Arithmétique dans l’ensemble des entiers natures : diviseurs, multiples, division euclidienne, PGCD, PPCM, nombres premiers, décomposition en produit de facteurs premiers Denis Vekemans ∗ 1 L’ensemble des entiers naturels Définition naïve : 0 est un entier naturel ; et, si n est un entier naturel, alors n + 1 aussi. Ainsi, comme 0 est entier naturel, 0 + 1 = 1 aussi ; puis, comme 1 est entier naturel, 1 + 1 = 2 aussi ; puis, comme 0 est entier naturel, 2 + 1 = 3 aussi ; ... Remarque : l’ensemble des entiers naturels est de cardinal infini. 2 Diviseurs - Multiples Définition : S’il existe un entier naturel k tel que a = k × b, alors on dit que — a est multiple de b ; — et/ou b est un diviseur de a. Remarque importante : si a est un multiple de b, alors b est un diviseur de a ; réciproquement, si b est un diviseur de a, alors a est un multiple de b. Exemple : 21 = 3 × 7, donc 21 est un multiple de 3 et/ou 3 est un diviseur de 21. Exercice 1 — 10 est-il multiple de 4 ? — 5 est-il diviseur de 25 ? — 252 est-il multiple de 9 ? — 18 est-il diviseur de 9 ? — Quel est l’ensemble des multiples de 5 ? ∗ Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France 1
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Arithmétique dans l’ensemble des entiers natures :
diviseurs, multiples, division euclidienne, PGCD,
PPCM, nombres premiers, décomposition en
produit de facteurs premiers
Denis Vekemans ∗
1 L’ensemble des entiers naturels
Définition naïve : 0 est un entier naturel ; et, si n est un entier naturel, alors n + 1 aussi.
Ainsi, comme 0 est entier naturel, 0 + 1 = 1 aussi ; puis, comme 1 est entier naturel, 1 + 1 = 2 aussi ;
puis, comme 0 est entier naturel, 2 + 1 = 3 aussi ; . . .
Remarque : l’ensemble des entiers naturels est de cardinal infini.
2 Diviseurs - Multiples
Définition : S’il existe un entier naturel k tel que a = k × b, alors on dit que
— a est multiple de b ;
— et/ou b est un diviseur de a.
Remarque importante : si a est un multiple de b, alors b est un diviseur de a ; réciproquement, si b est
un diviseur de a, alors a est un multiple de b.
Exemple : 21 = 3 × 7, donc 21 est un multiple de 3 et/ou 3 est un diviseur de 21.
Exercice 1
— 10 est-il multiple de 4 ?
— 5 est-il diviseur de 25 ?
— 252 est-il multiple de 9 ?
— 18 est-il diviseur de 9 ?
— Quel est l’ensemble des multiples de 5 ?
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais
cedex ; France
1
— Quel est l’ensemble des diviseurs de 48 ?
— Soit n un entier naturel. 0 est-il un multiple de n ?
— Soit n un entier naturel non nul. 0 est-il diviseur de n ?
Solution 1
— Non, 10 = 2, 5 × 4, mais 2, 5 n’est pas un entier naturel.
— Oui, car 25 = 5 × 5, et 5 est bien un entier naturel.
— Oui, car 252 = 28 × 9 et 28 est bien un entier naturel.
— Non, car 9 = 12
× 18 et 12
n’est pas un entier naturel.
— 0, 5, 10, 15, 20, . . . Cet ensemble est de cardinal infini.
— 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, et 48. Cet ensemble est de cardinal fini.
— Oui, car 0 = 0 × n.
— Non, car 0 × k = 0 6= n.
Théorème 2.1
Propriété additive : si a est multiple de c et b est multiple de c,
— alors a + b est multiple de c,
— et si, de plus, a ≥ b, alors a − b est multiple de c.
Exemple : 49 = 7 × 7 et 21 = 7 × 3 sont multiples de 7, donc 49 + 21 = 70 et 49 − 21 = 28 sont aussi
multiples de 7 (en effet, 70 = 7 × 10 et 28 = 7 × 4).
Démonstration
Il existe un entier naturel k tel que a = k × c (car a est multiple de c). Il existe un entier naturel l tel que
b = l × c (car b est multiple de c). Ainsi, par somme, a + b = k × c + l × c = (k + l) × c. Puis, a + b est
multiple de c (on a pu trouver un entier naturel k + l qui, multiplié par c, donne a + b). Et, par différence,
a− b = k × c− l × c = (k − l)× c. Puis, a− b est multiple de c (on a pu trouver un entier k − l qui, multiplié
par c, donne a + b ; et k − l ≥ 0 car a − b > 0 et c ≥ 0 donnent k − l ≥ 0 d’après a − b = (k − l) × c).
Théorème 2.2
Propriété de transitivité : si a est multiple de b et b est multiple de c, alors, a est multiple de c.
