S o n aq u ello s n ú m e ro s p o sitivo s y n eg a tivo s q ue n o tien en p a rte d ecim al, in clu id o e l ce ro . • Ejemplos: +4; +3; -5; 9; -3; 0; -10 Los números enteros se representan en una recta numérica: 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 ... ... 1 2 3 4 5 6 * Recordemos que el "0" no tiene signo positivo ni negativo. 1. VALOR NUMÉRICO DE UN NÚMERO ENTERO. Imaginemos que estamos en una competencia de dos autos, donde: - Ambos autos parten de un mismo lugar. - Viajan en sentido contrario. - Viajan a una misma velocidad. ¿La distancia recorrida por los autos para un mismo tiempo será la misma? Rpta.: ___________________ Partid a Concepto: El valor absoluto de un número entero es la distancia que hay de dicho número a cero. 2 6 4 3 5 N Z -4 -3 -6 -5 -1 -2
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Transcript
Son aque llos núm eros po sitivos y negativos que no tienen parte decim al, inclu ido el cero.
• Ejemplos:
+4; +3; -5; 9; -3; 0; -10
Los números enteros se representan en una recta numérica:
0- 1- 2- 3- 4- 5- 6. . . . . .1 2 3 4 5 6
* Recordemos que el "0" no tiene signo positivo ni negativo.
1. VALOR NUMÉRICO DE UN NÚMERO ENTERO.
Imaginemos que estamos en una competencia de dos autos, donde:
- Ambos autos parten de un mismo lugar.
- Viajan en sentido contrario.
- Viajan a una misma velocidad.
¿La distancia recorrida por los autos para un mismo tiempo será la misma?
Rpta.: ___________________
Partida
Concepto: El valor absoluto de un número entero es la distancia que
2. Escribir ">", "<" o "=", según corresponde.a. (-9) - (-4) ______ (-3) - (+6)
b. (-8) - (+13) ______ (-7) - (+14)
c. (-18) - (-6) ______ (-9) - (+3)
d. (-20) - (+33) ______ (+18) - (-36)
e. (+65) - (+7) ______ (-7) - (-65)
3. Efectuar las siguientes restas de números enteros:a. (12) - (+7) b. (15) - (8)
c. (-36) - (+23) d. (-36) - (-11)
e. (-25) - (35) f. (-100) - (-100)
g. (+8) - (-8) g. (+9) - (+9)
4. Afina tu cálculo mental.
a. + 4 + 6 + 9 = b. - 8 - 3 - 6 =
c. + 11 + 15 + 12 = d. - 5 - 12 - 9 =
ARITMETICA
e. - 5 + 16 - 14 =
5. Completa la tabla y continúa desarrollando.
a
-1
+ 4
-6
b
3
-2
+ 1
c
-2
5
4
(a + b ) (b - c) (a + c) (c - a)
OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN EN Z
1. Halla en tu cuaderno el resultado de las siguientes operaciones:
a. - 4 - 7 + 13 – 9
b. - 13 + 14 + 27 - 18 – 38
c. 53 - 28 + 39 - 47 + 18
c. - 68 + 4 - 73 - 52 + 106
d. 75 - 49 - 32 + 92 + 18 – 20
e. 36 + 13 + 47 – 12
f. - 73 + 26 - 14 - 37 + 41
h. 45 + 80 - 5 - 6
i. - 8 - 16 + 10 - 40
j. - 10 - 15 + 35 - 14
ARITMETICA
DEMUESTRA LO APRENDIDO
I. Resuelve las siguientes operaciones combinadas en tu cuaderno:
a. (-5) + (-2) - (-1) + (+4) - (+6)
b. (-7) - (+2) + (+8) - (-4)
c. (-10) + (-2) + (-7)
d. (-12) + (-11) - (+10) - (-3)
e. (-6) - (-3) + (-2) - (-8)
f. (-5) + (+8) - (-3) - (+2)
g. (-4) - (+7) + (-1) - (+10)
h. (-9) + (-10) - (-11) - (-1)
i. (+5) - (+3) + (+2) - (+30)
j. (-10) - (-3) + (-18) - (+2)
ARITMETICA
Continúa esforzándote, e léxito depende de ti.
