บทที่ 12 โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ (AREA MOMENT OF INERTIA) 12.1 ความนา การพิจารณาถึงความแข็งแรงของชิ้นส่วนที่ประกอบเป็นโครงสร้าง จะเห็นได้ชัดเจน เมื่อพิจารณาถึงรูปลักษณะพื้นที่หน้าตัดของคาน ถ้ากรณีพื้นที่หน้าตัดมีขนาดต่างกัน ย่อมทาให้ ความแข็งแรงหรือความสามารถในการรับน้าหนักแตกต่างกัน และเมื่อมีการกระจายอย่างต่อเนื่อง กระทาต่อพื้นที่หน้าตัด จะทาให้ความเค้นของแรงเป็นสัดส่วนกับระยะทางจากแนวแรงถึงแกนของ โมเมนต์ สมบัติของพื้นที่หน้าตัดที่มีผลต่อการกระจายของแรงดังกล่าวนี้ เรียกว่า โมเมนต์ความ เฉื่อยของพื้นที่ (Area Moment of Inertia) ซึ่งสามารถนิยามได้ว่า โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบ แกนใด ๆ ก็คือโมเมนต์ที่สองของพื้นที่นั้น 12.2 การหาค่าของโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ใด ๆ และรอบแกนใดแกนหนึ่ง จะมีค่าเท่ากับผลรวมของ ผลคูณของพื้นที่เล็ก ๆ ที่แบ่งออกจากพื้นที่ใหญ่ กับระยะทางจากแกนนั้น ๆ ยกกาลังสอง ซึ่งการหา ค่าของโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่สามารถพิจารณาได้จากรูปที่ 12.1 รูปที่ 12.1 แสดงพื้นที่เล็ก ๆ หมุนรอบแกน X และ Y x 2 x 1 r 2 r 1 y 1 y 2 พื้นที่ A a 2 a 1
16
Embed
AREA MOMENT OF INERTIA)¸šทที่ 12... · 195 บทที่ 12 โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ (area moment of inertia)
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
จากรูปที่ 12.1 พื้นที่ A ถูกแบ่งออกเป็นพื้นที่เล็ก ๆ a1, a2, a3,…, an ให้พื้นที่เหล่านี้หมุนรอบแกน Y หรือแกน X แกนใดแกนหนึ่ง โดยที่พื้นที่เล็กเหล่านี้อยู่ห่างจากแกน Y เป็นระยะ x1, x2, x3,…, xn และอยู่ห่างจากแกน X เป็นระยะ y1, y2, y3,…, yn ตามล าดับ ดังนั้นถ้าต้องการหาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนใด สามารถท าได้โดยเอาผลคูณของพื้นที่เล็ก ๆ a1, a2, …, an กับระยะทางจากพื้นที่เล็ก ๆ นี้ถึงแกนหมุนยกก าลังสองรวมกันตลอดพื้นที่ A ดังตัวอย่าง เช่น2 โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ A รอบแกน Y ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย Iy
Iy = xaxa xaxa 2nn
233
222
211 12.1
หรือ Iy =
n
1i
2iixa 12.2
และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ A รอบแกน X ใช้สัญลักษณ์ด้วย Ix
Ix = yaya yaya 2nn
233
222
211 12.3
หรือ Ix =
n
1i
2iiya 12.4
12.3 โมเมนต์ความเฉื่อยโพบาร์ของพื้นที่ (Polar Moment of Inertia) โมเมนต์ความเฉื่อยโพลาร์ของพื้นที่ คือ โมเมนต์ความเฉื่อยรอบจุดก าเนิด ( Origin) หรือรอบแกน ซึ่งตั้งฉากกับแกน X และ Y ตามล าดับ จากรูปที่ 12.1 จะเห็นว่าพื้นที่เล็กๆ a1, a2, …, anอยู่ห่างจากจุดก าเนิดเป็นระยะทาง r1, r2, …, rn ตามล าดับ ดังนั้นจะได้ว่า
I = rara rara 2nn
233
222
211 12.5
หรือ Iy =
n
1i
2iira 12.6
แต่ 21r = 2
12i yx 12.7
I = 21
2i
n
1ii yxa
12.8
หรือ I = Ix+ Iy 12.9 เมื่อ I = โมเมนต์ความเฉื่อยโพลาร์ของพื้นที่ Ix = โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกน X Iy = โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกน Y
เมื่อ L มีหน่วยเป็นความยาว ฉะนั้น I จึงมีหน่วยเป็น(เมตร)4 หรือ m4 หรือ (cm)4 หรือ (mm)4 ฯลฯ
12.5 รัศมีไจเรชัน (Radius of Gyration) โมเมนต์ความเฉื่อยที่ได้กล่าวมาแล้วนั้น เป็นการวัดค่าการกระจายของมวลของพื้นที่ที่อยู่ห่างกันมาก จากแกนใด ๆ ที่อยู่ในความสนใจ แต่ถ้าพื้นที่ A ดังรูปที่ 12.1 ถูกอัดรวมกันแน่นมากกลายเป็นแถบซึ่งไม่ความหนา ดังรูปที่ 12.2 ระยะ KX วัดจากแกน X และ KY วัดจากแกน Y ดังนั้นผลคูณของ AK 2
x และ AK 2
y จะมีค่าเป็นโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ของแกน X และ Y ตามล าดับและเรียกระยะ xK หรือ yK นี้ว่า รัศมีไจเรชัน (Radius of Gyration) ดังนั้นจากนิยามของโมเมนต์ความเฉื่อย ส าหรับแกนใด ๆ จึงสามารถเขียนได้ว่า
Iox = 3.375 x 108 mm4 หรือ Iox = 3.375 x 10-4 m4 ตอบ
203
2) หาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกน X จากสูตร Ix = Iox+Ah2 Ix = 3.375 x 10-4m4+(0.15)(0.30)(0.30)2 Ix = 4.387 x 10-3m4 ตอบ ตัวอย่างที่ 12.2 จากรูปที่ 12.5 จงหาโมเมนต์ของความเฉื่อยรอบแกน X ซึ่งอยู่บนแกน Y ซึ่งผ่านจุด
เซนทรอยด์และรัศมีไจเรชัน
รูปท่ี 12.5
วิธีท า 1) หาเซนทรอยด์ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งสองหมุนรอบแกน x ซึ่งอยู่บนแกน Y ได้จาก
21
2211AA
2/yA2/yAy
20x20010x2102
20020200
210
10210
= 67.3 mm.
204
2) หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน X ดังรูป ได้จากสูตร
= 322
311 hb
31
hb31
3320020
3
11090
3
1
xI
= 30000 + 53333333 (mm)4
= 53363333 (mm)4 = 5.3 x 107 (mm)4 ตอบ 3) หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน XO จากสูตรการย้ายแกน คือ 2yAII oxx หรือ 2yAII xox
= 3.6720x200x10x210103.5 7 = 5.3 x 107-(210x10) (200x20)(67.3) = 5.3 x107-4.1x105 (mm)4 Iox = 5.3 x 107(mm)4 4) หารัศมีไจเรชัน จากสูตร