Aritm´ etica Lei da Reciprocidade Quadr´ atica Carlos Humberto Soares J´ unior PROFMAT - SBM
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Transcript
Aritmetica
Lei da Reciprocidade Quadratica
Carlos Humberto Soares Junior
PROFMAT - SBM
Objetivo
Determinar uma formula para calcular o sımbolo
de Legendre(
ap
), em que p e um primo ımpar.
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Lei da Reciprocidade Quadratica
O Teorema da Reciprocidade Quadratica, embora ja fosseconhecido por Euler e Legendre, so foi completamentodemonstrado em 1796 por Gauss, quando este tinha apenas 18anos de idade.
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Lei da Reciprocidade Quadratica
Inicialmente vamos demonstrar um lema tambem devido ao Gauss.
Lema (Gauss)
Sejam a, p ∈ N, em que p e primo e (a, p) = 1. Sejam r1, . . . , r p−12
os restos da divisao por p dos numeros a, 2a, . . . , p−12 a,
respectivamente. Se k e o numero dos ri que sao maiores do quep−1
2 , entao (a
p
)= (−1)k .
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Lei da Reciprocidade Quadratica
Demonstracao:
• (a, p) = 1 ⇒ a, 2a, . . . ,p − 1
2a incongruente modulo p ⇒
⇒ r1, . . . , r p−12
sao distintos, pois 1 ≤ ri ≤ p − 1.
• Divida o conjunto {r1, . . . , r p−12} em duas partes {b1, . . . , bk}
formada pelos elementos maiores que p−12 ; e {c1, . . . , c`} formada
pelos elementos menores ou iguais a p−12 .
Observe que k + ` = p−12 .
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Lei da Reciprocidade Quadratica
• Observe que p − b1, . . . , p − bk sao distintos entre si e menoresque p−1
2 . Alem disso, esses numeros sao distintos de {c1, . . . , c`}pois se p − bi = cj terıamos bi ≡ cj mod p, o que nao ocorre.
• Portanto, como k + ` = p−12 , temos
{p − b1, . . . , p − bk} ∪ {c1, . . . , c`} = {1, 2, . . . , p − 1
2}.
Assim,
c1 · · · c`(p − b1) · · · (p − bk) =
(p − 1
2
)!.
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Lei da Reciprocidade Quadratica
• Por outro lado, como para cada i ∈ {1, 2, . . . , p−12 }, temos que
a.i = pqi + ri , segue-se que
r1 ·r2 · · · r p−12
= A.p+(a)·(2a) · · · (p − 1
2a) = A.p+a
p−12
(p − 1
2
)!.
Concluımos assim que
b1 · · · bk · c1 · · · c` ≡ ap−1
2
(p − 1
2
)! mod p.
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Lei da Reciprocidade Quadratica
c1 · · · c`(p − b1) · · · (p − bk) =
(p − 1
2
)!.
b1 · · · bk · c1 · · · c` ≡ ap−1
2
(p − 1
2
)! mod p.
• Das identidades destacadas acima, concluımos que
b1 · · · bk · c1 · · · c` ≡ ap−1
2 (p − b1) · · · (p − bk)c1 · · · c` mod p.
Donde, por cancelamento
b1 · · · bk ≡ ap−1
2 (p − b1) · · · (p − bk) mod p.
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Lei da Reciprocidade Quadratica
• Como (p, p − bi ) = 1, para cada i , existe di tal que
di (p − bi ) ≡ 1 mod p.
Logo,
d1 · · · dkb1 · · · bk ≡ ap−1
2 mod p. (1)
• Note que dibi ≡ −1 mod p, portanto
d1 · · · dkb1 · · · bk ≡{
1, se k for par−1, se k for ımpar
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Lei da Reciprocidade Quadratica
Portanto
(−1)k ≡ ap−1
2 ≡*
(a
p
)mod p.
�
* Proposicao 12.3 (ii)
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Exercıcio
Exercıcio
Verifique se 2 e 3 sao resıduos quadraticos modulo 13.
Solucao:
• Para a = 2 temos que os restos da divisao de a, 2a, 3a, 4a, 5a e6a por 13 sao, respectivamente,
2 4 6 8 10 e 12.
Portanto, como 8, 10 e 12 sao maiores que 6, segue-se que(2
13
)= (−1)3 = −1.
Logo 2 nao e um resıduo quadratico modulo 13.PROFMAT - SBM Aritmetica , Lei da Reciprocidade Quadratica slide 11/24
Exercıcio
• Para a = 3 temos que os restos da divisao de a, 2a, 3a, 4a, 5a e6a por 13 sao, respectivamente,
3 6 9 12 2 e 5.
