ANLISE DE SRIES TEMPORAIS ECONMICASProf. Henrique Dantas Neder Universidade Federal de Uberlndia
Processos EstocsticosDefinio: Seja T um conjunto arbitrrio. Um processo estocstico uma famlia
Z ! { Z ( t ), t T },tal que, para cada t T , Z ( t ) uma varivel aleatria. Um processo estocstico uma famlia de variveis aleatrias.
O processo estocstico
Z ! {Z (t ), t }
Est completamente especificado se conhecermos as funes de distribuio
F ( z1 ,...., zn ; t1 ,...., tn ) ! P _Z (t1 ) e z1 ,...., Z (tn ) e zn apara todo
n u1
Processos estocsticos estacionriosUm processo estocstico Z ! { Z ( t ), t } estritamente estacionrio se todas as funes de distribuies permanecem as mesmas no decorrer do tempo, ou seja,
( z1 ,...., z n ; t1 X ,...., tn X ) ! F ( z1 ,...., z n ; t1 ,...., tn )para quaisquer t1,...,tn,
Processo estocstico estacionrioTodas as distribuies univariadas so invariantes no tempo: (t)=,V(t)=2 para
todo t
.
Podemos tambm supor que =0 ou, de forma alternativa, considerar o processo {Z(t)-} {Z(t)Como
K (t1 , t2 ) ! K (t1 t , t2 t ) ! K (t1 t2 , 0) ! K (X )
Processo estocstico estacionrioLogo, em um processo estritamente estacionrio, K (t1 , t2 ) uma funo de um nico argumento, ou seja, o valor da covarincia depende apenas da defasagem temporal. temporal.
Processo estocstico fracamente estacionrioProcesso estacionrio de 2a. ordem (ou em sentido amplo): amplo): 1) E{Z(t)}=(t)=, constante, para todo t E{Z(t)}=(t)=, 2) E{Z2(t)} < ; para todo t 3) K (t1
T;
T; uma funo de
, t2 ) ! cov{Z (t1 ), Z (t2 )}
t1 t2
Autocorrelao o coeficiente de correlao observaes defasadas no tempo: tempo:n 1
entre
( x x )( xt 1
t 1
x2 ) x2 )2
r1 !
t !1 n 1
(x x ) (x2 t 1 t !1
t 1
Autocorrelaoonde as mdias amostrais so:n 1n
x1 ! xt (n 1)i !1
e
x2 !
xi!2
t
( n 1)
AutocorrelaoCostumaCostuma-se simplificar a expresso anterior da seguinte forma:n 1
(xr1 !J quet !1
t
x )( xt 1 x )n 1 2
( n 1) ( xt x )
n
x1 } x2
t !1
e assumindo varincia constante.
AutocorrelaoA expresso anterior pode ser generalizada para k perodos de tempo (defasagem):
(xrk !t !1
nk
t
x )( xt k x )
( xt x ) 2 t !1
n 1
Sries aleatriasSe x1,x2,...,xn so i.i.d (independentes e ...,x identicamente distribudas) ento o coeficiente de autocorrelao amostral rk assintoticamente normalmente distribudo com mdia e varincia dados por: por:
E ( rk ) } 1/ n e Var(rk ) } 1/ n
Processo rudo branco - Stata* simulao de um processo rudo branco e um passeio aleatrio
drawnorm ruido, n(500) seed(500) n(500) seed(500) gene tempo = _n tsset tempo twoway (tsline ruido) wntestq ruido
Simulao de um processo rudo branco todas as variveis Xt tem distribuio normal com mdia =0 e =0 =14 -4 0 -2 ruido 0 2
100
20 0 tem po
3 00
400
5 00
Processo Passeio Aleatrio Stataset obs 500 gen int t = _n gen sumz = sum(invnorm(uniform())) tset t twoway (tsline sumz) O passeio aleatrio no estacionrio. A sua especificao economtrica : Yt=Yt-1+at, at~N(0, 2)
Simulao de um processo passeio aleatrio (random walk)5 s -1 5 0 -1 0 z -5 0
100
20 0 t
3 00
00
5 00
Processo Passeio Aleatrio StataOu um passeio aleatrio com tendncia: Yt= 0+Yt-1+at, at~N(0, 2) Se 0, ento em mdia, Yt aumenta. A melhor previso da srie para t+1 t+1 Yt+ 0. No modelo anterior, passeio aleatrio sem tendncia, a melhor previso da srie t+1 t+1 Yt.
