Arbol de Expansion Minima

Objetivos General

Aprender el mtodo de rbol de expansin mnima Entender la aplicacin propuesta de este mtodo.

Especifico

Aplicar el mtodo de rbol de expansin mnima Utilizar win QSB para determinar la solucin optima

Apropiarse de todos los conceptos sobre este mtodo de optimizacin de redes.

INTRODUCCIN

Los modelos de redes son aplicables a una extensa variedad de problemas de decisin, los cuales pueden ser modelados como problemas de optimizacin de redes que pueden ser eficiente y efectivamente resueltos. Algunos de estos problemas de decisin son realmente problemas fsicos, tales como el transporte o flujo de bienes materiales. Sin embargo, muchos problemas de redes son ms que una representacin abstracta de procesos o actividades, tales como el camino critico en las actividades entre las redes de un proyecto gerencial. La familia de redes de los problemas de optimizacin incluye los siguientes prototipos de modelos: Problemas de asignacin, camino crtico, flujo mximo, camino ms corto, transporte, costo mnimo de flujos y rbol de mnimo recorrido. Este ultimo hablaremos algunas definiciones y realizaremos un ejercicio de aplicacin de este mtodo.

MARCO TERICO

rbol de expansin mnima Un problema de recorrido mnimo involucra a un conjunto de nodos y a un conjunto de ramas propuestas, ninguna de las cuales es orientada. Cada

rama propuesta tiene un costo no negativo asociado a ella. El objetivo es construir una red conexa que contenga a todos los nodos y que sea tal que la suma de los costos asociados con las ramas realmente empleadas sea mnima. Debe suponerse que hay suficientes ramas propuestas para asegurar la existencia de una solucin. No es difcil ver un problema de recorrido mnimo, se resuelve siempre mediante un rbol. (Si dos nodos en una red conexa estn unidos mediante dos rutas, una de estas rutas debe contener una rama cuya eliminacin no desconecte a la red. El eliminar la rama puede solamente abatir el costo total. Un rbol de recorrido mnimo puede encontrarse al seleccionar inicialmente cualquier nodo y determinar cual de las ramas que coinciden con el nodo seleccionado tiene el menor costo. A esta rama se le acepta como parte de la red final. Despus se completa la red iterativamente. En cada etapa del

proceso iterativo, la atencin se centra en aquellos nodos que ya se han eslabonado. Todas las ramas que conectan a estos nodos con nodos

inconexos se consideran y se identifica a la ms barata de las ramas. Los empates se resuelven arbitrariamente. los nodos. Si todos los costos son diferentes (esto siempre se puede obtener mediante cambios infinitesimales), se puede probar que el rbol de recorrido mnimo es nico y que es un producto del algoritmo anterior para cualquier seleccin de nodo inicial. A esta rama se le acepta como parte de la red final. El proceso iterativo termina cuando se han eslabonado todos

Ejercicio El servicio de Parques Nacionales planea desarrollar una zona campestre para el turismo. Se han sealado cinco sitios en el rea para llegar a ellos en automviles. Estos sitios y las distancias (en millas) entre ellos, se presentan en la tabla.

Cuevas Entrada al parque Restaurante lagunas Cascada Pradera Entrada al parque Restaurante Lagunas Cascada Pradera Cuevas .... 6 2 .... .... .... 6 .... .... 3 3 2 2 .... .... 1 4 3 .... 3 1 .... .... 2 .... 3 4 .... .... 1 .... 2 3 2 1 ....

Para daar lo menos posible al medio ambiente, el Servicio de Parques desea minimizar el nmero de millas de caminos necesario para proporcionar el acceso deseado. Determnese cmo debern construirse los caminos para lograr este objetivo.

SOLUCION Los nodos son los cinco sitios que van a desarrollarse y la entrada del parque, mientras que las ramas propuestas son los posibles caminos para unir los sitios. Los costos son el nmero de millas. La red completa se muestra en la siguiente figura, en donde cada sitio est representado por la primera letra de su nombre.

