This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ
Σχολή Θετικών Επιστημών
Τμήμα Φυσικής
ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ
Μελέτη κινήσεων γύρω από αστεροειδείς ανώμαλου
σχήματος - Εφαρμογή στον αστεροειδή Δίδυμο
Νικολαΐδης Συμεών ΑΕΜ: 13755
Επιβλέπων: Βουγιατζής Γεώργιος
Οκτώβριος 2018
Περίληψη
Η ανάγκη μελέτης παραγήινων πλανητικών σωμάτων, όπως οι αστεροει-
δείς γίνεται ολοένα και πιο επιτακτική. Η πιθανότητα ανεπιθύμητων συγκρο-
ύσεων τέτοιων σωμάτων, δεν περνά πλέον απαρατήρητη από την επιστημονική
κοινότητα. Σκοπός αυτής τη εργασίας, είναι η μελέτη του βαρυτικού πεδίου
που δημιουργεί ένας αστεροειδής με ομοιογενή κατανομή μάζας αλλά ανώμαλο
σχήμα. Για να πραγματοποιηθεί αυτή η μελέτη κατασκευάζεται ένα υπολογι-
στικό μοντέλο του αστεροειδή 65803 Δίδυμος από δεδομένα χαρτογράφησης
της NASA. Στη συνέχεια, αναλύεται ο τρόπος με τον οποίο το ελκτικό βα-ρυτικό πεδίο του αστεροειδή επηρεάζει σώμα που βρίσκεται σε προσεγγιστι-
κά κυκλική τροχιά γύρω του, μέσω αριθμητικής ολοκλήρωσης με τη μέθοδο
Bulirsch− Stoer των σχετικών διαφορικών εξισώσεων της κίνησης.
The need for study of near earth planetary bodies, such as asteroids isgradually becoming imperative. The chances of undesirable crushes of theseobjects, are no longer being treated as a trivial matter by the scientific com-munity. The purpose of this thesis, is the study of the gravitational fieldcreated by a homogeneous but anomalous asteroid. In order to realize thisstudy, a computational model of the asteroid 65803 Didymos is constructed,based on cartography data provided by NASA. Afterwards, there is an anal-ysis of the way the pulling gravitational field of the asteroid affects a bodyin an approximately circular orbit, through the Bulirsch - Stoer method ofnumerical integration of the relevant differential equation of motion.
Ευχαριστίες
Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον επιβλέποντα καθηγη-
τή κύριο Γεώργιο Βουγιατζή, για όλες τις συμβουλές και τη
βοήθεια που παρείχε για την πραγματοποίηση αυτής της εργα-
Η παραπάνω συνάρτηση επιτελεί την ίδια λειτουργία με την
προηγούμενη με την διαφορά ότι στρέφει επιπλεόν το σώμα
κατα γωνία ThetaRot.
i n t Crush ( double X [ ] )
Με την παραπάνω συνάρτηση γίνεται έλεγχος στα δεδομένα
συντεταγμένων του σώματος που περιέχει ο πίνακας X[ ] σε
δεδομένη χρονική στιμή t για το άν το σώμα έχει προσκρούσει
πάνω στον αστεροειδή (απόσταση από το κέντρο <= 0.45km).
Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω συναρτήσεις σε συνδυασμό
με εκείνες της βιβλιοθήκης restroe3.h αλλά και αυτές της ODESBS.hεκτελούμε μια σειρά από υπολογισμούς τροχιών οι οποίες πα-
ρουσιάζονται αναλυτικά στο κεφάλαιο των αποτελεσμάτων.
41
3.7 Γραφική απεικόνιση αστεροειδή
Σε αυτήν την ενότητα θα αναφερθούμε στο πρόγραμμα που
κατασκευάστηκε για την γραφική απεικόνιση του αστεροειδή.Αρχικά, τα δεδομένα που χρησιμοποιήθηκαν είναι τα αυθεντικά
δεδομένα του αρχείου didymosl162 vertices.txt χωρίς την εφαρ-
μογή της γραμμικής παρεμβολής επιπλέον σημείων, όπως και
τα δεδομένα του αρχείου didymosl162 indices.txt. Η παραγωγή
των γραφικών έγινε μέσω του framework της OpenGL, για την
γλώσσα C + +. Ακολουθεί η περιγραφή του προγράμματος:
void initGL ( )
Με την συνάρτηση πραγματοποιείται μια σειρά από βασικές
αρχικοποιήσεις, απαραίτητες για τον σχεδιασμό αντικειμένων
από το πρόγραμμα μας. Επιπλέον, δηλώνονται οι δομές που θα
σχηματίσουν τους άξονες του συστήματος αναφοράς (axes list),τις ακμές του πολυέδρου - αστεροειδή (ind list), οι τριγωνικέςεπιφάνειες που ορίζουν τα επιφανειακά σημεία (faces list) κα-
θώς και η τροχιά σώματος γύρω από τον αστεροειδή που θέλουμε
να απεικονίσουμε στην εκάστοτε περίπτωση (graph list).
void d i s p l a y ( )
Με την παραπάνω συνάρτηση φορτώνονται στο buffer οι δομέςπου έχουν νωρίτερα αρχικοποιηθεί προκειμένου να γίνει η απεικόνιση
τους.
void proce s sSpec i a lKeys ( i n t key , i n t xx , i n t yy )
Η παραπάνω συνάρτηση δέχεται σαν όρισμα είσοδο από τον
χρήστη με το πάτημα των δεικτών του πληκτρολογίου, οι οποίοιμετακινούν την κάμερα για να παρατηρηθεί ο αστεροειδής υπο
διαφορετική οπτική γωνία.
void t imer ( i n t va lue )
Συνάρτηση καταγραφής του χρόνου.
42
void reshape ( GLs ize i width , GLs ize i he ight )
Συνάρτηση προσαρμογής του μεγέθους του πάραθυρου της
γραφικής απεικόνισης.
void c r e a t e d a t a a r r a y s ( )
Με την παραπάνω συνάρτηση γίνεται αποθήκευση σε δυναμι-
κές δομές των δεδομένων από τα αρχεία didymosl162 vertices.txt, didymosl162 indices.txt και από το αρχείο που περιέχει τις συ-
ντεταγμένες της εκάστοτε τροχιάς.
43
Κεφάλαιο 4
Αποτελέσματα
Στο κεφάλαιο αυτό, θα ακολουθήσει η ανάλυση των αποτελε-
σμάτων που πάρθηκαν από την εκτέλεση του αλγορίθμου για
την μελέτη του βαρυτικού πεδίου του Δίδυμου.
