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Apunte de Introduccion a la Logica y la ComputacionLogica
Proposicional
Pedro Sanchez Terraf (CIEM-FAMAF)con algunas modificaciones por
Miguel Pagano (FaMAF)
28 de septiembre de 2012
Este apunte esta basado principalmente en el primer captulo del
libro Logic and Structure
de Dirk van Dalen (tercera edicion, Springer)1, y se nutrio con
las sugerencias y correcciones
indicadas por H. Flaco Gramaglia, M. Pagano, D. Alonso, J.
Venzon, P. Dal Lago y Luis
M. Ferrer Fioritti, entre otros.
1. La Logica Proposicional: lo basico
1.1. Introduccion: Semantica versus Sintaxis
Recordemos el clasico ejemplo de la Isla de Caballeros y Pcaros.
All las personas sedividan en dos categoras separadas: los que
siempre decan la verdad los Caballerosy los que siempre mentan los
Pcaros. Un interesante ejercicio al respecto es el siguiente:
Nos encontramos con Alberto, un habitante de la Isla. Nos dice:
Si soy ca-ballero, me comere el sombrero. Que es Alberto?
Si hacemos la siguiente asignacion de variables:
x Soy caballero = Alberto es caballero.c Me comere el sombrero =
Alberto se comera el sombrero.
podremos determinar el tipo de Alberto mediante un simple
calculo:
x x c { Definicion de }
x x c c { Regla Dorada }
x cAplicando Debilitamiento se obtiene x y luego probamos que
Alberto es caballero. Que a-prendemos de este ejemplo? Que hay dos
niveles diferenciados: el de la sintaxis, lo simboli-co, donde
estan las variables x, c y las demostraciones; y por otro lado, el
de las es-tructuras, modelos matematicos estudiados, el significado
que asignamos a cada smboloutilizado. Podemos hacer una
tablita:
1Agradezco a Pablo Villalba por los apuntes tomados durante el
segundo semestre de 2003.
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Mundo Simbolico Isla de Caballeros y Pcarosx Soy caballero =
Alberto es caballero = Alberto
x c Si soy caballero me comere el sombrero dice = es = es del
mismo tipo que
x x c Alberto dijo: Si soy caballero me comere el sombrero=
Alberto es caballero si y solo siSi soy caballero me comere el
sombrero es verdad
false falso = pcarotrue verdadero = caballero
donde la correspondencia entre ambos niveles queda establecida
mediante el siguienteAxioma:
Todo habitante de la Isla es equivalente a lo que dice.
Esta correspondencia entre nuestros smbolos y estructuras es la
semantica de nuestrosistema formal.
Dividiremos el analisis de la sintaxis proposicional en dos
partes, primero presentandosu lenguaje y en segundo termino dando
un procedimiento para derivar proposicionesa partir de otras. Entre
esas dos partes formalizaremos la semantica. Para finalizar,
in-vestigaremos las relaciones que surgen entre las nociones
definidas por va sintactica ypor va semantica.
1.2. Lenguaje de la Logica Proposicional
La logica proposicional se escribira con el siguiente
alfabeto:
1. Smbolos proposicionales (en cantidad numerable): p0, p1, . .
. , pn, . . . ;
2. Conectivos. Basicos: , , . Derivados: , , , >, |, . . .
;3. Smbolos auxiliares: ( y ).
Los smbolos proposicionales y son los atomos o proposiciones
atomicas, y losdesignaremos con el nombre At . El conectivo es
unario, es nulario (correspondea una constante) y el resto son
binarios. Para designar un operador binario arbitrario,utilizaremos
el smbolo .
Definicion 1. El conjunto de las proposiciones , PROP , es el
menor conjunto X quecumple con las siguientes propiedades:
At Para todo At , X.
() Para toda en X, () esta en X.
() Para todas , en X, () esta en X.
Usaremos letras griegas , , , . . . 2 para nombrar
proposiciones. As, la expresion() puede ser ( ), o ( ), o bien ( ),
etcetera. Sera bueno notarque los smbolos que utilizamos que no
estan entre los enumerados mas arriba, no son
2Las letras griegas , y se llaman, respectivamente, fi, psi y
ji.
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proposiciones ni pueden formar parte de ellas. Digamos, el
smbolo se utilizo mas arribapara designar una proposicion, para ser
el nombre, no la proposicion misma. Claramente,la letra griega no
es ningun pi, ni un conectivo ni un parentesis. Es el nombre que
ledamos a una proposicion, y cuando decimos ( ) nos estamos
refiriendo a cualquierade las formulas que tengan dicha estructura,
por ejemplo (p0 p1), (p3 (p1 p4)),etcetera.
Teorema 2 (induccion en subformulas). Sea A un predicado sobre
PROP. Luego A()es verdadero para toda PROP si y solo si: At Si es
atomica, A() vale.
() Si A() entonces A(()).
() Si A() y A() entonces A(()).
Demostracion. Sea X = { PROP : A()}. X satisface las tres
propiedades de la De-finicion 1, as que PROP X (pues PROP es el
menor conjunto con tales propiedades).Como X PROP , tenemos X =
PROP y entonces A() vale para toda PROP .
Veamos un ejemplo de prueba por induccion:
Definicion 3. Una sucesion de proposiciones 1, . . . , n es una
serie de formacion de PROP si n = y para todo i n, i es:
atomica, o bien
igual a (j) con j < i, oigual a (j k) con j, k < i.
Teorema 4. Toda PROP tiene una serie de formacion.Demostracion.
Analizamos cada caso:
At es una serie de formacion de (tenemos n = 1, 1 := ).
() Por hipotesis inductiva, tiene una serie de formacion; sea 1,
. . . , n = una tal serie. Pero 1, . . . , n, n+1 := () es una
serie de formacion de (): lasprimeras n proposiciones cumplen con
las propiedades, y n+1 es igual a (n);ademas n+1 = () por
construccion.
() Por hipotesis inductiva, y tienen sendas series de formacion;
llamemoslas1, . . . , n(= ) y 1, . . . , m(= ). Luego 1, . . . , n,
1, . . . , m, () es seriede formacion de (): contrastar con las
definiciones.
Con esto se concluye la prueba.
Dado que las proposiciones tienen una construccion recursiva,
uno puede definir ob-jetos en terminos de proposiciones de manera
recursiva (tambien llamada inductiva).Veamos un ejemplo:
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Definicion 5. El grado de una proposicion, gr(), es la funcion
definida de la siguientemanera.
At Si = pn, gr() := n; gr() := 1.
() gr(()) := gr().
() gr(()) := max{gr(), gr()}.Es decir, el grado de una
proposicion es el maximo subndice de los smbolos proposi-
cionales que ocurren en ella. Como aplicamos tal definicion?
Calculemos gr(((p0p3)p2)):
gr(((p0 p3) p2)
)= max
{gr((p0 p3)
), gr(p2)
}Por el caso
Ahora nos hara falta hacer lo mismo para cada termino, es decir,
recursivamente:
= max{gr((p0 p3)
), 2}
Por el caso At
= max{
max{gr(p0), gr(p3)
}, 2}
Por el caso = max
{max{0, 3}, 2} Por el caso At
= max{3, 2} Por definicion de max= 3 Por definicion de max
El siguiente teorema nos asegura que las definiciones recursivas
sobre PROP funcionanbien.
Teorema 6 (definicion por recursion en subformulas). Sea B un
conjunto y supongamosdadas funciones hAt : At B, h : B B y h : B B
B. Entonces hayexactamente una funcion f : PROP B tal que
f() = hAt() para en Atf(()) = h
(f()
)f(()) = h
(f(), f()
) (1)Demostracion. Demostraremos solamente la unicidad del mapeo
f . Esto (como se re-petira en muchsimas ocasiones mas adelante) se
hara por induccion en subformulas.Supongamos que g tambien
satisface con las propiedades (1). Luego,
At Sabemos que f() = hAt() = g(), por ser atomica.
() Suponiendo que f() = g(), obtenemos f(()) = h(f()) = h(g())=
g(()).
() Supongamos f() = g() y f() = g(). Luego
f(()) = h (f(), f()) = h (g(), g()) = g(()).
Con esto probamos cada paso requerido por el principio de
induccion en subformulas(Teorema 2), as que podemos concluir que f
y g coinciden en todo PROP .
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Ejemplo 1. Para la funcion gr : PROP Z considerada mas arriba,
tenemos:
hAt() =
{n si = pn
1 si = h(n) = nh (m,n) = max{m,n}
Ejercicio 1. Comprobar que las funciones del ejemplo 1 son las
que corresponden.
Nota 1. La definicion del conjunto PROP es recursiva, pero no
por recursion en subformu-las, sino mediante un teorema aun mas
general que no enunciaremos aqu; baste observarque si en tal
definicion hubiesemos usado el Teorema 6, habramos incurrido en una
petitioprincipi.3
1.3. Semantica
Hasta ahora, nuestras proposiciones son solo cadenas de smbolos.
A continuacionles daremos una nocion de significado: cuando son
ciertas y cuando falsas. Para ello,consideraremos que un universo
posible donde se efectuan esas preguntas viene dadopor una funcion,
que a cada proposicion le asigna 0 cuando es falsa y 1 cuando
esverdadera.
Definicion 7. Una funcion v : PROP {0, 1} es una valuacion si:1.
v() = 0.2. v(()) = 1 v().3. v(( )) = mn{v(), v()}.4. v(( )) =
max{v(), v()}.5. v(( )) = 0 si y solo si v() = 1 y v() = 0.6. v((
)) = 1 si y solo si v() = v().
Ejercicio 2. Aunque la Definicion 7 no es una definicion por
recursion como se estableceel Teorema 6 (por que?), se pueden
identificar las funciones H y H (para cada ).Encontrarlas. Que pasa
con HAt?
Si nuestros smbolos proposicionales codifican (para dar un
ejemplo) ciertas afirma-ciones sobre el mundo fsico en un momento
dado, digamos:
p0 Llueve.p1 Hace fro.p2 Son las dos de la tarde. . . . . .p100
Cayo un meteorito. . . . . . ,
cada valuacion correspondera a un posible momento en la
historia.
3El problema del huevo y la gallina, para decirlo en
criollo.
