Mtodos Numricos Aplicados a la Ingeniera
Mtodos Numricos Aplicados a la Ingeniera
MTODOS NUMRICOS
CONTENIDOI. SOLUCIN DE SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS
LINEALES1.1. Algunas Reflexiones sobre Mtodos numricos 1.2.
Introduccin 1.3. Existencia y Unicidad
1.4. Mtodos directos de solucin: Gauss - Jordn, descomposicin
LU, Cholesky.
1.5. Mtodos Iterativos.
1.6. Convergencia
1.7. Mtodo del descenso ms rpido y del Mtodo de gradiente
conjugado
II.PROBLEMAS DE VALORES Y VECTORES CARACTERSTICOS
2.1. Aspectos bsicos.
2.2. Teorema de Schur y Gershgorin
2.3. Problemas propios de una matriz.
2.4. Factorizaciones Ortogonales y problemas de mnimos
cuadrados
2.5. Mtodo de QR de Francis para problemas de valores
propios
2.6. Mtodo mixtos evaluacin de la determinante Iteracin en un
subespacioI. SOLUCIN DE SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES
1.1. Algunas Reflexiones Sobre Mtodos Numricos El anlisis numrico y
su diversidad de mtodos en realidad es la dialtica del anlisis
matemtico cualitativo y cuantitativo. El anlisis matemtico nos
afirma que bajo ciertas condiciones algo existe y que es nico etc.
Sin embargo el otro complementa calculando aproximadamente el valor
de aquello que existe. En resumen podemos decir que el anlisis
numrico es una reflexin sobre el anlisis matemtico es decir sobre
el lgebra lineal, ecuaciones diferenciales, etc. Desde el punto de
vista numrico teniendo como sinergia una serie de mtodos o
algoritmos cuyo estudio y uso en diferentes reas de ingeniera es de
importancia.
Como se observa los mtodos numricos son tcnicas para formular
problemas y solucionarlo usando operaciones lgicas aritmticas
contando como herramienta determinante la computadora y los
lenguajes de alto nivel (fortran, Basic, Pascal, entre otros).
En un inicio podemos decir que las personas interesadas con esta
rea del conocimiento solo contaban con:
1. determinaban la solucin usando mtodos exactos o analticos,
pero en realidad estas soluciones solo es para un nmero limitado de
problemas en consecuencia las soluciones analticas tienen valores
prcticos limitados por que la gran mayora de los problemas implican
formas y procesos complejos.
2. Cuando se requera analizar el comportamiento de sistemas se
usaban soluciones grficas cuyos resultados no son muy precisos
adems que sus representaciones son muy tediosos sin el uso de
computadoras, estas tcnicas graficas son limitadas a problemas que
pueden describirse usando tres dimensiones o menos.
3. Para implementar mtodos numricos se usaban calculadoras y
reglas de clculo, estos instrumentos presentan una diversidad de
dificultades como consecuencia de su lentitud al realizar los
clculos, adems que sus resultados no son muy consistentes por que
surgen equivocaciones al realizar su proceso de clculo.
Pero en la actualidad los mtodos numricos contando con una
herramienta como la computadora ofrecen alternativas para el clculo
de problemas complejo que en oportunidades el anlisis matematic
tendra mucha dificultad. Sin embargo debemos resaltar que el
anlisis numrico es de gran importancia tanto para solucionar
problemas como para dar mayor comprensin.
Podemos decir que despus de la aparecan de la computadora los
mtodos numricos a explosionado, estn inicialmente directamente
relacionado con el tiempo de maquina en consecuencia limitado por
el costo de procesamiento de las grandes computadoras (mainframes)
lo que induce que aun algunos continen usando mtodos analticos en
sus trabajos, pero en la actualidad con el avance de la tecnologa
como la aparicin de las computadoras personales a bajo costo
permiten cumplir con capacidades complejas.
Entre otras razones del uso de los mtodos numricos podemos
citar:
1. Su capacidad para solucionar sistemas de ecuaciones lineales
de grande porte, el manejo de no linealidades y la solucin de
geometras complejas retos muy usuales en la sociedad ingenieril del
presente siglo, que se tornan dificultosos o imposibles de ser
manipulados por el anlisis matemtico.
2. Los mtodos numricos permite reforzar la comprensin matemtica
por ser experimental yo dira permite la creatividad principalmente
en temas oscuros ocasionando un aumento de la capacidad de
comprensin y entendimiento de las matemticas.
3. Los mtodos numricos dan la oportunidad de construir sus
propios programas para resolver los problemas sin tener que comprar
software costosos y de una complejidad para su comprensin y
aplicacin.
4. Los MN es un medio para aprender usar las computadoras, como
para estructurar programas y demostrar las limitaciones de las
computadoras. Finalmente podemos afirmar que los mtodos numricos
permiten reconocer y controlar los errores de aproximacin.
En resumen los mtodos numricos nos permitirn:
1. Solucionar sistemas de ecuaciones algebraicas lineales
; Entonces es solucin nica
Forma grfica.
