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Calculo Integral
Antiderivadas
Introduccion
El calculo diferencial se centra en el concepto de derivada.
Recordemos que la motiva-cion original para la derivada fue el
problema de definir las rectas tangentes a las graficasde las
funciones y el calculo de las pendientes de dichas rectas (figura:
??). Las derivadas
Pendiente m =?. mPQ =f(x) f(a)
x a m = lmxaf(x) f(a)
x a
Fig. 1.1: El problema de la recta tangente motiva el calculo
diferencial
se usan para calcular la velocidad y la aceleracion, estimar la
razon de propagacion de unaenfermedad, fijar niveles de produccion
de manera que pueda maximizarse la eficiencia, en-contrar las
mejores dimensiones para una lata cilndrica, averiguar la
antiguedad de un objetoprehistorico, y para muchas otras
aplicaciones.
El calculo integral se basa en el concepto de la integral. La
definicion de la integral esmotivada por el problema de definir y
calcular el area de la region que se encuentra entre lagrafica de
una funcion de valores positivos f y el eje x en un intervalo
cerrado [a, b].
El area de la region S de la siguiente figura esta dada por la
integral de f de a a b, denotada
por el smbolo baf(x)dx. Pero la integral, as como la derivada,
es importante debido a
su aplicacion a muchos problemas que implican movimiento,
velocidad, crecimiento de po-blacion, volumen, longitud de arco,
area de superficie y centro de gravedad, entre otros. Elteorema
principal de este seccion es el Teorema Fundamental del Calculo, el
cual proporcio-na una conexion vital entre las operaciones de
derivacion e integracion proporcionando unmetodo eficaz para el
calculo de integrales.
El problema del area mo-tiva el calculo integral
Area(S) =
b
a
f(x)dx
Veremos que en vez de encontrar la derivada de la funcion f(x)
necesitamos hallar unanueva funcion F (x) tal que
F (x) = f(x)
Es decir, necesitamos estudiar un proceso opuesto a la
derivacion, la Antiderivacion.
1
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1.0.1. Antiderivadas o primitivas
Hemos analizado como encontrar la derivada de una funcion. Sin
embargo, muchos pro-blemas exigen recuperar una funcion a partir de
su derivada conocida (es decir, a partir desu razon de cambio
conocida). Por ejemplo,
Un fsico que conoce la velocidad de una partcula podra desear
conocer su posicionen un instante dado.
Un ingeniero que puede medir la cantidad variable a la cual se
fuga el agua de untanque quiere conocer la cantidad que se ha
fugado durante cierto periodo.
Un biologo que conoce la rapidez a la que crece una poblacion de
bacterias puedeinteresarse en deducir el tamano de la poblacion en
algun momento futuro.
En cada caso, el problema es el mismo, debemos hallar una
funcion F cuya derivada es en lafuncion conocida f . Si tal funcion
F existe, se llama una antiderivada de f .
Definition 1. Una funcion F recibe el nombre de antiderivada o
primitiva de lafuncion f en un intervalo I si F es continua en I y
F (x) = f(x) para todo x I,salvo a lo sumo en un numero finito de
puntos.
NOTA: Usamos letras mayusculas como F para representar una
antiderivada de unafuncion f , G para representar una antiderivada
de una funcion g, y as sucesivamente.
Ejemplo 1. [F no necesariamente es diferenciable] Definamos
f(x) =
1 si x [a, b],0 si x / [a, b],En este caso no hay ninguna
funcion cuya derivada coincida con f(x) en todo punto. Sinembargo,
la funcion tiene una primitiva. Definiendo
F (x) =
0 si x < a ,
x a si a x b,b a si x > b,
se tiene que F es continua en R, y F (x) = f(x) salvo cuando x =
a y x = b. Luego F esprimitiva de f en todo R.
Ejemplo 2. Dada la funcion f(x) = 3x2, entonces F (x) = x3 es
una primitiva de f(x) =3x2, como tambien lo son las funciones
G(x) = x3 + 17, H(x) = x3 + K(x) = x3 +2.