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Ejercicio 3. Determinar para este preciso momento cuales seran
los valores de v(pi)para i = 0, 1, 2 e i = 100.
Teorema 8 (de Extension). Si f : At {0, 1} es tal que f() = 0,
entonces existe unaunica valuacion JKf tal que JKf = f() para toda
At.Demostracion. Construiremos la valuacion JKf por recursion en
subformulas. At Definimos JKf := f().
() Si ya esta definida JKf , tomamos J()Kf := 1 JKf .()
Analizamos caso por caso. Dados JKf y JKf , definimos
J( )Kf := mn{JKf , JKf}.J( )Kf := 0 si JKf = 1 y JKf = 0, y J(
)Kf := 1 en caso contrario.J( )Kf := max{JKf , JKf}.J( )Kf := 1 si
JKf = JKf , J( )Kf := 0 en caso contrario.Se sigue inmediatamente
de esta definicion que JKf cumple con todas las propiedadespara ser
una valuacion; contrastar con el ejercicio 2. Mas aun, para que una
funcion JKfcumpla con la hipotesis del teorema debe satisfacer el
caso base ( At) de la definicionrecursiva anterior, y para que sea
una valuacion esta obligada a satisfacer las propiedadesimpuestas
por los otros casos de la recursion. Es decir, una valuacion tal
siempre va apoder obtenerse por una construccion recursiva. Y como
la construccion recursiva dauna unica respuesta (por el Teorema 6),
se concluye que la extension de f a PROP esunica.
Como consecuencia inmediata de este teorema, obtenemos:
Corolario 9. Si v y v son valuaciones que coinciden en At (es
decir, v() = v() paratoda At), entonces v = v.Demostracion. Se
puede probar por induccion en subformulas; esta opcion queda
comoejercicio. Sino, podemos considerar el siguiente argumento: las
restricciones de v y v aAt (es decir, v y v pensadas como funciones
de At en {0, 1}) son iguales; llamemosle wa esa restriccion comun.
Las valuaciones v y v son extensiones de w a todo PROP y elTeorema
de Extension obliga (por la unicidad) a que sean iguales.
Siguiendo la analoga de una valuacion con un momento posible de
la historia, nuestroproximo concepto caracteriza a las
proposiciones que son validas siempre (o en todouniverso
posible).
Definicion 10. es una tautologa (escribimos |= ) si y solo si
v() = 1 para todav. Sea PROP ; diremos que es consecuencia de
(escribimos |= ) si y solo sipara toda v tal que
Para toda , v() = 1se da
v() = 1.
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Se ve facilmente que |= es lo mismo que |= . Si PROP y v es tal
que paratoda , v() = 1, diremos que v es una valuacion de y
escribiremos v() = 1.Ejemplo 2. 1. |= ( ).
Sea v una valuacion arbitraria. Como los unicos valores posibles
de v son 0 y 1, verque da 1 es lo mismo que ver que no da 0.
v(( )) = 0 sii v() = 0 y v() = 1sii contradiccion
Como suponer v(( )) = 0 es contradictorio, concluimos v(( )) =
1.2. |= ((()) ) (ejercicio).3. {, ( )} |= . Sea v una valuacion tal
que v() = v(( )) = 1. Luego,
sabemos que no es el caso que v() = 1 y v() = 0 (por la segunda
igualdad); esdecir: o bien v() = 0, o v() = 1, o ambos. Como v() =
1, debe ser v() = 1,que era lo que debamos probar.
4. 6|= p1Sale negando la definicion: p1 no es una tautologa sii
existe alguna v
tal quev(p1) = 0. Tomemos f() := 0 para toda At . Luego, el
Teorema de Extensiondice que existe JKf que coincide con f en At ,
en particular Jp1Kf = 0. Tomo v(x) :=JxKf y listo.
Para probar que una proposicion en particular es una tautologa,
no hace falta verque para cada una de las infinitas4 valuaciones
posibles v se da v() = 1, sino que esto sepuede saber revisando una
cantidad finita de casos. Para ello, necesitaremos un resultadode
ndole practica, que nos asegura una forma finitista de aplicar
valuaciones varias a unaproposicion.
Lema 11 (de Coincidencia). Si v(pi) = v(pi) para toda pi que
ocurran en , entoncesJKv = JKv.
Demostracion.
At Como la unica formula atomica que ocurre en es , tenemos que
v() =v(), con lo que queda probado este caso (notar que v() = v() =
0 siempre).
() Supongamos que v y v coinciden en los atomos de (); pero los
atomos de() son los atomos de , y luego por hipotesis inductiva v()
= v(). Ahora bien,
v(()) = 1 v() = 1 v() = v(()).
() Hay que analizar cada caso, similarmente al Teorema 8. Queda
como ejercicio.
Otra forma de enunciar el Lema de Coincidencia es la siguiente:
si dos valuacionescoinciden en los smbolos proposicionales que
forman , entonces coinciden en . Esprecisamente este lema el que da
utilidad a las tablas de verdad . Veamoslo con un ejemplo.
4De hecho, hay tantas como numeros reales (!). Probar esto es un
ejercicio interesante.
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Ejemplo 3. Queremos ver que |= p0 p2 p2. Deberamos (por lo menos
en principio)revisar todas las posibles valuaciones. Cada una de
ellas se puede ver como una asignacionde un 0 o un 1 a cada smbolo
proposicional:
p0 p1 p2 p3 p4 . . .v 1 0 1 1 0 . . .
Luego, tomemos todas las valuaciones y nos fijemos a que evalua
nuestra proposicion:
p0 p1 p2 p3 . . . p0 p2 p0 p2 p2v1 1 0 1 1 . . . 1 1v2 1 1 0 1 .
. . 0 1v3 1 0 1 0 . . . 1 1v4 0 0 1 1 . . . 0 1v5 0 1 0 0 . . . 0
1...
.... . .
Hasta ahora, solo nos dio 1, pero una prueba a ciegas no nos
asegura nada. De todosmodos, si entendimos la definicion de
valuacion, nos daremos cuenta que en cada casosolo necesitamos
conocer el valor de p0 y p2 en la valuacion; por ejemplo, como v1 y
v3coinciden en p0 y p2, tambien coinciden en (p0 p2). En fin, nos
podemos quedar con laparte de la tabla que contiene a p0 y a
p2:
p0 p2 (p0 p2) ((p0 p2) p2)v1 1 1 1 1v2 1 0 0 1v3 1 1 1 1v4 0 1 0
1v5 0 0 0 1...
...
y por ultimo, eliminamos la parte repetida:
p0 p2 (p0 p2) ((p0 p2) p2)v1 1 1 1 1v2 1 0 0 1v4 0 1 0 1v5 0 0 0
1
con lo cual nos queda una tabla de verdad como Dios5 manda.
Definicion 12. La sustitucion del smbolo proposicional p por la
proposicion en ,[/p] se define de la siguiente manera:
At Si = p entonces [/p] = . Caso contrario, [/p] =
() ()[/p] = ([/p]).
() ()[/p] = ([/p][/p]).5Reemplace por la deidad que mas le
agrade.
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Los proximos resultados mostraran que la sustitucion funciona
bien con la relacion deconsecuencia.
Lema 13. Para cada valuacion JK, J1 2K = 1 implica J[1/p] [2/p]
K = 1.Demostracion. Fijemos una JK; probaremos, por induccion en ,
la afirmacion equiva-lente:
J1K = J2K implica J[1/p]K = J[2/p]K,suponiendo, en cada paso de
la prueba inductiva, valido el antecedente para probar
elconsecuente.
At Aplicamos directamente la definicion: Si = p, entonces
J[1/p]K = J1K yJ[2/p]K = J2K. Como los segundos miembros son
iguales por hipotesis, son igualestambien los primeros miembros. Si
6= p, entonces J[1/p]K = JK = J[2/p]K,con lo que queda probado este
caso.
() Supongamos J1K = J2K. Por hipotesis inductiva obtenemos
J[1/p]K =J[2/p]K. Ahora bien,J()[1/p]K = J([1/p])K por caso de
sustitucion
= 1 J[1/p]K por definicion de valuacion= 1 J[2/p]K por hipotesis
inductiva= J([2/p])K por definicion de valuacion= J()[2/p]K por
caso de sustitucion.
() Es muy similar al caso anterior:
J()[1/p]K = J([1/p][1/p])K por caso de sustitucion= H (J[1/p]K,
J[1/p]K) por definicion de valuacion.
Aqu H son las del ejercicio 2.
= H (J[2/p]K, J[2/p]K) por hipotesis inductiva= J([2/p][2/p])K
por definicion de valuacion= J()[2/p]K por caso de sustitucion.
Queda entonces probado J()[1/p]K = J()[2/p]K.Teorema 14 (de
Sustitucion). Si |= 1 2 entonces |= [1/p] [2/p].Demostracion.
Supongamos que |= 1 2. Luego, dada una JK arbitraria, tenemosJ1 2K
= 1. Por el lema anterior, obtenemos J[1/p] [2/p]K = 1. Como JK
eraarbitraria, sabemos que para toda v se da J[1/p] [2/p]K = 1,
pero esto no es otracosa que |= [1/p] [2/p].
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1.4. Completitud Funcional
En vista de los resultados anteriores, se deduce que la
semantica de un conectivo (i.e.,como se comporta con respecto a una
valuacion) viene dada por su tabla de verdad.Ahora, una tabla de
verdad no es otra cosa que una funcion de n variables (para el
casode los conectivos binarios, n = 2; unarios, n = 1 y etcetera)
que toma valores 0 o 1 ydevuelve un valor 0 o 1. Retomando el
ejemplo 3, la tabla de verdad de (p0 p2) es
p0 p2 p0 p2v1 1 1 1v2 1 0 0v4 0 1 0v5 0 0 0
Es decir, es exactamente la funcion H que va de {0, 1}2 a {0,
1}. En general, para cadafuncion de {0, 1}2 a {0, 1} podemos
definir un nuevo conectivo correspondiente. Si porejemplo tomamos
la funcion H| definida por esta tabla:
x y H|(x, y)1 1 01 0 10 1 10 0 1
obtenemos un nuevo conectivo binario, la rayita (en ingles,
stroke) de Scheffer, | . Siv es una valuacion, obtenemos v(( |)) =
H|(v(), v()), o en otros terminos,
v(( |)) := 1mn{v(), v()}. (2)Ejercicio 4. Comprobar esto
ultimo.
