metri cubici, decametri cubici,
ecto-
metri cubici i kilometri cubici numrul 36023000508 m. c.VII. Sa
se desfaca in metri patrati, decarnetri patrati,
etc. numrul 826005003176 m. p.VIII. A cata parte din tr'un
kilometru este un ectometru?IX. A cataparte dintr'unkil. patr. este
un ectometru patr.?X. Cate slecagrame coprinde un kilogram?
cag decametri cubici coprinde un miriametru cubic?XII. Cati
decalitri se afla intr'un ectolitru?69. Daca marimea pe care voim s
o msuram este
mai mica de cat unitatea principala, nu o putem m'esura-cu acsta
unitate principala.
Spre esemplu, daca voim s m6suram lungimea unui ere-ion, nu
putem s o msuram cu metrul, pentru ca metrul estemai lung de cat
creionul, 0 nu incape nici ()data intr'insul.
De acea, pentru marimile mai mid de cat unitateaprincipala, se
intrebuinteza unitatl de m6sura mai mid decat unitatile principale
i anurne :
unitati de 10 ori mai mid de cat unitatea principala ;de 100
)7de 1000I) 77 11
Numirile acestor unitati mai mid se form6za din nu-merile
unitatilor principale, adaogind la incPputul !or cuvin-tele urmatre
:Decipentruunitatile de 10 off mai micr de cat unimea principala
;Centi
27 7) 100 77 7/ 77Mili 1000 77 7) 1) )7
XI.
7),
www.dacoromanica.ro
-
Ap
dar
avem
inc6
,urm
atr
ele
un
ittT
:
Numirea unitritilor Csurri,l'e Cat pretuesc Forma ce ail
10 Pentru lungimiDecinzetrui . . .Centinzetrul . . . .Milimetrul
. . .20 Pentru suprafete
Decimetrul ptitrat .Centimetrul pitrat .Milimetrul pear at .
30 Pentru volume
Decimetrui cub . .Centimetrul cub . .Milimetrul cub . .
40 Pentru capacitit1DecilitrulCcntilttrul
50 Pentru greutit1Decigramul . . . .Centigramul. . .
.Miligraiiul. . .
60 Pentru monedeBanul
1 din.1 cm1 mm.
1 dmp.1 amp.3 ramp,
a 10a parte din im, sa 0m,1a 100a parte din lm, sau 0m,01, sau
Odm,1a 1000a parte din lm, sad 0m,001 sau Ocm,1
a 1001 parte din Impcsau 010,01a 100001 parte din 1mP, sail
OmP,0001. sai0dmP,01a 1000000a parte din imp, sail Omp,000001, sau
OcmP,01
1 dmc. a 1000a parte din lmo, sau Olnc,0011 cmc. a 1000000a
parte din ime. sauOmc,000001, saiip,amc011 mine. a 1000000000a
parte dinlmcsauOme,000000001saii0cmc,001
1 dL. a 10a parte din 11,, sail 0 L,11 cL. a 100a parte din 1 L
sail 0 L,01, saii OdL,1
1 dgr. a 10a parte din lgr, sau Ogr,11 cgr. a 1000 parte din
lgr, sa Ogr,01 sail 0 dgr,11 mgr. a 10000a parte din 1 gr, saU
Ogr,001 sat 0 gr,1
1 b. a 100a parte din 11, sau 01,01
Un patr. cu laturoa de 1 dm.)7 '7 Of de 1 cm.If At 1, de 1
mm
Uri cub cu laturea de 1 dm.de 1 cm.de 1 mm
.
n
,
s
www.dacoromanica.ro
-
46
Observam c unitatile de lungime, de capacitate si degreutate
descresc din 10 in 10; cele de suprafata, din 100in 100 ; iar cele
de volum, din 1000 in 1000.
Esercifiz. I. CAI milirnetri patrati fac 2 metri pnrati18
centirnetri patrati si 37 milimetri Strati.
II. Cat1 decilitri fac 8 ectolitri 12 litri 7 decalitri?III.
Cate centigrarne fac 812 kilograme 27 grame 4
decigrame si 3 centigrame?IV. Cate grame, decigrame, centigrame
si rniligyame
fac 83043 miligrarne.V. sa se prefaca in centimetri cubici,
decametri cu-
bid etc. numrul 710057380000173 cmc.VI. Sa se desfaca in lei si
bani nurn6rul 42705 b.VII. S. se desfaca in metri, decametri, etc.
nurnrul
2700514003 centimetri.VIII. Cate decigrame si cate miligrame fac
38790383
miligrame ?IX. A cata parte dintr'un decimetru este un milimetru
?X. A cata parte dintr'un decimetru patrat este un
milimetru patrat?XI. Cate deAmetre cubice incap intr'un
decametru cubic?XII. Cate centigrame coprinde un ectogram ?70. Este
de observat c unittile de m6sura din fie-care
fel merg t6te crescand sad micsoranclu-se din 10 in 10, afara
decele pentru suprafete, care merg din100 in 100, si cele pentru
volume, carImerg din 1000 in 1000.