Processo Passeio AleatrioO modelo de passeio aleatrio uma caso especial do modelo AR(1) auto-regressivo de primeira ordem: autoYt= 1Yt-1+at, at~N(0, 2) quando 1=1, o modelo AR no estacionrio e sua varincia aumenta ao longo do tempo. tempo. Na equao Yt=Yt-1+at, at~N(0, 2) ~N(0 Var(Yt) = Var(Yt-1)+Var(at) Para que Yt seja estacionrio Var(Yt) = Var(Yt-1), mas para isto Var(at) = 0
Processo Passeio AleatrioY0=0 , Y1=a1, Y2=a1+a2,Yt=a1+a2+...+at Var(Yt)=t. aumenta.2
: a varincia aumenta a medida que t
No caso de um modelo auto-regressivo de ordem p auto(AR(p)): Yt= 1Yt-1+ 2Yt-2+...+ pYt-p+at, at~N(0, 2) Para ser estacionrio todas as razes do polinmio 1- 1z- 1z2-... pzp devem ser maiores do que 1 em valor absoluto.
Testes de raiz unitria DickeyDickey-FullerConsideremos o modelo AR(1): Zt = Zt = H0 { H {1
Zt-1+at , at~N(0, 2) 11Zt-1+at 1
=
1- 1
=0 1< 0
Testes de raiz unitria DickeyDickey-Fuller aumentado( Z t ! F 0 H Z t 1 K 1( Z t 1 K 2 ( Z t 2 ... K p ( Z t p ut H 0 {H ! 0 (Z t tem uma tendencia estocastica) H A {HO
0 (Z t estacionaria)
nmero de defasagens p pode ser obtido utilizando os critrios AIC (Akaike) ou Schwarz que veremos adiante. A estatstica ADF no tem distribuio normal, mesmo para amostras grandes.
Testes de raiz unitria DickeyDickey-Fuller aumentadouse http://www.stata-press.com/data/r8/lutkepohl.dta http://www.statatsset qtr twoway (tsline investment) dfuller investiment dfuller D.investment dfuller D.investment, lags(4) fitstat dfuller D.investment, lags(3) fitstat dfuller D.investment, lags(2) fitstat
Evoluo temporal da srie investimento antiga Alemanha Ocidental1 00 0 I 2 00 19 60 q1 00 st 6 00 t 8 00
1965 q1
19 70 q1 qtr
1 975 q1
198 0q1
1 985 q1
Testes de raiz unitria DickeyDickey-Fuller aumentadoCom a seguinte seqncia de comandos Stata, verifique a estacionariedade de um passeio aleatrio: set obs 500 gen int t = _n gen sumz = sum(invnorm(uniform())) tset t dfuller sumz dfuller D.sumz twoway (tsline D.sumz)
Evoluo temporal da diferena de um passeio aleatrio
D.sum z -4 0 -2
0
2
100
20 0 t
3 00
400
5 00
Existem alguns problemas adicionais com relao a testes de raiz unitria: 1) Eles tem baixo poder para discriminar entre uma raiz unitria e um processo prximo de raiz unitria. 2) Eles podem usar um conjunto inapropriado de regressores determinsticos. 3) Para os testes deve ser considerada a possibilidade de quebra estrutural.
Os testes ADF devem considerar o seguinte conjunto de equaes:p
(yt ! K yt 1 Fi (yt i 1 I ti !2 p
(yt ! a0 K yt 1 Fi (yt i 1 I ti !2 p
(yt ! a0 K yt 1 a2t Fi (yt i 1 I ti !2
Operadores para sries temporaisOperador translao para o passado BZt=Zt-1 BmZt=Zt-m Operador diferena Zt=Zt-Zt-1=(1-B)Zt =(1=1 B Operador soma g 2 SZt= Z t j ! Z t Z t 1 ... ! (1 B B ...) Z tj !0
! (1 B ) Z t
@ S=(
-1
Modelos ARMA (Box-Jenkins) (Box
ARMA(p,q)
Z t ! J1Z t 1 ... J p Z t p at U1at 1 ... U p at p ou
J ( B) Zt ! U ( B) Ztonde
J ( B ) ! 1 J1 B J2 B 2 ... J p B p U ( B ) ! 1 U1 B U 2 B ... U p B2 p
Modelos ARMA (Box-Jenkins) (Box
Filtro linear(B)Filtro linear
at Zt= +at+Onde 1at-1+ 2at-2+...=
zt + (B) at
(B)=1+
1B+
2B
2+...