Portanto, como dois destes numeros sao maiores que 6, segue-seque (
3
13
)= (−1)2 = 1.
Logo 3 e um resıduo quadratico modulo 13. �
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Lei da Reciprocidade Quadratica
Proposicao
Sejam a, p ∈ N ımpares, com p primo e (a, p) = 1. Pondo
p′ = p−12 , e κ =
[ap
]+[
2ap
]+ · · ·+
[p′ap
], temos que(
a
p
)= (−1)κ.
Demonstracao: Sejam r1, r2, . . . , rp′ os restos da divisao dea, 2a, . . . , p′a por p, respectivamente.
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Lei da Reciprocidade Quadratica
Temos que
a = p
[a
p
]+ r1
2a = p
[2a
p
]+ r2
...
p′a = p
[p′a
p
]+ rp′
Somando membro a membro temos
p2 − 1
8a = (1 + · · ·+ p′)a = pκ+ r1 + · · ·+ rp′ .
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Lei da Reciprocidade Quadratica
Usando as notacoes do lema de Gauss, pondo B = b1 + · · ·+ bk eC = c1 + · · ·+ c`, temos que r1 + · · ·+ rp′ = B + C .
Portanto,
p2 − 1
8a = pκ+ B + C . (2)
Entretanto,
{c1, . . . , c`, p − b1, . . . , p − bk} = {1, . . . , p′}.
Donde
p2 − 1
8= 1 + · · ·+ p′ = pκ− B + C . (3)
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Lei da Reciprocidade Quadratica
Subtraindo (3) de (2), obtemos
p2 − 1
8(a− 1) = p(κ− k) + 2B. (4)
Como a− 1 e par e p e ımpar, decorre da igualdade acima que κ ek tem a mesma paridade.
Logo, segue do lema de Gauss que(a
p
)= (−1)k = (−1)κ.
�
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Exercıcio
Exercıcio
Verifique se 2X 2 − 34Y = 14 tem solucao inteira.
Solucao: Observe que esta equacao e equivalente a
X 2 + 17Y = 7
a qual tem solucao inteira se, e somente se, 7 e um resıduoquadratico modulo 17.
Entretanto
κ =
[7
17
]+
[14
17
]+
[21
17
]+
[28
17
]+
[35
17
]+
[42
17
]+
[49
17
]+
[56
17
]= 11.
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Exercıcio
Portanto (7
17
)= (−1)11 = −1.
Decorrendo daı que 7 nao e um resıduo quadratico modulo 17. �
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Lei da Reciprocidade Quadratica
Lema (Eisenstein)
Sejam p e q primos ımpares distintos. Entao[q
p
]+
[2q
p
]+· · ·+
[p−1
2 q
p
]+
[p
q
]+
[2p
q
]+· · ·+
[q−1
2 p
q
]=
p − 1
2
q − 1
2.
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Lei da Reciprocidade Quadratica
Teorema (Lei da Reciprocidade Quadratica de Gauss)
Sejam p e q primos ımpares distintos. Entao(p
q
)(q
p
)= (−1)
p−12
q−12 .
Demonstracao: Sejam
κ =
[p
q
]+
[2p
q
]+ · · ·+
[q−1
2 p
q
]e
κ′ =
[q
p
]+
[2q
p
]+ · · ·+
[p−1
2 q
p
].
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Lei da Reciprocidade Quadratica
Vimos que(p
q
)(q
p
)=∗ (−1)κ(−1)κ
′= (−1)κ+κ′ =? (−1)
p−12
q−12 .
�
∗ Lema de Gauss (proposicao 12.25).
? Lema de Einsenstein (lema 12.28).
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Exercıcio
Exercıcio
Verifique se 31 e um resıduo quadratico modulo 41.
Solucao: Observe que 31 e 41 sao primos. Entao(31
41
)(41
31
)= (−1)15(−1)20 = −1.
Logo, (31
41
)= −
(41
31
).
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Exercıcio
Como 41 ≡ 10 mod 31, temos que(41
31
)=
(10
31
)=
(2
31
)(5
31
).
• Observe que(5
31
)(31
5
)= (−1)15(−1)2 = −1
e que 31 ≡ 1 mod 5, portanto(5
31
)= −
(31
5
)= −
(1
5
)= −1.
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Exercıcio
• Observe que(2
31
)≡ 215 ≡ (25)3 ≡ 1 mod 31.
Portanto, (2
31
)= 1.
Logo(31
41
)= −
(41
31
)= −
(10
31
)= −
(2
31
)(5
31
)= −1.(−1) = 1.
provando que 31 e um resıduo quadratico modulo 41. �
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