In adev6r, st luam un patrat, ABCD,ale chrui laturi sa zicem c
sunt decate 1 metru; p5tratul acesta va fi
F 1 metru patrat. Impartim laturea ADII i I I L 1 in 10 partl
egale ; fiecare din acesteA parti este dar de cate 1 decimetru.
Ducand prin fie-care din aceste puncte de irnpartire cate 08
D
www.dacoromanica.ro
-
47
paralela la laturea AB, despartim intregul metru patrat in10
fasii, lungi de cate 1 metru si late de cate 1 decimetru.
Imparthid acum latura AB in 10 parti egale de Ole un de-cimetru,
i prin punctele de impartire ducand paralele la latureaAD, impartim
fasia ABEF in 10 patrate egale, a caror latureeste de cate 1
decimetru, si cari prin urmare bunt decimetrepatrate. Asa dar fasia
ABEF coprinde 10 decimetri patrati,
fiind-ca intregul metru patrat coprinde 10 fasii de acestea,el
coprinde cu totul de 10 orl 10 decimetri patrati sail 100decimetri
patrati.
71. SA Warn acum un cub, ABCDEFGH, ale carui laturi szicem ca
sunt de cate un metru ; caul acesta va fi 1 metru cub.
/1 E r1
(#cELL
A
Am vzut ca fata ABCD se 'Dote dsparti in 100 deci-metre patrate.
Pe fie.care din aceste decimetre patrate septe pune cate 1
decimetru cub : in totul 100 decimetrecubice. Aceste 100 decimetre
cubice formza dar un stratcare acopere tOta f4a ABCD, si care este
inalt de 1 deci-metru. Daca am pune 10 straturi de acestea unul
peste altul,inaltiinea lor totala ar fi dar de 10 decimetri, adeca
de unmetru, si prin urmare ar umpie cu totul metrul cub, careeste
inalt si el tot de un metru. Asa dar metru cub co-prinde 10
straturi de cate 100 decimetre cubice saa, cutotul, 1000 decimetre
cubice.
Tot asa s'ar rationa i pentru cele alte m6suri de su-prafata si
de volum.
72. Pentru a cunsce cu usurinta lungimea metruthi,
LI.4
si
www.dacoromanica.ro
-
48
se intrebuitrteza un bat, lung de un metru, pe care se
faimprtirile in decimetri, centimetri si milimetri.
,111
Decnnetrul.Pentru lungimile mai mail, se intrebuinteza
panglice
sat lanturi, lungi de 10 sat 20 metri, si imprtite in metrisi
decimetri.
Unitatile de greutate se fac de alama sat fier, si a-nume cele
mai mari de cat un kilogram, de fer, iar cele maimici de alama.
Pentru decilitru si centilitru,se fac cane de cositor sat de
tinichia, cu ferr,tOrta sat Para trta, cari coprind un
un decilitru sat uri centilitru.. Unita-tile mai mail, pentru
msurarea granelor,precum este ectolitrul, se fac de lemn.
73. Pe langa unitatile si numirilearatate pana ad, se mai
intrebuinteza inpractica si cele urrnatre
Decametru patrat se numesce ar, cand se intrebuin-tza pentru
msurarea suprafetelor de pamdrit, precum moiTlivezi, grdini
etc.
100 are fac un cc/ar; prin urmare un ectar este egalcu Ufl
ectometru patrat.
A 100" parte dintr'un ar se chiama centiar; prin ur-mare
centiarul este egal cu metrul patrat.
74. Metru cub se numesce ster cand se intrebuintzapentru m6sura
lemnelor de foc.
10 steri fac un decaster.A 10" parte dinteun ster se chiama un
decister.75. 0 greutate de 100 kilogr. se chiarna un ciintar
metric..0 greutate de 1000 kilogr. so chiama o tond
metricd.Esercifir. I. Cati decimetri cubic! coprinde un decister
?II. A catea parte dintr'un decametru cubic este un decaster?
