Universidad de Manizales INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL JULIAN GONZ`LEZ LÓPEZ ALVARO SALAS SALAS
Universidad de Manizales
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
JULIAN GONZÁLEZ LÓPEZ ALVARO SALAS SALAS
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
JULIÁN GONZÁLEZ LÓPEZProfesor Asociado
Universidad de Manizales �Departamento de MatemáticasUniversidad de Caldas - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Departamento de Matemáticas
ALVARO SALAS SALASProfesor Auxiliar
Universidad de Caldas - Facultad de Ciencias Exactas y NaturalesDepartamento de Matemáticas
Manizales, Octubre de 2000
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
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INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
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TABLA DE CONTENIDO
CAPÍTULO I. PROGRAMACIÓN LINEAL.
INTRODUCCIÓN 1
1.1. Modelos de programación lineal 3
1.1.1. Forma matricial del modelo de programación lineal 4
1.1.2. Forma estándar de un modelo de programación lineal 4
1.2. Formulación de modelos de programación lineal 8
Ejercicios propuestos 20
CAPÍTULO II. MÉTODO GRÁFICO PARA RESOLVER MODELOS DE
PROGRAMACIÓN LINEAL CON DOS VARIABLES DE DECISIÓN.
INTRODUCCIÓN 23
2.1. Método gráfico para el caso de dos variables de decisión 23
2.1.1. Graficación de un sistema de desigualdades 24
2.1.2. Isocuantas de la función objetivo 27
Ejercicios propuestos 32
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6
CAPÍTULO III. MÉTODO SÍMPLEX.
INTRODUCCIÓN 35
3.1. Preparación para el método símplex 37
3.1.1. Variables de holgura
3.2. Forma algebraica del método símplex 41
3.3. Forma tabular del método símplex 56
3.4. Método símplex usando la técnica M (método de penalización) 67
Ejercicios propuestos 71
HOJA DE RESPUESTAS 73
BIBLIOGRAFIA 76
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
7
PRESENTACIÓN
La Investigación de Operaciones y en particular una de sus áreas �la programación lineal� hatenido bastante difusión y aplicación en los últimos años. La necesidad de asignar en formaóptima, entre diversas actividades, recursos en general escasos como; dinero, mano de obra,energía, materia prima y muchos otros factores limitados; es importante para el profesionalque en su ejercicio diario requiere tomar decisiones.
La �programación matemática� dentro de la cual se encuentran los modelos de programaciónlineal difiere de los métodos de optimización clásica, ya que enfrenta problemas donde laslimitaciones o restricciones se expresan como desigualdades, lo que le imprime mayor realis-mo a los modelos; en estos casos los métodos clásicos basados en el cálculo no funcionan.
Este libro presenta de una manera sencilla, los conceptos básicos de la programación lineal yalgunas de sus múltiples aplicaciones; va dirigido a estudiantes de las ciencias económico-administrativas y solo requiere de parte del lector conocimientos básicos de álgebra matricial.
En el capítulo I se exponen los modelos de programación lineal y la solución de problemascuyo planteamiento conduce a este tipo de modelos. El capítulo II presenta la solución demodelos de programación lineal con dos variables de decisión a través del método gráfico.El capítulo III desarrolla el algoritmo simplex inicialmente en forma algebraica con lo cual sebusca una mejor comprensión de éste por parte del estudiante y posteriormente en su formatabular más eficiente desde el punto de vista computacional.
El capítulo IV muestra la implementación del algoritmo simplex en la plataforma del paqueteMATHEMATICA a través de un programa interactivo, el cual permite además analizar loscasos especiales que se presentan en estos modelos tales como; modelos sin solución, consoluciones óptimas alternativas y no acotados, se proporcionan también los criterios paradetectar en el desarrollo del algoritmo la presencia de éstas situaciones.
Agradecemos a nuestros lectores sus sugerencias y comentarios a fin de mejorar este mate-rial en futuras ediciones.
JULIAN GONZALEZ LOPEZ
ALVARO SALAS SALAS
Manizales, septiembre de 2000
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INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
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CAPÍTULO IPROGRAMACIÓN LINEAL
INTRODUCCIÓN
Uno de los problemas fundamentales en la toma de decisiones es elegir dentro de un conjunto
posible de alternativas (soluciones factibles de un problema de interés), la mejor decisión, o la
óptima, según un criterio previamente definido.
La optimización es una técnica que busca, con base en distintos modelos matemáticos,
la asignación eficiente de recursos, siempre escasos, requeridos en diversas activida-
des productivas que compiten entre sí, con el propósito de satisfacer los objetivos de-
seados en el sector productivo, financiero, agrícola, entre otros, y que suelen ser la
maximización o minimización de alguna cantidad tal como: costo, beneficio, tiempo,
desperdicio, etc.
Existen varios métodos de optimización; algunos clásicos utilizan el cálculo diferencial y fun-
cionan bien en muchos casos; los no clásicos, cuyo desarrollo es más reciente, se basan en
una serie de modelos llamados Modelos de Programación Matemática, como los modelos
de programación lineal, modelos de programación entera, modelos de programación no li-
neal, etc.
Los modelos de programación matemática relacionan una variable de interés �Z� que se
desea �optimizar� en términos de un conjunto de variables x1, x
2, �, x
n, denominadas
variables de decisión, conformando una función objetivo que matemáticamente se ex-
presa así:
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Z = f (x1, x
2, � x
n)
La optimización de la variable �Z� normalmente está sujeta o condicionada a un conjunto de
restricciones que son impuestas por el medio, o que reflejan limitaciones reales. Dichas
restricciones se expresan en función de las variables de decisión a través de ecuaciones o
inecuaciones según el tipo de limitación. Matemáticamente una restricción se expresa de la
siguiente forma:
gi (x
1, x
2, �, x
n) ≤≤≤≤≤ = ≥≥≥≥≥ b
i con i = 1, 2, 3, �, n
Por la naturaleza de las variables de decisión x1, x
2, � x
n, puede ser necesario agregar
restricciones adicionales; por ejemplo, que sean enteras, o que sean no negativas.
Resumiendo, un modelo de programación matemática adopta la siguiente forma:
maximizar o minimizar. [ Z = f (x1, x
2, �, x
n)] Función Objetivo
Sujeta a:
g1 (x
1, x
2, �, x
n) ≤≤≤≤≤ = ≥≥≥≥≥b
1
g2 (x
1, x
2, �, x
n) ≤≤≤≤≤ = ≥≥≥≥≥b
2
. Restricciones Principales
.
.g
m (x
1, x
2, �, x
n) ≤≤≤≤≤ = ≥≥≥≥≥b
m
x1 ≥≥≥≥≥ 0, x
2 ≥≥≥≥≥ 0, �, x
n ≥≥≥≥≥ 0 Restricciones de no Negatividad
En este modelo de programación matemática los métodos clásicos de optimización basados
en el cálculo diferencial no funcionan debido a la presencia de restricciones expresadas como
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
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desigualdades, por lo cual es necesario desarrollar nuevos métodos para encontrar la solu-
ción óptima.
Los métodos de optimización no clásicos utilizan técnicas iterativas (paso a paso) los que
en la actualidad con ayuda de los ordenadores resultan relativamente fáciles de implementar,
permitiendo la solución de problemas donde intervienen gran cantidad de variables y de
restricciones.
1. 1. MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Un modelo de programación lineal es un modelo de programación matemática donde
la función objetivo y las restricciones son lineales; es decir, tiene la forma:
max. o min. [ Z = c1 x
1 + c
2 x
2 + c
3 x
3 + � + c
n x
n ]
Sujeta a:
a11
x1 + a
12 x
2 + � + a
1n x
n ≤≤≤≤≤ = ≥≥≥≥≥ b
1
a21
x1 + a
22 x
2 + � + a
2n x
n ≤≤≤≤≤ = ≥≥≥≥≥ b
2
. . .
. . .
. . .
am1
x1 + a
m2 x
2 + � + a
mn x
n ≤≤≤≤≤ = ≥≥≥≥≥ b
m
x1 ≥≥≥≥≥ 0, x
2 ≥≥≥≥≥ 0 � x
n ≥≥≥≥≥ 0
Las restricciones de no negatividad no son estrictamente necesarias, sin embargo, en proble-
mas de naturaleza económica o financiera, entre otros, suelen estar presentes.
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12
En el modelo de programación lineal se tiene que: Z es la función objetivo o variable a
optimizar, x1, x
2 , �, x
n son las variables de decisión y c
1, c
2 , �, c
n , a
11, a
12 , �, a
mn ,
b1, b
2 , �, b
mson los parámetros.
Los parámetros se pueden interpretar según el contexto donde surja el modelo; de esta forma
se tiene que: c1, c
2 , �, c
n , son beneficios unitarios, costos unitarios o precios unitarios, entre
otros, ai j
para i= 1, 2, �, m ; j = 1, 2, �, n son los coeficientes tecnológicos y b1, b
2
, �, bm pueden representar recursos disponibles, o bien demandas, etc.
1.1.1. FORMA MATRICIAL DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL
El modelo de programación lineal puede escribirse de una manera más compacta usando la
notación matricial, así:
C=
c1
c2
.
.
.cn
, A=
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .am1 am2 . . . amn
, X=
x1
x2
.
.
.xn
, B=
b1
b2
.
.
.bm
c1
c2
.
.
.c
n
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
13
El modelo queda:
max. o min. [ Z = C�X ]
Sujeta a
0X
B AX
≥≥=≤
con C� = Matriz transpuesta de C
1.1.2. FORMA ESTÁNDAR DE UN MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL.
Un modelo de programación lineal puede escribirse de tal forma que sus restricciones princi-
pales sean todas de igualdad, es decir, que formen un sistema lineal de ecuaciones. Lo
anterior es necesario para su solución por el método Símplex. El modelo de programación
lineal así expresado se conoce como �Modelo de Programación Lineal en Forma Estándar�.
Para escribir una desigualdad como igualdad es necesario sumar o restar una variable adicio-
nal según sea del tipo menor o igual o mayor o igual, así:
gi (x
1, x
2, �, x
n ) ≤≤≤≤≤ b
i ↔↔↔↔↔ g
i(x
1, x
2, �, x
n) + X
i = b
i
gk(x
1, x
2, �, x
n) ≥≥≥≥≥ b
k ↔↔↔↔↔ g
k(x
1, x
2, �, x
n) - X
k = b
k
Las variables Xi o X
k se denominan Variables de holgura y excedente, deben ser no
negativas y su significado o interpretación económica se hace en el contexto de un problema
real.
Un modelo de programación lineal está en forma estándar si cumple las siguientes condicio-
nes:
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� Todas las restricciones, con excepción de las restricciones de no negatividad son igualdades.
� Los elementos del lado derecho de cada igualdad son no negativos (≥≥≥≥≥ 0).
� Todas las variables son no negativas (≥≥≥≥≥ 0).
� Se tiene como objetivo maximizar o minimizar Z.
Ejemplo 1.1. Escriba el siguiente modelo de programación lineal en su forma estándar.
min. [Z = x1 - 3x
2 ]
sujeta a:
-x1 + 2x
2 ≤≤≤≤≤ 5
x1 + 3x
2 = 10
x1 , x
2 son irrestrictas en signo.
Nota: Cuando se dice que una variable es irrestricta en signo, significa que ella puede tomar
valores positivos, negativos o cero.
Solución: Se debe obtener un modelo con todas las variables de decisión no negativas,por
lo cual se definen x1 , x
2 en terminos de las variables x
1+, x
1-, x
2+, x
2- no negativas.
x1 = x
1+ - x
1- con x
1+ ≥≥≥≥≥ 0 y x
1- ≥≥≥≥≥ 0 .
x2 = x
2+ - x
2- con x
2+ ≥≥≥≥≥ 0 y x
2- ≥≥≥≥≥ 0 .
Reemplazando x1 , x
2, el modelo queda:
min. [ Z = x1+ - x
1- - 3x
2+ + 3x
2- ]
sujeta a:
-x1
+ + x1
- + 2x2
+ - 2x2- ≤≤≤≤≤ 5
x1+ - x
1- + 3x
2+ - 3x
2- = 10
x1+, x
1-, x
2+, x
2- ≥≥≥≥≥ 0
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
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Nota: Si al resolver este modelo se obtienen valores para x1+, x
1- entonces en el modelo
original el valor de x1 será x
1 = x
1+ - x
1- La misma aclaración es válida para las demás
variables.
Llevando la primera restricción a igualdad sumándole una variable de holgura X3 en el lado
izquierdo, obtenemos la forma estándar:
min. [Z = x1+ - x
1- - 3x
2+ + 3x
2- ]
sujeta a:
-x1+ + x
1- + 2x
2+ - 2x
2- + X
3 = 5
x1+ - x
1- + 3x
2+ - 3x
2- = 10
x1+, x
1-, x
2+, x
2-, X
3 ≥≥≥≥≥ 0
Ejemplo 1.2. Obtenga la forma estándar del modelo de programación lineal:
max. [Z = x1 - 2x
2 + x
3 ]
sujeta a:
x1 + x
2 + x
3 ≤≤≤≤≤ - 3
2x1 + x
2 - x
3 ≥≥≥≥≥ 1
x1
+ x3 ≤≤≤≤≤ 3
x1 , x
2 ≥≥≥≥≥ 0 , x
3 ≤≤≤≤≤ 0
Solución:
Se define x3
* = - x3 con lo que se obtiene x
3*≥≥≥≥≥ 0
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
16
Reemplazando x3* y
multiplicando por (-1) la primera restricción se llega al modelo:
max. [Z = x1 - 2x
2 -x
3*]
- x1
- x2 + x
3*≥≥≥≥≥ 3
2x1 + x
2 + x
3*≥≥≥≥≥ 1
x1
- x3*≤≤≤≤≤ 3
x1, x
2, x
3* ≥≥≥≥≥ 0
Se agregan las variables de holgura X4 , X
5 , X
6 para obtener la forma estándar:
max. [Z = x1 - 2x
2 - x
3*]
sujeta a:
- x1
- x2 +x
3* - X
4 = 3
2x1 + x
2 +x
3* - X
5 = 1
x1
- x3* + X
6 = 3
x1, x
2 , x
3*, X
4 , X
5 , X
6 ≥≥≥≥≥ 0
1.2. FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Sin duda la formulación de un modelo matemático para una situación real o un fenómeno
natural no es algo fácil. Sin embargo, existen algunas pautas que pueden orientar al alumno en
este proceso. No existen fórmulas mágicas ni recetas, pero sí estrategias que ayudan a
abordar los problemas.
Un problema de optimización, a menudo formulado verbalmente, debe expresarse en térmi-
nos matemáticos. Se recomienda la siguiente estrategia:
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
17
� Con base en una lectura cuidadosa, comprender el problema e identificar las variables
involucradas (variable a optimizar, variables de decisión) y el objetivo (maximizar o mi-
nimizar).
� Separar la información necesaria de la información que no se requiere en la construcción
del modelo. Si es necesario organice adecuadamente la información en cuadros o tablas.
� Definir en forma apropiada las variables de decisión x1 , x
2 , �, x
n y la función objetivo.
Puede realizarse de varias formas, aunque una buena definición de las variables facilita la
construcción del modelo, mientras que otras pueden complicar innecesariamente este
proceso.
� Construir la función objetivo en términos de las variables de decisión. No olvide conside-
rar el análisis de dimensiones, el cual consiste en verificar que las unidades del lado iz-
quierdo de una igualdad o desigualdad coincidan con las unidades del lado derecho. No
tiene sentido, por ejemplo, una igualdad o desigualdad donde el lado izquierdo tiene
unidades de tiempo y el lado derecho unidades de longitud.
� Construir las restricciones en términos de las variables de decisión, de acuerdo con los
aspectos mencionados en el numeral anterior. Cerciórese de que para usted es claro el
significado de expresiones como: por lo menos, a lo sumo, como máximo, cuando mu-
cho, al menos, como mínimo, entre otras. No olvide incluir todas las restricciones.
� Exprese las restricciones implícitas o que aparecen disimuladas en el problema, pero que
son claras por la naturaleza de las variables. Por ejemplo, las variables por su naturaleza
pueden requerir que sean no negativas o enteras, o pueden carecer de restricciones.
Sin ser exhaustivas, las anteriores recomendaciones, a pesar de que no garantizan éxito en la
formulación de modelos, son de gran ayuda en el proceso. Recuerde que el factor principal
es el ingenio y la creatividad en combinación con la experiencia.
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Veamos algunos ejemplos de formulación de modelos de programación lineal, en distintos
campos.
Ejemplo 1.3. Planeación de la Producción.
Una planta industrial puede manufacturar 5 productos (A, B, C, D, E) en cualquier combina-
ción. Cada producto requiere tiempo en 3 máquinas como se muestra en la tabla. Cada
máquina está disponible 128 horas a la semana. Los productos son netamente competitivos
y cualquier cantidad fabricada puede venderse a $5, $4, $5, $4, $4 la libra respectivamente.
Los costos variables por hora de trabajo son $4 para las máquinas 1 y 2, y $3 para la
máquina 3. Los costos de material para cada línea de producto son $2 para A y C y $1 para
B, D, E por libra.
Construya un modelo de programación lineal que permita determinar el nivel óptimo de pro-
ducción (ver Cuadro � Ejemplo 1.3)
Solución:
El nivel óptimo de producción es el número de unidades (libras) a producir de cada producto
A, B, C, D, E, con el fin de obtener la mayor utilidad.
Definición de variables.
Variable a optimizar :
Z :Utilidad en pesos.
Variables de decisión:
x1 , x
2, x
3, x
4, x
5: Número de libras a producir de A, B,C,D y E, respectivamente.
La información básica del sistema de producción se presenta en el siguente cuadro.
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
19
Tiempo en minutos/libraMÁQUINA
PRODUCTO 1 2 3 Precio Venta Costo Materia Prima$/Libra $/Libra
A 12 8 5 5 2
B 7 9 10 4 1
C 8 4 7 5 2
D 10 0 3 4 1
E 7 11 2 4 1
Cuadro � Ejemplo 1.3
Construcción de la función objetivo: Para construir la función objetivo se requiere cono-
cer la utilidad por libra de cada producto.
Costos por libra de cada producto:
Una libra de producto A requiere:
Materia prima $ 2
12 Minutos en la máquina A a hora
$4 da
hora
$4horas
60
12 × = $ 0.8
8 Minutos en la máquina B a hora
$4 da
hora
$4horas
60
8 × = $ 0.53
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20
5 Minutos en la máquina C a hora
$3 da
hora
$3horas
60
5 × = $ 0.25
Total Costo Libra producto A $ 3.583
De igual forma obtenemos los costos por libra de los otros productos que aparecen en la tabla.