2. Determinar races de ecuaciones: resolver f(x) para x.
3. Determinar un valor de x para que optimice una funcin
4. Aproximar curvas
5. Integracin: Determinar el rea debajo la curva ,
6. Solucin numrica para ecuaciones diferenciales ordinarias
Dada.
Determinar como funcin de t
7. Solucin numrica de ecuaciones diferenciales parciales En este
item debemos destacar que estos modelos son apropiados para
caracterizar modelos en ingeniera como: distribucin de temperatura
en estado estacionario en una placa, la temperatura en una barra.
Dado ,
Determinar u como funcin de x, y. 1.2. INTRODUCCIN
1.2.1. Sistemas de ecuaciones
Comentarios: en este tem aplicaremos la teora de matrices y
determinantes para determinar la solucin de un sistema de
ecuaciones lineales. Identificaremos las condiciones para que un
sistema tenga solucin y extenderemos estos criterios a determinar
la solucin de m ecuaciones con n incgnitas.
Definicin: Llamaremos sistema de ecuaciones lineales al conjunto
de ecuaciones con dos o ms incgnitas (variables) de tal manera que
se verifiquen simultneamente para ciertos criterios asignados a sus
incgnitas.Ejemplo:1. ; es un sistema de dos ecuaciones y 2
incgnitas que se verifican simultneamente para .
2. ; es un sistema de 3 ecuaciones y 3 incgnitas que se
verifican simultneamente para
3. En general podemos considerar: ; un sistema de 2 ecuaciones y
2 incgnitas que se verifican simultneamente para un nmero real
determinado de .
4. En general se pueden considerar m ecuaciones y n
incgnitas.
1.2.2. SOLUCIN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES
Si existe la solucin de un sistema de ecuaciones esto depende
del nmero de incgnitas o variables; esto es:
a) Si el sistema tiene dos ecuaciones, la solucin si existe
tendr dos incgnitas; es decir y se llamar par ordenado.
b) Si el sistema tiene 3 ecuaciones la solucin tendr tres
incgnitas; es decir y se llamar triada o terna.
c) Si el sistema tiene n ecuaciones la solucin tendr n
incgnitas; es decir y se llamar n-ada.
Definicin: Llamaremos conjunto solucin al conjunto de valores
formado por todas las soluciones del sistema.
Ejemplos:
1. ; entonces es solucin nica
Forma grfica.
2. Sea ; estas dos ecuaciones son equivalentes pues una ecuacin
depende de la otra.
La solucin es ; es decir es una solucin del sistema para
cualquier valor de real. En otras palabras el sistema tiene
infinitas soluciones por decir:
Forma grfica.
3. Sea el sistema:; el sistema no tiene solucin pues la primera
fila contradice a la segunda; es decir es un sistema inconsistente
o incompatible.Forma grfica.
1.2.3. SISTEMA DE m ECUACIONES LINEALES CON n INCOGNITAS
Debemos resaltar que muchos problemas prcticos y reales se
reducen a un sistema de ecuaciones de este tipo, para ver esto se
puede recurrir a cualquier documento de investigacin de
operaciones. Por decir: Problema de Dietas, Problemas de mano de
obra, Problema de inversin, problema de fabricar productos,
problema de transporte, etc.En general este sistema ser
representado por:
Donde:
; el sistema (1) se puede escribir:
1.2.4. FORMA MATRICIALEl sistema (1) se puede escribir:
Es decir:
Donde:
; es llamada matriz de coeficientes.
; es llamado vector de variables, entidades, incgnitas.
; es llamado vector independiente, bienes y requerimientos.1.3.
EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCIONES
Resolver consiste en determinar los vectores que cumplan los
requerimientos.
Si para todo , el sistema se llama homogneo y si el sistema es
no homogneo.
Supongamos que es definida la siguiente matriz llamada aumentada
del sistema ; formada por la matriz de coeficientes y adjuntando el
vector independiente ; as:
Si el rango de la matriz de coeficientes y de la matriz
aumentada son iguales entonces el sistema (1) es consistente; es
decir tiene solucin. En otras palabras caso contrario el sistema es
inconsistente esto es no tiene solucin.
Si el sistema es consistente y ocurrir que entonces el sistema
tiene solucin nica.
Si el sistema es consistente y ocurre que entonces el sistema
tiene infinitas soluciones.
Grficamente:Ejemplificacin:a) Dado el sistema:
Como , entonces el sistema es inconsistente; es decir no tiene
solucin.
b) Si el sistema fuera homogneo es decir
, es decir: en este caso existe un nmero infinito de
soluciones.
1. Dado el sistema de ecuaciones:
Entonces el sistema tiene una nica solucin
1.4. MTODOS DIRECTOS DE SOLUCIN 1.4.1. Mtodos diagonales
Definicin: Se llama sistemas de ecuaciones diagonales a los
arreglos especiales en forma de una diagonal:
Ejemplo:
Solucin:
Observaciones:
1. La matriz de coeficientes es una matriz diagonal.
2. El conjunto solucin es obtenido dividiendo cada elemento del
vector independiente (insumos, condiciones) por cada respectivo
elemento de la matriz diagonal.
