apunte analisis numerico - Facultad de Ingeniería · PDF fileSolución Numérica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 47 ... Métodos de Runge Kutta de orden superior....

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❯♥ ♥ú♠❡r♦ ❛♣r♦①✐♠❛❞♦ ❳ ❡s ✉♥ ♥ú♠❡r♦ q✉❡ ❞✐✜❡r❡ ❧✐❣❡r❛♠❡♥t❡ ❞❡ ❝✐❡rt♦ ♥ú✲♠❡r♦ ✏❡①❛❝t♦✑ ① ② s❡ ✉t✐❧✐③❛ ❡♥ ❧♦s ❝á❧❝✉❧♦s ❡♥ s✉st✐t✉❝✐ó♥ ❞❡❧ ♠✐s♠♦✳ ❙✐ s❡ s❛❜❡q✉❡ X < x✱ s❡ ❞✐rá ❡♥t♦♥❝❡s q✉❡ ❳ ❡s ✉♥❛ ❛♣r♦①✐♠❛❝✐ó♥ ♣♦r ❞❡❢❡❝t♦ ♣❛r❛ ①❀ s✐X > x✱ s❡ ❞✐rá q✉❡ ❛ ❡s ✉♥❛ ❛♣r♦①✐♠❛❝✐ó♥ ♣♦r ❡①❝❡s♦ ♣❛r❛ ①✳

P♦r ❡❥❡♠♣❧♦✱ ❡❧ ♥ú♠❡r♦ ✸✳✶✹ ❡s ✉♥❛ ❛♣r♦①✐♠❛❝✐ó♥ ♣♦r ❞❡❢❡❝t♦ ♣❛r❛ ❡❧ ♥ú♠❡r♦π✱ ❡♥ t❛♥t♦ q✉❡ ✸✳✶✺ ❧♦ ❡s ♣♦r ❡①❝❡s♦✿ ❡♥ ❡❢❡❝t♦✱ s❛❜❡♠♦s q✉❡ 3,14 < π < 3,15✳ ▲❛

❆♥á❧✐s✐s ◆✉♠ér✐❝♦ ♣❛r❛ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❋❛❝✉❧t❛❞ ❞❡ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❯✳◆✳▼✳❞✳P✳ ✸


❡①♣r❡s✐ó♥ ✏❳ ❡s ✉♥ ✈❛❧♦r ❛♣r♦①✐♠❛❞♦ ♣❛r❛ ❡❧ ♥ú♠❡r♦ ①✑✱ s❡ ❛❜r❡✈✐❛rá ❛ ♠❡♥✉❞♦✱❡s❝r✐❜✐❡♥❞♦✿

X ≅ x ✭✶✳✶✮

❈✉❛♥❞♦ ♥♦s r❡❢❡r✐♠♦s ❛ ✉♥ ❡rr♦r ∆ ❞❡ ✉♥ ♥ú♠❡r♦ ❛♣r♦①✐♠❛❞♦ ❳✱ ❡♥ ❣❡♥❡r❛❧♥♦s ❡st❛♠♦s r❡✜r✐❡♥❞♦ ❛ ✏❧❛ ❞✐❢❡r❡♥❝✐❛ ❡♥tr❡ ❡❧ ♥ú♠❡r♦ ❡①❛❝t♦ ① ② s✉ ❛♣r♦①✐♠❛❝✐ó♥❳✑ ❡st♦ ❡s ✿

∆(X) = x−X ó ∆(X) = X − x ✭✶✳✷✮

❆❤♦r❛ ❜✐❡♥✱ ❧❛ ♠❛②♦rí❛ ❞❡ ❧❛s ✈❡❝❡s ♥♦ ❝♦♥♦❝❡♠♦s ❝✉❛❧ ❡s ❡❧ ❝❛s♦✱ ♣♦r ❧♦ q✉❡r❡s✉❧t❛ ♠ás ❛❝♦♥s❡❥❛❜❧❡ ❡♠♣❧❡❛r ❡❧ ❡rr♦r ❛❜s♦❧✉t♦ ❞❡❧ ♥ú♠❡r♦ ❛♣r♦①✐♠❛❞♦ ❳ ✿

∆(X) = |x−X| ✭✶✳✸✮

❆❤♦r❛ ❜✐❡♥✱ ♣✉❡❞❡♥ ♣r❡s❡♥t❛rs❡ ❞♦s ❝❛s♦s✱ ❛ s❛❜❡r✿

❊❧ ♥ú♠❡r♦ ✏❡①❛❝t♦✑① s❡ ❝♦♥♦❝❡✱ ❡♥ ❝✉②♦ ❝❛s♦ ❡❧ ❡rr♦r ❛❜s♦❧✉t♦ s❡ ❞❡t❡r♠✐♥❛❡♥ ❢♦r♠❛ ✐♥♠❡❞✐❛t❛ ❛ ♣❛rt✐r ❞❡ ❧❛ r❡❧❛❝✐ó♥ ✶✳✸✳

❊❧ ♥ú♠❡r♦ ① ♥♦ s❡ ❝♦♥♦❝❡ ✭❡st❡ ❡s ❡❧ ❝❛s♦ ♠ás ❝♦rr✐❡♥t❡✮✱ ② ♣♦r ❡♥❞❡ ❡❧ ❡rr♦r❛❜s♦❧✉t♦ ♥♦ ♣✉❡❞❡ ❡♥❝♦♥tr❛rs❡ ❛ ♣❛rt✐r ❞❡ ❧❛ ✶✳✸✳

❉❛❞❛ ❧❛ ❢r❡❝✉❡♥❝✐❛ ❝♦♥ ❧❛ q✉❡ s❡ ♣r❡s❡♥t❛ ❧❛ s❡❣✉♥❞❛ s✐t✉❛❝✐ó♥✱ r❡s✉❧t❛ ❝♦♥✈❡✲♥✐❡♥t❡ ✐♥tr♦❞✉❝✐r ✲ ❡♥ ❧✉❣❛r ❞❡❧ ❡rr♦r ❛❜s♦❧✉t♦ ✏t❡ór✐❝♦✑✱ ❞❡s❝♦♥♦❝✐❞♦ ✲ ❛❧❣♦ q✉❡ s❡❧❧❛♠❛ ❝♦t❛ ❞❡❧ ❡rr♦r ❛❜s♦❧✉t♦ ❞❡ ✉♥ ♥ú♠❡r♦ ❛♣r♦①✐♠❛❞♦ ❳✱ t♦♠❛❞♦ ❡♥ ❧✉❣❛r❞❡❧ ♥ú♠❡r♦ ❡①❛❝t♦ ①✿

∆(X) = |x−X| ≤ ∆X ✭✶✳✹✮

❙❡ ✐♥✜❡r❡ ❞❡ ❧❛ ✶✳✹ q✉❡ ❡❧ ♥ú♠❡r♦ ✏❡①❛❝t♦✑ ① ❝❛❡ ❞❡♥tr♦ ❞❡❧ ✏♠❛r❣❡♥ ❞❡ ❡rr♦r✑✭♦ ✏r❛♥❣♦ ❞❡ ✈❛r✐❛❝✐ó♥✑✮ ❞❛❞♦ ♣♦r✿

X −∆X ≤ x ≤ X +∆X ✭✶✳✺✮

P❛r❛ ✜♥❡s ♣rá❝t✐❝♦s✱ s✉❡❧❡ ❝♦♥✈❡♥✐r t♦♠❛r ∆X ❝♦♠♦ ❡❧ ♠í♥✐♠♦ ✈❛❧♦r q✉❡ ✈❡r✐✲✜q✉❡ ❧❛ ❞❡s✐❣✉❛❧❞❛❞ ✶✳✹✳

✶✳✷✳✸✳ ❊rr♦r ❘❡❧❛t✐✈♦

❊❧ ❡rr♦r ❛❜s♦❧✉t♦ ♥♦ r❡s✉❧t❛ s✉✜❝✐❡♥t❡ ♣❛r❛ ❞❡✜♥✐r ❧❛ ✏♣r❡❝✐s✐ó♥✑ ❞❡ ✉♥❛ ♠❡✲❞✐❞❛ ♦ ❞❡ ✉♥ ❝á❧❝✉❧♦✳ P✉❡st♦ q✉❡ s✐ ❜✐❡♥✱ ✉♥ ❡rr♦r ❛❜s♦❧✉t♦ ❞❡ ✉♥ ♠❡tr♦ ♣✉❡❞❡s❡r ❡①tr❡♠❛❞❛♠❡♥t❡ ❣r❛♥❞❡ s✐ s❡ ❡stá ♠✐❞✐❡♥❞♦ ❧❛ ❛❧t✉r❛ ❞❡ ✉♥ ár❜♦❧✱ ♣✉❡❞❡ s❡r

❆♥á❧✐s✐s ◆✉♠ér✐❝♦ ♣❛r❛ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❋❛❝✉❧t❛❞ ❞❡ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❯✳◆✳▼✳❞✳P✳ ✹


✐♥s✐❣♥✐✜❝❛♥t❡ s✐ s❡ tr❛t❛r❛ ❞❡ ❧❛ ❞✐st❛♥❝✐❛ ❡♥tr❡ ❧❛ ❚✐❡rr❛ ② ❧❛ ▲✉♥❛ ✭3,84x108 ♠✮✳P♦r ❧♦ t❛♥t♦✱ ✐♥❞❡♣❡♥❞✐❡♥t❡♠❡♥t❡ ❞❡❧ ❤❡❝❤♦ ❞❡ q✉❡ ❛♠❜♦s ❡rr♦r❡s ❛❜s♦❧✉t♦s ❝♦✐♥✲❝✐❞❛♥✱ s❡ ♣✉❡❞❡ ❛✜r♠❛r ❝❛t❡❣ór✐❝❛♠❡♥t❡ q✉❡ ❧❛ s❡❣✉♥❞❛ ♠❡❞✐❞❛ ❡s ✏♠ás ♣r❡❝✐s❛q✉❡ ❧❛ ♣r✐♠❡r❛✑✳ ❊♥ ❡st❡ s❡♥t✐❞♦✱ ♣❛r❛ ✐♥❞❡♣❡♥❞✐③❛r ❧❛ ♥♦❝✐ó♥ ❞❡ ✏❡rr♦r✑ ❞❡❧ ✈❛❧♦r♠❡❞✐❞♦ ♦ ❝❛❧❝✉❧❛❞♦✱ ❡s ♥❡❝❡s❛r✐♦ t♦♠❛r ❡❧ ❡rr♦r ❛❜s♦❧✉t♦ ❡♥ r❡❢❡r❡♥❝✐❛ ❛ ❧❛ ✉♥✐❞❛❞❞❡ ♠❡❞✐❞❛✳

P♦r ❡st❡ ♠♦t✐✈♦✱ s❡ ❞❡♥♦♠✐♥❛ ❡rr♦r r❡❧❛t✐✈♦ ❞❡ ✉♥ ♥ú♠❡r♦ ❛♣r♦①✐♠❛❞♦ ❳✱ ❛ ❧❛r❡❧❛❝✐ó♥ ❡♥tr❡ ❡❧ ❡rr♦r ❛❜s♦❧✉t♦ ∆(X) ❞❡❧ ♥ú♠❡r♦ ② ❡❧ ✈❛❧♦r ❛❜s♦❧✉t♦ ❞❡❧ ♥ú♠❡r♦✏❡①❛❝t♦✑ ① ♣❛r❛ t♦❞♦ ✭ x 6= 0 ✮✳ ❊s ❞❡❝✐r✱

δ(X) =∆(X)

|x| ✭✶✳✻✮

❖ ❡①♣r❡s❛❞♦ ❞❡ ♦tr❛ ❢♦r♠❛✱ ∆(X) = δ(X).|x|✳ ❚❛❧ ❝♦♠♦ s✉❝❡❞❡ ❡♥ ❡❧ ❝❛s♦❞❡ ❧♦s ❡rr♦r❡s ❛❜s♦❧✉t♦s✱ s❡ ❝♦♥s✐❞❡r❛ ❝♦♠♦ ❝♦t❛ ❞❡ ❡rr♦r r❡❧❛t✐✈♦ ❞❡ ✉♥ ♥ú♠❡r♦❛♣r♦①✐♠❛❞♦ ❳ ❞❛❞♦✱ ❛ ❝✉❛❧q✉✐❡r ♥ú♠❡r♦ ♥♦ ♠❡♥♦r ✭❡st♦ ❡s✱ ♠❛②♦r ♦ ✐❣✉❛❧✮ q✉❡ ❡❧❡rr♦r r❡❧❛t✐✈♦ ❞❡ ❞✐❝❤♦ ♥ú♠❡r♦✳ ❆sí ♣✉❡s✱ ♣♦r ❞❡✜♥✐❝✐ó♥ s❡ t✐❡♥❡✿

δ(X) ≤ δX ✭✶✳✼✮

▲❛ ✶✳✻ t✐❡♥❡ ❡❧ ✐♥❝♦♥✈❡♥✐❡♥t❡ q✉❡✱ ❡♥ ❣❡♥❡r❛❧✱ ❡❧ ♥ú♠❡r♦ ✏❡①❛❝t♦✑ ① ♥♦ s❡ ❝♦♥♦❝❡✱♣❡r♦ ❝♦♠♦ ❡♥ ❧❛ ♣rá❝t✐❝❛✱ ❡❧ ♥ú♠❡r♦ ❳ r❡s✉❧t❛ ♠✉② ❛♣r♦①✐♠❛❞❛♠❡♥t❡ ✐❣✉❛❧ ❛❧♥ú♠❡r♦ ① ✱ ❡♥ ✈❡③ ❞❡ ❧❛ ✶✳✻ s❡ ✉s❛♥ ❣❡♥❡r❛❧♠❡♥t❡ ❧❛s s✐❣✉✐❡♥t❡s r❡❧❛❝✐♦♥❡s✿

δ(X) =∆(X)

|X| ✭✶✳✽✮

∆X = δ(X).|X| ✭✶✳✾✮

▲❛ ✐❞❡❛ ❞❡ ✏❡rr♦r r❡❧❛t✐✈♦✑ ❢✉♥❝✐♦♥❛ ♠✉② ❜✐❡♥ ♣❛r❛ ❧❛ ♠❛②♦rí❛ ❞❡ ❧♦s ♣r♦❜❧❡♠❛s❢ís✐❝♦s ②❛ q✉❡ ♥♦ ❞❡♣❡♥❞❡ ❞❡ ❧❛ ❡s❝❛❧❛ ❡♠♣❧❡❛❞❛✳ P♦r ❧♦ t❛♥t♦✱ ✉♥ ❝❛♠❜✐♦ ❡♥ ❡❧t❛♠❛ñ♦ ❞❡ ❧❛s ✉♥✐❞❛❞❡s ❞❡ ♠❡❞✐❞❛ ♥♦ ❛❢❡❝t❛rá ❡❧ ✈❛❧♦r ❞❡❧ ❡rr♦r r❡❧❛t✐✈♦ ✭q✉❡ ❡s❛❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✮✱ ❛✉♥q✉❡ sí ❛❢❡❝t❛rá ❛❧ ❡rr♦r ❛❜s♦❧✉t♦✳

✶✳✷✳✹✳ ❊rr♦r P♦r❝❡♥t✉❛❧

❊❧ ❡rr♦r ♣♦r❝❡♥t✉❛❧ ❡stá ❝❧❛r❛♠❡♥t❡ r❡❧❛❝✐♦♥❛❞♦ ❝♦♥ ❡❧ ❡rr♦r r❡❧❛t✐✈♦✳ P♦r ❡❥❡♠✲♣❧♦✱ s✐ |δ(X)| < 0,02 ❡♥t♦♥❝❡s |∆(X)| < 0,02 · |x|✱ ❡st♦ ❡s✱ ❳ s❡ ❛♣r♦①✐♠❛ ❛ ①❞❡♥tr♦ ❞❡❧ ✷✪ ❞❡ s✉ ✈❛❧♦r✳ ❉❡ ♠❛♥❡r❛ ❣❡♥❡r❛❧✱ ❡❧ ❡rr♦r ♣♦r❝❡♥t✉❛❧ ❝♦♠❡t✐❞♦ ♣♦r❛♣r♦①✐♠❛r ① ❝♦♥ ❡❧ ✈❛❧♦r ❳✱ s❡ ❞❡✜♥❡ ❝♦♠♦✿

100 · δ(X)%

❆♥á❧✐s✐s ◆✉♠ér✐❝♦ ♣❛r❛ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❋❛❝✉❧t❛❞ ❞❡ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❯✳◆✳▼✳❞✳P✳ ✺


❊s ❞❡❝✐r✱ s✐ ✉♥ ✈❛❧♦r ❳ s❡ ❝♦♥♦❝❡ ❝♦♥ ♣✪ ❞❡ ❡①❛❝t✐t✉❞✱ ❡♥t♦♥❝❡s s❡ ♣✉❡❞❡ ❞❡❝✐rq✉❡ |δ(X)| ≤ 0,01 · p✳

❊❥❡♠♣❧♦✿x = −43,33333 . . . = −(43 + 1

3) = −130

3s❡ ❛♣r♦①✐♠❛ ❝♦♥ ❳ ❂ ✲✹✸

∆(X) = −1303

− (−43) = −13♠✐❡♥tr❛s

δ(X) =−13

−1303

= 1130

P♦r ❧♦ t❛♥t♦ ❡❧ ❡rr♦r ♣♦r❝❡♥t✉❛❧ ❡s✿ 100 · 1130

= 1013%

✶✳✸✳ ❆r✐t♠ét✐❝❛ ❋✐♥✐t❛

❆ ♣❡s❛r ❞❡ q✉❡ ❧❛s ❝♦♠♣✉t❛❞♦r❛s ♣♦s❡❡♥ ✉♥❛ ❣r❛♥ ✢❡①✐❜✐❧✐❞❛❞ ❡♥ ❝✉❛♥t♦ ❛ ❧❛❝❛♥t✐❞❛❞ ❞❡ ♠❡♠♦r✐❛ q✉❡ ♣✉❡❞❡ ❛s✐❣♥❛rs❡ ❡♥ ✉♥❛ ❛♣❧✐❝❛❝✐ó♥ ❞❛❞❛ ♣❛r❛ ❛❧♠❛❝❡♥❛r❞❛t♦s✱ ❧❛ ❝❛♥t✐❞❛❞ ❞❡ ❜✐ts ❛s✐❣♥❛❞♦s ♣❛r❛ ❛❧♠❛❝❡♥❛r ❝❛❞❛ ♥ú♠❡r♦ r❡❛❧ ❡♥ ❧❛ ♠❡✲♠♦r✐❛✱ ❡s ❣❡♥❡r❛❧♠❡♥t❡ ✜❥❛✳ P♦r ❡st❡ ♠♦t✐✈♦✱ ❧❛ ❛r✐t♠ét✐❝❛ q✉❡ s❡ ✉t✐❧✐③❛ ❡♥ ✉♥❛❝♦♠♣✉t❛❞♦r❛ só❧♦ ✉t✐❧✐③❛ ♥ú♠❡r♦s ❝♦♥ ✉♥❛ ❝❛♥t✐❞❛❞ ✜♥✐t❛ ❞❡ ❝✐❢r❛s✱ ❧♦ q✉❡ ✐♠♣❧✐❝❛q✉❡ ❧♦s ❝á❧❝✉❧♦s s❡ r❡❛❧✐③❛♥ ú♥✐❝❛♠❡♥t❡ ❝♦♥ r❡♣r❡s❡♥t❛❝✐♦♥❡s ❛♣r♦①✐♠❛❞❛s ❞❡ ❧♦s♥ú♠❡r♦s ✈❡r❞❛❞❡r♦s✳

✶✳✸✳✶✳ ❘❡♣r❡s❡♥t❛❝✐ó♥ ❞❡ ◆ú♠❡r♦s ❡♥ ❈♦♠♣✉t❛❞♦r❛

▲❛ r❛③ó♥ ♣♦r ❧❛ ❝✉❛❧ ❧♦s ♥ú♠❡r♦s s❡ r❡♣r❡s❡♥t❛♥ ❡♥ ❧❛ ❝♦♠♣✉t❛❞♦r❛ ♠❡❞✐❛♥t❡ ❡❧s✐st❡♠❛ ❜✐♥❛r✐♦ ♦ ❞❡ ❜❛s❡ ❞♦s✱ s❡ ❞❡❜❡ ❛ q✉❡ ❧❛s ❝♦♠♣✉t❛❞♦r❛s ❣❡♥❡r❛❧♠❡♥t❡ ♦♣❡r❛♥❝♦♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥t❡s ❡❧❡❝tró♥✐❝♦s ❞❡ ❛♣❛❣❛❞♦✴❡♥❝❡♥❞✐❞♦ ♦ ✐♥t❡♥s✐❞❛❞ ❞❡ ❝♦rr✐❡♥t❡ ♣♦r❡♥❝✐♠❛ ♦ ♣♦r ❞❡❜❛❥♦ ❞❡ ✉♥ ✉♠❜r❛❧ ♦ s❡♥s❛♥❞♦ ❡❧ s❡♥t✐❞♦ ❞❡ ❝✐r❝✉❧❛❝✐ó♥ ❞❡ ❞✐❝❤❛❝♦rr✐❡♥t❡✳ ❊s ❞❡❝✐r✱ só❧♦ ❝✉❡♥t❛♥ ❝♦♥ ❧❛ ♣♦s✐❜✐❧✐❞❛❞ ❞❡ r❡♣r❡s❡♥t❛r ❞♦s ❡st❛❞♦s♣♦s✐❜❧❡s✱ ❞❡♥♦♠✐♥❛❞♦s ❣❡♥❡r❛❧♠❡♥t❡ ❝♦♠♦ ✵ ó ✶✳

✶✳✸✳✷✳ ◆♦r♠❛ ■❊❊❊✲✼✺✹

▲❛ ♥♦r♠❛ ■❊❊❊ ♣❛r❛ ❛r✐t♠ét✐❝❛ ❞❡ ♣✉♥t♦ ✢♦t❛♥t❡✱ ❝♦♥♦❝✐❞❛ ❝♦♠♦ ■❊❊❊✲✼✺✹❡s ❡❧ ❡stá♥❞❛r ♠ás ❡①t❡♥❞✐❞♦ ♣❛r❛ ❧♦s ❝á❧❝✉❧♦s ❝♦♥ ♥ú♠❡r♦s ❞❡ ♣✉♥t♦ ✢♦t❛♥t❡ ② ❡s❡❧ ❡stá♥❞❛r ✉t✐❧✐③❛❞♦ ♣♦r ❧❛ ♠❛②♦rí❛ ❞❡ ❧♦s ❢❛❜r✐❝❛♥t❡s ❞❡ ♣r♦❝❡s❛❞♦r❡s✳

❊st❡ ❡stá♥❞❛r✱ ❞❡✜♥✐❞♦ ♣♦r ❡❧ ■♥st✐t✉t♦ ❞❡ ■♥❣❡♥✐❡r♦s ❊❧é❝tr✐❝♦s ② ❊❧❡❝tró♥✐❝♦s✭■♥st✐t✉t❡ ♦❢ ❊❧❡❝tr✐❝❛❧ ❛♥❞ ❊❧❡❝tr♦♥✐❝s ❊♥❣✐♥❡❡rs✱ ■❊❊❊✮ ❡st❛❜❧❡❝❡ ❝✉❛tr♦ ❢♦r♠❛✲t♦s ♣❛r❛ r❡♣r❡s❡♥t❛r ❛ ❧♦s ♥ú♠❡r♦s r❡❛❧❡s ❡♥ ✉♥❛ ❝♦♠♣✉t❛❞♦r❛✱ ❛✉♥q✉❡ ❧♦s ♠ás✉t✐❧✐③❛❞♦s s♦♥✿ ♣r❡❝✐s✐ó♥ s✐♠♣❧❡ ② ♣r❡❝✐s✐ó♥ ❞♦❜❧❡✳