La utilidad por libra de cada producto se obtiene restando del precio de venta por libra el
costo por libra. Se propone al lector la verificación de las cifras en la siguiente tabla:
PRODUCTO Precio × Libra en $ Costo × Libra en $ Utilidad × Libra en $
A 5 3.583 1.417
B 4 2.567 1.433
C 5 3.150 1.850
D 4 1.817 2.183
E 4 2.300 1.700
Por lo tanto la función de utilidad se construye sumando la utilidad total obtenida para x1
libras
de A, x2
libras de B, x3
libras de C, x4
libras de D, x5 libras de E obteniéndose:
Z = 1.417x1
+ 1.433x2
+ 1.85x3
+ 2.183x4
+ 1.7x5
Construcción de las restricciones: Cada máquina impone una restricción, pues la disponi-
bilidad en horas a la semana está limitada a 128 horas o sea 7680 minutos.
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
21
Totalizando el número de minutos que se ocupa la máquina 1 en la producción de x1
libras
de A, x2
libras de B, x3
libras de C, x4
libras de D, x5
libras de E, éste no debe
sobrepasar el tiempo total disponible, es decir debe ser menor o a lo sumo igual a 7680
minutos.
Máquina 1.
7680x7x10x8BlibraxBlibra
min7Alibrax
Alibra
min12 54321 ≤++++
La restricción queda:
12x1
+ 7x2
+ 8x3
+ 10x4
+ 7x5
≤≤≤≤≤ 7680.
De igual forma se tiene restricción de tiempo para el uso de las máquinas 2 y 3 así:
Máquina 2 8x1
+ 9x2
+ 4x3
+ 10x5
≤≤≤≤≤ 7680
Máquina 3 5x1
+ 10x2
+ 7x3
+ 3x4 + 2x
5 ≤≤≤≤≤ 7680
Se deja como ejercicio la deducción de estas dos últimas restricciones.
Como las variables de decisión son el número de libras a producir de cada producto, ésta
debe ser una cantidad no negativa, es decir, 0 (cero) o positiva, por lo que son necesarias las
restricciones de no negatividad sobre las variables de decisión.
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22
El modelo de programación lineal finalmente queda:
max [ Z = 1.417x1
+ 1.433x2
+ 1.85x3
+ 2.183x4
+ 1.7x5 ]
sujeta a:
12x1
+ 7x2
+ 8x3
+ 10x4
+ 7x5
≤≤≤≤≤ 7680
8x1
+ 9x2
+ 4x3
+ + 11x5
≤≤≤≤≤ 7680
5x1
+ 10x2
+ 7x3
+ 3x4
+ 2x5
≤≤≤≤≤ 7680x
1, x
2, x
3, x
4, x
5 ≥≥≥≥≥ 0
Ejemplo 1.4. Planeación Financiera
Un empresario tiene la opción de invertir su dinero en dos planes: el plan A le garantiza que
cada peso invertido ganará 70 centavos dentro de un año, el plan B le ofrece que en 2 años
su dinero se triplica, pero exige que las inversiones sean por periodos múltiplos de dos años.
Construya un modelo de programación lineal para saber cuál será un plan de inversión para
$1.000.000 con el fin de obtener el máximo dinero posible en el año 3.
Solución:
Con un diagrama de tiempo se definen las variables en forma apropiada, las flechas hacia
abajo son las inversiones y hacia arriba representan las rentas o ingresos.
Plan A
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
23
Plan B (Inversiones por períodos múltiplos de dos años)
B0X B1X
B0X3 B1X3
0 1 2 3 Años
Sea Xi j : Cantidad de dinero a invertir en el plan j (j = A , B) en el año � i � ( i = 0, 1, 2 )
El objetivo es maximizar la suma de dinero disponible en el año 3. Sea Z suma de dinero a
retirar en el año 3, es decir Z = 1.7X2A
+ 3X1B
Las restricciones se relacionan con la cantidad de dinero disponible en cada período anual.
En � 0 � hay disponible 1000000. Por lo tanto, X0A
+ X0B
≤≤≤≤≤ 1000000
En � 1 � hay disponible 1.7XOA .
Por lo tanto, X1A
+ X1B
≤≤≤≤≤ 1.7XOA
En � 2 � hay disponible 1.7X1A
+ 3XOB
, luego X2A
≤≤≤≤≤ 1.7X1A
+ 3X0B
Además, X0A,
X1A,
X2A,
X0B ,
X1B
≥≥≥≥≥ 0 , X2B
= 0
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
24
El modelo de programación lineal queda:
max [ Z = 1.7X2A
+ 3X1B
]
Sujeta a:
X0A
+ X0B
<<<<< 1000000
1.7X0A
- X1A
- X1B ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ 0
1.7X1A
- X2A
+ 3XOB
≥ ≥ ≥ ≥ ≥ 0
X0A
, X1A
, X2A
, X0B
, X1B
≥ ≥ ≥ ≥ ≥ 0
Ejemplo 1.5. Puntos de Equilibrio Múltiple
La compañía �ATI S.A.� fabrica dos tipos de productos A y B. La firma ha contratado
800 unidades de A y desea saber cuál es el punto de equilibrio óptimo teniendo la siguiente
información:
Precio $/Unidad Costo $/Unidad Costos Fijos
Producto A 500 300 180000
Producto B 750 340 270000
Solución:
Sean X1
: Número de unidades del producto A vendidas y producidas.
X2 : Número de unidades del producto B vendidas y producidas
Y : Ingresos por la venta del número de unidades producidas de A y B.
C : Costo de producir X1
unidades de A y X2 unidades de B.
El equilibrio se logra cuando los ingresos son iguales a los costos.
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
25
Como Y = 500X1 + 750X
2$ (Ingresos)
C = 300X1 + 340X
2 + 450000 $ (costos)
Equilibrio Y - C = 0
Recta de Equilibrio: 200X1 + 410X
2 = 450000
Si dibujamos la recta de equilibrio tenemos:
Para buscar el punto de equilibrio debe asumirse algún criterio.
Caso 1: Si el criterio es maximizar los ingresos se tiene el siguiente modelo:
max [ Y = 500X1 + 750X
2 ]
Sujeta a:
200X1 + 410X
2 = 450000 (Equilibrio)
X1
≥≥≥≥≥ 800 (Demanda comprometida)
X1 , X
2 ≥≥≥≥≥ 0
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26
Caso 2: Si el criterio es minimizar costos se obtiene el modelo.
min. [ C = 300X1 + 340X
2 ]
sujeta a:
200X1 + 410X
2 = 450.000
X1
≥≥≥≥≥ 800
X1, X
2≥≥≥≥≥ 0
Ejemplo 1.6. Mezclas.
Un vinatero desea mezclar vino de 5 años diferentes para fabricar tres tipos de vino mezclados.
La oferta disponible en galones del año � i � (con i = 1, 2, 3, 4, 5) es de 800, 900, 500, 900
y 600 respectivamente. La mezcla A se considera especial por lo que no se producirán más
de 200 galones (ver Tabla � Ejemplo 1.6)
¿Cuántos galones debe producir de cada mezcla para maximizar el beneficio? Elabore un
modelo de programación lineal.
Solución:
Para definir las variables de decisión en este caso conviene usar doble subíndice.
Sea Xij
: Cantidad en galones del año i (i = 1, 2, 3, 4 , 5) utilizados en la mezcla j ( j = A,
B, C). Luego se tienen 15 variables de decisión a saber:
X1A
X2A
X3A
X4A
X5A
X1B
X2B
X3B
X4B
X5B
X1C
X2C
X3C
X4C
X5C
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
27
La siguiente tabla da los requerimientos y el beneficio por galón para cada tipo de vino
mezclado.
MEZCLA REQUISITO Beneficio por Galón en $
A Al menos el 60% debe provenir 4000de los años 1 y 2 y no más del
10% de los años 4 y 5.
B Al menos el 50% debe provenir 3000de los años 1, 2 y 3.
C No más del 50% del año 5. 2500
Tabla � Ejemplo 1.6
Función Objetivo: Z (utilidad en $)
Objetivo: Maximizar utilidad.
Se tiene además que:
∑=
5
1i
iAX ; Cantidad total de galones producidos de la mezcla A.
∑=
5
1i
iBX ; Cantidad total de galones producidos de la mezcla B.
∑=
5
1i
iCX ; Cantidad total de galones producidos de la mezcla C.
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
28
La función utilidad queda entonces:
Z = 4.000 ∑=
5
1i
iAX + 3.000 ∑=
5
1i
iBX + 2.500 ∑=
5
1i
iCX
Restricciones asociadas con la calidad del vino mezclado: Las restricciones determinan
la calidad del la mezcla.
Para el vino mezclado tipo A: Por lo menos el 60% de los años 1 y 2;
6.0
X
XX5
1iiA
A2A1 ≥+
∑=
Se obtiene la restricción lineal:
0.6 ∑=
5
1i
iAX - X1A
- X2A
≤≤≤≤≤ 0
No más del 10% de los años 4 y 5:
1.0
X
XX5
1iiA
A5A4 ≤+
∑=
Se obtiene la restricción lineal:
0.1 ∑=
5
1i
iAX - X4A
- X5A
≥≥≥≥≥ 0
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
29
Para el vino mezclado tipo B: Al menos el 50% debe provenir de los años 1, 2 , 3:
5.0
X
XXX5
1iiB
B3B2B1 ≤++
∑=
Se obtiene la restricción lineal :
0.5 ∑=
5
1i
iBX - X1B
- X2B
- X3B
≤≤≤≤≤ 0
Para el vino mezclado tipo C: No más del 50% del año 5.
5.0
X
X5
1iiC
C5 ≤
∑=
De donde resulta la restricción lineal:
0.5 ∑=
5
1i
iCX - X5C
≥≥≥≥≥ 0.
Restricciones debido a la disponibilidad de recursos:
Oferta de vino del año 1 X1A
+ X1B
+ X1C
≤≤≤≤≤ 800
Oferta de vino del año 2 X2A
+ X2B
+ X2C
≤≤≤≤≤ 700
Oferta de vino del año 3 X3A
+ X3B
+ X3C
≤≤≤≤≤ 500
Oferta de vino del año 4 X4A
+ X4B
+ X4C
≤≤≤≤≤ 900
Oferta de vino del año 5 X5A
+ X5B
+ X5C
≤≤≤≤≤ 600
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
30
De la mezcla A no se producirán más de 200 galones.
X1A
+ X2A
+ X3A
+ X4A
+ X5A
≤≤≤≤≤ 200
Restricciones de no negatividad: Todas las variables deben ser no negativas.
Xij ≥≥≥≥≥ 0 para i = 1, 2, 3, 4, 5; j = A, B, C.
Finalmente, el modelo de 15 variables con 10 restricciones queda:
max [Z = 4.000 ∑=
5
1i
iAX + 3.000 ∑=
5
1i
iBX + 2.500 ∑=
5
1i
iCX ]
sujeto a:
0.6 ( ∑=
5
1i
iAX ) - X1A
- X2A
≤≤≤≤≤ 0
0.1 ( ∑=
5
1i
iAX ) - X4A
- X5A
≥≥≥≥≥ 0
0.5 (∑=
5
1i
iBX ) - X1B
- X2B
- X3B
≤≤≤≤≤ 0
0.5 ( ∑=
5
1i
iCX ) - X5C
≥≥≥≥≥ 0
X1A
+ X1B
+ X1C
≤≤≤≤≤ 800
X2A
+ X2B
+ X2C
≤≤≤≤≤ 700
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
31
X3A
+ X3B
+ X3C
≤≤≤≤≤ 500
X4A
+ X4B
+ X4C
≤≤≤≤≤ 900
X5A
+ X5B
+ X5C
≤≤≤≤≤ 600
X1A
+ X2A
+ X3A
+ X4A
+ X5A
≤≤≤≤≤ 200
Xij ≥≥≥≥≥ 0 i = 1, 2, 3, 4, 5 j = A, B, C
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.1. Un inversionista puede elegir entre los planes de inversión A o B disponibles al
comienzo de cada uno de los próximos cinco años. Cada peso invertido en el plan A al
iniciar un año le reditúa el 42% dos años más tarde, y el plan B le reditúa por cada peso
invertido a principio de año 0.60 pesos tres años más tarde, cantidades que puede
reinvertir. Además cuenta con los planes C y D disponibles una sola vez sin posibilidad
de reinvertir. Cada peso invertido en C al comienzo del segundo año le produce $2
cuatro años más tarde. Cada peso invertido en D al final del tercer año, le produce
$1.70 dos años después. El inversionista comienza con $300.000 y desea conocer cuál
es el plan �óptimo� de inversión que le maximice la cantidad de dinero al final del
quinto año. Construya un modelo de programación lineal y resuélvalo con el paquete
que le recomiende su profesor.
1.2. Un editor imprime un nuevo libro, para lo cual considera dos alternativas de
empastado, en cartón duro o encolado. Un libro en cartón duro deja una utilidad de
$4.000, mientras que en pasta blanda o encolado la utilidad es de tan sólo $900. Para
empastar un libro en cartón duro se requieren 15 minutos y con pasta ordinaria 8 minutos.
Se dispone de 70 horas para empastar y se estima que las ventas serán hasta 200
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
32
copias para el libro con pasta dura y 400 copias a lo sumo del libro encolado. Formule
un modelo de programación lineal que permita saber el número de libros a empastar de
cada clase.
1.3. Un restaurante que presta servicio las 24 horas del día, requiere las siguientes
meseras:
Horas del día 2 - 6 6 - 10 10 - 14 14 - 18 18 - 22 22 - 2
No. Mínimo 4 8 11 6 12 4de Meseras
Cada mesera trabaja 8 horas consecutivas al día. Elabore un modelo de programación
lineal que permita hallar el número óptimo (mínimo requerido) de meseras para cumplir
los requisitos anteriores.
1.4. Una tienda de animales ha determinado que cada Hamster debe recibir al día por
lo menos 78 unidades de proteína, 110 unidades de carbohidratos y 16 unidades de
grasa. Si la tienda vende los 4 tipos de alimentos mostrados. ¿Qué mezcla de alimento
satisface las necesidades nutricionales de los Hamster a un mínimo costo para la tienda?
Elabore un modelo de programación lineal.
Alimento Proteinas Carbohidratos Grasa CostoUnidad/Onza Unidad/Onza Unidad/Onza Centavo/Onza
I 30 30 9 4II 40 25 12 8III 27 23 8 10IV 18 45 5 3
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
33
1.5.Una persona hereda US$6.000 y desea invertirlos. Al oír esta noticia dos amigos
distintos le ofrecen la oportunidad de participar como socio en dos negocios, cada uno
planeado por cada amigo. En ambos casos la inversión significa dedicar un poco de
tiempo el siguiente verano, al igual que invertir en efectivo. Con el primer amigo
tendría que invertir U$5.000 y 400 horas y la ganancia estimada (ignorando el valor
del tiempo) sería U$4.500. Las cifras correspondientes a la proposición del segundo
amigo son U$4.000 y 500 horas, con una ganancia de U$4.500. Sin embargo, ambos
amigos son flexibles y le permitirán entrar en el negocio con cualquier fracción de la
sociedad; la participación en las utilidades sería proporcional a esa fracción. Como el
heredero está buscando un trabajo interesante para el verano (600 horas a lo sumo) ha
decido participar en una o ambas propuestas, con la combinación que maximice la
ganancia total estimada. Formule el modelo de programación lineal para este problema.
1.6. Una compañía manufacturera descontinuó la producción de cierta línea de productos
no redituable, lo cual creó un exceso considerable en la capacidad de producción. La
gerencia quiere dedicar esta capacidad a uno o más de tres productos, llámense productos
1, 2 y 3. En la siguiente tabla se resume la capacidad disponible de cada máquina que
puede limitar la producción.
Tipo de máquina Disponibilidad Coeficiente de productividadHoras - Máquina/Semana Horas - Máquina/Unidad
Prod.1 Prod.2 Prod.3
FRESADORA 500 9 3 5 TORNO 350 5 4 0
RECTIFICADORA 150 3 0 2
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
34
El departamento de ventas ha indicado que las ventas potenciales para los productos
1 y 2 exceden la tasa máxima de producción y que las ventas potenciales del producto
3 son 20 unidades por semana. La ganancia unitaria sería de $50, $20 y $25
respectivamente para los productos 1, 2 y 3. El objetivo es determinar cuántos productos
de cada tipo debe producir la compañía para maximizar la ganancia. Formule un modelo
de programación lineal para este problema.
1.7. En el ejemplo 1.3, verificar los datos del cuadro para la utilidad por libra de cada
producto y deducir las restricciones para las Máquinas 2 y 3.
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
35
CAPÍTULO II
MÉTODO GRÁFICO PARA RESOLVERMODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL CON
DOS VARIABLES DE DECISIÓN
INTRODUCCIÓN
Cuando un modelo de programación lineal tiene dos variables de decisión, las restricciones
determinan regiones del plano. El conjunto de �m� restricciones define por lo tanto una
región del plano que contiene todos los puntos (x1 ,
x2) que las satisfacen. Esta región del
plano se denomina región de soluciones factibles, ya que cualquier punto de ella satisface
las restricciones y por lo tanto es una solución del problema.
De entre todas las soluciones factibles se trata de buscar la solución �óptima�, es decir,
aquella que maximice o minimice la función objetivo.
2.1. MÉTODO GRÁFICO PARA EL CASO DE DOS VARIABLES DE DECISIÓN
Los pasos a seguir para resolver un modelo de programación lineal de dos variables de
decisión usando el método gráfico son:
Paso 1: Dibujar la región de soluciones factibles.
Paso 2: Dibujar algunas isocuantas de la función objetivo, es decir curvas en el plano donde
para cualquier punto sobre cada una de ellas la función objetivo tiene un valor constante.
Las ecuaciones de estas curvas son de la forma Z = const.
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
36
Paso 3: Ubicar el vértice de la región factible donde ocurre el máximo o el mínimo
dependiendo de la dirección en que crecen o decrecen las isocuantas. Una isocuanta crece
en la dirección en que la función objetivo aumenta su valor y decrece en la dirección en que la
función objetivo disminuye su valor.
2.1.1. GRAFICACIÓN DE UN SISTEMA DE DESIGUALDADES
Para determinar la región del plano que satisface una desigualdad de la forma
aX1 + bX
2 +++++ c ≤≤≤≤≤ 0 se procede de la siguiente manera:
� Se dibuja en primer lugar la ecuación ignorando la desigualdad, es decir, graficamos
aX1 + bX
2 + c = 0:
La recta aX1 + bX
2 + c = 0 determina en el plano dos semiplanos denominados I y II.
Los puntos sobre la recta satisfacen la igualdad aX1 + bX
2 + c = 0, los puntos fuera de la
recta en los semiplanos I y II satisfacen las desigualdades ( > ó < ).
c_ __ a
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
37
� Para determinar cuál de los dos semiplanos satisface la desigualdad
aX1 + bX
2 + c < 0 se escoge un punto arbitrario del semiplano I o del II, y se reemplaza en
la desigualdad.
Por ejemplo, puede escogerse el origen (0, 0); si éste satisface la desigualdad, entonces
todos los puntos del semiplano I que contiene a (0, 0) la satisfacen, en caso contrario la
desigualdad la verifican los puntos de la región II.
