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Mario Snchez Snchez, 4 de Fsicas, 201112
ELECTRODINMICA CLSICA
1
Tema 1 FUNDAMENTOS DE ELECTRODINMICA CLSICA
1. 1. Ecuaciones de Maxwell en el vaco
La forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell en el vaco
(expresadas en el Sistema Internacional de unidades) es la
siguiente:
0
E = [1]
(ley de Gauss);
t
BE
= [2]
(ley de FaradayLenz);
0 = B [3] (ley de inexistencia del monopolo magntico), y
t
EJB
+= 000 [4]
(ley de AmpreMaxwell), donde las constantes reales 0 y 0 son,
respectivamente, la permitividad
(elctrica) y la permeabilidad (magntica) del vaco ( 1120 m F
108.85
= ; 270 A N 104
= pi ).
En estas ecuaciones, asumimos que las partculas portadoras de
carga elctrica conforman un
continuo cuya densidad de carga volumtrica viene dada por la
funcin escalar ( )tr , , de manera que, llamando Q a la carga neta
encerrada en el volumen V, se satisfar
=
VrQ
3d . [5]
Definimos la densidad de corriente ( )trJ , como la magnitud
vectorial cuya direccin y sentido son los del flujo de cargas y
cuyo mdulo es la corriente por unidad de rea a travs de una
superficie
perpendicular al flujo. Si consideramos un flujo de partculas
cargadas con velocidad v , la densidad de
corriente y la densidad de carga se relacionan segn vJ = , de
modo que obtendremos la razn total I a
la que fluye la carga sobre la superficie S que limita el
volumen V segn
== SS anvaJI d d r
. [6]
Si imponemos la conservacin de la carga neta i. e., que el ritmo
de cambio con el que la carga
fluye hacia fuera a travs de la superficie limitante sea igual a
la razn temporal con la que disminuye la
carga encerrada en el volumen, tQI dd= , llegamos a la ecuacin
de continuidad:
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2
0 =+
Jt
. [7]
La ecuacin [7] no es independiente de las cuatro ecuaciones de
Maxwell; de hecho, tomando
divergencias a ambos lados de [4] (usando que la divergencia de
un rotacional es siempre cero y asumiendo que se dan condiciones de
regularidad para poder permutar derivadas temporales y
espaciales),
00 =
+ Et
J ; [8]
llevando [1] a esta ltima expresin, es directo llegar a [7].
A diferencia de ( )tr , y ( )trJ , , las funciones vectoriales
campo elctrico y campo magntico, ( )trE , y ( )trB ,
respectivamente, carecen de realidad material: son ms bien
abstracciones
matemticas cuyos efectos pueden, no obstante, medirse en el
laboratorio. En particular, consideremos
una carga de prueba de valor q en el seno de sendos campos E y B
; la dinmica de la interaccin entre la carga y los campos est dada
por la fuerza de Lorentz:
( )BvEqF += 1. [9]
Consideremos un sistema fsico con los dos ingredientes ya
descritos: las partculas materiales que soportan la carga y cuyo
movimiento propicia la aparicin de corrientes, y la interaccin
entre
aqullas caracterizada por los campos elctrico y magntico. En el
caso ms general, las funciones y J
no estarn dadas, sino que debern determinarse, junto con las
funciones E y B , a partir de las ecuaciones [1], [2], [3] y [4].
Teniendo en cuenta que, de stas, dos de ellas son ecuaciones
escalares (la primera y la tercera) y las otras dos son
vectoriales, tenemos en total 1 + 3 + 1 + 3 = 8 ecuaciones para la
determinacin de 1 + 3 + 3 + 3 = 10 incgnitas. Intuitivamente,
deseamos emparejar el nmero de ecuaciones independientes y el nmero
de incgnitas de nuestro problema, de modo que es un inconveniente
tener dos incgnitas ms que ecuaciones. Por tanto, en adelante
supondremos siempre, a no ser que se indique lo contrario, que las
distribuciones de carga y su flujo son datos conocidos, i. e.,
y
J son funciones dadas por el problema 2.
1.Las cuatro ecuaciones de Maxwell [1], [2], [3] y [4] pueden
adoptar un aspecto totalmente
simtrico si introducimos una densidad de carga magntica m (por
supuesto, hipottica) definida
por la expresin mB = (anloga a la ley de Gauss); dicha magnitud
llevara aparejada una
densidad de corriente magntica mJ que modificara la ley de
FaradayLenz dejndola en la forma
mJtBE = (anloga a la de la ley de AmpreMaxwell). Asimismo, habra
que ampliar la expresin de la fuerza de Lorentz para incluir la
fuerza sobre cargas magnticas, quedando ( ) ( )EvBqBvEqF m ++= 00 .
Obviamente, estas expresiones se reducen a las ya dadas en el caso
particular 0=m .
2.Aunque an no estamos en condiciones de comprender los motivos,
anticiparemos que los lmites de validez de la hiptesis anterior
guardan relacin con los propios lmites de validez de la
Electrodinmica clsica. Pensemos, por ejemplo, en una partcula
cargada en el seno de un campo electromagntico que, por accin de la
fuerza de Lorentz, describe un movimiento circular uniforme; la
teora prev que, por causa de su aceleracin normal no nula, la
partcula emitir radiacin. Vemos as que la partcula acta sobre su
propia dinmica (i. e., sufre una autofuerza), lo que supone
amortiguamiento en su rapidez de giro y decaimiento en su rbita,
fenmenos vinculados al hecho de que la densidad de carga no puede
ser un dato conocido de antemano.
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Con la hiptesis anterior, hemos pasado a tener ocho ecuaciones
para seis incgnitas, de manera que ahora conviene explorar la
posibilidad de que dos de las ocho ecuaciones de que disponemos
sean en realidad redundantes. Pensemos en el problema de valores
iniciales: conocemos, en un instante t0 dado,
las funciones ( )0,trB y ( )0,trE . Si estas funciones tienen
realidad fsica, en dicho instante deben cumplir,
respectivamente,
( ) 0, 0 = trB [10] y
( ) ( ) ( ) ( ) 0,,,, 0000
00 == trEtr
trtrE . [11]
Ahora consideremos que, tomando divergencias en [2],
( ) ( )0,,0 trBtrBBt == , [12] que, comparado con [10],
garantiza que [3] se satisfar para cada t>t0, i. e., dicha
expresin no aporta ninguna informacin nueva a la ecuacin [2] y a la
condicin inicial dada [10].
Igualmente, tomando divergencias en [4] obtenemos [8], que
comparada con [7] arroja
( ) 000 == EtEtt , [13] i. e.,
( ) ( ) ( ) ( )0000 ,,,, trEtrtrEtr = , [14] lo que, igualado
con [11], garantiza que [1] se satisfar para cada t>t0, i. e.,
dicha expresin no aporta ninguna informacin nueva a la ecuacin [4]
y a la condicin inicial dada [11].
As, hemos obtenido que para el problema de valores iniciales
tenemos efectivamente seis ecuaciones independientes para seis
incgnitas.
No obstante, surge un nuevo inconveniente: habitualmente ningn
problema de Electrodinmica ser de valores iniciales. Es decir, en
general no partiremos del conocimiento de las soluciones de las
ecuaciones de Maxwell en un instante dado, sino de los valores de
los campos en algn conjunto de puntos del espacio, dados por las
correspondientes condiciones de contorno. Para salir del
atolladero, recurriremos a los denominados potenciales
electromagnticos.
1. 2. Potenciales electromagnticos. Invarianza de gauge
Para la introduccin de los potenciales electromagnticos,
empezaremos considerando los siguientes resultados generales del
Anlisis Matemtico:
dado B con 3 0 R= rB ( ) ( ) ( )trAtrBtrA ,,, = | ; [15]
dado F con 3 0 R= rF ( ) ( ) ( )trtrFtr ,,, = | . [16]
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As pues, de [3] y [15] vemos que es posible introducir un
potencial vector magntico A definido por la condicin
AB = . [17] Llevando [17] a [2],
0=
+
=
=
t
AEF
t
AA
tE , [18]
de manera que, por [16], podremos poner
t
AE
t
AE
==
+ . [19]
Con lo cual, [2] y [3] nos han permitido reducir el nmero de
incgnitas de seis a cuatro ( xA ,
yA , zA y ). Las ecuaciones que deben satisfacer dichas
magnitudes las obtendremos a partir de [1] y
[4]; as, llevando [17] y [19] a la ley de AmpreMaxwell, y usando
la identidad vectorial
( ) ( ) AAA 2 , [20] resulta
( )
+=
+=2
2
0000002
t
A
t
J
t
A
tJAA ; [21]
reorganizando, queda la ecuacin vectorial
++=
t
AJA
t 0002
2
002 . [22]
Por otro lado, llevando [19] a la ley de Gauss:
0
t
A =
, [23]
i. e., queda la ecuacin escalar
At
= 0
2 . [24]
Podemos encontrar un aspecto ms simtrico (con respecto a [22])
para [24] si restamos a
ambos lados de dicha expresin la funcin 2200 t :
+
=
t
A
t
t 00
02
2
002 . [25]
[22] y [25] constituyen un sistema de cuatro ecuaciones con
cuatro incgnitas, cuya principal
dificultad reside en que las ecuaciones no estn desacopladas.
Podemos buscar alguna forma de desacoplarlas, pero para ello
primero debemos estudiar la cuestin de si, para una pareja dada
de
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funciones E y B , los potenciales A y , definidos por las
condiciones AB = y tAE = , estn o no unvocamente determinados.
La respuesta es que no; tomando por caso el potencial vector,
existen infinitas soluciones para A
dado B . Ello se justifica porque, una vez encontrado un cierto
A tal que AB = , siempre podemos tomar una funcin escalar
arbitraria (diferenciable), sea ( )t rf , , y definir
fAA +=
, [26]
de manera que, usando que el rotacional de un gradiente es
siempre cero, ( ) 0= f , tambin el nuevo potencial vector
satisfar
= AB .
Ahora, llevando [26] a la condicin tAE = ,
t
A
t
f
t
f
t
AfA
tE
=
+
=
=
, [27]
de modo que, definiendo
t
f
= , [28]
vemos que tambin el nuevo potencial escalar satisfar tAE =
.
Al verificarse simultneamente las relaciones tAtAE ==
y
== AAB , decimos de los campos E y B que satisfacen la condicin
de invarianza de gauge;
llamamos libertad de gauge a la ambigedad o no unicidad de los
potenciales electromagnticos dada por las ecuaciones [26] y [28].
