C ÁLCULO D IFERENCIAL C C u u a a d d e e r r n n o o d d e e A A p p u u n n t t e e s s A A p p r r e e n n d d e e m m @ @ s s S S o o b b r r e e : : C C á á l l c c u u l l o o d d e e M M á á x x i i m m o o s s y y M M í í n n i i m m o o s s Ing. Miguel Angel Carrillo Valenzuela
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Criterio de la primera derivada. Primer Paso. Derivar la ecuación. Segundo Paso. Igualar la derivada a 0 y factorizar para obtener valores de x, cada valor se llama valor crítico donde puede existir un máximo o un mínimo. Tercer Paso. Cada valor crítico se analiza de la siguiente manera:
Valor máximo relativo.
Se dice que la función tiene un
valor máximo relativo en “c” ya que
la derivada en un punto anterior a
“c” es positiva y en un punto
posterior es negativa.
En la figura de la derecha (fig.1) se
puede observar un ejemplo de una
función que tiene un valor máximo
relativo en c. Dicho valor es d y
ocurre en c.
Se llama máximo absoluto al valor
que esté más hacia arriba de la
figura geométrica.
(fig.1)
Valor mínimo relativo:
Se dice que la función tiene un
valor mínimo relativo en “c” ya que
la derivada en un punto anterior a
“c” es negativa y en un punto
posterior es positiva.
En la figura de la derecha (fig.2) se
puede observar un ejemplo de una
función que tiene un valor mínimo
relativo en c. Dicho valor es d y
ocurre en c.
Se llama mínimo absoluto al valor
que esté más hacia debajo de la
figura geométrica.
(fig.2)
CÁLCULO D IFERENCIAL
Se le resta un valor muy pequeño al valor entero (.0001); se sustituye en la derivada y se observa el signo del resultado.
Se le suma un valor muy pequeño al valor entero (.0001); se sustituye en la derivada y se observa el signo del resultado.
Si “a” fue positivo y “b” fue negativo en el valor crítico hay un máximo. Si “a” fue negativo y “b” fue positivo en el valor crítico hay un mínimo. Si los signos son iguales no es máximo ni mínimo.
Cuarto Paso. Se obtiene el valor de “y” para tener el punto completo, sustituyendo el valor crítico en la ecuación general. Criterio de la segunda derivada: El paso 1, 2, y 4 son iguales al método anterior. Tercer paso. Se obtiene la segunda derivada, en la segunda derivada se sustituye cada valor crítico, si el resultado es positivo hay un mínimo en ese valor crítico; si el resultado es negativo, hay un máximo en ese valor crítico, si no hay signo se analiza con el primer método o bien es un punto de inflexión Ejemplos 1. De la ecuación y = 1 x3 + 1 x2 – 6x + 8, obtener los máximos y mínimos.
3 2 Primer Paso. Derivar la ecuación
dy = d(1/3 x3 + ½ x2 – 6x – 8) dx dx dy = 1 (3x2) + 1 (2x) - 6 dx 3 2 dy = x2 + x – 6 dx
Segundo Paso. Factorizar e igualar a cero cada factor
x2 + x – 6 (x + 3)(x – 2) x + 3 = 0 x = -3 x – 2 = 0 x = 2
CÁLCULO D IFERENCIAL
Tercer Paso por el Primer método: Para el primer valor crítico
-3 - .0001 = - 3.0001 Restar un valor muy pequeño x2 + x – 6 = (-3.0001)2 + (-3.0001) – 6 = + -3 + .0001 = -2.9999 x2 + x – 6 = (-2.9999)2 + (-2.9999) – 6 = –
a) ---- + hay un máximo en x = – 3 b) ---- -
Para el segundo valor crítico 2 - .0001 = 1.9999 x2 + x – 6 = (1.999)2 + (1.999) – 6 = – 2 + .0001 = 2.0001 x2 + x – 6 = (2.0001)2 + 2.001 – 6 = +
a) = - hay un mínimo en x = 2 b) = +
Tercer Paso por el Segundo método:
x2 + x – 6 2x + 1 Se obtiene la segunda derivada de la ecuación
x = -3 2(-3) + 1 = 0 -6 + 1= -5 es un máximo por el signo negativo x = 2 2(2) + 1 = 0 4 + 1= 0 = + 5 es un mínimo por el signo positivo
2. Obtener máximos y mínimos de la ecuación y = x4 + 2x3 – 3x2 – 4x + 4
4x3 + 6x2 – 6x – 4 (factorizar) (x – a) a = número que encontré de todos los posibles combinaciones para multiplicar que dé – 4 ( 2 -2 = -4, -4 1 = -4, 4 -1 = -4 ) de todos los múltiplos sustituimos , hasta encontrar uno que dé 0 al sustituir. 4x3 + 6x2 – 6x – 4 4(1) 3 + 6(1) 2 – 6(1) – 4= 0