Modelo ARMA(1,1)
Zt=0,8Zt-1+at-0,3at-1 Simulao no Stata: drawnorm a, n(50) seed(500) gene tempo = _n tsset tempo set matsize 800 gene z = 0 mkmat a z,matrix(Z) forvalues i = 2(1)50 { matrix Z[`i',2]=.8*Z[`i'-1,2]+Z[`i',1]-.3*Z[`i'-1,1] Z[`i',2]=.8*Z[`i'-1,2]+Z[`i',1]-.3*Z[`i'} svmat Z, name(serie) twoway (tsline serie2)
Funo de autocorrelao parcialSeja um modelo autorregressivo AR(k):
Z t ! Jk 1Z t 1 Jk 2 Z t 2 ... Jkk Z t k
V j ! Jk1 V j 1 Jk 2 V j 2 ... Jkk V j k , jTemos assim as equaes de Yule-Walker:
1,...,k
Equaes de Yule-Walker YuleV1 V 2 ... 1 V1 1 V 2 ... . . V k 1 V k 2 V k 3 ... V k 1 Jk1 Vk 2 Jk 2 ... J kk 1 V1 V2 ! ... V k
Funo de autocorrelao parcialResolvendo para k =1,2,3... =1J11 ! V1
1 1J22 ! V1 V1 V2 V 2 V12 ! V1 1 V12 J33 ! V1 V2
V1
V1 V2 V3 V2 V1
1V1 V1
1V1
1V1 V2
1
1V1
1
e em geral,Jkk ! 6* k 6kOnde Pk a matriz de autocorrelaes e Pk* a matriz Pk com a ltima coluna substituda pelo vetor de autocorrelaes (ver Morettin, 2004).
Modelos ARMA1.
2.
3.
Um processo AR(p) tem fac que decai de acordo com exponenciais e/ou senoides amortecidas, infinita em extenso; extenso; Um processo MA(q) tem fac finita, com um corte aps o lag q; Um processo ARMA(p,q) tem fac infinita em extenso, que decai de acordo com exponenciais e/ou senoides amortecidas aps o lag q-p
Modelos ARMA1.
2.
3.
Um processo AR(p) tem facp kk 0, para k p e kk=0, para k >p; >p; Um processo MA(q) tem facp que se comporta de maneira similar fac de um processo AR(p); AR(p); Um processo ARMA(p,q) tem facp que se comporta como a facp de um processo MA puro (ver Morettin, 2004) 2004)
Modelos ARMAVamos simular no Stata diversos processos ARMA e verificar a sua fac e fapc. Para isto baixe o arquivo dodofile:http://www.ecn26.ie.ufu.br/TEXTOS_ESTATISTICA/SIMULACAO%20ARMA.do
Modelos ARMAPr oc e s s o A R (1 )4 2 3
P roc e s s o M A( 1)
s e ri e 2 0 2
-2
0
50
10 0 tem p o
15 0
200
-2 0
-4
-1
s e r ie 3 0 1
50
10 0 te m po
15 0
20 0
Pr oc e s s o A R M A (1 )4 -4 0 -2 s e ri e 4 0 2
50
10 0 tem p o
15 0
200
Correlograma processo AR(1)
Correlograma processo MA(1)
Correlograma processo ARMA(1,1)
Identificao de modelos ARMAARIMA(1,0,0)decai exponencialmente Somente 11 0k
ARIMA(0,0,1)Somente 1 0 kk decai exponencialmente
ARMA(2,0,0)mistura de exponenciais ou senoides amortecidas 11 0 e 22 0k
ARMA(0,0,2)0e 2 0 kk mistura de exponenciais ou senoides amortecidas1
ARMA(1,0,1)decai exponencialmente aps o lag 1 kk decai exponencialmente aps o lag 1k
Outras alternativas de identificao de modelos ARMA
Critrio de informao de Akaike:
k2,l 2(k l 2) AIC (k , l ) ! N ln Wonde:
W k2,l
a estimativa de mxima verossimilhana da varincia dos resduos do modelo ARMA(k,l) ajustado s N observaes da srie.
Outras alternativas de identificao de modelos ARMA
Critrio de informao Bayesiano2 k ,l
BI (k , l ) ! ln Wonde:
(k l )
ln
W k2,l a estimativa de mxima verossimilhana da varincia dos resduos do modelo ARMA(k,l) ajustado s N observaes da srie.