3. Una matriz diagonal en general se representa de la siguiente
forma:
; es decir
4. El sistema de ecuaciones lineales diagonal ser:
5. Determinado su solucin general
En general comprobamos que son las soluciones del sistema.
1.4.2. MTODO TRIANGULAR INFERIOR
Definicin: Se llama sistema de ecuaciones triangular inferior a
los sistemas de ecuaciones que al momento de escribir en forma
matricial la matriz de coeficientes es una matriz triangular
inferior
Ejemplo:
Solucin:
Observacin:
1. La matriz de coeficientes es una matriz triangular
inferior.
2. El sistema se puede escribir de la siguiente manera
3. El conjunto solucin del sistema triangular es obtenido de la
siguiente manera.
Primero: suponiendo que para todo
Segundo: el valor de se obtiene a partir de la primera ecuacin
del sistema; es decir:
Tercero: el valor de se obtiene de la segunda ecuacin
sustituyendo el valor de ; es decir:
Cuarto: Los valores de son obtenidos de manera anloga:
1.4.3. MTODO TRIANGULAR SUPERIOR
Definicin: Se llama sistema de ecuaciones triangular superior a
los sistemas de ecuaciones que al momento de escribir en forma
matricial la matriz de coeficientes es una matriz triangular
superior. Ejemplo:
Solucin:
Observacin:1. La matriz de coeficientes es una matriz triangular
superior.
2. El sistema se puede escribir de la siguiente manera
3. La solucin del sistema triangular superior se obtiene de la
siguiente manera.
Primero: iniciamos determinando el valor de la ltima variable en
este caso a partir de la ltima fila.
Segundo: para determinar el subsiguiente valor se realiza
as:
Tercero: Los valores de son obtenidos de manera anloga:
1.4.4. MTODO DE KARL GAUSS
Kart Gauss(1777-1855) fue uno de los ms destacados matemticos
del siglo XIX fue de origen alemn naciendo en Brunswick, en una
familia de una economa precaria dedicada a las actividades urbanas
desempendose generalmente como obrero.Gauss mostr desde muy
temprana edad sus condiciones de matemtico y justamente uno de sus
tantos aportes al rea de la ciencia fue su metodologa para
solucionar sistemas de ecuaciones por los aos de 1811.Gauss a los
30 aos fue catedrtico en matemticas en Gottingen hasta su muerte a
los 77 aos. Debemos destacar que a Gauss se le llamaba el prncipe
de las matemticas y fue condecorado por Geroge V. rey de
Hannover.
El mtodo de Gauss para solucionar un sistema de ecuaciones
llamado tambin eliminacin Gaussiana.Supongamos que se tiene un
sistema de ecuaciones con una nica solucin y que no, se tiene
ninguna dificultad para encontrar dicha solucin luego se procede
as:a) Un proceso de eliminacin hacia delante.
1. Eliminamos el primer trmino de la segunda ecuacin;
multiplicando a la primera ecuacin por y restndolo del primer
trmino de la segunda ecuacin para eliminar el primer trmino de la
segunda ecuacin; luego se multiplica a la primera ecuacin por y se
resta del primer trmino de la tercera ecuacin y as sucesivamente
para las restantes ecuaciones se elimina restando la primera
ecuacin multiplicada por , quedando el sistema as:
En donde:
2. Eliminamos del segundo trmino de las ecuaciones del sistema
(1) donde la tercera ecuacin hasta la ltima se realiza anlogamente
que en la primera parte es decir: restamos la segunda ecuacin del
sistema multiplicada por y as continuamos eliminando los terceros
trminos de las ecuaciones restantes, finalmente se llega a una
triangulacin total; as:
Observacin: 1. A los trminos principales de cada ecuacin se le
llama pivote.2. Se puede normalizar cada ecuacin, y para ello slo
se divide por el coeficiente principal, fenmeno que no se usa en la
eliminacin Gaussiana la razn es por el aumento del tiempo
computacional.b) Un proceso de sustitucin hacia atrs.
Este proceso consiste en usar la solucin de un sistema
triangular superior explicado anteriormente.
Debemos destacar que esta metodologa de eliminacin Gaussiana se
puede trabajar slo con los elementos de la matriz aumentada es
decir:
Una vez realizada la eliminacin Gaussiana, utilizamos el
algoritmo del sistema triangular superior para solucionar
completamente el sistema de ecuaciones.
Ejemplos:1. Resolver el siguiente sistema usando eliminacin
Gaussiana.
Primera fase: Triangulacin de la matriz aumentada.
a) Determinando la matriz aumentada
b) Realizando operaciones elementales de matrices segn el
mtodo.
Segunda fase: Determinacin de los valores de las variables
,
Ahora comprobaremos los resultados usando MATLAB para hacer las
operaciones elementales por fila.