En realidad, J(x) = x3 + C es una primitiva de f(x) = 3x2 para
cualquier eleccion de laconstante C.NOTA: Una funcion puede tener
muchas primitivas, pero una unica derivada
Teorema 2. Si F es una antiderivadas de f en el intervalo I,
entonces G es una antideri-vada de f en I si y solo si G es de la
forma G(x) = F (x) + C para todo x I, donde C esuna constante.
2
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DEM: ()
NOTA: Hay que senalar que existen buenas razones para limitar
nuestra atencion a inter-valos en la discusion sobre primitivas. De
lo contrario, podra ocurrir que una funcion tengaprimitivas que no
difieran en una constante.
Ejemplo 3. [Diferentes constantes]
F (x) =
1
x+ 5 si x > 0,
1
x si x < 0,
G(x) =1
x,
son primitivas de f(x) = 1x2
pero, no difieren de una constante sobre el conjunto S =
(, 0) (0,)
NOTA: Del Teorema ?? deducimos que la familia completa de
Antideridavas de un funcionse representa agregando una constante C
a una antiderivada conocida. Por ejemplo, la familiade
antiderivadas de f(x) = 2x esta representada por
G(x) = x2 + C
donde C es una constate. La constante C recibe el nombre de
constante de integracion.
Complete las siguientes formulas para las antiderivadas
Ejemplo 4. Halle las siguientes antiderivadas:
f(x) = x5
g(x) = 1x
3
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h(x) = sin(2x)
i(x) = cos(x2 )
f(x) = (5x4 + 2 cos(5x) 3x) =g(x) = [2 cos(3t) + 5 sen(4t)]
=
m(x) = 20(45x)3 =
1.0.2. Problemas de valor inicial y ecuaciones diferenciales
Encontrar una antiderivada de una funcion f(x) constituye el
mismo problema que en-contrar una funcion y(x) que satisfaga la
ecuacion
dy
dx= f(x) o y = f(x)
A esto se le llama ecuacion diferencial, ya que es una ecuacion
que involucra una funciondesconocida y que esta siendo derivada.
Para resolverla, necesitamos una y(x) que satisfagala ecuacion.
Esta funcion se encuentra tomando la antiderivada de f(x). Fijamos
la constantearbitraria que surge en el proceso de antiderivacion
dando una condicion inicial
y(x0) = y0
Esta condicion significa que la funcion y(x) tiene el valor y0
cuando x = x0. La combinacionde una ecuacion diferencial y una
condicion inicial se llama problema de valor inicial.Tales
problemas juegan papeles importantes en todas las ramas de la
ciencia. He aqu unejemplo de un problema de valor inicial.
Ejemplo 5. Encontrar la curva cuya pendiente en el punto (x, y)
es 3x2 si la curva debepasar por el punto (1,1)
SOL: Aqu, estamos pidiendo resolver el siguiente problema de
valor inicial.
Ec. Diferencial:dy
dx= 3x2
Cond. Inicial: y(1) = 1
La funcion y es una antiderivada de f(x) = 3x2 de manera que y =
x3 + C. Encontramos Ca partir de la condicion inicial y(1) = 1.
Demostrando que y = x3 2.
Ejercicio 1. Encuentre f sabiendo que f = ex +10
1 + x2y f(0) = 2
Ejemplo 6. Un globo que esta subiendo a razon de 12 pies/seg
esta a una altura de 80 piessobre el suelo cuando se lanza un
paquete desde el. Cuanto tiempo tarda el paquete en llegaral
suelo?
SOL: Sea v(t) la velocidad del paquete en el tiempo t, y sea
s(t) su altura sobre elsuelo. La aceleracion de la gravedad cerca
de la superficie de la Tierra es 32 pies/seg Luego,matematicamente
tenemos
E.Dif :ds
dt= 32 Cond.Inicial v(0) = 12
4
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No es difcil ver que la velocidad es v = 32t+ 12. Ahora, como la
velocidad es la derivadade la altura, entonces tenemos un segundo
problema de valores iniciales.
E.D :dv
dt= 32t 12 Cond.Inicial s(0) = 80
De aqu concluimos que la altura que tiene el paquete sobre el
suelo en el tiempo t es s(t) =16t2 + 12t+ 80.