Aplicao dos critrios AIC e BIC atravs do Stata- aplicados a srie Statagdp diferenciada(produto interno bruto) dos EUA Exemplo Gujarati
Aplicao dos critrios AIC e BIC atravs do Stata
Aplicao dos critrios AIC e BIC atravs do Stata ModeloAR(1 8 9 12) MA(1 2 8 12) ARMA(1,1)
AIC853.78007
SIC875.97324
-2log likelihood835.78007
No. de parmetros9
865.28999
872.68771
859.28999
3
ARMA(2,1)
866.95925
876.82288
858.95925
3
ARMA(1,2)
867.10988
876.97351
859.10988
4
Verificao da adequao do modelo diagnsticoPara verificar a adequao do modelo aos dados, um dos procedimentos utilizados verificar se os resduos so auto-correlacionados. auto-correlacionados. Os resduos do modelo podem ser obtidos atravs do comando predict: predict: arima d.gdp, ar(1) ma(1) ar(1 ma(1 predict residuo, residuals corrgram residuo ac residuo
Verificao da adequao do modelo diagnsticoi f r rr t .4 . l ti . . .4
4 L B r tl t t' f r l f r ( ) 9 % fi
-
Aparentemente, os resduos do modelo ARMA(1,1) no so auto-correlacionados (com exceo do lag 8, as correlaes dos resduos defasados no so significativas).
Introduo a Anlise VAR Vector Autoregressive RegressionConsidere o sistema bi-variado simples:
yt ! b10 b12 zt K 11 yt 1 K 12 zt 1 I yt zt ! b20 b21 yt K 21 yt 1 K 22 zt 1 I ztAssume-se que: 1) yt e zt so sries estacionrias 2) yt e zt so erros aleatrios rudo branco com desvios-padroes y e z respectivamente. 3) yt e zt so sries no auto-correlacionadas b12 o efeito contemporneo de uma mudana unitria de zt em yt.
Podemos colocar este sistema na forma matricial:
1 b12 yt b10 K 11 K 12 yt 1 I yt ! b21 1 zt b20 K 21 K 22 zt 1 I zt ou Bxt ! + 0 +1 xt 1 I tou xt ! A0 A1 xt 1 et onde :
yt 1 1 1 xt ! , A 0 ! B + 0 , A1 ! B +1 , et ! B I t zt
A Funo de Impulso-RespostaConsidere um modelo VAR bi-variado:
yt ! J1 yt 1 I t onde:
y1,t yt ! y 2,t
I1,t It ! I 2,t
J1,1 J1,2 J1 ! J2,1 J2,2
Considere os efeitos dos choques correntes e passados na serie yt. Por exemplo, um choque unitrio 1,t tem um efeito de aumentar y1,t em uma unidade e 2,t tem um efeito similar sobre y2,t. Mas examinemos os efeitos de outros choques e choques passados.
Fazendo repetidas substituies para trs:
yt ! J1t y0 J1t 1I1 ... J12 I t 2 J1I t 1 I t y1,t J1,1 J1,2 I1,t 1 t t 1 2 J J I J I It ! y ! 1 y0 1 1 ... 1 t 2 J2,1 J2,2 I 2,t 1 2,t J1,1I1,t 1 J1,2 I 2, t 1 t t 1 2 J1 y0 J1 I1 ... J1 I t 2 It J I J2,2 I 2,t 1 2,1 1,t 1Isto torna claro que o efeito de uma unidade no choque sobre y1,t 1,1 e que o mesmo choque tem um efeito de sobre y2,t.1,t-1 2,1
O impulso-resposta de segunda ordem obtido por: J12 J1,2J2,1 J1,1J1,2 J1,2J2,2 2 J1 ! 2 J J J J J2,1J1,2 J2,2 2,1 1,1 2,2 2,1 y1,t J12 J1,2J2,1 J1,1J1,2 J1,2J2,2 I1,t 2 t t 1 2 y ! J1 y0 J1 I1 ... J J J J I J2,1J1,2 J2,2 2,t 2 2,t 2,1 1,1 2,2 2,1 J1I t 1 I t Generalizando: o efeito de uma unidade do choque 1,t-h sobre y1,t dado pelo elemento superior esquerdo da matriz h. Em geral, o efeito sobre y i,t de uma unidade de choque 1 h j,t-h dado pelo elemento (i,j) da matriz 1 .