Ejemplo 2.1. Gráficar la región del plano que satisface la desigualdad 2x1 + 3x
2 ≤≤≤≤≤ 6
Solución: Se grafica la ecuación 2x1 + 3x
2 = 6 :
I
II
1X
2X
I
II6X3X2 21 =+
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
38
Tomamos (0, 0) como punto de prueba:
2(0) + 3(0) < 6
0 < 6 Verdadero
Por lo tanto la región sombreada que contiene el punto de prueba, satisface la desigualdad y
los puntos sobre la recta satisfacen la igualdad.
Ejemplo 2.2. Dibujar la región del plano cuyos puntos satisfacen las restricciones.
2x1 + x
2 ≤≤≤≤≤ 4
x1 + x
2 ≥≥≥≥≥ 1
x1 ≥≥≥≥≥ 0 , x
2 ≥≥≥≥≥ 0
Solucion:2x
1 + x
2 = 4 ;
Punto de prueba (0, 0); 0 ≤≤≤≤≤ 4 Verdadero
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
39
x1 + x
2 = 1 :
Punto de prueba (0, 0): 0 ≥≥≥≥≥ 1 Falso.
x1≥≥≥≥≥ 0 y x
2≥≥≥≥≥ 0 , primer cuadrante:
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
40
Por lo tanto, la región del plano que satisface las restricciones dadas es la intersección de las
tres regiones anteriores:
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
41
Para mayor claridad, la región se muestra en la gráfica siguiente:
2.1.2. ISOCUANTAS DE LA FUNCIÓN OBJETIVO
Para un modelo de programación lineal con dos variables de decisión se tiene que la función
objetivo es:
Z = c1 x
1 + c
2 x
2
Esta es la ecuación de un plano en el espacio tridimensional.
Las isocuantas (curvas de nivel) se obtienen dando valores fijos a la variable � Z � obteniéndose
una familia de rectas en el plano � x1-x
2 �. Si Z = k con k constante tenemos:
c1 x
1 + c
2 x
2 = k , distintos valores de k darán diferentes elementos de la familia de rectas.
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
42
Ejemplo 2.3. Dibujar las Isocuantas de la función Z = 3x1 + 2x
2 ,cuando Z = 6, Z =
12, Z = 18 en el mismo plano.
Solución:
Si Z = 6 3x1 + 2x
2 = 6
Si Z = 12 3x1 + 2x
2 = 12
Si Z = 18 3x1 + 2x
2 = 18
Ejemplo 2.4. Resolver el modelo de programación lineal.
max. [Z = 2x1 + x
2 ]
Sujeto a:
x2 ≤≤≤≤≤ 10 I
2x1 + 5x
2 ≥≥≥≥≥ 10 II
x1 + x
2 ≤≤≤≤≤ 14 III
5x1 - 3x
2 ≤≤≤≤≤ 20 IV
x1 , x
2 ≥≥≥≥≥ 0
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
43
Solución: Dibujamos la región de soluciones factibles. Las restricciones de no negatividad
indican que la región de soluciones factibles se encuentra en el primer cuadrante.
En el mismo plano se dibujan dos isocuantas de Z = 2x1 + x
2
Si Z = 4 se tiene: 4 = 2x1 + x
2
Z = 16 se tiene: 16 = 2x1 + x
2
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
44
Si visualmente se sigue la dirección en que crece �Z � se observa que el máximo valor de
�Z� se obtiene en el vértice �C �. Las coordenadas del vértice �C� se obtienen resolviendo
por la regla de Cramer, el sistema de ecuaciones correspondientes a las restricciones III y
IV.
Solucion del sistema de ecuaciones, para hallar las coordenadas del vertice C:
x1 + x
2 = 14 III
5x1 - 3x
2 = 20 IV
3-5
1 1
3 20
1 14
X 1
−=
4
31
8
62
53
2042 =−−=
−−−−=
.
3-5
1 1
20 5
14 1
X 2 =4
25
8
50
53
7020 =−−=
−−−=
.
Por lo tanto los valores óptimos de x1 y x
2 son: X
1 = 31/4 y X
2 = 25/4 y el máximo valor
de Z es, Zmax
=87/4 .
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
45
Ejemplo 2.5. Resolver el modelo de programación lineal.
min. [Z = 50x1 + 20x
2 ]
Sujeta a:
2x1 - x
2 ≥≥≥≥≥ 0 I
x1 + 4x
2 ≥≥≥≥≥ 80 II
x1 + x
2 ≥≥≥≥≥ 40 III
4x1 + 3x
2 ≤≤≤≤≤ 240 IV
x1, x
2 ≥≥≥≥≥ 0
Solución: Dibujamos la región de soluciones factibles y dos isocuantas.
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
46
Isocuantas de Z = 50x1 + 20x
2
Si Z = 1500 1500 = 50x1 + 20x
2
Z = 1700 1700 = 50x1 + 20x
2
Se observa que el valor mínimo de Z se alcanza en el vértice A. Para obtener las coordenadas
de �A� resolvemos el sistema:
2x1 - x
2 = 0
x1 + x
2 = 40
obteniendose como solución x1 = 40/3 , x
2 = 80/3.
Luego, el nivel óptimo se alcanza cuando, X1 = 40/3 , X
2 = 80/3 y Z min = 1200 .
EJERCICIOS PROPUESTOS DEL CAPÍTULO II
2.1. Una pequeña firma maneja dos procesos para combinar cada uno de dos productos:
fluido para marcha y fluido para encendedor. La firma está tomando la decisión de
cuántas horas correrá cada proceso. Por una hora del proceso I se consumen 3 unidades
de kerozeno y 9 de benceno para producir 15 unidades de fluido para marcha y 6
unidades de fluido para encendedor. Por una hora del proceso II se consumen 12 unidades
de kerozeno y 6 de benceno para producir 9 y 24 unidades de los dos tipos de fluidos
respectivamente. Debido a un programa federal de asignaciones, la máxima cantidad
de kerozeno y benceno disponibles son 300 y 400 unidades respectivamente. Los
compromisos de venta requieren que se produzcan al menos 600 unidades de fluido
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
47
para marcha y 225 de fluido para encendedor. Las utilidades por hora que reditúan los
procesos I y II son 10 y 12 dólares por hora respectivamente. Formule un modelo de
programación lineal para maximizar la utilidades y resuélvalo usando el método gráfico.
2.2. Resolver los siguientes modelos de programación lineal.
a) max [ Z = 3x1 + 4x
2 ]
sujeta a: -x1 + x
2 ≤≤≤≤≤ 3
x1 + 2x
2 ≤≤≤≤≤ 9
3x1 + 2x
2 ≤≤≤≤≤ 13
x1 - x
2 ≤≤≤≤≤ 1
x1 + x
2 ≥≥≥≥≥ 1
x1, x
2 ≥≥≥≥≥ 0
b) min [Z = 9x1 + 9x
2 ]
sujeta a: x1 + x
2 ≤≤≤≤≤ 10
5x1 + x
2 ≥≥≥≥≥ 8
x1 + 2x
2 ≥≥≥≥≥ 12
x2 ≤≤≤≤≤ 8
x1, x
2 ≥≥≥≥≥ 0
c) min [ Z = 5x1 + 2x
2 ]
sujeta a: 3x1 + 6x
2 ≥≥≥≥≥ 18
5x1 + 4x
2 ≥≥≥≥≥ 20
8x1 + 2x
2 ≥≥≥≥≥ 16
7x1 + 6x
2 ≤≤≤≤≤ 42
x1, x
2 ≥≥≥≥≥ 0
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
48
2.3. Una dieta se diseña de forma que contenga al menos 6 gramos de V1 y 15 gramos
de V2 (V
1 y V
2 son dos tipos de vitaminas). Estos requerimientos mínimos van a
obtenerse a partir de dos tipos de alimentos: F1 que contiene 1 gramo por libra de V
1 y
2 gramos por libra de V2, y de F
2 que contiene 1 gramo por libra de V
1 y 5 gramos por
libra de V2. Si el costo de F1 y F2 es de 1.20 y 1.80 pesos por libra, ¿Qué cantidad de
cada tipo de cada tipo de alimento deberá comprarse y consumirse para satisfacer los
requerimientos mínimos de la dieta de la forma más económica?
2.4. Resolver el modelo del ejemplo 1.1.
2.5. Resolver los modelos del ejemplo 1.5.
2.6. Resolver el modelo del ejercicio propuesto 1.2.
2.7. Resolver el modelo del ejercicio propuesto 1.5.
2.8. Un propietario quiere pintar su casa y desea que sea suficiente con una pasada.
Para satisfacer este requisito la pintura debe tener una viscosidad de por lo menos 200
unidades. Otro requerimiento para obtener un nivel deseado de brillo es que debe
incluir como mínimo 14 gramos de un ingrediente químico � Y � por galón de
pintura. Además, para asegurar cierta durabilidad, también deberá tener por lo menos
30 gramos de una sustancia �Z� por cada galón de pintura. Hay dos tipos de pintura
(I y II) a su disposición. El tipo I cuesta 6 dólares y el tipo II 4 dólares por galón. Las
especificaciones de cada una de ellas son:
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
49
PINTURA I PINTURA II(Por galón) (Por galón)
Viscosidad (Unidades) 400 100
Y (Gramos) 20 10
Z (Gramos) 20 60
El propietario decide mezclar I y II a efecto de cumplir con las tres condiciones a un costo
mínimo. ¿Qué cantidad de I y II han de mezclarse? ¿Cuál es el costo mínimo de la mezcla?
2.9. Una empresa local está planificando anunciar una venta especial de aniversario por radio
y televisión durante una semana, y para ello se aprueba un presupuesto máximo de 16.000
dólares. Se sabe que el costo por 30 segundos de anuncio en la radio comercial es de 800
dólares. Por otra parte, la televisión comercial cuesta 4.000 dólares por anuncio. A causa
de la fuerte demanda, solamente pueden realizarse 4 anuncios de televisión en la semana
prevista. Sobre la base del grado estimado de audiencia y otros factores, se cree que un
anuncio de televisión es 6 veces más efectivo que un anuncio de radio sobre los potenciales
consumidores. ¿Cómo distribuiría la empresa su publicidad para atraer el mayor número
posible de consumidores potenciales?
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
50
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
51
Capítulo III
MÉTODO SÍMPLEX
INTRODUCCIÓN
El método símplex es un procedimiento general para resolver problemas de programación
lineal. Desarrollado por George Dantzig en 1947, ha probado ser un método extraordi-
nariamente eficiente que se usa en forma rutinaria para resolver problemas grandes en las
computadoras de hoy en día. Excepto en el caso de problemas muy pequeños, su ejecución
se hace siempre en una computadora y existe una amplia gama de complejos paquetes de
software para ello. Este capítulo describe y ejemplifica la características principales del
método símplex en su forma tanto algebraica como tabular. El método símplex es un
algoritmo. Aun cuando el lector no haya oido este nombre, sin duda se ha encontrado con
muchos algoritmo por ejemplo, el procedimiento familiar para hacer una división larga, es un
algoritmo. También lo es el procedimiento para calcular la raíz cuadrada. De hecho, cual-
quier procedimiento iterativo de solución es un algoritmo. Entonces, un algoritmo es
simplemente un proceso en el que se repite (se itera) un procedimiento sistemático una y
otra vez hasta obtener el resultado deseado. Cada vez que se lleva a cabo el procedimiento
sistemático se realiza una iteración. (¿Puede el lector ver cuál es la iteración para el algorit-
mo de la división?).
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
52
Este método se emplea para resolver el problema de programación lineal (forma estándar)
(ver Capítulo I, Sección 1.1.2)
TERMINOLOGIA PARA LAS SOLUCIONES DEL MODELO
Es posible que para el lector el término solución signifique la respuesta final a un problema,
pero en programación lineal la convención es bastante distinta. Mas aún, cualquier conjunto
de valores específicos para las variables de decisión x1 , x
2 , ... x
n se llama solución, sin
importar si es una posibilidad deseable o ni siquiera permitida. Los diferentes tipos de solu-
ciones se identifican usando un adjetivo apropiado.
Una solución factible es aquella para la que todas las restricciones se satisfacen. La región
factible es la colección de todas las soluciones factibles (puede suceder que esta región sea
el conjunto vacío). Una solución óptima es una solución factible que lleva al valor más
favorable de la función objetivo. El valor más favorable es el valor más grande o más
pequeño, dependiendo si el objetivo es maximizar o minimizar, de modo que una solución
óptima maximiza / minimiza la función objetivo sobre toda la región factible.
En programación lineal, un problema puede tener más de una solución óptima, aunque en la
práctica sólo hay una solución óptima. Otra posibilidad es que el problema carezca de solu-
ciones óptimas. Esto ocurre sólo si: a) no tiene soluciones factibles o b) las restricciones no
impiden que el valor de la función objetivo Z crezca indefinidamente en la dirección favora-
ble (positiva o negativa).
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
53
3.1. PREPARACION PARA EL METODO SÍMPLEX.
3.1.1. Variables de holgura.
El primer paso en el método simplicial es llevar el modelo de programación lineal a su forma
estándar (ver Capítulo I, Sección 1.1.2), mediante la introducción de variables adicionales
llamadas variables residuales o variables de holgura, con lo que se obtiene para las res-
tricciones un sistema de m ecuaciones con n incógnitas, de la forma:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1sxs + xs+1 = b1
a12x1 + a12x2 + . . . + a2sxs + + xs+2 = b2
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .am1x1 + am2x2 + . . . + amsxs + xs+m = bm
x1 m 0, x2 m 0, . . ., xs m 0, xs+1 m 0, . . ., xs+m m 0
Aquí, xs+1, xs+2, . . ., xs+m son las variables de holgura.
El sistema de ecuaciones así obtenido puede escribirse en forma matricial como bxA = ,
con 0x ≥ , en donde:
A =
a11 a12 . . . a1s 1 0 . . . 0a21 a22 . . . a2s 0 1 . . . 0
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . ams 0 0 . . . 1
, x =
x1
x2
.
.
.xs+m
, b =
b1
b2
.
.
.bm
a11x1 + a12x2 + . . . + a1sxs + xs+1 = b1
a12x1 + a12x2 + . . . + a2sxs + + xs+2 = b2
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .am1x1 + am2x2 + . . . + amsxs + xs+m = bm
x1 m 0, x2 m 0, . . ., xs m 0, xs+1 m 0, . . ., xs+m m 0
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
54
Esta forma es mucho más conveniente para la manipulación algebraica y la identificación de
las soluciones factibles en un vértice. Esta se llama forma aumentada del problema, ya
que la forma original se ha aumentado con algunas variables adicionales necesarias (las
variables de holgura) para aplicar el método símplex..
Una solución aumentada es una solución para las variables originales que se ha aumenta-
do con los valores correspondientes de las variables de holgura. Una solución básica es
una solución en un vértice aumentada. Ahora, una solución básica factible es una solución
factible en un vértice aumentada. La única diferencia entre las soluciones básicas y las solu-
ciones en un vértice (o entre soluciones básicas factibles y soluciones factibles en un vértice)
es el que estén incluidos los valores de las variables de holgura. El siguiente ejemplo será
utilizado para ilustrar el método símplex en su forma tanto algebraica como tabular para
maximizar una función lineal en cinco variables. Lo llamaremos ejemplo prototipo.
Si el problema consiste en minimizar una función Z = c1 x
1 + c
2 x
2 + c
3 x
3 + � + c
n x
n , se
maximiza la función Y= -Z , de modo que si Y* es el maximo de Y, entonces el minimo de
Z de -Y* .
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
55
EJEMPLO 3.1. En el Ejemplo 1.3 del Capítulo I sobre plan de producción se debe
resolver el problema de maximizar la función
Z = 1.417x1
+ 1.433x2
+ 1.85x3
+ 2.183x4
+ 1.7x5
sujeta a las restricciones
12x1
+ 7x2
+ 8x3
+ 10x4
+ 7x5
≤≤≤≤≤ 7680
8x1
+ 9x2
+ 4x3
+ + 11x5
≤≤≤≤≤ 7680
5x1
+ 10x2
+ 7x3
+ 3x4
+ 2x5
≤≤≤≤≤ 7680
x1, x
2, x
3, x
4, x
5 ≥≥≥≥≥ 0
En nuestro caso, s = 5 , m = 3. Introducimos tres variables de holgura 61s xx =+ ,
72s xx =+ y 8nms xxx ==+ para convertir las tres restricciones de desigualdad en
un conjunto de tres ecuaciones lineales con ocho incógnitas junto con las restricciones de no
negatividad:
12x1
+ 7x2
+ 8x3
+ 10x4
+ 7x5
+ x6
= 7680
8x1
+ 9x2
+ 4x3
+ + 11x5
+ x7
= 7680
5x1
+ 10x2
+ 7x3
+ 3x4
+ 2x5
+ x8
= 7680
x1, x
2, x
3, x
4, x
5, x
6, x
7, x
8 ≥≥≥≥≥ 0
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
56
La forma matricial de este sistema es bxA = , 0x ≥ , en donde:
=
1
0
0
0
1
0
023
0110
1710
7105
498
8712
A ,
=
8
7
6
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x ,
=
7680
7680
7680
b .
En este ejemplo el sistema de restricciones funcionales tiene cinco variables más (en total son
ocho variables) que ecuaciones (de las cuales tenemos tres). Este hecho proporciona cinco
grados de libertad o cinco variables libres para resolver el sistema, pues se pueden elegir
cinco variables cualesquiera y asignarles cualquier valor arbitrario para resolver las tres
ecuaciones en términos de las tres variables restantes (con esto se excluyen redundancias). El
método símplex usa cero para este valor arbitrario. Las variables que por el momento se
hacen igual a cero se llaman variables no básicas, todas las demás se llaman variables
básicas. La solución que resulta es una solución básica. Si todas las variables básicas son no
negativas, entonces se tiene una solución básica factible.
En términos generales, el número de variables no básicas de una solución básica siempre es
igual a los grados de libertad del sistema de ecuaciones y el número de variables básicas
siempre es igual al número de restricciones funcionales.
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
57
Dos soluciones básicas factibles son adyacentes si todas menos una de sus variables no
básicas son las mismas (de manera que la misma aseveración se cumple para sus variables
básicas). Entonces, transladarse de una solución básica factible a una adyacente significa
cambiar el estado de una variable no básica a básica y viceversa para otra variable.
Sea 0c is =+ , i = 1,2,...,m. Entonces
Zxcx0x0xcxcxcs
1jjj
n
1jn1sss11jj ∑∑
==+ ==+++++= LL (3.1.2)
La relación entre las soluciones del problema original y el problema en su forma aumentada
viene dada por el siguiente teorema.
Teorema. Supongamos que x* = (x1*, x
2*,... , x
s*, x*
s+1 , x*
s+2 , ... , x*
s+m) es una solución
maximal factible para las restricciones transformadas )1.1.3( y la función objetivo )2.1.3( ,
siendo el máximo valor ∗Z . Entonces los primeros s elementos x1*, x
2*,... , x
s* de ∗x
representan una solución maximal factible al modelo de programación lineal en la que ∗Z
es el valor máximo. Además, cada solución factible x de )1.1.3( y )2.1.3( se
corresponde con una y sólo una solución factible del modelo; a saber, la solución que contie-
ne los primeros s elementos de x y cada solución maximal factible ∗x de )1.1.3( y
)2.1.3( se corresponde con una única solución maximal factible del modelo, o sea, la
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
58
solución que contiene los primeros s elementos de ∗x .
