Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos

Modelagem de Sistemas DinâmicosAula 4

Prof. Daniel [email protected]

Programa de Pos-Graduacao em Engenharia de Automacao e Sistemas

Universidade Federal de Santa Catarina

PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.1/29

Sumário

• Modelagem Analítica de Sistemas Mecânicos


Sumário


1. Introdução


Sumário


1. Introdução

2. Mecânica Newtoniana - Parte 1


Sumário


1. Introdução


3. Translação


Sumário


1. Introdução


3. Translação

4. Elementos Ideais


Sumário


1. Introdução


3. Translação

4. Elementos Ideais

5. Exemplos


Introdução - I

• A modelagem mecânica consiste na obtenção de modelos

matemáticos abstratos que descrevem a dinâmica de

sistemas mecânicos.


Introdução - I




• Os modelos de sistemas mecânicos podem ser divididos em

dois grandes grupos:


Introdução - I






1. Modelos cinemáticos: movimento sem levar em conta

massa e forças.


Introdução - I






1. Modelos cinemáticos: movimento sem levar em conta

massa e forças.

2. Modelos dinâmicos: movimento levando em conta as

massas e forças envolvidas.


Introdução - II


Introdução - III

• As três principais formulações da mecânica clássica:


Introdução - III


1. Mecânica Newtoniana: baseia-se na determinação das

forças envolvidas em um sistema para determinar o

movimento das partículas do sistema.


Introdução - III





2. Mecânica Lagrangeana: a trajetória de um sistema de

partículas é obtido resolvendo as equações de Lagrange

utilizando um formalismo escalar.


Introdução - III





2. Mecânica Lagrangeana: a trajetória de um sistema de

partículas é obtido resolvendo as equações de Lagrange

utilizando um formalismo escalar.

3. Mecânica Hamiltoniana: é uma reformulação da

mecânica Lagrangeana e difere-se por não utilizar

restrições diferenciais de segunda ordem no modelo.


Mecânica Newtoniana• A mecânica Newtoniana variáveis vetoriais para descrever

o movimento de partículas.




• Baseia-se nas três leis de Newton que foram obtidas com

base em experimentos:






1. Inércia






1. Inércia

2. Momento linear






1. Inércia

2. Momento linear

3. Ação e reação






1. Inércia

2. Momento linear

3. Ação e reação

• Quando a geometria de um corpo não influência o

movimento de um corpo, assume-se que toda a massa é

concentrada em uma coordenada geométrica (ponto de

massa).PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.6/29

Conceitos Básicos - I


Conceitos Básicos - II• Movimento de uma partícula entre dois pontos:



1. xr1: posição de referência (fixa)




2. x(t): deslocamento entreP1 eP2, x(t) = xr2(t)− xr1





3. v2(t): velocidade emP2

v2(t) =dxr2(t)

dt=

dxr1

dt+

dx(t)

dt=

dx(t)

dt





3. v2(t): velocidade emP2

v2(t) =dxr2(t)

dt=

dxr1

dt+

dx(t)

dt=

dx(t)

dt

4. a2(t): aceleração emP2:

a2(t) =dv2(t)

dt=

dx2(t)

dt2


Conceitos Básicos - III


Conceitos Básicos - IV• Conceito de Força: (considerando que o pontoP não está

em movimento)



em movimento)

1. Somatório de forças sobre o pontoP é igual a zero,

pois caso contrário o ponto estaria em movimento.



em movimento)



2. A força exercida deA emB é igual em módulo a força

deB emA com direção oposta (ação e reação).



em movimento)



2. A força exercida deA emB é igual em módulo a força

deB emA com direção oposta (ação e reação).

• Potência mecânica:

p(t) = Fmv(t) = ‖F‖ cos(θ)‖v‖ =<F,v>

(notação: em negrito são variáveis vetoriais)


Conceitos Básicos - V


Conceitos Básicos - V

• Trabalho: (trabalho realizado entreta e tb comtb > ta)

Wab =

∫ tb

t1

p(t)dt =

∫ tb

t1

Fmv(t)dt

• Energia: a energia mecânica é a soma de todos os trabalhos

realizados pelas forças atuantes entre os instantesta e tb.

Por exemplo, energia cinéticaEc = mv2/2.


1a Lei de Newton• Momento (quantidade de movimento)

I = mv



I = mv

• O momento de um ponto de massa permanece constante se

e somente se a soma de todas as forças que atuam nesse

ponto for zero.

I = mv = cte ⇔∑

F = 0



I = mv

• O momento de um ponto de massa permanece constante se

e somente se a soma de todas as forças que atuam nesse

ponto for zero.

I = mv = cte ⇔∑

F = 0

• A 1a lei de Newton é equivalente ao princípio da inércia de

de Galilei.