>> A=[2 1 -3;-1 3 2;3 1 -3]
A = 2 1 -3
-1 3 2
3 1 -3
>> b=[-1 12 0] b = -1 12 0
>> A=[A b']
A = 2 1 -3 -1
-1 3 2 12
3 1 -3 0
>> format rat
>> A(2,:)=A(2,:)+A(1,:)/2
A =
2 1 -3 -1
0 7/2 1/2 23/2
3 1 -3 0
>> A(3,:)=A(3,:)-3*A(1,:)/2
A =
2 1 -3 -1
0 7/2 1/2 23/2
0 -1/2 3/2 3/2
>> A(3,:)=A(3,:)+A(2,:)/7
A = 2 1 -3 -1
0 7/2 1/2 23/2
0 0 11/7 22/7
Solucionando este sistema triangular superior con el mtodo de
sustitucin regresiva obtenemos:
>> sts(A,b,3)
x=
1.000000000000
3.000000000000
2.000000000000
2. Resolver el siguiente sistema usando eliminacin
Gaussiana.
Primera fase: Triangulacin de la matriz aumentada.
a) Determinando la matriz aumentada
b) Realizando operaciones elementales de matrices segn el
mtodo.
Segunda fase: Determinacin de los valores de las variables
;
Ahora comprobaremos los resultados usando MATLAB.
A=[3 2 -3;1 3 -2;5 -2 4] % ingresamos la matriz de coeficientesA
= 3 2 -3
1 3 -2
5 -2 4
b=[-2 1 13] % ingresamos el vector de trminos independientesb =
-2 1 13
x = inv(A)*b' % encontramos el valor de xx = 1
2
3
3. Resolver el siguiente sistema usando eliminacin
Gaussiana:
Primera fase: Triangulacin de la matriz aumentada.
a) Determinando la matriz aumentada
b) Realizando operaciones elementales de matrices segn el
mtodo.
Segunda fase: Determinacin de los valores de las variables
;
Ahora usamos MATLAB para comprobar los resultados con el
programa de gauss.
A=[2 3 4;-4 5 -1;1 -2 3]
A = 2 3 4
-4 5 -1
1 -2 3
b=[9 7 3]
b = 9 7 3
x=inv(A)*b'
x = -1.0000
1.0000
2.00001.4.5. MTODOS DE FACTORIZACIN
DESCOMPOSICIN LU APLICACIONESAnteriormente ya se ha escrito que
un sistema de n ecuaciones con n incgnitas se puede escribir de la
siguiente manera
O simplemente:
Supongamos que la matriz se puede escribir como el producto de ,
donde
: es una matriz triangular inferior de orden nxn
: es una matriz triangular superior de orden nxn
Es decir:
Cuando es posible factorizar se dice que tiene una descomposicin
, pero esto no ocurre de una nica forma.Cuando La matriz se
transforma en una matriz triangular inferior unitaria; en este caso
se le llama FACTORIZACIN DE DOOLITTLE.La otra manera seria
transformando a en una matriz triangular superior unitaria se le
conoce con el nombre de FACTORIZACIN DE CROUT.Cuando U =Lt de modo
que lii es igual a uii para se le llama descomposicin de CHOLESKY.
Esta descomposicin de Cholesky requiere de varias propiedades
especiales, la matriz A debe ser real, simtrica y definida
positiva. Por ejemplo para una matriz 4x4 se tiene.
EMBED Equation.3
Es decir:
EMBED Equation.3 Observacin:a) Para ;
b) Para
c) El primer rengln fila de es igual al de ; es decir:
d) Multiplicamos la segunda fila, la tercera fila y la cuarta
fila de por la primera columna de
e) Multiplicando la segunda fila de , por la segunda, tercera y
cuarta columna de y la igualamos con los elementos de , se
tiene:
Determinamos:
En general el algoritmo de descomposicin LU es la que sigue:
1.4.6. MTODO DE FACTORIZACIN DE DOOLITTLEConsideremos una matriz
de tres por tres:
L11 = L22 = L33 = 1, luego desarrolla el sistema de ecuaciones
as:u11 = a11, u12 = a12 , u13 = a13Continuando
L21 = a21/a11, u22 = a22 (a21/a11) a12, u23 = a23
(a21/a11)a13Del otro grupo de ecuaciones tenemos
Ejemplo: Supongamos que tenemos el siguiente sistema de
ecuaciones
SolucinEste sistema se descompone as:
Luego:
Para resolver el sistema dado se sigue los siguientes
pasos:Primero: Resolvemos Lc = b
I.e.
C1 = 5; C2 = 3 - 0.5 (5) C2 = 0.5
C3 = 4 0.25 (5) (2.5) (0.5) = 4 -1.25 1.25 C3 = 1.5
Segundo: Resolver Ux = c
x3 = -0.15
x2 = 2.5
x1 = 6.95Generalizacin
1.4.7. MTODO DE CHOLESKYMatriz Positiva:
Diremos que una matriz simtrica A, es positiva si solo si los
determinantes de las sub matrices de A son positivos.