. 2.111 hHhhL 9
litru,
kl 111 11 111111 111111111
ham,
www.dacoromanica.ro
-
49
III. Cate centigrams se afla int'un cantar metric ?IV. Cate
decigrame se Oa in 27 tone 8 kilogr. 304 grams?IT. Cate decimetre
patrate fac 37 ectare 18 are si 3
centiare?
Serierea Ei calcularea mrimilor msurate cu unitatile
metrice.
76. TOte unitatile de msura aratate pana aci formOzaimpreuna
sisiemul metric, i se numesc unitelft metrice.
Aceste unitll1 merg tote crescand sat micsorandu-se nu-mai din
10 in 10, sat din 100 in 100, sat din 1000 in 1000, etc.De aceea
sistemul metric se mai chiama i sistem zecimal.
Tot din acesta causa, am vzut ca fie-care din unita-tile mat mid
de cat unitatea principala se Krill cu o frac-tiune zecimala,
Ast-fel decimetru s'a scris Om-,1; centime-tru Om.,01 ; miligramul,
0gr.,001; decimetrul cubic, Onle.,001;centimetrul patrat, OmP.,0001
; etc. Sj tot sub forme zeci-male se pOte scrie ori-ce numr de
unitati metrice.
Esemple. I. S. se scrie 7 decimetre.1 decimetru este a 10-a
parte din metru, prin urmare
7 decimetre sunt 7 a lo-a parte din metru, adecaII. sa se scrie
3 centimetri.1 centimetru este a 00-a parte din metru; asa dar
3
centimetri sunt 3 a 100-a din metru, adeca 0n2.,03.Tot asa 8
miligrame se vor scrie 0gr.,008 ;37 decimetre cubice se vor scrie
Ocle,037;58 centimetre patrate se vor scrie OmP.,0058 ;489
ccutimetri cubice se vor scrie 0nic-,000489 ;48 ceritigrame se vor
scrie 0gr.,48.III. Sa se scrie in metri 3 ectonietre.1 ectometru
este 100m.; asa dar 3 ectometre vor fi 30Com-IV. SA, se scrie in
grams 18 kilograme.1 kilogram find 1000gr., 18 kilograme von fi
18000gr.
Sa se sciie nurnerele urmatOre :83 decimetre patrate.49[37.
Aritmetica. Ed. VI. 4
Esercitir.
www.dacoromanica.ro
-
50
139 milimetre cubice.8 centimetre pAtrate.
18 miligrame.36 milimetre cubice.88 bani.8 centilitri.7
decametre.
39 ectometre cubice.8 ectolitri.
96 cAntare metrice.81 kilograme.
77. Regula I. Pentru a scrie in forma zeczmald unnumer ore-care
de unitag metrice de mdrimr deosebite, lescriem uncle dupd allele,
In ordinea mdrimer kr, incepeindde la cele mar mart, i observiind c
trelme sel avem thte ocifrd pentru fie care fel de unime de
lungime, de capacitate sagde greutate ; clzte doue czfre, pentru
unimile de suprafafd ,side monedd; -1 chte trei ci ire pentru
uniinzle de volum.Dacdnu avem acest numer de cifre, sad dath unele
felurr de unimilipsesc en totul, implinim locurile gOle cu nule. Pe
urmd pu-nein virgula dupd uninzile in care se socotesc
cele-alte.
Esemple. sa se scrie lii metri nunirul 92Min Km'4DM. 9m.
5cm.
Fie-care fel de unimi trebue sA alba cate o cifr4, pen-tru cA
sunt unimi de lungime.
Scrim fie care fel de unime in ordinea in care s'aildictat
punend cate o nulA in locul ectometrelor si al deci-metrelor carT
lipsesc ; pe urmft punem virgula dupa cifra 9a metrilor, i ast-fel
avem numrul
921049m-,05.II. SA se scrie in metrii cubici 3Kn'c. 725Dmc.
58mc.
3124mc. 25cmc.Aceste unimi fiind de volum, trebue ca pentru
fie-care
fel de unimi sA avem cate trel cifre. Trebue incA sA punemnule
in locul ectometrelor cubice, curl lipsesc, precum i la
www.dacoromanica.ro
-
51
metril cubicl si la centimetri cubic, cad afl numai cateklou
cifre. Avem ast-fel num6ru1
300725058mc., 312015Am pus virgula dupla metri, pentru c numrul
s'a
(:erut a se scrie in metri cubic!.III. SA se scrie in decametri
pAtrati num6ru1 8Mmp-
711mp. 3Emp. 9mp. 5dmp.Urmand regula, i punand ate dou cifre
pentru fie-
cAre fel de unimi, avem :807030mnp., 0905.
lv. sa se scrie in ectolitri num6ru1 8 decalitri 5
litricentilitri.
