7/21/2019 Apuntes y Ejercicios de Polinomios
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UNIDAD 5 Polinomios
Introduccin
Con el lgebra se pasa del nmero al smbolo, de lo particular a lo general. La granexpresividad del lenguaje algebraico facilita la obtencin de relaciones, propiedades y laresolucin de problemas.
Para trabajar eficazmente en matemtica se debe operar convenientemente conexpresiones algebraicas de forma tal que se puedan transformar en otras expresionesequivalentes ms fciles de manejar.
Adems, en Ingeniera, al realizar el modelado matemtico de un problema, es frecuenteobtener un polinomio. Para encontrar la solucin de la situacin planteada es necesarioconocer las races de dicho polinomio.
5.1.- Expresiones algebraicas
Se llama expresin algebraica a cualquier combinacin de nmeros representados por letraso por letras y cifras, vinculados entre s por las operaciones de suma, resta, multiplicacin,divisin, potenciacin y radicacin.
Son ejemplos de expresiones algebraicas:
zxyx ++ 32 3 23 3
yy
y +yx
yx
+
3
2
xx
13 + 25 zyx
En este curso se considerarn expresiones algebraicas en las que intervengan solamentenmeros reales.
5.1.1.- Clasificacin de las expresiones algebraicas
Expresiones algebraicas
RacionalesNo hay letras afectadas por el
signoradical
IrracionalesHay por lo menos unaletra afectada por el
signo radical
Ejemplo:2
3xx +
FraccionariasHay por lo menos una
letra en el divisor.
Ejemplo:1
32
2+
+
xx
EnterasNo hay letras en el
divisor.
Ejemplo: 72 2 ++xyzyx
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5.2.- Expresiones algebraicas enteras
Se estudiarn ahora expresiones algebraicas enteras.
5.3.- MonomiosLos monomios son expresiones algebraicas de un solo trmino.
Ejemplo:
yx35
En el monomio yx35 :
el nmero 5 recibe el nombre de coeficiente,
yx3
constituye la parte literal.
5.3.1.- Grado de un monomio
Se llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de las letras que aparecen enl.
Ejemplo:
El monomio zyx 242 es de grado 7 .
5.3.2.- Monomios semejantes
Dos o ms monomios son semejantes si tienen la misma parte literal.
Ejemplo:
cb23 y cb25 son monomios semejantes.
Los monomios semejantes pueden sumarse o restarse dando por resultado otro monomiosemejante a los anteriores.
Ejemplo:
cbcbcbcb 2222
2)53(53 =+=+
5.4.- Polinomios
Un polinomio es una suma algebraica de monomios de distinto grado.
Ejemplo:
123 24 ++ yxx
Observacin
Durante el desarrollo de este tema nos referiremos a polinomios donde la parte literal estconstituida solamente por una variable elevada a cualquier exponente natural.
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Los polinomios que se estudiarn en esta Unidad son expresiones algebraicas de la forma
012
21
1)( axaxaxaxaxP n
nn
n +++++=
K
donde:
01 ,,, aaa nn K son nmeros reales llamados coeficientes.
na es el coeficiente principal.
0a es el trmino independiente.
x es la variable, tambin conocida con el nombre de indeterminada.
Los exponentes 0,1,2,,1, Knn , son nmeros naturales.
n es el grado del polinomio y se indica ( ) nxPgrado =)( .
Ejemplos:
1273)( 235 ++= xxxxQ es un polinomio de grado 5 , que tiene coeficiente
principal 35 =a y el trmino independiente es 10 =a .
2)( =xG es un polinomio de grado cero.
0)( =xS se llama polinomio nulo y no tiene grado.
5.4.1.- Funciones polinmicas
Cada polinomio 012
21
1)( axaxaxaxaxP n
nn
n +++++=
K tiene asociada una funcin
polinmica f con dominio y codominio en R , definida por la frmula
012
21
1)( axaxaxaxaxf n
nn
n +++++=
K .
En esta Unidad se hablar indistintamente de polinomios o de funciones polinmicas.
En la Unidad 3 se analizaron en particular las funciones polinmicas de grado uno ofunciones lineales y las funciones polinmicas de grado dos o funciones cuadrticas.
5.4.2.- Igualdad de polinomios
Los polinomios
012
21
1)( axaxaxaxaxP n
nn
n +++++=
K y
012
21
1)( bxbxbxbxbxQ m
mm
m +++++=
K
son iguales si:
tienen el mismo grado, es decir mn =
mn ba = , 11 = mn ba , ....... , 00 ba =
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5.4.3.- Valor numrico de un polinomio
Se llama valor numrico de un polinomio )(xP en kx = , al valor que toma el polinomio
cuando se reemplaza por k.
Si 012
21
1)( axaxaxaxaxP n
nn
n +++++=
K , entonces el valor de )(xP en kx = es
012
21
1)( akakakakakP n
nn
n +++++=
K .
Ejemplo:
Sea 1523)( 23 += xxxxQ .
El valor de )(xQ en 2=x es 431)2(5)2(2)2(3)2( 23
=+=Q
5.5.- Operaciones con polinomios
5.5.1.- Suma
La suma de dos polinomios )(xP y )(xQ es el polinomio )()( xQxP + que se obtiene
sumando los monomios semejantes que se encuentran en )(xP y )(xQ .
Ejemplo:
Dados xxxxP += 34 52)( y 92)( 23 += xxxQ calcular )()( xQxP + .