Supongamos que tenemos el sistema en la forma LU toma la forma
de LLT, en donde L es una matriz triangular inferior i.e.
Observacin:
Los clculos se reducen pues estimaremos n (n+1)/2 elementos, los
Lij 0 en lugar de de n2 elementos de una factorizacin
nominal:Ejemplo: Resolver el sistema siguiente
La matriz de coeficiente es simtrica y positiva, luego aplicamos
Cholesky. Supongamos su descomposicin sea:
i) Resolver el sistema LC=b
ii) Resolver el sistema LTx = C
Generalizacin para un sistema de n ecuaciones
1.5. RESOLUCIN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES POR MTODOS
ITERATIVOS
Debemos resaltar que lo mtodos vistos hasta la actualidad para
solucionar sistemas de ecuaciones algebraicas lineales son muy
caros computacionalmente.
Estos mtodos exigen una memoria de mquina proporcional al
cuadrado del orden de la matriz de coeficiente A.
De igual manera se producen grandes errores de redondeo como
consecuencia del nmero de operaciones.Debemos mencionar que en
estos mtodos necesitan tener una aproximacin inicial de la solucin
y no esperamos tener una solucin exacta aun cuando todas las
operaciones se realicen utilizando una aritmtica exacta. Pero
podemos decir que en muchos casos son mas efectivos que los mtodos
directos por requerir mucho menos esfuerzo computacional y sus
errores se reducen, esto es cierta cuando la matriz es dispersa es
decir cuando la matriz tienen un alto porcentaje de elementos
nulos.
En esta oportunidad estudiaremos mtodos ms efectivos que ha
permitido solucionar sistemas de hasta 1000 ecuaciones y variables
a un ms, sistemas que se presentan en la solucin numrica de
ecuaciones diferenciales parciales (EDP).
Supongamos que tenemos el sistema
Ax = b
(1)
Luego podemos escribir como:
Ax b = 0 (2)
Que es una ecuacin vectorial que se puede escribir as:
f (x) = 0 (3)
El propsito es buscar una matriz B y su vector C de tal forma
que la ecuacin vectorial es la siguiente:
x = B x + C (4)Sea un arreglo de la ecuacin (1) ie que la
solucin de una ecuacin sea tambin solucin de la otra ecuacin, luego
se propone lo siguiente:
Primero: Proponer un vector inicial x(0) como la primera
aproximacin al vector solucin xSegundo: calcular la sucesin de
vectores que son soluciones aproximadas
Usando:
Donde:
Observacin:
Para que la sucesin de soluciones converja a x vector solucin es
necesario que se aproxime al vector ie decir sean menores que un
valor pequeo fijado previamente y que se mantengan menores para
todos los vectores siguientes de la iteracin. Es decir:
La forma como llegar a la ecuacin x = Bx + C se define al
algoritmo y su convergencia.
Sea dada el sistema
Con a11 0, a22 0, a33 0
De tenemos que:
. . . . . . . . . . . . . (5)
. . . . . . . . . . . . . . . . (6)
Una vez que es determinada la ecuacin (6) se propone un vector
inicial x(0) que puede ser x(0) = 0 cero o algn otro vector que sea
aproximado al vector solucin x.
Para determinar la sucesin buscada de solucin iterativo tenemos
dos formas:
a) Mtodo de Jacobi (Desplazamiento simultaneo)b) Mtodo de Gauss
Seidel (Desplazamiento sucesivo)
1.5.1. MTODO DE DESPLAZAMIENTO SIMULTNEO DE JACOBI
Si es el vector de aproximacin a la solucin x despus de R
iteraciones, entonces, tendremos la siguiente aproximacin
Fenmeno que se puede generalizar para n ecuaciones
1.5.2. MTODO GAUSS SEIDEL DESPLAZAMIENTO SUCESIVOEste mtodo se
diferencia del anterior en que los valores que se van calculando en
la (R + 1) sima iteracin se usan para calcular los valores
restantes de esa misma interaccin ie
Ejemplo:
Solucin:
Valor InicialCuando no tenemos una aproximacin inicial del
vector solucin, se usa como vector inicial el vector cero, ie
Mtodo de JacobiPara determinar x(1) reemplazamos x(0) en el
sistema dado ie
Determinando x(2)
R
00.00000.00000.00000.0000
10.25000.25000.25000.2500
20.31250.37500.37500.3125
30.34380.4219
40.35550.4414
50.36040.4492
60.32230.4524
70.36310.4537
80.36340.4542
90.36350.4544
100.36360.45450.45450.3636
Mtodo de Gauss Seidel
Determinacin del
Observacin:
1. La sucesin de vectores converge o se aleja del vector
solucin
2. Cuando se detendr el proceso iterativo
Rpta: Si la sucesin converge a la solucin x caso esperado que
los componentes de x(R) converjan a sus elementos.