Según el teorema anterior, si podemos encontrar una solución que maximice )2.1.3( sujeta
a las restricciones )1.1.3( , hemos resuelto el problema de la programación lineal.
De esta manera, dada cualquier solución básica, la solución en el vértice correspondiente se
obtiene con sólo quitar las variables de holgura.
Al trabajar con el problema en forma de igualdades conviene tomar en cuenta y manipular la
ecuación de la función objetivo al mismo tiempo que las nuevas ecuaciones de las restriccio-
nes. Antes de comenzar con el método símplex es necesario escribir el problema una vez más
en una forma equivalente:
Maximizar Z ,
sujeta a;
(0) Z -1.417x1
- 1.433x2
- 1.85x3
- 2.183x4
- 1.7x5
= 0
(1) 12x1
+ 7x2
+ 8x3
+ 10x4
+ 7x5
+ x6
= 7680
(2) 8x1
+ 9x2
+ 4x3
+ + 11x5
+ x7
= 7680
(3) 5x1
+ 10x2
+ 7x3
+ 3x4
+ 2x5
+ x8
= 7680
x1, x
2, x
3, x
4, x
5, x
6, x
7, x
8 ≥≥≥≥≥ 0
Es justo como si la ecuación (0) fuera una de las restricciones originales que, como ya se
encuentra en forma de igualdad, no necesita variable de holgura. Con esta interpretación, las
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
59
soluciones básicas no cambian, excepto que Z puede verse como una variable básica adi-
cional permanente.
3.2. FORMA ALGEBRAICA DEL METODO SÍMPLEX.
Una vez adaptado el problema inicial a la forma descrita por )1.1.3( y )2.1.3( debe-
mos proceder a contestar las siguientes preguntas:
� Paso inicial: ¿Cómo se selecciona la solución factible en un vértice (la solución
básica factible) inicial?
� Paso iterativo: al buscar un traslado a una solución factible en un vértice adyacente
(una solución básica factible adyacente)
1. ¿ Cómo se selecciona la dirección del traslado? (¿Qué variable no básica se
selecciona para que se convierta en básica ?)
2. ¿A qué lugar se hizo el traslado? (¿Cuál variable básica se convierte en no
básica?)
3. ¿Cómo se identifica la nueva solución?
� Prueba de optimalidad: ¿Cómo se determina que la solución factible en un vértice
actual (solución básica factible) no tiene soluciones factibles en un vértice adyacen-
tes (soluciones básicas factibles adyacentes) que sean mejores?
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
60
En la presente sección se responderán estas preguntas. Para propósitos didácticos, se mos-
trará el procedimiento en la solución del problema del ejemplo prototipo (ejemplo 3.1).
� Paso inicial.
El método símplex puede comenzar en cualquier solución factible en un vértice (solución
básica factible), de manera que se escoge una que sea conveniente. Antes de tomar en
cuenta las variables de holgura, esta elección es el origen (con todas las variables
originales iguales a cero), es decir
)0,0,0,0,0()x,x,x,x,x( 54321 =
(la notación )a,a,a,a,a()x,x,x,x,x( 5432154321 = significa que 11 ax = ,
22 ax = , etc)1 . En consecuencia, después de introducir las variables de holgura, las
variables originales son variables no básicas y las variables de holgura son las varia-
bles básicas de la solución básica factible inicial. Esta elección se muestra en el siguiente
sistema de ecuaciones en el que las variables básicas se escribieron con mayúscula:
12x1
+ 7x2
+ 8x3
+ 10x4
+ 7x5
+ X6
= 7680
8x1
+ 9x2
+ 4x3
+ + 11x5
+ X7
= 7680
5x1
+ 10x2
+ 7x3
+ 3x4
+ 2x5
+ X8
= 7680
1 Nótese que al escoger el origen el lado izquierdo de todas las restricciones funcionales en el problema original es iguala cero. por lo tanto, bajo las suposiciones actuales sobre la forma del modelo, incluyendo restricciones del tipo ≤ ylados derechos positivos, esta solución en un vértice es automáticamente factible
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
61
Como las variables no básicas son iguales a cero, el resto de la solución se lee como si no
existieran: entonces, 7680X 6 = , 7680X7 = y 7680X 8 = , de ahí que la solu-
ción básica factible inicial resulta igual a )7680,7680,7680,0,0,0,0,0( .
Nótese que la razón por la que esta solución se puede leer de inmediato es porque cada
ecuación tiene sólo una variable básica, que tiene coeficiente + 1, y que esta variable básica
no aparece en ninguna otra ecuación. Pronto se verá que cuando el conjunto de variables
básicas cambia, el método símplex utiliza un procedimiento algebraico (el de eliminación de
Gauss) para poner las ecuaciones en esta forma tan conveniente para leer igual todas las
soluciones básicas factibles subsecuentes. Esta forma se llama la forma apropiada de eli-
minación gaussiana.
� Paso iterativo.
En cada iteración el método símplex se mueve de la solución básica factible actual a una
solución factible básica adyacente mejor. Este movimiento consiste en convertir una varia-
ble no básica (llamada variable básica entrante) en variable básica, y al mismo tiempo
convertir una variable básica (llamada variable básica que sale) en variable no básica, y en
identificar la nueva solución básica factible.
PREGUNTA 1. ¿Cuál es el criterio para seleccionar la variable básica entrante ?
Los candidatos para la variable básica entrante son las s variables básicas actuales. La que
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
62
se elija, cambiará su estado de no básica a básica, por lo que su valor aumentará de cero a
algún valor positivo y las otras se mantendrán en nivel cero. Como se requiere que la nueva
solución básica factible sea mejor (un valor más grande de Z) que la actual, es necesario que
la tasa de cambio en Z al aumentar el valor de la variable básica entrante sea positivo.
Usando la ecuación (0) para expresar Z sólo en términos de las variables no básicas, el
coeficiente de cada una de estas variables es la tasa a la que Z cambiaría si se incrementara
el valor de esa variable. Se elige como variable básica entrante 2 la que tiene el coeficien-
te positivo mayor, ya que es la que hace que Z se incremente a la tasa más rápida.
Como aclaración, los cinco candidatos para variable básica entrante en nuestro ejemplo son
las variables no básicas actuales 4321 x ,x ,x ,x y 5x . Como la función objetivo ya
está escrita sólo en términos de estas variables, puede analizarse tal como está:
Z = 1.417x1
+ 1.433x2
+ 1.85x3
+ 2.183x4
+ 1.7x5
Todas las variables tienen coeficientes positivos, así que al aumentar cualquiera de ellas, el
valor de Z aumenta pero con tasas distintas, iguales a 1.417 , 1.433 , 1.85, 2.183 y 1.7
por cada unidad de aumento en la variable. La mayor de estas tasas es 2.183 , la cual
corresponde a la variable 4x , así que esta variable se convierte en variable básica en-
trante. Así, se incrementará el valor de 4x y el de las demás variables no básicas se dejará
en cero.
2 Nótese que este criterio no garantiza la elección de la variable que más aumenta a Z debido a que puede ser que lasrestricciones no permitan que esta variable aumente tanto como otras. No obstante, los cálculos adicionales que serequieren para verificar esto hacen que no valga la pena hacerlo.
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
63
PREGUNTA 2. ¿Cómo se identifica la variable básica que sale ?
Al aumentar el valor de 4x mientras que el de las demás variables no básicas 321 x,x,x
y 5x se mantiene en cero, una o todas las variables básicas actuales 76 X,X y 8X
deben cambiar sus valores para mantener satisfecho el sistema de ecuaciones. Algunas de
estas variables decrecerán al crecer 4x . La solución básica factible adyacente se alcanza
cuando la primera variable básica (variable básica que sale), llega a cero. Ahí se debe
detener para evitar la no factibilidad. Entonces, una vez elegida la variable básica entrante, la
variable básica que sale no es cuestión de elección. Debe ser la variable básica actual cuya
restricción de no negatividad impone la cota superior más pequeña, sobre cuánto puede
aumentar el valor de la variable básica entrante, como se ilustra enseguida.
En nuestro ejemplo, las posibilidades para la variable básica que sale son las variables
básicas actuales 76 X,X y 8X . Al hacer las demás variables iguales a cero, excepto
4x , el conjunto de restricciones se convierte en
10x4
+ X6
= 7680
X7
= 7680
3x4
+ X8
= 7680
0X,0X,0X,0x 8764 ≥≥≥≥ .
La primera ecuación junto con la restricción 0X 6 ≥ nos proporcionan la desigualdad
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
64
46 x107680X0 −=≤ , y equivale a 10
7680x4 ≤ , lo cual nos dice que si
10
7680x4 > entonces 0X 6 < , que violaría la condición de no negatividad sobre
6X . La segunda de estas ecuaciones nos dice que 4x puede crecer sin límite sin afectar el
valor de X7
, mientras que la tercera ecuación nos dice que 4x debe cumplir la condición
3
7680x4 ≤ para que x
8 sea no negativa.. De esta manera, tenemos dos cotas superiores
para 4x : 10
7680x4 ≤ impuesta por la variable básica 6X y
3
7680x4 ≤ impuesta
por 8X . De estas cotas, la menor es 10
7680, así que la variable básica que sale es
6X . Por lo tanto, en la nueva solución factible debe ser 0x6 = (no básica) y
10
7680X 4 = (básica).
La variable básica que sale se puede determinar en términos de la matriz A y el vector
b;
=
=
=
7680
7680
7680
b
b
b
b ,
1
0
0
0
1
0
023
0110
1710
7105
498
8712
A
X X X x x x x x
3
2
1
87654321
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
65
Dado que 4x es la variable básica entrante, observamos que sus coeficientes en las ecuaciones
vienen dados por la cuarta columna de la matriz A , es decir, por el vector:
=
=
3
0
10
a
a
a
A
34
24
14
4 .
Enseguida calculamos los cocientes 4i
i
a
b para 3,2,1i = ;
76810
7680
a
b
14
1 == , ∞==0
7680
a
b
24
2, 2560
3
7680
a
b
34
3 == .
Escogemos el menor cociente, el cual corresponde a 1i = . Esto nos indica que la variable
básica saliente está ubicada en la primera fila de la matriz A. En nuestro caso, dicha variable
es , X6 pues en la primera fila su coeficiente es 1 y el de las demás es 0 .
PREGUNTA 3. ¿Cómo puede identificarse la nueva solución básica factible en una
forma conveniente?
Después de identificar las variables básicas entrante y saliente (incluyendo el nuevo valor de
la variable básica entrante), todo lo que se necesita hacer para identificar la nueva solución
básica factible es encontrar los nuevos valores de las variables básicas restantes. Con este
propósito reducimos el sistema de ecuaciones a la misma forma apropiada de eliminación
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
66
de Gauss que se tenía en el paso inicial (aquella en la que cada ecuación tiene sólo una
variable básica con coeficiente 1+ , y esta variable básica no aparece en ninguna otra ecua-
ción). Esta conversión se realiza con dos tipos de operaciones algebraicas:
Operaciones algebraicas para resolver un sistema de ecuaciones lineales
1. Multiplicar (o dividir) una ecuación por una constante diferente de cero.
2. Sumar (o restar) un múltiplo de una ecuación a otra.
Estas operaciones son legítimas porque aplican sólo: 1) multiplicar cosas iguales (ambos
lados de una ecuación) por la misma constante y 2) sumar cosas iguales a cosas iguales.
Por tanto, una solución satisfará un sistema de ecuaciones después de estas operaciones si y
sólo si lo hacía antes de realizarlas.
Para ilustrar, considérese el sistema de ecuaciones original, en donde las nuevas variables
básicas se muestran en mayúscula (y donde Z tiene el papel de variable básica en la
ecuación de la función objetivo):
(0) Z -1.417x1
- 1.433x2
- 1.85x3
- 2.183X4
- 1.7x5
= 0
(1) 12x1
+ 7x2
+ 8x3
+ 10X4
+ 7x5
+ x6
= 7680
(2) 8x1
+ 9x2
+ 4x3
+ + 11x5
+ X7
= 7680
(3) 5x1
+ 10x2
+ 7x3
+ 3X4
+ 2x5
+ X8
= 7680
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
67
Así, 4x ha sustituido a 6X en la ecuación (1). Es necesario resolver este sistema de
ecuaciones para encontrar los valores de Z, X4
, X7
y X8
(Obsérvese que X4 4x≡ ,
X7 7x≡ y X
8 8x≡ . La escritura en mayúscula es para distinguir las variables básicas de
las no básicas).
Como 4X tiene coeficiente 10 en la ecuación (1) (se escoge la ecuación (1) y no otra
porque esta ecuación contiene a la variable que sale, la cual es 6x ), ésta ecuación se
dividirá por 10 para que la nueva variable básica tenga un coeficiente igual a 1 (este es
un ejemplo de operación algebraica 1), de lo cual resulta el sistema:
(0) Z -1.417x1
- 1.433x2
- 1.85x3
- 2.183X4
- 1.7x5
= 0
(1) 10
12x
1 +
10
7x
2 +
10
8x
3+ X
4 +
10
7x
5 +
10
1x
6 = 768
(2) 8x1
+ 9x2
+ 4x3
+ 11x5
+ X7
= 7680
(3) 5x1
+ 10x2
+ 7x3
+ 3X4
+ 2x5
+ X8
= 7680
Ahora debe eliminarse 4X de las otras ecuaciones en que aparece. Con este fin realizamos
las siguientes operaciones:
a. Multiplicamos la ecuación (1) por 2.183 y la sumamos a la ecuación (0) .
b. Multiplicamos la ecuación (1) por - 3 y la sumamos a la ecuación (3) .
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
68
Una vez realizadas estas operaciones se obtiene el sistema:
(0)* Z +1.2026 x1
+0.0951x2
- 0.1036x3
- 0.1719x5
+ 0.2183 6x 1676.54
(1)* 10
12x
1 +
10
7x
2 +
10
8x
3 + X
4 +
10
7x
5 +
10
1x
6 = 768
(2)* 8x1
+ 9x2
+ 4x3
+ 11x5
+ X7
= 7680
(3)* 5
7x
1 +
10
79x
2 +
5
23x
3
10
1− x5
6x10
3− + X8
= 5376
Ahora, al comparar este último conjunto de ecuaciones con el conjunto inicial que se obtuvo
en el paso inicial, se observa que se encuentra en la misma forma apropiada de eliminación
de Gauss que permite leer de inmediato la solución básica factible actual después de ver que
las variables no básicas x1, x
2, x
3, x
5 y x
6 son iguales a cero. Igualando estas variables a
cero en las ecuaciones (1)*, (2)* y (3)* obtenemos de manera inmediata los valores de
las variables básicas; X4 = 768, X
7 = 7680 y X
8 = 5376.. Se cuenta ahora con la nueva
solución básica factible:
( x1, x
2, x
3, x
4, x
5, x
6, x
7 , x
8 ) = (0,0,0,768,0,0,7680,5376), lo que significa un valor de
Z = 1676.54 .
Para dar una perspectiva más amplia a este procedimiento algebraico, se acaba de resolver el
conjunto original de ecuaciones para obtener la solución general para Z, x4, x
7 y x
8 en
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
69
términos de x1, x
2 , x
3, x
5 y x
6. Esto se logra despejando Z , x
4 , x
7 y x
8 en las ecuaciones
(0)*, (1)*, (2)* y (3)*, pero no se hará aquí. Después se obtuvo una solución específica (la
solución básica factible) haciendo de x1, x
2 , x
3 , x
5 y x
6 (las variables no básicas) iguales
a cero. Este procedimiento para obtener la solución simultánea de ecuaciones lineales se
llama método de eliminación de Gauss � Jordan o, en forma corta, eliminación gaussiana.
El concepto clave de este método es usar dos tipos de operaciones algebraicas para reducir
el sistema de ecuaciones original a la forma apropiada de eliminación de Gauss , en
donde cada variable básica se elimina de todas las ecuaciones menos una (su ecuación) y en
esa ecuación tiene coeficiente +1 . Una vez obtenida la forma apropiada de eliminación
de Gauss, la solución para las variables básicas se puede leer directamente en el lado dere-
cho de las ecuaciones.
� ¿Cómo se identifica la nueva solución?
� Prueba de optimalidad.
Para determinar si la solución básica factible actual es óptima, se usa la ecuación (0) para
reescribir la función objetivo, sólo en términos de las variables no básicas actuales,
Z = - 1.2026 x1
- 0.0951x2
+ 0.1036x3
+ 0.1719x5
- 0.2183 6x + 1676.54 ( )∗
Aumentar el valor de cualquiera de estas variables no básicas (con el ajuste de los valores de
las variables básicas para que cumplan todavía con el sistema de ecuaciones) significa tras-
ladarse a una de las dos soluciones básicas factibles adyacentes.
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
70
En términos generales, la solución básica factible actual es óptima si y sólo si todas las varia-
bles no básicas tienen coeficientes no positivos ( 0≤ ) en la forma actual de la función
objetivo. Esta forma actual se obtiene despejando Z en la ecuación (0)* (ecuación (0)
actual) después de haber convertido todas las ecuaciones a la forma apropiada de elimina-
ción de Gauss (que elimina las variables básicas de esta ecuación). En nuestro caso, esta es
la ecuación ( )∗ . De acuerdo a esto, la solución básica factible actual
x = ( x1, x
2, x
3, x
4, x
5, x
6, x
7 , x
8 ) = (0,0,0,768,0,0,7680,5376),
no es óptima ya que, por ejemplo, en la ecuación ( )∗ el coeficiente de 3x es positivo.
En forma equivalente, sin despejar Z, la prueba de optimalidad consiste en que todas las
variables no básicas tengan coeficientes no negativos ( 0≥ ) en la ecuación (0) actual.
La razón para usar la forma actual de la función objetivo en lugar de la original es que la
forma actual contiene todas las variables no básicas y ninguna variable básica. Se
necesitan todas las variables no básicas para poder comparar todas las soluciones básicas
factibles adyacentes con la solución actual. Las variables básicas no deben aparecer, pues
sus valores pueden cambiar cuando se incrementa alguna variable no básica, en cuyo caso el
coeficiente de la variable no básica ya no indica la tasa de cambio de Z. A causa de las
ecuaciones de las restricciones en forma de igualdad, las dos formas de la función objetivo
son equivalentes, por lo que se usa la que contiene toda la información necesaria.
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
71
La ecuación (0) se incluye desde el principio en el sistema de ecuaciones de restricción y
después en el proceso de eliminación de Gauss precisamente para poder obtener esta nueva
forma, más conveniente, de la función objetivo.