Sab ías que ...
Los ch inos no aceptaron la idea de que un núm ero negativopudiera ser so lución de una ecuación . Lo s griegos
u tilizaron reg las parecidas a las que usam os actua lm ente para realizar o peracio nes aritm éticas con m agn itudes negativas en sus dem ostraciones geom étricas. S in em bargo , corresponde a los h indúes, hacia e l año 650 d .C ., el m érito de transform ar
esas pautas en reglas num éricas ap licab les a los núm eros positivo s, negativo s y cero .
MULTIPLICACIÓN
( ) ( ) = + + +
( ) ( ) = - - +
( ) ( ) = + - -
( ) ( ) = -- +
E jem plo :
a.
b.
c.
d .
(+ 10) (+ 20) =
( -5 ) ( -9) =
( -2 ) ( + 4) =
(+ 6) ( -2) =
DIVISIÓN
ARITMETICA
( ) ( ) = + + +
( ) ( ) = - - +
( ) ( ) = + - -
( ) ( ) = -- +
E jem plo :
a.
b.
c.
d .
(+ 100) (+ 2) =
( -8 ) ( -1) =
(+ 15) ( -3 ) =
( -16) (+ 4) =
Recuerda
• En la multiplicación o división de dos números de igual signo, el
resultado siempre será un número positivo.
• En la multiplicación o división de dos números de diferentes signos, el
resultado siempre será un número negativo.
¡LISTOS . . . A TRABAJAR!
1. Realiza las siguientes multiplicaciones:
a. (+3) (+5) f. (+40) (+7)
b. (+8) (-1) g. (-1) (-1)
c. (-5) (-4) h. (5) (-3)
d. (-1) (+78) i. (9) (-10)
e. (+12) (-12) j. -9 (-8)
2. Realiza las siguientes divisiones:
a. 14 2 f. (-1) (-1)
b. (-12) (-4) g. (-8) (+8)
c. 20 (-5) h. (+25) (-5)
ARITMETICA
d. (-30) 6 i. (+100) (+10)
e. (-10) (-2) j. (-144) (+12)
3. Completa la siguiente tabla:
a
- 8
- 4
+ 1 0
+ 1 8
- 3
b
2
- 1
- 5
- 9
+ 3
a × b a b a
+ 3 2
- 4 4
+ 6 4
- 3 6
+ 1 1
b
- 8
+ 1 1
- 4
- 9
- 1 1
a × b a b
4. Colorea los triángulos; de color rojo los productos positivos y de color azul los productos negativos:
(+ 4) ( -5 )
( -10) ( -2)
( -8 ) (4)
20 (+ 4)
( -6 ) (3)
( -7 ) (+ 13)
5. Resuelve las siguientes operaciones combinadas:
a. - 5 × 3 + 8 - (4 - 1 × 5)
b. - 12 × [ - 6 - 10 × ( - 2 - 3)]
ARITMETICA
c. - 3 (4 - 2 + 5)
d. - 15 ( - 4) + 2 [ - 3 (2) + (6 - 2 (8))]
DEMUESTRA LO APRENDIDO
1. Si: A = (-8) (+2) - 3
B = (+4) (-2) + 4
C =(50) (-2) - 6
Halla:
a. A + B + C Rpta.: -44
b. A × B - C Rpta.: -45
c. 2B - 3A Rpta.: 49
d. 2A × B Rpta.: 152
e. A - B - C Rpta.: 16
2. Resuelve las siguientes operaciones combinadas en tu cuaderno:
a. - 5 + 4 × 3 Rpta.: 27
b. 6 - 2 × 5 Rpta.: -4
c. 32 - 40 × 5 + 128 Rpta.: -40
ARITMETICA
d. (8 - 3) × 4 - 1 Rpta.: 19
e. (- 13 + 6) × (-3) + 4 (-1) Rpta.: 17
DESAFÍO: El lechero ingenioso.