Ahora halle el tiempo tarda el paquete en tocar el suelo.
Ejercicio 2. Suponga que se dispara una flecha en sentido
vertical mediante una poderosaballesta, desde el piso, y que vuelve
a tocar el suelo 48 segundos despues. Si podemos despre-ciar la
resistencia del aire, determinar la velocidad inicial de la flecha
y la altura maximaque alcanza.
Ejercicio 3. Las narcas de derrape de unos neumaticos indican
que se han aplicado losfrenos durante una distancia de 160 pies
antes de detenerse el automovil. Supongamos queel automovil en
cuestion tiene una desaceleracion constante de 20 pies/seg2 bajo
las condi-ciones del derrape. A que velocidad viajaba el auto
cuando se comenzo a frenar?
Geometra de las Antiderivadas
Si se conoce la grafica de una funcion f , sera razonable que
podamos dibujar la graficade una antiderivada F . Por ejemplo,
suponga que sabe que F (0) = 1. Entonces, hay unpunto de donde
partir, el punto (0, 1), y la direccion en la cual tenemos que
desplazarnos laproporciona, la derivada.
Ejemplo 7. La grafica de una funcion f se ilustra en la figura
5. Trace un croquis de unaantiderivada F , dado que F (0) = 2.
SOL:
Partimos del punto (0, 2) pues F (0) = 2.
f(x) < 0 en 0 < x < 1 luego F decrece en 0 < x <
1.
f(x) > 0 en 1 < x < 3 luego F crece en 1 < x <
3.
f(x) < 0 en x > 3 luego F decrece en x > 3.
f(1) = f(3) = 0 luego F tiene tangentes horizontales cuando x =
1 y x = 3
En x = 1 f cambia de a +, luego F (1) hay un minimoEn x = 3 f
cambia de + a , luego F (3) hay un maximoEn x = 2 F (x) = f (x)
cambia de + a , luego F (2) hay inflexion.En x = 4 F (x) = f (x)
cambia de a +, luego F (4) hay inflexion. Fig. 5
Ejercicio 4.
1. Se proporciona la grafica 1 de una funcion f . Que grafica es
una antiderivada de f ypor que?
5
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2. Se presenta la grafica 2 de una funcion en la figura. Trace
un croquis de una antideri-vada F , dado que F (0) = 1.
3. La grafica de la funcion velocidad de un automovil se ilustra
en la grafica 3. Elabore lagrafica de la funcion posicion.
Gra. 1 Graf. 2 Graf. 3
Calculo de areas elementales
Tal vez el primer contacto que se tiene con el concepto de area
son las formulas A = bh yA = bh2 las cuales describen las areas de
un rectangulo y un triangulo resp. Mientras que elarea de un
polgono se encuentra al dividirlo en triangulos y sumar las areas
de esos triangulos.
Los antiguos griegos iniciaron el estudio de areas de figuras
con lneas curvas en los siglosIV y V a.C. Dada una region plana R
cuya area queran determinar, trabajaban con unpolgono P inscrito en
R (dentro de R) y con un polgono Q crcunscrito (o fuera de R).
Si los polgonos Pn y Qn tenan un numero suficientemente grande
de lados, de longitudpequena, entonces parecera que sus areas,
area(P ) y area(Q), se aproximan al area de laregion R. Ademas, es
posible controlar el error: vemos que
area(P ) < area(R) < area(Q)
ya que R contiene al polgono P pero esta contenido en el polgono
Q.
Nuestro objetivo principal es describir una tecnica sistematica
para aproximar el area deuna region curvilnea adecuada utilizando
areas poligonales faciles de calcular.
6
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1.0.3. Areas bajo graficas
Empecemos por intentar resolver el problema del area: hallar
elarea de la region S que esta debajo de la curva y y = f(x),
desdea hasta b. Esto significa que S esta limitada por la grafica
de unafuncion continua f donde f(x) 0, las rectas verticales x = a
yx = b, y el eje x.Para aproximar el area de S dividimos la region
S en n franjas deanchos iguales. El ancho del intervalo [a, b] es b
a, de modo queel ancho de cada una de las n franjas
x =b an
Estas franjas dividen el intervalo [a, b] en n subintervalos
[x0, x1], [x1, , x2], [x2, x3], . . . , [xn1, xn]
donde a = x0 y b = xn.