❊♥ ♣r❡❝✐s✐ó♥ s✐♠♣❧❡✱ ✉♥ ♥ú♠❡r♦ r❡❛❧ s❡ ❛❧♠❛❝❡♥❛ ✉t✐❧✐③❛♥❞♦ ✸✷ ❜✐ts ✭✹ ❜②✲t❡s✮✱ ❞✐str✐❜✉✐❞♦s ❞❡ ❧❛ s✐❣✉✐❡♥t❡ ♠❛♥❡r❛✿ ✶ ❜✐t ♣❛r❛ ❡❧ s✐❣♥♦ ✭❙✮ ❞❡❧ ♥ú♠❡r♦✱ ✽

❆♥á❧✐s✐s ◆✉♠ér✐❝♦ ♣❛r❛ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❋❛❝✉❧t❛❞ ❞❡ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❯✳◆✳▼✳❞✳P✳ ✻


❜✐ts ♣❛r❛ ❡❧ ❡①♣♦♥❡♥t❡ ② ✷✸ ❜✐ts ♣❛r❛ ❧❛ ♠❛♥t✐s❛✳

❊❥❡♠♣❧♦✿ ❘❡♣r❡s❡♥t❛❝✐ó♥ ❞❡❧ ♥ú♠❡r♦ ✵✳✶✺✻✷✺ ❡♥ ❢♦r♠❛t♦ ■❊❊❊✲✼✺✹

❙ ❊❳P❖◆❊◆❚❊ ✭✽ ❜✐ts✮ ▼❆◆❚■❙❆ ✭✷✸ ❜✐ts✮✵ ✵ ✶ ✶ ✶ ✶ ✶ ✵ ✵ ✵ ✶ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵ ✵

P♦r ❧♦ t❛♥t♦✱ ❞❛❞❛ ❧❛ r❡♣r❡s❡♥t❛❝✐ó♥ ❜✐♥❛r✐❛ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐❡♥t❡ ❛ ❧❛ ♥♦r♠❛ ■❊❊❊✲✼✺✹ ❡s ♣♦s✐❜❧❡ ❝❛❧❝✉❧❛r s✉ ✈❛❧♦r ❞❡❝✐♠❛❧ ♣♦r ♠❡❞✐♦ ❞❡ ❧❛ ❛♣❧✐❝❛❝✐ó♥ ❞❡ ❧❛ s✐❣✉✐❡♥t❡❢ór♠✉❧❛✿

(−1)s · (1,mantisa) · 2(exponente−127) ❝♦♥ 0 < exponente < 255

❊♥ ❝❛♠❜✐♦✱ ♣❛r❛ ❛❧♠❛❝❡♥❛r ✉♥ ♥ú♠❡r♦ r❡❛❧ ❡♥ ♣r❡❝✐s✐ó♥ ❞♦❜❧❡ s❡ ✉t✐❧✐③❛♥ ✻✹❜✐ts ✭✽ ❜②t❡s✮✱ ❞✐str✐❜✉✐❞♦s ❞❡ ❧❛ s✐❣✉✐❡♥t❡ ♠❛♥❡r❛✿ ✶ ❜✐t ♣❛r❛ ❡❧ s✐❣♥♦ ✭❙✮ ❞❡❧♥ú♠❡r♦✱ ✶✶ ❜✐ts ♣❛r❛ ❡❧ ❡①♣♦♥❡♥t❡ ② ✺✷ ❜✐ts ♣❛r❛ ❧❛ ♠❛♥t✐s❛✳ P♦r ❧♦ t❛♥t♦✱ ♣❛r❛❝❛❧❝✉❧❛r s✉ ✈❛❧♦r ❞❡❝✐♠❛❧ s❡ ✉t✐❧✐③❛ ❧❛ s✐❣✉✐❡♥t❡ ❢ór♠✉❧❛✿

(−1)s · (1,mantisa) · 2(exponente−1023) ❝♦♥ 0 < exponente < 2047

▲❛ ♥♦r♠❛ ■❊❊❊✲✼✺✹ ❞❡✜♥❡ ❛❞❡♠ás✿

❋♦r♠❛t♦s ❛r✐t♠ét✐❝♦s✿ ❈♦♥❥✉♥t♦s ❞❡ ❞❛t♦s ❡♥ ♣✉♥t♦ ✢♦t❛♥t❡ ❜✐♥❛r✐♦s ②❞❡❝✐♠❛❧❡s✱ q✉❡ ❝♦♥s✐st❡♥ ❡♥ ♥ú♠❡r♦s ✜♥✐t♦s✱ ✐♥❝❧✉✐❞♦s ❧♦s ❝❡r♦s ❝♦♥ s✐❣♥♦ ② ❧♦s♥ú♠❡r♦s ❞❡s♥♦r♠❛❧✐③❛❞♦s✱ ✐♥✜♥✐t♦s ② ✈❛❧♦r❡s ❡s♣❡❝✐❛❧❡s ✏♥♦ ♥✉♠ér✐❝♦s✑✭◆❛◆✮✳

❋♦r♠❛t♦s ❞❡ ✐♥t❡r❝❛♠❜✐♦✿ ❈♦❞✐✜❝❛❝✐♦♥❡s ✭❝❛❞❡♥❛s ❞❡ ❜✐ts✮ q✉❡ s❡ ♣✉❡✲❞❡♥ ✉t✐❧✐③❛r ♣❛r❛ ✐♥t❡r❝❛♠❜✐❛r ❞❛t♦s ❡♥ ♣✉♥t♦ ✢♦t❛♥t❡ ❞❡ ❢♦r♠❛ ❡✜❝✐❡♥t❡ ②❝♦♠♣❛❝t❛✳

❘❡❣❧❛s ❞❡ r❡❞♦♥❞❡♦✿ Pr♦♣✐❡❞❛❞❡s q✉❡ ❞❡❜❡♥ s❛t✐s❢❛❝❡rs❡ ❛❧ r❡❞♦♥❞❡❛r ❧♦s♥ú♠❡r♦s ❞✉r❛♥t❡ ❧❛s ♦♣❡r❛❝✐♦♥❡s ❛r✐t♠ét✐❝❛s ② ❧❛s ❝♦♥✈❡rs✐♦♥❡s✳

❖♣❡r❛❝✐♦♥❡s✿ ❖♣❡r❛❝✐♦♥❡s ❛r✐t♠ét✐❝❛s ② ♦tr❛s ✭❝♦♠♦ ❢✉♥❝✐♦♥❡s tr✐❣♦♥♦♠é✲tr✐❝❛s✮ ❡♥ ❢♦r♠❛t♦s ❛r✐t♠ét✐❝♦s✳

▼❛♥❡❥♦ ❞❡ ❡①❝❡♣❝✐♦♥❡s ■♥❞✐❝❛❝✐♦♥❡s ❞❡ ❝♦♥❞✐❝✐♦♥❡s ❡①❝❡♣❝✐♦♥❛❧❡s✱ t❛❧❡s❝♦♠♦ ❞✐✈✐s✐ó♥ ♣♦r ❝❡r♦✱ ❞❡s❜♦r❞❛♠✐❡♥t♦✱ ❡t❝✳

❆♥á❧✐s✐s ◆✉♠ér✐❝♦ ♣❛r❛ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❋❛❝✉❧t❛❞ ❞❡ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❯✳◆✳▼✳❞✳P✳ ✼


❈❛s♦s ❊s♣❡❝✐❛❧❡s

❆ ✈❡❝❡s✱ ❝✉❛♥❞♦ s❡ ♣r♦❞✉❝❡♥ ❝✐❡rt❛s s✐t✉❛❝✐♦♥❡s✱ t❛❧❡s ❝♦♠♦ ❞✐✈✐s✐♦♥❡s ♣♦r ❝❡r♦✱❧♦❣❛r✐t♠♦ ❞❡ ✉♥ ♥ú♠❡r♦ ♥❡❣❛t✐✈♦✱ ✐♥✈❡rs❛ ❞❡ ✉♥ s❡♥♦ ♦ ❝♦s❡♥♦ ❞❡ ✉♥ ♥ú♠❡r♦ ♠❛②♦rq✉❡ ✶✱ ❡t❝✳ s❡ ♣r♦❞✉❝❡♥ r❡s✉❧t❛❞♦s q✉❡ ♥♦ ♣✉❡❞❡♥ s❡r r❡♣r❡s❡♥t❛❞♦s ♥✉♠ér✐❝❛♠❡♥t❡✳❆ ❡st❛s s✐t✉❛❝✐♦♥❡s s❡ ❧❡s s✉❡❧❡ ❞❡♥♦♠✐♥❛r ❡①❝❡♣❝✐♦♥❡s✳ ❙✐♥ ❡♠❜❛r❣♦✱ ❛✉♥q✉❡ s❡tr❛t❡ ❞❡ s✐t✉❛❝✐♦♥❡s ❡①❝❡♣❝✐♦♥❛❧❡s✱ r❡s✉❧t❛ ♥❡❝❡s❛r✐♦ ♣♦❞❡r ❡①♣r❡s❛r ❞✐❝❤♦ r❡s✉❧t❛❞♦✱♣❛r❛ ✐♥❢♦r♠❛r ❞❡ ❛❧❣✉♥❛ ❢♦r♠❛✱ q✉❡ ♥♦ s❡ tr❛t❛ ❞❡ ✉♥ ♥ú♠❡r♦ ✈á❧✐❞♦✳

❆ ❝♦♥t✐♥✉❛❝✐ó♥ s❡ ♣r❡s❡♥t❛ ✉♥ r❡s✉♠❡♥ ❞❡ ❧❛s r❡♣r❡s❡♥t❛❝✐♦♥❡s ❞❡ ✈❛❧♦r❡s ♥✉✲♠ér✐❝♦s ② ♥♦ ♥✉♠ér✐❝♦s ✭◆❛◆✱ +∞ ② −∞✮ ♣r♦♣✐❛s ❞❡ ❧❛ ♥♦r♠❛ ■❊❊❊✲✼✺✹✱ ♣❛r❛♥ú♠❡r♦s r❡❛❧❡s ❞❡ s✐♠♣❧❡ ② ❞♦❜❧❡ ♣r❡❝✐s✐ó♥✳

❙■●◆❖ ❊❳P❖◆❊◆❚❊ ▼❆◆❚■❙❆ ❱❆▲❖❘ ❉❊❈■▼❆▲✵ ó ✶ 0 < exp < 255 ✐♥❞✐❢❡r❡♥t❡ (−1)s · (1,m) · 2(exp−127)

✵ exp = 255 m = 0 +∞✶ exp = 255 m = 0 −∞

✵ ó ✶ exp = 255 m 6= 0 ◆❛◆ ✭◆♦t ❛ ◆✉♠❜❡r✮✵ ó ✶ exp = 0 m = 0 ✵✵ ó ✶ ❡①♣ ❂ ✵ m 6= ✵ (−1)s · (0,m) · 2(exp−126)

❈✉❛❞r♦ ✶✳✶✿ ❉✐str✐❜✉❝✐ó♥ ❞❡ ❜✐ts ♣❛r❛ ✉♥ ❘❊❆▲✭✽✮ ✭Pr❡❝✐s✐ó♥ ❙✐♠♣❧❡✮✳

❙■●◆❖ ❊❳P❖◆❊◆❚❊ ▼❆◆❚■❙❆ ❱❆▲❖❘ ❉❊❈■▼❆▲✵ ó ✶ 0 < exp < 255 ✐♥❞✐❢❡r❡♥t❡ (−1)s · (1,m) · 2(exp−1023)

✵ exp = 255 m = 0 +∞✶ exp = 255 m = 0 −∞

✵ ó ✶ exp = 255 m 6= 0 ◆❛◆ ✭◆♦t ❛ ◆✉♠❜❡r✮✵ ó ✶ exp = 0 m = 0 ✵✵ ó ✶ ❡①♣ ❂ ✵ m 6= ✵ (−1)s · (0,m) · 2(exp−1022)

❈✉❛❞r♦ ✶✳✷✿ ❉✐str✐❜✉❝✐ó♥ ❞❡ ❜✐ts ♣❛r❛ ✉♥ ❘❊❆▲✭✽✮ ✭Pr❡❝✐s✐ó♥ ❉♦❜❧❡✮✳

✶✳✹✳ ❘❡❣❧❛s ❞❡ r❡❞♦♥❞❡♦ ② tr✉♥❝❛❞♦ ❞❡ ♥ú♠❡r♦s❛♣r♦①✐♠❛❞♦s

P❛r❛ tr✉♥❝❛r ✉♥ ♥ú♠❡r♦ ❞❡❝✐♠❛❧ ① ❡♥ ❡❧ ❞í❣✐t♦ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐❡♥t❡ ❛ 10−c ❞❡ s✉r❡♣r❡s❡♥t❛❝✐ó♥ ❞❡❝✐♠❛❧✱ s✐♠♣❧❡♠❡♥t❡ s❡ ❞❡❜❡♥ r❡❡♠♣❧❛③❛r t♦❞♦s ❧♦s ❞í❣✐t♦s ❛ ❧❛

❆♥á❧✐s✐s ◆✉♠ér✐❝♦ ♣❛r❛ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❋❛❝✉❧t❛❞ ❞❡ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❯✳◆✳▼✳❞✳P✳ ✽


❞❡r❡❝❤❛ ❞❡❧ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐❡♥t❡ ❛ 10−c ♣♦r ❝❡r♦s✳❊♥ ❝❛♠❜✐♦✱ ♣❛r❛ r❡❞♦♥❞❡❛r ✉♥ ♥ú♠❡r♦ ① ♣♦s✐t✐✈♦ ❡♥ ❡❧ ❞✐❣✐t♦ 10−c s❡ ❧❡ ❞❡❜❡

s✉♠❛r 0,5·10−c ❛ ① ② ❧✉❡❣♦ tr✉♥❝❛r ❡❧ r❡s✉❧t❛❞♦✳ ❊s ♥❡❝❡s❛r✐♦ t❡♥❡r ❡♥ ❝✉❡♥t❛ q✉❡só❧♦ s❡ tr❛❜❛❥❛ s♦❜r❡ ❧❛ ♣❛rt❡ ❞❡❝✐♠❛❧✱ ♥♦ s♦❜r❡ ❧❛ ♣❛rt❡ ❡♥t❡r❛ ② ♣❛r❛ r❡❞♦♥❞❡❛r✉♥ ♥ú♠❡r♦ ① ♥❡❣❛t✐✈♦ s❡ ❝❛❧❝✉❧❛ ❝♦♠♦ −(|x|redondeado)✳

❊❥❡♠♣❧♦✿❉❛❞♦ x = 2,718281828459045235360 ❝❛❧❝✉❧❡ s✉s ✈❛❧♦r❡s tr✉♥❝❛❞♦ ② r❡❞♦♥❞❡❛❞♦

❛ s❡✐s ❞í❣✐t♦s ❞❡❝✐♠❛❧❡s✳❊❧ ♥ú♠❡r♦ tr✉♥❝❛❞♦ ❛ s❡✐s ❞í❣✐t♦s ❞❡❝✐♠❛❧❡s ♦ s❡❛ ❡♥ ❡❧ ❞í❣✐t♦ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐❡♥t❡

❛ 10−6 ❡s ✷✳✼✶✽✷✽✶❊❧ ♥ú♠❡r♦ r❡❞♦♥❞❡❛❞♦ ❛ s❡✐s ❞í❣✐t♦s ❞❡❝✐♠❛❧❡s ♦ s❡❛ ❡♥ ❡❧ ❞í❣✐t♦ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐❡♥t❡

❛ 10−6 ❡s ✷✳✼✶✽✷✽✷ ②❛ q✉❡ s❡ tr✉♥❝ó (2,7182818 + 0,0000005) = 2,718282

✶✳✹✳✶✳ ❉í❣✐t♦s s✐❣♥✐✜❝❛t✐✈♦s

❊❧ ❝♦♥❝❡♣t♦ ❞❡ ❞í❣✐t♦ s✐❣♥✐✜❝❛t✐✈♦ ❡s ❞❡ ❣r❛♥ ✐♠♣♦rt❛♥❝✐❛ ❝✉❛♥❞♦ s❡ ❡st✉❞✐❛❧❛ ❡①❛❝t✐t✉❞ ❞❡ ✉♥ ✈❛❧♦r✳ ❊❧ ❞í❣✐t♦ ♠ás s✐❣♥✐✜❝❛t✐✈♦ ♦ ❞í❣✐t♦ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❞❡✉♥ ♥ú♠❡r♦ r❡❛❧ ① ♥♦ ♥✉❧♦✱ ❡s ❡❧ ❞í❣✐t♦ ♥♦ ♥✉❧♦ q✉❡ s❡ ❡♥❝✉❡♥tr❛ s✐t✉❛❞♦ ♠ás ❛ ❧❛✐③q✉✐❡r❞❛ ❞❡ s✉ ❡①♣❛♥s✐ó♥ ❞❡❝✐♠❛❧✳

❚♦❞♦s ❧♦s ❞í❣✐t♦s✱ ✐♥❝❧✉②❡♥❞♦ ❧♦s ❝❡r♦s ❛ ❧❛ ❞❡r❡❝❤❛ ❞❡❧ ❞í❣✐t♦ ♣r✐♥❝✐♣❛❧✱ s♦♥s✐❣♥✐✜❝❛t✐✈♦s ② ❛❧ ú❧t✐♠♦ ❞í❣✐t♦ ❞❡s♣❧❡❣❛❞♦ s❡ ❧❡ ❞❡♥♦♠✐♥❛ ❞í❣✐t♦ ♠❡♥♦s s✐❣♥✐✲✜❝❛t✐✈♦✳

P♦r ♦tr❛ ♣❛rt❡✱ ❧♦s ❝❡r♦s ❛ ❧❛ ✐③q✉✐❡r❞❛ ❞❡❧ ❞í❣✐t♦ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ♥♦ s♦♥ s✐❣♥✐✜❝❛✲t✐✈♦s✱ ②❛ q✉❡ ❞❡s❛♣❛r❡❝❡♥ s✐ ❡❧ ♥ú♠❡r♦ s❡ ❡s❝r✐❜❡ ❡♥ ♥♦t❛❝✐ó♥ ❝✐❡♥tí✜❝❛✳

❊❥❡♠♣❧♦✿ ❉❛❞♦ ❡❧ ♥ú♠❡r♦ ✵✳✵✵✵✺✸✶✳✵✹✷✽✵✵✳ ➽ ❈✉á❧❡s ❞í❣✐t♦s s♦♥ s✐❣♥✐✜❝❛t✐✲✈♦s ② ❝✉á❧❡s ♥♦ ❄

❊♥ ❡st❡ ❝❛s♦✱ ❡❧ ❞í❣✐t♦ ♠ás s✐❣♥✐✜❝❛t✐✈♦ ❡s ✺ ② ❧♦s ❝❡r♦s ❛ ❧❛ ✐③q✉✐❡r❞❛ ❞❡ ❞✐❝❤♦✈❛❧♦r ♥♦ s♦♥ s✐❣♥✐✜❝❛t✐✈♦s✱ ②❛ q✉❡ ♥♦ ❡s ♥❡❝❡s❛r✐♦ ❡s❝r✐❜✐r❧♦s s✐ ❡❧ ♥ú♠❡r♦ s❡ ❡①♣r❡s❛❡♥ ♥♦t❛❝✐ó♥ ❝✐❡♥tí✜❝❛✳ ❙✐♥ ❡♠❜❛r❣♦✱ ❧♦s ❝❡r♦s ❛ ❧❛ ❞❡r❡❝❤❛ ❞❡❧ ✽ s✐ s♦♥ s✐❣♥✐✜❝❛t✐✈♦s♣✉❡s ❡①♣r❡s❛♥ q✉❡ ❡❧ ✈❛❧♦r ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐❡♥t❡ ❛ ❞✐❝❤❛ ♣♦s✐❝✐ó♥ ❡s ✐❣✉❛❧ ❛ ❝❡r♦✳ ❊❧ ❝❡r♦q✉❡ s❡ ❡♥❝✉❡♥tr❛ ♠ás ❛ ❧❛ ❞❡r❡❝❤❛ ❡s ❡❧ ❞í❣✐t♦ ♠❡♥♦s s✐❣♥✐✜❝❛t✐✈♦ ❞❡❧ ♥ú♠❡r♦✳

✶✳✹✳✷✳ ❉í❣✐t♦s ❊①❛❝t♦s ② ❈♦t❛ ❞❡ ❊rr♦r ❆❜s♦❧✉t♦

▲❛ ❝❛♥t✐❞❛❞ ❞❡ ❞í❣✐t♦s ❡①❛❝t♦s ❞❡ ✉♥ ✈❛❧♦r ❛♣r♦①✐♠❛❞♦ ❳ s❡ ❞❡✜♥❡ ❡♥ tér♠✐♥♦s❞❡ s✉ ❡rr♦r ❛❜s♦❧✉t♦ |x − X|✳ ❊s ❞❡❝✐r✱ ✉♥ ❞í❣✐t♦ ❦ ❞❡ ✉♥ ♥ú♠❡r♦ ❳ s❡ ❞✐❝❡ q✉❡❡s ✉♥ ❞í❣✐t♦ ❡①❛❝t♦ s✐ ❡❧ ❡rr♦r ❛❜s♦❧✉t♦ ❞❡ ❳ ❡s ♠❡♥♦r ♦ ✐❣✉❛❧ q✉❡ ❧❛ ♠✐t❛❞ ❞❡10−k✳

❆♥á❧✐s✐s ◆✉♠ér✐❝♦ ♣❛r❛ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❋❛❝✉❧t❛❞ ❞❡ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❯✳◆✳▼✳❞✳P✳ ✾


∆(X) = |x−X| ≤ 0,5 · 10−k = ∆X ✭✶✳✶✵✮

P♦r ❧♦ t❛♥t♦✱ s❡ ❞✐❝❡ q✉❡ ✉♥ ✈❛❧♦r ❳ ❛♣r♦①✐♠❛ ❛ ① ❝♦♥ ❦ ❞í❣✐t♦s ❡①❛❝t♦s s✐|x−X| ≤ 0,5 · 10−k✳ ❊❧ ✈❛❧♦r 0,5 · 10−k t❛♠❜✐é♥ ❡s ❝♦♥♦❝✐❞♦ ❝♦♠♦ ❡rr♦r ❛❜s♦❧✉t♦♠á①✐♠♦ ♦ ❝♦t❛ ❞❡ ❡rr♦r ❛❜s♦❧✉t♦ ♣❛r❛ ✉♥❛ ❛♣r♦①✐♠❛❝✐ó♥ ❛ ✉♥ ✈❛❧♦r ❝♦♥ ❦❞í❣✐t♦s ❡①❛❝t♦s✳

