1 Apuntes de Límites de funciones En el tema anterior estudiamos el concepto de función real de variable real y sus principales características. En este tema, introducimos la idea intuitiva de límite de una función y las propiedades más relevantes. Además, se trabaja el concepto de límite como una herramienta útil para el estudio de la continuidad de una función y la aplicación en el cálculo de las asíntotas. 1. Límite de una función. Introducción El concepto de límite tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Es decir, el valor al que se aproxima la función () cuando la variable independiente se aproxima a valores determinados. 1.1 Límite de una función en el infinito Consideremos la siguiente gráfica de una cierta función (). Observamos que a medida que el valor de la variable se va haciendo más grande ( ⟶ +∞) las imágenes = () también se hacen, cada vez, más grandes (() ⟶ +∞). Este hecho lo escribiremos de la siguiente forma: lim ⟶+∞ () = +∞ y diremos que el límite de la función () cuando tiende a +∞ es +∞. Formalmente se expresa como sigue: lim ⟶+∞ () = +∞ ≡ ∀ ∈ ℝ, ∃ 0 ∈ℝ ∕ > 0 ⟹ () >
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Apuntes de Límites de funciones - WordPress.com · 2.5 Límite de funciones con radicales El límite de función con radicales se define: lim 𝑥 +∞ √ ( )=√lim 𝑥 +∞ (
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Apuntes de Límites de funciones
En el tema anterior estudiamos el concepto de función real de variable real y sus principales características.
En este tema, introducimos la idea intuitiva de límite de una función y las propiedades más relevantes.
Además, se trabaja el concepto de límite como una herramienta útil para el estudio de la continuidad de una
función y la aplicación en el cálculo de las asíntotas.
1. Límite de una función. Introducción
El concepto de límite tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige una función en un determinado
punto o en el infinito. Es decir, el valor al que se aproxima la función 𝑓(𝑥) cuando la variable
independiente 𝑥 se aproxima a valores determinados.
1.1 Límite de una función en el infinito
Consideremos la siguiente gráfica de una cierta función 𝑓(𝑥).
Observamos que a medida que el valor de la variable 𝑥 se va haciendo más grande (𝑥 ⟶ +∞) las
imágenes 𝑦 = 𝑓(𝑥) también se hacen, cada vez, más grandes (𝑓(𝑥) ⟶ +∞). Este hecho lo
escribiremos de la siguiente forma:
lim𝑥⟶+∞
𝑓(𝑥) = +∞
y diremos que el límite de la función 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende a +∞ es +∞.
Formalmente se expresa como sigue:
lim𝑥⟶+∞
𝑓(𝑥) = +∞ ≡ ∀𝑀 ∈ ℝ, ∃𝑥0 ∈ ℝ ∕ 𝑥 > 𝑥0 ⟹ 𝑓(𝑥) > 𝑀
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De forma análoga se definirían
lim𝑥⟶+∞
𝑓(𝑥) = −∞ ; lim𝑥⟶−∞
𝑓(𝑥) = +∞ ; lim𝑥⟶−∞
𝑓(𝑥) = −∞
que se corresponderían con situaciones gráficas como las siguientes:
• lim𝑥⟶+∞
𝑓(𝑥) = −∞
• lim𝑥⟶−∞
𝑓(𝑥) = +∞
• lim𝑥⟶−∞
𝑓(𝑥) = −∞
Aunque los resultados de los límites anteriores, en los cuatro casos, son ±∞ hay que decir que la
función no tiene límite o que el límite es infinito.
Sólo diremos que una función 𝒇(𝒙) tiene límite en el infinito cuando éste sea un número real
𝒃 (límite finito) y lo escribiremos de una de las dos formas siguientes:
lim𝑥⟶+∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 lim𝑥⟶−∞
𝑓(𝑥) = 𝐿
Formalmente:
lim𝑥⟶+∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 ≡ ∀𝜀 > 0 ∃𝑘 ∈ ℝ ∕ 𝑥 > 𝑘 ⟹ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀
En cualquiera de estos dos casos, diremos que 𝑦 = 𝐿 es una asíntota horizontal de la función.
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Ejemplo 1: la siguiente gráfica muestra la situación en que
lim𝑥⟶+∞
𝑓(𝑥) = 2
A medida que los valores de la variable 𝑥 se hacen más grandes, sus imágenes 𝑓(x) se aproximan a
2 cada vez más.
Ejemplo 2: la siguiente gráfica muestra la situación en que
lim𝑥⟶−∞
𝑓(𝑥) = 2
A medida que los valores de la variable 𝑥 se hacen más negativos, sus imágenes 𝑓(x) se aproximan
a 2 cada vez más.
2. Operaciones con límites de funciones
Consideremos dos funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) y a partir de los posibles de sus correspondientes límites,
calculamos:
2.1 Límite de la suma/diferencia de funciones
El límite de la suma/diferencia de dos funciones se define como la suma/diferencia de los límites de
dichas funciones, es decir:
lim𝑥⟶+∞
(𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)) = lim𝑥⟶+∞
𝑓(𝑥) ± lim𝑥⟶+∞
𝑔(𝑥)
Distinguimos diferentes posibilidades para los valores de lim𝑥⟶+∞
𝑓(𝑥) y lim𝑥⟶+∞
𝑔(𝑥) según que estos
sean finitos o infinitos.