A partir de aqu podemos obtener una R-estimacion de la i-esima
franja,Si, con un rectangulo con ancho x y altura f(xi), valor que
toma f enel punto extremo derecho del subintervalo; o tambien
podemos obtener unaL-estimacion de la i-esima franja, Si, con un
rectangulo con ancho x yaltura f(xi1), valor que toma f en el punto
extremo izquierdo del subintervalo.
NOTA: Los puntos extremos xi de la derecha de los subintervalos
son:
a+x, a+ 2x, a+ 3x, . . . , b.
Mientras quelos puntos extremos xi1 de la izquierda de los
subintervalos son:
a, a+x, a+ 2x, a+ 3x, . . . , a+ (n 1)x.
En decir los extremos estan dados por la siguiente formula
xk = a+ kx
Despues, el area del i-esimo rectangulo con altura f(xi) o
f(xi1) es
f(xi)x f(xi1)x.
Al sumar las areas de los rectangulos con altura f(xi) para i =
1, 2, 3, . . . , n, obtenemosla R-estimacion
Rn := f(x1)x+ f(x2)x+ + f(xn)x =ni=1
f(xi)x
del area real de S. De manera analoga, la suma de las areas de
los rectangulos con alturaf(xi1) es la L-estimacion
Ln := f(x0)x+ f(x2)x+ + f(xn1)x =ni=1
f(xi1)x
La siguiente figura muestra esta R-estimacion para n = 2, 4, 8 y
12.
7
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Observe que esta aproximacion parece mejorarse a medida que se
incrementa la cantidadde franjas; es decir, cuando n . Por
consiguiente, se define el area A de la region S dela manera
siguiente:
Definition 3. El area A de la region S que se encuentra debajo
de la grafica de la funcioncontinua f es el lmite de la suma de las
areas de los rectangulos de estimacion:
A = lmn
Rn = lmn
ni=1
f(xi)x A = lmn
Ln = lmn
ni=1
f(xi1)x
NOTA: De hecho, en lugar de usarf(xi1) o f(xi) como altura
delrectangulo, podramos tomar f(xi )donde xi [xi1, xi]. A estos
nume-ros x1, x
2, . . . , x
n los llamamos puntos
muestras.
A = lmn
[f(x1)x+ f(x2)x+ + f(xn)x] = lm
n[
ni=1
f(xi )x
Conclusion parcial: Si queremos hallar el area de un region S
tendremos que usar estadefinicion de lmite. Es decir, debemos
conocer la altura f(xi ) y el ancho x de cada unolos rectangulos
que vamos a usar para estimar el area S.
1.0.4. Sumas finitas y la notacion sigma
La notacion sigma nos permite escribir una suma con muchos
terminosen la forma compacta
nk=1
ak = a1 + a2 + a3 + + an1 + an
La letra griega, significa suma. ndice de la sumatoria k nos
dice en donde empieza la suma (mediante el numero que esta
debajodel smbolo) y en donde termina (usando el numero que esta
arriba delsmbolo ). Se puede usar cualquier letra para denotar el
ndice, pero lasletras mas usuales son i, j y k.
Ejemplo 8.
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92 + 102 + 112
=11k=1
k2 =11r=1
r2
8
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f(1) + f(2) + f(3) + + f(100) =100i=1
f(i) =
100s=1
f(s)
Ejercicio 5.
1. Demostrar que
ni=1
i =n(n+ 1)
2,
ni=1
i2 =n(n+ 1)(2n+ 1)
6
ni=1
i3 =n2(n+ 1)2
4
2. Calcule
10i=1
(2i2 3i) =
Ejemplo 9. Use rectangulos para estimar el area A de la region R
que se encuentra bajo Iaparabola y = x2 y por arriba del intervalo
[0, 3].