Dicha no unicidad es, por s misma, argumento suficiente para negar
cualquier realidad fsica a los potenciales electromagnticos y
considerarlos como herramientas
puramente matemticas; recordemos adems que, a diferencia de E y
B , ni A ni aparecen en la
expresin de la fuerza de Lorentz 3.
Veamos si podemos aprovechar la libertad de gauge para encontrar
A y tales que el trmino
entre llaves en las ecuaciones [22] y [25] se anule. Supongamos
que hemos obtenido los potenciales 0A
y 0 verificando tAE = 00 , y buscamos ( )t rf , tal que los
potenciales alternativos fAA += o y tf = 0 satisfagan
3.No obstante, el efecto AharonovBohm a grandes rasgos, el
fenmeno mecanocuntico por el cual una partcula cargada puede sufrir
los efectos de un campo electromagntico pese a estar confinada en
una regin donde los campos elctrico y magntico son ambos nulos
ilustra que, de hecho, los potenciales electromagnticos s poseen
realidad fsica. Pero, al ser este efecto un fenmeno puramente no
clsico, la afirmacin de que toda la realidad fsica reside en los
campos elctrico y magntico sigue siendo exacta en Electrodinmica
clsica.
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000 =
+t
A , [29]
i. e.,
02
2
000
002
o =
+
++
t
f
t
fA , [30]
que, reorganizando y designando la funcin escalar supuesta
conocida tAH += 000oo , se reescribe como
( ) ( )t rHt rft
,, 02
2
002
=
: [31]
la ecuacin de ondas inhomognea con trmino independiente 0H . La
teora de ecuaciones en
derivadas parciales garantiza la existencia de f, que de hecho
no es nica: si a una solucin particular ( )t rf ,P de [31] le
sumamos una solucin ( )t rf ,H de la correspondiente ecuacin
homognea, entonces la funcin resultante seguir siendo apta para
nuestros propsitos.
En conclusin, resulta que los potenciales electromagnticos
pueden escogerse de modo que las ecuaciones [22] y [25] adopten el
aspecto
JAt
02
2
002
=
[32]
y
0
2
2
002
t
=
, [33]
donde [32] y [33] constituyen un sistema desacoplado de cuatro
ecuaciones con cuatro incgnitas. La
eleccin para A y que nos ha permitido llegar a este resultado se
conoce como gauge de Lorenz (que
no Lorentz) y no es la nica posibilidad que nos permite
desacoplar las ecuaciones [22] y [25] 4.
No debemos perder de vista que buscamos una solucin de la que
podamos garantizar su unicidad. Por ello, necesariamente debemos
imponer ciertas condiciones de contorno a nuestro problema; ahora
bien, ya que hemos introducido los potenciales electromagnticos
como meras construcciones matemticas carentes de significado fsico
real, tendremos problemas a la hora de determinar o interpretar qu
condiciones deben imponerse a stos en cada caso. En
consecuencia,
volveremos a la formulacin del problema original con E y B como
incgnitas.
4.Otra opcin, conocida como gauge de Coulomb, pasa por escoger A
de modo que su divergencia sea nula, lo cual, teniendo en cuenta
[24], conduce a la ecuacin de Poisson para el
potencial escalar, 02 = . (Esta expresin es tpicamente la
ecuacin para el potencial
electrosttico, pero ello no debe confundirnos: hemos de tener
presente que, en una situacin de
campos variables, el potencial escalar se relaciona con el campo
elctrico segn tAE = y
no segn E = .) De la ecuacin de Poisson despejamos la solucin
para , insertamos el resultado en el anlogo de la expresin [22] en
el gauge de Coulomb, i. e.,
( ) tJAt += 00022002 , y resolvemos finalmente para A .
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1. 3. Ondas electromagnticas en el vaco. Ondas planas
La teora de ecuaciones en derivadas parciales la introduccin
garantiza la existencia de E y B satisfaciendo el sistema de
ecuaciones dado por [1], [2], [3] y [4]. De hecho, la solucin no es
nica, ya que siempre podremos admitir como tal la suma de una
solucin particular y una solucin al correspondiente problema
homogneo, siendo esta ltima no trivial (i. e., no constante) en
general. En
efecto, consideremos el problema homogneo ( 0= y 0=J ):
0 = E ; [34]
t
BE
= ; [35]
0 = B , [36] y
t
EB
= 00 . [37]
Tomando rotacionales a ambos lados de [35], aplicando la
identidad vectorial [20] para E y usando [34],
( )Btt
BE
=
=
2 ; [38]
insertando [37] en [38],
02
2
002
002
=
=
E
t
t
E
tE . [39]
Ahora, tomando rotacionales a ambos lados de [37], aplicando la
identidad vectorial [20] para
B y usando [36],
( )Et
t
EB
=
=
0000
2 ; [40]
insertando [35] en [40],
02
2
002
002
=
=
B
t
t
B
tB . [41]
Comparando [39] y [41] con la ecuacin general de una onda ( )t
rf , que se propaga con velocidad v,
2
2
22 1
t
f
vf
= , [42]
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vemos que las ecuaciones de Maxwell implican que el espacio vaco
soporta la propagacin de ondas electromagnticas que viajan a la
velocidad
c
v == 18
00
s m 1031
, [43]
donde la constante c es la velocidad de la luz en el vaco.
En notacin compleja, escribimos como soluciones de [39] y [41]
la forma general de sendas
ondas planas ( )trE , y ( )trB , :
( )( ) ( )
=
trk
B
E
trB
trE i
0
0e Re
,
,
, [44]
donde el vector de propagacin k y la frecuencia angular de onda
deben satisfacer la restriccin
c
k k == 200
2 , [45]
que es la relacin de dispersin del vaco, y los vectores
constantes 0E y 0B son las amplitudes respectivas de los campos
elctrico y magntico. Como consecuencia de la homogeneidad de las
ecuaciones [39] y [41], dichos vectores son arbitrarios para
satisfacer dichas condiciones; no obstante, no lo son para
verificar el sistema de ecuaciones dado por [34], [35], [36] y
[37]. En efecto, puede demostrarse que es necesario imponer la
condicin
000000 EnBnBEBEn === , [46]
siendo kkn , 000 EEE y 000 BBB
. (Es tpico situar los ejes cartesianos de modo que
tengamos xE =0 , yB
=0 y zn = .) En particular, se satisfar
001
En c
B = . [47]
Esta condicin es la denominada transversalidad de las ondas
electromagnticas en el vaco.
As que la solucin particular de [1], [2], [3] y [4] a la que
aadamos una onda plana con las caractersticas que acabamos de
describir, seguir siendo solucin de dicho sistema de ecuaciones, lo
que ilustra la riqueza de este conjunto de soluciones.
A continuacin, supongamos, por ejemplo, que hemos obtenido una
solucin particular { }PP ,BE y que tomamos dos campos vectoriales
constantes arbitrarios 1C y 2C para obtener la solucin
alternativa { }2P1P , CBCE ++ , que obviamente tambin verifica
[1], [2], [3] y [4]. No obstante, fsicamente esta opcin carece de
sentido si 1C y 2C no son ambas nulas, ya que para un instante de
tiempo t fijo pero arbitrario hemos de imponer la condicin
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( )( ) 0,,
r
trB
trE 5. [48]
Pero existen muchas posibilidades para la dependencia funcional
de E y B con r tales que
[48] se satisface: decaen los campos como re , como 21r , como
1r , como 2r ? La opcin escogida
por la naturaleza en problemas de electrosttica y magnetosttica
es una decadencia del tipo 2r , pero, como justificaremos en el
futuro, las soluciones a problemas dinmicos nunca podrn exhibir
este comportamiento.
La solucin [44] al problema homogneo tiene periodicidad
espacial, y por tanto nunca puede satisfacer la condicin [48]. Aun
as, podemos, superponiendo para distintos valores de la
frecuencia
infinitas ondas planas (plane waves) deslocalizadas del tipo ( )
( )( )trk tr = i0 W.P. e, donde la dependencia ( )k viene dada en
[45], obtener un paquete de ondas (wave packet) localizado ( )tr
,P. W. :
( ) ( ) ( )= Atr d , W.P.P. W. , [49]
donde ( )A es una cierta funcin de peso de la frecuencia. En la
integral anterior, hemos tomado r y t como parmetros, identificando
( ) ( )tr , W.P. W.P. . La nueva funcin dada por [49] s que
satisface la condicin [48] y, en virtud de la linealidad del
sistema dado por [34], [35], [36] y [37], es adems solucin del
mismo. En conclusin, dicha condicin no basta para garantizar la
unicidad del sistema dado por [1], [2], [3] y [4] 6.
1. 4. Energa y momento del campo electromagntico
Las leyes de conservacin de la energa y del momento
electromagnticos son resultados de gran importancia. Abordaremos
primero la conservacin de la energa, el llamado teorema de
Poynting. Para
una carga aislada q, el ritmo de trabajo (o potencia) que sobre
ella realizan los campos externos E y B
es Evq , siendo v la velocidad de la carga (el campo magntico no
realiza trabajo, dado que la fuerza magntica es perpendicular a la
velocidad). Si existe una distribucin continua de carga y de
corriente,
usando la relacin conocida vJ = vemos que la potencia de los
campos en una regin finita 0D es
=
DDrEJrEJ
3
3 d d 0
, [50]
5.No sucede as, por ejemplo, en el problema del campo elctrico
creado por un plano infinito uniformemente cargado, o en el del
campo magntico creado por un hilo indefinido de corriente si nos
alejamos del origen en la direccin paralela al hilo. No obstante,
estos problemas son idealizaciones que carecen, obviamente, de
realidad fsica; en cualquier caso, nosotros estamos preocupados
nicamente por situaciones en las que las cargas y corrientes
permanecen confinadas en una regin acotada. 6.No es ste el caso del
problema electrosttico. En efecto, aunando las ecuaciones bsicas de
la
electrosttica, 0 E = y 0= E , con [48], puede llegarse a la ley
de Coulomb (i. e., una
dependencia del campo electrosttico con la distancia de tipo 2r
) como nica solucin admisible.
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donde D es otra regin arbitraria (fija en el tiempo) tal que DD
0 , y hemos supuesto que ( ) 0, =tr para cada 0Dr .
Esta potencia se asocia con la conversin de energa
electromagntica en energa mecnica y
trmica, a la que llamaremos por simplicidad mecE , y por tanto
identificaremos aqulla con la tasa de
variacin tE dd mec .