Acest num r este :OEL., 8503.
Am pus nul pentru ectolitri, care lipsia.V. SA se scrie in
centigrame num6ru1 5Dgr. lgr. 7mgr.Acest num6r este :
45100cgr', 7.VI. SA se scrie in lei num6rul 4231 7bani.Acest
nurnr este :
4231,07.Esercilii. SA se scrie in forma zecimale nurnerele
ur-
gnatore34Icmp. 38Emp. 8nv. 13emP., in decametrii pAtrati.27EL.
8L. 6, in litri.23451- 29b., in lel.8Kv. 7Egr. 3Dgr. 5rngr.,
in24tone 7c. I 3Kgr. 12gr. 3egr., in clecagra me.12Dgr' 17egr', in
kilograme.3tona 13Kgr. 6dgr., ectograme.78. Regula II. Pentru a
face adunarea, saderea, In-
mu4irea imprtirea marimilor mesurate cu unitalile me-trice, le
scriem in formeI zecimale ,ci lucrdm dupa reguleledate pentru
numerele zecimale.
Esemple. I. S'ail cumparat diuteun loc 8Kgr' 7Dgr. 4gr.
5dgr.
1Kgr.
grame.
in
S
,ai
www.dacoromanica.ro
-
52
de cafea; din alt loc, 13kgr. 8gr. ; din al treilea loc, 5Egr.
3Dgr.4dgr'; cate kilograme de cafea s'a cumporat cu totul ?
Fiind-ca ni se cere numrul kilogramelor, scriem aceste,trei
numere in kilograme, i le adunam dupa regula zecimalelnr:
8kgr-,074513kgr.,008okar.,5304
2 lkgr ,6129Cu totul s'a curnp6rat 21 Kgr. 6Egr. 1Dgr. 2gr
9dgr.
S'a platit cate 4101 1513- metrul de o stof Ore-care;cat vor
costa 4Dm. 8m. 7dm. 5. de acesta stofa ?
Scriem primul num6r in leI, pe al doilea in metri,inmulti m :
48m. 75
41. 15243754875
195002021. 3125
Costul stofeI intregi va fi de 2021ey 31banI i fractiuneaob.,
25.
III. S'a plait 85101 12ban1 pe 48Kgr* 6Egr' 4Egr. de zachar ;cat
costa kilogramul?
Scriem pe primul numr in lel, i pe al doilea in ki-lograme, i
facem impartirea pana la a doua zecimala (63),ca sa, gasim banii,
pentru ca. banil rnerg pana, la a doua ze-cimala dupa
851- ,12 : 48Kgr',61sa 85121. 0
4864 11. ,7586480340482432024320
0Asa dar kilogramul de zachar a costat 1 let 75 ban)...
II.
lei:
www.dacoromanica.ro
-
53
Probleme asupra celor patru operatit cu numere zecimale.
I. Cine-va face la bacanie urm6tOre1e cumparaturl: cafea,4 lei
60 bani ; zachar 7 lei 37 bani; un pachet de chibri-turl 60 banl ;
luminarY, 4 lei 80 banl; otet, 75 banl. La catse ridica tOt socotla
?
II. 0 bucata de postav are 20m. 38cm.; dintr'insa se ia5m. 30cm.
pentru o hain, 2m. 15cm. pentru o pereche de pan-talonl i i 5cm
pentru o vesta. cat a mai rmas dinteinsa 2
Un lucrator pune la casa de economie inteun rand27 lel 30 bani ;
in altul, 43 lei i 25 ban! ; i in altu 86lei 85 bani. Din acestI
bani, el ia inapoi, intr'un rand 11 lel50 buff i in alt rand 39 lel
75 bani. cat 1-a mai rmas.
IV. Dinteo gradina de 8 ectare, 11 are, 7 centiare, sevinde o
bucata in intindere de 3 ectare 25 are. cat a mair6inas.
V. Un butoit de yin costa 78 lei 25 banl ; cat costabutOie.
VI. Tona de carbuni de pamesnt costa 58 lel 15 bani;cat vor
costa 28t. 416Kg. 8Egr. ?