❊❥❡♠♣❧♦✿❙❡❛ x = 2,718281 ② X = 2,7183 s✉ ✈❛❧♦r r❡❞♦♥❞❡❛❞♦ ❛❧ ❝✉❛rt♦ ❞❡❝✐♠❛❧✳ P♦r ❧♦

t❛♥t♦ |x −X| = |2,718281 − 2,7183| = 0,000019 < 0,00005 = 0,5 · 10−4 ♦ s❡❛ q✉❡❳ ❛♣r♦①✐♠❛ ❛ ① ❝♦♥ ✹ ❞í❣✐t♦s ❡①❛❝t♦s✳

✶✳✹✳✸✳ ❉í❣✐t♦s ❊①❛❝t♦s ② ❈♦t❛ ❞❡ ❊rr♦r ❘❡❧❛t✐✈♦

❊♥ ❡❧ ❝❛s♦ ❞❡❧ ❡rr♦r r❡❧❛t✐✈♦✱ s❡ ❞✐❝❡ q✉❡ ✉♥ ♥ú♠❡r♦ ❳ ❛♣r♦①✐♠❛ ❛ ✉♥ ✈❛❧♦rx 6= 0 ❝♦♥ ❦ ❞í❣✐t♦s ❡①❛❝t♦s✱ s✐ ❦ ❡s ❡❧ ♠❛②♦r ❡♥t❡r♦ ♥♦ ♥❡❣❛t✐✈♦ ♣❛r❛ ❡❧ ❝✉á❧ s❡❝✉♠♣❧❡✿

δ(X) =∆(X)

|x| ≤ 5 · 10−k ✭✶✳✶✶✮

❆ ❡st❡ ✈❛❧♦r s❡ ❧❡ ❞❡♥♦♠✐♥❛ ❡rr♦r r❡❧❛t✐✈♦ ♠á①✐♠♦ ♦ ❝♦t❛ ❞❡ ❡rr♦r r❡❧❛t✐✈♦♣❛r❛ ✉♥❛ ❛♣r♦①✐♠❛❝✐ó♥ ❛ ✉♥ ✈❛❧♦r ❝♦♥ ❦ ❞í❣✐t♦s ❡①❛❝t♦s✳

❉❡❜✐❞♦ ❛ q✉❡ ♥♦r♠❛❧♠❡♥t❡ ❡❧ ✈❛❧♦r ① ❡s ❞❡s❝♦♥♦❝✐❞♦✱ ② ♣♦r ❧♦ t❛♥t♦✱ ♥♦ ❡s♣♦s✐❜❧❡ ❝♦♥♦❝❡r ❝♦♥ ❡①❛❝t✐t✉❞ ❡❧ ❡rr♦r ❛❜s♦❧✉t♦ ♥✐ ❡❧ ❡rr♦r r❡❧❛t✐✈♦ ❞❡ ✉♥ ✈❛❧♦r❛♣r♦①✐♠❛❞♦ ❳✱ ❡s ✐♠♣♦rt❛♥t❡ ❝♦♥t❛r ❛❧ ♠❡♥♦s ❝♦♥ ❝♦t❛s s✉♣❡r✐♦r❡s ❛ ❞✐❝❤♦s✈❛❧♦r❡s✱ s❛❜✐❡♥❞♦ q✉❡ ❝✉❛♥t♦ ♠ás ♣❡q✉❡ñ♦ s❡❛ ❡❧ ✈❛❧♦r ❞❡ ❞✐❝❤❛s ❝♦t❛s✱ ♠❡❥♦r s❡rá❧❛ ❛♣r♦①✐♠❛❝✐ó♥✳

✶✳✺✳ Pr♦♣❛❣❛❝✐ó♥ ❞❡❧ ❡rr♦r ❡♥ ❧♦s ❝á❧❝✉❧♦s❛r✐t♠ét✐❝♦s

❆❧ tr❛❜❛❥❛r ❝♦♥ ❛r✐t♠ét✐❝❛ ❞❡ ♣✉♥t♦ ✢♦t❛♥t❡✱ ❡s ❞❡❝✐r✱ ❛❧ r❡❛❧✐③❛r ❝á❧❝✉❧♦s ❝♦♥♥ú♠❡r♦s ❛♣r♦①✐♠❛❞♦s ♣♦r s✉ r❡♣r❡s❡♥t❛❝✐ó♥ ❡♥ ♣✉♥t♦ ✢♦t❛♥t❡✱ ❛ú♥ ❝✉❛♥❞♦ ❡❧ ❡rr♦r❡♥ ❧❛ ❛♣r♦①✐♠❛❝✐ó♥ s❡❛ ❛❝❡♣t❛❜❧❡♠❡♥t❡ ♣❡q✉❡ñ♦✱ s❡ s✉❡❧❡♥ ♣r❡s❡♥t❛r ❞♦s ♣r♦❜❧❡♠❛s✿

▲❛ ✐❣✉❛❧❞❛❞ ❡①❛❝t❛ ❡♥tr❡ ❧❛s r❡♣r❡s❡♥t❛❝✐♦♥❡s ❞❡ ❞♦s ♥ú♠❡r♦s r❡❛❧❡s ♥♦ s✐❡♠✲♣r❡ s✐❣♥✐✜❝❛ q✉❡ ❞✐❝❤♦s ♥ú♠r♦s s❡❛♥ ✐❣✉❛❧❡s✱ ②❛ q✉❡ ❡❧ ❡rr♦r ❞❡ r❡❞♦♥❞❡♦ ❞❡✉♥❛ ✭♦ ❞❡ ❛♠❜❛s✮ r❡♣r❡s❡♥t❛❝✐♦♥❡s ❡♥ ♣✉♥t♦ ✢♦t❛♥t❡ ♣✉❡❞❡ ♣r♦✈♦❝❛r ❡rr♦r❡s② ♣♦r ❧♦ t❛♥t♦ ❛rr✐❜❛r ❛ r❡s✉❧t❛❞♦s ✐♥❝♦rr❡❝t♦s✳

❆♥á❧✐s✐s ◆✉♠ér✐❝♦ ♣❛r❛ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❋❛❝✉❧t❛❞ ❞❡ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❯✳◆✳▼✳❞✳P✳ ✶✵


❊❥❡♠♣❧♦✿

❆❧ r❡♣r❡s❡♥t❛r ❞♦s ♥ú♠❡r♦s ❞✐❢❡r❡♥t❡s x1 = 2,3456 ② x2 = 2,3462 ❡♥ ♣✉♥t♦✢♦t❛♥t❡ ❝♦♥ ✉♥❛ ♣r❡❝✐s✐ó♥ ❞❡ ✷ ❞í❣✐t♦s ❞❡❝✐♠❛❧❡s✱ s❡ ❝♦♥✈✐❡rt❡♥ ❡♥ X1 = 2,35② X2 = 2, 35✱ ❧♦ q✉❡ ❤❛❝❡ s✉♣♦♥❡r q✉❡ ❛♠❜♦s ♥ú♠❡r♦s s♦♥ ✐❣✉❛❧❡s✳

▲♦s ❝á❧❝✉❧♦s ❝♦♥ ♥ú♠❡r♦s ❡♥ ♣✉♥t♦ ✢♦t❛♥t❡ ♣✉❡❞❡♥ ♣r♦✈♦❝❛r ❧❛ ❛❝✉♠✉❧❛❝✐ó♥ ②♣r♦♣❛❣❛❝✐ó♥ ❞❡ ❡rr♦r❡s✱ ❧♦ ❝✉❛❧ ♣r♦✈♦❝❛ ✉♥❛ ♣ér❞✐❞❛ s✐❣♥✐✜❝❛t✐✈❛ ❞❡ ♣r❡❝✐s✐ó♥✳❙✐ ❝♦♥s✐❞❡r❛♠♦s ❧❛s ❝✉❛tr♦ ♦♣❡r❛❝✐♦♥❡s ❛r✐t♠ét✐❝❛s ✭s✉♠❛✱ r❡st❛✱ ♣r♦❞✉❝t♦② ❝♦❝✐❡♥t❡✮ ❡s ♥❡❝❡s❛r✐♦ t❡♥❡r ❡♥ ❝✉❡♥t❛ q✉❡ ❧❛s ♠✐s♠❛s s❡ ❛♣❧✐❝❛♥ s♦❜r❡❧♦s ♦♣❡r❛♥❞♦s ✢✭①✮ ② ✢✭②✮ ② ♥♦ s♦❜r❡ ❧♦s ♥ú♠❡r♦s ❡①❛❝t♦s ① ❡ ②✳ ❙✐ ❜✐❡♥❧❛s ♦♣❡r❛❝✐♦♥❡s ❡♥ ♠áq✉✐♥❛ s❡ r❡❛❧✐③❛rá♥ t❡♥✐❡♥❞♦ ❡♥ ❝✉❡♥t❛ ❤❛st❛ ♣♦r ❧♦♠❡♥♦s ✭❦✰✶✮ ❞í❣✐t♦s s✐❣♥✐✜❝❛t✐✈♦s ❡①❛❝t♦s✱ ♣❛r❛ ❧✉❡❣♦ ❛❧♠❛❝❡♥❛r ❡❧ r❡s✉❧t❛❞♦r❡❞♦♥❞❡❛♥❞♦ ♦ tr✉♥❝❛♥❞♦ ❛ ❦ ❞í❣✐t♦s s✐❣♥✐✜❝❛t✐✈♦s ❡①❛❝t♦s✳

✶✳✺✳✶✳ ❊rr♦r❡s ❡♥ s✉♠❛s ② r❡st❛s

❱❡❛♠♦s ❧❛ ♣r♦♣❛❣❛❝✐ó♥ ❞❡❧ ❡rr♦r ❞❡ r❡❞♦♥❞❡♦ ❡♥ ❧❛ s✉♠❛✳ ❙✐❡♥❞♦ ① ❡ ② ♥ú♠❡r♦s❡①❛❝t♦s✱ t❡♥❡♠♦s q✉❡ s✐ X ≈ x ② Y ≈ y✱ ❡♥t♦♥❝❡s✿

∆(X ± Y ) = (x± y)− (X ± Y ) = (x−X)± (y − Y ) = ∆(X)±∆(Y )

❱❡♠♦s q✉❡ ❡❧ ❡rr♦r ❛❜s♦❧✉t♦ ❞❡ ✉♥❛ s✉♠❛ ♦ r❡st❛ ❡s ❧❛ s✉♠❛ ♦ r❡st❛ ❞❡ ❧♦s ❡rr♦✲r❡s ❡♥ ❧♦s tér♠✐♥♦s✳ ❈♦♠♦ ❡♥ ❣❡♥❡r❛❧ ♥♦ s❛❜❡♠♦s s✐ ∆(X) ② ∆(Y ) t✐❡♥❡♥ s✐❣♥♦s✐❣✉❛❧❡s ✉ ♦♣✉❡st♦s✱ só❧♦ ♣♦❞❡♠♦s ❛✜r♠❛r q✉❡✿

|∆(X + Y )| = |∆(X)|+ |∆(Y )| ❀ |∆(X − Y )| = |∆(X)|+ |∆(Y )|

❊♥t♦♥❝❡s✱ s✐ ❳ ❡ ❨ t✐❡♥❡♥ ❡rr♦r❡s ❞✐❢❡r❡♥t❡s✱ ❡❧ ❡rr♦r ❛❜s♦❧✉t♦ ❞❡ X ± Y s❡rá❝♦♠♣❛r❛❜❧❡ ❛❧ ❞❡❧ tér♠✐♥♦ q✉❡ t❡♥❣❛ ❧❛ ♠❡♥♦r ❡①❛❝t✐t✉❞✳

❈♦♥ r❡s♣❡❝t♦ ❛❧ ❡rr♦r r❡❧❛t✐✈♦✱ t❡♥❡♠♦s✿

δ(X ± Y ) = ∆(X±Y )x±y

= |x||x±y|

· ∆(X)|x|

± |y||x±y|

· ∆(Y )|y|

= |x||x±y|

· δ(X)± |y||x±y|

· δ(Y )

❈✉❛♥❞♦ x ± y ❡s ♠✉❝❤♦ ♠ás ♣❡q✉❡ñ♦ q✉❡ ① ♦ ②✱ ❡♥t♦♥❝❡s ❧♦s ❢❛❝t♦r❡s |x||x±y|

②|y|

|x±y|❛♠♣❧✐✜❝❛♥ ∆(X) ♦ ∆(Y ) r❡s♣❡❝t✐✈❛♠❡♥t❡✳

❆♥á❧✐s✐s ◆✉♠ér✐❝♦ ♣❛r❛ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❋❛❝✉❧t❛❞ ❞❡ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❯✳◆✳▼✳❞✳P✳ ✶✶


✶✳✺✳✷✳ ❊rr♦r❡s ❡♥ ♣r♦❞✉❝t♦s ② ❝♦❝✐❡♥t❡s

❆♥❛❧✐③❛r❡♠♦s ❧❛ ♣r♦♣❛❣❛❝✐ó♥ ❞❡ ❧♦s ❡rr♦r❡s ❞❡ ♣r♦❞✉❝t♦s ② ❝♦❝✐❡♥t❡s✱ ❡♥ ❢✉♥✲❝✐ó♥ ❞❡ ❧♦s ✐♥❝r❡♠❡♥t♦s dX = x −X ② dY = y − Y ✳ ❙✐ ❧♦s ❡rr♦r❡s r❡❧❛t✐✈♦s ❞❡ ❳❡ ❨ s♦♥ ♣❡q✉❡ñ♦s✱ ❡♥t♦♥❝❡s ❧♦s ❡rr♦r❡s r❡s✉❧t❛♥t❡s ❡♥ (X · Y ) ② (X/Y ) ♣✉❡❞❡♥ s❡r❛♣r♦①✐♠❛❞♦s ❝♦♥ ❡①❛❝t✐t✉❞ ✉s❛♥❞♦ ❞✐❢❡r❡♥❝✐❛❧❡s✿

∆(X · Y ) ≈ d(X · Y ) = Y · dX +X · dY = Y ·∆(X) +X ·∆(Y )

❊♥ ❡❧ ❝❛s♦ ❞❡❧ ❝♦❝✐❡♥t❡ ♣♦❞❡♠♦s ♦❜s❡r✈❛r q✉❡ ❡❧ ❡rr♦r ❛❜s♦❧✉t♦ ❡s ✐♥✈❡rs❛♠❡♥t❡♣r♦♣♦r❝✐♦♥❛❧ ❛❧ ✈❛❧♦r ❞❡❧ ❞❡♥♦♠✐♥❛❞♦r✳

∆(XY) ≈ d(X

Y) = Y ·dX−X·dY

Y 2

❊♥ ❝✉❛♥t♦ ❛❧ ❡rr♦r r❡❧❛t✐✈♦✳ ❙✐ (x · y) ② (X · Y ) ♥♦ s♦♥ ♥✉❧♦s ② t❡♥✐❡♥❞♦ ❡♥❝✉❡♥t❛ q✉❡ (x · y) ≈ (X · Y )✱ ♣♦❞❡♠♦s ❡s❝r✐❜✐r✿

δ(X · Y ) = ∆(X·Y )|x·y|

≈ · δ(X)|X|

✶✳✺✳✸✳ ❊rr♦r❡s tí♣✐❝♦s

❊♥tr❡ ❧❛s ❝♦♥s❡❝✉❡♥❝✐❛s ❞❡ ❧♦s ❡rr♦r❡s ✈✐st♦s ❛♥t❡r✐♦r♠❡♥t❡ ❡♥❝♦♥tr❛♠♦s ❧♦ss✐❣✉✐❡♥t❡s t✐♣♦s ❞❡ ❡rr♦r❡s q✉❡ s❡ ♣r❡s❡♥t❛♥ ❢r❡❝✉❡♥t❡♠❡♥t❡✿

❆❞✐❝✐ó♥ ✐♥s✐❣♥✐✜❝❛♥t❡

▲❛ s✉♠❛ ♦ r❡st❛ ❞❡ ❞♦s ♥ú♠❡r♦s ❝✉②❛s ♠❛❣♥✐t✉❞❡s s♦♥ t❛♥ ❞✐❢❡r❡♥t❡s q✉❡ ❧❛s✉♠❛ ✭♦ ❞✐❢❡r❡♥❝✐❛✮ s❡ r❡❞♦♥❞❡❛ ❛❧ ♥ú♠❡r♦ ♠❛②♦r✳

❊♥ ❧❛ t❛❜❧❛ ✭❛❣r❡❣❛r r❡❢❡r❡♥❝✐❛✮ ♣✉❡❞❡ ♦❜s❡r✈❛rs❡ ❡❧ ❝á❧❝✉❧♦ ❞❡ ✭✉ ✲ ✇✮✱ ♣♦r ❧♦t❛♥t♦✱ ❡❧ ❡rr♦r ❛❜s♦❧✉t♦ ❞❡ ❞✐❝❤❛ r❡st❛ ❡s✿

∆(u− w) = ∆(122,9572− 0,014973) = (122,9572− 0,014973) ✲✲ (123,0− 0,01497) = ∆(U)−∆(W ) = −0,0428− 0,000003 = −0,042803

|∆(U −W )| ≤ |∆(U)|+ |∆(W )| = 0,042803

❙✐ ❝♦♠♣❛r❛♠♦s ❝♦♥ ❡❧ ❡rr♦r ❛❜s♦❧✉t♦ ✐♥❤❡r❡♥t❡ |∆(U)| = 0,0428 ♥♦t❛♠♦s q✉❡♣rá❝t✐❝❛♠❡♥t❡ ♥♦ ❤✉❜♦ ❝❛♠❜✐♦s✳

❆♥á❧✐s✐s ◆✉♠ér✐❝♦ ♣❛r❛ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❋❛❝✉❧t❛❞ ❞❡ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❯✳◆✳▼✳❞✳P✳ ✶✷


❘❡❞♦♥❞❡♦ ❡s❝♦♥❞✐❞♦

❊s ❡❧ ❡rr♦r q✉❡ s❡ ♣r♦❞✉❝❡ ❡♥ ❡❧ ❦✲és✐♠♦ ❞í❣✐t♦ s✐❣♥✐✜❝❛t✐✈♦ ❞❡ ❧❛s ♦♣❡r❛❝✐♦✲♥❡s ❞❡ ♠áq✉✐♥❛ ❛ú♥ ❝✉❛♥❞♦ ❧♦s ♥ú♠❡r♦s ❤❛②❛♥ s✐❞♦ r❡❞♦♥❞❡❛❞♦s ❝♦rr❡❝t❛♠❡♥t❡ ❛ ❦❞í❣✐t♦s ❡①❛❝t♦s✳ ▲❛ ❛❝✉♠✉❧❛❝✐ó♥ ❞❡ ❡st❡ ❡rr♦r s♦❜r❡ ❡❧ ú❧t✐♠♦ ❞í❣✐t♦ s✐❣♥✐✜❝❛t✐✈♦✱s✐ ❜✐❡♥ ❡s ❧❡♥t❛✱ ❡①✐st❡✳

❆♠♣❧✐✜❝❛❝✐ó♥ ❞❡❧ ❡rr♦r

▲❛ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛❝✐ó♥ ❞❡ ✉♥ ✈❛❧♦r ♣♦r ✉♥ ♥ú♠❡r♦ ❣r❛♥❞❡ ✭❡♥ ♠❛❣♥✐t✉❞✮ ② ❧❛ ❞✐✲✈✐s✐ó♥ ♣♦r ✉♥ ♥ú♠❡r♦ ❝❡r❝❛♥♦ ❛ ❝❡r♦ ❛♠♣❧✐✜❝❛♥ ❧♦s ❡rr♦r❡s✳ ❱❡❛♠♦s ❞♦s ❡❥❡♠♣❧♦s❛ ♣❛rt✐r ❞❡ ❧❛ t❛❜❧❛ ✭❛❣r❡❣❛r r❡❢❡r❡♥❝✐❛✮✿ ❧❛ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛❝✐ó♥ (u·w) ② ❡❧ ❝♦❝✐❡♥t❡ (u/w)✿

❊rr♦r ❆❜s♦❧✉t♦

∆(v · z) = fl(v) · fl(z) = 56394234,2136− 56370000 = 24234,2136

∆(u/w) = (u/w)− (fl(u)/fl(w)) = 8211,92813 . . .− 8216 = −4,07187 . . .