4.1 Υπολογιστικός χώρος και διορθώσεις συ-
ντεταγμένων
Αρχικά θα πρέπει να επισημανθούν οι βασικές τροποποιήσεις
των αρχικών δεδομένων από την λειτουργία των προγραμμάτων.
Από την εκτέλεση του κώδικα Linear Interpolation.txt προέκυψετο αρχείο didymosl162 vertices.txt με τις καρτεσιανές συντεταγ-
μένες 8024 επιφανειακών σημείων του αστεροειδή (αναφέρεται
ότι το αυθεντικό αρχείο, πριν τις παρεμβολές περιείχε μόλις
1148 επιφανειακά σημεία).
Από τον κώδικα computational space λάβαμε σαν έξοδο τα αρ-
χεία: voxel coordinates.txt με τις καρτεσιανές συντεταγμένες
14,316 κυψελίδων που απαρτίζουν το μοντέλο του αστεροει-
δή με αναφορά στην ιδιότητα κάθεμιας (εσωτερική ή επιφα-
νειακή) , και το αρχείο coefficiants.txt με τις παραμέτρους του
πλέγματος που φαίνονται στον Πίνακα 4.1
44
K L M voxelside(km)
33 33 31 0.0271871
Πίνακας 4.1: Αριθμός κυψελίδων ανά άξονα (K,L,M) και πλευρά κυψελίδαςστο μοντέλο του Δίδυμου.
Σχήμα 4.1: Η έξοδος στο τερματικό από τον κώδικα inertia axes coord.cpp.Το κέντρο μάζας υπολογίζεται με ικανοποιητική ακρίβεια στην αρχή (0,0,0). Ε-
ίναι επίσης εμφανές, από τις απειροστά μικρές τιμές των αριθμητικών γινομένων
των ιδιοδιανυσμάτων πως εξασφαλίζεται η καθετότητα τους.
Ακολούθως, από την διόρθωση των συντεταγμένων κατά τους
κύριους άξονες από τον κώδικα του προγράμματος inertia axes coord.cpp, προκύπτει το αρχείο shifted V coord w mass.txt που φέρει πέραν
των διορθώσεων και την τιμή στοιχειώδης μάζας που αντιστοι-
χεί σε κάθε κυψελίδα το συνολικό του άθροισμα να ισούται με
μονάδα.
45
4.2 Αποτελέσματα υπολογισμού ενέργειας στο
επίπεδο z = 0
Σχήμα 4.2: Τιμές της βαρυτκής δυναμικής ενέργειας στο επίπεδο z = 0. Ηπεριοχή του αστεροειδή φαίνεται λευκή. Μόναδα μήκους είναι τα km. Σεαπόσταση περίπου ενός χιλιομέτρου παρατηρείται μια περιοχή όπου η ενέργεια
παίρνει τις μεγαλύτερες τιμές. Σε αυτήν την απόσταση περιφέραται ο δορυφόρος
Didymoon του Δίδυμου σύμφωνα με παρατηρησιακά δεδομένα.
Από την εκτέλεση του κώδικα num calc.cpp προέκυψε το αρχείο
num calc U z0.txt στο οπόιο έχει υπολογιστεί η τιμής της βαρυ-
τικής δυναμικής ενέργειας, λόγω του βαρυτικού πεδίου του
Δίδυμου σε σημέια του επιπέδου z = 0. Τα σημεία επιλέχθη-
καν μεταξύ των ορίων -1.2 εως 1.2 km , με βήμα 0.01km, για
τους άξονες x και y στο σύστημα συντεταγμένων που έχει
αρχή το κέντρο μάζας του Δίδυμου. Συνολικά προέκυψαν
57600 καταχωρήσεις τις οποίες απεικονίσαμε στο διάγραμμα
του Σχήματος 4.2.
Η εικόνα του πεδίου που παίρνουμε από το Σχήμα 4.2 συμβα-
δίζει με την εξίσωση 2.17. Καθώς απομακρυνόμαστε από την
46
αρχή των αξόνων, ο αρνητικός όρος −12(x2 +y2) παίρνει όλο και
μικρότερες (αρνητικότερες) τιμές ενώ ο επίσης αρνητικός όρος
του δυναμικού −δ∑N
i=1 dmi/ri φαίνεται να γίνεται μεγαλύτερος
(θετικότερος). Σαν αποτέλεσμα προκύπτει μια δισκοειδής πε-
ριοχή, όπου φαίνεται η ενέργεια να παίρνει τις μεγαλυτερες
της τιμές. Η αδυναμία εντοπισμού συγκεκριμένων μεγίστων
ή αντίστοιχα ελαχίστων του δυναμικού καθιστά δύσκολη την
εξαγωγή συμπεράσματος ως προς την ύπαρξη σημείων ισορρο-
πίας γύρω από τον αστεροειδή. Η ακρίβεια των αποτελεσμάτων
εξαρτάται από το πόσο πυκνά είναι τα σημεία που λήφθηκαν
στην επιφάνεια z = 0.
Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι σε μεγάλες αποστάσεις α-
πό τον αστεροειδή, το πρόβλημα μας ανάγεται από μελέτη του
βαρυτικού πεδίου ενός ομοιογενόυς στερεού ανώμαλου σχήμα-
τος στη μελέτη της βαρυτικής έλξης ενός σφαιρικού σώματος.
Αυτό συμβαίνει διότι οι ανωμαλίες του βαρυτικού πεδίου του
Δίδυμου εντοπίζονται σε κοντινές αποστάσεις από αυτόν.
47
4.3 Αποτελέσματα υπολογισμού τροχιών
Σε αυτήν την παράγραφο θα παρουσιάσουμε τα αποτελέσματα
από τους αριθμητικούς υπολογισμούς κατά προσέγγιση κυκλι-
κών τροχιών γύρω από τον αστεροειδή Δίδυμο.
Για το σκοπό αυτό, χρησιμοποιήθηκαν οι κανονικοποιημένες
διαφορικές εξισώσεις 2.20 εως 2.22, οι οποίες περιγράφουν
την κίνηση του σώματος στο περιστρεφόμενο σύστημα. Στο
σώμα δόθηκαν αρχικές συνθήκες τέτοιες ώστε άν βρισκόταν
σε ένα αδρανειακό σύστημα η τροχιά του να ήταν κατα προ-
σεγγιση κυκλική. Συγκεκριμένα, εξετάστηκαν οι παρακάτω
περιπτώσεις:
1. Σε αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων θεωρούμε ότι το σώμα βρίσκε-
ται σε απόσταση R από την αρχή Ο(0,0,0) και πάνω στον άξονα x μεσυνιστώσα ταχύτητας τέτοια ώστε να εκτελεί κατά προσέγγιση κυκλι-
κή κίνηση γύρω από τον αστεροειδή. Επειδή οι διαφορικές εξισώσεις
αναφέρονται στο περιστρεφόμενο σύστημα, είναι απαραίτητος ο μετασχη-
ματισμός των αρχικών συνθηκών από αδρανειακό σε περιστρεφόμενο.