9
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Calcularemos la R-estimacion y la L-estimacion del area A de R
obtenida usan-do 5 rectangulos, cada uno de ancho x = 35 . Despues
repetimos los calculoscon 10 rectangulos, cada uno de ancho x = 310
.SOL: No es difcil ver que los 5 extremos xi del lado derecho
son
35 ,
65 ,
95 ,
125 y 3,
mientras que los 5 extremos xi1 del lado izquierdo son 0, 35 ,65
,
95 , y
125 . Luego,
R5 =5i=1
f(xi)x = (5i=1
f(xi))x
=(f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4) + f(x5)
)x
=[(3
5)2 + (
6
5)2 + (
9
5)2) + (
12
5)2 + (3)2
](35
)= 11, 88
L5 =5i=1
f(xi1)x = (5i=1
f(xi1))x
=(f(x0) + f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4)
)x
=[(0)2 + (
3
5)2 + (
6
5)2) + (
9
5)2 + (
12
5)2](35
)= 6, 48
Usando, el hecho de quen
i=1 i2 = n(n+1)(2n+1)6 y que xi = 0 + ix = 0 + i
310
R10 =
10i=1
f(xi)x =
10i=1
f(i3
10)3
10=
10i=1
(i3
10)2
3
10
= (3
10)3
10i=1
i2 = (27
1000)(10)(11)(21)
6= 10, 395
L10 =
10i=1
f(xi1)x =10i=1
f((i 1) 310
)3
10=
10i=1
((i 1) 310
)23
10
= (3
10)3
10i=1
(i 1)2 =k=i1
(3
10)3
9k=0
k2 = (3
10)3
9k=1
k2
= (27
1000)(9)(10)(19)
6= 7, 695
Ahora calculemos con exactitud el area de la region bajo la
grafica de f(x) = x2 en elintervalo [0, 3]. Si dividimos [0, 3] en
n subintervalos, todos de la misma longitud, entoncestenemos
x =b an
=3
nxi = 0 + ix = i
3
npara i = 0, 1, 2, . . . , n. Por tanto,
ni=1
f(xi)x =
ni=1
x2ix =
ni=1
(3i
n)23
n=
27
n3
ni=1
i2 =27
n3n(n+ 1)(2n+ 1)
6
De la definicion de area tenemos que
A = lmn
ni=1
f(xi)x = lmn
27(3+
1
2n+
1
6n2
)= 9
Ejemplo 10. Encontrar el area de la region limitada por la
grafica f(x) = 4 x2, en el ejex y las rectas x = 1 y x = 2.
10
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SOL: Se empieza notando que la funcion es continua y no negativa
en el intervalo [1, 2].Despues, se divide el intervalo [1, 2] en
n-subintervalos, cada uno de ancho x = 21n =
1n .
Elegimos como puntos de muestra a xi (es decir, vamos hacer una
R-estimacion) luego, lospuntos extremos derechos son xi = a+ ix = 1
+
in
A = lmn
ni=1
f(xi)x = lmn
ni=1
[4 (1 + i
n)2] 1n
= lmn
ni=1
[3 2i
n i
2
n2
] 1n
= lmn
( 1n
ni=1
3 2n2
ni=1
i 1n3
ni=1
i2)
= lmn
[3 (1 1
n) (1
3+
1
2n+
1
6n2)]
=5
3
En la definicion ?? de area, las particiones tenan subintervalos
de igual ancho. Esto se hizosolo por convenencia de calculo. El
siguiente ejemplo demuestra que no es necesario tenersubintervalos
de igual ancho
Ejemplo 11. [Subintervalos de anchos desiguales]
Encontrar el area de la region acotada por la grafica f(x) =x y
el eje x para 0 x 1.
SOL: Note que la funcion es continua y no negativa en el
intervalo [0, 1]. Consideremos
una particion x0, x1, . . . , xn donde xi =i2
n2 , de manera que
xi = xi xi1 = i2
n2 (i 1)
2
n2=
2i 1n
Luego,
A = lmn
ni=1
f(xi)xi = lmn
ni=1
i2
n2
(2i 1n2
)= lm
n1
n3
ni=1
(2i2 i) = lmn
1
n3
[2(n(n+ 1)(2n+ 1)
6
) n(n+ 12
]= lm
n4n3 + 3n2 n
6n3=
2
3
OBS: La razon por la que esta particion en particular da el area
apropiada es que cuandon crece, el ancho del intervalo mas grande
tiene a cero. Esta caracteristica es CLAVE deldesarrollo de las
integrales definidas.