Iteracin 1 Se selecciona la entrada del parque como nodo inicial. Los costos de las ramas que llegan a este nodo se enlistan en el primer rengln de la tabla. Ya que el menor costo es 2, se agrega a la red la rama que va de la entrada del parque a las lagunas.

Iteracin 2 Se considerarn ahora todas las ramas que unen a la entrada del parque o a las lagunas con un nuevo lugar. Estas son las ramas que van de la entrada

del parque a el restaurante; as como aquellas que van de las lagunas a la pradera, a la cascada y a la cuevas. De estas, la rama ms barata es aquella que va de las lagunas a la cascada as que se agrega a la red.

Iteracin 3 Se considerarn ahora todas las ramas que unen a la entrada del parque, las lagunas o cascadas con un nuevo lugar. Estas son las ramas que van de la

entrada del parque a el restaurante; las que van de las lagunas a la pradera y a la cuevas; as como aquellas que van de la cascada a el restaurante y a las cuevas. De estas, la rama ms barata es aquella que va de la cascada a las cuevas as que se agrega a la red.

Iteracin 4 Se considerarn ahora todas las ramas que unen a la entrada del parque, las lagunas o cascadas con un nuevo lugar. Estas son las ramas que van de la

entrada del parque a el restaurante; las que van de las lagunas a la pradera y a la cuevas; las que van de la cascada a el restaurante y a las cuevas; as como aquellas que van de las cuevas a el restaurante y a la pradera. De estas, la rama ms barata es aquella que va de las cuevas a la pradera as que se agrega a la red.

Iteracin 5

Se considerarn ahora todas las ramas que unen a la entrada del parque, las lagunas o cascadas con un nuevo lugar. Estas son las ramas que van de la

entrada del parque a el restaurante; las que van de las lagunas a la pradera y a la cuevas; las que van de la cascada a el restaurante y a las cuevas; as como aquella que van de las cuevas a el restaurante. De estas, la rama ms barata es aquella que va de las cuevas al restaurante as que se agrega a la red.

Logrando as llegar a la siguiente figura la cual tiene un costo mnimo de Z* = 2 + 1 + 2 + 2 + 1 = 8 millas

SEGUNDA SOLUCION:

SOLUCION A TRAVES DE WINQSB EJERCICIO

SOLUCION

GRAFICA DE LA SOLUCION

CONCLUSION El problema del rbol de expansin mnima o rbol de mnimo recorrido, se puede considerar como un mtodo, que est orientado al diseo de redes apropiadas (optimas) para la solucin de un problema. En este sentido cabe resaltar que este mtodo incluye factores importantes en la toma de decisiones; como el factor tiempo, el factor costo o el factor distancia, que juegan un papel indispensable para quien est a cargo de un determinado proyecto, limitado bajo ciertas condiciones (restricciones). Para tal fin se requerir de un conocimiento amplio del tema y un excelente manejo de esta tcnica de optimizacin de redes.

RECOMENDACIONES Utilizar este modelo optimizacin de redes para obtener un trayecto ms corto para enviar un producto o realizar un diseo de redes. Se puede aplicar este mtodo para hallar soluciones en diversas reas (transporte, diseo de redes de telecomunicacin, sistemas distribuidos y otros).

BIBLIOGRAFA

Frederick S. Hiller y Gerald J. Liberman. Investigacin De Operaciones. McGraw-Hill. Sptima Edicin. 2002. Hamdy A. Taha. Investigacin De Operaciones. Ediciones Alfaomega. Cuarta Edicin. 1991. http:\flujo maximo.htm Formulacin y resolucin de modelos de programacin matemtica en ingeniera y ciencia, Enrique Castillo

TRABAJO DE INVESTIGACIN DE OPERACIONES III RBOL DE EXPANSIN MINIMA

PRESENTADO POR: CARLOS MAYA DE HOYOS MARIA CORONADO ALEAN WILMER DIAZ PASTRANA JAVIER LOZANO HERRERA VICTOR MODESTO GENES

PROFESOR: ALFONSO GARZON

UNIVERSIDAD DE CRDOBA FACULTA DE CIENCIAS BSICAS E INGENIERA INGENIERA INDUSTRIAL MONTERA 2010