Το σώμα τοποθετήθηκε στις θέσεις A(0.48km, 0, 0) , B(0.6km, 0, 0) ,Γ(0.8km, 0, 0) και τέλος ∆(1.18km, 0, 0).
2. Στην περίπτωση που το σώμα βρίσκεται στη θέση Γ(0.8km, 0, 0) αλλάξα-με το σχετικό προσανατολισμό του σε σχέση με τον αστεροειδή κατά
γωνία theta για να εξετάσουμε αν θα παρουσιαστεί κάποια αλλαγή στηντροχιά του.
3. Τέλος δίνοντας ως αρχικές συνθήκες τις κάτάλληλες τιμές των Κεπλέριων
τροχιακών στοιχείων μιας κυκλικής κίνησης, εξετάσαμε την τροχιά του
σώματος που ξεκινάει από το Γ(0.8km, 0, 0) .
48
4.3.1 Υπολογισμός κυκλικών τροχιών
Για να πραγματοποιήσει το σώμα κυκλική κίνηση στη θέση
(R, 0, 0) σε ένα αδρανειακό σύστημα θα είναι απαραίτητο η συ-
νιστώσα της ταχύτητας του κατά τον άξονα y να δίνεται από
τη σχέση:
uy =√δ/R (4.1)
Με βάση του μετασχηματισμούς 2.27 βρίσκουμε τις ζητούμε-
νες αρχικές συνθήκες στο περιστρεφόμενο σύστημα. Τα απο-
τελέσματα των υπολογισμών έχουν ως μονάδα μήκους τα 400m,
ενώ η μονάδα χρόνου είναι 0.36h, ωστόσο κατά την αποθήκευση
των δεδομένων σε λίστες, μετασχηματίσαμε τον χρόνο σε κα-
νονικές μονάδες (όπως φαίνεται και στα παρακάτω διαγράμμα-
τα). Ακολουθούν τα αποτελέσματα (Κεπλέρια τροχιακά στοι-
χεία και απεικόνιση τροχιάς σε αδρανειακό σύστημα) για τις
επιμέρους περιπτώσεις.
Σχήμα 4.3: Η τροχιά του σώματος όπως την αντιλαμβάνεται ο αδρανειακός πα-
ρατηρητής για προσεγγιστικά κυκλική κίνηση με αρχικές συνθήκες ξεκινώντας
από τη θέση x = 0.48km.
49
Σχήμα 4.4: Τιμές κύριου ημιάξονα α(×400m) συναρτήσει χρόνου (hours) γιαπροσεγγιστικά κυκλική κίνηση ξεκινώντας από τη θέση x = 0.48km.
Σχήμα 4.5: Τιμές εκκεντρότητας e συναρτήσει χρόνου (hours) για προσεγγι-στικά κυκλική κίνηση ξεκινώντας από τη θέση x = 0.48km.
Σχήμα 4.6: Τιμές κλίσης i (degrees) συναρτήσει χρόνου (hours) για προσεγ-γιστικά κυκλική κίνηση ξεκινώντας από τη θέση x = 0.48km.
50
Σχήμα 4.7: Μήκος του ανερχόμενου σημείου Ω (degrees) συναρτήσει χρόνου(hours) για προσεγγιστικά κυκλική κίνηση ξεκινώντας από τη θέση x =0.48km.
Από τα διαγράμματα 4.4 εως 4.7 γίνεται αντιληπτό ότι σε μια
τόσο κοντινή απόσταση (0.48km) από τον αστεροειδή τα τρο-
χιακά στοιχεία παρουσιάζουν έντονες μεταβολές και η τροχιά
του σώματος είναι ελλειπτική.
΄Ομοια με την προηγούμενη περίπτωση τα διαγράμματα 4.9 εως
4.12 δείχουν ότι και σε απόσταση 0.6km τα τροχιακά χαρακτη-
ριστικά της κίνησης παρουσιάζουν έντονες μεταβολές. Για να
ληφθεί μια πιο ακριβής εικόνα της κίνησης κρίθηκε απαραίτη-
τη η αριθμητική ολολήρωση των τροχιών για πολύ μεγαλύτερο
χρονικό διάστημα (λήψη 200 χιλιάδων σημείων τροχιάς).
Σχήμα 4.8: Η τροχιά του σώματος όπως την αντιλαμβάνεται ο αδρανειακός πα-
ρατηρητής για προσεγγιστικά κυκλική κίνηση με αρχικές συνθήκες ξεκινώντας
από τη θέση x = 0.6km.
51
Σχήμα 4.9: Τιμές κύριου ημιάξονα α(×400m) συναρτήσει χρόνου (hours) γιαπροσεγγιστικά κυκλική κίνηση ξεκινώντας από τη θέση x = 0.6km.
Σχήμα 4.10: Τιμές εκκεντρότητας e συναρτήσει χρόνου (hours) για προσεγ-γιστικά κυκλική κίνηση ξεκινώντας από τη θέση x = 0.6km.
Σχήμα 4.11: Τιμές κλίσης i (degrees) συναρτήσει χρόνου (hours) για προ-σεγγιστικά κυκλική κίνηση ξεκινώντας από τη θέση x = 0.6km.
52
Σχήμα 4.12: Μήκος του ανερχόμενου σημείου Ω (degrees) συναρτήσει χρόνου(hours) για προσεγγιστικά κυκλική κίνηση ξεκινώντας από τη θέση x = 0.6km.
Σχήμα 4.13: Η τροχιά του σώματος όπως την αντιλαμβάνεται ο αδρανειακός πα-
ρατηρητής για προσεγγιστικά κυκλική κίνηση με αρχικές συνθήκες ξεκινώντας
από τη θέση x = 0.6km (200 χιλιάδες σημεία).
53
Σχήμα 4.14: Τιμές κύριου ημιάξονα α(×400m) συναρτήσει χρόνου (hours)για προσεγγιστικά κυκλική κίνηση ξεκινώντας από τη θέση x = 0.6km.
Σχήμα 4.15: Τιμές εκκεντρότητας e συναρτήσει χρόνου (hours) για προσεγ-γιστικά κυκλική κίνηση ξεκινώντας από τη θέση x = 0.6km.
Σχήμα 4.16: Τιμές κλίσης i (degrees) συναρτήσει χρόνου (hours) για προ-σεγγιστικά κυκλική κίνηση ξεκινώντας από τη θέση x = 0.6km.