ALGORITMO DE LOS MTODOS DE JACOBI GAUSS SEIDEL
Para solucionar el sistema de Ax = b
Datos:Nmero de ecuaciones N
La matriz de coeficientes A
El vector de trminos independientes b
El vector inicial x
El nmero de iteracin MATIZ
El valor de Eps. y M = 0 para usar Jacobi y M 0 para usar Gauss
Seidel obtenemos la solucin aproximada x y el nmero de iteraciones
K o el mensaje No se alcanz la convergencia
Paso1:Arreglar la matriz aumentada de manera que la matriz
coeficiente quede lo ms cercano posible a la diagonal dominante
Paso2:Hace K = 1
Paso3:Mientras K Maxit repetir los pasos 4 a 18
Paso4:Si M = 0 ir al paso 5 de otro modo hacer x = x
Paso5:Hacer I = 1
Paso6:Mientras I N repetir los pasos 7 al 14
Paso7:Hacer suma = 0
Paso8:Hacer J = 1
Paso9:Mientras J N, repetir los pasos 10 a 12
Paso10: Si J = I ir al paso 12
Paso11: Hacer suma = suma + A(IJ) * x(J)
Paso12: Hacer J = J + 1
Paso13: Si M = 0 hacer
x(J) = -(b(J) - suma)/A(JJ)
de otro modo hacer
x(I) = (b(J) suma)/A(JJ)
Paso14: Hacer I = J + 1
Paso15: Si |x x| Eps. Ir al paso 19
de otro modo hacer
Paso16: Si M = 0, hacer x = x
Paso17: Hacer K = K + 1
Paso18: Imprimir mensaje No se alcanz la convergencia, el vector
x, MAXIT
Paso19:Imprimir el mensaje Vector Solucin, x, K y el mensaje
iteraciones terminada
Ejemplo:
Resolver el siguiente sistema con el mtodo de Gauss Seidel con E
= 10-2 aplicando a |xK+1 xK|
SHAPE \* MERGEFORMAT
Resolviendo: x1 de (1) x2 de (2) x3 de (4) y x4 de (3)
Si x0 = (0, 0, 0, 0)T : determinamos:
EL proceso diverge: Luego podemos arreglar las ecuaciones para
despejar los diferentes xi y, que despejadas sean distintas, para
aplicar el teorema se debe tener solo en cuenta una aproximacin
pues caso contrario son raros en donde se encontrara tales
sistemas.
Caso contrario se alejanRpta 21. Los valores absolutos sean
todos menores de nmero pequeo E cuyo valor ser dado 2. Si el nmero
de iteraciones ha excedido un mximo dado3. Detener el proceso una
vez que
Cmo asegurar la convergencia si existe?El proceso de Jacobi y
Gauss Seidel convergern si en la matriz de coeficiente cada
elemento de la diagonal principal es mayor que la suma de los
valores absolutos de todos los dems elementos de la misma fila o
columna (matriz diagonal dominante) e
1.6. CONVERGENCIA
1.6.1. LONGITUD DE UN VECTOR
Supongamos x un vector en R2, su longitud denotado por |x| es
definido como un nmero positivo o cero.
,
En trminos de producto punto
,
Ejemplo: sea determinar su norma
Solucin
;Debemos tener en consideracin que el campo de los nmeros reales
R tiene el defecto de que un polinomio de grado n con coeficientes
reales no necesariamente tiene n ceros reales
Por ejemplo carece de ceros reales, este defecto se supera
extendiendo el campo de tal manera que contenga al elemento i,
elemento que se caracteriza por la ecuacin , que es el campo C de
los nmeros complejos en donde sus elementos tienen la forma :
x=a+bi , en donde a, b son reales.
Su conjugado, norma, o modulo, se le define:
; ,
,
Observe que:
1. ,
2. El campo de los complejos ya no tiene la anomala de los
reales, es mas tenemos el teorema fundamental del algebra, que
establece que todo polinomio no constante con coeficientes
complejos tiene al menos un cero en el plano complejo.
3. La afirmacin anterior permite afirmar que todo polinomio de
grado n se puede descomponer como un producto de n factores
lineales.
1.6.2. ESPACIO VECTORIAL Cn
El espacio vectorial Cn, esta compuesto de todos los vectores en
donde los , Si al vector complejo x es multiplicado por tambin
complejo el resultado es otro vector complejo as:
,
En consecuencia Cn, es un espacio vectorial sobre el cambo de
escalares C. En consecuencia en este espacio Cn. El producto
interno se define:
,1.6.3. NORMA DE VECTORES
Una norma en Rn es una funcin de || || de Rn en R que verifica
las propiedades:
1. ,
2. ,3. .4. ,
La norma Euclidiana se define:
,
Podemos observar que,
1. ,
2. ,
3. ,
Consideremos A una matriz con elementos complejos, y A* denota
su conjugada transpuesta es decir en particular, si x es una matriz
de nx1 (o vector columna), entonces , es una matriz de 1xn o vector
fila,
,
,
En general podemos definir norma de un vector x
,Como casos particulares tenemos la norma Euclidiana cuando
p=2
,Mximo valor absoluto
Propiedades
1. ,
2. ,
3. ,
Estas propiedades son familiares en relacin a la norma
Euclidiana o longitud de un vector.