Puesto que, según vimos, la solución básica actual no es óptima, debemos proseguir con el
método símplex hasta lograr una solución óptima, es decir, debemos proseguir con la si-
guiente iteración. Antes de realizarla, conviene hacer un resumen del método símplex.
Resumen del método símplex
1. PASO INICIAL.
Se introducen las variables de holgura. Si el modelo no se ajusta a la forma estándar del
problema general de programación lineal, se deben hacer los ajustes necesarios. Para obte-
ner la solución básica factible inicial, se seleccionan las variables originales como las variables
no básicas (es decir, iguales a cero) y las variables de holgura como las variables básicas (y
por tanto, iguales al lado derecho de las ecuaciones). Se realiza la prueba de optimalidad.
2. PASO ITERATIVO.
Parte 1: se determina la variable básica entrante; para esto se selecciona la variable no
básica que, al aumentar su valor, aumente el valor de Z más rápidamente. Esta elección se
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
72
puede hacer usando la ecuación (0) para expresar Z sólo en términos de las variables no
básicas y eligiendo aquella cuyo coeficiente positivo sea el mayor. 3
Parte 2: se determina la variable básica que sale: se elige la variable básica que primero
alcanza el valor cero cuando se incrementa la variable básica entrante. Cada variable básica
aparece sólo en su ecuación, de manera que esta ecuación se usa para determinar cuándo
llega a cero esta variable básica si se aumenta el valor de la que entra. Un procedimiento
algebraico formal para realizarlo es el siguiente: sea j el subíndice de la variable básica
entrante . Sea 'íja su coeficiente actual en la ecuación (i) y sea '
ib el lado derecho actual
de esta ecuación i=1,2...,m. Entonces la cota superior para jx en la ecuación (i) es
>
≤∞+
≤0asi
a
b
0asi
x'ij'
ij
'i
'ij
j ,
en donde la variable básica de esta ecuación se hace cero en esta cota superior. Entonces se
determina la ecuación con la cota superior más pequeña y se elige la variable básica actual
en esta ecuación como la variable básica que sale.
3 En forma equivalente la ecuación (0) actual se puede usar en forma directa, en cuyo caso se seleccionaría la variableno básica con el coeficiente mas negativo. Esto es lo que se hace en la forma tabular del método simplex que se presentamas adelante.
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
73
Parte 3: se determina la nueva solución básica factible: comenzando con el conjunto
actual de ecuaciones, se despejan las variables básicas y Z en términos de las soluciones no
básicas por el método de eliminación de Gauss�Jordan. Las variables no básicas se igualan
a cero y cada variable básica (y Z) es igual al nuevo lado derecho de la ecuación en que
aparece (con coeficiente +1).
3. PRUEBA DE OPTIMALIDAD. Se determina si la solución es óptima: se verifica si el
valor de Z puede aumentar al hacer que una de las variables no básicas crezca. Esto se
puede realizar al reescribir la función objetivo en términos de las variables no básicas y pasar
estas variables al lado derecho de la ecuación (0) (es decir, despejando Z en esta ecuación)
y al observar el signo de los coeficientes de cada una. Si todos los coeficientes son negativos
o cero, entonces la solución es óptima, y el proceso termina. De otra manera, se regresa al
paso iterativo.
A manera de aclaración, se aplicará este resumen a la siguiente iteración de nuestro
ejemplo prototipo.
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
74
ITERACIÓN 2 DEL EJEMPLO.
Parte 1: Como la ecuación (0) actual (o sea, la ecuación (0)*) da
Z = - 1.2026 x1
- 0.0951x2
+ 0.1036x3
+ 0.1719x5
- 0.2183 6x + 1676.54,
elegimos a 5x como la variable básica entrante, pues ésta posee el mayor coeficiente
positivo.
Parte 2: Los límites superiores (o cotas superiores) sobre 5x se muestran en la siguiente
tabla:
Variable Número de Coeficiente Parte derecha Cota superior
básica ecuación '5ia de 5x '
ib para 5x
4x 1 0.7 768 1097.14
7x 2 11 7680 698.18
8x 3 -0.1 5376 ∞+
A partir de esta tabla se concluye que la menor cota superior para 5x es igual a 4.698, la
cual corresponde a la variable básica 7x , es decir 7x tiene la menor cota superior sobre
5x . Por lo tanto, la variable 7x se convierte en variable básica que sale para dar lugar a la
variable entrante 5x .
Parte 3: Debemos eliminar la variable 5x de todas las ecuaciones, excepto de la ecuación
(2)* en la cual 5x sustituye a 7x . El sistema correspondiente, junto con las nuevas
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
75
variables básicas, las cuales aparecen en mayúscula, antes de dicha eliminación es
(0)* Z +1.2026 x1
+ 0.0951x2
- 0.1036x3
- 0.1719X5
+ 0.2183 6x = 1676.54
(1)* 10
12x
1 +
10
7x
2 +
10
8x
3 + X
4 +
10
7X
5 +
10
1x
6 = 768
(2)* 8x1
+ 9x2
+ 4x3
+ 11X5
+ x7
= 7680
(3)* 5
7x
1 +
10
79x
2 +
5
23x
3 -0.1X
5 6x
10
3− + X8 = 5376
Se procede a eliminar 5x de las ecuaciones (0)*, (1)* y (3)* por medio de las siguientes
operaciones:
� Se dividen ambos miembros de la ecuación (2)* por el coeficiente de 5x en dicha
ecuación, es decir, por 11 para obtener la ecuación
2.698x091.0Xx364.0x818.0x727.0 75321 =++++ (2)**
� Se multiplica la ecuación (2)** por 0.1719 y se suma a la ecuación (0)*.
� Se multiplica la ecuación (2)** por - 0.7 se suma a la ecuación (1)*.
� Se multiplica la ecuación (2)** por 0.1 y se suma a la ecuación (3)*.
Una vez realizadas estas operaciones se obtiene el sistema :
5446
2.698
3.279
1797
Xx009.0
x091.0
x06.0
x016.0
x3.0
x1.0
x218.0
X
X
x636.4
x364.0
x545.0
x04.0
x982.7
x818.0
x127.0
x236.0
x473.1
x727.0
x691.0
x328.1Z
**)3(
**)2(
**)1(
**)0(
87
7
7
7
6
6
6
5
4
3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
====
++−
−+
++
++
+
+++−
+++++
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
76
Así, la nueva solución factible básica es :
)5446,0,0,2.698,3.279,0,0,0()x,x,x,x,x,x,x,x(x 87654321 ==
Esta solución no es óptima, dado que en la ecuación (0)** el coeficiente de 3x es
negativo. Por consiguiente, debemos realizar una iteración adicional..
ITERACIÓN 3 DEL EJEMPLO.
Parte 1: La ecuación (0)** es equivalente a
1797x016.0x218.0x04.0x236.0x328.1Z 76321 +−−+−−= .
La variable con mayor coeficiente positivo (¡ y único !) es 3x , así que la escogemos como
variable básica entrante.
Parte 2: Los límites superiores (o cotas superiores) sobre 3x se muestran en la siguiente
tabla:
Variable básica Número Coeficiente 'ia Parte derecha Cota superior
de ecuación de 3x 'ib para 3x
4x 1 0.545 279.3 512.477
5x 2 0.364 698.2 1918.13
8x 3 4.636 5446 1174.72
A partir de esta tabla se deduce que la variable que impone la menor cota superior sobre 3x
es 4x , así que esta variable se convierte en variable que sale y en su lugar entra 3x .
3
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
77
Parte 3: Debemos eliminar la variable 3x de todas las ecuaciones, excepto de la ecuación
(1)** en la cual 3x sustituye a 4x . Procediendo de manera semejante a como se hizo en
la segunda iteración, se obtiene el sistema
3072
512
512
1818
Xx55.0
x133.0
x12.0
x011.0
x15.1
x07.0
x183.0
x226.0
X
x5.8
x67.0
x833.1
x075.0
X
x9.6
x733.0
x233.0
x245.0
x4.4
x267.0
x267.1
x38.1Z
87
7
7
7
6
6
6
6
5
4
4
4
4
3
2
2
2
2
1
1
1
1
====
++−+−+
−−
+−++
+++
+−++
++
De esta manera, la nueva solución factible básica es:
)3072,0,0,512,0,512,0,0()x,x,x,x,x,x,x,x(x 87654321 == .
Afortunadamente, esta solución es óptima, pues todos los coeficientes de las variables no
básicas en la primera ecuación son positivos. En forma equivalente, al escribir la primera
ecuación del último sistema en la forma
76421 x011.0x226.0x075.0x245.0x38.11818Z −−−−−= .
Observamos que ningún coeficiente de las variables no básicas es positivo, lo cual prueba
que la solución obtenida es óptima. Aquí termina la aplicación del método símplex..
Conclusión: La solución deseada para la forma original del problema es 0x1 = , 0x2 = ,
512x3 = , 0x4 = y 512x5 = , lo cual nos proporciona para la función objetivo un
máximo de 1818Z = .
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
78
3.3. FORMA TABULAR DEL MÉTODO SÍMPLEX.
La forma algebraica del método símplex presentada en la sección 3.2 puede ser la mejor para
entender la lógica que fundamenta el algoritmo. Sin embargo, no es la más conveniente para
realizar los cálculos necesarios. Para resolver un problema a mano (o en computadora), se
recomienda la forma tabular descrita en esta sección.
La forma tabular del método símplex es matemáticamente equivalente a la forma algebraica,
nada más que en lugar de escribir cada conjunto de ecuaciones con todo detalle, se usa una
tabla símplex para registrar sólo la información esencial, a saber: 1) los coeficientes de las
variables, 2) las constantes del lado derecho de las ecuaciones y 3) las variables básicas que
aparecen en cada ecuación. Esto ahorra la escritura de los símbolos de las variables, pero es
más importante al permitir hacer que sobresalgan los números usados en los cálculos aritmé-
ticos y registrarlos en forma muy compacta.
Expondremos la forma tabular del método símplex en la solución del ejemplo prototipo sobre
un problema de producción (Ejemplo 3.1.1). En este problema el sistema de ecuaciones es:
(0) Z -1.417x1
- 1.433x2
- 1.85x3
- 2.183x4
- 1.7x5
= 0
(1) 12x1
+ 7x2
+ 8x3
+ 10x4
+ 7x5
+ x6
= 7680
(2) 8x1
+ 9x2
+ 4x3
+ + 11x5
+ x7
= 7680
(3) 5x1
+ 10x2
+ 7x3
+ 3x4
+ 2x5
+ x8
= 7680
x1, x
2, x
3, x
4, x
5, x
6, x
7, x
8 ≥≥≥≥≥ 0
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
79
Este sistema de ecuaciones se representa en la siguiente tabla:
Variable Ec. Coeficiente de Lado
básica Núm. Z 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x derecho
Z 0 1 -1.417 -1.433 -1.85 -2.183 -1.7 0 0 0 0
6x 1 0 12 7 8 10 7 1 0 0 7680
7x 2 0 8 9 4 0 11 0 1 0 7680
8x 3 0 5 10 7 3 2 0 0 1 7680
Tabla 3.3.1. Etapa inicial del método símplex
Esta tabla contiene la distribución de cualquier tabla símplex, donde la columna de la iz-
quierda indica la variable básica que aparece en cada ecuación de la solución básica factible
actual (aunque sólo las variables jx son básicas o no básicas, Z juega el papel de variable
básica para la ecuación (0)). Por ejemplo, la columna de la variable básica de la tabla 3.3.1
indica que la solución básica factible inicial tiene las variables 6x , 7x y 8x , es decir, las
variables no básicas son las que no están en la lista: 1x , 2x , 3x , 4x y 5x .
Después de establecer 0x1 = , 0x2 = , 0x3 = , 0x4 = y 0x5 = , la columna
denominada lado derecho proporciona la solución para las variables básicas, de manera que
la solución básica factible inicial es:
== )x,x,x,x,x,x,x,x(x 87654321 )7680,7680,7680,0,0,0,0,0( con 0Z = .
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
80
La razón por la que la columna lado derecho siempre da los valores de las variables básicas
en la solución básica factible actual, es que el método símplex requiere que la tabla símplex al
iniciar (o terminar) cada iteración esté en la forma apropiada de eliminación de Gauss. En
esta forma, cada columna de cada variable básica contiene sólo un coeficiente distinto de
cero y este coeficiente es 1 en el renglón o fila de esta variable básica (las columnas de las
variables no básicas pueden tener cualquier elemento). Obsérvese en la tabla 3.3.1 que las
columnas de 6x , 7x y 8x (lo mismo que la de Z) se ajustan a este patrón especial. En
consecuencia, cada ecuación contiene exactamente una variable básica con coeficiente dis-
tinto de cero, en donde este coeficiente es 1, por lo que esta variable básica es igual a la
constante en el lado derecho de esta ecuación (recuérdese que las variables no básicas son
iguales a cero).
Según las suposiciones actuales (establecidas al comenzar el capítulo) sobre la forma original
del modelo, la tabla símplex inicial queda automáticamente en la forma apropiada de
eliminación gaussiana. Cuando el método símplex se traslada de la solución básica factible
actual a la siguiente, la parte 3 del paso iterativo utiliza la eliminación de Gauss para restable-
cer esta forma para la nueva solución.
El método símplex construye una tabla símplex para cada solución básica factible que se
obtiene, hasta alcanzar la solución óptima. A continuación se describe el procedimiento, que
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
81
es sólo una representación tabular del procedimiento algebraico presentado en la
sección 3.2.
PASO INICIAL. Se introducen las variables de holgura. Si el modelo no se encuentra
en la forma estándar del problema general de programación lineal, se deben hacer los
ajustes necesarios. De otra manera, se seleccionan las variables originales como
variables no básicas iniciales (se igualan a cero) y las variables de holgura como
las variables básicas iniciales. Este paso está representado en la tabla 3.3.1 para
nuestro ejemplo prototipo, en donde la solución factible básica inicial es
)7680,7680,7680,0,0,0,0,0( . Ahora debe realizarse la prueba de optimalidad
para determinar si la solución es óptima.
PRUEBA DE OPTIMALIDAD. La solución básica factible actual es óptima si y sólo si
todos los coeficientes de la ecuación (0) son no negativos ( 0≥ ). Si es así, el proceso termina,
de lo contrario, se lleva a cabo otra iteración para obtener la nueva solución básica factible, lo
que significa el cambio de una variable no básica por una básica (parte 1) y viceversa (parte 2),
y después despejar las variables de la nueva solución (parte 3). Apreciando la tabla 3.3.1,
observamos cinco coeficientes negativos en al ecuación (0), lo cual indica que la solución
básica factible actual no es optimal (basta con al menos un coeficiente negativo en la ecuación
(0) para que la solución no sea óptima). Con esta información debe irse al paso iterativo.
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
82
PASO ITERATIVO.
Parte 1: se determina la variable básica entrante mediante la elección de la variable
(automáticamante se refiere a una variable no básica) con el coeficiente negativo que tiene
el mayor valor absoluto en al ecuación (0) (o sea, se escoge la variable no básica con el
coeficiente más negativo). Se enmarca o sombrea la columna correspondiente a este coefi-
ciente y se le da el nombre de columna pivote.
En nuestro ejemplo, el coeficiente negativo más grande (en términos de valor absoluto) es
183.2− para 4x , por lo que 4x debe convertirse en variable básica. Este cambio se
indica en la tabla 3.3.2 con un sombreado en la columna de 4x abajo del 183.2− .
Variable Ec. Coeficiente de Lado
básica Núm. Z 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x derecho
Z 0 1 -1.417 -1.433 -1.85 -2.183 -1.7 0 0 0 0
6x 1 0 12 7 8 10 7 1 0 0 7680
7x 2 0 8 9 4 0 11 0 1 0 7680
8x 3 0 5 10 7 3 2 0 0 1 7680
Tabla 3.3.2. Selección de la variable básica entrante
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
83
Parte 2: se determina la variable básica que sale; para lograrlo, a) se toma cada coeficien-
te estrictamente positivo de la columna sombreada; b) se divide el lado derecho de cada
renglón entre estos coeficientes; c) se identifica la ecuación con el menor cociente, y d) se
selecciona la variable básica para la ecuación (esta variable básica es la que llega a cero
primero cuando se incrementa la variable básica entrante). Se sombrea o enmarca el renglón
de esta ecuación en la tabla símplex sin incluir la columna Z y se le da el nombre de
renglón pivote (de aquí en adelante se usará el término renglón para hacer referencia a los
números de ese renglón que se encuentran a la derecha de la columna Z, y que incluyen las
constantes del lado derecho; los renglones se etiquetan con los números en la columna deno-
minada Ec. Núm.). El número que está en la intersección de ambos recuadros se llama
número pivote.
Variable Ec. Coeficiente de Lado
básica Núm. Z 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x der. Cociente
Z 0 1 -1.417 -1.433 -1.85 -2.183 -1.7 0 0 0 0
6x 1 0 12 7 8 10 7 1 0 0 7680 768
Mínimo
7x 2 0 8 9 4 0 11 0 1 0 7680 ___
8x 3 0 5 10 7 3 2 0 0 1 7680 2560
Tabla 3.3.3. Selección de la variable básica que sale.
Primera Tabla Símplex
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
84
En la tabla 3.3.3 se muestran los resultados de las partes 1 y 2 para el ejemplo; la prueba
del cociente mínimo para determinar la variable básica que sale se muestra a la derecha de
la tabla (en su última columna). En el renglón 2, el coeficiente de la columna pivote es cero,
así que los únicos dos coeficientes estrictamente positivos se encuentran en los renglones 1
y 3 (en el renglón 1 el coeficiente es 10, mientras que el coeficiente en el renglón 2 es 3 ).
Las razones para estos renglones son 76810
7680 = (para el renglón 1) y 25603
7680 =
(para el renglón 2), por lo que la razón mínima de 768 identifica al renglón 1 como el
renglón pivote (con 10 como número pivote). En consecuencia, la variable básica que
sale es 6x , es decir, la variable básica del renglón 1 (las otras variables básicas 7x y
8x no aparecen en este renglón, por cuanto sus coeficientes son 0).
Parte 3: se determina la nueva solución básica factible construyendo una nueva tabla
símplex en la forma apropiada de eliminación de Gauss, debajo de la que se tiene. En la
nueva tabla, las primeras tres columnas son las mismas que en la tabla inicial, sólo que la
variable básica entrante sustituye a la variable básica que sale en la columna de Variable
básica . Para cambiar el coeficiente de la nueva variable básica en el renglón pivote a 1 , se
divide todo el renglón entre el número pivote, así que
pivote número
antiguopivote renglón nuevopivote Renglón = .
En el ejemplo, como el renglón pivote antiguo es el renglón 1 sombreado en la tabla 3.3.3,
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
85
y el número pivote es 10, al aplicar la última fórmula se obtiene el nuevo renglón pivote,
como se muestra en la tabla 3.3.4.