54
Σχήμα 4.17: Μήκος του ανερχόμενου σημείου Ω (degrees) συναρτήσει χρόνου(hours) για προσεγγιστικά κυκλική κίνηση ξεκινώντας από τη θέση x = 0.6km.
Εξετάζοντας λοιπόν την κίνηση σε ένα αρκετά μεγαλύτερο
χρόνικό διάστημα, λαμβάνουμε μια πιο σαφή εικόνα. Αρχικά,
μελετώντας την μεταβολή του κύριου ημιάξονα της τροχιάς
(Σχήμα 4.14) φαίνεται μια περιοδική αυξομοίωση, σταθερής
περιόδου, περίπου ίσης με 240hours, κατά την οποία ο κύριος
ημιάξονας α, διακυμαίνεται μεταξύ των τιμών 0.59km(1.495 ×400m) εώς 0.608km (1.520×400m). ΄Οσον αφορά την εκκεντρότητα
(Σχήμα 4.15), η μεταβολή της επίσης είναι περιοδική, με στα-
θερή περίοδο περίπου ίση με 118hours και παρουσιάζει μέγιστη
τιμή περίπου 0.079 . Η κλίση της τροχιάς i (Σχήμα 4.16) φαίνε-
ται να μεταβάλεται με μη περιοδικό τρόπο, ενώ η μέγιστη τιμή
της που υπολογίστηκε μέσα στο χρονικό διάστημα των ολο-
κληρώσεων μας ήταν 0.74 degrees. Γίνεται επομένως αντιληπτό,
ότι είναι πολύ δύσκολο σε αυτή την περιοχή να λάβουμε μια
κυκλική τροχιά.
Στη συνέχεια, προχωρήσαμε σε παρόμοιους υπολογισμούς για
τις θέσεις Γ(0.8km, 0, 0) και ∆(1.18km, 0, 0). Το σημείο ∆(1.18km, 0, 0)βρίσκεται στην περιοχή που σύμφωνα με τα παρατηρησιακά δε-
δομένα περιφέρεται ο δορυφόρος του Δίδυμου.
55
Σχήμα 4.18: Η τροχιά του σώματος όπως την αντιλαμβάνεται ο αδρανειακός πα-
ρατηρητής για προσεγγιστικά κυκλική κίνηση με αρχικές συνθήκες ξεκινώντας
από τη θέση x = 0.8km (10 χιλιάδες σημεία).
Σχήμα 4.19: Τιμές κύριου ημιάξονα α(×400m) συναρτήσει χρόνου (hours)για προσεγγιστικά κυκλική κίνηση ξεκινώντας από τη θέση x = 0.8km.
56
Σχήμα 4.20: Τιμές εκκεντρότητας e συναρτήσει χρόνου (hours) για προσεγ-γιστικά κυκλική κίνηση ξεκινώντας από τη θέση x = 0.8km.
Σχήμα 4.21: Τιμές κλίσης i (degrees) συναρτήσει χρόνου (hours) για προ-σεγγιστικά κυκλική κίνηση ξεκινώντας από τη θέση x = 0.8km.
Σχήμα 4.22: Μήκος του ανερχόμενου σημείου Ω (degrees) συναρτήσει χρόνου(hours) για προσεγγιστικά κυκλική κίνηση ξεκινώντας από τη θέση x = 0.8km.
57
Σχήμα 4.23: Η τροχιά του σώματος όπως την αντιλαμβάνεται ο αδρανειακός πα-
ρατηρητής για προσεγγιστικά κυκλική κίνηση με αρχικές συνθήκες ξεκινώντας
από τη θέση x = 1.18km (30 χιλιάδες σημεία).
Σχήμα 4.24: Τιμές κύριου ημιάξονα α(×400m) συναρτήσει χρόνου (hours)για προσεγγιστικά κυκλική κίνηση ξεκινώντας από τη θέση x = 0.8km.
58
Σχήμα 4.25: Τιμές εκκεντρότητας e συναρτήσει χρόνου (hours) για προσεγ-γιστικά κυκλική κίνηση ξεκινώντας από τη θέση x = 0.8km.
Σχήμα 4.26: Τιμές κλίσης i (degrees) συναρτήσει χρόνου (hours) για προ-σεγγιστικά κυκλική κίνηση ξεκινώντας από τη θέση x = 0.8km.
Σχήμα 4.27: Μήκος του ανερχόμενου σημείου Ω (degrees) συναρτήσει χρόνου(hours) για προσεγγιστικά κυκλική κίνηση ξεκινώντας από τη θέση x = 0.8km.
59
Εξετάζοντας τις κατα προσέγγιση κυκλικές τροχιές σε μεγα-
λύτερες αποστάσεις από τον αστεροειδή, παρατηρούμε ότι τα
τροχιακά χαρακτηρηστικά των κινήσεων παρουσιάζουν πλέον
ελάχιστες διακυμάνσεις. Στην περίπτωση που το σώμα ξεκίνη-
σε από το σημείο Γ(0.8km, 0, 0) η τροχιά του προσεγγίζει σε πολύ
μεγαλύτερο βαθμό μια κυκλική κίνηση γύρω από τον Δίδυμο,
που θα έκανε ένα σώμα με τις ίδιες αρχικές συνθήκες σε ένα
αδρανειακό σύστημα.
΄Οπως βλέπουμε στο Σχήμα 4.19 οι σταθερά περιοδικές μετα-
βολές του κύριου ημιάξονα περιορίζονται στο τεταρτο δεκαδικό
ψηφίο, επομένως μπορούν να θεωρηθούν αμελητέες. Ακόμη,
στο σχήμα 2.20 φαίνεται ότι η εκκεντρότητα παρουσιάζει πάρα
πολύ μικρές τιμές που προσεγγίζουν το μηδέν και επιβεβαι-
ώνουν μια κυκλική τροχιά. Η κλίση της τροχιάς μεταβάλλεται
περιοδικά με σταθερή περίοδο και μεταξύ των τιμών 0 και 0.05degrees .
Παρόμοια εικόνα λάβαμε για την κίνηση του σώματος, όταν
αυτό ξεκινά από την πιο απομακρυσμένη θέση ∆(1.18km, 0, 0) (
υπολογίστηκαν 30 χιλιάδες σημεία τροχιάς). Οι μεταβολές των
τροχιακών μεγεθών είναι εξίσου αμελητέες, γεγονός που επι-
βεβαιώνει ότι, καθώς απομακρυνόμαστε από τον αστεροειδή,
η βαρυτική έλξη που ασκεί ο Δίδυμος σε σώμα προσεγγίζει
εκείνη που θα ασκούσε ένας τέλεια σφαιρικός αστεροειδής.