❊rr♦r ❘❡❧❛t✐✈♦

δ(v · z) ≈ (0,0498/124,1498) + (32/457932) ≈ 0,0004011 + 0,0000698 == 0,0004709

δ(u/w) ≈ (−0,0428/122,9572)−(0,000003/0,014973) ≈ 0,000348−0,0002003 == −0,0005483

❈❛♥❝❡❧❛❝✐ó♥ s✉str❛❝t✐✈❛ ♦ ❝❛t❛stró✜❝❛

❈♦♥s✐st❡ ❡♥ ❧❛ s✉str❛❝❝✐ó♥ ❞❡ ❞♦s ♥ú♠❡r♦s ❝❛s✐ ✐❣✉❛❧❡s✳ ❊st❡ ❡rr♦r s❡ ❝♦♥s✐❞❡r❛❡❧ ♠ás ❞❡✈❛st❛❞♦r ❞❡ t♦❞♦s ❧♦s ♣r❡s❡♥t❛❞♦s✳

u− v = 122,9572− 123,1498 = −0,1926

fl(u)− fl(v9 = 123,0− 123,1 = −0,1000

❙❡ ♦❜s❡r✈❛ q✉❡ ❧❛ s✉str❛❝❝✐ó♥ ❞❡ ❞♦s ♥ú♠❡r♦s r❡❞♦♥❞❡❛❞♦s ❝❛s✐ ✐❣✉❛❧❡s ❝❛♥❝❡❧❛❧❛ ❡①❛❝t✐t✉❞ ❞❡ ❧♦s ❞í❣✐t♦s s✐❣♥✐✜❝❛t✐✈♦s ♣r✐♥❝✐♣❛❧❡s ② ❧♦s r❡❡♠♣❧❛③❛ ♣♦r ❞í❣✐t♦sq✉❡ t✐❡♥❡♥ ❣r❛♥ ♣r♦❜❛❜✐❧✐❞❛❞ ❞❡ ❡rr♦r ❞❡ r❡❞♦♥❞❡♦✳ ❊st❡ ❡rr♦r ❡s ❝♦♥s✐❞❡r❛❞♦ ✉♥❛❝❛♥❝❡❧❛❝✐ó♥ ❝❛t❛stró✜❝❛ ♣♦rq✉❡✱ ❛ ❞✐❢❡r❡♥❝✐❛ ❞❡ ♦tr♦s t✐♣♦s ❞❡ ❡rr♦r❡s ♣r♦♣❛❣❛❞♦s✱♣✉❡❞❡ ♣r♦❞✉❝✐r ❡rr♦r❡s ❡♥ ❡❧ ❞í❣✐t♦ s✐❣♥✐✜❝❛t✐✈♦ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❞❡s♣✉és ❧❛ r❡❛❧✐③❛❝✐ó♥ ❞❡

❆♥á❧✐s✐s ◆✉♠ér✐❝♦ ♣❛r❛ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❋❛❝✉❧t❛❞ ❞❡ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❯✳◆✳▼✳❞✳P✳ ✶✸


✉♥❛ s♦❧❛ ♦♣❡r❛❝✐ó♥ ❛r✐t♠ét✐❝❛✳

❊❥❡♠♣❧♦✿❯♥ ❝❛s♦ ❞❡ s✉str❛❝❝✐ó♥ ❝❛t❛stró✜❝❛ ♣✉❡❞❡ ♣r♦❞✉❝✐rs❡ ❛❧ ❝❛❧❝✉❧❛r ❡❧ ❞✐s❝r✐♠✐♥❛♥t❡

❞❡ ✉♥❛ ❡❝✉❛❝✐ó♥ ❞❡ s❡❣✉♥❞♦ ❣r❛❞♦✳ ❊♥ ❡st❡ ❝❛s♦✱ ❧❛ s♦❧✉❝✐ó♥ ❡①❛❝t❛ ❡s x1 = −0,001② x2 = −1000✳

❊♥ ❝❛♠❜✐♦ ❛❧ ❝❛❧❝✉❧❛r ❡❧ ❞✐s❝r✐♠✐♥❛♥t❡ ✉t✐❧✐③❛♥❞♦ t♦❞❛s ✈❛r✐❛❜❧❡s ❞❡ t✐♣♦ ❘❊❆▲❡♥ ❋✾✵ s❡ ♦❜t✐❡♥❡ ❧❛ s♦❧✉❝✐ó♥ ❛♣r♦①✐♠❛❞❛

x1 = −0,00100390 ② x2 = −1000,000000

▲❛ ❞✐❢❡r❡♥❝✐❛ ❡s ♣r♦✈♦❝❛❞❛ ♣♦r ❧❛ s✉str❛❝❝✐ó♥ ❝❛t❛stró✜❝❛ ❝✉❛♥❞♦ s❡ ♣r❡s❡♥t❛❧❛ s✐t✉❛❝✐ó♥ b2 ≫ |4 · a · c|✳

❊♥ ❡st❡ ❝❛s♦ q✉❡❞❛✿

√b2 − 4 · a · c ≈

√b2 = |b|

◆♦t❛♠♦s q✉❡ ❡♥ ❡❧ ♥✉♠❡r❛❞♦r ❞❡❧ ❝á❧❝✉❧♦ ❞❡ x1 ❡s ✲❜ ✰ ❜✱ ♣r♦✈♦❝❛♥❞♦ ❡❧♣r♦❜❧❡♠❛✳

✶✳✺✳✹✳ ▼❛❧ ❝♦♥❞✐❝✐♦♥❛♠✐❡♥t♦

❍❛st❛ ❡❧ ♠♦♠❡♥t♦ ❤❡♠♦s ❛♥❛❧✐③❛❞♦ ❝♦♠♦ s❡ ♣r♦♣❛❣❛ ❡❧ ❡rr♦r ❛❧ r❡❛❧✐③❛r ❝á❧❝✉❧♦s❛r✐t♠ét✐❝♦s✱ s✐♥ ❡♠❜❛r❣♦✱ ❝✉❛♥❞♦ s❡ ❡✈❛❧ú❛ ✉♥❛ ❢✉♥❝✐ó♥ ❡♥ ✉♥ ✈❛❧♦r ❛♣r♦①✐♠❛❞♦✱r❡s✉❧t❛ ❝♦♥✈❡♥✐❡♥t❡ ❝♦♥♦❝❡r ❡♥ q✉é ♠❡❞✐❞❛ s❡ ✈❡rá ❛❢❡❝t❛❞♦ ❡❧ r❡s✉❧t❛❞♦✳

❊♥ ❡st❡ s❡♥t✐❞♦✱ ♣✉❡❞❡ ❛✜r♠❛rs❡ q✉❡ ❡❧ ❡rr♦r r❡❧❛t✐✈♦ ❝♦♠❡t✐❞♦ ❛❧ ❡✈❛❧✉❛r ❢✭❳✮❡s ❞❡ ❛❧❣✉♥❛ ❢♦r♠❛ ♣r♦♣♦r❝✐♦♥❛❧ ❛❧ ❡rr♦r r❡❧❛t✐✈♦ ❞❡ ❳✳

|δ(f(X))| ≈ C · |δ(X)| ✭✶✳✶✷✮

❊st❛ ❝♦♥st❛♥t❡ ❞❡ ♣r♦♣♦r❝✐♦♥❛❧✐❞❛❞ ❡s ❞❡♥♦♠✐♥❛❞❛ ✏♥ú♠❡r♦ ❞❡ ❝♦♥❞✐❝✐ó♥✑✳ ❊s♣♦s✐❜❧❡ ❞❡♠♦str❛r q✉❡ s✐ ✉♥❛ ❢✉♥❝✐ó♥ ❢ ❡s ❞✐❢❡r❡♥❝✐❛❜❧❡ ❡♥ ① ② s✐ x 6= 0 ② f(x) 6= 0✱♣❛r❛ ✉♥❳ ❧♦ s✉✜❝✐❡♥t❡♠❡♥t❡ ❝❡r❝❛♥♦ ❛ ①✱ ❡♥t♦♥❝❡s ❡❧ ❡rr♦r r❡❧❛t✐✈♦ ❞❡ ❢✭①✮ s❛t✐s❢❛❝❡❧❛ r❡❧❛❝✐ó♥ ✶✳✶✷✱ ❞♦♥❞❡✿

C = |x·f ′(x)f(x)

| ❡s ❡❧ ♥ú♠❡r♦ ❞❡ ❝♦♥❞✐❝✐ó♥

❆♥á❧✐s✐s ◆✉♠ér✐❝♦ ♣❛r❛ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❋❛❝✉❧t❛❞ ❞❡ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❯✳◆✳▼✳❞✳P✳ ✶✹

❈❛♣ít✉❧♦ ✷

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▲♦s s✐st❡♠❛s ❞❡ ✐♥❣❡♥✐❡rí❛ s❡ ♠♦❞❡❧❛♥ ❢r❡❝✉❡♥t❡♠❡♥t❡ ❝♦♠♦ ❡❝✉❛❝✐♦♥❡s q✉❡ ✐♥✲❝❧✉②❡♥ ✈❛r✐❛❜❧❡s ② s✉s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐❡♥t❡s ❞❡r✐✈❛❞❛s✱ ❡st♦ ❡s✱ s❡ ♠♦❞❡❧❛♥ ❝♦♠♦ ❡❝✉❛✲❝✐♦♥❡s ❞✐❢❡r❡♥❝✐❛❧❡s✱ ❧❛s ❝✉❛❧❡s ❞❡❜❡♥ r❡s♦❧✈❡rs❡ ❝♦♥ ❡❧ ✜♥ ❞❡ ❡♥❝♦♥tr❛r ❧❛s r❡❧❛✲❝✐♦♥❡s ❞❡ ❧❛s ✈❛r✐❛❜❧❡s ❡♥tr❡ s✐✳ ❙✐ ❜✐❡♥ ❡♥ ♠✉❝❤♦s ♣r♦❜❧❡♠❛s ❡s ❢á❝✐❧ ❡♥❝♦♥tr❛r ❧❛s♦❧✉❝✐ó♥ ❛♥❛❧ít✐❝❛✱ ❡♥ ♦tr♦s ❡s ♠✉② ❞✐❢í❝✐❧ ❤❛❧❧❛r❧❛✳ P❛r❛ ❡st❡ ú❧t✐♠♦ ❝❛s♦ ✉s❛r❡♠♦s❧♦s ♠ét♦❞♦s ❞❡ ❡st❡ ❝❛♣ít✉❧♦ ✭❡st♦ ❡s✱ ❧♦s ♠ét♦❞♦s ♥✉♠ér✐❝♦s✮✳

▲♦s ♣r♦❜❧❡♠❛s ❞❡ ❡❝✉❛❝✐♦♥❡s ❞✐❢❡r❡♥❝✐❛❧❡s ♦r❞✐♥❛r✐❛s ✭❊❉❖✮ s♦♥ ❡❝✉❛❝✐♦♥❡s❞✐❢❡r❡♥❝✐❛❧❡s ♣❛r❛ ❧❛s ❝✉❛❧❡s t♦❞❛s ❧❛s ✈❛r✐❛❜❧❡s ❞❡♣❡♥❞✐❡♥t❡s s♦♥ ❢✉♥❝✐♦♥❡s ❞❡ ✉♥❛s♦❧❛ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞✐❡♥t❡✳ ❯♥❛ ❊❉❖ ❡①♣❧í❝✐t❛ ❝♦♥ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞✐❡♥t❡ ① ❞❡♦r❞❡♥ ♥ ✭s✐❡♥❞♦ ♥ ❡❧ ♦r❞❡♥ ❞❡ ❧❛ ♠á①✐♠❛ ❞❡r✐✈❛❞❛✮ t✐❡♥❡ ✉♥❛ ❢♦r♠❛ ❣❡♥❡r❛❧✿

y(n) = f(x, y, y(1), y(2), . . . , y(n−1))

✸✳✶✳✶✳ Pr♦❜❧❡♠❛s ❞❡ ❱❛❧♦r❡s ■♥✐❝✐❛❧❡s

❯♥♦ ❞❡ ❧♦s ♠♦❞❡❧♦s ♠❛s ✉s❛❞♦s ♣❛r❛ r❡♣r❡s❡♥t❛r ❊❝✉❛❝✐♦♥❡s ❉✐❢❡r❡♥❝✐❛✲❧❡s ❖r❞✐♥❛r✐❛s s♦♥ ❧♦s Pr♦❜❧❡♠❛s ❞❡ ❱❛❧♦r❡s ■♥✐❝✐❛❧❡s ✭❊❉❖✲P❱■✮✳ ❊♥ ❡st♦s♣r♦❜❧❡♠❛s s❡ ❝♦♥♦❝❡ ❧❛ s♦❧✉❝✐ó♥ ❡♥ ✉♥ ♣✉♥t♦✱ ❝♦♥st✐t✉②❡♥❞♦ ❡st❛ ✐♥❢♦r♠❛❝✐ó♥ ❧❛s❝♦♥❞✐❝✐♦♥❡s ✐♥✐❝✐❛❧❡s ♦ ✈❛❧♦r❡s ✐♥✐❝✐❛❧❡s ✭♠✉❝❤♦s P❱■s ❞❡♣❡♥❞❡♥ ❞❡❧ t✐❡♠♣♦ ♣♦r ❧♦q✉❡ ❡♥ ❡st♦s ❝❛s♦s✱ ❧♦s ✈❛❧♦r❡s ✐♥✐❝✐❛❧❡s ❡stá♥ ❞❛❞♦s ❡♥ ❡❧ t✐❡♠♣♦ ✐♥✐❝✐❛❧✮✳

❙❡❛ ❡❧ P❱■ ❞❡ ♦r❞❡♥ ✶ ♣❧❛♥t❡❛❞♦ ❡♥ ❢♦r♠❛ ❝♦rr❡❝t❛✿

y′ = y(1) = dy

dx= f(x, y) ; a ≤ x ≤ b

y(x0) = y0

✹✼

❈❛♣ít✉❧♦ ✸✳ ❙♦❧✉❝✐ó♥ ◆✉♠ér✐❝❛ ❞❡ ❊❝✉❛❝✐♦♥❡s ❉✐❢❡r❡♥❝✐❛❧❡s ❖r❞✐♥❛r✐❛s

❞♦♥❞❡ ❢✭①✱②✮ ❡s ✉♥❛ ❢✉♥❝✐ó♥ ❞❡ ① ❡ ② ✱ ② ❧❛ ♦tr❛ ❡❝✉❛❝✐ó♥ ❡s ❧❛ ❝♦♥❞✐❝✐ó♥✐♥✐❝✐❛❧ ✭x0 ❡ y0 s♦♥ ❞❛t♦s✮✳ ▲❛ ❞❡r✐✈❛❞❛ ♣r✐♠❡r❛ ❞❡ ② ❡stá ❞❛❞❛ ❝♦♠♦ ✉♥❛ ❢✉♥❝✐ó♥❝♦♥♦❝✐❞❛ ❞❡ ① ❡ ②✳ P♦r ❧♦ t❛♥t♦✱ ❡♥❝♦♥tr❛r ❧❛ s♦❧✉❝✐ó♥ s✐❣♥✐✜❝❛ ❝❛❧❝✉❧❛r ❧❛ ❢✉♥❝✐ó♥✐♥❝ó❣♥✐t❛ ②✳ ❙✐ ❢ ❢✉❡r❛ ✐♥❞❡♣❡♥❞✐❡♥t❡ ❞❡ ②✱ ❡❧ ❝á❧❝✉❧♦ s❡rí❛ s✐♠♣❧❡♠❡♥t❡ ✉♥ ❝❛s♦ ❞❡✐♥t❡❣r❛❝✐ó♥✳ P❡r♦✱ ❡❧ ❤❡❝❤♦ q✉❡ y(1) = f(x, y) s❡❛ ❢✉♥❝✐ó♥ ❞❡ ❧❛ ❢✉♥❝✐ó♥ ❞❡s❝♦♥♦❝✐❞❛② ❤❛❝❡ q✉❡ ❤❛②❛ q✉❡ r❡❝✉rr✐r ❛ ♦tr♦s ♠ét♦❞♦s ♣❛r❛ ❤❛❧❧❛r s✉ s♦❧✉❝✐ó♥✳

▲❛ ❝♦♥❞✐❝✐ó♥ ✐♥✐❝✐❛❧ s✐❡♠♣r❡ ❡s ♣❛rt❡ ❞❡ ❧❛ ❞❡✜♥✐❝✐ó♥ ❞❡❧ ♣r♦❜❧❡♠❛✱ ❞❡❜✐❞♦ ❛ q✉❡❧❛ s♦❧✉❝✐ó♥ ❞❡ ✉♥ P❱■ só❧♦ s❡ ♣✉❡❞❡ ❞❡t❡r♠✐♥❛r ❞❡ ♠❛♥❡r❛ ú♥✐❝❛ s✐ ❞✐❝❤❛ ❝♦♥❞✐❝✐ó♥✐♥✐❝✐❛❧ ❡stá ❞❛❞❛✳

▲❛ s♦❧✉❝✐ó♥ ♥✉♠ér✐❝❛ s❡ ✐♠♣♦♥❡ ❝✉❛♥❞♦ ♥♦ s❡ ♣✉❡❞❛ ♦ ❡s ♠✉② ❞✐❢í❝✐❧ ✐♥t❡❣r❛r❢✭①✱②✮ ❛♥❛❧ít✐❝❛♠❡♥t❡✳ ❊st♦ ✐♠♣❧✐❝❛ ❡♥❝♦♥tr❛r ✉♥❛ t❛❜❧❛ ❞❡ ✈❛❧♦r❡s ❢✉♥❝✐♦♥❛❧❡s✱❞❡♥♦♠✐♥❛❞♦s yn q✉❡ ❛♣r♦①✐♠❛ ❧❛ s♦❧✉❝✐ó♥ ❡①❛❝t❛ y(xn)✳ ❊s ❞❡❝✐r✱ ✉♥❛ s♦❧✉❝✐ó♥❞✐s❝r❡t❛ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐❡♥t❡ ❛ xn✳

▲♦ ❞❡♥♦t❛♠♦s ❛sí✿

yn ≈ y(xn) ❧❛ s♦❧✉❝✐ó♥ ❡①❛❝t❛ ❡♥ xn ❡s ❛♣r♦①✐♠❛❞❛ ♣♦r yn

◆✐♥❣ú♥ ♠ét♦❞♦ ♥✉♠ér✐❝♦ ❝♦♥❞✉❝❡ ❛ ✉♥❛ ❡①♣r❡s✐ó♥ ❢✉♥❝✐♦♥❛❧ ❞❡❧ t✐♣♦ ② ❂ ❣✭①✮✱❡s ❞❡❝✐r✱ ❛ ✉♥❛ s♦❧✉❝✐ó♥ ❛♥❛❧ít✐❝❛ ❡♥ ❬❛✱❜❪✳

❊❥❡♠♣❧♦s ❞❡ ❊❉❖✲P❱■s ❞❡ ✶❡r✳ ♦r❞❡♥✿

®

y′(x) = 3 · x+ 5y(0) = 1

®

y′(x) = x · y + 1y(0) = 0

{

y′(x) = 11+y2

y(0) = 1

✸✳✶✳✷✳ ▼ét♦❞♦ ❞❡ ❧❛ s❡r✐❡ ❞❡ ❚❛②❧♦r

◆♦ s❡ tr❛t❛ ❞❡ ✉♥ ♠ét♦❞♦ ❡str✐❝t❛♠❡♥t❡ ♥✉♠ér✐❝♦✱ s✐♥ ❡♠❜❛r❣♦✱ ✉t✐❧✐③❛❞♦ ❥✉♥t♦❝♦♥ ❡sq✉❡♠❛s ♥✉♠ér✐❝♦s ❡s ❞❡ ❛♣❧✐❝❛❜✐❧✐❞❛❞ ❣❡♥❡r❛❧ ② s✐r✈❡ ❝♦♠♦ ✐♥tr♦❞✉❝❝✐ó♥ ❛♦tr❛s té❝♥✐❝❛s q✉❡ ❡st✉❞✐❛r❡♠♦s ♠ás ❛❞❡❧❛♥t❡✳ ❱❡❛♠♦s ❝♦♠♦ r❡s♦❧✈❡r ❡❧ s✐❣✉✐❡♥t❡♣r♦❜❧❡♠❛ ❞❡ ✈❛❧♦r❡s ✐♥✐❝✐❛❧❡s✿

dy

dx= y′ = f(x, y) = x+ y ✱ y(0) = 1

❝✉②❛ s♦❧✉❝✐ó♥ ❡①❛❝t❛ ❡s✿ y(x) = 2 · ex − x− 1

❆♥á❧✐s✐s ◆✉♠ér✐❝♦ ♣❛r❛ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❋❛❝✉❧t❛❞ ❞❡ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❯✳◆✳▼✳❞✳P✳ ✹✽

❈❛♣ít✉❧♦ ✸✳ ❙♦❧✉❝✐ó♥ ◆✉♠ér✐❝❛ ❞❡ ❊❝✉❛❝✐♦♥❡s ❉✐❢❡r❡♥❝✐❛❧❡s ❖r❞✐♥❛r✐❛s

❙✐ ❞❡s❛rr♦❧❧❛♠♦s ❧❛ s♦❧✉❝✐ó♥ ②✭①✮ ❡♥ s❡r✐❡ ❞❡ ❚❛②❧♦r ❛❧r❡❞❡❞♦r ❞❡ x = x0 ✿

y(x) = y(x0) + y(1)(x0) · (x− x0) +y(2)(x0)

2· (x− x0)

2 + y(3)(x0)3!

· (x− x0)3 + · · ·

❙✐ ❞❡✜♥✐♠♦s h = (x− x0) ❡♥t♦♥❝❡s x = x0 + h✱ ♣♦r ❧♦ q✉❡ q✉❡❞❛✿

y(x0 + h) = y(x0) + y(1)(x0) · h+ y(2)(x0)2

· h2 + y(3)(x0)3!

· h3 + · · ·

❨ ❝♦♠♦ y(x0) = y(0) ❡s ♥✉❡str❛ ❝♦♥❞✐❝✐ó♥ ✐♥✐❝✐❛❧✱ ②❛ ❝♦♥♦❝❡♠♦s ❡❧ ♣r✐♠❡rtér♠✐♥♦ y(0) = 1✳

▲✉❡❣♦ ♣❛r❛ ❡❧ s❡❣✉♥❞♦ tér♠✐♥♦ s✉st✐t✉✐♠♦s x = 0✱ y = 1 ❡♥ ❧❛ ❡❝✉❛❝✐ó♥ ❞✐❢❡✲r❡♥❝✐❛❧ y(1) = f(x, y) = x+ y✱ ❝♦♥ ❧♦ q✉❡ ♦❜t❡♥❡♠♦s✿

y(1)(x0) = y(1)(0) = f(0, 1) = 0 + 1 = 1

P❛r❛ ❧♦s ❞❡♠ás tér♠✐♥♦s s❡ ❞❡r✐✈❛ ❧❛ ❡❝✉❛❝✐ó♥ y(1) = f(x, y) t❛♥t❛s ✈❡❝❡s ❝♦♠♦s❡❛ ♥❡❝❡s❛r✐♦ ② s❡ ❡✈❛❧ú❛ ❡♥ x = 0✿

y(1) = 0 + 1y(2) = 1 + y(1)

y(3) = y(2)

· · ·y(n) = y(n−1)

P♦r ❧♦ q✉❡ ✜♥❛❧♠❡♥t❡ ♦❜t❡♥❡♠♦s✿

y(h) = 1 + h+ h2 + h3

3+ h4

12+ ERROR

❈♦♠♦ ❧❛ s❡r✐❡ ❞❡ ❚❛②❧♦r ❡s ❝♦♥✈❡r❣❡♥t❡✱ ❡❧ ❡rr♦r ❞❡ tr✉♥❝❛♠✐❡♥t♦ ❡s ❢á❝✐❧ ❞❡❡①♣r❡s❛r✳ P❛r❛ ❡❧❧♦ t♦♠❛♠♦s ❡❧ ♣r✐♠❡r tér♠✐♥♦ ❞❡s♣r❡❝✐❛❞♦ ② ❡✈❛❧✉❛♠♦s ❧❛ ❞❡r✐✈❛❞❛❡♥✿

x = ξ ❀ 0 < ξ < h

❡♥ ❧✉❣❛r ❞❡ x = x0

ERROR = y(5)(ξ)5!