Podemos eliminar J de [50] a travs de la ley de AmpreMaxwell
[4]:
=
=
DDD
rE
tr
EBrE
t
E
B
t
E
32
0
3
0
30
0
mec
d 2d
dd
d
d
d , [51]
donde hemos usado que
=
DDrE
t
ErE
t 3
32
d 2d d
d. [52]
Si ahora aplicamos la identidad vectorial
( ) ( ) ( )EBBEEB , [53] tendremos, empleando la ley de
FaradayLenz [2],
( ) ( ) = DDD tBBr EBrEB 3 3 d d , [54]
que, haciendo uso de la relacin anloga a [52] para E en lugar de
B , da
( ) ( )
=
DDDr
B
tr BErEB
3
2
3
3 d 2d
dd d , [55]
lo cual, llevado a [51], resulta
=
DDDrE
tr
B
tr
BE
t
E
32
0
3
0
2
3
0
mec
d 2d
dd
2d
dd
d
d . [56]
Definiendo ad hoc la densidad de energa electromagntica en el
vaco,
+=+
22
20
0
22
0
222BcE
BE
u , [57]
de modo que m. e.E es la energa neta residente en el campo
electromagntico en la regin D,
DruE
3m. e. d , [58]
podemos reescribir [55] en la forma
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( ) == + DD aSnrSEEt 3m. e.mec d d
d
d
, [59]
donde hemos aplicado el teorema de la divergencia. El vector S ,
que representa el flujo de energa, es el denominado vector de
Poynting,
0
BES
. [60]
El significado fsico de [59] es que el ritmo de cambio de la
energa electromagntica en un
volumen dado ms el trabajo total realizado por los campos sobre
las fuentes de stos (cargas y corrientes) contenidas en dicho
volumen, es igual y de signo opuesto a la energa por unidad de
tiempo que fluye hacia fuera a travs de la superficie que limita el
volumen, lo cual constituye efectivamente un principio de
conservacin de la energa.
Por otro lado, notemos que, ya que la regin D es arbitraria,
aunando [50], [58] y [59] es inmediato llegar a la expresin
diferencial del teorema de Poynting:
EJSt
u =+
. [61]
Abordaremos ahora la conservacin del momento lineal para este
mismo sistema. Teniendo en
cuenta la expresin de la fuerza de Lorentz [9], y llamando
mec
P al momento neto de las partculas en
0D , la segunda ley de Newton nos permite escribir
( ) ( ) ++ == DD rBJErBJEtP 3 3mec
d d d
d
0
. [62]
Usando la ley de Gauss [1] y la ley de AmpreMaxwell [4] para
eliminar y J
respectivamente, podemos reescribir el integrando de [62]:
( ) ( ) ( )
=
=
++ B
t
EBBcE EB
t
E
BE EBJE 200
00 , [63]
que, por la derivada del producto y la ley de FaradayLenz
[2],
( ) ( ) ( )EEBEt
Bt
E
t
BEB
t
EBE
t+
=
+
=
, [64]
da
( ) ( ) ( ) ( ) =+ BEtBBcEEE EBJE 20 . [65]
Si aadimos al miembro derecho de [65] el trmino ( )B Bc 2 , que
es cero segn [3], entonces podemos escribir
( ) ( ) ( ) +=+ BEt BfcEfBJE 20 , [66]
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donde hemos definido la funcin
( )AfAf
a
33: RR con ( ) ( ) ( )AAA AAf = . [67]
As, llevando [66] a [62],
( ) ( )[ ] ( ) += DD rBEtrBfcEftP 30 320mec
d d d
d, [68]
donde la ltima integral puede identificarse con la tasa de
decrecimiento del momento electromagntico
neto correspondiente a la regin D, sea tP ddm. e.
, habiendo definido la densidad de momento
electromagntico g tal que
=
DrgP
3m. e.
d , [69]
i. e. usando que, por [60], es SBE 0= ,
20 c
SBEg == . [70]
Con ello, de [68] nos ha quedado:
( ) ( ) ( )[ ] ++ = D iiii rBfcEfPPt 320m. e.mec d dd , [71]
donde el subndice i indica la componente isima del campo vectorial
que corresponda.
Para que [71] alcance la categora de ley de conservacin del
momento, debemos transformar el miembro derecho de esta expresin en
una integral de superficie de algo que podamos interpretar como un
flujo de momento. A tal efecto, consideremos que en virtud de [67]
podemos escribir
( ) ( )l
mklmjijki
j
jkjijki
j
ji
x
AAA
x
AAAA
x
AAf
=
= 7, [72]
que, empleando las propiedades conocidas del smbolo de
LeviCivita
jlimjmilklmkijklmijk == , [73]
puede ponerse como
( )l
mjjlim
l
mjjmili
j
ji
x
AA
x
AAA
x
AAf
+
= , [74]
siendo
7.Aunque en el futuro no lo haremos a no ser que explicitemos lo
contrario, en la demostracin que sigue usaremos el convenio de
Einstein de sumas sobre ndices repetidos.
-
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ELECTRODINMICA CLSICA
13
i
jj
l
jjil
l
mjjmil
x
AA
x
AA
x
AA
=
=
y j
ij
j
mjim
l
mjjlim
x
AA
x
AA
x
AA
=
=
. [75]
En definitiva,
( ) ( ) ( )jji
jiji
jj
j
iji
j
ji AA
x AA
xx
AA
x
AAA
x
AAf
=
+
=
2
1, [76]
o bien, usando que ( ) ( ) jjjijijj xAAxAA = y que 232221 AAAAA
jj ++= es por definicin el cuadrado de la norma del vector A ,
( )
=
2
2
1A AA
xAf ijji
ji . [77]
Entonces, por el teorema de la divergencia,
( ) == D jijjiD ijjijD i an A AArA AAxrAf 2
32
3 d 2
1d
2
1d
. [78]
Llevando este resultado a [71],
( ) an B BBcE EEPPt D
jijjiijjiii d 2
1
2
1
d
d
22
2
0m. e.mec
= ++ . [79]
Definiendo el tensor de Maxwell ijT segn
++ ijjijiij BcEBBc EET2
22
20 2
1, [80]
podemos poner en forma compacta
( ) anTPPt D
jijii d d
d
m. e.mec =+ . [81]
Si [81] es una formulacin de la conservacin del momento, 332211
nTnTnTnT iiijij ++= ha de
interpretarse evidentemente como la componente isima del flujo
de momento por unidad de rea a travs de la superficie limitante del
volumen D. En otras palabras, es la fuerza por unidad de rea que se
transmite a travs de la superficie D y acta sobre el sistema
compuesto de partculas y campos contenido en D.
* * *
Como ejercicio de aplicacin prctica de lo expuesto arriba,
abordamos a continuacin el estudio de algunas propiedades de un
caso particular muy especial de ondas electromagnticas, las ondas
planas en el vaco.
Al igual que otras veces, denotamos por ( )tr , el vector de
seis dimensiones que engloba la solucin para ( )trE , y ( )trB , ,
e imponemos en primer lugar una dependencia temporal armnica:
-
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14
( ) [ ]trtr ie Re,
= , [82]
donde la nueva funcin
r dependiente de la posicin tomar en general valores complejos.
De
acuerdo con [82], tendremos
( ) ( )
=
t
iix
r
x
tr ie Re,
y ( ) ( )[ ]trt
tr ie iRe,
= . [83]
Se obtiene que, en estas condiciones, el sistema de ecuaciones
[1][4] es estrictamente
equivalente al dado por las ecuaciones de Maxwell armnicas
independientes del tiempo:
( ) ( ) 0 rrE = ; [84]
( ) ( )rBrE i= ; [85]
( ) 0 = rB , [86] y
( ) ( ) ( )rErJrB 000 i= , [87]
donde las nuevas funciones ( )r y ( )rJ dependientes de la
posicin, que toman valores complejos, son tales que ( ) ( )[ ]trtr
ie Re, = y ( ) ( )[ ]trJtrJ ie Re, = . La solucin para ( )rE y (
)rB del problema homogneo ( ) 0=r y ( ) 0=rJ correspondiente a las
ecuaciones [84][87] es
( )( ) rkB
E
rB
rE i
0
0e
=
, [88]
donde 0E y 0B son vectores constantes de componentes complejas.
Llevando [88] a [82], recuperamos
[44] para la dependencia funcional de los campos (reales) ( )trE
, y
trB , correspondientes a una onda
plana. Insistimos en que es necesario imponer las restricciones
dadas por [45], [46] y [47].
Calculemos la densidad de energa electromagntica correspondiente
a una onda armnica arbitraria haciendo uso de [57]:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+
=
+
+
2ii
2
2ii
0
2
e e
2
e e
2,
tttt rBrBc
rErEtru , [89]
i. e.,
= ++
+
++
22
22i
2
2
22i
22
20 2e e 8
BcEBcEBcE
u tt . [90]
-
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15
Si calculamos el promedio temporal en un ciclo ( [ ]Tt 0, con
piT 2= ) del ritmo de cambio de la densidad de energa
electromagntica, i. e.,
( ) ( )
T
uTut
t
u
Tt
u T 0d
1
0
= , [91]
vemos que en este caso concreto se anula por la periodicidad de
las exponenciales imaginarias que aparecen en [90]:
0=t
u. [92]
Si [92] es vlida para cualquier onda electromagntica con
dependencia temporal armnica,
tambin lo ser, en particular, para una onda plana.
Calculemos ahora el vector de Poynting asociado a una onda
armnica arbitraria a travs de [60]:
( ) ( ) ( ) ( )
+
+
=
2
e e
2
e e 1
iiii
0
tttt rBrBrErE
S , [93]
i. e.,
+
+
+=
e e 4
1 2i2i
0
BEBEBEBE
S tt . [94]
Si calculamos el promedio temporal en un ciclo del vector de
Poynting,
( ) ( ) T tt,rSTrS 0 d 1 , [95]
vemos que en este caso resulta
=
=
+
Re
2
1
4
1
00
BE
BEBE
S . [96]
El ltimo resultado es vlido para cualquier onda electromagntica
con dependencia temporal
armnica. Si particularizamos para el caso de una onda plana
hacendo uso de [88] y [47], entonces [96] se escribe
( )[ ] =
=
=
000
i0
i0
00
Re2
1ee Re
2
1 Re
2
1En E
cBE
BE
S rkrk . [97]
Empleando ahora la identidad de expulsin vlida para tres
vectores cualesquiera 3 , , Rcba ,
( ) ( ) ( )cb abc acb a , [98]
y teniendo en cuenta que, por [46], los vectores 0E y n son
ortogonales, podemos reexpresar [97] en la forma
-
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( ) nEc
E n EnE Ec
S 2
00
00000 2
1 Re
2
1=
=
, [99]
de modo que hemos obtenido que, para una onda plana, el promedio
temporal del vector de Poynting es
uniforme en el espacio, ( )rSS , y por tanto tomando
divergencias en [99] resultar
0= S . [100]
Aunando [92] y [100], se satisfar evidentemente
0 =+
St
u , [101]
que es justamente la expresin que obtenemos tomando promedios
temporales e imponiendo 0=J (como corresponde a una onda plana) en
el teorema de Poynting [61].