Para completar la primera iteración es necesario seguir usando la eliminación de Gauss para
obtener coeficientes de 0 para la nueva variable básica 4x en los otros renglones (incluso
el renglón 0) de la tabla 3.3.4. Como el segundo renglón ya tiene coeficiente 0 para 4x
en la primera tabla símplex, este segundo renglón se puede copiar a la segunda tabla (que
corresponde a la iteración 1) sin cambios. No así los renglones 0 y 3 que tienen coeficien-
tes en la columna pivote de 183.2− y 3 respectivamente, así que cada uno de ellos
necesita cambiarse usando la siguiente fórmula:
nuevo) pivote renglón pivote columna la de te (coeficien antiguo Renglón
nuevo Renglón
×−=
Variable Ec. Coeficiente de Lado
básica Núm. Z 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x derecho
Z 0 1 -1.417 -1.433 -1.85 -2.183 -1.7 0 0 0 0
6x 1 0 1.2 0.7 0.8 1 0.7 0.1 0 0 768
7x 2 0 8 9 4 0 11 0 1 0 7680
8x 3 0 5 10 7 3 2 0 0 1 7680
Tabla 3.3.4. Preparación para la primera iteración del método símplex.
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
86
De otra forma, cuando el coeficiente de la columna pivote es negativo (como en el renglón
0), una expresión más conveniente para esta fórmula es
nuevo)pivote renglón )pivote columna la de e coeficient ( ( antiguo Renglón
nuevo Renglón
×−+=
A manera de ilustración, los renglones que aparecen en la tabla 3.3.5 se obtienen como
sigue:
)1677 , 00 218.017.0 0 1.0 095.0 203.1(
0 renglón nuevo
______________________________________________________________________
) 768 ,0 0 0.10.710.80.71.2 2.183)((
)0 , 00 07.1183.285.1433.1417.1( :0 Renglón
−−=
+−−−−−
Renglón 2; Sin cambio porque el coeficiente de la columna pivote es cero.
)1677 , 1 0 3.01.0 0 6.4 9.7 4.1(
3 renglón nuevo
________________________________________________________________
) 768 ,0 0 0.1 0.7 1 0.80.71.2 3)((
)7680 , 10 0 2 3 710 5 ( : 3Renglón
−−=
−
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
87
Estos cálculos llevan a la nueva tabla símplex que se muestra en la tabla 3.3.5:
Variable Ec. Coeficiente de Lado
básica Núm. Z 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x derecho
Z 0 1 1.203 0.095 - 0.1 0 - 0.17 0.218 0 0 1677
4x 1 0 1.2 0.7 0.8 1 0.7 0.1 0 0 768
7x 2 0 8 9 4 0 11 0 1 0 7680
8x 3 0 1.4 7.9 4.6 0 - 0.1 - 0.3 0 1 5376
Tabla 3.3.5. Final de la primera iteración..
Como las variables básicas siempre son iguales al lado derecho de la ecuación que les
corresponde, la nueva solución básica factible es :
)5376,7680,0,0,7680,0,0,0()x,x,x,x,x,x,x,x(x 87654321 == ,
con Z = 1677.
Este trabajo completa el paso iterativo, así que debe proseguirse con la prueba de optimalidad
para verificar si la nueva solución básica es óptima. Como el nuevo renglón (0) todavía tiene
coeficientes negativos, la solución no es óptima, por lo que se necesita una iteración más.
La tabla 3.3.6 nos muestra las variables entrante y la que sale en la siguiente iteración:
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
88
Variable Ec. Coeficiente de Lado
básica Núm. Z 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x der. Cociente
Z 0 1 1.203 0.095 - 0.1 0 - 0.17 0.218 0 0 1677
4x 1 0 1.2 0.7 0.8 1 0.7 0.1 0 0 768 1097.14
7x 2 0 8 9 4 0 11 0 1 0 7680 698.18
Mínimo
8x 3 0 1.4 7.9 4.6 0 - 0.1 - 0.3 0 1 5376 ��
Tabla 3.3.6. Iteración 1. Segunda Tabla Símplex
Así, vemos que la variable entrante es 5x y la saliente es 7x . Procediendo como en la
primera iteración, de la tabla 3.3.6 se obtiene la tabla 3.3.7.
Variable Ec. Coeficiente de Lado
básica Núm. Z 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x derecho
Z 0 1 1.328 0.236 -0.04 0 0 0.218 0.016 0 1797
4x 1 0 0.691 0.127 0.545 1 0 0.1 - 0.06 0 279.3
5x 2 0 0.727 0.818 0.364 0 1 0 0.091 0 698.2
8x 3 0 1.473 7.982 4.636 0 0 - 0.3 0.009 1 5446
Tabla 3.3.7. Final de la segunda iteración.
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
89
Dado que el renglón (0) aún contiene coeficientes negativos, se debe realizar una iteración
adicional. La tabla 3.3.8 nos muestra las variables entrante y saliente para la tercera itera-
ción:
Variable Ec. Coeficiente de Lado
básica Núm. Z 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x der. Cociente
Z 0 1 1.328 0.236 - 0.04 0 0 0.218 0.016 0 1797
4x 1 0 0.691 0.127 0.545 1 0 0.1 - 0.06 0 279.3 512.48
Mínimo
5x 2 0 0.727 0.818 0.364 0 1 0 0.091 0 698.2 1918.1
8x 3 0 1.473 7.982 4.636 0 0 - 0.3 0.009 1 5446 1174.7
Tabla 3.3.8. Tercera Tabla Símplex
Aplicando reducción gaussiana se obtiene la tabla
Variable Ec. Coeficiente de Lado
básica Núm. Z 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x derecho
Z 0 1 1.38 0.245 0 0.075 0 0.226 0.011 0 1818
3x 1 0 1.267 0.233 1 1.833 0 0.183 - 0.12 0 512
5x 2 0 0.267 0.733 0 - 0.67 1 - 0.07 0.133 0 512
8x 3 0 - 4.4 6.9 0 - 8.5 0 - 1.15 0.55 1 3072
Tabla 3.3.9. Final de la tercera iteración.
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
90
El rengón (0) de esta última tabla no contiene coeficientes negativos, luego la solución
obtenida 0x1 = , 0x2 = , 512x3 = , 0x4 = , 512x5 = , 0x6 = , 0x7 = y
0x8 = es óptima, dando un valor máximo para la función objetivo de Z = 1818 .
3.4. MÉTODO SÍMPLEX USANDO LA TÉCNICA M
(MÉTODO DE PENALIZACIÓN)
En los modelos de programación lineal aparecen con frecuencia restricciones de tipo igual-
dad o desigualdades del tipo ( ≥ ), por lo que no es posible en estos casos obtener una
solución factible básica de inicio con las variables de holgura.
Para disponer de una solución básica factible de inicio, se usan variables artificiales, las cuales
son no negativas y se suman al primer miembro de cada ecuación en la forma estándar del
modelo que no contenga variables de holgura, que sirvan de variables básicas de inicio.
Las variables artificiales desempeñan igual función que las variables de holgura. Sin embargo,
no tienen significado físico ni económico, de ahí el nombre de artificiales.
Para que el proceso de optimización sea válido se requiere que en la solución óptima estas
variables valgan cero, y se logra penalizándolas en la función objetivo. El método consiste en
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
91
utilizar coeficientes positivos muy grandes M( > )0> para las variables artificiales en la
función objetivo, sumadas si el problema es de minimización o restadas si es de maximización.
Lo anterior se verá más claro en los siguientes ejemplos.
OBSERVACIÓN. En los ejemplos que se resuelven en esta sección, las variables de holgu-
ra se denotan por , S1, S
2 , ..., etc.
Ejemplo I. Resolver el problema
Max [ 321 x5x3x2Z −+= ]sujeta a
≥≥≥=++
≥+−
.0x,0x,0x
7 xx x
10xx5x2
321
321
321
Solución: Escribimos el modelo en forma estándar
max [ 21321 MRMRx5x3x2Z −−−+= ]sujeta a;
≥=++
=+−+−
0R,R,S,x,x,x
7R+ xx x
10 RSxx5x2
211321
2321
11321
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
92
Construimos el siguiente tablero:
Variables Z 1x 2x 3x 1S 1R 2R Solución
Básicas
Z 1 -2 -3 5 0 M M 0
1R 0 2 - 5 1 - 1 1 0 10
2R 0 1 1 1 0 0 1 7
Tabla 3.4.1.
Para obtener el tablero inicial debemos obtener en el renglón Z coeficientes cero para las
variables artificiales 1R y 2R , multiplicando el renglón 1R y 2R por M− y
sumándoselo a l renglón Z, con lo que se obtiene:
Variables Z 1x 2x 3x 1S 1R 2R Solución
Básicas
Z 1 - 3M - 2 4M - 3 - 2M + 2 M 0 0 - 17 M
1R 0 2 - 5 1 - 1 1 0 10
2R 0 1 1 1 0 0 1 7
Tabla 3.4.2. Tablero inicial.
Aplicando el método símplex se obtiene la siguiente tabla óptima (los detalles se dejan al
lector):
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
93
Variables Z 1x 2x 3x 1S 1R 2R Solución
Básicas
Z 1 0 07
50
7
1
7
1M −
7
16M +
7
102
1x 0 1 07
6
7
1−7
1
7
5
7
45
2x 0 0 17
1
7
1
7
1−7
2
7
4
Tabla 3.4.3. Solución óptima al Ejemplo I
Por lo tanto, la solución óptima es:
7
102= Z max ,
7
45x1 =∗
, 7
4x2 =∗
, 0x3 =∗ , 0S1 =∗ .
Ejemplo II. Resolver el problema
[ ] x7x6x5= Z min 321 −−sujeta a
≥=++
≤+−≥−+
0x ,x ,x
5x x x
20x10x6 x5
15x3 x5x
321
321
321
321
Solución: Reescribimos el modelo en forma estándar e incluimos las variables artificiales. El
problema se puede expresar en la siguiente forma equivalente:
21321 MRMRx7x6x5 Z min ++−−=
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
94
sujeto a
.0R,R,X,X,x,x,x
5Rxxx
20Xx10x6x5
15RXx3x5x
2121321
2321
2321
11321
≥=+++=++−=+−−+
Construimos el tablero:
VB Z 1x 2x 3x 1X 1R 2X 2R Sol.
Z 1 - 5 6 7 0 M− 0 M− 0
1R 0 1 5 - 3 - 1 1 0 0 15
X2
0 5 -6 10 0 0 1 0 20
2R 0 1 1 1 0 0 0 1 5
Tabla 3.4.4.
Enseguida obtenemos coeficientes cero para 1R y 2R en el renglón Z conformando
el tablero inicial;
VB Z 1x 2x 3x 1X 1R 2X 2R Sol.
Z 1 5M2 − 6M6 + M27 − M− 0 0 0 M20
1R 0 1 5 - 3 - 1 1 0 0 15
2X 0 5 -6 10 0 0 1 0 20
2R 0 1 1 1 0 0 0 1 5
Tabla 3.4.5. Tablero inicial para el ejemplo II.
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
95
Ahora se aplica el método símplex para obtener:
VB Z 1x 2x 3x 1X 1R 2X 2R Sol.Z 1 - 115 /10 0 0 - 1 / 8 1 / 8 - M 0 - M - 53 / 8 - 125 / 4
2x 0 1 / 2 1 0 - 1 / 8 1 / 8 0 3 / 8 15 / 4
2X 0 3 0 0 - 2 2 1 - 4 30
3x 0 1 / 2 0 1 1 / 8 - 1 / 8 0 5 / 8 5 / 4
Tabla 3.4.6. Solución óptima al Ejemplo II.
Este tablero es óptimo, puesto que los coeficientes de la función objetivo (Renglón Z) son
todos no positivos ( 0≤ ). Por lo tanto, se obtiene como solución óptima factible
4
125Zmin −= , 0x1 =∗ ,
4
15x2 =∗
, 4
5x3 =∗
, , . X *1= 0 , X *
2= 30 .
Existe otra técnica alternativa para llevar a cabo el algoritmo símplex con variables artificiales
denominado TECNICA DE LAS DOS FASES, el cual no se discutirá en este módulo,
pero se recomienda su consulta al lector.
EJERCICIOS PROPUESTOS DEL CAPITULO III. METODO SÍMPLEX.
3.1. Obtener la tabla 3.4.2.
3.2. Obtener la tabla 3.4.6.
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
96
3.3. Maximizar la función 21 xxZ +=
sujeta a
≥≤+=+
.0x,x
6x2x7
5x3x2
21
21
21
3.4. Maximizar la función 321 x3x5xZ ++=sujeta a
≥≥≥=−=++
.0x,0x,0x
4xx2
3xx2x
321
21
321
Utilice una variable artificial en la segunda restricción y use 3x como variable básica deinicio.
3.5. Maximizar 321 x3x2x3Z ++=
sujeta a
≥≥≥≥++≤++
.0x,0x,0x
8x2x4x3
2xxx2
321
321
321
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
97
3.6. Minimizar 21 x4xZ +=sujeta a
≥≥+≥+
.0x,x
12x2x3
8x2x
21
21
21
Resuelva este problema por medio de:
a. Método gráfico.
b. Método Símplex.
Compare los resultados de a y b.
3.7. Minimícese la función 4321 x2x3xx6Z −++=sujeta a
≥≥≥≥=++≥−−+≤+
.0x,0x,0x,0x
30xx2x
10xxx3x2
42xx
4321
431
4321
21
3.8. Resolver el modelo del ejemplo 1.4.
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
98
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
99
4.1. PROGRAMA SIMPLEX EN MATHEMATICA®
El programa �Símplex� y otros aquí presentados fueron escritos por Alvaro Salas. El propósito
de este capítulo consiste en mostrar el algoritmo PASO A PASO y de una manera
INTERACTIVA entre el usuario y el computador. El programa se presenta al final en el
anexo y corre en MATHEMATICA®, versiones 2.2 y posteriores. Los comandos creados,
junto con sus respectivos formatos, se presentan a continuación :
1. Comando �Símplex� .
Sus formatos son :
Símplex[Max,función objetivo Z,
{restricción 1, restricción 2,...,restricción k}] ( si se trata de maximizar Z)
Símplex[Min,función objetivo Z,
{restricción 1, restricción 2,...,restricción k}] ( si se trata de minimizar Z)
Este programa proporciona el problema original e introduce en forma automática las varia-
bles de holgura,artificiales y/o de superávit. Muestra el problema en forma estándar , en
donde todas las restricciones son ecuaciones junto con la tabla símplex inicial. Además, el
programa supone que todas las variables son no negativas.
Capítulo IV
IMPLEMENTACION DEL ALGORITMO SIMPLEX ENMATHEMATICA®
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
100
EJEMPLO I.
Maximizar la función 21 xxZ +=
sujeta a
≥≤+=+
.0x,x
6x2x7
5x3x2
21
21
21
In[1]:= T0=Símplex[Max,x1+x2,{2*x1+3*x2==5,7*x1+2*x2<=6}];
Out[1]=
Problema Original :
Maximizar : W = x1 + x2
Sujeta a :
2 x1 + 3 x2 == 5
7 x1 + 2 x2 <= 6
Forma Estándar del problema :
Maximizar :
Z =x1 + x2 - M R1
Sujeta a :
2 x1 + 3 x2 + R1 == 5
7 x1 + 2 x2 + S1 == 6
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
101
Tipos de Variables :
Variables Originales ={x1, x2}
Variables de Holgura ={S1}
Variables Artificiales ={R1}
Variables Básicas ={R1, S1}
Tabla Símplex inicial :
2. Comando �sumar�. Su formato es :
sumar[Tabla,i,k,j]
Esta instrucción multiplica la i -ésima fila ( renglón ) de la tabla �Tabla� por k y la suma al
renglón j de la misma. Esta operación se aplica, en particular, cuando se usa la técnica de la
M (técnica de la penalización) con el fin de volver consistente la tabla símplex inicial con el
valor que la función objetivo penalizada toma en la solución básica inicial.
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
102
EJEMPLO II. Multipliquemos la fila 1 de la tabla T0 por -M y sumemos este resultado a
la fila 0 de dicha tabla :
In[2]:= T1= sumar[T0, 1,-M,0]
Out[2] =
3. Comando � buscar�. Su formato es :
buscar[Tabla]
Este comando se aplica cuando se tiene una tabla símplex consistente con el valor que la
función objetivo toma en la solución básica factible inicial. El comando � buscar�, como su
nombre lo indica, busca la variable que entra y la variable que sale en la primera iteración.
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
103
EJEMPLO III. Apliquemos el comando � buscar� a la tabla T1 :
In[3]:= T2 = buscar[T1];
Out[3]=
Sale R1; Entra x2. Aplique: iterar[%#salida,1,2]
3. Comando �iterar�. Su formato es :
iterar[Tabla,i,j]
Este comando convierte en uno el elemento que se encuentra en la intersección del rengló
(fila) i y la columna j (el elemento pivote) y simultáneamente crea ceros arriba y debajo del
pivote. Al mismo tiempo, ubica el nuevo elemento pivote ( si tal existe ).
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
104
EJEMPLO IV. Apliquemos el comando � iterar� a la tabla T2 :
In[4]:= T3 = iterar[T2,1,2];
Out[4] =
Sale S1; Entra x1. Aplique : iterar[%#salida,2,1]
Una vez más, apliquemos el comando iterar :
In[5]:= T4 = iterar[T3,2,1];
Out[5]=
Valores de las variables básicas :
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
105
CONCLUSION. Solución óptima :
Como puede apreciarse, al aplicar el comando «iterar» reiteradamente, obtenemos la
conclusión. En el caso que tenemos, el máximo valor de Z es igual a 17
31, el cual se alcanza
para 17
8x1 = y
17
23x2 = ..
El siguiente ejemplo ilustra el aspecto geométrico del algoritmo símplex. En las gráficas se
puede apreciar la ruta del algoritmo, es decir, cómo pasa de un vértice de la región factible a
uno adyacente.
EJEMPLO V. Maximizar la función
2x21xZ +=
sujeta a :
≥≤+≤+≤+
≤≤+−
02x , 1x
392x 1x6
152x 1x2
102x 1x
6 2x
3 2x1x
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
106
SOLUCION.
In[6]:= T0=Símplex[Max,x1+2x2,{-x1+x2<=3,x2<=6,x1+x2<=10,
12x1+x2<=15,6x1+x2<=39}]
Out[6]= Problema Original:
Maximizar : W=x1+2x2
Sujeta a:
-4x1 +x2 <= 0
-x1 +x2 <= 3
x2 <= 6
x1 +x2 <= 10
2x1 +x2 <= 15
6x1 +x2 <= 39
Forma estándar del problema :
Maximizar : Z = x1+2x2
Sujeta a :
-4x1 +x2+S1 ==0
-x1 +x2 +S2 ==3
x2 +S3 ==6
x1 +x2 +S4 ==10
2x1 +x2 +S5 ==15
6x1 +x2 +S6 ==39
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
107
Tipos de variables:
Variables Originales = {x1,x2}
Variables de Holgura = {S1,S2,S3,S4,S5,S6}
Variables Básicas = {S1,S2,S3,S4,S5,S6}
Tabla Símplex inicial :
Por cuanto esta tabla símplex es consistente (no se aplica la técnica de la M, ya que todas las
restricciones tienen el signo ≤ y los lados derechos de las mismas son no negativos)
procedemos a buscar la variable que entra y la que sale en la primera iteración :
In[7]:= T1=buscar[T0];
Out[7]=
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
108
Sale S1; Entra x2. Aplique : iterar[%#salida,1,2]
In[8]:= T2=iterar[T1,1,2];
Out[8]=
Sale S2; Entra x1. Aplique : iterar[%#salida,2,1]
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
109
Interpretación gráfica :
In[9]:= T3 = iterar[T2,2,1];
Out[9]=
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
110
Sale S3; Entra S1. Aplique : iterar[%#salida,3,3]
Interpretación gráfica :
In[10]:=T4=iterar[T3,3,3];
Out[10]=
Sale S4; Entra S2. Aplique : iterar[%#salida,4,4]
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
111
Interpretación gráfica :
In[11]:= T5 = iterar[T4,4,4];
Out[11] =
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
112
CONCLUSION. Solución óptima : {Z->16,x1->4,x2->6}.