Un lechero dispone de dos jarras de 3 y 5 litros de capacidad para medir la leche que vende a sus
clientes. ¿Cómo podrá medir un litro sin desperdiciar la leche?
1. Construcción del conjunto de los números racionales.Los números enteros y los fraccionarios pasan a integrar el conjunto de los números racionales, que se simbolizan por una "Q".
Z Fracciones = Q
Gráficamente:
01
23
N
Z
Q
-1-2
-3
14
27
-
13
53
N
Z
Q
: Co njunto de los núm eros natu rales.
: Co njunto de los núm eros en teros.
: Co njunto de los núm eros racionales.
34
-
2. Representación de Q en la recta numérica.Sabemos que el conjunto Z se representa en la recta numérica así:
0-1-2-3 1 2 3
ARITMETICA
También las fracciones pueden ser ubicadas en la recta numérica, sea por
las divisiones sucesivas (de mitad en mitad) o por el uso de las escuadras y
el compás para dividir un segmento de recta.
0
-15
-25
-35
-45
-1 -34
-12
-14
14
1
-210
-410
-610
-810
152
10
12
254
10
34
356
10
458
10
De la gráfica se define que:
I. Las subdivisiones de la recta numérica son infinitas.
II. Entre dos números racionales siempre será posible hallar al menos otro número racional.
III. No es posible hallar el siguiente o el anterior valor de un número racional cualesquiera.
IV. Un mismo punto en la recta numérica puede ser representado por varias fracciones que son equivalentes entre sí. Por lo que se afirma que el conjunto de dichas fracciones (clases de equivalencia) representa al Número Racional respectivo.
3. Densidad en el conjunto de los números racionales.Esta propiedad de densidad en Q, no la poseen los conjuntos N y Z."Dados dos números racionales diferentes, siempre se puede encontrar otro número racional cuyo valor esté comprendido entre ambos"En forma general:
Entre dos números racionales existen infinitos números racionales.
RELACIÓN DE ORDEN DE UN NÚMERO FRACCIONARIO (>, <, =)
ARITMETICA
A. Dados dos números fraccionarios tales como dc
yba
, podemos afirmar que:
dc
ba
si se cumple: a.d = b.c
Ejemplos:
• 34
68
ya que: 8 × 3 = 6 × 4
• 510
36
ya que: 6 × 5 = 3 × 10
• 1230
25
ya que: 5 × 12 = 2 × 30
B. Dados dos números fraccionarios, podemos determinar que uno es mayor o
menor que otro, usando la regla de los productos cruzados.
Ejemplos:
•119
78
8 × 11 > 9 × 7
119
>78
entonces:
•48
76
4 × 6 < 8 × 7
48
<76
entonces:
•128
204
12 × 4 < 8 × 20
128
<204
entonces:
¡LISTOS, A TRABAJAR!
1. Completar con un "Sí" o con un "No" según la pertenencia o no.
312
-2 035
213
164
18
-423
- - -
N
Z
Q
2. Compara las siguientes fracciones utilizando los signos ">", "<" o "=".
ARITMETICA
a. 65
43
porque: 3 × 6 < 4 × 5
b.
9
8
3
12 _______________________________________
c.
7
8
8
10 _______________________________________
d.
8
4
6
3 _______________________________________
e.
5
2
25
60 _______________________________________
f.
6
5
3
15 _______________________________________
3. Completar con ">", "<" o "=" según corresponda:
34
23
3
12
425
78
3694524687
ARITMETICA
DEMUESTRA LO APRENDIDO
1. Completar con un "Sí" o con un "No" según la pertenencia o no pertenencia.
635
-279
42
93
16
- -
N
Z
Q
23
- 054
2. Compara las siguientes fracciones utilizando los signos ">", "<" o "=":
a.