4.3.2 Αλλαγή σχετικού προσανατολισμού
Σε αυτήν την παράγραφο οι τροχιές που υπολογίστηκαν λαμ-
βάνουν υπόψιν τον σχετικό προσανατολισμό του αστεροειδή
σε σχέση με το σώμα. Με βάση μια γωνία theta περιστρέψα-
με τον αστεροειδή περί τον άξονα z.Το σώμα τοποθετήθηκε
στη θέση Γ(0.8km, 0, 0) με κατάλληλη συνιστώσα ταχύτητας κα-
τά τον άξονα y για να πραγματοποιήσει κατά προσεγγιση κυ-
κλική κίνηση σε αδρανειακό σύστημα, όμοια με τις προηγο-
ύμενες περιπτώσεις. Οι γωνίες που λήφθηκαν υπόψιν είναι οι:
π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4. Παρακάτω παρουσιάζονται τα διαγράμματα
με τα τροχιακά στοιχεία για κάθε περίπτωση.
60
Σχήμα 4.28: Διαγράμματα μεταβολής του κύριου ημιάξονα α συναρτήσει τουχρόνου για διαφορετικές γωνίες theta των κατά προσέγγιση κυκλικών τροχιώναπό το σημείο Γ.
Σχήμα 4.29: Διαγράμματα μεταβολής της εκκεντρότητας e συναρτήσει τουχρόνου για διαφορετικές γωνίες theta των κατά προσέγγιση κυκλικών τροχιώναπό το σημείο Γ.
61
Σχήμα 4.30: Διαγράμματα της κλίσης i συναρτήσει του χρόνου για διαφορετι-κές γωνίες theta των κατά προσέγγιση κυκλικών τροχιών από το σημείο Γ.
Συγκρίνοντας τα παραπάνω μεγέθη για κάθε περίπτωση, ε-
ίναι σαφές ότι οποιεσδήποτε διακυμάσεις λόγω διαφορετικού
προσανατολισμού είναι αμελητέες και η τροχιά του σώματος
εξακολουθεί να προσεγγίζει εκείνη της κυκλικής γύρω από
τον Δίδυμο.
4.3.3 Υπολογισμός τροχιάς με βάση τα Κεπλέρια στοι-
χεία
Σε αυτό το σημείο, παρουσιάζεται η τροχιά που υπολογίστηκε
ξεκινώντας από το σημείο Γ(0.8km, 0, 0) με εκκεντρότητα σχεδόν
μηδενική και κλίση μηδέν. Συγκεκριμένα η τιμές που δόθηκαν
ήταν α = 2 = 0.8km , e = 0.001 , i = 0degrees , Ω = 0degrees .
Η τροχιά που πήραμε είναι κατά προσέγγιση κυκλική και δεν
παρουσιάζει κάποια ουσιαστική διαφοροποίηση από αυτήν που
είδαμε στις προηγούμενες περιπτωσεις(βλ. Σχήματα 4.18 εως
4.22):
62
Σχήμα 4.31: Η τροχιά του σώματος όπως την αντιλαμβάνεται ο αδρανειακός
παρατηρητής για προσεγγιστικά κυκλική κίνηση ξεκινώντας από τη θέση x =0.8km (10 χιλιάδες σημεία).
Σχήμα 4.32: Τιμές κύριου ημιάξονα α(×400m) συναρτήσει χρόνου (hours)για προσεγγιστικά κυκλική κίνηση ξεκινώντας από τη θέση x = 0.8km.
63
Σχήμα 4.33: Τιμές εκκεντρότητας e συναρτήσει χρόνου (hours) για προσεγ-γιστικά κυκλική κίνηση ξεκινώντας από τη θέση x = 0.8km.
Σχήμα 4.34: Τιμές κλίσης i (degrees) συναρτήσει χρόνου (hours) για προ-σεγγιστικά κυκλική κίνηση ξεκινώντας από τη θέση x = 0.8km.
Σχήμα 4.35: Μήκος του ανερχόμενου σημείου Ω (degrees) συναρτήσει χρόνου(hours) για προσεγγιστικά κυκλική κίνηση ξεκινώντας από τη θέση x = 0.8km.
64
Κεφάλαιο 5
Συμπεράσματα
Μέσα από τη μοντελοποίηση του αστεροειδή 65803 Δίδυμος,
ως ένα ομοιογενές σύνολο κυψελίδων, επιτεύχθει με μεγάλη
ακρίβεια η αριθμητική ολοκλήρωση μιας σειράς τροχιών που
εκτελεί σώμα υπο την επίδραση της έλξης του αστεροειδή. Η
μελέτη επικεντρώθηκε συγκεκριμένα στην εύρεση κατα προ-
σέγγιση κυκλικών τροχιών γύρω από τον Δίδυμο. Από τα απο-
τελέσματα αυτών των υπολογισμών φάνηκε πως τέτοιες τροχι-
ές είναι δεν είναι εφικτό να πραγματοποιηθούν σε πολυ κοντι-
νές αποστάσεις από τον αστεροειδή. Το ανώμαλο του σχήμα
προκαλεί διαταραχές στο βαρυτικό πεδίο σε αυτές τις περιοχές,
με αποτέλεσμα έντονες μεταβολές στα τροχιακά τους χαρακτη-
ριστικά. Ωστόσο, σε μεγαλύτερες αποστάσεις ήταν εφικτή η
εύρεση τροχιών που προσέγγισαν σε πολύ μεγάλο βαθμό κυ-
κλικές.
΄Οσον αφορά την μελέτη του βαρυτικού πεδίου του Δίδυ-
μου, έγινε εμφανές ότι η έλλειψη συμμετριών και το ανώμαλο
σχήμα του, καθιστούν δύσκολη την εύρεση σημείων ισορρο-
πίας. Μελλοντικά, θα μπορούσαν να πραγματοποιηθούν πιο
λεπτομερείς υπολογισμοί , με μεγαλύτερη αριθμητική ακρίβεια
για τον εντοπισμό ενδεχόμενων σημείων ισορροπίας.
Αξίζει τέλος, να σημειωθεί ότι με κατάλληλες τροποποιήσεις
στον κώδικα αυτής της εργασίας θα ήταν δυνατόν, δοθέντων
αντίστοιχων δεδομένων χαρτογράφησης να γίνουν άμεσα α-
νάλογοι υπολογισμοί για άλλους αστεροειδείς.