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(x – 1) ÷ (4x3 + 6x2 – 6x – 4) (resolvemos la división) 4x2 + 10x + 4 (x – 1) 4x3 + 6x2 – 6x – 4 -4x3 + 4x2 10x4 – 6x -10x4 + 10x 4x – 4 -4x + 4 0 (x – 1)( 4x2 + 10x + 4) (se sigue factorizando) (2x + 4) (2x + 1) (x – 1)(2x + 4)(2x + 1) x -1 = 0 x = 1 x = 1 2x + 4 = 0 x = -4/2 x = -2 2x + 1 = 0 x = -1/2 x = -1/2 Paso tres por el segundo método: 4x3 + 6x2 – 6x – 4 Derivar la derivada dy = 12x2 + 12x -6 – 0 dx
RReessuullttaaddoo FFiinnaall
PPaarraa xx == 11 1122((11))22 ++ 1122((11)) –– 66 == ++ ((mmíínniimmoo eenn xx == 11))
PPaarraa xx == --22 1122((--22))22 ++ 1122((--22)) –– 66 == ++ ((mmíínniimmoo eenn xx == --22))
PPaarraa xx == --11//22 1122((--11//22))22 ++ 1122((--11//22)) –– 66 == -- ((mmááxxiimmoo eenn xx == --11//22))
Ejercicios para hacer en Casa
Obtener los máximos y mínimos en los siguientes ejercicios
1. y = x4 + 2x3 – 3x2 – 4x + 4
2. y = 1/3 x3 + ½ x2 – 6x + 8
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Problemas Aplicados de Máximos y Mínimos
1. Se tiene una lámina circular que tiene de radio 70 cm. De la que se desea
cortar un rectángulo de la mayor área posible.
a) ¿Qué medidas debe tener el rectángulo? b) ¿Cuál debe ser el área máxima)
Algunas formas de recortar rectángulos en el círculo
Si representamos la longitud del rectángulo con L y la anchura con A.
siendo el diámetro D = 2 r = 140 cm. Puesto que el diámetro del círculo es
la recta transversal del rectángulo, que lo divide en dos triángulos
rectángulos:
Por el teorema de Pitágoras: L2 + A2 = D2 (140 cm.)2
L2 + A2 = 19600
A = √19600 - L2
El área (Y) del rectángulo será Y = (L)(A) = (L) (√ 19600 - L2) obteniendo
el máximo de la función por algunos de los métodos para obtener
máximos y mínimos.
Y = (L) (√ 19600 - L2)
Y = (L)( ½ ) ( 19600 - L2) – ½ (– 2L) + (√ 19600 - L2)
Se iguala la derivada a cero
Largo = 98.99
Por el método de la primera derivada se obtiene que en L=98.99 hay un
máximo.
Ancho = √19600 - L2 = 98.99
Área = (L)(A) = ( 98.99)(98.99) = 9800 cm2
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2. Con una malla de 380 m. se desea cercar un terreno rectangular.
¿Cuáles deben ser las medidas del terreno para que su área sea máxima?
Se pueden cercar infinidad de terrenos rectangulares con una malla de 380 m.
aquí algunos casos.
largo ancho Perímetro Area
1 110 m. 80 m 380 m 8800 m2
2 140 m. 50 m 380 m 7000 m2
3 112 m. 78 m 380 m 8736 m2
4 100 m. 90 m 380 m 9000 m2
5 120 m. 70 m 380 m 8400 m2
Suponiendo A = área del terreno, b = longitud y h = anchura, podemos plantear
la función.
A = b h
Siendo una función de dos variables, ponemos una en función de la otra:
Perímetro de rectángulo = 2b +2h = 380
2b = 380 - 2h b = 190 - h
La función con una variable es: A = (190 - h) h = 190 h - h2
Calculando el máximo de la función: A = 190 h - h2
A = 190 - 2 h
190 - 2 h = 0 h = 95
Por el método de la segunda derivada. Se obtiene A” = - 2 al ser negativa la
segunda derivada, hay un máximo en h = 95
A = 190 h - h 2 = 190 (95) - (95) 2 = 9025
B = 190 - h = 190 - 95 = 95
Por lo tanto, el terreno es un cuadrado que mide 95 m por lado y su área es
de 9025 m2
3. A las 3:00 PM la persona A se encuentra a 150 Km. Al oriente de la
persona B. La persona A se dirige al poniente a razón de 10 Km./h y la
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persona B hacia el sur a 20 Km./h. Si ambos mantienen sus rumbos y
velocidades
a) ¿Cuándo estarán más próximos entre sí?
b) ¿Cuál es la distancia mínima a la que se acercarían?
Consideremos Ao y Bo las posiciones de las personas a las 3:00 PM y A1
y B1 sus posiciones X horas después.
La distancia recorrida en X horas es 10X y 20X respectivamente.
La distancia entre las dos personas (Y) se puede representar en la