Interpretación gráfica :
4.2. CASOS ESPECIALES EN LA APLICACIÓN DEL MÉTODO SIMPLEX
Enseguida mostraremos la aplicabilidad del programa en diferentes situaciones (casos
especiales del método símplex).
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
113
4.2.1. PROBLEMAS SIN SOLUCIÓN
EJEMPLO VI ( Problema sin solución factible ).
Un problema de programación lineal no tiene solución factible alguna cuando al aplicar la
técnica de la M al menos una variable artificial es básica y toma un valor positivo en la tabla
símplex final .
Esto significa que las restricciones no pueden ser satisfechas simultánaeamente.
Minimizar : 21 x4xZ −=
Sujeta a:
≥≥≥+≤+
≥+
0x ,0x
6xx
1xx
2x2x
21
21
21
21
SOLUCION.
Primero que todo, es evidente que el problema carece de soluciónes básicas, por cuanto las
restricciones 1xx 21 ≤+ y 6xx 21 ≥+ son contradictorias. Verifiquemos esto usando el
algoritmo símplex :
In[12]:=T0 = Símplex[Min,x1-4x2,
{x1+2x2>=2,x1+x2<=1,x1+x2>=6}]
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
114
Out[12] =
Problema Original :
Minimizar W = x1-4x2
Sujeta a :
x1+2x2>=2
x1 +x2<=1
x1 +x2>=6
Forma estándar del problema :
Maximizar : Z = x1-4x2-M*R1-M*R2
Sujeta a :
x1 +2x2 -Y1 +R1 ==2
x1 + x2 +S1 ==1
x1 + x2 -Y2 +R2 ==6
Tipos de variables :
Variables Originales = {x1,x2}
Variables de Holgura = {S1}
Variables Artificiales = {R1,R2}
Variables de Superávit = {Y1,Y2}
Variables Básicas = {R1,S1,R2}
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
115
Tabla símplex inicial :
Esta tabla nos proporciona la solución básica factible inicial
0x1 = , 0x2 = , 0Y1 = , 1S1 = , 2R1 = , 6R2 = .
Esta tabla no es consistente con el valor que la función objetivo 2121 MRMRx4xZ −−−=
toma en la solución básica, el cual es M86M2M040Z −=⋅−⋅−⋅−= . En la tabla
símplex inicial, el valor de Z es 0Z = . Con el fin de volver consistente la tabla símplex es
preciso anular los coeficientes de 1R y 2R en la función objetivo.
Inicialmente anulamos el coeficiente de 1R multiplicando la fila 1 por �M y sumando este
resultado a la fila 0 :
In[13]:= T1 = sumar[T0,1,-M,0];
Out[13] =
Enseguida anulamos el coeficiente de 2R multiplicando la fila 3 de la tabla T1 por �M y
sumándola a la fila 0 :
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
116
In[14]:= T2 = sumar[T1,3,-M,0];
Out[14] =
En este momento la tabla símplex es consistente. Por lo tanto, podemos empezar a aplicar el
algoritmo símplex, para lo cual usamos el comando �buscar� :
In[15]:= T3 = buscar[T2];
Out[15] =
Sale R1; Entra x2. Aplique : iterar[%#salida,1,2]
In[16]:= T4 = iterar[T3,1,2];
Out[16] =
Sale S1; Entra Y1. Aplique : iterar[%#salida,2,6]
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
117
In[17]: = T5 = iterar[T4,2,6];
Out[17] =
CONCLUSION : El problema carece de solución factible, por cuanto una de las variables
artificiales (R2) es básica y toma un valor positivo en la tabla símplex final.
4.2.2. PROBLEMAS NO ACOTADOS
EJEMPLO VII ( Problema cuya función objetivo es no acotada ).
Minimizar : 21 x4x3W −=
Sujeta a :
≥≥+≤−≤−
0 x ,x
6x x
1x6x
2x2x
21
21
21
21
SOLUCION.
Al observar las restricciones podemos apreciar que si 0x1 = y 2x toma cualquier valor
positivo 6≥ , entonces 2x4W −= decrece sin límite y no se viola ninguna de las restricciones.
Por lo tanto, si 0x1 = y 2x es suficientemente grande, entonces W es suficientemente
grande y toma valor negativo. Geométricamente, este hecho se ilustra como sigue :
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
118
Matemáticamente, −∞→−= 2x4W cuando 0x1 = y ∞→2x . Esto nos dice que la
función objetivo es no acotada en la dirección de 2x . Por lo tanto, ∞= - W Min .
Veamos que la función es no acotada por medio del algoritmo símplex :
In[17]:= T0 = Símplex[Min,3x1-4x2,{x1-2x2<=2,x1-6x2<=1,x1+x2>=6}];
Out[17] =
Problema Original :
Minimizar : W = 3x1-4x2
Sujeta a :
x1-2x2<=2
x1-6x2<=1
x1 +x2>=6
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
119
Forma Estándar del problema :
Maximizar : Z=-3x1+4x2-M*R1
Sujeta a :
x1-2x2+S1 ==2
x1-6x2 +S2 ==1
x1 +x2 -Y1+R1==6
Tipos de variables :
Variables Originales = {x1,x2}
Variables de Holgura = {S1,S2}
Variables Artificiales = {R1}
Variables de Superávit = {Y1}
Variables Básicas = {S1,S2,R1}
Tabla Símplex inicial :
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
120
Enseguida volvemos consistente la última tabla símplex :
In[18]:= T1 =sumar[T0,3,-M,0];
Out[18] =
En este momento procedemos a aplicar el algoritmo símplex :
In[19]:= T2 =buscar[T1];
Out[19] =
Sale R1; Entra x2. Aplique: iterar[%#salida,3,2]
In[20]:= T3 =iterar[T2,3,2];
Out[20] =
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
121
CONCLUSION : LA FUNCION OBJETIVO ES NO ACOTADA.
El programa obtiene como conclusión que la función objetivo es no acotada. El criterio para
determinar la no acotabilidad de una función objetivo es que en la tabla símplex inicial ( que
sea consistente) o en determinada iteración todos los coeficientes de alguna variable sean
menores o iguales a cero.
En el ejemplo que estamos trabajando, podemos observar que todos los coeficientes de la
variable Y1 (que se ubica en la columna 6 de la última tabla símplex) son negativos. De ahí la
no acotabilidad de nuestra función objetivo.
4.2.3. PROBLEMAS CON SOLUCIONES ÓPTIMAS ALTERNATIVAS
EJEMPLO VIII ( Optimos alternativos )
Maximizar :
321 x25x12x20W ++=
Sujeta a :
≥≥≥≤≤≤
≤++
0x ,0x ,0x
1 x
1 x
1 x 4
47 x
4
25 x3 x5
321
3
2
1
321
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
122
SOLUCION.
In[21]:= T0 =Símplex[Max,20x1+12x2+25x3,
{5x1+3x2+25/4*x3<=47/4,x1<=1,x2<=1,x3<=1}];
Out[21] =
Problema Original :
Maximizar W = 20x1+12x2+25x3
Sujeta a :
5x1+3x2+25x3/4<=47/4
x1<=1
x2<=2
x3<=3
Forma Estándar del problema :
Maximizar Z= 20x1+12x2+25x3
Sujeta a :
5 x1+3 x2+25/4 x3+S1 == 47/4
x1 +S2 == 1
x2 +S3 == 1
x3 +S4 == 1
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
123
Tipos de Variables :
Variables Originales = {x1,x2,x3}
Variables de Holgura = {S1,S2,S3,S4}
Variables Básicas = {S1,S2,S3,S4}
Tabla Símplex Inicial :
In[22]:= T1=buscar[T0];
Out[22]=
Sale S4; Entra x3. Aplique : iterar[%#salida,4,3]
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
124
In[23]:= T2=iterar[T1,4,3];
Out[23] =
Sale S3; Entra x1. Aplique : iterar[%#salida,2,1]
In[24]:= T3 = iterar[T2,2,1];
Out[24] =
Sale S3; Entra x2. Aplique : iterar[%#salida,1,2]
In[25]:= T4 = iterar[T3,1,2];
Out[25] =
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
125
CONCLUSION:
Solución Optima :
Existen óptimos alternativos. Para obtenerlos, aplique sucesivamente :
OptAlt[%#salida,3,5]; OptAlt[%#salida,3,7]
In[26]:= T5 = OptAlt[T4,3,5];
Out[26] =
In[27]:= T6 = OptAlt[T4,3,7];
Out[27] =
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
126
Lo anterior corresponde al resultado del programa al interactuar con el usuario. Observemos
la tabla T4 del último ejemplo. Al observar las variables no básicas S1,S2 y S4, vemos que
dos de ellas tienen coeficiente cero en la función objetivo. Esto significa que cualquiera de
ellas puede entrar en una nueva solución básica sin cambiar el valor de Z pero ocasionando
un cambio en los valores de las variables. La tabla T5 es el resultado de aplicar una iteración
del método símplex, escogiendo como pivote el elemento que se encuentra en la intersecciión
dela fila 3 y la columna 5 de la tabla T4, es decir, sale S3 y entra S2. En esta iteración, se
escogió la variable S2 como la variable que entra por tener coeficiente cero en la columna
5 y para determinar que S3 es la variable que sale de la solución básica se ha aplicado el
criterio del cociente no negativo mínimo.
Esta iteración nos proporciona una nueva solución básica óptima :
1x ,1x ,2
1x ,47Z 321 ==== .
De manera análoga, a partir de la tabla T4 se obtiene la tabla T6, en donde ha entrado S4 y
ha salido S3. La tabla T6 nos proporciona una nueva solución óptima :
5
3x ,1x ,1x ,47Z 321 ==== .
De esta manera, a partir de la tabla T4, la cual nos proporciona la solución óptima
1x ,6
1x ,1x ,47Z 321 ==== ,
se obtienen dos soluciones óptimas adicionales, dadas por las tablas T5 y T6. Estas solucio-
nes constituyen óptimos alternativos.
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
127
Geométricamente, estos óptimos alternativos se interpretan como sigue: Las �líneas� de nivel
de la función objetivo vienen dadas por ecuaciones de la forma
cx25x12x20 321 =++ ,
en donde c es una constante. Las gráficas de estas ecuaciones en el espacio tridimensional
321 x x x representan una familia de planos mutuamente paralelos. La función objetivo crece
en la dirección del vector )25 ,12 ,20(v = , cuyas coordenadas son los coeficientes de
1x , 2x y 3x en la función objetivo, respectivamente. Entonces, al aumentar el valor de c ,
estamos moviendo el plano cx25x12x20 321 =++ en la dirección del vector v .
De otro lado, la gráfica de la región factible, dada por las restricciones
≥≥≥≤≤≤
≤++
0x ,0x ,0x
1 x
1 x
1 x 4
47 x
4
25 x3 x5
321
3
2
1
321
es un cubo con uno de sus vértices �cortado� en forma de triángulo. En un momento dado
uno de los planos coincide en parte con la superficie del triángulo. Cada uno de los vértices
1 ,6
1 ,1 P ,
1 1, ,2
1Q y
5
3 1, ,1R del triángulo PQR representa una solución
óptima para nuestro problema. Cabe anotar que cualquier punto X que se encuentre sobre
la superficie del triángulo también representa una solución óptima para nuestro problema.
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
128
La expresión general para X es
R)1)(1(Q)1(PX λαλαλ −−+−+=
( ) ( )
−++−−= αλαλλα
15
2
5
2
5
3 ,
6
5-1 ,1
21 ,
en donde 10 ≤≤ αα y 10 ≤≤ λλ . En otras palabras, si
( )λα −−= 12
1x1 , 6
51x2
λ−= y ( )αλα −++= 15
2
5
2
5
3x3 ,
entonces 47x25x12x20W 321 =++= .
El punto P se obtiene cuando 1=λλ cualquiera que sea αα . El punto Q resulta al tomar y
0=λλ . Finalmente, R se obtiene al hacer 0=αα y 0=λλ .
De esta manera, el triángulo PQR y su superficie constituyen un conjunto de óptimos
alternativos.
En la siguiente gráfica se ilustra lo anteriormente comentado:
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
129
Ahora examinemos la ruta del algoritmo símplex : Las tablas T1, T2, T3 y T4 nos proporcionan
la siguiente sucesión de soluciones básicas :
( ) ( ) ( ) ( )43421434214342143421
4321 TTTT1 ,1/6 ,1P1 ,0 ,1N1 ,0 ,0M0 ,0 ,0O =→=→=→=
.
Esta sucesión corresponde a vértices consecutivos de la región factible (cubo) como se
ilustra a continuación :
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
130
ANEXO
CÓDIGO DEL PROGRAMA QUE REALIZA EL ALGORITMO SÍMPLEX
EN EL LENGUAJE DE MATHEMATICA
<<LinearAlgebra�MatrixManipulatuions�;
Mat[ecu_,Var_]:=Module[{coe,ind},
{coe[e_,v_]:=Map[Coefficient[e[[1]]-e[[2]],#]&,v],
i n d [ e _ , v _ ] : = ( - e [ [ 1 ] ] + e [ [ 2 ] ] ) / . A r r a y [ v [ [ # ] ] -
>0&,Length[v]]};
Map[Flatten[{coe[#,Var],ind[#,Var]}]&,ecu]];
ver0[Mat1_,Var_,Bas_]:=
Module[{SOLBA,pr,Mat,b,nv,MR,fila1,fila2,fila3,fila4,
fila5,Res},
{SetOptions[$Output,PageWidth->Infinity];
SOLBA[TT_]:=Module[{Art,Vorig,nn,k,zna,zna1,vb},
{Art=Select[Var,Level[#,{-1}][[1]]===R&],
Vorig=Select[Var,Not[Level[#,{-1}][[1]]===R||
Level[#,{-1}][[1]]===S||Level[#,{-1}][[1]]===Y]&],
nn=Delete[Var,Map[{#}&,
Flatten[Map[Position[Var,#]&,Bas]]]],
k=Length[nn],zna1=Flatten[TakeColumns[TT,{-1,-1}]],
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
131
zna=Drop[zna1,1],vb=Inner[Rule,Bas,zna,List]};
Join[{�Z�->First[zna1]},vb]];
pr[uu_]:=uu,
Mat=Module[{f1,posli,f2},
{f1=Map[pr,Drop[Mat1[[1]],-1]],
posli=Last[Mat1[[1]]],f2=Insert[f1,posli,-1]};
ReplaceHeldPart[Mat1,f2,1]],
b=Length[Bas],nv=Length[Var],MR=Delete[Mat,1],
fila1=Flatten[Join[Insert[Var,{�Vb.�,�|�,�#�,�|�},1],
{�|�,�Sol.�,�|�,��}]],
fila2=Join[{��,�|�,��,��},Array[#&,nv],{��,��,��,��}],
fila3=Insert[Array[�__�&,nv+7],��,-1],
fila4=Flatten[Join[Insert[
Flatten[Insert[
Mat[[1]],{�Z�,�|�,�0",�|�},1]],�|�,-2],{�|�,�Coc.�}]],
fila5=Array[�__�&,nv+8],
demfi[ii_]:=Module[{ff},
{ff=Join[Insert[Join[{Bas[[ii]],�|�,ii,�|�},
MR[[ii]]],�|�,-2],{�|�,h[ii]}]};ff],
Res=Transpose[Drop[Transpose[Join[{fila1,fila2,fila3,
fila4,fila5},
Table[demfi[i],{i,1,Length[Bas]}]]],-2]];
Print[TableForm[Res,
TableAlignments->{Center,Center},
TableSpacing->{0,2}]];Print[��];
Print[�Valores de las variables básicas:�];
Print[SOLBA[Mat1]];};{{},{Mat,Var,Bas}}];
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
132
ver[MM3_]:=ver0[MM3,Var,Bas];
sim[Mat1_,Var_,Bas_,Cocientes_]:=
Module[{pr,Mat,b,nv,MR,fila1,fila2,fila3,fila4,fila5},
{SetOptions[TableForm,TableAlignments->{Center,Center},
TableSpacing->{0,2}];
pr[uu_]:=uu,
Mat=Module[{f1,posli,f2},
{f1=Map[pr,Drop[Mat1[[1]],-1]],posli=Last[Mat1[[1]]],
f2=Insert[f1,posli,-1]};
ReplaceHeldPart[Mat1,f2,1]],
b=Length[Bas],nv=Length[Var],MR=Delete[Mat,1],
fila1=Flatten[Join[Insert[Var,
{�Vb.�,�|�,�#�,�|�},1],{�|�,�Sol.�,�|�,��}]],
fila2=Insert[Array[�__�&,nv+7],��,-1],
fila3=Flatten[Join[Insert[
Flatten[Insert[Mat[[1]],
{�Z�,�|�,��,�|�},1]],�|�,-2],{�|�,�Coc.�}]],
fila4=Join[{��,�|�,�0",��},Array[#&,nv],{��,��,��,��}],
fila5=Array[�__�&,nv+8],
demfi[ii_]:=Module[{ff},
{ff=Join[Insert[Join[{Bas[[ii]],�|�,ii,�|�},MR[[ii]]],
�|�,-2],{�|�,Cocientes[[ii]]}]};ff]};
Join[{fila1,fila2,fila3,fila4,fila5},
Table[demfi[i],{i,1,Length[Bas]}]]
](*El programa �sim� es auxiliar para las funciones
�buscar� e �iterar�.*);
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
133
Hallmin[L_,MM_]:=Module[{L1,men1,L2,L3},
{L1=Map[Coefficient[Expand[#],MM]&,L],
men1=Flatten[Position[L1,Min[L1]]],
L2=L[[men1]],L3=Sort[L2,
Coefficient[#1,MM,0]<=Coefficient[#2,MM,0]&]};
First[L3]],
fila1=Drop[MA[[1]],-1],Clear[M];
polnieb=Flatten[Map[Position[Var,#]&,
Complement[Var1,Bas1]]],menor=Hallmin[fila1,M],
cM=Coefficient[Expand[menor],M],
cL=Coefficient[Expand[menor],M,0],
ncol=Flatten[Position[fila1,menor]][[1]],
ulc=Drop[Last[Transpose[MA]],1],
coi=Drop[Transpose[MA][[ncol]],1],
decidir=If[cM>0||cM===0&&cL>=0||Max[coi]<=0,{},menor],
crit[{a_,b_}]:=If[N[b]<0||N[a]<=0,�*�,N[b/a]],
otnosh=Map[crit[#]&,Inner[List,coi,ulc,List]]/.