8
12
12
9 b.
3
13
3
17 c.
17
35
d.
3
5
5
72 2
e.
5
41
f.
7
5
28
20
3. Completar con ">", "<" o "=" según corresponda:
ARITMETICA
36
92
1
418
252
73
25463729
53
ARITMETICA
Con las fracciones se pueden realizar las operaciones que hemos aprendido a
efectuar con números enteros: la adición, la sustracción, la multiplicación, la
división, la potenciación y la radicación.
I. ADICIÓN.
Para efectuar la suma o adición de fracciones es necesario reducirlas antes,
luego se puede aplicar el método del mínimo común múltiplo o la regla de
productos cruzados.
A. Método del mínimo común múltiplo.
• Hallamos el m.c.m de los denominadores y lo escribimos como
denominador del resultado.
ARITMETICA
• Para hallar el numerador dividimos el m.c.m. entre cada denominador y
luego se multiplica por el respectivo numerador.
• Finalmente se suma en el numerador.
Ejemplo:
2
3+
3
5+
7
30=
2 × 10 + 3 × 6 + 7 × 1
30=
20 + 18 + 7
30=
45
30=
3
22
3×
Calcu lando el m .c.m .
5
5
5
1
3
1
1
1
30
10
5
1
3
2
5
m .c.m . [3 ;5 ;30] = 3 × 2 × 5 = 30
B. Regla de productos cruzados.
Esta es una regla práctica, recomendable para sumar dos fracciones de
términos pequeños.
a
b+
c
d
×
a × d + b × c
b × d=
Ejemplo:
• 3522
35157
753571
73
51
¡LISTOS, A TRABAJAR!
1. Empleando la regla de productos cruzados, efectuar las siguientes adiciones:
ARITMETICA
17
34
23
1315
+12
2. Calcular "A + B", si: 31
2B;51
32
A
a. 512
b. 94
c. 516
d. 812
e. 55
3. Haciendo uso del mínimo común múltiplo (m.c.m.) efectuar:
83
92
125
a. 7219
b. 7223
c. 7249
d. 7273
e. 7231
4. Efectuar la siguiente operación:
31
721
3
a. 653
b. 659
c. 665
d. 668
e. 669
5. Completar con los signos ">" o "<", según corresponda:
I.
1
2
5
6+
2
3 II.1
4
1
32
2
32 +
III.1
7
1
8
1
9+
IV.
1
2
1
4
1
3+
1
3+
¿Cuántos signos ">" salen?
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4
ARITMETICA
DEMUESTRA LO APRENDIDO
1. Empleando la regla de productos cruzados, efectuar las siguientes adiciones:
25
12
54
2534
+13
2. Calcular "A + B", si:
41
1B;41
42
3A
a. 4 b. 42
3c. 4
34
d. 5 e.6
3. Haciendo uso del mínimo común múltiplo (m.c.m.) efectuar:
65
94
31
2
a. 1848
b. 3642
c. 1865
d. 3664
e. 1872
4. Efectuar la siguiente operación:
52
153
2
a. 3 b. 52
3c. 5
14
d. 4 e.5
5. Completar con los signos ">" o "<" según corresponda:
I.
5
8
4
5
7
8+
II. 1
2
1
4
3
413 +
III.
3
5
1
4
2
3+
IV.
1
5
2
5
1
3+
2
3+
¿Cuántos signos ">" salen?
ARITMETICA
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4
DESAFÍO
Un caño puede llenar un depósito en 10 minutos y otro caño puede
llenar el mismo depósito en 20 minutos. ¿En cuántos minutos se puede
llenar un depósito si abrimos al mismo tiempo los dos caños?
a. 316
b. 318
c. 7 d. 320
e. 9
II. SUSTRACCIÓN.
Para efectuar la sustracción de fracciones es necesario reducirlas antes,
luego se puede aplicar el método del mínimo común múltiplo o la regla de
productos cruzados.