Se pueden definir conectivos ternarios, cuaternarios,. . . En
general, (la semantica de)un conectivo n-ario # vendra dado por una
funcion H# : {0, 1}n {0, 1} y tendremos
v(#(1, . . . , n)) := H#(v(1), . . . , v(n)).
Un ejemplo de conectivo ternario sera el siguiente:
p0 p1 p2 #(p0, p1, p2)1 1 0 01 0 0 10 1 0 00 0 0 01 1 1 01 0 1
00 1 1 00 0 1 0
Volvamos por un momento a la ecuacion (2). Mediante un simple
calculo, se tiene que
v(( |)) = 1mn{v(), v()} definicion de |= 1 v(( )) definicion de
valuacion= v((( ))) definicion de valuacion
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Luego, a nivel semantico, decir | es exactamente lo mismo que
decir (( ))(una es cierta si y solo si la otra lo es). Diremos
entonces que | es expresable en terminosde y .Ejercicio 5.
Comprobar que v(#(p0, p1, p2)) = v((p0 ((p1 p2)))) para toda v.
Esdecir, # es expresable en terminos de , y .
Estos ejemplos son testigos de un resultado muy general:
Teorema 15. Todo conectivo se puede expresar en terminos de , y
.Demostracion. Un conectivo # viene dado por una funcion booleana
(la H#). Sabemospor la teora de reticulados que toda funcion
booleana se puede expresar como un expre-sion booleana de sus
argumentos. Pero una expresion booleana se construye a partir de+,
y de (superposicion). Revisando las definiciones de H, H y H de la
definicionde valuacion (ver ejercicio 2), se puede ver que
x+ y = H(x, y)
xy = H(x, y)
x = H(x)
donde x, y {0, 1}. Luego la expresion booleana asociada a H# se
traduce directamentea una expresion de # en terminos de , y
.Definicion 16. Un conjunto C de conectivos es funcionalmente
completo si y solo si todoconectivo es expresable en terminos de
elementos de C.
Luego, el Teorema 15 dice que {,,} es funcionalmente
completo.
1.5. Ejercicios
1. De series de formacion de las siguientes proposiciones:
a)(((p2) (p3 (p1 p2))) (p3)
),
b)(
(p7 )((p4 (p2)) p1
)),
c)((((p1 p2) p1) p2) p1
).
2. Demuestre que si , y son proposiciones, tambien lo es (( )
()).3. Demuestre que toda PROP tiene tantos ( como ). Ademas, vea
que la
cantidad de parentesis (abre y cierra, todos juntos) es igual a
doble de lacantidad de conectivos distintos de que ocurren.
4. Demuestre que (p0) / PROP .5. Defina recursivamente una
funcion () que devuelva una serie de formacion de
para cada PROP .6. Idem al anterior para complejidad de , donde
la complejidad de una proposicion
viene dada por la cantidad de ocurrencias de conectivos en la
proposicion.
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7. Idem al anterior para longitud de , considerando a como una
sucesion desmbolos (incluyendo parentesis).
8. Se define la nocion de subformula de la siguiente manera
(recursiva):
At es subformula de si = .() es subformula de () si es
subformula de o = ().
() es subformula de () si es igual a () o si es subformula de o
de .
a) Demostrar que si es subformula de , entonces es un termino de
la sucesion() del ejercicio 5. En general, toda subformula
aparecera en cada serie deformacion de .
b) (*) Encontrar el conjunto A y las funciones H del Teorema 6
para esta defi-nicion6 (Ayuda mezquina: A 6= PROP).
9. Pruebe el Corolario 9 por induccion en subformulas.
10. Determine [((p0) p3)/p0] para = ((p1 p0) (p0 p3)) y = ((p3
p0) (p2 ((p0)))).
11. Suponga 1, . . . , n = es serie de formacion de .
a) Probar que 1[/p0], . . . , n[/p0] es serie de formacion de
[/p0].b) Vale en general que 1[/p0], . . . , n[/p0] es serie de
formacion de [/p0]
para todas , ?
12. Decida si las siguientes funciones de PROP a {0, 1} son
valuaciones:a) v() := 1 para toda PROP .b) v() := 0 para toda PROP
.c) Dada v valuacion, defino v : PROP {0, 1} como v() :=
v([/p0]).
Ademas de decidir, describa a v con sus palabras. Pregunte a su
companero sientiende su definicion ^ .
13. Escribamos |= cuando {} |= . Pruebe que la relacion as
definida (serconsecuencia de) es transitiva y reflexiva en PROP
.
14. Pruebe que |= si y solo si |= .15. Pruebe que p0 6|= (p0 p1)
y que {p0, (p0 (p1 p2)} 6|= p2.16. Sea PROP . Demostrar que si |= p
para todo p At , entonces |= .17. Diremos que es (semanticamente)
equivalente a si |= . Encontrar pro-
posiciones equivalentes a las siguientes que solo contengan los
conectivos y :a) (p0 p1)b) ((p0 p2) p3)
18. Demostrar que {,} y {|} son funcionalmente completos.6Los
ejercicios con una (*) son un poco mas duros. Por ah conviene
dejarlos para el final.
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2. Deduccion Natural
Si uno piensa a la logica como una codificacion del
razonamiento, entonces deberaanalizarse de cerca el proceso de
realizar inferencias, es decir, obtener conclusiones apartir de
premisas de manera correcta. Estudiaremos entonces un sistema de
deduccion(formalizado por G. Gentzen en 1934) que modela el modo de
razonamiento (en su facetaproposicional) que se utiliza, por
ejemplo, en matematica. Para hacer mas simple lanotacion,
utilizaremos una tabla de precedencia para evitar poner
parentesis:
En particular, eliminaremos los parentesis exteriores de cada
formula. As, en vez de((p7 ) (p4 (p2)) p1
)escribiremos p7 p4 p2 p1. En esta seccion nos restringiremos a
los conec-tivos , y a nivel semantico, dicha restriccion es
aparente, ya que {,} esfuncionalmente completo. Utilizaremos
asimismo el principio de induccion en subformu-las restringido a
estos conectivos; i.e., solo sera o .7 Ademas, definiremos como y
> como (es decir, consideramos al resto de los conectivoscomo
abreviaciones de expresiones que involucran solo a elementos de
{,,}).
2.1. Reglas de Inferencia
En pocas palabras, un sistema deductivo es mecanismo formal para
pasar de algunasproposiciones iniciales (premisas) a otra
(conclusion) mediante un conjunto de reglassintacticas. Nuestro
objetivo sera describir reglas que se adecuen a nuestra nocion
intuitivade razonamiento correcto. En particular, tendremos reglas
de introduccion que a partirde las premisas (por ejemplo, y )
concluyen una formula con un conectivo mas (porejemplo, ); y
tambien reglas de eliminacion en las que la conclusion se borro
algunaconectiva que apareca en las premisas (por ejemplo pasar de a
). Las dos reglasque ejemplificamos se llaman, respectivamente,
introduccion de y eliminacion de yse pueden representar mediante
los dos primeros diagramas de los que siguen:
I
E
E
E
[] I
[]RAA
Antes de dar la definicion formal de derivacion, conviene hacer
algun ejemplo para conocerel funcionamiento de la deduccion natural
de manera intuitiva:
7Se ve facilmente que con esta induccion reducida se pueden
probar afirmaciones sobre proposicionesque son construidas
utilizando solo , y atomicas.
13
-
Ejemplo 4. Tratemos de hallar una codificacion simbolica de una
demostracion de . Para ello, nos fijamos que hay una sola regla que
permite deducir una im-plicacion de manera explcita, y es la regla
( I) (introduccion de). Reemplazando,
[ ]1 I1
Esto significa que Si tomando como hipotesis puedo deducir ,
entonces tengouna prueba de . Los corchetes subindizados con 1
dicen que en el paso( I) de la derivacion cancelamos la hipotesis
.
Ahora tenemos que reemplazar los puntos suspensivos por una
deduccion que lleve de a . Haciendo la misma observacion de hace un
rato, la unica regla que tienecomo conclusion una conjuncion es la
(I) (introduccion de ). Seguimos completando:
[ ]1 I I1
Necesitamos llegar desde nuestra hipotesis a cada uno de los
terminos de la con-juncion. Pero para ello, las reglas (E)
(eliminacion de ) nos vienen al pelo. Noshacen falta dos copias de
a tal fin (una para deducir y otra para ). No hayproblema, porque
como sucede en una demostracion matematica, cada vez que se haceuna
suposicion, se la puede utilizar tantas veces como uno quiera:
[ ]1 E
[ ]1 E I
I1
Este arbol (notar su estructura a la derecha) es una derivacion
de .Definiremos paralelamente las nociones de derivacion y
conclusion e hipotesis de una
derivacion. Con D
indicaremos una derivacion D cuya conclusion es . Del mismo
modo, con
D
indicaremos una derivacion entre cuyas hipotesis no canceladas
se encuentran eventual-mente y . Si no hace falta poner nombres
(por ejemplo, D, mas arriba), simplementeescribiremos
.
14
-
Definicion 17. El conjunto D de las derivaciones, sera el menor
conjunto de arboles talque:
(PROP) Toda PROP pertenece a D. La conclusion de la derivacion
es la pro-posicion , y su conjunto de hipotesis no canceladas es
{}.
(I) Si D
y D
son derivaciones (i.e., estan enD), entonces D :=
D
D I
pertenece a D. Su conclusion es y las hipotesis no canceladas
son las de D yD en conjunto.
(E) Si D
esta en D entonces D1 :=
D E
y D2 :=
D E
son
derivaciones, con conclusion y respectivamente, y las hipotesis
no canceladasson las de D.
( I) Dada D
en D, tenemos que D :=
[] D I
es una derivacion cuyas
hipotesis no canceladas son las de D quitando .
( E) Si D
y D
estan en D, entonces D :=
D
D
E
es una deri-
vacion con hipotesis no canceladas las de D y D en conjunto.