1. 5. Ecuaciones de Maxwell macroscpicas
Las ecuaciones de Maxwell macroscpicas o para medios materiales
son
D = ; [102]
0=
+t
BE ; [103]
0 = B , [104] y
Jt
DH =
, [105]
donde E y B son los campos elctrico y magntico macroscpicos, D y
H son los correspondientes
campos derivados de E y B cuya expresin explcita daremos ms
adelante, y y J son las densidades macroscpicas de carga y de
corriente, respectivamente. Aunque estas ecuaciones nos son muy
familiares, tenemos que presentar una derivacin rigurosa de las
mismas desde un punto de partida microscpico, aspecto que a
continuacin abordaremos. Esta derivacin se limitar a un marco de
trabajo clsico pese a que los tomos deben ser descritos con un
tratamiento mecanocuntico. Para justificar esta aparente
incongruencia, diremos (aunque ello no sea riguroso) que la
discusin mecanocuntica puede considerarse anloga a la discusin
clsica, si sustituimos las magnitudes clsicas por los valores
esperados mecanocunticos correspondientes.
Consideramos un mundo microscpico hecho de electrones y ncleos.
Para tamaos grandes
frente a 1014 m, los ncleos y los electrones pueden tomarse, en
muy buena aproximacin, como sistemas puntuales. Asumimos que las
ecuaciones que gobiernan los fenmenos electromagnticos para estas
cargas puntuales son las ecuaciones de Maxwell microscpicas (i. e.,
las ecuaciones de Maxwell en el vaco):
-
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0
mic
e = ; [106]
0=
+t
be ; [107]
0 = b , [108] y
jt
E
cb 02
1=
, [109]
donde e y b son los campos elctrico y magntico microscpicos y
mic y j son las densidades
microscpicas de carga y de corriente. Una cantidad macroscpica
de materia en reposo contiene del orden de 10235 electrones y
ncleos, todos en movimiento incesante debido a la agitacin trmica,
la vibracin alrededor del punto de equilibrio o el movimiento
orbital. Los campos electromagnticos microscpicos producidos por
estas cargas varan de manera enormemente abrupta e imprevisible en
el espacio y en el tiempo. Las variaciones espaciales ocurren para
distancias del orden de 1010 m o menores; en cuanto a las
fluctuaciones temporales, tienen perodos que van desde los 1013 s
de las vibraciones nucleares hasta los 1017 s del movimiento
orbital de los electrones. Pero las mediciones macroscpicas
proporcionan en general promedios sobre intervalos espaciales y
temporales mucho mayores que aqullos; por tanto, todas las
fluctuaciones microscpicas son necesariamente promediadas, dando
cantidades macroscpicas cuya variacin en el espacio y en el tiempo
es relativamente suave y lenta, como las que aparecen en las
ecuaciones macroscpicas de Maxwell.
Debemos tener alguna precaucin a la hora de responder a la
cuestin de qu tipo de promedio es el ms apropiado. A primera vista
uno podra creer que son necesarios tanto un promedio espacial como
un promedio temporal, pero esto no es cierto: slo es necesario
promediar en el espacio. (Incidentalmente, diremos que calcular
nicamente el promedio temporal sera con certeza insuficiente, como
puede verse considerando un cristal inico cuyos iones vibran
ligeramente respecto del equilibrio en las celdas bien definidas y
suficientemente separadas de una red.) A fin de acotar el rango en
el que esperamos que funcione una descripcin macroscpica de los
fenmenos electromagnticos, observemos que la reflexin y la
refraccin de la luz visible vienen apropiadamente descritas por las
ecuaciones de Maxwell con constante dielctrica continua, mientras
que la difraccin de rayos X ilustra claramente la naturaleza
discontinua de la materia (i. e., la existencia de los tomos): es
razonable por tanto tomar la longitud L0 = 108 m = 102 como lmite
inferior de longitudes macroscpicas; el perodo de oscilacin
de una luz con esta longitud de onda es L0/c = 3 1017 s. En un
volumen de 3243
0 m 10
=L de materia
ordinaria hay todava del orden de 106 ncleos y electrones; en
consecuencia, en cualquier regin de inters macroscpico (L >>
L0) hay tantos ncleos y electrones que las fluctuaciones
microscpicas sern completamente absorbidas por un promedio
espacial. Pero, por otro lado, ya que la escala de tiempos asociada
a L est de hecho en el rango de los movimientos moleculares, un
promedio temporal no resultara apropiado. Una vez realizado el
promedio espacial, no hay, sin embargo, evidencia de las
fluctuaciones temporales microscpicas del medio; ello se explica
porque en ausencia intervencin externa sobre el sistema las
variaciones temporales de los campos microscpicos no estn
correlacionadas para distancias del orden de L.
El promedio espacial de una funcin dada ( )trF , se define
( ) ( ) ( ) tsrF sf strF ,d, 3 , [110]
-
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18
donde la integral anterior se extiende a todo el espacio, y (
)sf es una funcin test real, idnticamente nula salvo en un cierto
entorno del origen de coordenadas denominado regin de promediado P
8, normalizada a la unidad en todo el espacio y a la que imponemos
la condicin de isotropa (i. e., su valor
en un punto s slo puede depender de la distancia s al origen de
coordenadas).
La posibilidad ms simple para ( )sf dentro de la regin de
promediado es que sea constante (por normalizacin, igual a la
inversa del volumen de promediado, 1P
V ), en cuyo caso [110] se escribir
sencillamente
( ) ( ) = P
3
P
,d1
, tsrFsV
trF . [111]
No obstante, este caso presenta el inconveniente de que en los
puntos de la frontera de la regin
de promediado, P , existe una discontinuidad de salto para ( )sf
, que pasa abruptamente de valer 1PV a anularse. Una posibilidad ms
realista y ms conveniente es que la funcin test se mantenga en
buena aproximacin constante para valores de s lo bastante cercanos
a cero y decaiga suavemente hasta anularse a medida que el punto
considerado se aleje del origen. Afortunadamente, no es
necesario
conocer la forma exacta de ( )sf : basta con asumir que
satisface las propiedades generales de regularidad que permitan que
su expansin en serie de Taylor converja rpidamente en el rango de
distancias moleculares.
FIG. 1. Grfica esquemtica de la funcin test f(s) empleada en el
clculo del promedio espacial. Los tamaos respectivos de las
regiones en que la funcin puede asumirse constante y en que decae
hasta anularse son ambos mucho mayores que las dimensiones
moleculares. Evidentemente, tenemos
( ) ( ) ( )iii x
tsrx
F sf strF
x
=
=F
,d, 3 [112]
y
( ) ( ) ( )t
tsrt
F sf strF
t
=
=F
,d, 3 . [113]
Entonces, usando que por definicin los campos electromagnticos
macro y microscpicos se
relacionan segn
( ) ( ) tretrE ,, = y ( ) ( ) trbtrB ,, = , [114]
8.Desde un punto de vista prctico, el tamao de esta regin
depender de las propiedades del instrumento de medida empleado por
el experimentador, pero en cualquier caso ser mucho mayor que las
dimensiones moleculares y mucho menor que el tamao total del
sistema.
-
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19
podemos obtener directamente las ecuaciones para medios
materiales [103] y [104] a partir de sus expresiones anlogas en el
vaco, a saber, las ecuaciones de Maxwell homogneas (las no
dependientes explcitamente de las propiedades materiales del
sistema) [107] y [108]:
0 0 == Bb ; [115]
0 0 =
+=
+t
BE
t
be . [116]
Por su parte, al promediar las ecuaciones de Maxwell inhomogneas
[106] y [109], resulta
( ) 0mic , trE = ; [117]
( )trjt
E
cB ,
102
=
. [118]
Comparando [117] con [102] y [118] con [105], comprobamos el
hecho conocido de que los
nuevos campos D y H se introducen debido a la aportacin de
ciertas contribuciones, que pueden
identificarse con las propiedades materiales del medio, al
cmputo neto de mic (distinta de la
densidad de carga macroscpica ) y de j (distinta de la densidad
de corriente macroscpica J ).
Por definicin, el promedio espacial de la densidad de carga
microscpica es
( ) ( ) = tsr sf s ,d mic3mic . [119]
Ahora, si consideramos que el sistema est formado por un
conjunto discreto de cargas { }iq , cada una con densidad de
carga
iqi y posicin ( ) ( )trtr iqi , podremos poner
( ) ( )=(cargas)
mic ,,i
i trtr . [120]
Llevando [120] a [119] y permutando integral y sumatorio,
( ) ( ) =(cargas)
3mic ,d
ii tsr sf s . [121]
Para evaluar esta ltima integral, consideremos que la funcin (
)tri , es por definicin idnticamente nula en casi todo el espacio
salvo en un entorno minsculo de ( )tr
i, en el que la funcin
test, dada su regularidad, puede asumirse constante y por tanto
sacarse de la integral. As pues,
( ) ( )( ) ( ) (cargas)
3mic ,d,
iii
tsr s trrftr , [122]
ya que ( ) 0, tsri slo para 0 irsr , i. e., para irrs . Por otro
lado, usando que por definicin es
-
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20
( ) = tsr sq ii ,d 3 , [123] ponemos finalmente
( ) ( )( ) =(cargas)
mic ,i
iitrrfq tr . [124]
Consideramos un medio cuyos ingredientes materiales son, por un
lado, las molculas ligadas,
compuestas a su vez de electrones y ncleos, y por otro, las
cargas libres no localizadas en los alrededores de ninguna molcula
en concreto. As (obviando ya la dependencia temporal):
( ) ( ) =
+=+=
(mol.) 1
(libres)
mol.mic
libresmicmic
n
M
knn
j jj
n
kkrrfqrrfq , [125]
donde Mn es el nmero de cargas consideradas indivisibles de la
molcula nsima; a la carga ksima de
esta molcula se la denota por kn
q y su vector de posicin es kn
r .