Ejemplo: Resolver aplicando el método del mínimo común múltiplo.
ARITMETICA
4
6-
4
10=
4 × 5 - 4 × 3
30=
20 - 12
30=
8
30=
4
1515
4×
Calcu lando el m .c.m .
10
5
5
1
6
3
1
1
3
2
5
m .c.m . [2 ;3 ;5 ] = 2 × 3 × 5 = 30
Ejemplo: Resolver aplicando el método del producto en aspa o productos cruzados.
3
4-
1
6
×
3 × 6 - 4 × 1
4 × 6=
18 - 4
24= =
14
24=
7
1212
7
¡LISTOS, A TRABAJAR!
1. Empleando la regla de productos cruzados, efectuar las siguientes sustracciones:
13
19
14
2513
-27
ARITMETICA
DEMUESTRA LO APRENDIDO
1. Empleando la regla de productos cruzados, efectuar las siguientes sustracciones:
816
25
26
4357
-14
2. Calcular "A - B", si:
43
1B;43
21
2A
a. 21
b. 43
c. 23
d. 41
e. 32
3. Indicar cuál es la menor diferencia:
I. 31
52
II. 6
274
III. 5
141
ARITMETICA
a. I b. II c. III d. I y III e. iguales
4. Restar: 32
2de53
2
a. 53
b. 154
c. 58
d. 151
e. 103
5. De: 51
restar41
53
a. 107
b. 128
c. 203
d. 103
e. 2011
DESAFÍO
Encontrar el número racional entre 71
y 41
cuya distancia al primero sea el doble de la distancia al segundo.
a. 149
b. 147
c. 146
d. 145
e. 148
III. MULTIPLICACIÓN
En la multiplicación de fracciones el numerador final es el resultado de
multiplicar los numeradores, el denominador final es el resultado de
multiplicar los denominadores.
ARITMETICA
Es decir:
a
b×
c
d=
a × c
b × d
Ejemplo:
=3
5
12
15×
6
8=
12 × 6
15 × 8=
1 × 6
5 × 25
3
2
1
1
3
¡LISTOS, A TRABAJAR!
1. Completa el siguiente cuadro simplificando el resultado de la operación indicada:
47
23
610
5314
×15
2. Calcular "A × B", si:
518
91
23
B;25
53
33
A
a. 32
b. 104
c. 53
d. 103
e. 95
3. Se sabe que:
43
32
21
B;54
34
41
153
A
calcular: "A × B"
a. 52
b. 51
c.1 d. 23
e. 41
4. Simplificar:
31
141
331
2
ARITMETICA
a. 97
b. 98
11c. 28
31
d. 61
e. 91
10
5. Simplificar:
123
812
1536
906
a. 503
b. 509
c. 257
d. 252
e. 251
DEMUESTRA LO APRENDIDO
1. Completar el siguiente cuadro, simplificando el resultado de la operación indicada.
68
158
916
4386
×2112
2. Si: 219
103
65
B;89
618
94
A
calcular "A × B"
a. 566
b. 543
c. 569
d. 5615
e. 5610
3. Se sabe que:
65
54
43
B;56
41
21
232
A
calcular "A × B"
a. 21
b. 31
c. 32
d. 41
e. 43
4. Simplificar:
115
11615
32
3
ARITMETICA
a. 3 b. 53
c. 5 d. 65
e. 95
5. Simplificar:
415
1812
4236
4014
278
a. 53
b. 94
c. 92
d. 97
e. 56
DESAFÍO
Una tela se encoge al ser mojada 41
de su longitud y 31
de su anchura.
¿Qué longitud de la tela nueva hace falta emplear para tener 20 metros
cuadrados de tela después de mojada? Esta tela antes de ser mojada
tenía 8 metros de ancho.
a. 2m b. 3m c. 4m d. 5m e. 6m
IV. DIVISÓN
Para dividir una fracción ba
entre otra no nula dc
, equivale a multiplicar la
primera fracción ba
por la inversa de la segunda dc
.