() Si tenemos D
, entonces para toda PROP , D := D
esta en D y
sus hipotesis no canceladas son las de D.
(RAA) Dada una derivacion
D, D :=
[] DRAA
esta en D y sus hipotesis no
canceladas son las de D menos En las reglas ( I) y (RAA) no es
necesario que las hipotesis y (respectivamen-te) aparezcan en la
derivacion D. En tal caso, las hipotesis no canceladas de la
nuevaderivacion son las mismas que las de D.
Para cada derivacion D D llamaremos Concl(D) a su conclusion y
denotaremoscon Hip(D) al conjunto de hipotesis no canceladas de
D.
Ejemplo 5. Veamos que la derivacion que habamos esbozado de esta
enD.
15
-
1. es una derivacion por la regla (PROP). Tenemos Concl( ) =
yHip( ) = { }.
2. Como es una derivacion, puedo aplicar la regla (E) y obtener
las derivacionesD1 :=
E
y D2 := E
, donde hemos tomado D = , que cumplecon la condicion necesaria
para aplicar esta regla. La unica hipotesis no canceladade D1 y D2
es .
3. Usando las derivaciones D1 y D2 podemos aplicar el caso (I)
(nuestras D,D sonD1, D2, respectivamente). Obtenemos una nueva
derivacion
D3 :=
D1
D2 I
=
E
E I
.
La conclusion de D3 es como se indica, y las hipotesis son las
hipotesis deD1 y D2 en conjunto. Como solo esta , queda ella como
unica hipotesis nocancelada.
4. Este paso es menos trivial, vamos a aplicar ( I). El caso nos
indica que podemos
pasar de
D3
a
D4 :=
[ ]1 D3 I1
=
[ ]1 E
[ ]1 E I
I1
,
donde hemos cancelado la hipotesis . Esta nueva derivacion D4
tiene porhipotesis a las de D3 menos , pero como esta era la unica
hipotesis de D3,D4 tiene todas sus hipotesis canceladas; en
smbolos, Hip(D4) = , i.e., todas lashipotesis fueron
canceladas.
Ejemplo 6. Hallemos una derivacion cuyas hipotesis esten todas
canceladas y su conclu-sion sea ( ) ( ).
Para demostrar este tipo de proposicion, basta ver que si
suponemos cierto el antece-dente, podemos demostrar el consecuente.
Entonces haremos una lista numerada de lashipotesis que utilizamos,
que luego seran canceladas mediante la introduccion de . Deesta
manera, este ejercicio y muchos otros similares se resuelven desde
abajo para arriba,como vemos a continuacion. Partimos de lo que
queremos probar:
( ) ( )
tomamos el antecedente como hipotesis y lo anotamos para uso
futuro:
16
-
1.
( ) I1( ) ( )
Podemos hacer lo mismo ahora con ( ): sacar el antecedente y
usarlo comohipotesis:
1. 2.
I2( ) I1
( ) ( )Recordemos que es una abreviacion de , luego podemos
hacer una vez mas elmismo procedimiento:
1. 2. 3.
I3 I2( ) I1
( ) ( )Ahora la tarea se reduce a llegar a usando nuestras tres
hipotesis. Ahora comenzamosa trabajar de arriba para abajo: podemos
deducir de la primera y la tercera hipotesis:
1. 2. 3.
[]3 [ ]1 E I3 I2
( ) I1( ) ( )
Notemos que en las inferencias subindizadas con 1 y 3 se
cancelan las respectivas hipotesis,as que por eso las ponemos entre
corchetes (respectivamente subindizados).
De esta y la segunda hipotesis obtenemos y queda todo
conectado:
1. 2. 3.
[]3 [ ]1 E []2 E I3 I2
( ) I1( ) ( )
Ejemplo 7. Hallemos una derivacion de ( ). Como hicimos
anteriormente,podemos tratar de derivar tomando como hipotesis a .
Y a su vez, para derivar
17
-
suponer y derivar . Escribimos la lista de nuestras hipotesis y
a lo que queremosllegar:
1.
2.
I2
I1 ( )
.
Esperemos un momento: lo que queremos derivar ya es parte de lo
que estamos supo-niendo! Es decir, podemos dejar la derivacion tal
como esta:
1.
2.
[]1 I2 I1
( ).
Surge la pregunta: que hipotesis cancelamos en el primer paso?
La respuesta es nin-guna, y la moraleja es: en una introduccion de
, no hace falta que la hipotesis acancelar aparezca en la
derivacion.
Ejercicio 6. Pensar por que funciona as esto, dando una
demostracion de:
Si x2 + y2 0 para todo x e y, entonces 8 es multiplo de
2.Ejemplo 8. Haremos una derivacion que requiere el uso esencial de
(RAA), que es la reglamenos intuitiva8. Veamos que hay una
derivacion de ( ) ( ) con todassus hipotesis canceladas. Como
antes, podemos tomar como hipotesis el antecedente ytratar de
derivar el consecuente:
[ ]1 I1
( ) ( )y otra vez lo mismo:
[]2 [ ]1 I2
I1( ) ( )
Ahora estamos trabados, porque no podemos extraer mas hipotesis
evidentes. Pero po-demos pedir prestada una (que pensamos utilizar
con ) y cancelarla mas
8En la logica proposicional intuicionista, se permite el uso de
todas las reglas menos la reduccional absurdo. El Intuicionismo
esta relacionado con la corriente constructivista en matematica
(L.E.J.Brouwer, A. Heyting) y tiene importantes consecuencias en
ciencias de la computacion. Un ejemploparadigmatico de esto es el
Isomorfismo de Curry-Howard, que muestra que hay una equivalencia
entrepruebas intuicionistas y algoritmos.
18
-
tarde:
[]2
[ ]1 E I2
I1( ) ( )
Ahora ya podemos usar la que tenamos descolgada.
[]2
[ ]1 E E I2
I1( ) ( )
Los puntos suspensivos los podemos sacar: notemos que tenemos
una sin cancelar y(RAA) nos permite cancelarla si tenemos una
derivacion con conclusion , obteniendoas (Oh, caramba! Que
coincidencia!).
[ ]1 []3 E []2 ERAA3
I2 I1
( ) ( )Resulta que en general, (RAA) funciona pidiendo las
hipotesis que hagan falta, y luegotodo cierra casi por arte de
magia.
Como se vio mas arriba, tambien se puede derivar ( ) ( ), pero
estaultima es constructiva (no utiliza (RAA)). En conjunto (y
aplicando la regla (I)),hemos derivado ( ) ( ).
Como D tiene una definicion recursiva, podemos establecer
analogos a los Teoremas 2y 6.
Teorema 18 (induccion en derivaciones). Sea A un predicado
definido en D. Luego A(D)es verdadero para toda D D si y solo
si:
(PROP) Si PROP, A() vale.
(I) Si se dan A(
)y A
(
), entonces se da A
I
.19
-
(E) Si se da A(
), entonces se dan A
E
, A
E
.
( I) A(
)implica A
[] I
.
( E) Si se dan A(
)y A
(
), entonces se da A
E
.
() Si tenemos A( )
, entonces para toda PROP, se da A
.
(RAA) Si se da A
()
entonces se da A
[]
RAA
.Teorema 19 (recursion en derivaciones). Sea A un conjunto y
sean dadas funciones HPde PROP en A, HE1, HE2, H, HRAA, HI de A en
A y HI , HE de A A en A.Luego existe una unica funcion F : D A tal
que se cumplen recursiones analogas a lasdel Teorema 6 segun la
Definicion 17. Es decir, F satisface,
F () = HP () si PROPF (D) = HI(F (D1), F (D2)) si D se obtiene
de D1 y D2 mediante
una aplicacion de (I)F (D) = HE1(F (D)) si D se obtiene de D
mediante una
aplicacion del primer caso de (E)F (D) = HE2(F (D)) si D se
obtiene de D mediante una
aplicacion del segundo caso de (E). . . . . .
y as sucesivamente.
Ejemplo 9. Definiremos la funcion cant : D N que toma una
derivacion D y devuelveel numero de ocurrencias de proposiciones en
D.
(PROP) Si PROP , cant() := 1.(I)
cant
D D
I
:= cant ( D
)+ cant
( D
)+ 1.
20
-
(E)
cant
E
= cant
E
:= cant (
)+ 1.
( I)
cant
[] I
:= cant(
)+ 1.
( E)
cant
E
:= cant (
)+ cant
(
)+ 1.
()
cant
:= cant ( )
+ 1
(RAA)
cant
[]
RAA
:= cant(
)+1.
Definicion 20. Sean PROP , PROP . Decimos que se deduce de (y
escribi-mos ` ) si y solo si existe una derivacion con conclusion
tal que todas sus hipotesisno canceladas esten en . Diremos que es
un teorema cuando ` , y abreviaremospor ` .
Dicho mas brevemente, ` si y solo si existe D D tal que Concl(D)
= yHip(D) , y ` si existe D D tal que Concl(D) = y tiene todas sus
hipotesiscanceladas.
Ejemplo 10. 1. ` siempre que .En este caso debemos considerar a
como un elemento de D: tiene como conclusion (ella misma) y todas
sus hipotesis (viz., {}) estan en trivialmente.
2. {, } ` .Basta ver la regla ( E) para darse cuenta de
esto.
3. ` .La derivacion del ejemplo 5 tiene todas sus hipotesis
canceladas, as que nos sirve.
4. Por el ejemplo 6 obtenemos ` ( ) ( ), y con el ejemplo 8
conse-guimos ` ( ) ( ).
5. ` implica ` para toda en PROP .
21
-
Supongamos que hay una derivacion D
con Hip(D) y sea PROP arbitra-
ria. Luego, usando () sabemos que D
es una derivacion, y por construccion
tiene las mismas hipotesis (no canceladas) que D (revisar la
Definicion 17). Luego,sus hipotesis no canceladas estan en y
entonces ` . Como era arbitraria,esto vale en general.
Ejemplo 11. Ver que ` . Procedemos como en el ejemplo 4: si
queremos derivaruna implicacion, basta conseguir una derivacion del
consecuente cuyas hipotesis pueden (ono) incluir el antecedente. En
nuestro caso, la unica hipotesis distinta de tal antecedente(viz.,
) que puede aparecer es .