La norma de una matriz cuadrada, A , puede ser definida en forma
consistente con la definicin de norma de un vector:, (x),
La norma de es donde es el mximo valor caracterstico de At.A.
Tambin
Estas normas definidas satisfacen ,
La norma llamado generalmente norma infinito
: ,
Ejemplo: Dado el vector determinar sus normas Euclidiana
infinito:
,
,
1.6.4. DISTANCIA EN ENTRE VECTORES
Dado dos vectores en Rn, ,, la distancia I2 y , entre x e y se
definen :
,
,
Ejemplo: Dado el sistema:
3.3330x1+ 1.5920x2 10.333x3 =15.9132.2220x1+ 16.710x2 +9.6120x3
=28.5441.5611x1+ 5.1791x2 +1.6852x3 =8.4254
Consideremos la solucin inicial , , usamos eliminacin de Gauss
con Pivoteo parcial usando aritmtica de cinco cifras con redondeo,
obtenemos la siguiente solucin:
,
Las dos medidas de la exactitud de aproximacin de a x son:
,
,
,
Observamos que las componentes y son buenas aproximaciones a x2
y a x3, y la primera componente es una aproximacin muy pobre en
trminos de distancias de ambas normas.
Pues el trmino de distancia en Rn , es utilizada para definir el
limite de una sucesin de vectores.
Diremos que una sucesin de vectores converge a x con respecto a
la norma si dado cualquier existe un entero tal que:
,
Ejemplo. Dada la sucesin definida:
,
Tenemos que,
,
Es as que para cualquier posemos encontrar un numero entero de
tal manera que para todos los nmeros son menores que lo que nos
afirma esto es que la sucesin converge a con respecto a la norma
.
1. Los siguientes trminos son equivalentes:
2. La sucesin de vectores , converge a x con respecto a alguna
norma.
3. La sucesin de vectores , converge a x con respecto a todas
las normas.
4. El , la componente i-sima de x, para cada i =1,2,..,n sucesin
de vectores , converge a x con respecto a alguna norma.
1.6.5. NORMAS MATRICIALES
Una norma matricial en el espacio de matricial nxn es una funcin
de variable real que verifica las siguientes condiciones para todas
las matrices A y B de dimensin nxn y todos los nmeros reales.
1. ,
2. 3. ,4. ,5. .
1.6.6. LA DISTANCIA ENTRE MATRICES La distancia entre dos
matrices A y B de orden nxn con relacin a una norma es , sin
embargo debemos decir que existen varas formas de obtener normas
matriciales, pero las que consideraremos son las que se obtienen de
forma natural.
NORMA MATRICIAL MXIMO O SUBORDINADA
Es la norma , vectorial en Rn, la cual se le define sobre el
conjunto de todas las matrices de orden nxn as:
: ,
Consecuentemente las normas que consideramos son:
,
,
Cuando n=2 su interpretacin grfica es:
,
Norma de una matriz
,
Ejemplo: dada la matriz Determinar ,
Solucin
,
,
,
,
1.6.7. COMPARACIN DE LOS MTODOS DIRECTOS E INDIRECTOS Debemos
resaltar que lo mas importante del anlisis numrico es conocerlas
caractersticas es decir las ventajas y desventajas de los mtodos
numricos bsicos que solucionen una familia de problemas, para
elegir el algoritmo mas adecuado para cada problema.
Ventajas Desventajas
1. Probablemente los mtodos iterativos son mas eficientes que
los directos para sistemas de orden muy alto. 1. Si se tienen
varios sistemas que comparten la matriz de coeficientes, esto no
representara ahorro de calculo ni tiempo de maquina, ya que por
cada vector a la derecha de A tendr que aplicarse el mtodo de
seleccin.
2. Mas simples de programar2. A un cuando la convergencia se
encuentre asegurada, puede ser lenta y, por lo tanto, los clculos
requeridos para obtener una solucin particular no son
predecibles.
3. Puede aprovecharse un aproximacin a la solucin s tal
aproximacin existe. 3.El tiempo de maquina y la exactitud del
resultado dependen del criterio de convergencia.
4. Se obtienen fcilmente aproximaciones burdas de la solucin 4.
Si la convergencia es lenta , los resultados deben de interpretarse
con cautela.
5. Son menos sensible a los errores de redondeo (valioso en
sistemas mal condicionadas)5. No se tiene ventaja particular alguna
(tiempo de maquina por iteracin) s la matriz de coeficientes es
simtrica.
6. Se requiere menos memora de maquina. Generalmente, las
necesidades de memoria son proporcionales al orden de la
matriz.6.No se obtiene la inversa ni det(A)
1.7. MTODOS DEL DESCENSO MS RPIDO Y DEL GRADIENTE CONJUGADO
En esta oportunidad reflexionaremos sobre algunos mtodos
especiales para resolver sistemas de ecuaciones lineales
,
En donde la matriz A es de orden nxn simtrica y definida
positiva, en otras palabras y , debemos recordar que el producto
escalar de dos vectores X ,Y de componentes reales es:
,
Propiedades
1. ,
2. ,
3. ,
4. ,
Observemos que la propiedad 1 se refiere al orden de los
elementos, 2, y 3 indican que se pueden invertir.