65
Παράρτημα
Παράρτημα 1. Κώδικας Linear Interpolation.cpp
#inc lude <iostream>
#inc lude <fstream>
#inc lude <vector>
#inc lude <math . h>
#inc lude <cmath>
us ing namespace std ;
#de f i n e FILENAME1 ” d idymos l 162 ve r t i c e s . txt ”
#de f i n e FILENAME2 ” d idymos l162 ind i c e s . txt ”
#de f i n e COLS 3
in t N,M,L ; // number o f v e r t i c e s and i nd i c e s
vector< vector <double> > vec ;
vector<vector<int> > ind ;
vec tor <double> ad j a c en t d i s t an c e s ;
// Coordinates o f v e r t i c e s
void vertexdata ( vector<vector<double> > &vec , i n t ∗N)
/∗ FILE1 vec ∗/fstream f i l e ;
vec tor <double> rowVector (COLS) ; // vector to add in to ’ array ’ ( r ep r e s en t s a row )
i n t row = 0 ; // Row counter
f i l e . open (FILENAME1 , i o s : : in ) ; // Open f i l e 1
i f ( f i l e . i s open ( ) )
cout << ”vec f i l e c o r r e c t l y opened” << endl ;
whi le ( f i l e . good ( ) ) // check f o r e r r o r s
vec . push back ( rowVector ) ; // add a new row
f o r ( i n t c o l =0; co l<COLS; co l++) f i l e >> vec [ row ] [ c o l ] ; // f i l l the row with co l e lements
row++; // number o f rows in my f i l e a . k . a number o f vec
e l s e cout << ”Unable to open vec f i l e ” << endl ;
f i l e . c l o s e ( ) ;
∗N = row ;
//Adjacent v e r t i c e s
void indexdata ( vector<vector<int> > &ind , i n t ∗M)
/∗ FILE2 INDICES ∗/
66
f s t ream f i l e ;
vec tor <int> rowVector (COLS) ; // vector to add in to ’ array ’ ( r ep r e s en t s a row )
i n t row = 0 ; // Row counter
f i l e . open (FILENAME2 , i o s : : in ) ; // Open f i l e 2
i f ( f i l e . i s open ( ) )
cout << ” Ind i c e s f i l e c o r r e c t l y opened” << endl ;
whi le ( f i l e . good ( ) ) // check f o r e r r o r s
ind . push back ( rowVector ) ; // add a new row
f o r ( i n t c o l =0; co l<COLS; co l++) f i l e >> ind [ row ] [ c o l ] ; // f i l l the row with column elements
row++; // number o f rows in my f i l e a . k . a number o f i n d i c e s
e l s e cout << ”Unable to open i nd i c e s f i l e ” << endl ;
f i l e . c l o s e ( ) ;
∗M = row ;
//Point d i s t ance
double Distance ( i n t n , i n t m)i f (n == m)
return 0 ;
re turn sq r t ( ( vec [m] [ 0 ] − vec [ n ] [ 0 ] ) ∗ ( vec [m] [ 0 ] − vec [ n ] [ 0 ] ) +
// func t i on to c a l c u l a t e a l l the po int s in a range
void p l ane po in t s ( vector< vector <double> > &plane , double s i z e ) // vector conta in ing 4 columns x | y |V|U// o f each element in the plane z = 0
vector < double > rowVector ( 4 ) ; // vector to add in to array o f ve c to r s
i n t row = 0 ; // Row counter
f o r ( double x = −1.2; x <= 1.2 ; x = x + s i z e )f o r ( double y =−1.2; y <= 1 . 2 ; y = y + s i z e )
plane . push back ( rowVector ) ;
plane [ row ] [ 0 ] = x ;
plane [ row ] [ 1 ] = y ;
plane [ row ] [ 2 ] = 0 ; // i n i t i a l i z e V = 0 f o r a l l po in t s
plane [ row ] [ 3 ] = 0 ; // i n i t i a l i z e U = 0 f o r a l l po in t s
row++;
// func t i on to c a l c u l a t e V(x , y , 0 ) from the data o f an area
void ca l cu l a t e U ( vector< vector <double> > &plane )i n t po in t s = plane . s i z e ( ) ;
f o r ( i n t i = 0 ; i < po int s ; i++)f o r ( i n t j = 0 ; j < N; j++)
plane [ i ] [ 2 ] += −(vox [ j ] [ 4 ] ) / ( z 0 d i s t an c e ( plane [ i ] [ 0 ] , p lane [ i ] [ 1 ] , j ) ) ;
f o r ( i n t i = 0 ; i < po int s ; i++)plane [ i ] [ 3 ] = −0.5∗( plane [ i ] [ 0 ] ∗ plane [ i ] [ 0 ] + plane [ i ] [ 1 ] ∗ plane [ i ] [ 1 ] )
+ de l t a ∗plane [ i ] [ 2 ] ;
// func t i on to export data in f i l e 3
void output ( vector< vector <double> > plane , i n t s i z e )ofstream myf i l e3 (FILENAME3) ;
i f ( myf i l e3 . i s open ( ) )f o r ( i n t i = 0 ; i < s i z e ; i++)
myf i l e3 << plane [ i ] [ 0 ] << ” ”
<< plane [ i ] [ 1 ] << ” ” << plane [ i ] [ 3 ] << endl ; // x | y |U
78
myf i l e3 . c l o s e ( ) ;
cout << ”x | y |U informat ion are now stored in the f i l e : ”
<< FILENAME3 << endl ;
//main func t i on
i n t main ( i n t argc , char∗ argv [ ] ) vector< vector <double> > plane ;
voxe ldata ( vox ,&N) ;
p l ane po in t s ( plane , 0 . 0 1 ) ;
c a l cu l a t e U ( plane ) ;
output ( plane , plane . s i z e ( ) ) ;
Παράρτημα 5. Κώδικας main1.cpp και de1gv.cpp
main1.cpp
// Source code : main1 . cpp//
#inc lude ”de1gv . h”
#inc lude ” r e s t r o e 3 . h”
OEPOS Q; //Data s t ru c tu r e f o r i n t e g r a t i o n s
i n t main ( )
double ENERGY = 0 . 0 ; // I n i t i a l i z e Energy value
FILE ∗ f i l 1 = fopen (” testR . dat ” , ”wt ” ) ; //Create output f i l e f o r o r b i t s in the r o t a t i ng frame
FILE ∗ f i l 2 = fopen (” t e s t I . dat ” , ”wt ” ) ; //Create output f i l e f o r o r b i t s in the i n e r t i a l frame
FILE ∗ f i l 3 = fopen (” testO . dat ” , ”wt ” ) ; //Create output f i l e f o r k ep l e r i an elements
f p r i n t f ( f i l 3 , ” t ( hr ) a e i ”
” om OM obar n\n ” ) ; //column t i t l e s f o r f i l e 3
double dt =0.001;