[]1 I1
Pero de y = podemos derivar mediante una eliminacion de :
[]1 E I1
Por ultimo, usando la regla () puedo obtener a partir de :
[]1 E I1
Con esto completamos una derivacion de con (unica) hipotesis no
cancelada .
2.2. Teorema de Completitud
Hasta ahora, tenemos dos familias de conceptos aparentemente
diferentes entre s:
Estructuras SintaxisTautologas (valuar 1) Teoremas
(derivable)
|= `Valuaciones (modelo) Derivaciones (pruebas formales)
Todos estos conceptos son equivalentes en el sentido del
siguiente
Teorema 21 (Completitud y Correccion de la Logica
Proposicional). Para todos PROP y PROP, se tiene
|= si y solo si `
22
-
Estrictamente hablando, se llama completitud a la implicacion
directa (es decir, elsolo si), mientras que a la vuelta (el si) se
la llama correccion, porque asegura queno se pueden deducir cosas
falsas.
Teorema 22 (Correccion). Si ` , entonces |= .Demostracion.
Probaremos por induccion en derivaciones el siguiente
enunciado:
Para toda D D se da lo siguiente: Si es tal que Hip(D) , se
da
|= .
(PROP) Supongamos D = . Si Hip(D) = {} , tenemos , e
inmediatamente |= .
(I) Supongamos que D
, D
satisfacen la hipotesis inductiva, y supongamos
que las hipotesis no canceladas de D :=
D
D
I
estan incluidas en . Como
Hip(D) = Hip(D) Hip(D), contiene tanto las hipotesis de D como
las deD, as que |= y |= por hipotesis inductiva. Sea v una
valuacion tal quev() = 1. 9 Luego obtenemos v() = v() = 1, y por
definicion de valuaciontenemos v( ) = 1. Como v era arbitraria, se
sigue que |= .
(E) Supongamos que D
satisface la hipotesis inductiva y tomemos
D1 :=
D E
D2 :=
D E
.
Veamos el caso de D1; sea que contenga Hip(D1). Como Hip(D1) =
Hip(D),sabemos (por hip. ind.) que |= . Sea v una valuacion tal que
v() = 1.Tenemos entonces que v() = 1, y por definicion de
valuacion, v() = 1. Comov era una valuacion de arbitraria, esto
muestra que |= . El caso de D2 es igual.
( I) Supongamos que D D satisface la hipotesis inductiva.
Vea-
mos que la derivacion D de la derecha tambien la satisface. Sea
conteniendo las hipotesis de D, es decir, contiene las hipotesis de
Dmenos . Tomemos ahora = {}; contiene todas las hipotesisde D. Por
hip. ind., |= . Sea v tal que v() = 1. Si suponemos
[]1 D I1
que v() = 1, v es tambien una valuacion tal que v() = 1, y por
ende v() = 1,as que se da v( ) = 1. Si v() = 0 tambien se da v( ) =
1, y enconsecuencia |= .
9Ver el parrafo siguiente a la Definicion 10.
23
-
( E) Sean D
, D
D satisfaciendo la hip. ind. Sea D :=
D
D
E
y supongamos que contiene Hip(D). Como Hip(D) es el conjunto
formado porlas hipotesis de D y las de D, contiene a estas ultimas;
por hip. ind., |= y |= . Sea v tal que v() = 1. Luego v() = 1 y v(
) = 1. Si v()fuera 0, tendramos que v( ) = 0, una contradiccion. En
conclusion, debe serv() = 1 y luego (pues v era arbitraria) |=
.
(RAA) Sea
Dsatisfaciendo la hip. ind. Sea conteniendo las hipote-
sis de D de la derecha; analogamente al caso ( I), contiene
lashipotesis de D menos . Supongamos (por el absurdo) que 6|=
;luego hay una valuacion v tal que v() = 1 y v() = 0, y en
conse-cuencia v() = 1. En resumen v es una valuacion tal que v() =
1,
[]1 DRAA1
con = {}. contiene todas las hipotesis de D. Por hip. ind., |= .
Peroentonces se debera dar v() = 1, una contradiccion. En
consecuencia, |= .
() Sea D
que satisfaga la hip. ind., y sea PROP . La derivacion D
D
tiene las mismas hipotesis que D. El razonamiento es similar al
caso (RAA), perosin hacerse problemas con hipotesis canceladas.
Queda como ejercicio muy facil parael lector.
Demostraremos ahora una serie de lemas que nos conduciran a la
Completitud. Entoda esta seccion, sera un subconjunto de PROP .
Comenzamos con una definicion:
Definicion 23. Un conjunto PROP es inconsistente si y solo si `
. esconsistente si no es inconsistente.
Esto parece un caso particular de lo que se deca mas arriba;
consistente si nopuedo deducir a partir de el una () proposicion
falsa, pero es totalmente general, comolo muestra el siguiente
Lema 24 (de Inconsistencia). Son equivalentes
1. es inconsistente.
2. Existe PROP tal que ` y ` .3. Para toda PROP se da ` .
Demostracion. Es obvio que 3 2. Tambien 2 1 sale facil:
supongamos que D
y D
D
D
E
tienen sus hipotesis no canceladas en (i.e., Hip(D) y Hip(D) ).
Luego (teniendo en cuenta que = ) la derivacion dela izquierda
tiene conclusion e hipotesis en . La prueba de 1 3esta en el
ejemplo 10 tem 5.
24
-
Lema 25 (Criterio de Consistencia). Si hay una valuacion v tal
que v() = 1 para toda , entonces es consistente.Demostracion.
Supongamos por el absurdo que ` . Por la Correccion de la
logicaproposicional, |= , as que para toda valuacion v tal que v()
= 1, se debe darv() = 1. Pero como para toda v, v() = 0, llegamos a
una contradiccion.Ejemplo 12. Probemos que := {p0 p1, p2 p0, p5p0}
es consistente. Para ello,basta encontrar una valuacion de dicho
conjunto. Utilizaremos el Teorema de Extensiona tal fin.
Sea f : At {0, 1} definida de la siguiente manera: f() = 1 si y
solo si = p2, p5.Como f() = 0, existe una valuacion JKf que
extiende a f sobre PROP . Vemos que estavaluacion es de :
Jp0 p1Kf = 0 si y solo si Jp0Kf = 1 y Jp1Kf = 0 por definicion
de valuacionsi y solo si 0 = 1 y Jp1Kf = 0 por construccion de fsi
y solo si nunca.
Jp5 p0Kf = mn{Jp5Kf , Jp0Kf} por definicion de valuacion= mn{1,
Jp0Kf} por construccion de f= mn{1, 1 Jp0Kf} por definicion de
valuacion= mn{1, 1 0} por construccion de f= 1.
Jp2 p0Kf = 0 si y solo si Jp2Kf = 1 y Jp0Kf = 0 por definicion
de valuacionsi y solo si 1 Jp2Kf = 1 y Jp0Kf = 0 por definicion de
valuacionsi y solo si 1 1 = 1 y Jp0Kf = 0 por construccion de fsi y
solo si 0 = 1 y Jp0Kf = 0si y solo si nunca.
Definicion 26. Un conjunto es consistente maximal si y solo si
es consistente y paratodo , si tambien es consistente, entonces =
.Ejemplo 13. Dada una valuacion v, el conjunto := { PROP : v() = 1}
esun conjunto consistente maximal. Por el Lema 25, es consistente.
Consideremos un consistente y que contenga a , es decir, . Ahora,
supongamos por el absurdo \ . Luego v() = 0 y por ende v() = 1; en
conclusion . Pero como , tenemos que es inconsistente, una
contradiccion. Luego no hay elementos de fuera de , = .
Este ejemplo de conjunto consistente maximal aparenta ser muy
especfico; sin em-bargo, como se vera mas adelante, tiene toda la
generalidad posible.
Lema 27. Todo conjunto consistente esta contenido en uno maximal
.
Demostracion. Las proposiciones forman un conjunto numerable, es
decir, se puede ha-cer una lista 0, 1, . . . , n, . . . (con
subndices todos los numeros naturales) en la cualaparecen todas las
proposiciones.
25
-
Ejercicio 7. (*) Pensar en un modo de llevar esto a cabo (Ayuda:
considerar las pro-posiciones de complejidad menor que n que tengan
grado10 menor que n. Son finitas, ytoda proposicion tiene grado y
complejidad finitos).
Definiremos una sucesion no decreciente de conjuntos i tal que
la union es consistentemaximal.
0 := ,
n+1 :=
{n {n} si resulta consistenten en caso contrario
:=n0
n
Se puede probar por induccion en n que cada n es consistente
(por construccion, 0 esconsistente; y si n es consistente, n+1 es
consistente, pues alguna de las dos opcionesse da). Veamos que
tambien lo es.
Por el absurdo, supongamos que ` . Luego hay una derivacion D
con Concl(D) = y Hip(D) . Como Hip(D) es un conjunto finito, hay un
N suficientemente grandetal que Hip(D) N+1; de hecho, tomando N :=
max{n : n Hip(D)} tenemos
Hip(D) {0, . . . , N} N+1.
Entonces, D es una derivacion de con hipotesis en N+1. Esto es
un absurdo, ya queN+1 es consistente.
es consistente maximal: para verlo, supongamos con consistente.
Si , entonces = m para algunm 0 (pues en nuestra enumeracion
aparecan todaslas proposiciones). Como m y es consistente, m {m} es
consistente.Luego m+1 = m {m}, i.e. m m+1 . Esto muestra que =
.Lema 28. 1. Si {} es inconsistente entonces ` .
2. Si {} es inconsistente entonces ` .
Demostracion. En cada caso hay derivaciones
Dy
Dcon hipotesis no canceladas en
{} y {}, respectivamente.Luego las siguientes son derivaciones
con hipotesis no canceladas en :
[]1 DRAA1
[]1 D I1,y queda probado el resultado.
Lema 29. Si es consistente maximal entonces es cerrado por
derivaciones (i.e., ` implica ).
10Ver Definicion 1.2 y el ejercicio 6 de la seccion 1.5.