VII. Cine-va se duce in piata cu un bilet de 20 lei.El cump6ra
2Kgr 350g r. de carne a 85b.kilogramul; 1Kgr. 400gr.de zahar, a 1
let 65 banl kilogramul; 11- 6a de yin a 55bani litrul. Cat 1-a mai
rmas din biletul de 20 lei?
VIII. Un lucrator a lucrat la o casa 23 zile, cu cate3 lei 45
bani pe zi; el a primit arvuna 11 lel 60 ban!. Catse cuvine sa mai
primesca ?
IX. 0 bucata de stora lunga de 22m. 8em a costat cate3 lei 15
ban! metrul. cat se va c4tiga la dinsa, vinzand-ocate 3 lel 80 bani
metrul?
X. Pe un 'Warier il costa o palarie 8 lei 14 bani. Catc4tiga, el
la 43 Wadi, vinzandu-le cate 10 lel 20 ban! una ?
XI. Un negutatot cumpara o bucata de panza de 433metri cu cate 1
Je 48 banl metrul; el vinde dintr'insa128m. 16cm. cu cate 1 lea 80
ban! metrul, iar restul cu
III.
9
www.dacoromanica.ro
-
54
tate 1 let 65 bail metrul. Cat a castigat eL la
intregabucata?
XII. La cat se ridiCa in total cheltuelile urmatre:48E1. 3m. 8L.
de grail a 12 lel 50 Wait ectolitru. 46E1. 46 D1,de orz a 7 lei 55
bani ectolitru; 2 sape d fer, a tate 5 let'15 bani una ; 3 duzin ie
surupuri a tate 56 bani duzina;plata trasurei pentru niers la ora 9
lei 50 bani ?
XIII. Inteun timp de fOrnete se impart 836E1- 181- deporumb la
326 familii ; cate cat s'a dat fie-carei familii?
XIV. 8 carute trebue sa transporte 12thne 8cAntare 76Kgr..de
rnarfa ; cate cat trebue s se puna de fie-care caruta?
XV. Un butoib de spirt -de 2881'. a costat 582 lei 20bani; cat
costa litrul, de spirt ?
XVI. Inteo casa, se cheltuesce 1428 lel 70 bani pe an ;cat se
cheltuesce pe zi ?
XVII. Un lucrator sapa la un sant, i i se platescetate 2 lei 25
bani pe fie-care zi de lucru ; tate zilo trebue
lucreze el, ca sa casiige 42 leT 75 bald?XVIII. 0 mosie de 328
ectare, 13 are, 4 c
vindut cu 72518 lei, tate cat vine ectarul?XIX. Un cultivator
are 52E1- 2m. de porumb, pe ciie
vinde cu tate 9 lei 25 bani ectolitru. Cu ceea-cepe porumb, cati
ectolitti de grail pOte sa clump( re, sciindc. ectolitru de grab
costa, 16 lei 55 bani?
XX. Un zidar lucreza la o casg, si primesce tate 24 162 bani
pentru fie-care metro cub de zidarie; casa coprinde172ine 16dcm. de
zidarie; cat se cuvine sa, prim6sca zidarul?
CAPITOLTJL VProprietitt ale numerilor
Divisibilitatea79. Un numr se ZiCe ca este divisibil prin altul,
a.
tundi cand se imparte esact printr'insul.Ast-fel, 15 este
divisibil prin 3, pentru ca se imparte
esact prin 3.
sas'L
pOsemok
www.dacoromanica.ro
-
55
89. Divisibilitatea cu 2. Un num& este divisibilprin2, atund
dind cifra unimilor sele este zero* saz q czjrii ciesob (cifrele cu
sot sunt 2, 4, 6 si 8).
Asa, 4580, 3816, 184, sunt divisibil prin 2, pentrucifra
unimilor lor este zero, sat 6, sat 4.
81. Divisibilitatea cu 3. Un num& este divisibil prin3
atunci dud, faceind suma cifrelor lug, athst11 sumlf se im-parte
esact cu 3.
Fie numiul 4587. Fac suma cifrelor sale;4-F5 -1-8-1- 7=24.
Suma 24 se imparte esact cu.3 (24 : 3-.8); asa darnumkul 1587
este divisibil prin 3.
82. Divisibilitatea cu 9. Un numer este divisthil cuq, atund
cnd, suma cifrelor mI1 acestd sumli se inz-
parte esact CU 9.Fie numrel 3017-13. Fac suma cifrelor sale:
3+ 0+1 + 74-4,--1- 3=18Suma 18 sd impaite esact cu 9, (IS :
9.2); at dar
num6rul 301743 este Ovisibil prin U.83. Divisibilithtea cu 4. Un
numb- este drisibil prin
4, atund thud numerul fa, mat de cele deice cifre de /a armaale
lza se imparte esaa ell 4.