Recordemos que si A es simtrica y definida positiva, entonces el
problema de resolver Ax=b es equivalente al problema .
Veamos por que esta afirmacin es cierta; primero veamos como se
comporta q(x) a lo largo de un rayo unidimensional. Para lo cual
consideremos x+tv en donde x y v son vectores y t un escalar
grficamente tenemos
Mediante un calculo directo tenemos que para todo escalar t
:
.
.
.
.................................................................(*)
Como A es simtrica es decir AT =A, entonces en la ecuacin (*) el
coeficiente de t2, es positivo, de esta manera la funcin cuadrtica
sobre el rayo unidimensional tiene un mnimo y no un mximo.
Calculando la derivada de la ecuacin (*) con respecto a t.
,
Cuando la derivada es cero, existe un mnimo de q a lo largo del
rayo unidimensional en este caso el valor de t es: , en
consecuencia usando este valor podemos determinar el mnimo de q
sobre el rayo unidimensional.
.
.
.
.............................................................................................(**)
Lo que quiere decir esto que al pasar q(x) de x a , siempre hay
una reduccin en el valor de q(x), a menos que v sea ortogonal al
residuo es decir
Si x no es una solucin del sistema Ax=b entonces existen una
diversidad de vectores que satisfacen
Por lo tanto s entonces x no minimiza q(x) y por lo contrario si
Ax=b no existe ningn rayo unidimensional que salga de x sobre el
cual q(x) tome un valor menor a q(x), en consecuencia una x con las
caractersticas es un mnimo para q(x).
Debemos manifestar que la reflexin anterior sugiere la
existencia de los mtodos iterativos para resolver Ax=b, luego
entonces procedemos de manera natural por minimizar q(x) a lo largo
de una sucesin de rayos. Es decir el algoritmo dispondr de un
proceso de:,
En seguida nos preocupa determinar la direccin de bsqueda
adecuada Nuestro algoritmo ser:,
En donde
,
Debemos decir que una diversidad de mtodos iterativos tienen la
forma general:
. Para valores particulares del escalar tK, y los valores de vK,
si , entonces tk, mide la distancia que nos movemos de xK, para
hasta la obtencin de xk+1, ver la siguiente figura.
Figura No. Representacin del movimiento a lo largo del vector de
direccin vKMTODO DEL DESCENSO MS RPIDO
Este mtodo se le considera dentro del grupo de mtodos iterativos
que usan el algoritmo anterior, considera que vK, debera ser el
gradiente negativo de q(x) en x(k), resultando que este gradiente
apunta en la direccin del residuo Es decir tenemos:input x(0), A,
b, M
output 0, x(0)for k=0,1,2,, M-1 do
,
.
output k+1, x(k+1)end
Debemos destacar al programar este algoritmo no es necesario
conservar los vectores de la sucesin , lo mismo ocurre con , de
manera el algoritmo seria:
input x, A, b, M
output 0, x)for k=0,1,2,, M-1 do
,
.
output k, x)end
Debemos destacar que este mtodo generalmente no se aplica a este
tipo de problemas como consecuencia de su lentitud.MTODO DEL
GRADIENTE CONJUGADO Otro mtodo considerado dentro del algoritmo
analizado anterior es el mtodo del gradiente conjugado de Hestenes
y Stiefel, el cual es aplicado a sistemas de la forma Ax=b, en
donde A es considerada simtrica y definida positiva.
En este mtodo las direcciones vK , son elegidas de una en una en
el proceso iterativo y forman un sistema A-ortogonal, los residuos
forman un sistema ortogonal es decir ,
Debemos decir que este mtodo es preferible que el mtodo de
eliminacin Gaussiana simple cuando la matriz A es muy grande y
rala.Este mtodo en su inicio fue muy sorprendente e importante pero
despus de dos dcadas las cosas ya no fue as como consecuencia que
se descubri que la terminacin finita no era asequible en la
prctica.
Pues la terminacin finita era indeseable para un mtodo directo,
sin embargo posteriormente cuando se le considero como un mtodo
iterativo las cosas fue diferente, pues en estos mtodos no es
necesario obtener una solucin absoluta despus de n pasos lo que se
espera es obtener una respuesta satisfactoria.
La ejecucin del algoritmo en una computadora precisa de un lugar
de almacenamiento para cuatro vectores ,
MTODO DE RELAJACIN DE SOR Este mtodo es muy similar al mtodo de
Jacobi y Gauss Seidel se diferencia por usar una escala para
reducir el error de aproximacin, es una metodologa mas reciente,
para determinar X(k) lo realiza con el modelo:,0bsevemos que cuanto
w=1, tenemos de Gauss-Seidel, cuanto 0