Exemple : 63 = 21 × 3 est multiple de 21 et 21 = 7 × 3 est multiple de 7, donc 63 est multiple de 7 (en
effet, 63 = 7 × 9).
Démonstration
Il existe un entier naturel k tel que a = k × b (car a est multiple de b). Il existe un entier naturel l tel
que b = l × c (car b est multiple de c). Ainsi, par substitution, a = k × b = k × (l × c) = (k × l) × c (par
associativité de la multiplication). Puis, a est multiple de c (on a pu trouver un entier naturel k × l qui,
multiplié par c, donne a).
Exercice 2
2
— Vrai ou faux (justifié) : si a est multiple de b et a est multiple de c, alors, a est multiple de b + c.
— Vrai ou faux (justifié) : si c est diviseur de a, si b est diviseur de a et si c ≥ b, alors, c−b est diviseur
de a.
— Vrai ou faux (justifié) : on peut trouver un multiple de 14 qui ne soit pas un multiple de 7.
— Vrai ou faux (justifié) : je connais un diviseur de 24 qui ne soit pas un diviseur de 12, ni 24, lui-même.
— Vrai ou faux (justifié) : on peut trouver un multiple de 7 qui ne soit ni un multiple de 14, ni un
multiple de 21, ni le nombre 7, lui-même.
— Vrai ou faux (justifié) : je connais un diviseur de 124 qui ne soit pas un diviseur de 248.
Solution 2
— Faux ! 21 est multiple de 3 et de 7, mais pas de 3 + 7 = 10.
— Faux ! 7 et 3 sont des diviseurs de 21, mais pas 7 − 3 = 4.
— Faux ! D’après la propriété de transitivité, comme 14 est multiple de 7, tout multiple de 14, l’est de
7.
— Vrai ! 8.
— Vrai ! Par exemple, 35, 49, . . .
— Faux ! D’après la propriété de transitivité, comme 124 est diviseur de 248, tout diviseur de 124, l’est
de 248.
Exercice 3 Soit n un entier naturel. Démontrer
1. que 6 × n + 9 est multiple de 3 ;
2. que (n + 2)2 − n2 est multiple de 4 ;
3. et que que (n + 2)2 − (n − 2)2 est multiple de 8.
Solution 3
1. 6 × n + 9 = (2 × n + 3) × 3 est multiple de 3 car 3 est en facteur dans 6 × n + 9 ;
2. (n + 2)2 − n2 = (n2 + 4 × n + 4) − n2 = 4 × n + 4 = 4 × (n + 1) est multiple de 4 car 4 est en facteur
dans (n + 2)2 − n2 ;
3. (n + 2)2 − (n − 2)2 = (n2 + 4 × n + 4) − (n2 − 4 × n + 4) = 8 × n est multiple de 8 car 8 est en
facteur dans (n + 2)2 − (n − 2)2.
Exercice 4 [Examen S1, 2016] Un groupe de majorettes étudie une disposition pour défiler. Elles dé-
cident de se placer en rangées pour former un rectangle.
Elles remarquent que :
— quand elles se placent par rangées de six, il en reste trois non placées,
— quand elles se placent par rangées de cinq, elles sont toutes placées.
3
1. Si elles se placent par rangées de trois, en reste-t-il ? Justifiez.
2. Si elles se placent par rangées de deux, en reste-t-il ? Justifiez.
3. Dans cette question uniquement, on fait l’hypothèse qu’il y a en tout moins de cinquante majorettes.
Quel peut être le nombre de majorettes ? Donnez toutes les solutions.
Solution 4
1. Quand elles se placent par rangées de 6, il en reste 3 non placées. Chacune des rangées de 6 constitue
deux rangées de 3 ; les 3 non placées constituent maintenant une rangée de 3. Il n’en reste donc pas.
Solution algébrique. D’après la première hypothèse, il y a 6 × k + 3 majorettes (avec k ∈ N). Or
6 × k + 3 = 3 × (2 × k + 1) est multiple de 3. Par rangées de 3, elles seront donc toutes placées.
2. Quand elles se placent par rangées de 6, il en reste 3 non placées. Chacune des rangées de 6 constitue
trois rangées de 2 ; les 3 non placées constituent maintenant une rangée de 2, mais il en reste 1. Il
en reste donc une.
Solution algébrique. D’après la première hypothèse, il y a 6 × k + 3 majorettes (avec k ∈ N). Or
6 × k + 3 = 2 × (3 × k + 1) + 1 n’est pas multiple de 2. Par rangées de 2, il en reste donc une non
placée.
3. D’après la première hypothèse, il y a 6 × k + 3 majorettes (avec k ∈ N), soit 3, 9, 15, 21, 27, 33, 39
ou 45 majorettes, puisqu’il y a moins de cinquante majorettes. Parmi ces possibilités, d’après la
deuxième hypothèse, il ne reste que 15 ou 45.
Conclusion : les majorettes sont au nombre de 15 ou de 45.
Exercice 5 [Besançon (1998)] Quels sont les entiers naturels a et b tels que a2 − b2 = 255 ?