N'urarul 29752 este d visibil prin 4. l entiu ei ulti-mole luI
cifre formfzt. num6rul 52, care se iml arte csactcu 4 (52 4=13)
84. Divisibilitatea cu 8. Un numb- este divisibil prin8, atunrt
ccind numerul format de cele tree cifre de lcz urmeiale lad se
impaite esact cu 8.
Num6ru1 729526 este divisibil prin 8 pentru et ulti-mele lui
trei cifre form6zt, numrul 536, care se impartesact cu 8 (536 :
8=67).
85. Divisibilitatea cu 5. Un numer este divisz.bil grin5, *fauna
thud c?fra unamilor sale este zero sail 5.
/eland
GA
t
www.dacoromanica.ro
-
56
Numerile 2870 si 435 sunt divisibile prin 6, pentruca primul se
termina cu zero, iar al doilea cu 5.
86. Divisibilitatea cu 6. Un nunar este divisibil prin6, atuncI
child e divisibil ,ri prin 2, 7. prin 3.
Num6ru1 4578 se imparte esact i cu 2, si cu 3; asadar el este
divisibil i prin 6.
87. Divisibilitatea cu Jo, cu. Ion, cu moo etc.Un num& este
divisibil prin 10, cand are la fine un zero ;prin zoo, cand are la
fine dor zero ; prin woo, and are lafine tret zero, etc.
Numrul 2780 este divisibil prin 10; num6ru1 .4800prin 100;
numrul 385000 prin 1000.
88. Divisibilitatea prin ii. Pentru a cunbsce dac.4 unnumb- este
divisibil prin ii, adundm de o parte pe cifrli a
cu a 3-a,.cu etc., de altd parte pe a 2-a cu a4ta Cu a 6-a etc.;
scadem o sunid din cea-raltd ; ci dacdferenla este zero, sale dac
se imparte esact cu ir, nunaruldat este divisibil prin
Esemple, Fie numrul 2612038. Prima 10 cifra este 2;a treia este
1; a cincea este 0; a saptea este 8; suma loreste 2+1+0+8=11. Suma
cifrei a doua, cu a patracu a sasea, este 6+2+3=11. Scazand acsta
suma dincea precedenta, gasirn diferenta zero ; prin urmare
numaruldat 2612038 este divisibil prin 11.
Fie Inca numrul 8175937. Prima surna este :8+7+9+7=31, a doua
suma este 1+5+3=9. Sea-
zand pe a doua din cea gsim diferenta 31 9=22,care se imparte
esact prin 11 ; prin urmare num6ru1 dat8175937 este divisibil prin
11.
Divisor% comuni divisori, cel maT marecomun divisor.
89. Divisor al unui num6r se chiama un num6r careii imparte
esact.
r6lut a 5-a, ,si
rr.
di
si
d'intaia,
www.dacoromanica.ro
-
57
Ast-fel 5 este divisor al lui 15, pentru on imparteesact (45 :
5=9).
Un numr 1)1:Ste sA aibA mai multi divisor!. Ast fel 60are de
divisor! pe 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.De asemenea,
num6rul 72 are de divisor! pe 1, 2, 3, 4, 6,8, 9, 12, 18, 24, 86,
72.
go. Comuni divisors la dou6 sat mai multe numeredate se chiamA
numerele :..arl impart esact pe tOte numereledate.
Ast-fel 1, 2, 3, 4, 6, 12 sunt comuni divisor! la 60 sila 72,
pentru cA impart esact si pe 60, si pe 72.
91. Cel mai' mare comun divisor a dem) sat mai multenumere date
se chiamtt cel mai mare dintre numerele car!impart esact de odatA
pe tOte numerele date.
Ast-fel vedem cA dintre numerele 1, 2, 3, 4, 6, 12,car! Impart
esact de odatA si.pe 60 si -pe 72, cel mai mareeste 12 ; asa dar 12
este cel mai mare comun divisor alnurnerdor 60 si 72.
Cautarea celulf mar mare comun divisor 'nitre doue numere.
92. Regul. Pentru a gdsi pe cel mai' mare comundivisor intre
doue numere, imparlim pe cel mai mare printel mar mth; dacd remane
rest, cu dinsul impdrlim pe nu-merul cel mai mic; dacd tar remane
rest, cu dinsul impdr-lint pe restul precedent; pi urmdm a,ra, pand
te imparlirease va face esact; atunci' numerul cu care am imparrit
marin urmd este eel mai mare comun divisor cdutat.