· h5 0 < ξ < h

◆♦t❡ q✉❡ ❡❧ ❡rr♦r s❡rá ♣❡q✉❡ñ♦ s✐ ❤ ❡s ♣❡q✉❡ñ♦✳ ❙✐♥ ❡♠❜❛r❣♦✱ ♥♦ ❡s ♣♦s✐❜❧❡❝❛❧❝✉❧❛r y(5)(ξ) ♣♦rq✉❡ ξ ❡s ❞❡s❝♦♥♦❝✐❞❛ ② ♥♦ ♣♦❞❡♠♦s ❛❝♦t❛r❧❛ ❡♥ ❡❧ ✐♥t❡r✈❛❧♦ ❬✵✱❤❪②❛ q✉❡ só❧♦ ❝♦♥♦❝❡♠♦s ❧❛ ❞❡r✐✈❛❞❛ ❡♥ x = x0✳

❯♥ ❝r✐t❡r✐♦ ♣❛r❛ s❛❜❡r ❡♥ q✉é tér♠✐♥♦ tr✉♥❝❛r ❧❛ s❡r✐❡ ❞❡ ❚❛②❧♦r ♣♦❞rí❛ s❡r❝✉❛♥❞♦ ❧♦s tér♠✐♥♦s ♥♦ ❝♦♥tr✐❜✉②❡♥ s✐❣♥✐✜❝❛t✐✈❛♠❡♥t❡ ❛❧ ✈❛❧♦r ✜♥❛❧ ♣♦rq✉❡ ②❛ ♥♦t✐❡♥❡♥ ❝✐❢r❛s s✐❣♥✐✜❝❛t✐✈❛s ❝♦♥ r❡s♣❡❝t♦ ❛ ❧❛ ♣r❡❝✐s✐ó♥ ❞❡s❡❛❞❛✳

❆♥á❧✐s✐s ◆✉♠ér✐❝♦ ♣❛r❛ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❋❛❝✉❧t❛❞ ❞❡ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❯✳◆✳▼✳❞✳P✳ ✹✾

❈❛♣ít✉❧♦ ✸✳ ❙♦❧✉❝✐ó♥ ◆✉♠ér✐❝❛ ❞❡ ❊❝✉❛❝✐♦♥❡s ❉✐❢❡r❡♥❝✐❛❧❡s ❖r❞✐♥❛r✐❛s

✸✳✷✳ ❘❡s♦❧✉❝✐ó♥ ♥✉♠ér✐❝❛ ❞❡ ❊❉❖✲P❱■ ❞❡ ♣r✐♠❡r♦r❞❡♥

▲♦s ♠ét♦❞♦s ♣❛r❛ r❡s♦❧✈❡r ❊❉❖✲P❱■s s❡ s✉❡❧❡♥ ❝❧❛s✐✜❝❛r ❝♦♠♦ ✉♥✐✲♣❛s♦ ② ♠✉❧✲t✐♣❛s♦✳ ▲♦s ♣r✐♠❡r♦s ♣❡r♠✐t❡♥ ❝❛❧❝✉❧❛r ❡❧ s✐❣✉✐❡♥t❡ ✈❛❧♦r ❛ ♣❛rt✐r ❞❡ ❧❛ ✐♥❢♦r♠❛❝✐ó♥❝♦♥t❡♥✐❞❛ ú♥✐❝❛♠❡♥t❡ ❡♥ ❡❧ ✈❛❧♦r ♣r❡✈✐♦✱ ❡♥ ❝❛♠❜✐♦✱ ♣❛r❛ ❝❛❧❝✉❧❛r ❡❧ ♣ró①✐♠♦ ✈❛✲❧♦r ❝♦♥ ❧♦s ♠ét♦❞♦s ♠✉❧t✐♣❛s♦✱ t❛♠❜✐é♥ ❞❡♥♦♠✐♥❛❞♦s ♣r❡❞✐❝t♦r❡s✲❝♦rr❡❝t♦r❡s s❡♥❡❝❡s✐t❛ ❧❛ ✐♥❢♦r♠❛❝✐ó♥ ❞❡ ✈❛r✐♦s ♣❛s♦s ♣r❡❝❡❞❡♥t❡s✳

▲♦s ♠ét♦❞♦s ❞❡ ♣❛s♦ ú♥✐❝♦ ② ❛✉t♦✐♥✐❝✐❛♥t❡s ♣♦s❡❡♥ ❢ór♠✉❧❛s ❝♦♠♦ ❧❛ s✐❣✉✐❡♥t❡✱❞♦♥❞❡ t♦❞❛s ❧❛s f(xi, yi) s❡ ❡✈❛❧ú❛♥ ❞❡s♣✉és ❞❡ ♦❜t❡♥❡r yn✳

yn+1 = yn + h ·∑Ci · f(xi, yi)

❙❡ tr❛t❛ ❞❡ ✉♥ ♠ét♦❞♦ ✉♥✐♣❛s♦ ♣♦rq✉❡ ♣❛r❛ ❝❛❧❝✉❧❛r yn+1 s♦❧♦ ✉s❛ yn ② ❡s❛✉t♦✐♥✐❝✐❛♥t❡ ♣♦rq✉❡ ❡❧ ú♥✐❝♦ ✈❛❧♦r q✉❡ ♥❡❝❡s✐t❛ ✐♥✐❝✐❛❧♠❡♥t❡ ❡s y0 = y(x0)✳

✸✳✷✳✶✳ ▼ét♦❞♦ ❞❡ ❊✉❧❡r ❙✐♠♣❧❡

❆ ♣❛rt✐r ❞❡❧ ❞❡s❛rr♦❧❧♦ ❡♥ s❡r✐❡ ❞❡ ❚❛②❧♦r✱ tr✉♥❝❛♠♦s ❧❛ s❡r✐❡ ❡♥ ❧❛ ❞❡r✐✈❛❞❛♣r✐♠❡r❛✱ ♣♦r ❧♦ q✉❡ ❡❧ ❡rr♦r ❞❡ tr✉♥❝❛♠✐❡♥t♦ ❡s ❞❡❧ ♦r❞❡♥ ❞❡ h2✳

y(x0 + h) = y(x0) + h · y′(x0) + h2 · y′′(ξ)2

♦ s❡❛ O(h2)✳

y(x0 + h) = y(x0) + h · y′(x0) +O(h2)

▲❛ s❡r✐❡ tr✉♥❝❛❞❛ s❡r✈✐rá ♣❛r❛ ❛♣r♦①✐♠❛r ❧❛ s♦❧✉❝✐ó♥ ②✭①✮✳ P❡r♦✱ ❞❛❞♦ q✉❡ s♦❧♦✉s❛r❡♠♦s ❞♦s tér♠✐♥♦s ❞❡ ❧❛ s❡r✐❡✱ t♦♠❛r❡♠♦s ❡❧ r❡❝❛✉❞♦ ❞❡ ❡❧❡❣✐r ✉♥ ✈❛❧♦r ❞❡ ❤s✉✜❝✐❡♥t❡♠❡♥t❡ ♣❡q✉❡ñ♦ ♣❛r❛ ♦❜t❡♥❡r r❡s✉❧t❛❞♦s ❛❝❡♣t❛❜❧❡s✳

❊❧ ❛❧❣♦r✐t♠♦ ❞❡ ❝á❧❝✉❧♦ ♣r♦♣♦♥❡✿

P❛r❛ ❡✈❛❧✉❛r y(x0) ✉t✐❧✐③❛♠♦s ❧❛ ❝♦♥❞✐❝✐ó♥ ✐♥✐❝✐❛❧✳

P❛r❛ ❡✈❛❧✉❛r y′(x0) ✉t✐❧✐③❛♠♦s f(x0, y0)✳

P❛r❛ ✈❛❧♦r❡s ♣♦st❡r✐♦r❡s ❡s ♥❡❝❡s❛r✐♦ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛r ❡st❡ ♠ét♦❞♦ ❡♥ ❢♦r♠❛ ✐t❡✲r❛t✐✈❛ ❛ ✜♥ ❞❡ ❝❛❧❝✉❧❛r ❧❛s s✐❣✉✐❡♥t❡s ❛♣r♦①✐♠❛❝✐♦♥❡s ❛ ❧❛ s♦❧✉❝✐ó♥✳

❊st♦s ✈❛❧♦r❡s s❡ ❡st✐♠❛♥ ♣♦r ♠❡❞✐♦ ❞❡ ❧❛ s✐❣✉✐❡♥t❡ ❢ór♠✉❧❛✿

❆♥á❧✐s✐s ◆✉♠ér✐❝♦ ♣❛r❛ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❋❛❝✉❧t❛❞ ❞❡ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❯✳◆✳▼✳❞✳P✳ ✺✵

❈❛♣ít✉❧♦ ✸✳ ❙♦❧✉❝✐ó♥ ◆✉♠ér✐❝❛ ❞❡ ❊❝✉❛❝✐♦♥❡s ❉✐❢❡r❡♥❝✐❛❧❡s ❖r❞✐♥❛r✐❛s

yn+1 = yn + h · y′n +O(h2)

❊st❡ ♠ét♦❞♦✱ ❝♦♥♦❝✐❞♦ ❝♦♠♦ ♠ét♦❞♦ ❞❡ ❊✉❧❡r ❙✐♠♣❧❡✱ ❝♦♥s✐❞❡r❛ ❛❧ ✈❛❧♦r yn✭❛♣r♦①✐♠❛❞♦✮ ❝♦♠♦ ✉♥❛ ❛♣r♦①✐♠❛❝✐ó♥ ❛ y(xn) ✭❡①❛❝t♦✮

❋✐❣✉r❛ ✸✳✶✿ ▼ét♦❞♦ ❞❡ ❊✉❧❡r ❙✐♠♣❧❡✳

❈♦♠♦ ♣✉❡❞❡ ♦❜s❡r✈❛rs❡ ❡♥ ❧❛ ✜❣✉r❛ ✸✳✶ ❡♥ ❡❧ ♠ét♦❞♦ ❞❡ ❊✉❧❡r ❙✐♠♣❧❡ s❡ ✉t✐❧✐③❛❧❛ ♣❡♥❞✐❡♥t❡ q✉❡ ♣❛s❛ ♣♦r ❡❧ ❡①tr❡♠♦ ✐③q✉✐❡r❞♦ ❞❡❧ ✐♥t❡r✈❛❧♦✿ y′n = f(xn, yn) ♣❛r❛❞❡t❡r♠✐♥❛r ❡❧ ✐♥❝r❡♠❡♥t♦ ❞❡ ❧❛ ❢✉♥❝✐ó♥✳ ❊❧ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ♣r♦❜❧❡♠❛ ❞❡ ❡st❡ ♠ét♦❞♦ ❡s s✉❢❛❧t❛ ❞❡ ❡①❛❝t✐t✉❞✱ ②❛ q✉❡ ♣❛r❛ ❧♦❣r❛r ✉♥❛ ❡①❛❝t✐t✉❞ ❛❞❡❝✉❛❞❛ s❡ ♥❡❝❡s✐t❛ ✉t✐❧✐③❛r✉♥ ♣❛s♦ ♠✉② ♣❡q✉❡ñ♦ ✳

❋✐❣✉r❛ ✸✳✷✿ ❙♦❧✉❝✐ó♥ ◆✉♠ér✐❝❛✳ ✭❱❛❧♦r❡s ❞✐s❝r❡t♦s✮

❊♥ ❧❛ ✜❣✉r❛ ✜❣✉r❛ ✸✳✷ s❡ ♦❜s❡r✈❛ ❝♦♠♦ ❧❛ s♦❧✉❝✐ó♥ ❞✐s❝r❡t❛ ♦❜t❡♥✐❞❛ ♣♦r ♠❡❞✐♦

❆♥á❧✐s✐s ◆✉♠ér✐❝♦ ♣❛r❛ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❋❛❝✉❧t❛❞ ❞❡ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❯✳◆✳▼✳❞✳P✳ ✺✶

❈❛♣ít✉❧♦ ✸✳ ❙♦❧✉❝✐ó♥ ◆✉♠ér✐❝❛ ❞❡ ❊❝✉❛❝✐♦♥❡s ❉✐❢❡r❡♥❝✐❛❧❡s ❖r❞✐♥❛r✐❛s

❞❡ ♠ét♦❞♦s ♥✉♠ér✐❝♦s ♣r❡s❡♥t❛ ✈❛❧♦r❡s ✭xi ✱ yi ✮ ✐♥✐❝✐❛❧♠❡♥t❡ ❝❡r❝❛♥♦s ❛ ❧❛ s♦❧✉❝✐ó♥❛♥❛❧ít✐❝❛ y(x)✱ q✉❡ ❧✉❡❣♦ s❡ ✈❛♥ ❛❧❡❥❛♥❞♦ ♣♦r ❡❢❡❝t♦ ❞❡❧ ❡rr♦r ❛❝✉♠✉❧❛❞♦✳

❊❧ ú♥✐❝♦ ♣✉♥t♦ ❞❡ ❧❛ s♦❧✉❝✐ó♥ q✉❡ s❡ ❝♦♥s✐❞❡r❛ ❡①❛❝t♦ ❡s (x0, y0)✳ ▲♦s ❞❡♠ás✱❝❛❧❝✉❧❛❞♦s ♣♦r ✉♥ ♠ét♦❞♦ ♥✉♠ér✐❝♦✱ ♣r❡s❡♥t❛♥ ❡rr♦r❡s ❞❡ ❞✐st✐♥t❛ ♠❛❣♥✐t✉❞✳ ▲❛❞✐st❛♥❝✐❛ h = xn+1 − xn ❡♥tr❡ ❧❛s ❛❜s❝✐s❛s ❞♦♥❞❡ s❡ ❞❡s❡❛ ❛♣r♦①✐♠❛r ❧❛ s♦❧✉❝✐ó♥❡s ❡❧❡❣✐❞❛ ♣♦r ❡❧ ✉s✉❛r✐♦ ❞❡❧ ♠ét♦❞♦✳ ❙✐ ❡❧ ✈❛❧♦r ❤ s❡ ♠❛♥t✐❡♥❡ ❝♦♥st❛♥t❡ ❡♥ t♦❞♦❡❧ ✐♥t❡r✈❛❧♦ ❞❡❝✐♠♦s q✉❡ tr❛❜❛❥❛♠♦s ❝♦♥ ♣✉♥t♦s ❡q✉✐❡s♣❛❝✐❛❞♦s✳

✸✳✷✳✷✳ ❊rr♦r❡s ▲♦❝❛❧❡s ② ●❧♦❜❛❧❡s

❱❡❛♠♦s ❡❧ ❝♦♠♣♦rt❛♠✐❡♥t♦ ❞❡❧ ♠ét♦❞♦ ❞❡ ❊✉❧❡r✱ ❣rá✜❝❛♠❡♥t❡✿

❋✐❣✉r❛ ✸✳✸✿ ❊rr♦r❡s ▲♦❝❛❧❡s ② ●❧♦❜❛❧❡s✳

P❡♥s❛♥❞♦ ❛❧ ❡rr♦r ❝♦♠♦ ❧❛ ❞✐❢❡r❡♥❝✐❛ ❡♥tr❡ ❡❧ ✈❛❧♦r ❡①❛❝t♦ ❞❡ ❧❛ s♦❧✉❝✐ó♥ y(xn+1)② ❡❧ ✈❛❧♦r ❛♣r♦①✐♠❛❞♦ ♣♦r ❡❧ ♠ét♦❞♦ ♥✉♠ér✐❝♦✱ yn+1✱ ❡♥❝♦♥tr❛♠♦s ❧❛s s✐❣✉✐❡♥t❡s❞♦s ❞❡✜♥✐❝✐♦♥❡s✿

✶✮ ❊rr♦r ❧♦❝❛❧ ✭♦ ❡rr♦r ♣♦r ♣❛s♦ ❤✮✿ en+1(h) = y(xn+1)− yn+1

❊st❡ ❡rr♦r✱ ✐❧✉str❛❞♦ ❡♥ ❧❛ ✜❣✉r❛ ✸✳✸ ✭✐③q✉✐❡r❞❛✮✱ ♠✉❡str❛ q✉❡ ❡❧ ❝á❧❝✉❧♦ ❞❡ yn+1

❢✉❡ ❤❡❝❤♦ ❝♦♥s✐❞❡r❛♥❞♦ y′n = f(xn, yn)✳ ❊st♦ s✐❣♥✐✜❝❛ q✉❡ yn ❢✉❡ ✉♥ ✈❛❧♦r ❡①❛❝t♦✳

✷✮ ❊rr♦r ❣❧♦❜❛❧ ✭♦ ❡rr♦r ❛❝✉♠✉❧❛❞♦✮✿ En+1(h) = y(xn+1)− yn+1

❊♥ ❡st❡ ❝❛s♦✱ ❝♦♠♦ s❡ ✈❡ ❡♥ ❧❛ ✜❣✉r❛ ✸✳✸ ✭❞❡r❡❝❤❛✮✱ ❝♦♥s✐❞❡r❛ ❡❧ ❝❛s♦ y′n =f(xn, yn)✳ ▲❛ ❛♣r♦①✐♠❛❝✐ó♥ ♣r♦✈✐❡♥❡ ❞❡ t♦♠❛r ❛ yn ❝♦♠♦ ✉♥ ✈❛❧♦r ❛♣r♦①✐♠❛❞♦ ♣♦r❡❧ ♠ét♦❞♦ ♥✉♠ér✐❝♦✱ ② ♣♦r ❧♦ t❛♥t♦✱ ❝♦♥ ❝✐❡rt♦ ❡rr♦r✳

❈♦♠♦ s❛❜❡♠♦s q✉❡ ❧❛ ❝♦♥❞✐❝✐ó♥ ✐♥✐❝✐❛❧ y0 = y(x0)✱ t❡♥❡♠♦s q✉❡ E1(h) = e1(h)✳P❛r❛ ✈❛❧♦r❡s ❞❡ n > 1✱ En+1(h) t✐❡♥❡ ✉♥ ❡rr♦r ❛❞✐❝✐♦♥❛❧ ♣♦rq✉❡ yn ❡s só❧♦ ✉♥❛❛♣r♦①✐♠❛❝✐ó♥ ❛ y(xn)✳

❆♥á❧✐s✐s ◆✉♠ér✐❝♦ ♣❛r❛ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❋❛❝✉❧t❛❞ ❞❡ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❯✳◆✳▼✳❞✳P✳ ✺✷

❈❛♣ít✉❧♦ ✸✳ ❙♦❧✉❝✐ó♥ ◆✉♠ér✐❝❛ ❞❡ ❊❝✉❛❝✐♦♥❡s ❉✐❢❡r❡♥❝✐❛❧❡s ❖r❞✐♥❛r✐❛s

✸✳✷✳✸✳ ❖r❞❡♥ ❞❡ ✉♥ ▼ét♦❞♦ ◆✉♠ér✐❝♦

▲❛ ❢ór♠✉❧❛ ❞❡ ❊✉❧❡r ♣r♦✈✐❡♥❡ ❞❡❧ tr✉♥❝❛♠✐❡♥t♦ ❞❡ ❧❛ s❡r✐❡ ❞❡ ❚❛②❧♦r ❡♥ ✉♥♣♦❧✐♥♦♠✐♦ ❞❡ ♣r✐♠❡r ❣r❛❞♦ ② ❡❧ ❡rr♦r ❞❡ tr✉♥❝❛♠✐❡♥t♦ ♣♦r ♣❛s♦ ❡s ❡❧ r❡s✐❞✉♦ ❞❡❧♣♦❧✐♥♦♠✐♦✳

y(xn + h)︸︷︷︸

= y(xn) + h · y(1)(xn)︸︷︷︸

+h2 · y(2)(ξn)

2︸︷︷︸

y(xn+1) yn+1 en+1(h)

❈✉❛♥❞♦ y(2) ❡s ❝♦♥t✐♥✉❛ ❡♥ xn ✱ ❡❧ ❡rr♦r ❞❡ tr✉♥❝❛♠✐❡♥t♦ ♣♦r ♣❛s♦ ❞❡❧ ♠ét♦❞♦❞❡ ❊✉❧❡r ❡s ❞❡❧ O(h2) ✭❡s ❞❡❝✐r✱ ❞❡ ♦r❞❡♥ ✷✮ ♣♦rq✉❡ en+1(h) = C · h2 · y(2)(ξn)✳❙✐♥ ❡♠❜❛r❣♦ ❡❧ ❡rr♦r ❞❡ tr✉♥❝❛♠✐❡♥t♦ ❛❝✉♠✉❧❛❞♦ ❡s ❞❡❧ O(h)✱ ♦ s❡❛ ✉♥ ♦r❞❡♥♠❡♥♦r✳ ▲❛ ❞❡♠♦str❛❝✐ó♥ ❞❡ ❡st❡ r❡s✉❧t❛❞♦ ❣❡♥❡r❛❧ s❡ ❡♥❝✉❡♥tr❛ ❡♥ ❡❧ ❧✐❜r♦ ✏❆♥á❧✐s✐s◆✉♠ér✐❝♦✑ ❞❡ ▼❛r♦♥ ▼✳ ② ▲♦♣❡③ ❘✳ ✭♣á❣s✳ ✹✹✽ ✲ ✹✹✾✮✳

❙✐ ✉♥ ♠ét♦❞♦ t✐❡♥❡ ✉♥ ❡rr♦r ❞❡ tr✉♥❝❛♠✐❡♥t♦ ♣♦r ♣❛s♦ ❞❡ ❧❛ ❢♦r♠❛ en+1(h) = C ·h(n+1) ·y(n+1)(ξi) ❡♥t♦♥❝❡s s✉ ❡rr♦r ❞❡ tr✉♥❝❛♠✐❡♥t♦ ❛❝✉♠✉❧❛❞♦ En(h) = y(xn)−yns❛t✐s❢❛❝❡ En(h) = C · hn · y(n+1)(ξi)✳

✸✳✸✳ ▼ét♦❞♦s ❞❡ ❘✉♥❣❡ ❑✉tt❛ ❞❡ ✷❞♦✳ ❖r❞❡♥

❯♥ ❛✈❛♥❝❡ ❡♥ ❧❛ ❡✜❝✐❡♥❝✐❛ ✭♦❜t❡♥❡r ♠❛②♦r ❡①❛❝t✐t✉❞ ♣♦r ✉♥✐❞❛❞ ❞❡ ❡s❢✉❡r③♦❝♦♠♣✉t❛❝✐♦♥❛❧✮ s❡ ♦❜t✐❡♥❡ ❛❧ ✉t✐❧✐③❛r ✉♥ ❣r✉♣♦ ❞❡ ♠ét♦❞♦s ❞❡s❛rr♦❧❧❛❞♦s ♣♦r ❧♦s♠❛t❡♠át✐❝♦s ❛❧❡♠❛♥❡s ❘❯◆●❊ ② ❑❯❚❚❆✳

❙✐ ❜✐❡♥ ❡❧ ♠ét♦❞♦ ❞❡ ❝✉❛rt♦ ♦r❞❡♥ ❡s ✉♥♦ ❞❡ ❧♦s ♠ét♦❞♦s ♠ás ✉t✐❧✐③❛❞♦s ♣❛r❛♦❜t❡♥❡r s♦❧✉❝✐♦♥❡s ♥✉♠ér✐❝❛s ❞❡ ❡❝✉❛❝✐♦♥❡s ❞✐❢❡r❡♥❝✐❛❧❡s✱ ❧❛ ❞❡❞✉❝❝✐ó♥ t❡ór✐❝❛ ❞❡❧♠✐s♠♦ ❡s ❛❧❣❡❜r❛✐❝❛♠❡♥t❡ ❜❛st❛♥t❡ ❝♦♠♣❧✐❝❛❞♦✳ P♦r ❧♦ t❛♥t♦✱ ♣r❡s❡♥t❛r❡♠♦s ❧❛❞❡❞✉❝❝✐ó♥ ❞❡❧ ♠ét♦❞♦ ❞❡ ❘✉♥❣❡✲❑✉tt❛ ❞❡ s❡❣✉♥❞♦ ♦r❞❡♥ ❝♦♠♦ ♠✉❡str❛ ❞❡ s✉❞❡s❛rr♦❧❧♦✿

❉❛❞❛ ✉♥❛ ❡❝✉❛❝✐ó♥ ❞✐❢❡r❡♥❝✐❛❧ ♦r❞✐♥❛r✐❛ ❞❡ ✶❡r✳ ♦r❞❡♥✿

dx

dx= y′ = f(x, y) ✭✸✳✶✮

yn+1 = yn + a · k1 + a · k1

k1 = h · f(xn, yn)k2 = h · f(xn + α · h, yn + β · k1)

✭✸✳✷✮

▲♦s ✈❛❧♦r❡s k1 ② k2 ♣✉❡❞❡♥ ❝♦♥s✐❞❡r❛rs❡ ❝♦♠♦ ❡st✐♠❛❝✐♦♥❡s ✭❛♣r♦①✐♠❛❝✐♦♥❡s✮ ❛❧❛s ❞❡r✐✈❛❞❛s ❞❡❧ ❞❡s❛rr♦❧❧♦ ❞❡ ❚❛②❧♦r ❝✉❛♥❞♦ ① ❛✈❛♥③❛ ✉♥❛ ❞✐st❛♥❝✐❛ ❤✳

❆♥á❧✐s✐s ◆✉♠ér✐❝♦ ♣❛r❛ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❋❛❝✉❧t❛❞ ❞❡ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❯✳◆✳▼✳❞✳P✳ ✺✸