Solution 5 De a2 − b2 = (a − b) × (a + b), on déduit que, comme a2 − b2 > 0 et a + b > 0, a − b > 0.
D’autre part, de a2 − b2 = (a − b) × (a + b) et comme a et b sont des entiers naturels, on déduit aussi
que a − b (qui est positif d’après la remarque précédente) et a + b sont aussi des entiers naturels.
De (a − b) × (a + b) = 255, on déduit que 255 s’écrit donc comme produit de deux entiers naturels (à
savoir, comme produit de a − b par a + b avec a − b < a + b).
Cependant, on ne peut écrire 255 comme produit de deux entiers naturels que de quatre façons quand
on impose que le facteur de gauche est inférieur au facteur de droite et chacune de ces façons nous fournit
une solution :
1. Première façon : 255 = 1 × 255
On déduit alors le système d’équations suivant :
a − b = 1 (L1)
a + b = 255 (L2)⇐⇒
a − b = 1 (L1)
2 × b = 254 (L2) − (L1)⇐⇒
b = 2542
= 127
a = b + 1 = 128
Première solution : a = 128 et b = 127.
4
2. Deuxième façon : 255 = 3 × 85
On déduit alors le système d’équations suivant :
a − b = 3 (L1)
a + b = 85 (L2)⇐⇒
a − b = 3 (L1)
2 × b = 82 (L2) − (L1)⇐⇒
b = 822
= 41
a = b + 3 = 44
Deuxième solution : a = 44 et b = 41.
3. Troisième façon : 255 = 5 × 51
On déduit alors le système d’équations suivant :
a − b = 5 (L1)
a + b = 51 (L2)⇐⇒
a − b = 5 (L1)
2 × b = 46 (L2) − (L1)⇐⇒
b = 462
= 23
a = b + 5 = 28
Troisième solution : a = 28 et b = 23.
4. Quatrième façon : 255 = 15 × 17
On déduit alors le système d’équations suivant :
a − b = 15 (L1)
a + b = 17 (L2)⇐⇒
a − b = 15 (L1)
2 × b = 2 (L2) − (L1)⇐⇒
b = 22
= 1
a = b + 15 = 16
Quatrième solution : a = 16 et b = 1.
3 Division euclidienne
Définition : pour a (entier naturel quelconque) et b (entier naturel non nul quelconque), il existe un
entier naturel q et un entier naturel r tels que
a = b × q + r,
où
0 ≤ r < b.
Dans ce cas, on parle de division euclidienne de a (le dividende) par b (le diviseur) où q est un quotient
et r un reste.
Théorème 3.1
Dans la division euclidienne de a par b, le quotient et le reste sont définis de façon unique.
Note : le quotient provenant de la division euclidienne de a par b est souvent appelé quotient euclidien
pour le distinguer du quotient a/b.
Exemple : dans la division euclidienne de 356 par 15, le quotient est 23 et le reste est 11 ; cela s’écrit :
356 = 23 × 15 + 11.
L’algorithme d’Euclide pour la division euclidienne
5
Le voici sur l’exemple de la division euclidienne de 3 562 par 23. Il permet d’obtenir le reste (20) et le
quotient (154) de cette division euclidienne.
3 5 6 2
− 2 3
1 2 6
− 1 1 5
1 1 2
− 9 2
2 0
2 3
1 5 4
La technique opératoire dans la division euclidienne de a par b est la suivante :
1. On écrit au brouillon la table utile des multiples de b (1 × b, 2 × b, . . ., 9 × b).
2. On considère a1 le plus petit nombre constitué des premiers chiffres de a tel que a1 ≥ b. On effectue
la division euclidienne de a1 par b dont le quotient est noté q1 et dont le reste est noté r1. q1 est le
premier chiffre du quotient (d’où l’utilité de l’écriture au brouillon de la table des multiples de b).
3. Tant qu’il existe encore des chiffres à considérer dans a, on effectue (la première fois, i vaut 2, puis
il est incrémenté à chaque fois de 1) :
(a) On considère ai le nombre formé des chiffres de ri−1 suivis du premier chiffre de a qui n’ait pas
encore été considéré.
(b) On effectue la division euclidienne de ai par b dont le quotient est noté qi et dont le reste est
noté ri. qi est le ième chiffre du quotient (d’où encore l’utilité de l’écriture au brouillon de la
table des multiples de b).
4. Les restes r1, r2, . . . sont appelés les restes partiels et les quotients q1, q2, . . . sont appelés les
quotients partiels (ce sont des chiffres). Le reste de la division euclidienne de a par b est le dernier
reste partiel obtenu ; le quotient de cette division est le nombre formé des quotients partiels.
Exercice 6 [Créteil, Paris, Versailles (2004)] Sachant que
36 202 744 = 9 658 × 3 748 + 4 560,
donner le quotient de la division euclidienne de 36 202 744 par 3 748.