Podemos tomar el centro de masas de la molcula nsima, con vector
de posicin n
r , y definir
la posicin relativa de kn
q con respecto a dicho punto, nnn
rrrkk
. As,
( )
=
kk nnnrrrfrrf . [126]
Ya que el mdulo del vector kn
r nunca exceder las dimensiones moleculares tpicas, podemos
hacer un desarrollo en serie de Taylor para [126] alrededor del
punto n
rr :
( ) ( ) ( ) ( ) L +
+
=n
n
nnnnnrr
ss
frrrrfrrrf rrf
kkkk ,
2
2
1, [127]
donde, en este caso, la componente del vector que corresponda
viene indicada por un subndice griego.
Con lo cual,
( ) ( )+= ==
(mol.)
1 (mol.)
1
mol.mic
n
M
knnn
n
M
knn
nn
rrfrqrrfqkkk
( ) L +
+ =
(mol.) 1 ,
2
2
1
n
M
k n
n
nn
n
rrss
frrq
kkk. [128]
As, si definimos los tres primeros momentos multipolares de la
molcula nsima a saber,
=
=
nM
knn k
qq1
[129]
(carga molecular neta);
-
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=
=
nM
knnn kk
rqp1
[130]
(momento dipolar molecular), y
=
=
nM
k
n
nnn
kkkrrqQ
1
3 [131]
(momento cuadrupolar molecular 9), podemos reescribir [128]:
( ) ( ) ( ) L +
+
=
(mol.) ,
2
(mol.)
(mol.)
mol.mic 6
1
n n
n
n nn
n nn
rrss
fQrrfprrfq . [132]
Llevando [132] a [125],
( ) ( ) L ++ =(mol.)
,
2
(mol.)
mic 6
1
n n
n
n nn
rrss
fQrrfp , [133]
donde hemos tomado la densidad de carga macroscpica,
( ) ( ) +(mol.)
(libres)
n nn
j jj rrfqrrfq , [134]
y vemos explcitamente dnde radica la diferencia entre mic y : en
los momentos multipolares
segundo, tercero, etc., que existen por la propia estructura
interna de las molculas.
Notemos que podemos escribir
( ) ( ) ( ) ( )
=
=
n n
n
n n
nn nn
rrs
fprr
s
fprrfp
(mol.)
(mol.)
(mol.)
, [135]
de donde, si definimos la polarizacin macroscpica P ,
( ) (mol.)
n nn
rrfpP , [136]
vemos que
9.De hecho, el momento cuadrupolar que se obtiene como tercer
trmino del desarrollo multipolar
del potencial electrosttico tiene la forma ( ) ( ) ( ) = j jjjjn
rrrqQ2
3 (de manera que
resulta un tensor de rango 2 con traza nula), pero este detalle
no es relevante para el aspecto que ahora nos ocupa.
-
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22
( ) Prrfpn
nn =
(mol.)
. [137]
Por otro lado,
( ) ( )
=
n n
n
n n
n rrss
fQ
rrss
fQ
,(mol.)
2
(mol.) ,
2
6
1
6
1, [138]
que, definiendo la densidad cuadrupolar macroscpica,
( ) ( ) (mol.)
6
1
n n n
rrfQQ , [139]
queda
( )
=
n n
n ss
Qrr
ss
fQ
,
2
(mol.) ,
2
6
1. [140]
Llevando [137] y [140] a [133],
L +
+ =
ss
QP
,
2
mic . [141]
Usando que, por [117], es E 0mic = , [141] se reexpresa:
s
QPE
sss
Q
s
P
s
E
=+
+
+
+
= LL 0
,
2
0 , [142]
de tal suerte que, definiendo la componente sima del vector
desplazamiento elctrico macroscpico,
+
+
s
QPED L0 , [143]
nos ha quedado finalmente la ley de Gauss para medios materiales
[102].
Los dos primeros sumandos del miembro derecho de [143] arrojan
la expresin familiar
PED += 0 , [144]
mientras que los sumandos tercero y siguientes son, en la
prctica y salvo casos excepcionales, despreciables.
-
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ELECTRODINMICA CLSICA
23
Debemos abordar ahora el clculo de j . Por el propio carcter
vectorial de esta variable y el
papel que juegan las velocidades, este cmputo es notablemente ms
complicado que el de mic , si
bien la idea conceptual bsica no difiere. Por definicin, el
promedio espacial de la densidad de corriente microscpica es
( ) ( ) = tsr j sf sj ,d 3 . [145]
Ahora, si consideramos que el sistema est formado por un
conjunto discreto de cargas { }iq , cada una con densidad de
carga
iqi , posicin iqi rr y velocidad iqi vv (con trv ii dd= ):
( ) ( ) ( )=(cargas)
, , ,i
iitrvtrtrj . [146]
Llevando [147] a [146] y permutando integral y sumatorio,
( ) ( ) ( ) =(cargas)
3 , ,di
ii tsrvtsr sf sj . [147]
Pero, al ser la funcin ( )tri , idnticamente nula en casi todo
el espacio salvo en un entorno minsculo de ( )tr
i, en el que la funcin test y la velocidad pueden asumirse
constantes y por tanto
sacarse de la integral, resulta
( ) ( ) ( )( ) (cargas)
,,i
iiiitrrftrvqtrj , [148]
ya que ( ) 0, tsri slo para irsr , i. e., para irrs , y hemos
usado nuevamente [123].
Hacemos ahora la distincin entre corrientes libres y ligadas
(originadas por el movimiento de las cargas deslocalizadas y de las
cargas moleculares, respectivamente):
( ) ( ) =
+=+=
(mol.) 1
(libres)
mol.libres
n
M
knnn
j jjj
n
kkkrrfvqrrfvqjjj , [149]
donde la interpretacin de los sumatorios es anloga a la de la
ecuacin [125].
Podemos considerar nuevamente el centro de masas de la molcula
nsima, con vector de
posicin n
r , y la posicin relativa de kn
q con respecto a dicho punto, nnn
rrrkk
= . As, recuperamos
la aproximacin para ( )kn
rrf dada en [127]. Si asumimos adems la validez de la composicin
de
velocidades no relativista (i. e., tomamos nnn
vvvkk
+= ) y expandimos, podemos reexpresar [150]
como la suma de seis sumatorios vectoriales:
VIVIVIIIIII SSSSSSj +++++= , [150]
siendo
-
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24
( ) (libres)
j jjjI
rrfvqS ; [151]
( ) =
(mol.) 1 n
M
knnn
II
n
rrfvqSk
; [152]
( ) =
(mol.) 1 n
M
knnn
III
n
rrfvqSkk
; [153]
( ) =
(mol.) 1 n
M
knnnn
IV
n
rrfrvqSkk ; [154]
( ) =
(mol.) 1 n
M
knnnn
V
n
rrfrvqSkkk , [155]
y
( ) =
(mol.) 1 ,
2
2
1
n
M
k n
n
nnn
VI
n
rrss
frrvqS
kkk , [156]
donde hemos despreciado la contribucin del sumatorio
( ) =
(mol.) 1 ,
2
2
1
n
M
k n
n
nnn
n
rrss
frrvq
kkkk, [157]
por ser de orden superior al segundo en el desarrollo.
Teniendo en cuenta la definicin de la densidad de corriente
macroscpica,
( ) ( ) +(mol.)
(libres)
n nnn
j jjj
rrfvqrrfvqJ , [158]
y usando [129], es inmediato identificar la aportacin de los dos
primeros sumatorios:
JSS III =+ . [159] Ahora, recordando la definicin del momento
dipolar elctrico de la molcula nsima dada en
[130], podemos reescribir la aportacin de los sumatorios tercero
y cuarto:
( ) ( )[ ] =+(mol.)
(mol.)
d
d
n nnn
n n
nIVIII vrrfprrf
t
pSS . [160]
Si consideramos la identidad vectorial
-
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25
( ) ( ) ( )nn
nnnn
v fpft
pfvpfp
t=+
d
d
d
d, [161]
donde hemos puesto ( )( )trrffn
por aligerar la notacin, podemos reescribir [159] en la
forma
( )( ) ( )( ) In
nnnn
nnIVIIIF
t
Prrfvprrfp
tSS ++ ==+ d
d
d
d
(mol.)
(mol.)
, [162]
donde hemos usado la definicin de la polarizacin macroscpica P
dada en [136], y hemos definido el
campo macroscpico IF como
( ) (mol.)
n nnnI
rrfvpF . [163]
Si tomamos ahora la identidad vectorial
( )[ ]=
fvtrfr
tvr f
nnnnn kkkk 2
1
d
d
2
1
2
1
( ) = + nnnnnn rrss frrvfrv kkkk ,2
2
1 10, [164]
donde la componente del vector t se define formalmente segn
n
n srrt
kk, [165]
podemos reescribir la aportacin de los sumatorios quinto y
sexto:
( ) =
=+
(mol.) 1 2
1
n
M
knnnnVIV
n
kkrrfvrqSS
k
( )( ) ( ) ==
(mol.) 1
(mol.) 1
2
1
2
1
d
d
n
M
knnn
n
M
knnnn
nn
rrfvtqrrfrrqt kkkk
. [166]
Usando las definiciones del momento magntico molecular,
( )=
n
k
M
knnnn kk
vrqm1 2
1, [167]
10.La deduccin de las expresiones [161] y sobre todo [164] es
bastante farragosa y no la
incluiremos. No obstante, apuntaremos que es til considerar que
la funcin test ( )( )trrfn
depende del tiempo, no explcita pero s implcitamente. Por la
regla de la cadena,
( ) ( )( ) ( )( )trrtrrtnnn
fvf = dd .
-
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26
y de la magnetizacin macroscpica,
( ) (mol.)
n nn
rrfmM , [168]
podemos reescribir el primer trmino del miembro derecho de
[166]:
( ) Mrrfvrqn
M
knnnn
n
kkk
=
=
(mol.) 1 2
1. [169]
En cuanto a la componente del vector dado por el segundo
trmino:
( ) =
=
(mol.) 1 2
1
d
d
n
M
k n
n
nn
n
kkrr
s
frrq
t k
( )
=
=
n n
n s
Q
trr
s
fQ
t d
d
d
d
6
1
(mol.)