❈❛♣ít✉❧♦ ✸✳ ❙♦❧✉❝✐ó♥ ◆✉♠ér✐❝❛ ❞❡ ❊❝✉❛❝✐♦♥❡s ❉✐❢❡r❡♥❝✐❛❧❡s ❖r❞✐♥❛r✐❛s

▲♦s ♠ét♦❞♦s ❞❡ ❘✉♥❣❡✲❑✉tt❛ s✐❡♠♣r❡ ✉s❛♥ ❝♦♠♦ ❛♣r♦①✐♠❛❝✐ó♥ ❛ k1 ❛ ❊✉❧❡rs✐♠♣❧❡❀ ❧❛s ♦tr❛s ❡st✐♠❛❝✐♦♥❡s s♦♥ t♦♠❛❞❛s ❝♦♥ ① ❛✈❛♥③❛♥❞♦ α ✈❡❝❡s ❤✱ ❡ ② ❛✈❛♥✲③❛♥❞♦ β ✈❡❝❡s k1✳

❊❧ ♣r♦❜❧❡♠❛ ❡s ✐❞❡❛r ✉♥ ❡sq✉❡♠❛ ♣❛r❛ ❡❧❡❣✐r ❧♦s ❝✉❛tr♦ ♣❛rá♠❡tr♦s ❛✱ ❜✱ α ②β✳ ▲♦ ❤❛r❡♠♦s ❤❛❝✐❡♥❞♦ ❛❧ ❡sq✉❡♠❛ ✸✳✷ ❧♦ ♠ás ♣❛r❡❝✐❞♦ ♣♦s✐❜❧❡ ❛ ❧❛ ❡①♣❛♥s✐ó♥ ❞❡❚❛②❧♦r✱ ❡♥ ❧❛ ❝✉❛❧ ❧❛s ❞❡r✐✈❛❞❛s ❞❡ ② s♦♥ t♦♠❛❞❛s ❡♥ tér♠✐♥♦s ❞❡ ❢ ✭ dy

dx= f(x, y)✮

yn+1 = yn + h · f(xn, yn) +h2

2· f ′(xn, yn) + · · · ✭✸✳✸✮

❝♦♥s✐❞❡r❛♥❞♦ q✉❡✿

f ′(x, y) = df

dy≈ fx + fy · dy

dx= fx + fy · f

P♦r ❧♦ t❛♥t♦✱ ❧❛ ❡①♣r❡s✐ó♥ ✸✳✸ ♣✉❡❞❡ r❡❡s❝r✐❜✐rs❡ ❞❡ ❧❛ s✐❣✉✐❡♥t❡ ♠❛♥❡r❛✿

yn+1 = yn + h · fn + h2 · (fx2

+fy2

· f) ✭✸✳✹✮

❆❤♦r❛ ❡s❝r✐❜✐♠♦s ✸✳✷ s✉st✐t✉②❡♥❞♦ ❧❛s ❞❡✜♥✐❝✐♦♥❡s ❞❡ k1 ② k2✿

yn+1 = yn + a · h · f(xn, yn) + b · h · f(xn + α · h, yn + β · h · f(xn, yn)) ✭✸✳✺✮

❊❧ ú❧t✐♠♦ tér♠✐♥♦ ❞❡ ❡❝✉❛❝✐ó♥ ✸✳✺✱ ♣❛r❛ q✉❡ s❡❛ ❝♦♠♣❛r❛❜❧❡ ❛ ❧❛ ✸✳✹✱ ❡①♣❛♥✲❞✐♠♦s ❢✭①✱②✮ ❡♥ s❡r✐❡ ❞❡ ❚❛②❧♦r ❡♥ tér♠✐♥♦s ❞❡ xn ❡ yn✱ r❡❝♦r❞❛♥❞♦ q✉❡ ❢ ❡s ✉♥❛❢✉♥❝✐ó♥ ❞❡ ❞♦s ✈❛r✐❛❜❧❡s✱ ❛✉♥q✉❡ r❡t❡♥❞r❡♠♦s s♦❧♦ ❧♦s tér♠✐♥♦s ❞❡ ❧❛ ♣r✐♠❡r❛ ❞❡✲r✐✈❛❞❛✿

f(xn + α · h, yn + β · h · f(xn, yn)) ≈ (f + α · h · fx + β · h · fy · f)n ✭✸✳✻✮

❊❧ ♠✐❡♠❜r♦ ❞❡r❡❝❤♦ ❢ ❞❡ ❧❛s ❡❝✉❛❝✐♦♥❡s ✸✳✹ ② ✸✳✻ ② s✉s ❞❡r✐✈❛❞❛s ♣❛r❝✐❛❧❡s ❡stá♥❡✈❛❧✉❛❞♦s ❡♥ xn ❡ yn✳ P♦r ❧♦ t❛♥t♦✱ s✐ s❡ s✉st✐t✉②❡ ✸✳✻ ❡♥ ✸✳✺ s❡ ♦❜t✐❡♥❡✿

yn+1 = yn + a · h · fn + b · h · (f + α · h · fx + β · h · fy · f)n ✭✸✳✼✮

❨ r❡♦r❞❡♥❛♥❞♦ ❧❛ ❡①♣r❡s✐ó♥ ✸✳✼ q✉❡❞❛✿

yn+1 = yn + (a+ b) · h · fn + h2 · (α · b · fx + β · b · fy · f)n ✭✸✳✽✮

P❛r❛ q✉❡ ❧❛ ❡①♣r❡s✐ó♥ ✸✳✼ s❡❛ ✐❣✉❛❧ ❛ ❧❛ ❡①♣r❡s✐ó♥ ✸✳✹ ❞❡❜❡ ❝✉♠♣❧✐rs❡ q✉❡✿

α + β = 1α · b = 1

2

β · b = 12

✭✸✳✾✮

❈♦♠♦ só❧♦ t❡♥❡♠♦s tr❡s ❡❝✉❛❝✐♦♥❡s ② ❝✉❛tr♦ ✐♥❝ó❣♥✐t❛s✱ ♣♦❞❡♠♦s ❡❧❡❣✐r ✉♥ ✈❛❧♦r❛r❜✐tr❛r✐♦ ② ❣❡♥❡r❛r ❡❧ r❡st♦✱ ♣♦r ❧♦ q✉❡ t❡♥❞r❡♠♦s ✉♥ ❝♦♥❥✉♥t♦ ❞❡ ♠ét♦❞♦s ❞❡s❡❣✉♥❞♦ ♦r❞❡♥✳

❆♥á❧✐s✐s ◆✉♠ér✐❝♦ ♣❛r❛ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❋❛❝✉❧t❛❞ ❞❡ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❯✳◆✳▼✳❞✳P✳ ✺✹

❈❛♣ít✉❧♦ ✸✳ ❙♦❧✉❝✐ó♥ ◆✉♠ér✐❝❛ ❞❡ ❊❝✉❛❝✐♦♥❡s ❉✐❢❡r❡♥❝✐❛❧❡s ❖r❞✐♥❛r✐❛s

✸✳✸✳✶✳ ▼ét♦❞♦ ❞❡ ❊✉❧❡r ▼♦❞✐✜❝❛❞♦

P♦r ❡❥❡♠♣❧♦✱ s✐ t♦♠❛♠♦s a = 12✱ b = 1

2✱ α = β = 1 ♦❜t❡♥❞r❡♠♦s ❧❛ ❢ór♠✉❧❛ ❞❡❧

♠ét♦❞♦ ❞❡ ❍❡✉♥ ó ❊✉❧❡r ▼♦❞✐✜❝❛❞♦✿❊s❡♥❝✐❛❧♠❡♥t❡✱ ❡❧ ♠ét♦❞♦ ❞❡ ❊✉❧❡r ❡stá ❛♣❧✐❝❛❞♦ ❞♦s ✈❡❝❡s ❡♥ s❡❝✉❡♥❝✐❛✳

yn+1 = yn + h · f(xn, yn)yn+1 = yn +

h2· [f(xn, yn) + f(xn + h, yn+1)]

✭✸✳✶✵✮

✸✳✸✳✷✳ ▼ét♦❞♦ ❞❡ ❊✉❧❡r ▼❡❥♦r❛❞♦

❊♥ ❝❛♠❜✐♦✱ s✐ t♦♠❛♠♦s a = 0✱ b = 1 ✱ α = β = 12♦❜t❡♥❞r❡♠♦s ❧❛ ❢ór♠✉❧❛ ❞❡❧

♠ét♦❞♦ ❞❡ ❊✉❧❡r ▼❡❥♦r❛❞♦✿❊s❡♥❝✐❛❧♠❡♥t❡✱ ❡❧ ♠ét♦❞♦ ❞❡ ❊✉❧❡r ❡stá ❛♣❧✐❝❛❞♦ ❞♦s ✈❡❝❡s ❡♥ s❡❝✉❡♥❝✐❛✳

yn+ 12= yn +

h2· f(xn, yn)

yn+1 = yn + h · f(xn +h2, yn+ 1

2)]

✭✸✳✶✶✮

✸✳✹✳ ▼ét♦❞♦s ❞❡ ❘✉♥❣❡ ❑✉tt❛ ❞❡ ♦r❞❡♥ s✉♣❡r✐♦r

❊♥ ❧❛s s❡❝❝✐♦♥❡s ♣r❡✈✐❛s ❤❡♠♦s ✈✐st♦ q✉❡ ❡s ♣♦s✐❜❧❡ ✐♥❝r❡♠❡♥t❛r ❧❛ ❡①❛❝t✐t✉❞ ❞❡❧❛ s♦❧✉❝✐ó♥ s✐ s❡ ❞✐s♠✐♥✉②❡ ❡❧ ♣❛s♦ ❞❡ ❛✈❛♥❝❡✱ ❛✉♥q✉❡ ❡st♦ ❝♦♥❧❧❡✈❛ ❛ ✉♥ ✐♥❡✈✐t❛❜❧❡❛✉♠❡♥t♦ ❞❡ ❧❛ ❝❛♥t✐❞❛❞ ❞❡ ♦♣❡r❛❝✐♦♥❡s✳ P❛r❛ s♦❧✉❝✐♦♥❛r ❡st❡ ✐♥❝♦♥✈❡♥✐❡♥t❡✱ ❧♦s♠❛t❡♠át✐❝♦s ❛❧❡♠❛♥❡s ❈❛r❧ ❉❛✈✐❞ ❚♦❧♠é ❘✉♥❣❡ ② ▼❛rt✐♥ ❲✐❧❤❡❧♠ ❑✉tt❛ ❞❡s❛✲rr♦❧❧❛r♦♥ ✉♥ ❝♦♥❥✉♥t♦ ❞❡ ♠ét♦❞♦s ♠ás ❡✜❝✐❡♥t❡s✱ ❡s ❞❡❝✐r✱ ♣❛r❛ ❧♦❣r❛r ✉♥❛ ♠❛②♦r❡①❛❝t✐t✉❞ ♣♦r ✉♥✐❞❛❞ ❞❡ ❡s❢✉❡r③♦ ❝♦♠♣✉t❛❝✐♦♥❛❧✳ ❆ ❡st❡ ❝♦♥❥✉♥t♦ ❞❡ ♠ét♦❞♦s ♥✉✲♠ér✐❝♦s s❡ ❧♦s s✉❡❧❡ ❞❡♥♦♠✐♥❛r ❝♦♠♦ ♠ét♦❞♦s ❞❡ ❘✉♥❣❡✲❑✉tt❛ ❞❡ ♦r❞❡♥ s✉♣❡r✐♦r✳

✸✳✹✳✶✳ ▼ét♦❞♦ ❞❡ ❘✉♥❣❡✲❑✉tt❛ ❞❡ ✹t♦✳ ❖r❞❡♥

❘✉♥❣❡ ❑✉tt❛ ❞❡ ❝✉❛rt♦ ♦r❞❡♥ ❡s ✉♥♦ ❞❡ ❧♦s ♠ét♦❞♦s ❞❡ r❡s♦❧✉❝✐ó♥ ❞❡ ❊❉❖✲P❱■ ♠ás ❛♠♣❧✐❛♠❡♥t❡ ✉t✐❧✐③❛❞♦✳ ❙✉s ❢ór♠✉❧❛s s❡ ❞❡❞✉❝❡♥ ❞❡ ♠❛♥❡r❛ s✐♠✐❧❛r ❛ ❧❛❞❡ ❧♦s ♠ét♦❞♦s ❞❡ ✷❞♦✳ ♦r❞❡♥✱ ❛✉♥q✉❡ ❡♥ ❡❧ ❝❛s♦ ❞❡❧ ❞❡ ✹t♦✳ ♦r❞❡♥ ❧❛ ❞❡❞✉❝❝✐ó♥ ❡s♠ás ❝♦♠♣❧❡❥❛ ②❛ q✉❡ s❡ ❞❡❜❡ ♣❛rt✐r ❞❡❧ ❞❡s❛rr♦❧❧♦ ❞❡ ❧❛ ❙❡r✐❡ ❞❡ ❚❛②❧♦r ② t♦♠❛r❤❛st❛ ❡❧ tér♠✐♥♦ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐❡♥t❡ ❛ h4✳ ❊st♦ ❝♦♥❞✉❝❡ ❛ ✉♥ s✐st❡♠❛ ❞❡ ✶✶ ❡❝✉❛❝✐♦♥❡s❝♦♥ ✶✸ ✐♥❝ó❣♥✐t❛s✱ ♣♦r ❧♦ q✉❡ ♣❛r❛ r❡s♦❧✈❡r❧♦ ❡s ♥❡❝❡s❛r✐♦ ❡❧❡❣✐r ❞♦s ✐♥❝ó❣♥✐t❛s❛r❜✐tr❛r✐❛♠❡♥t❡✳

❆♥á❧✐s✐s ◆✉♠ér✐❝♦ ♣❛r❛ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❋❛❝✉❧t❛❞ ❞❡ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❯✳◆✳▼✳❞✳P✳ ✺✺

❈❛♣ít✉❧♦ ✸✳ ❙♦❧✉❝✐ó♥ ◆✉♠ér✐❝❛ ❞❡ ❊❝✉❛❝✐♦♥❡s ❉✐❢❡r❡♥❝✐❛❧❡s ❖r❞✐♥❛r✐❛s

k1 = h · f(xn, yn)k2 = h · f(xn +

h2, yn +

k12)

k3 = h · f(xn +h2, yn +

k22)

k4 = h · f(xn + h, yn + k3)

yn+1 = yn +16· (k1 + 2 · k2 + 2 · k3 + k4)

✭✸✳✶✷✮

❊st❡ ♠ét♦❞♦ t✐❡♥❡✿ ❊rr♦r ❧♦❝❛❧ ❞❡❧ O(h5) ② ❊rr♦r ❣❧♦❜❛❧ ❞❡❧ O(h4)✱ ❧♦ q✉❡♠✉❡str❛ ❧❛ ♠❡❥♦r❛ ❡♥ ❧❛ ♣r❡❝✐s✐ó♥ ♦❜t❡♥✐❞❛✱ ♣♦r ❧♦ q✉❡ s❡rí❛ ❞❡ ❡s♣❡r❛r q✉❡ ❡sq✉❡♠❛s❞❡ ❘✉♥❣❡✲❑✉tt❛ ❞❡ ♦r❞❡♥ ♠ás ❛❧t♦ s❡rá♥ ❝♦♥s✐❞❡r❛❜❧❡♠❡♥t❡ ♠❡❥♦r❡s✳ ❊❢❡❝t✐✈❛♠❡♥t❡s❡ ❤❛♥ ❞❡s❛rr♦❧❧❛❞♦ ♠ét♦❞♦s ❞❡ ✺t♦✳ ② ✻t♦✳ ♦r❞❡♥✱ s✐♥ ❡♠❜❛r❣♦✱ ❡♥ ♠✉❝❤♦s ❝❛s♦s❧❛ ❡①❛❝t✐t✉❞ ❛❞✐❝✐♦♥❛❧ ❧♦❣r❛❞❛ ♥♦ ❝♦♠♣❡♥s❛ ❡❧ ❡s❢✉❡r③♦ ❝♦♠♣✉t❛❝✐♦♥❛❧ r❡q✉❡r✐❞♦✳❊♥ ♦tr❛s ♣❛❧❛❜r❛s✱ ♥♦ ❤❛② ♠❡❥♦r❛ s✐❣♥✐✜❝❛t✐✈❛ ❡♥ ❡✜❝✐❡♥❝✐❛ s♦❜r❡ ❡sq✉❡♠❛s ❞❡ ✹t♦✳♦r❞❡♥✳

✸✳✹✳✷✳ ❊st❛❜✐❧✐❞❛❞ ❞❡❧ ♠ét♦❞♦ ❞❡ ❘✉♥❣❡✲❑✉tt❛ ❞❡ ✹t♦✳ ❖r❞❡♥

▲♦s ♠ét♦❞♦s ❞❡ ❘✉♥❣❡✲❑✉tt❛ ❡stá♥ s✉❥❡t♦s ❛ ❞♦s t✐♣♦s ❞❡ ❡rr♦r❡s✿ ❡❧ ❡rr♦r❞❡ tr✉♥❝❛♠✐❡♥t♦ ② ❡❧ ❞❡ ✐♥❡st❛❜✐❧✐❞❛❞✳ ❊❧ ❡rr♦r ❞❡ tr✉♥❝❛♠✐❡♥t♦ s❡ ❞❡❜❡ ❛ ❧❛❞✐s❝r❡♣❛♥❝✐❛ ❡♥tr❡ ❡❧ ❞❡s❛rr♦❧❧♦ ❞❡ ❧❛ s❡r✐❡ ❞❡ ❚❛②❧♦r ② ❧❛ s♦❧✉❝✐ó♥ ❡①❛❝t❛✱ ♣♦r ❧♦q✉❡ ❡❧ t❛♠❛ñ♦ ❞❡❧ ❡rr♦r ❞❡❝r❡❝❡ ❛❧ ❛✉♠❡♥t❛r ❡❧ ♦r❞❡♥ ❞❡❧ ♠ét♦❞♦✳

P♦r ♦tr❛ ♣❛rt❡✱ ❧❛ ✐♥❡st❛❜✐❧✐❞❛❞ ❡s ✉♥ ❡❢❡❝t♦ ❛❝✉♠✉❧❛❞♦ ❞❡❧ ❡rr♦r ❧♦❝❛❧✱ ❞❡ ❢♦r♠❛q✉❡ ❡❧ ❡rr♦r ❞❡ ❧❛ s♦❧✉❝✐ó♥ ❝r❡❝❡ s✐♥ ❧í♠✐t❡ ❛ ♠❡❞✐❞❛ q✉❡ ♥♦s ❛❧❡❥❛♠♦s ❞❡❧ ✈❛❧♦r✐♥✐❝✐❛❧✳

P❛r❛ ❛♥❛❧✐③❛r ❧❛ ❡st❛❜✐❧✐❞❛❞ ❞❡ ✉♥ ♠ét♦❞♦ ❞❡ ❘✉♥❣❡✲❑✉tt❛ ❝♦♥s✐❞❡r❡♠♦s ❧❛❡❝✉❛❝✐ó♥ ❞❡ ♣r✉❡❜❛✿

y′ = α · y ✭✸✳✶✸✮

❞♦♥❞❡ α < 0✳ P❛r❛ ✉♥ ✈❛❧♦r ❞❡ yn ❞❛❞♦✱ ❡❧ ✈❛❧♦r ❡①❛❝t♦ ❞❡ yn+1 ♦❜t❡♥✐❞♦ ❡♥❢♦r♠❛ ❛♥❛❧ít✐❝❛ ❡s✿

yn+1 = e(α·h) · yn ✭✸✳✶✹✮

❉♦♥❞❡ |yn+1| ❞❡❝r❡❝❡ ❝✉❛♥❞♦ ♥ ❛✉♠❡♥t❛✱ ②❛ q✉❡ α < 0✳▲❛ s♦❧✉❝✐ó♥ ♥✉♠ér✐❝❛ ❞❡ ❧❛ ❡❝✉❛❝✐ó♥ ✸✳✶✸ ♦❜t❡♥✐❞❛ ❛❧ ❛♣❧✐❝❛r ❡❧ ♠ét♦❞♦ ❞❡

❘✉♥❣❡✲❑✉tt❛ ❞❡ ✹t♦✳♦r❞❡♥ ❡s✿

❆♥á❧✐s✐s ◆✉♠ér✐❝♦ ♣❛r❛ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❋❛❝✉❧t❛❞ ❞❡ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❯✳◆✳▼✳❞✳P✳ ✺✻

❈❛♣ít✉❧♦ ✸✳ ❙♦❧✉❝✐ó♥ ◆✉♠ér✐❝❛ ❞❡ ❊❝✉❛❝✐♦♥❡s ❉✐❢❡r❡♥❝✐❛❧❡s ❖r❞✐♥❛r✐❛s

k1 = α · h · ynk2 = α · h · (yn + k1

2) = α · h · (1 + α·h

2) · yn

k3 = α · h · (yn + k22) = α · h · (1 + α·h

2· (1 + α·h

2)) · yn

k4 = α · h · (yn + k3) = α · h · (1 + α · h · (1 + α·h2

· (1 + α·h2))) · yn

yn+1 = [1 + α · h+ (α·h)2

2+ (α·h)3

6+ (α·h)4

24] · yn

✭✸✳✶✺✮

▲❛ ú❧t✐♠❛ ❡❝✉❛❝✐ó♥ ❞❡ ✸✳✶✺ ❡s ✐❣✉❛❧ ❛ ❧♦s ♣r✐♠❡r♦s tér♠✐♥♦s ❞❡❧ ❞❡s❛rr♦❧❧♦ ❞❡❚❛②❧♦r ♣❛r❛ ❡❧ ❧❛❞♦ ❞❡r❡❝❤♦ ❞❡ ❧❛ ❡❝✉❛❝✐ó♥ ✸✳✶✹✳

δ = [1 + α · h+(α · h)2

2+

(α · h)36

+(α · h)4

24] ✭✸✳✶✻✮

❊❧ ❢❛❝t♦r δ ❞❡ ❧❛ ❡❝✉❛❝✐ó♥ ✸✳✶✺ ❛♣r♦①✐♠❛ ❛ e(α·h) ❞❡ ❧❛ ❡❝✉❛❝✐ó♥ ✸✳✶✹✱ ♣♦r ❧♦ q✉❡❡♥ ❡st❛ ❛♣r♦①✐♠❛❝✐ó♥ s❡ ♦r✐❣✐♥❛♥ t❛♥t♦ ❡❧ ❡rr♦r ❞❡ tr✉♥❝❛♠✐❡♥t♦ ❝♦♠♦ ❧❛ ✐♥❡st❛❜✐✲❧✐❞❛❞ ❞❡ ❧❛ ❡❝✉❛❝✐ó♥ ✸✳✶✺✳

P❛r❛ α = 2 ✿❊♥ ❡❧ ❣rá✜❝♦ ✈❡♠♦s y = y0 · e(−2·t) ② y = y0 ·α ② s❡ ♦❜s❡r✈❛ ❧❛ ❞✐❢❡r❡♥❝✐❛ ❝✉❛♥❞♦