Esemple. I. SA se gAsescA cel mai mare comun divisorintre
numerele 648 si 288.
Operatia se asez 5. ast fel :
684576
2288216
21087236
1
7272
236
108 72 0
www.dacoromanica.ro
-
56
Am impartit pe 684 prin 288 ; caul 2 l'am soils d'a-supra lui
288, si am gasit restul 108.
Cu 108 am impartit pe 288 ; am gasit restul 72.Cu 72 am impartit
pe primul rest, 108 ; am glisit res-
tul 36.Cu 36 am impartit pe restul precedent, 72, si de asta
data impartirea s'a facut esact.Asa dar numrul 36, cu care am
impartit la urm!.1, est3-
cel mai mare comun divisor intro numerelo date 681 si 288.II. Sa
se afle cel mai mare comun divisor intre nu
merele 609 si 87.7
609 87609
0Lucrand dupa, regula, am gsit ea chiar cea (..intaitt
impartire se face eact; asa_dar chiar 87, cu care ani im-partit,
este cel mai mare comun divisor cautat.
Sa se gasesca cel mai mare comun divisor intra297 si 140.
2 8 4 4297 1401 17 4 1280 1361 16 4
171 41\ 11 01Aplicand regula, am glIsit ca cel mai mare comun
divisor
este 1. Asa dar, de vreme ce 1 este cel mai mic din
numerileintregi, cele douenumere date nu ail alt divisor comun de
cit pe 1.
Numerele care nu at alt divisor comun de cat ipe 1,se numesc
numere prime intre dinsele.
Esercifil. S1 Se gasesca ct-I mai mare Lomun diviSorintre
nurnerele urmetre :
585 si 225 ;510 si 96 ;
39 si 312 ;378 si 216 ;
1439 si 199 ;408 i 154 ;
III.
www.dacoromanica.ro
-
59
Numere prime
93. Numer prim este acela care nu se pOte impartiesact de cat
prin sine insusl i prin 1.
A sa 7 este numr prim.Eaca lista nurnerelor prime de la 1 pana
la In() :1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,
47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Descompunerea until numr In factoril sel primi
94. A descompune pe un numer In factori sI prim!va s a gsi
numPrele prime earl, inmultfte intre ele,
produc6, pe nurn6rul dat.- Esemplu. A descompune pe 60 in
factori primi, va st
qica a gasi numerele prime 1, 2, 3 si 5, earl inmultite intreele
fac 60.
95. Regul. Pentru a,descompune pe un numer Infac --tori2- sef
rrim7. pe rind cu fie-care numer primen care se tole esa I. de
(-tile on' se tote; flumere/eprime en c ul am imprfil s7nE faciord
trimr
Esorphr. ;-4rt StJ (.1-scOMpJ; it numi.rul 232 in factorilST
p,
)2 2196 263 3z 1 3
1
Numrul 252 s'a putut irnpaiti esact cu num6rul prim2. Catul 126
inca s'a impartit cu 2. Al doilea cat 63 s'aimpartit de dou off cit
3. In fine, 7 impartit cu 7.
Asa dar252.2x2X3X3X7.
Factoril primi al lul 252 sunt dar, 2, 2, 3, 3, 7.
fjicasa
if imp Witsimpli
I lie top.
7 7
www.dacoromanica.ro
-
60
96. Se chiamA putere a until numr produsul aceluinumr de mai
multe ori prin sine insust
Ast-fel 8 x8 X8 este o putere a lui 8.Puterea a doua sat
plitratul unui num6r, este produsul
acelui numr luat de dou oil ca factor.Asa, 8X8 este ptratul lui
8.Puterea a treia sail cubul unui numr este produsul
acelui numr luat de trei ori ca factor.Asa, 8 X8 x8 este cubul
lui 8.Puterea a patra, a cincea, etc., a until numr este pro-
dusul acelui numr luat de patru, de cincl, etc. oil ca
factor.Asa 8 x 8 X 8 X8 este puterea a patra a lui 8.0 putere se
scrie, pun 'end .in drpta numrului dat si.
ceva mai sus, uumrul care aratA la ce putere se ridicA el.Asa,
pAtratul lui 8 se scrie 82; cubul Jul 8, 83; pu-
terea a patra a lui 8, 84, etc.Numerele 2, 3, 4, cari aratA la
ce putere se ridicA nu-
mrul, se chiam4 esponent.Cu modul acesta, numrul 252, descompus
in factori
priml, se /Ate scrie mai scurt:
252=22X32X7Esercilit. SA se descompunA in factori primi
numerele
450, 72, 810, 540, 144, 96, 324, 216, 378.