2a Lei de Newton• A derivada do momento com relação ao tempo é igual a

força atuando no ponto de massa.

dI

dt=

d(mv)

dt= F




dI

dt=

d(mv)

dt= F

• Quandom for constante:

mdv

dt= ma = F




dI

dt=

d(mv)

dt= F

• Quandom for constante:

mdv

dt= ma = F

• As leis de Newton são aplicáveis a sistemas inerciais

(sistema de referência com velocidade zero ou constante).


3a Lei de Newton• Se um corpo exerce uma força sobre outro, então o outro

corpo também exerce uma força sobre o primeiro que é

igual em magnitude e com direção oposta.(princípio da

ação e reação)





ação e reação)

• Se um determinado ponto de massa não tem restrições no

seu movimento, diz-se que o ponto de massa tem 3 graus de

liberdade (3dof)⇒ F(e) =

∑F = ma.





ação e reação)

• Se um determinado ponto de massa não tem restrições no

seu movimento, diz-se que o ponto de massa tem 3 graus de

liberdade (3dof)⇒ F(e) =

∑F = ma.

• Caso existam restrições no movimento (1dof ou 2dof)

ma = F(e)

︸︷︷︸

forças aplicadas

+ F(z)

︸︷︷︸

restrições


Massa - I

• Massa: é um elemento cujas partículas são rigidamente

conectadas (ponto de massa) que se deslocam com

velocidade e aceleração constantes.


Massa - I

• Massa: é um elemento cujas partículas são rigidamente

conectadas (ponto de massa) que se deslocam com

velocidade e aceleração constantes.

• Principais relações envolvendo a massa:

F =dI

dt⇔ I =

∫ t

0

Fdt+ I0

(Força e momento são vetores noR3)


Massa - II• Principais relações envolvendo a massa (continuação)

F = ma = mdv

dt⇒ I =

∫ t

0

mdv

dtdt+ I0 = mv + I0

ondeI0 é o momento inicial emv = I− I0 é a variação do

momento.


Massa - II• Principais relações envolvendo a massa (continuação)

F = ma = mdv

dt⇒ I =

∫ t

0

mdv

dtdt+ I0 = mv + I0

ondeI0 é o momento inicial emv = I− I0 é a variação do

momento.

• Trabalho e Energia: (considerandoI = mv edI = mdv)

Wab =

∫ ta

tb

Fvdt =

∫ ta

tb

mdv

dtvdt =

∫ p(tb)

0

vdI

Ec = Eab = Wab = m

∫ tb

ta

vdv =m

2

(v(ta)

2 − v(tb)2)


Mola - I

• Força gerada pela compressão ou extensão da mola

F = f(x) ∼= kx

ondex é o deslocamento da mola em relação a posição de

equilíbrio.


Mola - I

• Força gerada pela compressão ou extensão da mola

F = f(x) ∼= kx

ondex é o deslocamento da mola em relação a posição de

equilíbrio.

• Força× velocidade (supondo movimento em uma direção)

x =F

k∴ v =

1

k

dF

dt∴ F = k

∫ t

0

v(t)dt+ F0


Mola - II

• O trabalho realizado pela forçaF da mola:

Wab =

∫ tb

ta

Fmvdt =1

2kx2


Mola - II


Wab =

∫ tb

ta

Fmvdt =1

2kx2

• Energia armazenada na mola (energia potencial)

Ep = Wab =

∫ tb

ta

Fmvdt =1

2kx2


Mola - II


Wab =

∫ tb

ta

Fmvdt =1

2kx2


Ep = Wab =

∫ tb

ta

Fmvdt =1

2kx2

• Algumas definições:


Mola - II


Wab =

∫ tb

ta

Fmvdt =1

2kx2


Ep = Wab =

∫ tb

ta

Fmvdt =1

2kx2


1. Energia cinética é a capacidade de realizar trabalho

devido ao movimento.


Mola - II


Wab =

∫ tb

ta

Fmvdt =1

2kx2


Ep = Wab =

∫ tb

ta

Fmvdt =1

2kx2


1. Energia cinética é a capacidade de realizar trabalho

devido ao movimento.

2. Energia potencial é o trabalho que pode se realizar

pela posição relativa do ponto de massa.PGEAS/UFSC – DAS9060 – Aula 4 – p.18/29

Amortecedor

• O amortecedor representa uma resistência ao movimento.


Amortecedor


• O amortecedor é um elemento que apenas dissipa energia.


Amortecedor


• O amortecedor é um elemento que apenas dissipa energia.