❛✉♠❡♥t❛ t ♠❛s ❞❡ ✶✳✷✺

❋✐❣✉r❛ ✸✳✹✿ ❊st❛❜✐❧✐❞❛❞ ❞❡ ❘✉♥❣❡✲❑✉tt❛ ✹t♦✳ ❖r❞❡♥✳

❊♥ ❧❛ t❛❜❧❛ ✸✳✷ ✈❡♠♦s ❡❧ ❡❥❡♠♣❧♦ ♣❛r❛ ❧❛ ❡❝✉❛❝✐ó♥ y′ = −30 · y ✱ y0 = 13②

❧❛ s♦❧✉❝✐ó♥ ❛♥❛❧ít✐❝❛ ❡s y = 13· e−30·t✳ ❈♦♠♣❛r❛♥❞♦ ❧♦s ✈❛❧♦r❡s ♣❛r❛ t = 1,5 ❝♦♥

❞✐❢❡r❡♥t❡s ✈❛❧♦r❡s ❞❡ ♣❛s♦ ❤✳

❆♥á❧✐s✐s ◆✉♠ér✐❝♦ ♣❛r❛ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❋❛❝✉❧t❛❞ ❞❡ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❯✳◆✳▼✳❞✳P✳ ✺✼

❈❛♣ít✉❧♦ ✸✳ ❙♦❧✉❝✐ó♥ ◆✉♠ér✐❝❛ ❞❡ ❊❝✉❛❝✐♦♥❡s ❉✐❢❡r❡♥❝✐❛❧❡s ❖r❞✐♥❛r✐❛s

t 2 · e−2·t δ · yn✵ ✷ ✷

0,25 1,211306 1,2113533330,5 0,446259 0,4548590,75 0,0099573 0,12443851 0,0134758 0,0414616

1,25 0,0011061 0,04171,5 5,50 · 10−5 0,02688521,75 1,66 · 10−6 0,03696712 3,04 · 10−8 0,50493 7,55 · 10−11 15,6526

❈✉❛❞r♦ ✸✳✶✿ ❉✐❢❡r❡♥❝✐❛ ❡♥tr❡ ✈❛❧♦r❡s ♥✉♠ér✐❝♦s ② ❡①❛❝t♦s✳

❈♦♠♦ s❡ ♦❜s❡r✈❛ ❡❧ ✈❛❧♦r ❞❡ ❤ ❞❡❜❡ s❡r ♣❡q✉❡ñ♦✱ ❝✉❛❧q✉✐❡r❛ s❡❛ ❡❧ ♠ét♦❞♦ ❞❡r❡s♦❧✉❝✐ó♥ ❡♠♣❧❡❛❞♦✳

❤ ❊✉❧❡r ❘✉♥❣❡✲❑✉tt❛ ✹ ❊①❛❝t♦0,3 −3,47861 · 10−2 7,10213 · 1010 9,54173 · 10−21

0,1 −1,09227 · 10−11 3,95748 · 1010,05 1,4789 · 10−26 4,25227 · 10−18

0,01 6,77706 · 10−21 9,57905 · 10−21

❈✉❛❞r♦ ✸✳✷✿ ❈♦♠♣❛r❛❝✐ó♥ ❡♥tr❡ ❞✐❢❡r❡♥t❡s ♠ét♦❞♦s✳

✸✳✹✳✸✳ ▼ét♦❞♦ ❞❡ ❘✉♥❣❡✲❑✉tt❛✲❋❡❤❧❜❡r❣

▲♦s ♠ét♦❞♦s tr❛❞✐❝✐♦♥❛❧❡s ✭❞❡ ❘✉♥❣❡✲❑✉tt❛✮ t✐❡♥❡♥ ❡❧ ♣r♦❜❧❡♠❛ q✉❡ ❞✉r❛♥t❡ ❧❛❡st✐♠❛❝✐ó♥ ❞❡ ❧❛ s♦❧✉❝✐ó♥ ❞❡ ✉♥ P❱■✲❊❉❖ ♥♦ ❡s ♣♦s✐❜❧❡ ♠♦♥✐t♦r❡❛r ❧❛ ❡①❛❝t✐t✉❞✳❆❞❡♠ás✱ r❡s✉❧t❛ r❛③♦♥❛❜❧❡ ❛s✉♠✐r q✉❡ ❧♦s ✈❛❧♦r❡s ✐♥✐❝✐❛❧❡s t✐❡♥❡♥ ❝✐❡rt❛ ✐♥❡①❛❝t✐t✉❞✱❧❛ ❝✉❛❧ s❡ ✈❡rá ❛❝r❡❝❡♥t❛❞❛ ❛❧ ❛♣❧✐❝❛r ❡❧ ♠ét♦❞♦ ♥✉♠ér✐❝♦✳

❯♥❛ ❢♦r♠❛ ❡stá♥❞❛r ❞❡ ❞❡t❡r♠✐♥❛r s✐ ❧♦s ✈❛❧♦r❡s ❞❡ ❘✉♥❣❡✲❑✉tt❛ s♦♥ s✉✜❝✐❡♥✲t❡♠❡♥t❡ ❡①❛❝t♦s ❡s r❡❝❛❧❝✉❧❛r ❡❧ ✈❛❧♦r ❞❡❧ ❡①tr❡♠♦ ❞❡ ❝❛❞❛ ✐♥t❡r✈❛❧♦ ❝♦♥ ❡❧ ♣❛s♦h2✳ ❙✐ ❧♦s ❝❛♠❜✐♦s s♦♥ ♠✉② ♣❡q✉❡ñ♦s ❡❧ ✈❛❧♦r s❡ t♦♠❛ ❝♦♠♦ s❛t✐s❢❛❝t♦r✐♦✱ ♣❡r♦ s✐♥♦

❡s ❛sí ❡❧ ♣❛s♦ ✈✉❡❧✈❡ ❛ ❞✐✈✐❞✐rs❡ ♣♦r ✷ ❤❛st❛ q✉❡ ❧♦s r❡s✉❧t❛❞♦s s❡❛♥ s❛t✐s❢❛❝t♦✲r✐♦s✳ ❙✐♥ ❡♠❜❛r❣♦✱ ❡st❡ ♣r♦❝❡❞✐♠✐❡♥t♦ r❡s✉❧t❛ ♠✉② ❝♦st♦s♦ ❞❡s❞❡ ❡❧ ♣✉♥t♦ ❞❡ ✈✐st❛❝♦♠♣✉t❛❝✐♦♥❛❧ ②❛ q✉❡ s❡ ♥❡❝❡s✐t❛♥ ✽ ❡✈❛❧✉❛❝✐♦♥❡s ❞❡ ❢✉♥❝✐♦♥❡s ❛❞✐❝✐♦♥❛❧❡s ♣❛r❛❞❡t❡r♠✐♥❛r ❧❛ ❡①❛❝t✐t✉❞✳

P♦r ❡st❡ ♠♦t✐✈♦✱ s❡ ❤❛♥ ♣r♦♣✉❡st♦ ✈❛r✐♦s ❡sq✉❡♠❛s ♣❛r❛ ♠✐♥✐♠✐③❛r ❡❧ ❡s❢✉❡r③♦✱✐✳❡✳✱ ❞❡t❡r♠✐♥❛r ❡❧ ❡rr♦r ❡♥ ❧♦s ❝á❧❝✉❧♦s ❞❡ ❘✉♥❣❡✲❑✉tt❛✳ ▲❛ ✐❞❡❛ ❜ás✐❝❛ ❞❡ ❡st♦s❡sq✉❡♠❛s ❝♦♥s✐st❡ ❡♥ ❝❛❧❝✉❧❛r ❞♦s ❡st✐♠❛❝✐♦♥❡s ❞❡ ❘✉♥❣❡✲❑✉tt❛ ❞❡ ❞✐❢❡r❡♥t❡ ♦r❞❡♥♣❛r❛ ♦❜t❡♥❡r ❡❧ ♥✉❡✈♦ ✈❛❧♦r ❞❡ ② ✭♦❜✈✐❛♠❡♥t❡ t❡♥❞rá♥ ❞✐st✐♥t♦ ♦r❞❡♥ ❞❡ ❡rr♦r✮✳ ▲❛

❆♥á❧✐s✐s ◆✉♠ér✐❝♦ ♣❛r❛ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❋❛❝✉❧t❛❞ ❞❡ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❯✳◆✳▼✳❞✳P✳ ✺✽

❈❛♣ít✉❧♦ ✸✳ ❙♦❧✉❝✐ó♥ ◆✉♠ér✐❝❛ ❞❡ ❊❝✉❛❝✐♦♥❡s ❉✐❢❡r❡♥❝✐❛❧❡s ❖r❞✐♥❛r✐❛s

❞✐❢❡r❡♥❝✐❛ ❡♥ ❧❛s ❞♦s ❡st✐♠❛❝✐♦♥❡s ♣✉❡❞❡ s❡r ✉t✐❧✐③❛❞❛ ♣❛r❛ ❡st✐♠❛r ❡❧ ❡rr♦r ❡♥ ❡❧♠ét♦❞♦ ❞❡ ♠❡♥♦r ♦r❞❡♥✳

P♦r ❡❥❡♠♣❧♦✱ ❡❧ ♠ét♦❞♦ ❞❡ ❘❯◆●❊✲❑❯❚❚❆✲▼❊❘❙❖◆ ❤❛❝❡ ❧❛ ❞✐❢❡r❡♥❝✐❛ ❡♥tr❡✉♥❛ ❡st✐♠❛❝✐ó♥ ❞❡ ♦r❞❡♥ ✺t♦✳ ② ✹t♦✳ ❨ ❡♥ ❡❧ ❝❛❞♦ ❞❡ ❘❯◆●❊✲❑❯❚❚❆✲❋❊❍▲❇❊❘●s❡ r❡❛❧✐③❛♥ ✻ ❡✈❛❧✉❛❝✐♦♥❡s ❢✉♥❝✐♦♥❛❧❡s ♣♦r ♣❛s♦ ♣❛r❛ ❝❛❧❝✉❧❛r ❡❧ ♥✉❡✈♦ ✈❛❧♦r ② ❛❞❡✲♠ás ♦❜t❡♥❡r ✉♥❛ ❡st✐♠❛❝✐ó♥ ❞❡❧ ❡rr♦r✳

k1 = h · f(xn, yn)k2 = h · f(xn +

h4, yn +

k14)

k3 = h · f(xn +3·h8, yn +

3·k132

+ 9·k232

)k4 = h · f(xn +

12·h13

, yn +1932·k12197

− 7200·k22197

+ 7296·k32197

)k5 = h · f(xn + h), yn +

439·k1216

− 8 · k2 + 3680·k3513

− 845·k44104

)k6 = h · f(xn +

h2, yn − 8·k1

27+ 2 · k2 − 3544·k3

2565+ 1859·k4

4104− 11·k5

40)

yn+1 = yn +25·k1216

+ 1408·k32565

+ 2197·k44104

− k55

E = k1360

− 128·k34275

− 2197·k475240

+ k550

+ 2·k655

✭✸✳✶✼✮

▼❡❞✐❛♥t❡ ❧❛ ❡st✐♠❛❝✐ó♥ ❞❡❧ ❡rr♦r ❊ ❡s ♣♦s✐❜❧❡✱ ❡♥ ❝❛❞❛ ♣❛s♦✱ ✈❡r✐✜❝❛r q✉❡ ❡❧♠✐s♠♦ ♥♦ ❡①❝❡❞❛ ❞❡ ✉♥❛ ❝✐❡rt❛ ❝♦t❛ ❡st❛❜❧❡❝✐❞❛✱ s✐ ❡st❡ ❡rr♦r ❡①❝❡❞❡ ❞✐❝❤❛ ❝♦t❛ s❡r❡❞✉❝✐rá ❡❧ ✈❛❧♦r ❞❡ ❤ ♣❛r❛ ❧♦❣r❛r ❧❛ ♣r❡❝✐s✐ó♥ ❞❡s❡❛❞❛✳

✸✳✹✳✹✳ ❊str❛t❡❣✐❛s ❞❡ ❝❛♠❜✐♦ ❞❡❧ ♣❛s♦ ❤

❊str❛t❡❣✐❛ ◆r♦✳✶

❊str❛t❡❣✐❛ ◆r♦✳✷

✸✳✺✳ ❙♦❧✉❝✐ó♥ ❞❡ ❙✐st❡♠❛s ❞❡ ❊❝✉❛❝✐♦♥❡s ❉✐❢❡r❡♥❝✐❛❧❡s❖r❞✐♥❛r✐❛s

✸✳✺✳✶✳ ❘❡❞✉❝❝✐ó♥ ❞❡ ♦r❞❡♥ ❞❡ ❊❉❖s ❞❡ ♦r❞❡♥ s✉♣❡r✐♦r✳

❆♥á❧✐s✐s ◆✉♠ér✐❝♦ ♣❛r❛ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❋❛❝✉❧t❛❞ ❞❡ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❯✳◆✳▼✳❞✳P✳ ✺✾

❈❛♣ít✉❧♦ ✸✳ ❙♦❧✉❝✐ó♥ ◆✉♠ér✐❝❛ ❞❡ ❊❝✉❛❝✐♦♥❡s ❉✐❢❡r❡♥❝✐❛❧❡s ❖r❞✐♥❛r✐❛s

❆♥á❧✐s✐s ◆✉♠ér✐❝♦ ♣❛r❛ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❋❛❝✉❧t❛❞ ❞❡ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❯✳◆✳▼✳❞✳P✳ ✻✵

❈❛♣ít✉❧♦ ✹

❘❡s♦❧✉❝✐ó♥ ❞❡ ❙✐st❡♠❛s ❞❡❊❝✉❛❝✐♦♥❡s ▲✐♥❡❛❧❡s

✹✳✶✳ ■♥tr♦❞✉❝❝✐ó♥

▲♦s ♠♦❞❡❧♦s ♠❛t❡♠át✐❝♦s ♠ás s✐♠♣❧❡s s♦♥ ❧✐♥❡❛❧❡s ② ♣♦r ❧♦ t❛♥t♦ ❧♦s ♠♦❞❡❧♦s❧✐♥❡❛❧❡s s♦♥ ♠✉② ❝♦♠✉♥❡s✳ ❆❞❡♠ás✱ ❧♦s ♠♦❞❡❧♦s ♠ás ❝♦♠♣❧❡❥♦s s♦♥ ❛♥❛❧✐③❛❞♦s ❛♣❛rt✐r ❞❡ ♠♦❞❡❧♦s ♠ás s✐♠♣❧❡s✱ ❡st♦ ❡s✱ ❧✐♥❡❛❧❡s✳ ❯♥❛ ❡❝✉❛❝✐ó♥ ❧✐♥❡❛❧ ❡♥ ❧❛s ✈❛r✐❛❜❧❡sx1, x2, · · · , xn ❡s ❛q✉❡❧❧❛ q✉❡ ✐❣✉❛❧❛ ✉♥❛ s✉♠❛ ❞❡ ♣❡s♦s r❡❧❛t✐✈♦s ❞❡ x1, x2, · · · , xn

❛ ✉♥❛ ❝♦♥st❛♥t❡✱ ❡st♦ ❡s ✉♥❛ ❡❝✉❛❝✐ó♥ ❞❡ ❧❛ ❢♦r♠❛✿

a1 · x1 + a2 · x2 + · · ·+ an · xn = b

❊❥❡♠♣❧♦ ❞❡ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ◗✉í♠✐❝❛✿

❊♥ ❧❛ r❡s♣✐r❛❝✐ó♥ ❝❡❧✉❧❛r ❛❡ró❜✐❝❛ s❡ ♣r♦❞✉❝❡ ✉♥❛ ❞❡❣r❛❞❛❝✐ó♥ ❞❡ ❧❛ ♠♦❧é❝✉❧❛❞❡ ❣❧✉❝♦s❛ (C6H12O6) ♣♦r ❛❝❝✐ó♥ ❞❡❧ ♦①í❣❡♥♦ ♠♦❧❡❝✉❧❛r ✭❞✐❛tó♠✐❝♦✮✳ ❊st❛ tr❛♥s✲❢♦r♠❛❝✐ó♥ s❡ ❧❧❡✈❛ ❛ ❝❛❜♦ ❡♥ ❧♦s ❛♥✐♠❛❧❡s ❞❡♥tr♦ ❞❡ ✉♥❛ ❡str✉❝t✉r❛ ❝✐t♦♣❧❛s♠át✐❝❛❧❧❛♠❛❞❛ ♠✐t♦❝♦♥❞r✐❛ ② ❡s ❡❧ r❡s✉❧t❛❞♦ ❞❡ ✉♥ ❝✐❝❧♦ ❜✐♦❧ó❣✐❝♦ ❝♦♥♦❝✐❞♦ ❝♦♠♦ ❝✐❝❧♦ ❞❡❑r❡❜s✳

a · C6H12O6 + b ·O2 → c · CO2 + d ·H2O

P❛r❛ ✏❜❛❧❛♥❝❡❛r ✑ ❡st❛ r❡❛❝❝✐ó♥ q✉í♠✐❝❛ ❡s ♥❡❝❡s❛r✐♦ ❝❛❧❝✉❧❛r ❧❛ ♣r♦♣♦r❝✐ó♥ ❞❡r❡❛❝t✐✈♦s ♣r❡s❡♥t❡s ❞❡ ❢♦r♠❛ t❛❧ q✉❡ ❧❛ ❝❛♥t✐❞❛❞ ❞❡ át♦♠♦s ❞❡ ❝❛❞❛ ❡❧❡♠❡♥t♦✱ ❡♥❛♠❜♦s ♠✐❡♠❜r♦s ❞❡ ❧❛ r❡❛❝❝✐ó♥✱ ❝✉♠♣❧❛ ❝♦♥ ❧❛ ❧❡② ❞❡ ❝♦♥s❡r✈❛❝✐ó♥ ❞❡ ❧❛ ♠❛t❡r✐❛✳

P♦r ❧♦ t❛♥t♦✱ ♣♦❞❡♠♦s ♣❧❛♥t❡❛r ❡❧ s✐❣✉✐❡♥t❡ s✐st❡♠❛ ❞❡ ❡❝✉❛❝✐♦♥❡s ❧✐♥❡❛❧❡s✿

✻✶

❈❛♣ít✉❧♦ ✹✳ ❘❡s♦❧✉❝✐ó♥ ❞❡ ❙✐st❡♠❛s ❞❡ ❊❝✉❛❝✐♦♥❡s ▲✐♥❡❛❧❡s

6 · a+ 0 · b− 1 · c− 0 · d = 012 · a+ 0 · b− 0 · c− 2 · d = 06 · a+ 2 · b− 2 · c− 1 · d = 00 · a+ 0 · b− 0 · c− 0 · d = 0

❈✉②❛ s♦❧✉❝✐ó♥ ❞❛ ❝♦♠♦ r❡s✉❧t❛❞♦ ❧❛ s✐❣✉✐❡♥t❡ r❡❛❝❝✐ó♥ ✏❜❛❧❛♥❝❡❛❞❛✑✳

C6H12O6 + 6 ·O2 → 6 · CO2 + 6 ·H2O

✹✳✷✳ ❚✐♣♦s ❞❡ ▼❛tr✐❝❡s

✹✳✷✳✶✳ ▼❛tr✐❝❡s ❉✐❛❣♦♥❛❧❡s

a11 0 0 0 0 0 0 0 00 a22 0 0 0 0 0 0 00 0 a33 0 0 0 0 0 00 0 0 a44 0 0 0 0 00 0 0 0 a55 0 0 0 00 0 0 0 0 a66 0 0 00 0 0 0 0 0 a77 0 00 0 0 0 0 0 0 a88 00 0 0 0 0 0 0 0 a99

✹✳✷✳✷✳ ▼❛tr✐❝❡s ❚r✐❛♥❣✉❧❛r❡s

▲❛ s♦❧✉❝✐ó♥ ❞❡ ❆ ① ❂ ❜ ❞♦♥❞❡ ❆ ❡s tr✐❛♥❣✉❧❛r s✉♣❡r✐♦r ❧❛ ❡♥❝♦♥tr❛♠♦s ❤❛❝✐❡♥❞♦✉♥❛ s✉st✐t✉❝✐ó♥ r❡❣r❡s✐✈❛✿

xn = bnann

xi =1

aii· [bi −

n∑

k=i+1

aik · xk]

a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a190 a22 a23 a24 a25 a26 a27 a28 a290 0 a33 a34 a35 a36 a37 a38 a390 0 0 a44 a45 a46 a47 a48 a490 0 0 0 a55 a56 a57 a58 a590 0 0 0 0 a66 a67 a68 a690 0 0 0 0 0 a77 a78 a790 0 0 0 0 0 0 a88 a890 0 0 0 0 0 0 0 a99

❆♥á❧✐s✐s ◆✉♠ér✐❝♦ ♣❛r❛ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❋❛❝✉❧t❛❞ ❞❡ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❯✳◆✳▼✳❞✳P✳ ✻✷

❈❛♣ít✉❧♦ ✹✳ ❘❡s♦❧✉❝✐ó♥ ❞❡ ❙✐st❡♠❛s ❞❡ ❊❝✉❛❝✐♦♥❡s ▲✐♥❡❛❧❡s

✹✳✷✳✸✳ ▼❛tr✐❝❡s ❚r✐✲❉✐❛❣♦♥❛❧❡s

a11 a12 0 0 0 0 0 0 0a21 a22 a23 0 0 0 0 0 00 a32 a33 a34 0 0 0 0 00 0 a43 a44 a45 0 0 0 00 0 0 a54 a55 a56 0 0 00 0 0 0 a65 a66 a67 0 00 0 0 0 0 a76 a77 a78 00 0 0 0 0 0 a87 a88 a890 0 0 0 0 0 0 a98 a99

✹✳✷✳✹✳ ▼❛tr✐❝❡s ❞❡ ❇❛♥❞❛

a11 a12 0 0 0 a16 0 0 0a21 a22 a23 0 0 0 a27 0 00 a32 a33 a34 0 0 0 a38 00 0 a43 a44 a45 0 0 0 a490 0 0 a54 a55 a56 0 0 0a61 0 0 0 a65 a66 a67 0 00 a72 0 0 0 a76 a77 a78 00 0 a83 0 0 0 a87 a88 a890 0 0 a94 0 0 0 a98 a99

✹✳✸✳ ▼ét♦❞♦s ❉✐r❡❝t♦s

✹✳✸✳✶✳ ▼ét♦❞♦ ❞❡ ●❛✉ss

❈á❧❝✉❧♦ ❞❡❧ ❉❡t❡r♠✐♥❛♥t❡

❊❧ ♣r♦❝❡s♦ ❝♦♥♦❝✐❞♦ ❝♦♠♦ ❘❡❣❧❛ ❞❡ ❈r❛♠❡r ♥♦ r❡s✉❧t❛ s❡r ✉♥ ♠ét♦❞♦ ❡✜❝✐❡♥t❡♣❛r❛ ❝❛❧❝✉❧❛r ❡❧ ✈❛❧♦r ❞❡❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥t❡ ❞❡ ✉♥❛ ♠❛tr✐③✳ P♦r ♦tr❛ ♣❛rt❡✱ ♥♦ ❡s ♥❡❝❡✲s❛r✐♦ ✈❡r✐✜❝❛r s✐ ❡❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥t❡ ❡s ✐❣✉❛❧ ❛ ❝❡r♦ ♣❛r❛ s❛❜❡r s✐ ✉♥ s✐st❡♠❛ t✐❡♥❡ ✉♥❛ú♥✐❝❛ s♦❧✉❝✐ó♥ ♦ ♥♦✳ ❙✐♥ ❡♠❜❛r❣♦✱ s✐ s❡ ❞❡s❡❛ ❝❛❧❝✉❧❛r ❡❧ ✈❛❧♦r ❞❡❧ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥t❡ ❞❡✉♥❛ ♠❛tr✐③✱ ✉♥❛ ❢♦r♠❛ s❡♥❝✐❧❧❛ ❞❡ ❤❛❝❡r❧♦ ❝♦♥s✐st❡ ❡♥ r❡❛❧✐③❛r ❡❧ ♣r♦❞✉❝t♦ ❞❡ ❧♦s♣✐✈♦t❡s ❞❡ ❧❛ ♠❛tr✐③ r❡s✉❧t❛♥t❡ ❧✉❡❣♦ ❞❡ ❤❛❜❡r ❛♣❧✐❝❛❞♦ ❡❧ ♠ét♦❞♦ ❞❡ ●❛✉ss✳