, [170]
donde hemos usado las definiciones del momento cuadrupolar
molecular
nQ
que no depende de
punto y por tanto puede introducirse en la derivada parcial con
respecto a s y de la densidad
cuadrupolar Q , [131] y [139] respectivamente.
Por su parte, el ltimo sumatorio en [166] se escribe
( ) ( ) IIn
M
knnn
Frrfvtqn
k =
=
(mol.) 1 2
1, [171]
donde, teniendo en cuenta [165] y usando nuevamente [131], la
componente del campo macroscpico
IIF viene dada por
( ) ( ) ( ) =
=
n
n
n
n
n
M
k nII
vrrs
frrqF
kkk
n
(mol.) 1 ,2
1
( ) ( )
= nn
n
n
rrfvQs
(mol.) ,,6
1. [172]
Llevando [169], [170] y [171] a [166]:
( ) ( ) ( )II
VIV Fs
Q
tMSS
=+ d
d. [173]
-
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27
Llevando [159], [162] y [173] a [150] y agrupando, nos queda
esta expresin para el promedio espacial de la componente de la
densidad de corriente microscpica:
( )[ ]III
FFMs
QP
tJj ++
+= , [174]
donde, como quiera que la polarizacin y la densidad cuadrupolar
no dependen de ( )trn
(a diferencia de
la funcin test), hemos reemplazado la derivada temporal total
por la derivada temporal parcial.
Igualando este resultado al que se obtiene de despejar el
promedio espacial de la componente de la densidad de corriente
microscpica de [118], i. e.,
( )
Et
Bj 0
0
= , [175]
reorganizando y recordando la definicin de la componente del
vector desplazamiento elctrico dada en [143], obtendremos la forma
definitiva de la ley de AmpreMaxwell macroscpica [105], donde
el
nuevo campo H viene dado por
III
FFM
BH +=
0
. [176]
Los dos primeros trminos del miembro derecho de [176] dan la
expresin familiar para H , mientras que los dos ltimos son
generalmente muy pequeos frente a los anteriores, por dos razones:
en
primer lugar, porque las velocidades moleculares n
v son pequeas; en segundo, porque dichas
velocidades fluctan y, en promedio, tienden a anularse
macroscpicamente. La excepcin puede darse
cuando el medio viaja como un todo con velocidad v ; por
sencillez, en este caso es razonable despreciar
cualquier otro movimiento de las molculas y poner vvn
= para cada n, en cuyo caso, usando [136],
[163] se simplifica en
( )
IIvPFvPF ==
,
, [177]
mientras que, por [139], [172] queda
( )
II
vs
QF
=
,,
. [178]
Aunando [177] y [178], y usando a continuacin [143],
( ) ( )
IIIvDEv
s
QPFF
=
+=+ 0
,,
, [179]
con lo cual, [176] adopta finalmente el aspecto:
( ) effM
BvEDM
BH = =
00
0
, [180]
-
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28
donde ( ) vEDMM eff + 0 es la magnetizacin efectiva del medio,
que depende de la velocidad a la que se desplaza. La ecuacin [180]
representa el lmite no relativista de una de las ecuaciones de
Minkowski de la electrodinmica de los medios continuos.
1. 6. Permitividad como funcin de la frecuencia
A primera vista, el sistema constituido por las ecuaciones de
Maxwell macroscpicas [102][105] presenta el inconveniente de que
contiene ms incgnitas (doce) que ecuaciones (seis). No obstante, en
adelante restringiremos en todo caso nuestra discusin a los
fenmenos de polarizacin elctrica, nunca
magntica, despreciando la magnetizacin M que pueda inducirse en
cualquier medio que consideremos; adems, retendremos nicamente el
trmino lineal de la respuesta al campo elctrico que acta sobre el
medio. En la prctica, estas dos consideraciones suponen asumir la
validez de las
expresiones 0BH = y PED += 0 repectivamente. Nuestro presente
objetivo es, en consecuencia,
encontrar una relacin entre la densidad de momento dipolar P y
el campo elctrico E que permita
expresar el campo D en trminos solamente de este ltimo.
Recordemos que la polarizacin de un conjunto de tomos o molculas se
da mediante dos
mecanismos posibles: por un lado, el campo elctrico aplicado
puede distorsionar las distribuciones de carga, induciendo un
momento dipolar en cada molcula; por otro, el campo puede alinear
los momentos dipolares permanentes inicialmente orientados de
manera aleatoria de las molculas.
Consideremos para empezar la posibilidad ms simple: imaginemos
que colocamos un tomo
aislado en el seno de un campo elctrico externo constante y
uniforme ( )trEE ,00 y queremos estudiar la polarizacin por
distorsin inducida por el campo sobre el tomo desde una perspectiva
que podramos llamar semiclsica. Por sencillez, tomaremos el tomo
como un ncleo puntual de carga q situado en el centro de una nube
electrnica esfrica de radio a y carga q uniformemente repartida:
dada su simetra esfrica, el momento dipolar permanente del tomo ser
necesariamente nulo. Al aplicar el campo, el ncleo se ve
ligeramente desplazado en el mismo sentido, y la nube electrnica en
sentido contrario; puesto que estos desplazamientos son
extremadamente pequeos, es vlido asumir que la nube electrnica
conserva su forma esfrica. Denotaremos por d la distancia que el
campo ha desplazado al ncleo respecto de su posicin original.
FIG. 2. Representaciones de las situaciones del tomo en ausencia
y en presencia de un campo elctrico polarizante, respectivamente.
Consideremos que sobre el ncleo actan dos fuerzas de sentido
opuesto: por un lado, la fuerza
asociada al campo 0E ; por otro, la fuerza restauradora debida
al campo interno rE creado, de acuerdo con la ley de Gauss, por la
porcin de carga de la nube electrnica encerrada por la esfera de
radio d, i. e.,
( )30adq en valor absoluto. Por lo tanto, el mdulo del campo
restaurador nos queda
3
0
3
20 4
1
4
1
api
p
a
dq
dpiEr ==
, [181]
-
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29
donde hemos usado que, para un par de cargas de valores
respectivos q y q separadas una distancia d, el
momento dipolar vale en mdulo p = qd. De tal suerte que, en el
equilibrio ( 0EEr = ), tenemos
03
04 Eapip = . [182]
Si llamamos polarizabilidad atmica a la cantidad con unidades de
volumen que liga p y 0E
segn
00 Ep = , [183]
vemos, comparando con [182], que para este caso concreto hemos
obtenido
vpia 34 3 == , [184] donde v es el volumen del tomo. Pese a la
tosquedad de este modelo primitivo, sus predicciones no son tan
malas al contrastarlas con la experiencia: tienen una precisin de
alrededor de un factor 4 para muchos tomos simples 11.
Si consideramos no un tomo aislado, sino una masa macroscpica
con N tomos (o, en su caso, molculas) por unidad de volumen, la
polarizacin macroscpica es por definicin
pNP = . [185]
No obstante, tengamos presente que sera absurdo pensar que el
campo locE percibido
localmente por un tomo del conjunto fuera igual al campo externo
aplicado 0E sobre el medio, pues hay que considerar, para el cmputo
del primero, no slo el segundo sino tambin la aportacin del resto
de tomos que son asimismo polarizados por el campo externo; con lo
cual, en este caso tendremos que reemplazar [183] por la expresin
anloga
locEp 0= . [186]
Pero, adems, asumiendo hiptesis de simetra de los centros
polarizables, puede demostrarse
que el campo macroscpico E que aparece en las ecuaciones de
Maxwell no es igual a locE , sino que est dado por
03
PEE loc = 12. [187]
Llevando [186] a [185] y despejando locE ,
11.De hecho, usando herramientas de la Mecnica Cuntica en
concreto, la teora perturbativa estacionaria a orden primero, puede
obtenerse, para el caso concreto del tomo de hidrgeno en el estado
fundamental, que la polarizabilidad es 4.5 veces superior a la
predicha por el argumento semiclsico (vide
http://www.uco.es/hbarra/FisicaCuantica/apuntes/1005.pdf). 12.Puede
parecer algo extrao que el campo local difiera del campo promedio.
Este hecho puede justificarse de modo no del todo satisfactorio si
consideramos que todos los dipolos del sistema
contribuyen a E , mientras que para la determinacin del campo
local que ve una determinada carga hay que descontar el campo de
dicha carga, habida cuenta de que excluimos la posibilidad de que
una carga ejerza fuerza sobre s misma.
-
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30
0
1
P
NE loc = , [188]
lo que llevado a [187] da
EN
NP
P
NE
313
110
0 ==
, [189]
lo que, comparado con la expresin genrica
EP e0= , [190]
donde la cantidad adimensional e es la susceptibilidad
(elctrica) del medio, arroja la ecuacin de
ClausiusMossotti:
31 N
Ne
= . [191]
Para medios con densidad baja (tales que 13
-
Mario Snchez Snchez, 4 de Fsicas, 201112
ELECTRODINMICA CLSICA
31
Hasta ahora, en todo momento hemos considerado campos
estacionarios, pero el propsito
principal de esta seccin es el de presentar un modelo
simplificado que nos permita obtener la dependencia de la
permitividad con la frecuencia del campo no esttico sentido por el
tomo en que fijamos nuestra atencin. Por comodidad, asumiremos por
el momento que la dependencia espacial del
campo sigue siendo uniforme, ( )rEE ; por sencillez, usaremos la
aproximacin ( ) ( )tEtE loc , as que nuestro modelo slo se ajustar
al comportamiento de sustancias relativamente poco densas no
obstante, si as se desea, este inconveniente puede subsanarse
fcilmente haciendo uso de la mejora de ClausiusMossotti. Adems, a
fin de obviar el carcter vectorial del problema, consideraremos
sin
prdida de generalidad que el campo es paralelo al eje x, ( ) (
)xtEtE = , y tomaremos una dependencia temporal armnica, ( ) (
)tEtE cos 0= . Con todo, tenemos la ecuacin de movimiento de un
electrn de masa m y carga e ligado al ncleo por una fuerza
recuperadora de tipo xmF 20= 13:
( ) ( ) ( ) ( )tEm
etxtxtx cos 0
20 =++ &&& , [197]
donde la constante fenomenolgica , que tiene dimensiones de
frecuencia y es de ordinario mucho
menor que 0 , da cuenta de la fuerza de amortiguamiento sufrida
por el electrn. [197] es ms
manejable si la identificamos con la parte real de la ecuacin
compleja
( ) ( ) ( ) tEm
etxtxtx i0
20 e
=++ ~~~ &&& , [198]
cuya solucin estar dada por
( ) ( ) ( )txtxtx PH ~~~ += , [199]
donde ( )txH~ es la solucin al problema homogneo (campo nulo) y
( )txP~ es la solucin particular. Como quiera que ( )txH~ se
desvanece en el lmite de tiempos largos, en el estado estacionario
tomamos
( ) ( ) tP xtxtx i0e == ~~~ , [200]
donde obtenemos directamente la amplitud compleja 0x~ llevando
[200] a [198] y despejando:
0220
0 iE
mex
=~ , [201]
con lo cual el momento dipolar es la parte real de
( ) ( ) tt pE
metxetp i0
i022
0
2
eei
=
==~~~ , [202]
donde
0220
2
0 iE
mep
~ [203]
13.Las fuerzas de ligadura reales entre el electrn y el ncleo
pueden ser complicadas, pero a efectos prcticos slo nos importa
saber que la fuerza restauradora siempre puede asumirse armnica
haciendo un desarrollo de Taylor hasta el orden primero si los
valores de x (desplazamiento respecto del equilibrio) son lo
suficientemente pequeos, como efectivamente sucede.