{�*�->Infinity},
nfil=If[decidir==={}||Max[coi]<=0,{},
Flatten[Position[otnosh,Min[otnosh]]][[1]]],};
Which[decidir==={}&&posib==={},
{{},ver0[MA,Var1,Bas1];Otviet0[MA,Var1,Bas1];
{MA,Var1,Bas1}},
Not[decidir==={}]&&posib==={},
Print[TableForm[intro[sim[MA,Var1,Bas1,
otnosh/.{Infinity->�*�}],
nfil+5,ncol+4]]];
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
134
Print[SequenceForm[�Sale �, Bas1[[nfil]],
�; Entra �,Var1[[ncol]],
�. Aplique: �,iterar,�[%#salida,�,
nfil,�,�,ncol,�]�]];{{nfil,ncol},{MA,Var1,Bas1}},
decidir==={}&&Not[posib==={}],
{{},ver0[MA,Var1,Bas1];
{MA,Var1,Bas1}}]];
buscar[LL_]:=Apply[buscar0,LL[[2]]];
iterar0[NN1_,Var1_,Bas1_,i1_,j1_,posib_:{}]:=
Module[{pr,NN,nuevas,uno,nuli},
{SetOptions[$Output,PageWidth->Infinity];
SetOptions[TableForm,TableAlignments->{Center,Center},
TableSpacing->{0,2}];pr[uu_]:=uu,
NN=Module[{f1,posli,f2},
{f1=Map[pr,Drop[NN1[[1]],-1]],posli=Last[NN1[[1]]],
f2=Insert[f1,posli,-1]};
ReplaceHeldPart[NN1,f2,1]],
nuevas=ReplaceHeldPart[Bas1,Hold[Var1[[j1]]],i1],
uno[i_,j_,A_]:=Module[{fn,A1},
{fn=If[A[[i,j]]===0,A[[i]],1/A[[i,j]]*A[[i]]],
A1=ReplaceHeldPart[A,Hold[fn],i]};
Chop[A1,10^-15]],
nuli[i_,j_,A_]:=Module[{a1,f1,A1,A2},
{a1=A[[i,j]],f1[s_]:=-A[[s,j]]*A[[i]]+a1*A[[s]],
A1[1]:=If[i===1,A,ReplaceHeldPart[A,Hold[f1[1]],1]],
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
135
A1[kk_]:=A1[kk]=If[kk===i,A1[kk-1],
ReplaceHeldPart[A1[kk-1],Hold[f1[kk]],kk]],
A2=A1[Length[A]]};
Chop[A2,10^-15]];
V1=uno[i1+1,j1,NN],
V2=Map[Expand[#]&,nuli[i1+1,j1,V1],Infinity]};
buscar0[V2,Var1,nuevas,posib]];
iterar[LL_,ii_,jj_]:=iterar0[LL[[2]][[1]],LL[[2]][[2]],
LL[[2]][[3]],ii,jj];
OptAlt[LL_,ii_,jj_,posib_:{{}}]:=iterar0[LL[[2]][[1]],LL[[2]][[2]],LL[[2]][[3]],ii,jj,posib];
sumar0[A0_,Var_,Bas_,i1_,k1_,j1_]:=
Module[{i,j,m1,n1,f1,f2,A1,A2},
{SetOptions[TableForm,TableAlignments-
>{Center,Center},
TableSpacing->{0,2}];
SetOptions[$Output,PageWidth->Infinity];
i=i1+1,j=j1+1,f1=k1*A0[[i]],f2=f1+A0[[j]],
A1=ReplaceHeldPart[A0,Hold[f2],j],
ver0[Chop[A1,10^-15],Var,Bas]};
{{},{A1,Var,Bas}}];
sumar[A0_,i1_,k1_,j1_]:=sumar0[A0[[2]][[1]],
A0[[2]][[2]],A0[[2]][[3]],i1,k1,j1];
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
136
Otviet0[M1_,Var_,Bas_]:=Module[
{Art,Vorig,polnieb,pobap,colni,crit,cociente,alt1,
alt,Hallmin,SOLBA,stroka,fila1,pequ,naim,col,stolb,
ulc,nec1},
{Art=Select[Var,Level[#,{-1}][[1]]===R&],
Vorig=Select[Var,Not[Level[#,{-1}][[1]]===R||
Level[#,{-1}][[1]]===S||Level[#,{-1}][[1]]===Y]&],
polnieb=Flatten[Map[Position[Var,#]&,
Complement[Var,Bas]]],pobap=Module[{c2,i3,i4},
{c2=Drop[Last[Transpose[M1]],1],i3=Select[c2,#>0&],
i4=Union[Flatten[Map[Position[c2,#]&,i3]]]};i4],
colni=Module[{Mt,xx},
{Mt=Transpose[M1],
xx[JJ_]:=First[JJ]};
Select[Map[{#,Mt[[#]]}&,
polnieb],Max[#[[2]]]>0&&xx[#[[2]]]===0&]],
crit[{a_,b_}]:=If[N[b]>0&&N[a]>0,b/a,Infinity],
cociente[col_,ul_]:=Module[{col1,ul1,coc,ii,jj},
{col1=Drop[col[[2]],1],ul1=Drop[ul,1],
coc=Map[crit[#]&,Inner[List,col1,ul1,List]],
ii=Flatten[Position[coc,Min[coc]]][[1]],
jj=col[[1]]};
If[Min[coc]===Infinity||colni===
}||ii==={},
{},{ii,jj}]],
alt1=Module[{L1},
{L1=Map[cociente[#,Last[Transpose[M1]]]&,colni]};
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
137
If[Select[L1,Not[#==={}]&]==={},{},
Select[L1,Not[#==={}]&]]],
alt=If[alt1==={},{},alt1[[1]]],
Hallmin[L_,MM_]:=Module[{L1,men1,L2,L3},
{L1=Map[Coefficient[Expand[#],MM]&,L],
men1=Flatten[Position[L1,Min[L1]]],
L2=L[[men1]],
L3=Sort[L2,Coefficient[#1,MM,0]<=
Coefficient[#2,MM,0]&]};First[L3]];
SOLBA[TT_]:=Module[{Art,Vorig,int,nn,k,zna,
zna1,vb1,vno,vor,vb,sust},
{Art=Select[Var,Level[#,{-1}][[1]]===R&],
Vorig=Select[Var,Not[Level[#,{-1}][[1]]===R||
Level[#,{-1}][[1]]===S||Level[#,{-1}][[1]]===Y]&],
int=Intersection[Bas,Art],
nn=Delete[Var,Map[{#}&,
Flatten[Map[Position[Var,#]&,Bas]]]],
k=Length[nn],
zna1=Flatten[TakeColumns[TT,{-1,-1}]],
zna=Drop[zna1,1],vb1=Select[Inner[List,Bas,zna,List],
Not[Intersection[#,Vorig]==={}]&],
vno=Map[{#,0}&,Complement[Vorig,Map[#[[1]]&,vb1]]],
vor=Map[#/.{List->Rule}&,Union[vb1,vno]],
vb=Inner[Rule,Bas,zna,List],
sust=Module[{uu1,uu2},
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
138
{uu1=Select[Inner[List,Bas,zna,List],
Not[Intersection[#,int]==={}]&],
uu2=Select[uu1,#[[2]]>0&]};uu2]};
If[sust==={},
Join[{�Z�->First[zna1]},vor],
Join[{{}
,{�Z�->First[zna1]},vor]]];
stroka=M1[[1]],fila1=stroka[[polnieb]],
pequ=Hallmin[fila1,M],naim=Limit[pequ,M->Infinity],
col=Flatten[Position[stroka,pequ]][[1]],
stolb=Drop[Transpose[M1][[col]],1],
ulc=Last[Transpose[M1]],
nec1=(Hallmin[Drop[ulc,1],M]/.{M->1})>=0};
If[Not[nec1],Print[�Tabla incorrecta, puesto que en
la última columna\nhay números negativos.�],
Which[naim>0&&Not[SOLBA[M1][[1]]==={}],
Print[��];Print[�CONCLUSION :�];
Print[�Solución óptima :�];
Print[SOLBA[M1]],
naim>0&&SOLBA[M1][[1]]==={}||SOLBA[M1][[1]]==={},
Print[��];Print[�CONCLUSION :�];
Print[�El problema carece de solución factible\npor
cuanto una de las variables artificiales es básica\ny
toma un valor positivo en la tabla símplex final.�],
naim===0&&alt==={},
Print[��];Print[�CONCLUSION :�];
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
139
Print[�Solución óptima :�];
Print[SOLBA[M1]],
naim===0&&Not[alt==={}],
Print[��];Print[�CONCLUSION :�];
Print[�Solución óptima :�];
Print[SOLBA[M1]];
If[Length[alt1]===1,
Print[�Existe un óptimo alternativo.�];
Print[SequenceForm[�Para obtenerlo, aplique :�,
Map[SequenceForm[�OptAlt[�,�% #salida,�,#[[1]],�,�,
#[[2]],�]�]&,
alt1]]],
Print[�Existen óptimos alternativos.�];
Print[�Para obtenerlos,
aplique sucesivamente:�];
Print[TableForm[Map[SequenceForm[�OptAlt[�,�%#salida,�,#[[1]],�,�,
#[[2]],�]�]&,
alt1]]];
Print[��]],
naim<0&&Max[stolb]<=0,
Print[��];Print[�CONCLUSION :�];
Print[�LA FUNCION OBJETIVO ES NO ACOTADA.�]]]];
Otviet[M2_]:=Otviet0[M2[[2]][[1]],M2[[2]][[2]],
M2[[2]][[3]]];
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
140
Símplex[prob_,obj_,res_]:=Module[
{transf,L,L1,k1,L2,k2,L3,k3,W1,W2,W3,W4,W,BASRESH,
coefob,pierem,Art,holgura,superávit,Vorig,Bas,Var,uravniéniya,AA,mensaje,imprima},
{Clear[s,R,y,M],
transf[expr_,uu_,vv_,ii_]:=Append[ReplaceHeldPart[expr,
Hold[expr[[ii]]+uu],ii],vv],
L=Map[{Expand[#[[1]]],Head[#],#[[2]],Flatten[Position[res,#]][[1]]}&,res],
L1=Select[L,MemberQ[#,LessEqual]&],k1=Length[L1],
L2=Select[L,MemberQ[#,GreaterEqual]&],k2=Length[L2],
L3=Select[L,MemberQ[#,Equal]&],k3=Length[L3],
W1=If[k1===0,{},
Array[transf[L1[[#]],SequenceForm[S,#],
SequenceForm[S,#],1]&,k1]//.{LessEqual->Equal}],
W2=If[k2===0,{},
Array[transf[L2[[#]],-SequenceForm[Y,#]+
SequenceForm[R,#],SequenceForm[R,#],1]&,k2]
//.{GreaterEqual->Equal}],
W3=If[k3===0,{},
Array[transf[L3[[#]],
SequenceForm[R,k2+#],SequenceForm[R,k2+#],1]&,k3]],
W4=Sort[Join[W1,W2,W3],#1[[4]]<=#2[[4]]&],
W=Map[Equal[#[[1]],#[[3]]]&,W4],
BASRESH=Map[{#[[5]],#[[3]]}&,W4],
coefob=Complement[Level[obj,{-1}],
Select[Level[obj,{-1}],NumberQ[N[#]]&]];
pierem=Level[W,{-1}],
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
141
Art=Array[SequenceForm[R,#]&,Count[pierem,R]],
holgura=Array[SequenceForm[S,#]&,Count[pierem,S]],
superávit=Array[SequenceForm[Y,#]&,Count[pierem,Y]],
Vorig=Union[ coefob,Complement[pierem,
Union[{R,S,Y},Select[pierem,NumberQ[N[#]]&]]]],
Bas=Map[#[[1]]&,BASRESH],
Var=Union[Join[
coefob,Vorig,superávit,holgura,Art]],
uravniéniya=Which[prob===Max,
Prepend[W,-obj+Apply[Plus,M*Art]==0],
prob===Min,Prepend[W,obj+Apply[Plus,M*Art]==0],True,{}],
AA=Mat[uravniéniya,Var],
mensaje={{�Variables Originales =�,Vorig},
{�Variables de Holgura =�,holgura},
{�Variables Artificiales =�,Art},
{�Variables de Superávit =�,superávit},
{�Variables Básicas =�,Bas}},
imprima=Delete[mensaje,
Map[Flatten,Map[Position[mensaje,#]&,
Select[mensaje,#[[2]]==={}&]]]]};
Print[�Problema Original :�];Print[��];
Which[prob===Max,
Print[�Maximizar :�];Print[��];
Print[SequenceForm[�W� ,�= �,obj]],
prob===Min,
Print[�Minimizar :�];Print[��];
Print[SequenceForm[�W� ,�= �,obj]]];Print[��];
UNIVERSIDAD DE MANIZALES
142
Print[�Sujeta a :�];Print[��];
Print[TableForm[res]];Print[��];
Print[�Forma Estándar del problema :�];Print[��];
Print[�Maximizar :�];Print[��];
Which[prob===Max,
Print[SequenceForm[�Z =�,obj-Apply[Plus,M*Art]]],
prob===Min,
Print[SequenceForm[�Z =�,-obj-Apply[Plus,M*Art]]],
True,{}];Print[��];
Print[�Sujeta a :�];Print[��];
Print[TableForm[W]];Print[��];
Print[�Tipos de Variables : �];Print[��];
Print[TableForm[Map[Apply[SequenceForm,#]&,imprima]]];
Print[��];
Print[�Tabla Símplex inicial:�];Print[��];
ver0[AA,Var,Bas]];
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
143
SOLUCION A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS
CAPITULO I
1.1. Z es no acotado. Esto significa que la cantidad de dinero a obtener al final del año 5 es
no acotada (crece ilimitadamente), lo cual implica que las condiciones del problema no se
ajustan a la realidad. Deben imponerse otras restricciones.
1.2. El número óptimo de libros a empastar en cartón duro es de 200 y encolado �0�. La
máxima utilidad obtenida será entonces de 800.000 pesos.
1.3. El número óptimo de meseras (mínimo) que permite cumplir los requisitos del restaurante
para atender a sus clientes es de 27. Estas personas se han de distribuir de la siguiente
manera:
4 meseras que comienzan el turno a las 2 a.m.
11 meseras que comienzan el turno a las 6 a.m.
8 meseras que comienzan el turno a las 14 (2 p.m.)
4 meseras que comienzan el turno a las 18 (6 p.m..)
1.4. El número de onzas a mezclar de cada tipo de alimento para optimizar el costo (minimizarlo)
y satisfacer los requerimientos diarios mínimos de proteinas, carbohidratos y grasas de los
Hamster es:
1.88889 onzas de alimento y, 1.18519 onzas de alimento IV.Los alimentos II y III no se
utilizan en la mezcla.El costo mínimo en estas condiciones es 11.11 centavos.
1.5. La persona que heredó los 6000 dólares debe invertir 5000 dólares en el plan de inver-
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sión que le propone el primer amigo y 400 horas de trabajo con lo que obtendrá una utilidad
máxima de 4500 dólares.En el segundo plan no debe invertir.
1.6. La compañía manufacturera debe producir 20 unidades del producto 1, 62.5 unidadesdel producto 2 y ninguna unidad del producto 3. La utilidad máxima obtenida es de 2250pesos.
CAPITULO II
2.1. La pequeña firma debe correr el proceso 1 durante 33.333 horas y el proceso 2 durante16.6667 horas para combinar cada uno de los dos productos: fluido para marcha y fluidopara encendedor, con lo que obtendrá una utilidad máxima de 533,333 dólares.
2.2. a) Z* =Z
max=20 con x*
1=2 y x*
2=3.5
b) 56ZZ min ==∗ con 4444.0x1 =∗ y 77778.5x2 =∗ . c) Z* =Z
min=12.727272 con x*
1=1.0909 y x*
2=3.6363
2.3. Para la dieta deben comprarse 5 libras del alimento F1 y 1 libra del alimento F2 con loque se obtendrá el costo mínimo de 7.8 pesos y a la vez se satisfacen los requerimientosmínimos de vitaminas en la dieta.
2.8. Para pintar la casa cumpliendo los requisitos exigidos a un mínimo costo el propietariodebe comprar sólo 0.7 galones de pintura I, obteniendo un costo mínimo de 4.2 dólares. Nohay necesidad de mezclar.
2.9. La empresa debe contratar sólo 4 anuncios en TV a la semana, lo cual agota su presu-puesto máximo de 16.000 dólares y logra maximizar el número posible de clientes potencia-
les.
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
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CAPITULO III
3.3. 8235.1ZZ max ==∗ con 47059.0x1 =∗ y 35294.1x2 =∗ .
3.4. Z* =Zmax
=5 con x*1=2 , x*
2=0 y x*
3=1
3.5. 4ZZ max ==∗ con 0xx 31 == ∗∗ , 2x2 =∗ .
3.6. Z* =Zmin
=8 con x*1=8 , x*
2=0
3.7. Z* =Zmin
= -46.6667 con x*1=0 , x*
2=13.333 , x*
3=0 y x*
4=30
3.8. El plan óptimo de inversión del millón de pesos con el fin de maximizar la suma a recibir
al final del año 3 es: Invertir al inicio del primer año 1�000.000 de pesos en el plan A e
invertir al comienzo del segundo año $ 1�700.000 en el plan B. En las demás fechas no
se debe invertir en ninguno de los dos planes. Con lo anterior se logra obtener al final del
año 3 un máximo de $ 5�100.000.
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BIBLIOGRAFIA
[1] Taha, Hamdy A. Investigación de Operaciones. Alfaomega, Segunda Edición.
[2] Davis K. Roscoe / Mc Keown Patrick G. Modelos Cuantitativos para Administración.
Grupo Editorial Iberoamérica.
[3] Hillier F.S., Lieberman G.J. Introducción a la Investigación de Operaciones. Quinta
Edición, Editorial Mc Graw Hill, 1991.
[4] Varela, Jaime E. Introducción a la Investigación de Operaciones. Fondo Educativo
Interamericano.
[5] G.D. Eppen, F.J. Gould. Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa.
Prentice Hall Hispanoamericana S.A.
[6] Alpha C., Chiang. Métodos Fundamentales de Economía Matemática. 3a. Edición,
Editorial McGraw Hill.
[7] Bronson, Richard. Investigación de Operaciones. Teoría y 310 Problemas Resueltos.
Serie Schaum, Editorial McGraw Hill.
[8] Wolfram, Stephen. Mathematica. A system for doing mathematics by computer. Second
Edition, Addison Wesley, 1992.
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