lim𝑥⟶+∞
𝑓(𝑥) = {𝑎 ∈ ℝ+∞−∞
; lim𝑥⟶+∞
𝑔(𝑥) = {𝑏 ∈ ℝ+∞−∞
Entonces, la siguiente tabla con los valores de lim𝑥⟶+∞
(𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)) se completa como sigue:
𝐥𝐢𝐦𝒙⟶+∞
[𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)] 𝑏 +∞ −∞
𝑎 𝑎 ± 𝑏 +∞/−∞ −∞/+∞
+∞ +∞ +∞ / IND ∗ IND */ +∞
−∞ −∞ IND */ −∞ −∞/ IND ∗
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(*) IND hace referencia a una indeterminación: Por ejemplo: ∞−∞ es una indeterminación, pues
el resultado puede ser cualquier valor; en efecto, si sumamos cantidades de distinto signo todo lo
grandes que podamos imaginar, el resultado es imprevisible (las estudiaremos más adelante)
2.2 Límite del producto de funciones
El límite del producto de dos funciones se define como el producto de los límites de cada una de
ellas, es decir:
lim𝑥⟶+∞
[𝑓(𝑥) · 𝑔(𝑥)] = lim𝑥⟶+∞
𝑓(𝑥) · lim𝑥⟶+∞
𝑔(𝑥)
Distinguimos diferentes posibilidades para los valores de lim𝑥⟶+∞
𝑓(𝑥) y lim𝑥⟶+∞
𝑔(𝑥) según que estos
sean finitos (nulos o no) o infinitos.
𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞
𝑓(𝑥) = {
𝑎 ∈ ℝ 𝑎 ≠ 00+∞−∞
; 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞
𝑔(𝑥) = {
𝑏 ∈ ℝ 𝑏 ≠ 00+∞−∞
Entonces, la siguiente tabla con los valores de lim𝑥⟶+∞
[𝑓(𝑥) · 𝑔(𝑥)] se completa como sigue:
𝐥𝐢𝐦𝒙⟶+∞
[𝒇(𝒙) · 𝒈(𝒙)] 𝑏 ≠ 0 0 +∞ −∞
𝑎 ≠ 0 𝑎 · 𝑏 0 +∞ 𝑠𝑖 𝑎 > 0−∞ 𝑠𝑖 𝑎 < 0
−∞ 𝑠𝑖 𝑎 > 0+∞ 𝑠𝑖 𝑎 < 0
0 0 0 IND* IND*
+∞ +∞ 𝑠𝑖 𝑏 > 0−∞ 𝑠𝑖 𝑏 < 0
IND* +∞ −∞
−∞ −∞ 𝑠𝑖 𝑏 > 0+∞ 𝑠𝑖 𝑏 < 0
IND* −∞ +∞
(*) El tipo de indeterminación que aparece es 0 · ∞ porque al multiplicar cantidades que se
aproximan a 0 tanto como queramos por cantidades (positivas o negativas) todo lo grandes que
queramos, el resultado puede ser cualquier valor. Se necesitan técnicas de resolución.
2.3 Límite del cociente de funciones
El límite del cociente de dos funciones se define como el cociente de los límites de cada una de ellas,
siempre y cuando el límite del denominador sea no nulo:
lim𝑥⟶+∞
[𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)] =
lim𝑥⟶+∞
𝑓(𝑥)
lim𝑥⟶+∞
𝑔(𝑥) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 lim
𝑥⟶+∞𝑔(𝑥) ≠ 0
Distinguimos diferentes posibilidades para los valores de lim𝑥⟶+∞
𝑓(𝑥) y lim𝑥⟶+∞
𝑔(𝑥) según que estos
sean finitos (nulos o no) o infinitos.
𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞
𝑓(𝑥) = {
𝑎 ∈ ℝ 𝑎 ≠ 00+∞−∞
; 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞
𝑔(𝑥) = {
𝑏 ∈ ℝ 𝑏 ≠ 00+∞−∞
Entonces, la siguiente tabla con los valores de lim𝑥⟶+∞
[𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)] se completa como sigue:
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𝒍𝒊𝒎𝒙⟶+∞
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙) 𝑏 ≠ 0 0 +∞ −∞
𝑎 ≠ 0 𝑎
𝑏 ±∞ 0 0
0 0 IND* 0 0
+∞ +∞ 𝑠𝑖 𝑏 > 0−∞ 𝑠𝑖 𝑏 < 0
±∞ IND* IND*
−∞ −∞ 𝑠𝑖 𝑏 > 0+∞ 𝑠𝑖 𝑏 < 0
±∞ IND* IND*
(*) Aparecen dos nuevas indeterminaciones, ∞
∞ 𝑦
0
0, que resolveremos con las técnicas adecuadas.
Los límites 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞
𝑎
𝑥𝑘= 0 se llaman infinitésimos y aparecerán muy frecuentemente.
2.4 Límite de una potencia (una función elevada a otra función)
El límite de una función elevada a otra función, se define como el límite de la base (siempre que sea
positivo o nulo), elevado al límite del exponente, es decir:
lim𝑥⟶+∞
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = [ lim𝑥⟶+∞
𝑓(𝑥)]lim
𝑥⟶+∞𝑔(𝑥)
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 lim𝑥⟶+∞
𝑓(𝑥) ≥ 0
Distinguimos diferentes posibilidades para los valores de lim𝑥⟶+∞
𝑓(𝑥) y lim𝑥⟶+∞
𝑔(𝑥) según que estos
sean finitos (nulos o no) o infinitos.
𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞
𝑓(𝑥) = {𝑎 ∈ ℝ 𝑎 > 0
0+∞
; 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞
𝑔(𝑥) = {
𝑏 ∈ ℝ 𝑏 ≠ 00+∞−∞
Entonces, la siguiente tabla con los valores de lim𝑥⟶+∞