Ejercicio 6.
Determine el area bajo la grafica de f(x) = 100 3x2 de x = 1 a x
= 5.Encontrar el area de la region limitada por la grafica f(x) =
x3, en el eje x y las rectasx = 0 y x = 1
Encontrar el area de la region limitada por la grafica f(y) =
y2, en el eje y y las rectasy = 0 y y = 1
11
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1.0.5. Sumas de Riemann y la Integral
Empezamos con una funcion arbitraria f definida en un intervalo
cerrado [a, b].f puede tener valores tanto negativos como
positivos. Subdividimos el inter-valo [a, b] en subintervalos, no
necesariamente del mismo ancho (o longitud), yformamos sumas como
lo hicimos para las aproximaciones finitas. Para hacerlo,elegimos
puntos entre a y b, que satisfagan
a = x0 < x1 < x2 < < xn1 < xn = b.
El conjunto P = {x0, x1, x2, . . . xn1, xn} se llama particion
de [a, b]. La par-ticion P divide [a, b] en n subintervalos
cerrados
[xo, x1], [x1, x2], . . . , [xk1, xk], . . . , [xn1, xn]
El ancho del primer subintervalo [xo, x1] se denota mediante x1
el anchodel segundo intervalo es x2 y el ancho del k-esimo
subintervalo es xk =xk xk1. Si todos los n subintervalos tienen el
mismo ancho, x = ban ,diremos que la particion P es regular.
En cada subintervalo elegimos algun punto ck. Entonces, en cada
subintervalo levantamosun rectangulo vertical a partir del eje x
hasta tocar la curva en (c, f(ck). Estos rectangulospueden estar
arriba o debajo del eje x, dependiendo de si f(ck) es positivo o
negativo, o sif(ck) = 0
En cada subintervalo formamos el producto f(ck)xk. Este producto
es positivo, negativoo cero dependiendo del signo de f(ck). Cuando
f(ck) > 0, el producto f(ck)xk es el areadel rectangulo con
altura f(ck) y ancho xk. Cuando f(ck) < 0, el producto f(ck)xk
es unnumero negativo, el negativo del area del rectangulo de ancho
xk que cae desde el eje x alnumero negativo f(ck). Finalmente
sumamos todos estos productos para obtener
SP =
nk=1
f(ck)xk
12
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Definition 4. Sea f una funcion definida en un intervalo cerrado
[a, b], y sea P una par-ticion de [a, b] dada por
a = x0 < x1 < x2 < xn1 < xn = b
donde xk es el ancho de k-esimo subintervalo [xk1, xk]. Si ck
[xk1, xk] entonces
SP =
nk=1
f(ck)xk xk1 ck xk
suma de Riemann de f para la particion P .
NOTA: Cuando una particion tiene subintervalos cuyo ancho vara,
podemos asegurar quetodos son angostos controlando el ancho del
subintervalo mas ancho (mas largo). Definimosla norma de una
particion P , denotada por P como el mayor de los anchos de todos
lossubintervalos. Si P es un numero pequeno, todos los
subintervalos de la particion P tienenancho pequeno.
Si los anchos xk de estos rectangulos son todos muy pequenos (es
decir, si la norma Pes pequena), entonces parece que la suma de
Riemann SP aproximara el area de a a b bajoy = f(x) sobre el eje x,
menos el area bajo el eje x.
NOTA: Si particion es regular esto es, todos los intervalos
tienen la misma anchura lanorma se denota por
P = x = b an
particion ordinaria
En una particion general, la norma se relaciona con el numero de
subintervalos en [a, b] de lasiguiente forma
b aP n particion general
De tal modo, que si P 0 entonces n . La afirmacion reciproco es
FALSA. Porejemplo, considere la particion del intervalo [0, 1] dado
por
0