26
-
Demostracion. Supongamos ` , y en busca de un absurdo supongamos
que 6 .Luego {} debe ser inconsistente. Entonces ` por el Lema 28,
as que esinconsistente por el Lema 24. Absurdo.
El siguiente lema se puede explicar diciendo que un conjunto
consistente maximalrealiza los conectivos y .Lema 30. Sea
consistente maximal. Luego
1. para toda , si y solo si 6 .2. para todas , , ( ) si y solo
si [ implica ].
Demostracion. 1. () Si esta en , entonces no puede puesto que
sera incon-sistente.
() Si no esta, entonces {} es inconsistente (por ser maximal).
Por loslemas 28 y 29, .
2. () Supongamos ( ) , veamos que se da la implicacion entre
corchetes.Para ello, supongamos . Ahora, con hipotesis ( ) y puedo
derivar por el ejemplo 10(2). Como es cerrado por derivaciones
(Lema 29), tenemos que . Obtuvimos entonces [ implica ].()
Supongamos cierta la implicacion. Hacemos dos casos.
a) Si , tenemos que por la implicacion. En particular, ` ,as que
podemos asegurar ` ( ). El Lema 29 nos asegura entonces( ) .
b) Si 6 , entonces (por lo probado anteriormente). Por el
ejemplo 11obtenemos ` ( ), y como es cerrado por derivaciones, ( )
.
Ejercicio 8. Demostrar que los conjuntos consistentes maximales
realizan la conjuncion.
Lema 31. Si es consistente, entonces existe una valuacion v tal
que v() = 1 paratoda .Demostracion. Por el Lema 27, esta contenido
en algun maximal. Definamos:f(pi) := 1 si pi y f() := 0 para toda
otra At . Por el Teorema 8 (note-mos que 6 ), f se puede extender a
una valuacion JKf . Veremos por induccion queJKf = 1 si y solo si .
At Vale por construccion de f .
( )
J( )Kf = 1 si y solo si JKf = 1 y JKf = 1 por definicion de
valuacionsi y solo si , por hipotesis inductivasi y solo si ( ) por
Ejercicio 8
27
-
( )
J( )Kf = 0 si y solo si JKf = 1 y JKf = 0 por definicion de
valuacionsi y solo si y 6 por hipotesis inductivasi y solo si no se
da: [ implica ]si y solo si ( ) 6 por el Lema 30
Como , tenemos JKf = 1 para toda .Corolario 32. 0 implica que
hay una valuacion v tal que v() = 1 para todo y v() = 0.
Demostracion.
0 implica {} es consistente (por el Lema 28)si y solo si hay
valuacion v tal que v() = 1 para toda {}si y solo si hay valuacion
v tal que v() = 1 para toda y v() = 0.
Queda demostrada la implicacion.
Prueba de Completitud. Supongamos |= . Luego, para toda
valuacion v tal que v() =1 para toda , se da v() = 1. Esto equivale
a decir que no hay valuacion tal quev() = 1 para toda y v() = 0.
Por la contrarrecproca al corolario anterior,obtenemos que no se
puede dar 0 , es decir, obtenemos ` .
2.3. Mas conectivos, mas reglas
Por completitud funcional, es posible definir los restantes
conectivos en terminos delos del conjunto reducido {,,}. Por
ejemplo, := y := ().Pero cuando uno hace razonamientos
proposicionales en la vida real, no se restringe a esteconjunto de
conectivos, sino que ademas usa, , etcetera, cada uno con sus
particularesreglas de inferencia. La forma en que uno deduce un es
partir de y llegar a yviceversa. Esto lo podramos condensar en una
regla de introduccion de :
[]
[] I.
Nos haran falta tambien reglas de eliminacion. Estas tienen la
misma forma que ( E):
E
E.
Las reglas para la disyuncion son las siguientes:
I
I
[]
[] E.
28
-
Las reglas de introduccion de la disyuncion son muy intuitivas:
una vez demostrado unaformula, con mayor razon puedo conluir que
ella u otra vale. La regla (E) es un modelode prueba por casos : si
puedo probar cuando es cierta, y tambien puedo hacerlocuando es
cierta, entonces puedo probar bajo la unica suposicion de que
alguna delas dos es cierta (i.e., que es cierta).
Por ultimo, ponemos dos reglas mas relativas a la negacion, que
el lector reconocera (deigual modo a las de ) como abreviaciones de
derivaciones ya hechas previamente:
E
[] ILa extension de la definicion formal del conjunto de
derivaciones D se puede hacer
muy facilmente:
( I) Dadas D
y D
en D, la siguiente
[] D
[] D
I,
es una derivacion con hipotesis no canceladas las de D sin junto
con las de D
sin .
( E) Si D1
, D2
y D
son derivaciones, entonces
D :=
D1
D E
D :=
D2
D E
pertenecen a D y sus hipotesis no canceladas son las de D y D1
en conjunto parala primera, y las de D y D2 en conjunto para la
segunda. En smbolos, Hip(D
) =Hip(D) Hip(D1) y Hip(D) = Hip(D) Hip(D2).
(I) Dada D
en D, entonces
[] D I
, es una derivacion con hipotesis no cance-
ladas Hip(D) \ {} (es decir, las mismas hipotesis de D salvo
eventualmente ).
(E) Si tenemos derivaciones D
y D
entonces D
D
Epertenece a D,
y sus hipotesis no canceladas son las de D y D en conjunto,
Hip(D) Hip(D).
29
-
(I) Si D
esta en D, entonces D I
es una derivacion y sus hipotesis son las
misma que las de D. Lo mismo con D
y
D
I
.
(E) Dadas D
,
D
y D
en D, la siguiente
D
[] D
[] D
E
,
es una derivacion cuyo conjunto de hipotesis no canceladas es el
formado por lashipotesis no canceladas de D, las de D sin y las de
D sin .
Nota 2. Tener mucho cuidado cuando se aplica la regla I: la
hipotesis se cancela enla primera subderivacion (es decir, D), pero
no en la segunda (D). Lo mismo se aplicapara E.
Como un ejemplo de derivacion usando todas las reglas
introducidas, demostraremosla equivalencia clasica entre la
implicacion y la implicacion material, .Ejemplo 14. Ver que ` ( ) (
). Es natural suponer que la ultima re-gla aplicada va a ser la
introduccion de , as que de ese modo comenzamos
nuestraderivacion:
[ ] D1
[ ] D2 I
El lado izquierdo necesita una aplicacion de la reduccion al
absurdo:
D1 :=
[]1 E I [( )]2 E I1 I [( )]2 E
RAA2 D1 tiene como unica hipotesis no cancelada a y Concl(D1) =
, as que nossirve
30
-
El lado derecho es el mas facil:
D2 :=
[]3 []4 E []3 E3
I4
Tambien D2 tiene las propiedades requeridas, as que
[ ]5 D1
[ ]5 D2 I5
es la derivacion que andabamos buscando (donde cancelamos las
hipotesis recuadradas).
2.4. Ejercicios
Ayuda general: Releer las definiciones 1547 veces.
1. Hallar derivaciones con todas sus hipotesis canceladas que
demuestren:11
a) ` >.b) ` ( ) .c) ` [ ( )] [ ( )].d) ` ( ) ( ) .
e) ` .f ) ` .g) ` ( ).h) ` > .
i) ` ( ) [( ( )) ( )].2. Para las derivaciones de este ejercicio
es necesario utilizar la regla (RAA).
a) ` (( ) ) .b) ` .c) ` ( ) .12
d) ` ( ) ( >).e) ` (( ) ).12f ) ` ( ) ( ).
3. Demostrar:a) ` ( ).b) {( ), } ` .c) (*) {()()} ` ().12
d) ` .e) {( ), ( )} ` .
4. Probar que ` implica ` , y que si tenemos ` y {} ` entonces `
.
5. Demostrar, transformando derivaciones cuando sea
necesario:
a) ` implica ` b) Si ` y ` entonces ` .
11Aqu, los corchetes cumplen la funcion de parentesis.12Resuelto
en el Apendice.
31
-
c) {} ` implica \ {} ` ( ) ( ).d) {} ` implica ` ( ).
6. (*) Definir por recursion el conjunto de proposiciones que
ocurren en una derivacionD.
7. Decida cuales de los siguientes conjuntos son
consistentes:
a) {p1 p2 p0, p1 (p1 p2), p0 p2}.b) {p0 p1, p1 p2, p2 p3, p3
p0}.c) {p0 p1, p0 p2 p1 p3, p0 p2 p4 p1 p3 p5, . . . } (pares
implican
impares. . . ).
d) {p2n : n 0} {p3n+1 : n 0}.e) {p2n : n 0} {p4n+1 : n 0}.
8. Probar que { } es consistente si y solo si {, } es
consistente (ayuda:contrarrecproca).
9. Demostrar que + := { PROP : no contiene los conectivos ni }
esconsistente (Ayuda: construir una v y probar por induccion en
subformulas quev() = 1 para toda +).
10. Pruebe todo consistente maximal realiza la disyuncion: para
toda , , si y solo si [ o ].
11. Sea consistente maximal y suponga {p0,(p1 p2), p3 p2} .
Decida si lassiguientes proposiciones estan en . (Ayuda: usar
Completitud, o la caracterizacionde consistente maximal).
a) p0.b) p3.
c) p2 p5.d) p1 p6.
12. Sea consistente y cerrado por derivaciones. Es maximal?
13. Considere la relacion `+ , definida de igual manera que `
salvo que sereemplaza la regla ( I) por la siguiente:
( I+) Dada D
en D tal que Hip(D), tenemos que D :=[] D I
es una derivacion cuyas hipotesis no canceladas son las de D
quitando .
Pruebe que `+ si y solo si ` .14. a) (**) Demostrar que si ` ,
entonces existe una derivacion de con todas
sus hipotesis canceladas que no utiliza la Regla del Absurdo
b) (sin estrella!) Intentar nuevamente el tem anterior aplicando
el siguiente Teo-rema de Forma Normal RAA:
Para toda derivacion D existe una derivacion D con las
mismashipotesis no canceladas y la misma conclusion, tal que D
tiene alo sumo una aplicacion de la regla (RAA), exactamente al
final.
32
-
c) (*) Probar el Teorema de Forma Normal (RAA).13
d) Probar que todo teorema de la forma es intuicionista, es
decir, que se puededemostrar sin usar (RAA).