-
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ELECTRODINMICA CLSICA
32
es la amplitud compleja de momento dipolar. Comparando [203] con
[183], vemos que hemos obtenido una polarizabilidad compleja
dependiente de la frecuencia:
( ) ( )[ ] ( )[ ]
me
me i
i
1 220
12222
00
2
2200
2
++=
=
~ . [204]
El hecho de que para valores de no nulos tengamos 0 Im ~ nos
dice que el
amortiguamiento induce un desfase entre el momento dipolar y el
campo elctrico de ngulo
( )[ ]220 arctan , que se anula para 0 y se hace 2pi para 00 .
Entonces, recordando que para materiales con densidad lo bastante
baja la permitividad y la
polarizabilidad se relacionan segn ( )N += 10 , vemos que la
permitividad compleja del medio depende de la frecuencia segn
( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]m
Ne i220
12222
0
2
0 +++=
~ . [205]
El hecho de que generalmente sea 0 , tendremos
respectivamente
0 Re >~ y 0 Re
0, el valor absoluto de la funcin de influencia decae con t y
lo
hace tanto ms rpido cuanto mayor sea , lo que ilustra que el
amortiguamiento introducido en nuestro modelo propicia que la
influencia de instantes alejados del instante en que queremos
conocer la polarizacin sea menor que la de otros instantes ms
prximos.
17.Notemos que la ecuacin [235] no es, en efecto, local en el
tiempo, pero s lo es en el espacio. Ello se explica porque
implcitamente hemos asumido en todo momento que, aunque los campos
aplicados puedan ser no uniformes en el espacio, sus variaciones
son despreciables en la escala involucrada en la polarizacin de
tomos y molculas. Para las cargas ligadas, dicha escala es del
orden de las dimensiones atmicas o menor, de modo que podemos
esperar que la permitividad siga siendo funcin exclusiva de para
frecuencias situadas ms all del rango visible. No obstante, en el
caso de los conductores, la presencia de cargas libres que siguen,
en promedio, trayectorias libres macroscpicas invalida, para
frecuencias mucho ms bajas que en el caso anterior, la asuncin de
que la permitividad slo depende de . Este fenmeno se asocia a una
dependencia de la susceptibilidad (luego de la funcin de
influencia) no slo con la frecuencia, sino tambin con la longitud
de onda; en tal caso, la integral en [235] debera extenderse no slo
a cada instante, sino tambin a cada punto. Por otra parte, para
medios no istropos la susceptibilidad no es un escalar, sino un
tensor de rango 2 (matriz 33 ), y por tanto lo mismo le suceder a
la funcin de influencia.
-
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ELECTRODINMICA CLSICA
38
No obstante, la propiedad ms obvia de la funcin de influencia
segn [237] es que se anula idnticamente para tiempos t
-
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ELECTRODINMICA CLSICA
39
i. e., la funcin ( )z~ satisface las condiciones de
CauchyRiemann, lo que garantiza su analiticidad en el semiplano
superior. Podemos asegurar que ( )z~ es asimismo analtica sobre el
eje de abscisas ( 0 Im =z ) apelando a un argumento razonable desde
un punto de vista fsico: para tiempos muy
largos, la funcin de influencia ha de desvanecerse, ( ) 0 tG
para t . Llamaremos D al dominio de analiticidad de ( )z~ :
{ }0Im z zD C . [247]
En estas condiciones, podemos aplicar la frmula integral de
Cauchy para garantizar que el
valor de ( )z~ en un punto arbitrario Dz 0 queda dado por
( ) ( ) ( ) ( ) z zfpi
z z
zz
z
piz
C C d
i2
11d
i2
1
0
0
00 + =
=~~~~ , [248]
donde ( )zf~ es la funcin de variable compleja y valores
complejos definida por
( ) ( )0
0 1
zz
zzf
~~, [249]
y C es cualquier contorno simple cerrado contenido en el
semiplano superior, recorrido en sentido positivo. Podemos escoger
que C sea la semicircunferencia positiva CR, de radio R y centrada
en el origen,
si la cerramos por abajo con la porcin de recta real [ ]RR , .
Pero, si situamos 0z sobre el eje de abscisas (i. e., si tomamos
000 xz = ), ( )zf~ presentar una singularidad sobre la trayectoria
de integracin, lo que resulta problemtico. Solventamos este
inconveniente aislando 0z con la
semicircunferencia C centrada en 0z de radio (con R < ).
FIG. 4. Empleamos CR, como circuito auxiliar para la obtencin de
( )0z~ . De esta forma, ( )zf~ es una funcin analtica sobre el
circuito de integracin y en su interior.
Con lo cual, de acuerdo con el teorema de Cauchy, para cada par
de R y positivos con R <
tendremos
( ) 0d ,
= zzfRC
~, [250]
pero, por otro lado,
-
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ELECTRODINMICA CLSICA
40
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++= +
RR C
R
C
RC zzffzzffzzf d d d d d
0
0
,
~~~~~
, [251]
donde hemos tenido en cuenta que la semicircunferencia C se ha
recorrido en sentido negativo y que
xz = para cada z sobre el eje real. Con lo cual,
( ) ( ) ( ) ( ) =+ +
R C C
R
Rzzfzzfff d d d d
0
0 ~~~~
. [252]
Definimos el valor principal de la integral de ( )f~ en [ ]RR ,
en la forma
( ) ( ) ( )
+
+
R
R
R
Rfff
~~~
0
0d d lmd VP 0 . [253]
Por otro lado, haciendo un cambio a coordenadas polares planas
en la integral sobre C ,
( ) ( ) ( ) ( )
+
= =
1 ide ie1e
d1
d 0
00
0
ii
0i
0
0
0
pi
z
zz
zzzf
C
pi
C
~~~~
. [254]
Finalmente, en cuanto a la integral sobre CR notemos que
( ) 0d lm =RC
R zzf~
, [255]
ya que el denominador de ( )zf~ , 0z , crece en mdulo al mismo
ritmo que la longitud de CR al hacer tender R a infinito, pero el
numerador, ( ) 10 z~ , se desvanece para z muy grande en
particular, para y muy grande, como vemos de [242].
Llevando [253], [254] y [255] a [252] y recordando [249], es
claro que
( ) ( )
=
1 id 1
VP0
0
0
0
pi
~~
, [256]
o, equivalentemente,
( ) ( )
=
~~
pi d VP
i
0
00 , [257]
de donde
( ) ( ) ( ) ( )
=
++
~~~~
pi
pi d VP Im
1d VP Re
i Im i Re
0
0
0
00 , [258]
i. e.,
( ) ( )
=
+
~~
pi d
Im VP
1 Re
00 [259]
y
-
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ELECTRODINMICA CLSICA
41
( ) ( )
=
~~
pi d
Re VP
1 Im
0
0 . [260]
Las ecuaciones [259] y [260] se conocen como relaciones de
KramersKronig. En la prctica,
resulta ms interesante restringir a las frecuencias positivas el
intervalo de integracin en dichas
expresiones, lo que resulta sencillo si tenemos en cuenta la
hermiticidad de la funcin ( )~ ,
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
=
=
=
, Im Im
Re Re
~~
~~ ~~ [261]
que se deduce inmediatamente de [241].
En efecto, multiplicando y dividiendo por 0 + el integrando en
[259], podemos reescribir
( ) ( ) ( )
=
++
~~~
pi d
Imd
Im VP
1 Re
20
2020
20, [262]
pero, dada la imparidad de ( )~ Im , el primer integrando es una
funcin par y el segundo es una funcin impar, con lo que
( ) ( )
=
+
~~
0 20
20d
Im VP
2 Re
pi , [263]
que es la primera expresin buscada.
Multiplicando y dividiendo por 0 + el integrando en [260],
( ) ( ) ( )
=
+
~~~
pi d d
Red d
Re VP
1 Im
20
20
20
2020
20
20
2,
[264]
pero, dada la paridad de ( )~ Re , el primer integrando es una
funcin impar y el tercero es una funcin par, mientras que
elementalmente el segundo es una funcin impar y el cuarto es una
funcin par; as,
( ) ( )
=
~~
0 20
200 d
Re VP
2 Im
pi
, [265]
que es la segunda expresin buscada.
Las relaciones [263] y [265] tienen una validez general, ya que
recordemos se han obtenido asumiendo poco ms que una relacin lineal
y causal entre el campo elctrico y la polarizacin.
* * *
Como ya discutimos con anterioridad, la parte imaginaria de la
permitividad de un medio a travs del cual se propaga una onda
electromagntica ha de ser muy inferior a la parte real para que la
propia propagacin pueda existir durante un tiempo apreciable.
Consideremos pues la relacin de dispersin del tal medio previa
asuncin de que el medio es transparente (no absorbente) en un
cierto
rango de frecuencias I0 (i. e., para cada 0I la permitividad
puede aproximarse a una funcin de
valores reales):
-
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42
( ) k 022 = [266] relacin anloga a [223] para una permitividad
compleja.