I n i t i a l i z e ( 1 . 0 e−10);
i f ( ! voxe ldata ( vox , &N)) //Checking f o r e r r o r s in data input
p r i n t f (” Error read ing voxe l data\n ” ) ; getchar ( ) ; r e turn 0 ;
In i tRestroeH (0 , 0 , DELTA) ; // I n i t i a l i z e r e s t r o e func t i on
double X0 [NEQ] , X[NEQ] , Y[NEQ] , YI [NEQ] ; //Declare data s t r u c t u r e s
X0 [ 0 ] = 0 ; // I n i t i a l i z e array o f main va r i a b l e s
//Case A: The s a t e l l i t e s t a r t s in a s p e c i f i c p o s i t i o n and given
// the appropr ia te v e l o c i t y to perform approximately c i r c u l a r o r b i t s
// get c i r c u l a r motion ( in c en t r a l f i e l d approximation )
double R = 1 . 5 ;
GetApproxCircular (R, X0 ) ;
//Case B: Ca lcu la te the c i r c u l a r o rb i t but with regard to the
// o r i e n t a t i o n o f the a s t e r o i d and the s a t e l l i t e
// double R = 2 ;
// double ThetaRot = 7∗ pi /4 ; // rad
//GetApproxCircular (R, ThetaRot , X0 ) ;
//Case C: Ca l cu la t i on o f the o r b i t s s t a r t i n g from s p e c i f i c
//Function that trans forms the I n i t i a l v a r i a b l e s o f
// the r o t a t i ng system to those o f an I n e r t i a l system
// I n e r t i a l system trans fo rmat ions (x , y , z , x ’ , y ’ , z ’ ) −> (X,Y,Z , V x , V y , V z )
void TransformationRtoI ( double x [ ] , double X[ ] ) double t = x [ 0 ] ; // i n i t i a l y array x [ ] conta in s the va lues from the r o t a t i ng system
X[ 1 ] = x [ 1 ] ∗ cos ( t ) − x [ 2 ] ∗ s i n ( t ) ;
X[ 2 ] = x [ 1 ] ∗ s i n ( t ) + x [ 2 ] ∗ cos ( t ) ;
X[ 3 ] = x [ 3 ] ;
X[ 4 ] = (x [ 4 ] − x [ 2 ] ) ∗ cos ( t ) − ( x [ 5 ] + x [ 1 ] ) ∗ s i n ( t ) ;
X[ 5 ] = (x [ 4 ] − x [ 2 ] ) ∗ s i n ( t ) + (x [ 5 ] + x [ 1 ] ) ∗ cos ( t ) ;
X[ 6 ] = x [ 6 ] ;
X[ 0 ] = t ;
81
//Transformation func t i on f o r pos and ve l v a r i a b l e s from i n e r t i a l to r o t a t i ng frame
void TransformationItoR ( double X[ ] , double Y[ ] ) double t = X[ 0 ] ; // i n i t i a l y array X [ ] conta in s the va lues from the i n e r t i a l system
double ct = cos ( t ) ; double s t = s in ( t ) ;
Y[ 0 ] = X[ 0 ] ;
Y[ 1 ] = X[ 1 ] ∗ ct + X[ 2 ] ∗ s t ;
Y[ 2 ] = −X[ 1 ] ∗ s t + X[ 2 ] ∗ ct ;
Y[ 3 ] = X[ 3 ] ;
Y[ 4 ] = X[ 4 ] ∗ ct + X[ 5 ] ∗ s t + Y[ 2 ] ;
Y[ 5 ] = −X[ 4 ] ∗ s t + X[ 5 ] ∗ ct − Y[ 1 ] ;
Y[ 6 ] = X[ 6 ] ;
//Transformation func t i on that r o t a t e s an ob j e c t around z axis , g iven an angle theta
void RotationZ ( double theta , double X[ ] , double Y[ ] ) //Rotate i n e r t i a l pos and ve l v e c to r s by theta
double t = −theta ; // ro tang l e
double ct = cos ( t ) ; double s t = s in ( t ) ;
Y[ 0 ] = X[ 0 ] ;
Y[ 1 ] = X[ 1 ] ∗ ct + X[ 2 ] ∗ s t ;
Y[ 2 ] = −X[ 1 ] ∗ s t + X[ 2 ] ∗ ct ;
Y[ 3 ] = X[ 3 ] ;
Y[ 4 ] = X[ 4 ] ∗ ct + X[ 5 ] ∗ s t ;
Y[ 5 ] = −X[ 4 ] ∗ s t + X[ 5 ] ∗ ct ;
Y[ 6 ] = X[ 6 ] ;
// c a l c u l a t e t o t a l energy at any given point in the t r a j e c t o r y
double Calc Energy ( double X[ ] ) double energy = 0 . 0 ;
double u2 = 0 . 0 ;
double V = 0 . 0 ;
f o r ( i n t i = 0 ; i < N; i++)double d = d i s tance (X[ 1 ] , X[ 2 ] , X[ 3 ] , i ) ;
// e r r o r checking i f the ob j e c t c ra she s onto the a s t e r o i d ( i f t rue then −> crush )
i n t Crush ( double X[ ] ) double d = sq r t (X[ 1 ] ∗X[ 1 ] + X[ 2 ] ∗X[ 2 ] + X[ 3 ] ∗X[ 3 ] ) ; // d i s t ance from the cente r o f coo rd ina t e s 0
i f (d <= 1 .1 ) return 1 ; // d = 1 corresponds to 400m
/∗−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−c r ea t e the f a c e s l i s t −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−∗/
f a c e s l i s t = glGenLists ( 1 ) ;
glNewList ( f a c e s l i s t , GL COMPILE) ;
i n t i ;
g lBegin (GL TRIANGLES) ;
f o r ( i = 0 ; i < FACES ; i++)
g lCo l o r3 f ( (FACES−i )/FACES, (FACES−i )/FACES, (FACES−i )/FACES) ; // from dark to br ight
g lVer tex3 fv (& f i x ed va r r ay [ f i x ed i nda r r ay [ i ] [ 0 ] ] [ 0 ] ) ;
g lVer tex3 fv (& f i x ed va r r ay [ f i x ed i nda r r ay [ i ] [ 1 ] ] [ 0 ] ) ;
g lVer tex3 fv (& f i x ed va r r ay [ f i x ed i nda r r ay [ i ] [ 2 ] ] [ 0 ] ) ;
glEnd ( ) ;
g lEndList ( ) ;
/∗−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−c r ea t e the l i n e s l i s t −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−∗/
i n d l i s t = glGenLists ( 1 ) ;
glNewList ( i n d l i s t , GL COMPILE) ;
g lCo l o r3 f ( 0 . 0 f , 0 .0 f , 0 .0 f ) ;
g lBegin (GL LINES ) ;
f o r ( i = 0 ; i < FACES; i++)
g lVertex3 fv (& f i x ed va r r ay [ f i x ed i nda r r ay [ i ] [ 0 ] ] [ 0 ] ) ; // connect ver t [ i ] [ 0 ] to ver t [ i ] [ 1 ]
g lVertex3 fv (& f i x ed va r r ay [ f i x ed i nda r r ay [ i ] [ 1 ] ] [ 0 ] ) ;
f o r ( i =0; i < FACES; i++)
g lVertex3 fv (& f i x ed va r r ay [ f i x ed i nda r r ay [ i ] [ 0 ] ] [ 0 ] ) ; // connect ver t [ i ] [ 0 ] to ver t [ i ] [ 2 ]
g lVertex3 fv (& f i x ed va r r ay [ f i x ed i nda r r ay [ i ] [ 2 ] ] [ 0 ] ) ;