15. (*) Muestre que son equivalentes:
a) {1, . . . , n} es inconsistente.b) ` (1 . . . n).c) ` 2 . . .
n 1.
Aqu, 1 . . .n := 1 (2 (. . . (n1 n)) . . . ) (Ayuda: probar un
resultadomas general, {1, . . . , n} es inconsistente equivale a `
. . . , por induccionen n).
3. Reticulados y Logica
Un libro para consultar acerca de esta seccion es Introduction
to Lattices and Order, de
B. A. Davey y H. A. Priestley (Cambridge Mathematical Texts), en
el captulo 7.
Uno se preguntara ahora, por que el nfimo de un algebra de Boole
se denota con elmismo smbolo que la conjuncion ()? Si la logica
corresponde a las algebras de Boole,que significan los filtros, los
filtros primos?
Antes de abordar estas cuestiones, repasemos un par de
ejercicios de Deduccion Na-tural, algunos de ellos muy
triviales:
3.1. Mas Ejercicios
Probar las siguientes afirmaciones.
1. a) ` .b) Si ` y ` entonces ` .c) Si ` y ` entonces ` .
2. a) ` .b) ` .c) Si ` y ` entonces ` .
3. a) ` .b) ` .c) Si ` y ` entonces ` .
4. a) ` >, ` .b) ` .c) ` >.
13Resuelto en el Apendice.
33
-
3.2. PROP como poset
Con todos los elementos de la seccion anterior, basta hacer un
pequeno acto de abs-traccion para probar que esta todo conectado.
Definamos una relacion 4 en PROP dela siguiente manera:
4 si y solo si ` .Ahora bien, esta relacion resulta reflexiva
por el ejercicio 1a y transitiva por el ejercicio 1c.No es
antisimetrica, pues tenemos (p0 p0) 4 y 4 (p0 p0) y sin embargo 6=
(p0 p0). Lo que s sabemos es que ` p0 p0, as que si consideraramos
dosproposiciones equivalentes (es decir, que se pueda derivar la
proposicion que afirma unasi y solo si la otra) como identicas,
tendramos la antisimetra.
Definicion 33. Sea la relacion de equivalencia dada por si y
solo si ` .Definamos como la clase de equivalencia correspondiente
a segun la relacion .Ejercicio 9. Demostrar que la relacion es
efectivamente una relacion de equivalencia.
Llamaremos PROP al conjunto de clases de equivalencia de la
relacion , y deno-taremos a la clase de equivalencia de . Por
ejemplo, tenemos = p0 p0 (pues` p0 p0). Para verlo de una forma mas
simple, usamos el smbolo para podertrabajar normalmente con , pero
se la puede reemplazar indistintamente por cualquier tal que `
.
Se puede ahora extender la definicion de 4 a PROP , y se hace de
la manera obvia.
Definicion 34. Diremos que 4 si 4 .
Para ver que esta definicion es buena, necesitamos un resultado
mas:
Ejercicio 10. Supongamos y . Entonces 4 si y solo si 4 .
(Ayuda:reemplazando y4 por sus definiciones respectivas, este
ejercicio pide demostrar: Dadasdos derivaciones D y D con todas sus
hipotesis canceladas y conclusion y ,probar: existe D1 D con
Hip(D1) = y conclusion si y solo si existe D2 Dcon Hip(D2) = con
conclusion .)
Las propiedades que vimos de la relacion 4 siguen valiendo si
ponemos en todoslados; decimos que 4 es preservada por . Por
ejemplo, por el ejercicio 1a, tenemos:
Para toda , 4 .
El ejercicio 1c, por su parte, nos dice que 4 es transitiva:
Para todas , y , 4 y , 4 implican , 4 .
Volviendo a la antisimetra, el ejercicio 1b nos dice que si 4 y
4 obtenemos` . Esto quiere decir que y luego estan en la misma
clase de equivalencia, = :
Si 4 y 4 , entonces = .
En resumen: 4 define una relacion de orden en PROP , una vez que
identificamos cosasequivalentes. Como es este poset? (o mejor, para
que nos mandaron a hacer el resto delos ejercicios?).
34
-
3.3. El Algebra de Lindenbaum
Traduciendo los ejercicios restantes, obtenemos lo siguiente.
Los ejercicios 2a y 2b nosdicen que la conjuncion de dos
proposiciones es una cota inferior de las mismas:
Para todas , , 4 y 4 ,y el ejercicio 2c dice que es mayor o
igual que cualquier cota:
Si 4 y 4 , entonces 4 .Juntando todo, tenemos que efectivamente
es el nfimo entre y en PROP . Conesto hemos demostrado que es lcito
escribir = .
Por otro lado, traduciendo correspondientemente los ejercicios 3
deducimos que nosfabrica el supremo, y se puede ver que distribuye
con el nfimo:
Ejercicio 11. Probar que efectivamente distribuye con en PROPPor
ultimo, viendo los ejercicios 4a, 4b y 4c obtenemos las siguientes
propiedades:
Para toda , 4 > y 4 . = , = >.
Es decir, > y son respectivamente los elementos maximo y
mnimo de PROP , y cumple el rol de complemento. En suma, no solo
PROP es un poset, sino que tambien esun algebra de Boole PROP
,,,,,>, que se llama algebra de Lindenbaum.
Pero las coincidencias no terminan aqu. Definamos := { : }.Lema
35. es inconsistente si y solo si hay elementos de cuyo nfimo (en
PROP) es.Demostracion. () Como es inconsistente, tenemos una
derivacion D con Hip(D) ={1, . . . , n} y Concl(D) = . Pero
entonces {1, . . . , n} ` , y esto es lo mismoque ` 1 . . .n .
Ademas sabemos (por la regla ()) que ` 1 . . .n,as que tenemos en
resumen = 1 . . . n.
() Supongamos que hay 1, . . . , n tales que = 1 . . . n.
Entoncessabemos que ` (1 . . . n) , y en particular ` (1 . . . n)
(usando laregla (E) o ( E) segun consideremos a como una definicion
o un nuevo conectivo,respectivamente). Entonces {1, . . . , n} ` ,
y en consecuencia ` .
Otro resultado es el siguiente:
Lema 36. Si es cerrado por derivaciones entonces es un filtro en
PROP.
Demostracion. Supongamos que es cerrado por derivaciones. Para
ver que es unfiltro, basta ver que
Si , entonces . es creciente. Es decir, si y 4 entonces .
Necesitaremos una cuentita auxiliar.
Afirmacion. Supongamos . Si es cerrado por derivaciones,
entonces .
35
-
Prueba de la Afirmacion. Si , existe tal que = . Es decir, hay
unaderivacion D con conclusion y todas sus hipotesis canceladas.
Luego,
D E E
es una derivacion con unica hipotesis no cancelada (que esta en
) y conclusion ,as que ` y como es cerrado por derivaciones, .
Supongamos ahora que , . Por la Afirmacion sabemos que , ;
entonceshay una derivacion con hipotesis en y conclusion (por la
regla (I)). Entonces ` y luego , con lo que probamos la primera
parte
Para la segunda condicion de filtro, supongamos y 4 . Por la
Afirmacion ypuesto que preserva 4, puedo eliminar las barras y
obtenemos y 4 , dondeesta ultima equivale a ` . Pero entonces {} `
y luego ` pues pertenecaa . Nuevamente, como es cerrado por
derivaciones, y luego .
La vuelta del lema no es cierta as como esta, pero vale si se
reemplaza la segundacondicion por una mas fuerte. Diremos que es
cerrado por si y entonces .Ejercicio 12. Probar que si es un filtro
y es cerrado por entonces es cerradapor derivaciones.
Corolario 37. Si es cerrado por derivaciones y consistente,
entonces es un filtro propio.
Demostracion. Ejercicio (ayuda: un filtro es propio si no
contiene al elemento mnimo).
Como golpe de gracia, obtenemos
Lema 38. es consistente maximal implica es un filtro primo.
Demostracion. Supongamos es consistente maximal. Como es cerrado
por derivacio-nes y consistente, ya sabemos que es un filtro
propio. Para ver que es primo, basta probarque para todo , en PROP
, si y solo si o . Pero esto ultimo esinmediato por el ejercicio 10
de la seccion 2.4.
Teorema 39. Suponga que es cerrado por . Luego es consistente
maximal si y solosi es un filtro primo.
Demostracion. Queda como ejercicio.
3.4. Algunos Comentarios
El algebra de Lindenbaum que definimos esta basada
exclusivamente en nocionessintacticas. Podemos definir otra algebra
usando la relacion v dada por: v si ysolo si |= , que correspondera
a las nociones semanticas. Se puede dar una nuevaprueba de la
completitud de la logica proposicional usando estas dos algebras,
que resultanser isomorfas, y en las que los filtros primos son la
realidad subyacente a conjuntosconsistentes maximales (por el lado
sintactico) y valuaciones (por el lado semantico).Estas ideas se
generalizan a la logica de primer orden, que incorpora los
cuantificadores y .
36
-
3.5. Ejercicios
1. Supongamos y . Entonces .2. Encontrar y tales que pero / .3.
Son los elementos de At atomos del algebra de Boole PROP?
4. a) Sea h : PROP 2 un homomorfismo. Probar que la funcion v :
PROP {0, 1} definida como v() := h() es una valuacion.
b) Probar que toda valuacion se obtiene de esa manera.
5. a) Sean , PROP tales que 4 pero 6= . Demostrar que si p es
unatomo que no ocurre en ni en , entonces 0 (p ) y 0 (p ). (Ayuda:
usar Completitud).
b) Probar que PROP es densa, es decir, si 4 y 6= entonces existe
PROP distinta de las anteriores tal que 4 4 .
6. Existen atomos en PROP?
4. Axiomatizacion14
Estudiaremos un par (de dos o mas) de conceptos relacionados con
la axiomatizacionde teoras (proposicionales, en nuestro caso).
Definicion 40. Una teora sera un subconjunto de PROP .