Es decir:a
b
c
d=
a × d
b × c
a
b×
d
c=
Ejemplo:
4
6
8
9=
4 × 9
6 × 8
4
6×
9
8= =
3
42
3
2
1
¡LISTOS, A TRABAJAR!
ARITMETICA
1. Completa el siguiente cuadro efectuando todas las divisiones señaladas53
32
68
1235
12
2. Escribir la expresión más simple equivalente a:
I. 185367
a. 74
b. 107
c. 710
d. 73
e. 72
II. 11901345
a. 51
b. 2611
c. 223
d. 322
e. 1126
3. Hallar el valor de "A × B"; si:
31
51
71
B;
41
31
21
A
a. 78
b. 724
c. 912
d. 715
e. 96
4. Calcular:
85
78
73
72
a. 4 b. 0 c. 1 d. 3 e. 2
5. Calcular:
215
51
41
36
91
218
34
21
ARITMETICA
a. 65
b. 98
c. 43
d. 89
e. 37
DEMUESTRA LO APRENDIDO
1. Completa el siguiente cuadro efectuando todas las divisiones señaladas:12
13
14
3423
25
ARITMETICA
ARITMETICA
ADICIÓN EN N.1) Resolver:
109 + 291 + 300 + 150 + 50
2) Hallar el valor de "a":522a9...a3a2a1
3) Hallar el valor de "a":
15a9
....a3
a2
a1
4) Resolver:23 + 71 + 17 + 19 + 20
5) Resolver:49 + 39 + 21 + 31
SUSTRACCIÓN EN N.
1) La suma de los tres términos de una sustración es 4 820. Hallar el minuendo.
2) La suma de los tres términos de una sustracción es 144 y además el sustraendo es el doble de la diferencia.
3) Hallar el complemento aritmético de 32 517.
4) Hallar el valor de x + y.p q rr q px y 3
-
5) Si vendo una casa en $48 000, ganando $1 300, ¿cuánto es el precio de costo de la casa?
5) En la siguiente lista de compras, sacar la cuenta:
ARITMETICA
2kg
1
2kg
12
po llo
leche
arroz
papakg
1kg po llo
1 leche
1kg arroz
1kg papa
S / .3,20
1,50
1,20
0,80
Precio
DIVISIÓN EN N.
1) Si: D = 347; d = 19; r = 5, hallar el valor de "q".
2) Si: D = 560; r = 8; q = 23, hallar el valor de "d"
3) Se reparten 348 chocolates entre 17 alumnos, si se sabe que fueron
repartidos equitativamente y sobraron 8 chocolates. ¿Cuántos chocolates le
tocaron a cada uno?
4) Un jarrón se parte en varios pedazos, Ricardo intentando recoger los
pedazos, forma tres grupos (grandes, medianos y pequeños). Si se sabe
que en cada grupo hay 9 pedazos y además se le perdieron 2 pedazos. ¿En
cuántos pedazos se rompió el jarrón?
5) En una división el dividendo es 684, el divisor dos unidades menos que el
cociente, el cociente es el triple del residuo. Si se sabe que el residuo es 9,
hallar el valor del divisor.
NÚMEROS ENTEROS Z.
1) Resolver:
a.
2
|5||2||10|
b. |2||6||2|
|4|
c.|10|
|3||15||6||24|
d.
22
|)6||3(||4|
|2||9||4||)2(|
2) Hallar el valor de:
143
A; si:
|1||2||5||1||1||3||8|
A
ARITMETICA
3) Determinar el valor de "2B", donde:
|20||4||36|
|2||8|B
4) La secuencia "22" se describe a si misma pues ella está formada por exactamente dos 2. Analógicamente la secuencia "31123315" se describe a si misma, pues está formada por exactamente tres 1, un 2, tres 3 y un 5. ¿Cuál de las siguientes secuencias no se describe a si msma?