❆♥á❧✐s✐s ◆✉♠ér✐❝♦ ♣❛r❛ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❋❛❝✉❧t❛❞ ❞❡ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❯✳◆✳▼✳❞✳P✳ ✻✸

❈❛♣ít✉❧♦ ✹✳ ❘❡s♦❧✉❝✐ó♥ ❞❡ ❙✐st❡♠❛s ❞❡ ❊❝✉❛❝✐♦♥❡s ▲✐♥❡❛❧❡s

✹✳✸✳✷✳ ▼ét♦❞♦ ❞❡ ●❛✉ss✲❏♦r❞❛♥

✹✳✸✳✸✳ ❚á❝t✐❝❛s ❞❡ P✐✈♦t❡♦

✹✳✸✳✹✳ ❈á❧❝✉❧♦ ❞❡ ❧❛ ■♥✈❡rs❛ ❞❡ ✉♥❛ ▼❛tr✐③

✹✳✸✳✺✳ ▼ét♦❞♦ ❞❡ ❚❤♦♠❛s

❆ ❝♦♥t✐♥✉❛❝✐ó♥ ✈❡♠♦s ✉♥❛ ♠❛tr✐③ tr✐✲❞✐❛❣♦♥❛❧ ❞❡ ♦r❞❡♥ ✹✳ ▲♦s ú♥✐❝♦s ✈❛❧♦r❡s❞✐❢❡r❡♥t❡s ❞❡ ❝❡r♦ s♦♥✿ ❧❛ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ✭✈❡❝t♦r ❞✮✱ ❧❛ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ✐♥❢❡r✐♦r ✭✈❡❝t♦r❧✮ ② ❧❛ ❞✐❛❣♦♥❛❧ s✉♣❡r✐♦r ✭✈❡❝t♦r ✉✮✳

A =

d1 u1 0 0l2 d2 u2 00 l3 d3 u3

0 0 l4 u4

❯♥ s✐st❡♠❛ ❞❡ ❡❝✉❛❝✐♦♥❡s ❧✐♥❡❛❧❡s ❝♦♥ ✉♥❛ ♠❛tr✐③ ❞❡ ❡st❛s ❝❛r❛❝t❡ríst✐❝❛s q✉❡❞❛ ✿

d1x1 + u1x2 + 0 + 0 = b1l2x1 + d2x2 + u2x3 + 0 = b20 + l3x2 + d3x3 + u3x4 = b30 + 0 + l4x3 + d4x4 = b4

❊❧ ♠ét♦❞♦ ❞❡ ❚❤♦♠❛s ❡s ❧❛ ❛❞❛♣t❛❝✐ó♥ ❞❡ ❧❛ ❡❧✐♠✐♥❛❝✐ó♥ ❣❛✉ss✐❛♥❛ ❛ s✐st❡♠❛s❞❡ ❡❝✉❛❝✐♦♥❡s ❧✐♥❡❛❧❡s ❝✉②❛ ♠❛tr✐③ ❆ ❡s tr✐✲❞✐❛❣♦♥❛❧✳ ❈♦♠♦ ❧♦s ú♥✐❝♦s ❡❧❡♠❡♥t♦s❞✐❢❡r❡♥t❡s ❛ ❝❡r♦ s♦♥ ❧❛s tr❡s ❞✐❛❣♦♥❛❧❡s✱ ❡s ♣♦s✐❜❧❡ ❛❧♠❛❝❡♥❛r ❡st♦s ✈❛❧♦r❡s ❡♥ tr❡s✈❡❝t♦r❡s✱ ❛ ❧♦s q✉❡ ❞❡♥♦♠✐♥❛r❡♠♦s ❧✱ ❞ ② ✉✱ r❡s♣❡❝t✐✈❛♠❡♥t❡✳

❙❡ ♣✉❡❞❡ ❛♣r❡❝✐❛r ❢❛❝✐❧♠❡♥t❡ q✉❡ ❧♦s ✈❡❝t♦r❡s ❧ ② ✉ t✐❡♥❡♥ ✉♥ ❡❧❡♠❡♥t♦ ♠❡♥♦sq✉❡ ❡❧ ✈❡❝t♦r ❞✱ ♣♦r ❧♦ t❛♥t♦✱ ♣❛r❛ ❢❛❝✐❧✐t❛r ❧♦s ❝á❧❝✉❧♦s✱ ✈❛♠♦s ❛ r❡❧❧❡♥❛r ❡s❛s ♣♦✲s✐❝✐♦♥❡s ❝♦♥ ❝❡r♦s✳ ❊♥ ❡❧ ❝❛s♦ ❞❡ ✉✱ ❝♦❧♦❝❛♥❞♦ ✉♥ ❝❡r♦ ❡♥ ❧❛ ú❧t✐♠❛ ♣♦s✐❝✐ó♥ ② ❡♥❡❧ ❝❛s♦ ❞❡ ❧✱ ❝♦❧♦❝❛♥❞♦ ✉♥ ❝❡r♦ ❡♥ ❧❛ ♣r✐♠❡r ♣♦s✐❝✐ó♥✱ q✉❡❞❛♥❞♦ ❞❡ ❡st❛ ❢♦r♠❛✿

u =î

u1 u2 u3 0ó

d =î

d1 d2 d3 d4ó

l =î

0 l2 l3 l4ó

❉❡ ❡st❛ ❢♦r♠❛ ❧❛ ❡t❛♣❛ ❞❡ tr✐❛♥❣✉❧❛❝✐ó♥ q✉❡❞❛ ❞❡ ❧❛ s✐❣✉✐❡♥t❡ ♠❛♥❡r❛✿P❛r❛ ✐❂✶✱✷✱✳✳✳✱♥✲✶

✶✳ ui =ui

di

✷✳ bi =bidi

❆♥á❧✐s✐s ◆✉♠ér✐❝♦ ♣❛r❛ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❋❛❝✉❧t❛❞ ❞❡ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❯✳◆✳▼✳❞✳P✳ ✻✹

❈❛♣ít✉❧♦ ✹✳ ❘❡s♦❧✉❝✐ó♥ ❞❡ ❙✐st❡♠❛s ❞❡ ❊❝✉❛❝✐♦♥❡s ▲✐♥❡❛❧❡s

✸✳ di = 1

✹✳ di+1 = di+1 − li+1 · ui

✺✳ bi+1 = bi+1 − li+1 · bi

✻✳ li+1 = 0

❨ ♣❛r❛ ❧❛ ❡t❛♣❛ ❞❡ s✉st✐t✉❝✐ó♥ r❡❣r❡s✐✈❛✿

✶✳ xn =bndn

✷✳ P❛r❛ ✐❂♥✲✶✱ ♥✲✷✱ ✳✳✳✱ ✶

xi = bi −ui · xi+1

di

✹✳✸✳✻✳ ❘❡✜♥❛♠✐❡♥t♦ ■t❡r❛t✐✈♦ ❞❡ ❧❛ ❙♦❧✉❝✐ó♥

✹✳✹✳ ❋❛❝t♦r✐③❛❝✐ó♥ ❚r✐❛♥❣✉❧❛r

❙❡ ❞❡♥♦♠✐♥❛ ❢❛❝t♦r✐③❛❝✐ó♥ tr✐❛♥❣✉❧❛r ❛❧ ♣r♦❝❡s♦ q✉❡ ♣❡r♠✐t❡ ❡s❝r✐❜✐r ❛ ✉♥❛ ♠❛✲tr✐③ ❆✱ ❝♦♠♦ ❡❧ ♣r♦❞✉❝t♦ ❞❡ ❞♦s ♠❛tr✐❝❡s tr✐❛♥❣✉❧❛r❡s ▲ ✭❧♦✇❡r✮ ② ❯ ✭✉♣♣❡r✮✳ ❊st❡♣r♦❝❡❞✐♠✐❡♥t♦ ❡s ❝♦♥♦❝✐❞♦ ❝♦♠✉♥♠❡♥t❡ ❝♦♠♦ ❢❛❝t♦r✐③❛❝✐ó♥ ▲❯ ó ❢❛❝t♦r✐③❛❝✐ó♥tr✐❛♥❣✉❧❛r✳ ▲❛s ♠❛tr✐❝❡s tr✐❛♥❣✉❧❛r❡s ❝✉②❛ ❞✐❛❣♦♥❛❧ ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❡s ✐❣✉❛❧ ❛ ✶ s❡ ❞❡✲♥♦♠✐♥❛♥ ♠❛tr✐❝❡s tr✐❛♥❣✉❧❛r❡s ✉♥✐t❛r✐❛s✳ ❊♥ ♥✉❡str♦ ❝❛s♦✱ ❧❛s ❞❡♥♦♠✐♥❛r❡♠♦s L1 óU1✱ s❡❣ú♥ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❛✳ ❊①✐st❡♥ ✈❛r✐❛s ❢♦r♠❛s ❞❡ tr❛♥s❢♦r♠❛r ❛ ✉♥❛ ♠❛tr✐③ ❆ ❝♦♠♦♣r♦❞✉❝t♦ ❞❡ ❞♦s ♠❛tr✐❝❡s tr✐❛♥❣✉❧❛r❡s✳ ❆❧❣✉♥♦s ❞❡ ❧♦s ♠ét♦❞♦s ❞❡ ❢❛❝t♦r✐③❛❝✐ó♥♠❛s ❝♦♥♦❝✐❞♦s s♦♥✿

❋❛❝t♦r✐③❛❝✐ó♥ ❞❡ ❈r♦✉t✳ (LU1)

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❋❛❝t♦r✐③❛❝✐ó♥ ❞❡ ❈❤♦❧❡s❦✐ ♣❛r❛ ♠❛tr✐❝❡s ❆ ♣♦s✐t✐✈❛s ❞❡✜♥✐❞❛s✳

✹✳✹✳✶✳ ❋❛❝t♦r✐③❛❝✐ó♥ ❞❡ ❈r♦✉t

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❆♥á❧✐s✐s ◆✉♠ér✐❝♦ ♣❛r❛ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❋❛❝✉❧t❛❞ ❞❡ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❯✳◆✳▼✳❞✳P✳ ✻✺

❈❛♣ít✉❧♦ ✹✳ ❘❡s♦❧✉❝✐ó♥ ❞❡ ❙✐st❡♠❛s ❞❡ ❊❝✉❛❝✐♦♥❡s ▲✐♥❡❛❧❡s

LU1 =

l11 0 0 0l21 l22 0 0l31 l32 l33 0l41 l42 l43 u44

·

1 u12 u13 u14

0 1 u23 u24

0 0 1 u34

0 0 0 1

=

a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44

❆sí ♣♦❞❡♠♦s ❛♣r❡❝✐❛r q✉❡ l11 = a11✱ l21 = a21✱ l31 = a31 ② l41 = a41✱ ❡s ❞❡❝✐rq✉❡ ❧❛ ♣r✐♠❡r ❝♦❧✉♠♥❛ ❞❡ ▲ ❡s ✐❣✉❛❧ ❛ ❧❛ ♣r✐♠❡r ❝♦❧✉♠♥❛ ❞❡ ❆✳

P♦r ❧♦ t❛♥t♦✱ ❛ ♣❛rt✐r ❞❡ l11 · u12 = a12✱ l11 · u13 = a13✱ l11 · u14 = a14✱ ❡s ♣♦s✐❜❧❡❝❛❧❝✉❧❛r ❧❛ ♣r✐♠❡r ✜❧❛ ❞❡ U1 ❝♦♠♦✿

u12 =a12l11

✱ u13 =a13l11

② u14 =a14l11

❊♥ ❡st❡ ♠ét♦❞♦ s❡ ❛❧t❡r♥❛♥✱ ❡❧ ❝á❧❝✉❧♦ ❞❡ ❧❛s ❝♦❧✉♠♥❛s ❞❡ L ❝♦♥ ❡❧ ❞❡ ❧❛s ✜❧❛s❞❡ U1✳ ❱❡♠♦s q✉❡ s✐ s❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❝❛♥ ❧❛s ✜❧❛s ❞❡ L ♣♦r ❧❛ s❡❣✉♥❞❛ ❝♦❧✉♠♥❛ ❞❡ U1 s❡♦❜t✐❡♥❡✿

l21 · u12 + l22 = a22l31 · u12 + l32 = a32l41 · u12 + l42 = a42

❉❡ ❡st❡ ♠♦❞♦ s❡ ♦❜t✐❡♥❡ ❧❛ s❡❣✉♥❞❛ ❝♦❧✉♠♥❛ ❞❡ L ✿

l22 = a22 − l21 · u12

l32 = a32 − l31 · u12

l42 = a42 − l41 · u12

❙✐❣✉✐❡♥❞♦ ❡st❡ ❡sq✉❡♠❛✱ ♣♦❞❡♠♦s ❝❛❧❝✉❧❛r ❡❧ r❡st♦ ❞❡ ❧♦s ✈❛❧♦r❡s ❞❡ ❧❛s ♠❛tr✐❝❡sL ② U1 ✿

u23 =a23 − l21 · u13

l22❀ u24 =

a24 − l21 · u14

l22

l33 = a33 − l31 · u13 − l32 · u23 ❀ l43 = a43 − l41 · u13 − l42 · u23

u34 =a34 − l31 · u14 − l32 · u24

l33

l44 = a44 − l41 · u14 − l42 · u24 − l43 · u34

❊st❡ ♣r♦❝❡s♦ ♣✉❡❞❡ s✐♥t❡t✐③❛rs❡ ❡♥ ❧❛s s✐❣✉✐❡♥t❡s ❢ór♠✉❧❛s ❣❡♥❡r❛❧❡s ♣❛r❛ ❝❛❧❝✉✲❧❛r ❧♦s ❡❧❡♠❡♥t♦s ❞❡ L ② U1 ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐❡♥t❡s ❛ ✉♥ s✐st❡♠❛ ❞❡ ♥ ❡❝✉❛❝✐♦♥❡s ❧✐♥❡❛❧❡ss✐♠✉❧tá♥❡❛s✳

❆♥á❧✐s✐s ◆✉♠ér✐❝♦ ♣❛r❛ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❋❛❝✉❧t❛❞ ❞❡ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❯✳◆✳▼✳❞✳P✳ ✻✻

❈❛♣ít✉❧♦ ✹✳ ❘❡s♦❧✉❝✐ó♥ ❞❡ ❙✐st❡♠❛s ❞❡ ❊❝✉❛❝✐♦♥❡s ▲✐♥❡❛❧❡s

lij = aij −j−1∑

k=1

lik · ukj ♣❛r❛ j ≤ i ❝♦♥ i = 1, 2, ..., n

uij =

aij −i−1∑

k=1

lik · ukj

lii♣❛r❛ i > j ❝♦♥ j = 2, 3, ..., n

◆♦t❛r q✉❡ ♣❛r❛ ❥❂✶ ❧❛ r❡❣❧❛ ♣❛r❛ ❧ s❡ r❡❞✉❝❡ ❛ li1 = ai1 ② ♣❛r❛ i = 1 ❧❛ r❡❣❧❛ ❞❡✉ s❡ r❡❞✉❝❡ ❛ uij =

a1jl11

=a1ja11

❯♥❛ ❞❡ ❧❛s ♣❛rt✐❝✉❧❛r✐❞❛❞❡s ❞❡ ❡st❡ ♠ét♦❞♦ ❡s q✉❡ s❡ ♣✉❡❞❡ ❡❝♦♥♦♠✐③❛r ❡s♣❛❝✐♦❞❡ ❛❧♠❛❝❡♥❛♠✐❡♥t♦✳ P♦r ❡❥❡♠♣❧♦✱ ♥♦ ❡s ♥❡❝❡s❛r✐♦ ❣✉❛r❞❛r ❧♦s ❝❡r♦s ❞❡ ❧❛s ♠❛tr✐❝❡str✐❛♥❣✉❧❛r❡s ❡ ✐♥❝❧✉s♦ ♣✉❡❞❡♥ ♦♠✐t✐rs❡ ❧♦s ✉♥♦s ❞❡ U1✳ ❖tr❛ ❝❛r❛❝t❡ríst✐❝❛ ✐♥t❡r❡✲s❛♥t❡ ❡s q✉❡ ❧♦s ❡❧❡♠❡♥t♦s ❞❡ ❆ s♦♥ ✉t✐❧✐③❛❞♦s ✉♥❛ s♦❧❛ ✈❡③ ❡♥ ❡❧ ❝á❧❝✉❧♦✳ P♦r ❧♦t❛♥t♦ ❡s ♣♦s✐❜❧❡ ❛❧♠❛❝❡♥❛r ❧♦s ✈❛❧♦r❡s ❞❡ L ② U1 ② ♦❝✉♣❛r ❡❧ ♠✐s♠♦ ❡s♣❛❝✐♦ ❞❡ ❧❛♠❛tr✐③ ♦r✐❣✐♥❛❧✳

a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44

→

l11 u12 u13 u14

l21 l22 u23 u24

l31 l32 l33 u34

l41 l42 l43 l44

❆ ❡st❡ ♠ét♦❞♦ s❡ ❧❡ ❧❧❛♠❛ r❡❞✉❝❝✐ó♥ ❝♦♠♣❛❝t❛ ❞❡ ❈r♦✉t✳

✹✳✹✳✷✳ ❈á❧❝✉❧♦ ❞❡ ❧❛ s♦❧✉❝✐ó♥✱ ❛ ♣❛rt✐r ❞❡ ❧❛ ❢❛❝t♦r✐③❛❝✐ó♥ ❞❡

❈r♦✉t✳

❊s ♠✉② s❡♥❝✐❧❧♦ ❝❛❧❝✉❧❛r ❧❛ s♦❧✉❝✐ó♥ ❞❡ ✉♥ s✐st❡♠❛ A · x = b ❛ ♣❛rt✐r ❞❡ ❧❛s♠❛tr✐❝❡s L ② U1✱ ❞❡ ❧❛ s✐❣✉✐❡♥t❡ ♠❛♥❡r❛✿

✶✳ A · x = b ❡s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t❡ ❛ L · U1 · x = b✳ ❙✐ ❤❛❝❡♠♦s c = U1 · x✱ ❡♥t♦♥❝❡s ♥♦sq✉❡❞❛ L ·(U1 ·x) = b✱ ó ❧♦ q✉❡ ❡s ❧♦ ♠✐s♠♦✱ L ·c = b✳ ❊❧ s✐st❡♠❛ L ·c = b ❡s ✉♥s✐st❡♠❛ ❝♦♥ ♠❛tr✐③ tr✐❛♥❣✉❧❛r ✐♥❢❡r✐♦r✱ ❡♥ ❡❧ ❝✉❛❧ L ② b s♦♥ ❝♦♥♦❝✐❞♦s✳ P❛r❛❝❛❧❝✉❧❛r ❧♦s ✈❛❧♦r❡s ❞❡ c✱ s❡ r❡❛❧✐③❛♥ ❧❛s s✐❣✉✐❡♥t❡s s✉st✐t✉❝✐♦♥❡s ♣r♦❣r❡s✐✈❛s✿

❛✮ c1 =b1l1

❜✮

i−1∑

k=1

lik · ck

lii♣❛r❛ ✐❂✷✱✸✱✳✳✳♥

✷✳ P♦r ú❧t✐♠♦ ❡♥❝♦♥tr❛♠♦s ❧❛ s♦❧✉❝✐ó♥ ❞❡❧ s✐st❡♠❛✱ ♣♦r ♠❡❞✐♦ ❞❡ U1 ·x = c✳ ❊st❡ú❧t✐♠♦ ❡s ✉♥ s✐st❡♠❛ ❝♦♥ ♠❛tr✐③ tr✐❛♥❣✉❧❛r s✉♣❡r✐♦r✱ ❡❧ ❝✉❛❧ ♣✉❡❞❡ r❡s♦❧✈❡rs❡♣♦r ♠❡❞✐♦ ❞❡ s✉st✐t✉❝✐♦♥❡s r❡❣r❡s✐✈❛s✳

❆♥á❧✐s✐s ◆✉♠ér✐❝♦ ♣❛r❛ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❋❛❝✉❧t❛❞ ❞❡ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❯✳◆✳▼✳❞✳P✳ ✻✼

❈❛♣ít✉❧♦ ✹✳ ❘❡s♦❧✉❝✐ó♥ ❞❡ ❙✐st❡♠❛s ❞❡ ❊❝✉❛❝✐♦♥❡s ▲✐♥❡❛❧❡s

❛✮ xn = cn

❜✮ cj −n∑

k=j+1

ujk · xk ♣❛r❛ ❥❂♥✲✶✱♥✲✷✱✳✳✳✱✶

✹✳✺✳ ◆♦r♠❛s ▼❛tr✐❝✐❛❧❡s ② ❱❡❝t♦r✐❛❧❡s

✹✳✺✳✶✳ ◆♦r♠❛s ▼❛tr✐❝✐❛❧❡s

✹✳✺✳✷✳ ◆♦r♠❛s ❱❡❝t♦r✐❛❧❡s

✹✳✻✳ ❆♥á❧✐s✐s ❞❡ ❙❡♥s✐❜✐❧✐❞❛❞

✹✳✻✳✶✳ ◆ú♠❡r♦ ❞❡ ❈♦♥❞✐❝✐ó♥

✹✳✻✳✷✳ ❙✐st❡♠❛s ♠❛❧ ❈♦♥❞✐❝✐♦♥❛❞♦s

✹✳✼✳ ▼ét♦❞♦s ■♥❞✐r❡❝t♦s ✭■t❡r❛t✐✈♦s✮

✹✳✼✳✶✳ ▼ét♦❞♦ ❞❡ ❏❛❝♦❜✐

✹✳✼✳✷✳ ▼ét♦❞♦ ❞❡ ●❛✉ss✲❙❡✐❞❡❧

✹✳✼✳✸✳ ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝✐❛ ❞❡ ●❛✉ss✲❙❡✐❞❡❧

✹✳✼✳✹✳ ▼ét♦❞♦s ❞❡ ❘❡❧❛❥❛❝✐ó♥

❆♥á❧✐s✐s ◆✉♠ér✐❝♦ ♣❛r❛ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❋❛❝✉❧t❛❞ ❞❡ ■♥❣❡♥✐❡rí❛ ❯✳◆✳▼✳❞✳P✳ ✻✽

apunte analisis numerico - Facultad de Ingeniería · PDF fileSolución Numérica de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 47 ... Métodos de Runge Kutta de orden superior....

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