Definimos la velocidad de fase de la onda con longitud de onda
segn
k
pi
v f = 2
. [267]
Comparando [266] y [267],
( )[ ] 210 = v f , [268]
que, considerando la expresin [43] para la velocidad de la luz
en el vaco c, puede ponerse
( )nc
v f = , [269]
donde ( )n es el ndice de refraccin del medio:
( ) ( )0
n . [270]
Por tanto, para ( ) 0 < el ndice de refraccin ser inferior a
la unidad y, en consecuencia, la velocidad de fase exceder la
velocidad de la luz en el vaco, lo cual puede a primera vista
parecernos contradictorio con alguna de nuestras convicciones
derivadas de la relatividad especial. Pero recordemos que en la
naturaleza no existen ondas planas, sino paquetes de ondas
localizados cuya forma general puede ponerse (para el caso
unidimensional):
( ) ( ) ( )( ) = k kApitxut kkx d e
2
1, i , [271]
donde la dependencia ( )k est contenida en [266], y la funcin de
pesos ( )kA se calcula con la transformada de Fourier de la
amplitud espacial ( )txu , evaluada en t=0:
( ) ( ) = k xupikAkx d e,0
2
1 i . [272]
As, para ( ) xk xu 0ie,0 = , tenemos ( ) ( )02 kk pikA = , que
llevado a [271] arroja, conforme a lo esperado, una onda propagante
monocromtica, ( ) ( )( )t kxktxu 00ie, = . Pero si ( ),0xu
constituye un tren de ondas finito y su longitud es del orden de x,
entonces ( )kA no es una delta de Dirac, sino una funcin nula salvo
en un cierto entorno de 0k el nmero de onda dominante en la onda (
),0xu y con anchura del orden de k. Identificando x y k con las
respectivas desviaciones cuadrticas medias de
los valores medios de x y k definidos en trminos de ( ) 2,0xu y
( ) 2kA , es posible obtener la siguiente desigualdad general:
2
1 k x . [273]
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De hecho, para la mayora de pulsos o paquetes de ondas
razonables de variacin no demasiado abrupta, la desigualdad [273]
es aproximadamente una igualdad, lo que refleja que los trenes de
onda cortos bajo los que subyacen slo unas pocas longitudes de onda
tienen una distribucin de nmeros de onda muy ancha, mientras que
los trenes sinusoidales y extensos son prcticamente
monocromticos.
FIG. 5. Representacin de un tren de onda armnico de extensin
finita y de su espectro de Fourier en nmero de onda. A medida que
el tiempo avanza, el pulso se mueve y sus diferentes frecuencias
subyacentes se
desplazan con distintas velocidades de fase; en consecuencia, el
pulso tiende a perder su coherencia inicial, distorsionndose: cabe
pues preguntarse por la velocidad a la que se propagar. Para un
pulso cuyo espectro en nmero de onda no sea demasiado ancho, o que
se propague en un medio no altamente
dispersivo, podemos hacer un desarrollo de Taylor centrado en 0k
para, truncando en el orden primero,
expresar de manera aproximada la frecuencia ( )k :
( ) ( )00 kkvk g + , [274]
donde hemos designado ( )00 k , y gv es la denominada velocidad
de grupo:
( )0dd
kk
vg . [275]
Insertando [274] en [271]:
( )( )
( ) ( )
k kApi
txutvxk
t kvg
g
d e2
e,
ii 00
, [276]
que, comparado con [271], queda
( ) ( ) ( )0 ,e, 00i tvxu txu gt kvg , [277]
lo cual muestra que, obviando un factor de fase global, el pulso
viaja como un todo con velocidad gv .
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As, asociando una densidad de energa al mdulo al cuadrado de la
magnitud de la onda, es claro que en esta aproximacin la velocidad
a la que se transporta la energa es, precisamente, la velocidad de
grupo. Vamos a demostrar que es esta velocidad no la velocidad de
fase la que en ningn caso puede superar la velocidad de la luz en
el vaco c.
En primer lugar, derivando con respecto a en [266], queda, para
cada frecuencia contenida en
el rango de transparencia I0, la expresin
( )
+=
kk
d
d2
d
d2 20 , [278]
Analicemos el signo de la derivada dd . Recordando que para 0I
la parte imaginaria de la
permitividad debe anularse, la relacin de KramersKronig [263]
puede ponerse sencillamente
( ) ( ) +
+
=
0d
Im 2220 I
pi
\
~
R: [279]
como quiera que el integrando ya no diverge en ningn punto del
rango de integracin considerado
( 0I \+R ), no es necesario considerar el valor principal de la
integral. Ahora, derivando [279] con
respecto a ,
( )
( ) +
=
0d
Im 4
d
d2 22I
pi
\
~
R, [280]
estando garantizada la convergencia de la ltima integral. Ahora
bien, como ya sabemos, en la naturaleza no se encuentran materiales
con 0 Im
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Hemos obtenido as un resultado importante, que la velocidad de
grupo nunca puede rebasar la velocidad de fase. Si supiramos que la
velocidad de fase nunca puede ser mayor que c, automticamente
habramos alcanzado nuestro objetivo en ltima instancia i. e.,
habramos probado la
desigualdad cv g , pero ya hemos razonado ms arriba que la
velocidad de fase muy bien puede ser mayor que c, con lo que
tendremos que buscar otra va para nuestra demostracin.
As, llevando [279] y [280] a [278],
( ) ( )
( ) =
+
++
+=00
d Im 4
d Im 4
2d
d2
2 22
3
2200 II
pi
pi
kk
\ \
~~
RR
( ) ( )
+
+
+=0
d 1
Im 4
22 22
2
2200 I
pi
\
~ R
. [286]
El ltimo corchete en [286] vale ( )2 222 , con lo cual, usando
una vez ms que 0 Im ~ en todo caso, vemos que el integrando es no
negativo a lo largo de todo el rango de integracin,
de manera que inmediatamente nos ha quedado
kk d
d00 , [287]
de donde resulta efectivamente la desigualdad buscada:
cv g . [288] [288] se obtiene de [287] de manera exactamente
anloga a como se obtuvo [285] de [281],
slo que en [281] apareca ( ) en lugar de 0 y, en consecuencia,
en [285] apareca ( )0v f en lugar de c.
Remarcamos que todos los resultados obtenidos aqu estn
restringidos a la regin de
transparencia 18, y que para poder introducir la nocin de
velocidad de grupo es necesario que sea una funcin de variacin
relativamente suave con k; de otro modo, el argumento de
aproximacin dado en [274] perder su validez.
18.Fuera de sta, i. e., para frecuencias tales que se produce
dispersin anmala, las ondas del grupo se atenan tan rpidamente que
se pierde el sentido mismo de grupo, con lo que la velocidad de
grupo queda despojada de su significado y su utilidad; no obstante,
si aun as queremos calcularla, nos encontraremos con que puede
llegar a hacerse mayor que c. En este sentido, notemos que,
igualando las partes reales de ambos miembros de [223] y derivando
con respecto a ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+==
k
kk
k kk ~~
~~~~~~~ Red
dRe2 Im
d
d 2Im Re
d
d 2ReRe Im Re 20
20
22,
y as vemos que la velocidad de grupo es mayor que la velocidad
de fase i. e.,
( ) k
k ~~~
Re2 Red
d 2Re 0< para ( ) 0 Imd
d 2ImRe
d
d20
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Tema 2 RADIACIN ELECTROMAGNTICA
2. 1. Algunos resultados matemticos tiles
Necesitamos introducir unas pocas nociones matemticas muy
concretas como paso previo a la motivacin principal de este Tema 2:
la bsqueda de la solucin de las ecuaciones de Maxwell.
TEORA DEL POTENCIAL
1. Consideremos la regin acotada del espacio 3RD y la funcin
puntual ( ) RDr :r . Introducimos la funcin
( ) ( )
Dr
rx
rx
3d . [289]
La convergencia de la integral anterior est garantizada para
cada 3Rx si ( )r r est acotada; adems, ( )x es continua y sus
derivadas primeras lo son tambin [ ( ) ( )31 RCx ], pudiendo
obtenerse stas por derivacin bajo el signo de la integral:
( ) ( ) = D ii rrxxrxx 31
d
. [290]
Existen dos posibilidades: para Dx , el integrando es analtico;
para Dx , presenta una
singularidad en xr = . En el primer caso, se comprueba a partir
de [290] que la funcin ( )x es armnica; en el segundo, si aadimos
la hiptesis de que ( )r r sea derivable y de derivada continua [ (
) ( )Dr 1Cr ], entonces ( )x tiene sus derivadas segundas continuas
[ ( ) ( )Dx 2 C ] y satisface la ecuacin de Poisson. En
sntesis:
( )
=. si 0
si 4
3
2
Dx
Dxxpix
\R
[291]
2. Sea la regin acotada del espacio 3RD y la funcin puntual ( )
RDr :r , acotada y tal que
( )
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con +Rk para k=0, recuperamos la definicin de ( )x dada en
[289]. Tenemos garantizado que ( ) ( )31 RCxk , pudiendo obtenerse
las derivadas primeras por derivacin bajo el signo de la
integral:
( ) ( )
=
D
rxk
ii
k rrxx
rxx
3
i
d e
, [294]
donde la ltima integral podr ser impropia, pero nunca
diverge.
Si adems imponemos la hiptesis ( ) ( )Dr 1Cr , entonces
necesariamente ( ) ( )Dxk \32 RC , y se satisface la ecuacin de
Helmholtz:
( ) ( ) ( ) ( )
=+
. si 0
si 4
3
22
DDx
Dxxpixkx kk
\R [295]
3. Sea la regin acotada del espacio 3RD y la funcin puntual ( )
RR Dtr :,r , acotada y con sus dos primeras derivadas parciales con
respecto a la variable temporal acotadas. Introducimos la
funcin
( )
Dr
rx
crxtrtx
3d ,
, , [296]
con +Rc ; es frecuente utilizar la notacin abreviada [ ]
crxtr , . Tenemos garantizado que
( ) ( )RR 31, Ctx , pudiendo obtenerse las derivadas primeras
por derivacin bajo el signo de la integral:
( ) [ ]
( ) [ ]
=
=
D
D ii
rt
rxtxt
rrx
xtx
x
31
3
.d ,
d ,
[297]
Si adems imponemos las hiptesis ( ) ( )R Dr 1Cr y
( ) Mtrr t
i
,
2r
, [298]
con M algn real positivo, entonces necesariamente ( ) ( )( )RR
Dtx \32, C y se cumple
( ) ( ) ( )
=
. si 0
si ,4,
1
32
2
22
DDx
Dxtxpitx
tc \R [299]
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COMPORTAMIENTO ASINTTICO Es de particular inters el compo