Cautarea celuT maT mare comun divisor Intre (loudsad maT Mune
numere.
97. Regul. Pentru a afla pe cel mai' mare comundivisor intre
doue sail mai' multe numere, le descompunemin factorit lor primt,
Fi lutIm pe factoril ce var .fi comunt latOte numerile date, cu cel
mat mic esponent ; produsul aces-ior factori este cel mat mare
comun divisor atutat.
www.dacoromanica.ro
-
61
Esemplu. Sa se afle cel mai mare comun divisor alnumerelor, 168,
360, 252.
Descompunnd numerele date in factori primi,
avem168=22X3X7;360=28X32X5 ;252=22X32X7
Factorii comuni la tote numerele sunt 2 si 3. II luAmcu
esponenVI cei mai mid, i formAm pe eel mai mare co-mun divisor.
22x3=12Esercifil. SA se afle cel mai mare comun
divisor.intre
numerele urmtOre :I. 450, 72, 810 ; II. 540, 144, 96; III. 324,
216, 378 ;
IV. 312, 210, 520.
Cdutarea celui mai mic multiplu comun al maTmultor numere.
98. Multiplu al unui numr, se chiama un num6r carese bpparte
esact prin num6ru1 dat.
Spre esemplu, 54 este multiplu In! 9, pentru ca se im-parte
esact prin 9.
99. Multiplu comun al mai multor numere, se nu-mesce un uumr
care se imparte esact prin numerele date.
Spre esemplu, 60 este multiplu comun al numerelor15 si 12,
pentru ca se imparte esact prin 15, si prin 12.
100. Cel rnaI mic multiplu eamun al mai multor nu-mere se
chiama, cel mai mic din tOte numerele car! se potimprti esact cu
numerele date.
Spre esemplu, 60 este cel mai mic multiplu comun alnumerelor 15
si 12, pentru ca nu este Mei un nufar maimic de cat 60, care sa se
imparta esact de-odat i prin 15,
prin 12.
www.dacoromanica.ro
-
62
101. Regul. Pent/ u a glisi pe cel mal mic multiplu.comun al mar
multor numere, le descompunem in factorillor prim!, lulim pe
factorzi comunt i necomuni, encel ma: mare esponent. Produsul lar
va fi eel mai mictiplu comnn cautat.
Esemplu. SA se afle cel mai mic multiplii comun alnumerelor 168,
368 si 252.
Aceste numere, descompuse in factoril lor primi,
sunt:168==.2'X3X7.360---23X32X5,252.22x32>
-
63
cle cate on numratorul este mai mare, de atatea oil frac--tiunea
este mai mare.
In fine scim (9) ca, valrea unei fractii nu se schimbadaca
inmultim sa impart'im, i pe num6ratoru1, i pe nu-mitorul ei cu
acelas numr.
103. Numer fracfionar se chiamA un numr care co-prinde i
intregi, i fractil. Ast fel 7+1 sail '71 este un nu-tn6r
fractionar.
Fracliune subunitard este acea in care numrAtoruleste mai mic de
cat numitorul.
Fracfiune supraunitara este acea in care num6ratoru1este mai
mare de cat numitorul.
Frac/lune equiunitara este acea in care num6ratoru1este egal cu
numitorul.
Esemple. Fractiunea -,5r, este sub-unitara ; 1T este
su-praunitara ; -7r este equiunitara.
104. Fraeliunea subunitard este mai mica de cht uni-.tatea,
pentru ca coprinde parti mai putine de cat dinsa.
Ast-fel in fractia 4-, unimea s'a impartit in 7 parti,s'aa luat
numai 5 din ele.
Fracliunea supraunitara este mat mare de cat I, pen-tru ca
coprinde parti mai multe de cat dinsa.
Aa in y, o unime s'a imparit In 7 parti, insa fractiadata
coprinde 10 ; adica s'a luat o unime Intrga, 0 3 partidin alta
unime.
Fracfiunea equiunitara este eg-ala cu I, pentru C co-prinde tot
atatea parti cat si dinsa.
105. Reguld, Pentru a gasi intregit ce coprinde ofrac/ie
supraunitara, impartim pe numerator prin numitor,tar restulut,
claca este, 'I dam de numitor tot pe