• Principais relações: (supondo movimento em uma direção)

F = f(v) ∼= b v︸︷︷︸

modelo ideal

Potência dissipada

p = Fv


Exemplo 1 - I

• Acoplamento de molas


Exemplo 1 - I

• Acoplamento de molas

• Molas em Série (forçar variável tipo T)

F = k1x1 = k2x2 = kEQx , x = x1 + x2

Levando em conta quex1 = F/k2 ex2 = F/k2, obtém-se:

F

kEQ

=F

k1+

F

k2⇒

1

kEQ

=1

k1+

1

k2


Exemplo 1 - II

• Molas em paralelo:


Exemplo 1 - II


• A força resultante é a soma da força gerada pelas duas

molas:

F = F1 + F2 = k1x+ k2x


Exemplo 1 - II



molas:

F = F1 + F2 = k1x+ k2x

• Busca-se determinar uma constante de mola equivalente

kEQ tal queF = kEQx.


Exemplo 1 - II



molas:

F = F1 + F2 = k1x+ k2x

• Busca-se determinar uma constante de mola equivalente

kEQ tal queF = kEQx.

• Portanto:

kEQx = k1x+ k2x ⇒ kEQ = k1 + k2


Exemplo 2 - I

• Diagrama do corpo livre:


Exemplo 2 - I

• Diagrama do corpo livre:


Exemplo 2 - II• Relações do Sistema (balanço de forças)

Fi + Fk2 = Fk1 + Fb



Fi + Fk2 = Fk1 + Fb

• Relações constitutivas:

Fk1 = k1(u− y) , Fk2 = k2y , Fb = b(u− y

), Fi = my



Fi + Fk2 = Fk1 + Fb


Fk1 = k1(u− y) , Fk2 = k2y , Fb = b(u− y

), Fi = my

• Equação do movimento:

m+k2y = k1(u− y) + b(u− y)



Fi + Fk2 = Fk1 + Fb


Fk1 = k1(u− y) , Fk2 = k2y , Fb = b(u− y

), Fi = my


m+k2y = k1(u− y) + b(u− y)

• Modelo matemático:

my + by + (k1 + k2)y = bu+ k1u


Exemplo 3 - I


Exemplo 3 - I

• Diagrama do corpo livre


Exemplo 3 - II

• Relação do Sistema: (balanceamento de forças)

Fb2 + Fk = Fi + Fb1 + FP


Exemplo 3 - II




Fb2 = b2(x−y) , Fk = k(x−y) , Fi = my , FP = mg , Fb1 ≈ b1y


Exemplo 3 - II





• Equilíbrio: kδ = mg (δ é o deslocamento em equilíbrio)


Exemplo 3 - II





• Equilíbrio: kδ = mg (δ é o deslocamento em equilíbrio)


b2(x−y)+k(x+δ−y) = my+b1y+mg ⇒ my+(b1+b2)y+ky = b2x+kx


Exemplo 4 - I


Exemplo 4 - I

• Diagrama do corpo livre (1/4 suspensão considerando o

pneu)


Exemplo 4 - II

• Equações do Sistema:

Fi + FP = Fk1 + Fb1 (massa m),

Fb1 + Fk1 = Fb2 + Fk2 (barra A – pneu)


Exemplo 4 - II

• Equações do Sistema:

Fi + FP = Fk1 + Fb1 (massa m),

Fb1 + Fk1 = Fb2 + Fk2 (barra A – pneu)


Fi = my , Fk1 = k1(x− y) , Fb1 = b1(x− y)

FP = mg , Fk2 = k2(u− x) , Fb2 = b2(u− x)


Exemplo 4 - III

• Equilíbrio: kδ = mg (δ deslocamento inicial da mola 1).


Exemplo 4 - III


• Equações do movimento

my = k1(x− y) + b1(x− y)

k2(u− x) + b2(u− x) = k1(x− y) + b1(x− y)


Exemplo 4 - III



my = k1(x− y) + b1(x− y)

k2(u− x) + b2(u− x) = k1(x− y) + b1(x− y)

• Modelo matemático

my + b1y + k1y = b1x+ k1x

b1y + k1y − (b1 + b2)x− (k1 + k2)x = −b2u− k2u


Exemplo 4 - III



my = k1(x− y) + b1(x− y)

k2(u− x) + b2(u− x) = k1(x− y) + b1(x− y)

• Modelo matemático

my + b1y + k1y = b1x+ k1x

b1y + k1y − (b1 + b2)x− (k1 + k2)x = −b2u− k2u

• Um diagrama do corpo livre para elemento armazenador

de energia (mola e massa).


Exercício Proposto


Exercício Proposto

1. Obter um modelo para o sistema da figura acima supondo

uma aproximação linear para o atrito. Obs.:Fa(t) é uma

força externa aplicada a massam.

2. Pesquisar modelos de atrito mais realistícos e obter um

modelo não linear para o sistema.


Exercício Proposto







Exercício Proposto







Apresentação de Modelagem de Sistemas Dinâmicos

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