f o r ( i =0; i < FACES; i++)
g lVertex3 fv (& f i x ed va r r ay [ f i x ed i nda r r ay [ i ] [ 1 ] ] [ 0 ] ) ; // connect ver t [ i ] [ 1 ] to ver t [ i ] [ 2 ]
g lVertex3 fv (& f i x ed va r r ay [ f i x ed i nda r r ay [ i ] [ 2 ] ] [ 0 ] ) ;
glEnd ( ) ;
g lEndList ( ) ;
/∗−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−c r ea t e the t r a j e c t o r y l i n e−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−∗/
g r a ph l i s t = glGenLists ( 1 ) ;
glNewList ( g r aph l i s t , GL COMPILE) ;
g lCo l o r3 f ( 1 . 0 f , 1 .0 f , 0 .0 f ) ;
g lBegin (GL POINTS ) ;
f o r ( i n t i = 0 ; i < 10000; i++) // change accord ing to the number o f po int s in f i l e
g lVer t ex3 f ( f i x e d t r a j e c t o r y a r r a y [ i ] [ 1 ] , f i x e d t r a j e c t o r y a r r a y [ i ] [ 2 ] , f i x e d t r a j e c t o r y a r r a y [ i ] [ 3 ] ) ;
glEnd ( ) ;
g lEndList ( ) ;
/∗−−−−−window−r epa in t : Cal led when the window f i r s t appears and whenever the window needs to be re−painted−−−−−∗/
void d i sp l ay ( )
g lC l ea r (GL COLOR BUFFER BIT | GL DEPTH BUFFER BIT) ; // Clear c o l o r and depth bu f f e r s
glMatrixMode (GL MODELVIEW) ; // To operate on model−view matrix
// Render ob j e c t
/∗−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−bas i c opengl f unc t i on s f o r ob j e c t po s i t i on , and any movement or rotat ion−−−−−−−−−−−−−−−∗/
g lLoadIdent i ty ( ) ;
// Reset the model−view matrix
gluLookAt ( x , 0 .15 f , z , // Set the camera
x+lx , 0 .15 f , z+lz ,
84
0 .0 f , 0 .15 f , 0 .0 f ) ;
g lT r an s l a t e f ( 0 . 0 f , 0 .0 f , −2.5 f ) ; // Move
in to the sc reen more than max d i s tance (zoom out )
/∗−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−render the t r a j e c t o ry−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−∗/
glPushMatrix ( ) ;
g lCa l l L i s t ( g r a p h l i s t ) ;
glPopMatrix ( ) ;
// g lRota te f ( spin , 0 .0 f , 1 .0 f , 0 .0 f ) ; // Enable to Rotate about the y−ax i s in computational space , ( z ax i s )
/∗−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−render p r im i t i v e s : l i n e s−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−∗/
glPushMatrix ( ) ;
g lCa l l L i s t ( i n d l i s t ) ;
glPopMatrix ( ) ;
/∗−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−render p r im i t i v e s : t r i a ng l e s−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−∗/
glPushMatrix ( ) ;
g lCa l l L i s t ( f a c e s l i s t ) ;
glPopMatrix ( ) ;
/∗−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−render the xyz axes−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−∗/
glPushMatrix ( ) ; // put them be fo r e g lRotate f o r
no ro t a t i on
g lCa l l L i s t ( a x e s l i s t ) ;
glPopMatrix ( ) ;
g lutSwapBuffers ( ) ; // Swap the f r on t and back frame bu f f e r s ( double bu f f e r i n g )
sp in += 0.5 f ; // r o t a t i o n a l angle a f t e r each r e f r e s h
/∗−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−keys input f o r camera−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−∗/
void proces sSpec ia lKeys ( i n t key , i n t xx , i n t yy )
f l o a t f r a c t i o n = 0.2 f ;
switch ( key )
case GLUT KEY LEFT :
cam angle −= 0.01 f ;
lx = s in ( cam angle ) ;
l z = −cos ( cam angle ) ;
break ;
case GLUT KEY RIGHT :
cam angle += 0.01 f ;
lx = s in ( cam angle ) ;
l z = −cos ( cam angle ) ;
break ;
case GLUT KEY UP :
x += lx ∗ f r a c t i o n ;
z += l z ∗ f r a c t i o n ;
break ;
case GLUT KEY DOWN :
x −= lx ∗ f r a c t i o n ;
z −= l z ∗ f r a c t i o n ;
break ;
/∗−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−Timer funct ion , i t i s c a l l e d back when i t exp i re s−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−∗/
void timer ( i n t value )
g lutPostRedi sp lay ( ) ; // Post re−paint reques t to a c t i v a t e d i sp l ay ( )
glutTimerFunc ( r e f r e s hM i l l s , timer , 0 ) ;
/∗−−−−−−−−Window re−s i z e event . Cal led back when the window f i r s t appears and whenever the window i s re−s i zed−−−−−∗/
void reshape ( GLsize i width , GLsize i he ight ) // GLsize i f o r non−negat ive i n t e g e r
i f ( he ight == 0) he ight = 1 ; // aspect r a t i o o f new window , e r r o r : d iv ide by 0
[4] Double Asteroid Redirection Test (DART) Mission,https://www.nasa.gov/planetarydefense/dart
[5] S.Tardivel, The limits of the mascons approximation of the homoge-neous polyhedron, Jet Propulsion Laboratory, California Institute ofTechnology, California, 2016
[6] Yu Jiang, Hexi Baoyin, Orbital Mechanics near a Rotating Asteroid,State Key Laboratory of Astronautic Dynamics, China, 2014
[7] D.J. Scheeres, Dynamics about Uniformly Rotating Triaxial Ellipsoids:Application to Asteroids,Jet Propulsion Laboratory, California Instituteof Technology, California, 1994
[8] William H. Press et All, Numerical Recipes, Cambridge Universitypress, 2007
[9] Eigen library, hhtp://eigen.tuxfamily.org/dox/