La tarea del hombre de ciencia en general consiste en analizar y
organizar el conjuntototal de afirmaciones sobre el Mundo (una
pequena fraccion de ellas podra ser la que sehalla antes del
ejemplo 3). Considerando a una valuacion v como un mundo posible,
lateora relacionada con ese mundo es el conjunto consistente
maximal v := { : v() = 1}.Para poder estudiar dicha teora, conviene
simplificarla para hacerla mas manejable.Por ejemplo, sabemos que
si y estan en v, entonces esta; as que para entendera v tener a , y
a es redundante, ya que sabemos que una vez que tenemos alas dos
primeras podemos deducir la tercera. Sera de interes encontrar un
conjunto deproposiciones de las que se pueda deducir lo mismo que
se puede deducir de v, pero quesea mas resumido. Las siguientes
definiciones capturan algunos de dichos conceptos.
Definicion 41. 1. es independiente si y solo si para toda , \ {}
0 .2. es indecidible para si 0 ni 0 .3. Sea una teora. Una teora es
un conjunto de axiomas para (o que es equivalente
a) , si para toda PROP se da [ ` si y solo si ` ].Proposicion
42. Si para toda , es indecidible para \ {}, entonces
esindependiente.
Demostracion. Estamos diciendo en las hipotesis que para toda se
dan \ {} 0 y \ {} 0 . En particular, podemos afirmar para toda , \
{} 0 , que es lomismo que dice la Definicion 41.
14Bonus Track.
37
-
Damos seguidamente un criterio para decidir si una proposicion
es indecidible parauna teora.
Lema 43. Si hay valuaciones v0, v1 de tales que v0() = 0, v1() =
1, entonces esindecidible para .
Demostracion. Probamos la contrarrecproca, es decir, supongamos
que es decidiblepara . Como primer caso, supongamos que ` . Por la
Correccion de la logica pro-posicional, tenemos que |= y por ende
toda valuacion de valua en 1, as queno se puede dar el antecedente.
En segundo caso, si ` , tenemos |= y luegotoda valuacion v de hace
v() = 1, y por definicion de valuacion, v() = 0, cosa quetambien
contradice el antecedente.
Otra propiedad interesante del conjunto v es la siguiente
consecuencia del ejemplo 13y el Lema 30: para toda , v ` o v ` . Es
decir, v decide cualquier proposicion:una vez que supusimos v, la
verdad o falsedad de cada (en terminos de derivabilidad)queda
determinada.
Definicion 44. Una teora es completa si y solo si para toda PROP
, ` o ` .
En la terminologa de la Definicion 41, una teora es completa si
no hay proposicionindecidible para ella. Nuestros primeros ejemplos
de conjuntos completos son los obvios.
Ejemplo 15. 1. {} es completo.Queda como ejercicio facil (ver el
Lema 24);
2. Si es consistente maximal, entonces es completo.
Una aplicacion trivial del Lema 30.
Ejemplo 16. (Uno no tan obvio). El conjunto := {p0, p1, p2, . .
. } es completo (y consis-tente). Sea PROP y supongamos que 0 .
Entonces por Completitud de la logicaproposicional, 6|= y en
consecuencia hay una valuacion v de tal que v() = 0, es de-cir, v()
= 1. Por otro lado, si v1 y v2 son valuaciones de , entonces v1(pi)
= v2(pi) = 1para todo pi, as que coinciden en At y en consecuencia
son iguales, v1 = v2. Como hayuna unica valuacion de , entonces
decir hay una valuacion v de tal que v() = 1es lo mismo que decir
para toda valuacion v de , v() = 1 y esto ultimo equivale a |= .
Usando completitud nuevamente, obtenemos ` .
Las teoras completas y consistentes son muy especiales, ya que
para ellas el Lema 27vale en una forma mucho mas fuerte.
Teorema 45. es consistente y completa si y solo si existe un
unico consistentemaximal que lo contiene.
Demostracion. Probaremos que las respectivas negaciones son
equivalentes.() Sabemos que hay por lo menos un consistente maximal
que lo contiene. Supon-
gamos que hubiera dos distintos 1 y 2. Sabemos que hay una 1 \
2,Ejercicio 13. Por que?
38
-
as que en particular 6 2, y por el Lema 30, 2. Si ` , entonces
{}sera inconsistente, y por ende 2 lo sera (pues {} 2), absurdo. Si
` , {} sera inconsistente, y por ende 1 tambien, otro absurdo.
Luego no puede sercompleto.
() Supongamos que es incompleto y entonces hay una tal que 0 y
0. Por las contrarrecprocas al Lema 28, tenemos que {} y {} deben
serconsistentes, as que por el Lema 27 deben haber conjuntos
consistentes maximales quecontengan a cada uno. Pero no pueden ser
iguales ya que en uno esta y en el otroesta (y ambas no pueden
pertenecer simultaneamente a un conjunto consistente).
Este teorema refleja en alguna medida una de las caractersticas
que deseabamos cum-pla nuestro resumen de las verdades de un mundo
posible: si nuestro conjunto reducidode afirmaciones es completo,
determina totalmente el conjunto total de afirmaciones.
Por ultimo enunciamos sin prueba un teorema sobre conjuntos
independientes deaxiomas.
Teorema 46. Toda teora admite un conjunto independiente de
axiomas.
Ejemplo 17. Para el conjunto {(p0 p1), (p3 p1), (p1 p2)}, un
conjunto de axiomasindependientes es {p0, p1}. Otro posible es {p0
p1}.
Resumiendo esta seccion: para cada mundo posible (lease,
valuacion) su teora escompleta y se puede elegir un conjunto de
axiomas sin redundancia (lease, independiente)para ella.
Ejemplo 18. El conjunto del ejemplo 16 es (ademas de completo y
consistente) inde-pendiente. Pues para cada n, la funcion f : At
{0, 1} definida de la siguiente manera
f() :=
{0 si = pn,1 caso contrario,
se puede extender a una valuacion v de \{pn} tal que v(pn) = 0,
as que \{pn} 6|= pn,y por Correccion, \ {pn} 0 pn.
4.1. Ejercicios
1. Mostrar que p1 p2 es indecidible para {p1 p0 p2, p2 p1}.2.
Hallar conjuntos independientes que sean equivalentes a los
siguientes
a) {p0, p1 p3, p4}.b) {p1, (p1 p2 p3) , (p1 p2)}.c) {p1, (p1 p2
p3) , p3}.d) {(p1 p3), (p1 p2 p3), p2}.e) {p1, (p1 p2), (p1 p2 p3),
. . . }.
3. Hallar dos ejemplos de conjuntos independientes, consistentes
y completos (Ayuda:usar el ejemplo 16). Justificar.
39
-
A. Apendice: Algunos ejercicios (difciles) resueltos
Teorema 47 (Forma Normal (RAA)). Para toda derivacion D existe
una derivacion D
con las mismas hipotesis no canceladas y la misma conclusion,
tal que D tiene a lo sumouna aplicacion de la regla (RAA),
exactamente al final.
Demostracion. En primer lugar, para cualquier D que no incluya
la regla (RAA) podemostomar simplemente D := D. Eliminado este caso
trivial, vamos a probar por induccionen derivaciones que siempre
podemos obtener una D con exactamente una aplicacion dedicha regla,
al final de D. Para aplicar el razonamiento inductivo, dividiremos
en casosde acuerdo a cual es la ultima regla de inferencia que se
utiliza en D.
(PROP) Si D = tomo como D la siguiente derivacion:
[]1 ERAA1
.
(I) Supongamos que la derivacion es de la forma D1
D2 I
; por hipotesis
inductiva sabemos que hay derivaciones en forma normal (RAA) de
y , es decir,derivaciones
[] D3RAA
[] D4RAA
que satisfacen la conclusion del teorema. Es decir, D3 y D4 no
utilizan la regla(RAA). Usaremos estas derivaciones para conseguir
la que buscamos.
Comenzaremos reemplazando cada ocurrencia de como una hipotesis
no cance-lada de D3 por la siguiente derivacion:
[]1 I ( ) E I1
De esta manera obtenemos una derivacion:
[]1 I ( ) E I1 D3
y luego
[]1[]2 I ( ) E I1 D3 I2
40
-
Reemplazamos ahora cada ocurrencia de como una hipotesis no
cancelada deD4 por la segunda derivacion y obtenemos una derivacion
de que tiene unaunica aplicacion de (RAA), exactamente al
final:
[]1[]2 I [( )]3 E I1 D3 I2 D4
RAA3
(E) Hacemos el mismo procedimiento; el esquema general que se
obtiene es elsiguiente:
[ ]1 E []2 E I1( )
RAA2
( I) Es analogo a los anteriores, con una salvedad: partimos de
una derivacion de
la forma
[] D1 I
y por hipotesis inductiva sabemos que hay una derivacion en
forma normal (RAA) de con la hipotesis adicional :
[] DRAA
41
-
Usamos esta D.
[]1 I [( )]3 E I1 []2 D
I2 [( )]3 E
RAA3
Los otros casos quedan como ejercicio (ahora facil).
Ejercicio. Probar ` ( ) .Demostracion.
[]1 []2 I [( )]4 ERAA1
I [( )]3 E
RAA2 I
[( )]3 ERAA3
I4( )
Ejercicio. Probar ` (( ) ).Demostracion. La derivacion buscada
es
[ ] D1( )
[( ) ] D2 I
(( ) )
42
-
donde D1 y D2 vienen dadas por:
D1 :=
[]2[ ]1 E []2 E2 I1
( )
D2 :=
[]3 I [( )]4 E
I3 ( ) E
I [( )]4 E
RAA4
Ejercicio. Probar {( ) ( )} ` ( ).Demostracion.
( ) ( )E
[]1 I ( )
( ) ( )E
[]2 I ( )
[]1[]2I I
( )E2 ( ) E1
( )
43
La Lgica Proposicional: lo bsicoIntroduccin: Semntica versus
SintaxisLenguaje de la Lgica ProposicionalSemnticaCompletitud
FuncionalEjercicios
Deduccin NaturalReglas de InferenciaTeorema de CompletitudMs
conectivos, ms reglasEjercicios
Reticulados y LgicaMs EjerciciosPROP como posetEl lgebra de
LindenbaumAlgunos ComentariosEjercicios
AxiomatizacinEjercicios
Apndice: Algunos ejercicios (difciles) resueltos