Para sumar polinomios resulta conveniente ordenarlos segn potencias decrecientes de xy completar los trminos que faltan escribiendo dichos trminos con coeficiente cero.
902)(
0052)(
23
234
++=
+++=
xxxxQ
xxxxxP
932)()( 234 ++=+ xxxxxQxP
El grado de )()( xQxP + es 4.
5.5.2.- Producto de un nmero real por un polinomio
Si 012
21
1)( axaxaxaxaxP n
nn
n +++++=
K y k es un nmero real, entonces:
)()()()()()( 012
21
1 akxakxakxakxakxPk n
nn
n +++++=
K .
Ejemplo:
Si 2525)( 23 ++= xxxxP ,
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615615)()3( 23 += xxxxP
El grado de )()3( xP es 3
5.5.3.- Resta
La resta de dos polinomios )(xP y )(xQ , es el polinomio )()1()()()( xQxPxQxP += .
Ejemplo:
Dados 333)( 24 += xxxxP y 1324)( 23 ++= xxxxQ calcular )()( xQxP .
Para restar polinomios resulta conveniente ordenarlos segn potencias decrecientes de x ycompletar los trminos que faltan escribiendo dichos trminos con coeficiente cero.
1324)()1(
3303)(
23
234
+=
++=
xxxxQ
xxxxxP
22543)()( 234 += xxxxxQxP
El grado de )()( xQxP es 4.
5.5.4.- Producto de polinomios
Para realizar el producto de dos polinomios es necesario aplicar la propiedad distributiva dela multiplicacin con respecto a la suma y las propiedades del producto y de la potenciacin.
Ejemplo 1:
53)( 2 += xxxP xxQ 2)( =
xxx
xxxxx
xxxxQxP
1062
25232
)2()53()()(
23
2
2
+=
+=
+=
El grado de )()( xQxP es 3.
Ejemplo 2:
53)( 2 += xxxP 34)( 23 += xxxR
15917177
15205912334
)34()53()()(
2345
2334245
232
++=
++++=
++=
xxxxx
xxxxxxxx
xxxxxRxP
El grado de )()( xRxP es 5.
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Observacin
Dados dos polinomios )(xP y )(xQ , se verifica que:
( ) ( ) ( ))()()()( xQgradoxPgradoxQxPgrado +=
5.5.5.- Algunos productos especiales
Los productos que se muestran en el siguiente cuadro suelen presentarse con frecuencia enclculos algebraicos.
Producto Nombre
2222)()( axaaxaxxaxax =+=+
22)()( axaxax =+Diferencia de cuadrados
Cuadrado de un binomio
222 )()()( aaxaxxaxaxax +++=++=+
222 2)( aaxxax ++=+
Trinomio cuadrado perfecto
222 )()()( aaxaxxaxaxax +==
222 2)( aaxxax += Trinomio cuadrado perfecto
Cubo de un binomio
3223
322223
22
3
33
22
)()2(
)()()()(
axaaxx
axaxaaxaxx
axaaxx
axaxaxax
+++=
+++++=
+++=
+++=+
32233
33)( axaaxxax +++=+
Cuatrinomio cubo perfecto
32233 33)( axaaxxax += Cuatrinomio cubo perfecto
5.5.6.- Divisin de polinomios
Cuando se realiza una divisin entre nmeros se procede del siguiente modo:
9 4
1 2Se verifica que 1249 +=
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dividendo divisor
.
resto
cociente Dividendo = divisor cociente + resto
La divisin de polinomios se efecta empleando el mismo procedimiento que se usa paradividir los nmeros reales.
Se recuerda que es necesario ordenar los polinomios segn las potencias decrecientes dex y completar los trminos que faltan escribiendo dichos trminos con coeficiente nulo.
Ejemplo: Dados 54572)( 234
+++= xxxxxP y 12)( 2 += xxxQ , el polinomio
cociente entre )(xP y )(xQ es el polinomio )(xC que se obtiene siguiendo el procedimiento
que se muestra a continuacin.
1) Se divide el primer trmino del dividendo
)(xP por el primer trmino del divisor
)(xQ .
224 2:2 xxx =
Se obtiene el primer trmino del cociente
)(xC .
54572 234
+++ xxxx 122
+ xx
22x
2) El trmino de )(xC se multiplica por el
divisor.El producto se resta al dividendo (o secambia de signo y se suma).
54572 234
+++ xxxx 122
+ xx
234242 xxx +
5433 23 +++ xxx
22x
3) Con 5433 23 +++ xxx como nuevodividendo se repiten los pasos 1) y 2).
As se obtiene otro trmino del cociente.
xxx 3:3 23 =
54572 234
+++ xxxx 122
+ xx
234242 xxx +
5433 23 +++ xxx
xxx 363 23
+
573 2 ++ xx
xx 32 2
4) El proceso contina hasta que no sepuedan obtener ms trminos delcociente.
Cociente: 332)( 2
= xxxC
Resto: 8)( += xxR
54572 234
+++ xxxx 122
+ xx
234 242 xxx +
5433 23 +++ xxx
( )xxx 363 23 +
573 2 ++ xx
( )363 2 + xx8+x
332 2
xx
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Es importante tener en cuenta que:
La divisin )(:)( xQxP puede efectuarse siempre que ( ) ( ))()( xQgradoxPgrado .
)()()()( xRxCxQxP += .
El grado del resto debe ser menor que el grado del divisor, o bien 0)( =xR .
( ) ( ))()( xQgradoxRgrado