Para as aplicaes a seguir iremos utilizar o arquivo de dados Stata obtido atravs do comando: use http://www.ecn26.ie.ufu.br/DADOS/money.dta Este comando ir carregar atravs da web o arquivo de dados para o Stata. Para obter um modelo VAR o primeiro passo a ser executado a obteno de seu nmero de lags. Isto conseguido atravs do comando varsoc: set matsize 800 varsoc y m inf, maxlag(7)
Determinao do nmero de lags de um modelo VAR irrestrito
Pelo resultado anterior, de acordo com os critrios de AKAIKE (AIC), Final Predction Error (FPE) e Likelihood Ratio Test (LR) a melhor estrutura de lags corresponde ao modelo de 4 lags. Rodamos ento o modelo VAR com 4 lags atravs do comando: var y m inf, lags(1/4) O resultado em si das estimativas MQO do modelo no tem valor analtico para o tipo de anlise que iremos fazer a seguir. Portanto, para suprimir a sada das estimativas do modelo, iremos executar o comando: quietly var y m inf, lags(1/4)
Teste de normalidade dos resduos para modelo VAR
Pelos resultados do teste Jarque-Bera, os resduos para as equaes das variveis y e m so normais ao passo que para a equao da varivel inf rejeitada a hiptese nula de normalidade dos resduos. importante tambm verificar a condio de no autocorrelao dos resduos do modelo. Utiliza-se para isto o comando: varlmar Pelos resultados da sada Stata a seguir, os resduos do modelo apresentam auto-correlao de primeira ordem, mas no apresentam auto-correlao de segunda ordem.
Teste de auto-correlao dos resduos do modelo VAR
Para realizar a anlise das funes impulso-resposta e decomposio de varincia no Stata temos uma seqncia de comandos: irf set arquivo1 irf create modelo1 irf table irf fevd Com estes comandos especificamos a sada para as funes impulso-resposta e decomposio de varincia, mostradas a seguir.
Funes impulso-resposta e decomposio de varincia para modelo VAR
Decomposio de varinciaDiferentemente da anlise de impulso-resposta, na decomposio de varincia estamos interessados em avaliar a importncia relativa (percentual) sobre os erros de previso para uma determinada varivel. Na anlise de impulso-resposta podemos verificar o sentido dos efeitos de cada varivel (impulso) sobre as outras variveis (resposta). O efeito neste caso pode ser positivo ou negativo. No caso da decomposio de varincia esta noo de sentido dos efeitos j no existe, mas apenas o valor relativo dos efeitos de cada varivel sobre o erro de previso de uma determinada varivel.
Funes Impulso-Resposta para Modelo VARm odel o1, i nf, inf 1 .5 0 -.5 m odel o1, m , i nf 1 .5 0 -.5 m odel o1, y , inf 1 .5 0 -.5 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 m ode lo1, y , m m odelo 1, y , y m ode lo1, m, m m odelo 1, m , y m ode lo1, inf , m m odelo 1, in f, y
step 95% CI impulse response function (irf)
Graphs by ir fname, impulse var iable, and response var iable
Nos grficos da primeira coluna do slide anterior vemos as respostas das trs variveis sobre a inflao. No primeiro grfico desta coluna vemos o efeito resposta de uma variao unitria do choque exgeno na equao da inflao sobre a prpria inflao quando transmitido atravs dos seus efeitos multiplicadores pelo conjunto do sistema. Ele mostra que a inflao tem efeitos sobre seus prprios valores futuros at o terceiro ou quarto lags. Observando a segunda linha de grficos verifica-se que a oferta monetria no produz efeito futuro sobre as variveis inflao (inf) e Produto Interno Bruto (y). Ela apresenta um impacto significativo sobre a prpria oferta monetria at o segundo lag. Isto sugere que h uma fraca relao dinmica entre as variveis do modelo.
Um comando apropriado para o Stata para grficos de decomposio de varincia : irf graph fevd, irf(modelo1) Isto tambm pode ser obtido atravs do menu: Statistics => Multivariate time series => IRF & FEDV Analysis => Graphs by Impulse or response (e especifique em Statistics to graph: fevd)
Decomposio de varincia para Modelo VARmo delo1 , i f , i f mod elo1, i f , m m ode lo1, i f ,
.
0
.
0
.
0 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8
step IGraphs
f
ti on of mse due to impulse
ir fname, impulse ar iable, and response ar iable
mo delo1 , , i f
mod elo1,
,m
m ode lo1,
,
mo delo1 , m , i f
mod elo1, m, m
m ode lo1, m,
