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Meccanica del veicolo di
Carlo innocenti Informazioni preliminari un insegnamento da nove
crediti 9 h per credito fa 81 h, sono previste 9 h a settimana
mentre dovrebbero essere in media circa sette questo perch nella
seconda parte del semestre io avr un altro insegnamento concentrato
quindi con molte ore a settimana e quindi mi pi comodo fare pi ore
a settimana con voi nella prima parte del semestre per farne poi
meno dopo quindi ci vedremo adesso per 9 h alla settimana, nella
seconda parte del semestre 7-2 = 5 h a settimana. Poi ci saranno
eventualmente ore da recuperare perch vengono perse per vari motivi
insomma c' sempre qualche ora persa, alla fine ho intenzione di
fare n pi n meno di 81 h. Il programma dell'insegnamento quello
della vecchia Meccanica del Veicolo per il corso di laurea
specialistica pi qualche nozione di Dinamica del Veicolo. Dinamica
del veicolo come sapete non c' pi nella laurea magistrale. Per
veicolo intender quasi sempre autoveicolo veicolo a quattro ruote
(automobile) non proprio sempre ma quasi sempre parler di
autoveicolo. Render disponibile sul sito Web entro la settimana
materiale didattico integrativo che sono poi le copie dei lucidi
che vi mostrer. Sul sito Web dell'insegnamento c' la lista dei
testi consigliati che sono disponibili quasi tutti in biblioteca io
consiglio sicuramente la loro consultazione non necessariamente il
loro acquisto. L'esame orale gli appelli verranno fissati in
settimana, orientativamente saranno fissati il primo a met giugno e
il secondo a met luglio. Il giorno dell'appello semplicemente il
giorno dell'appello e per qualcuno di voi anche il giorno
dell'esame perch non riuscir certo a esaminare tutti gli iscritti
il giorno dell'appello quindi nei giorni successivi verranno
fissati gli esami che non riescono a essere effettuati il primo
giorno, io propongo un calendario stilato rispettando l'ordine di
iscrizione alla lista. C sempre qualcuno che non riesce iscriversi
o per problemi oggettivi di collegamento in Internet o perch si
ricorda tardi di iscriversi ecc., basta presentarsi il giorno
dell'appello solo che c' un piccolo inconveniente di inserimento
nel calendario d'esame che viene quindi deciso da me. Uno pu essere
benissimo al primo giorno, il giorno stesso dell'appello, anche se
uno mi fa presente i suoi problemi di iscrizione pu essere il
giorno stesso o pu essere un qualsiasi altro giorno. Quindi io vi
propongo il calendario d'esame poi voi vi potete scambiare di posto
a coppie lo dite a me e vi scambiate di posto liberamente. Vi
proporr alcuni esercizi da svolgere a casa autonomamente quasi
sempre accenner al procedimento risolutivo per affrontare questi
esercizi, potrete controllare la correttezza del risultato
spedendomi una richiesta di verifica vi e-mail e mettete
nell'oggetto la sigla: MdV Io con cadenza settimanale almeno una
volta alla settimana rispondo a tutte le richieste di questo tipo.
L'orario di ricevimento attualmente il mercoled dalle 16 alle 18 e
il gioved dalle 17 alle 18. Non dovreste avere lezione in questi
due giorni a queste ore.
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Meccanica del veicolo di cosa tratta: tratta dei sottosistemi di
un veicolo escluso il motore, anche se poi vi parler
dell'oscillazione torsionale dall'albero a gomito, torsionale del
motore o anche di altri alberi. Quindi si parte salvo le prime
lezioni che riguardano la determinazione dei gradi di libert di
veicoli su superfici piane o questioni sostanzialmente di
cinematica. Verranno presi in considerazione i cambi di velocit, i
carichi, la determinazione dei rapporti di trasmissione, i
sincronizzatori per l'innesto dei vari rapporti, poi altri
componenti della trasmissione tipo il differenziale, il ripartitore
di coppia. Giunti viscosi hanno varie applicazioni, giunti
omocinetici o quasi omocinetici. Qualcosa sull'impianto frenante.
Qualcosa sulle velocit critiche torsionali degli alberi presenti
nelle trasmissioni in generale quindi anche negli autoveicoli.
Meccanismi di sospensioni, come affrontare l'analisi cinematica e
statica anche. Poi come gli accennavo prima oscillazioni torsionale
di alberi di trasmissione e di alberi motore. Compensazione delle
forze d'inerzia. Per determinare i carichi che sollecitano agli
organi della trasmissione di un autoveicolo occorre essere in grado
di affrontare l'analisi dinamica e del veicolo nel moto rettilineo
e nel moto anche accelerato e decelerato quindi si vedr gi in
settimana un'analisi dinamica elementare di un autoveicolo in
rettilineo. La Dinamica del Veicolo per la quale saranno
disponibili circa 20 o 25 h di lezione sar quella propriamente
detta del moto curvo. Quindi per quanto riguarda la dinamica
propriamente detta vedremo alcuni casi elementari, i principali
sono: moto curvo a regime di un autoveicolo, determinazione
d'esempio dell'angolo di sterzatura delle ruote direttrici nota la
velocit e il raggio di curvatura della traiettoria del baricentro,
determinazione degli angoli di deriva dei pneumatici anteriori e
posteriori eccetera. Poi sicuramente un altro argomento importante
l'analisi di stabilit a comandi bloccati di un autoveicolo con
ruote direttrici non sterzate. Poi vedremo cosa ci sta. Questi sono
i due argomenti principali un po di chiacchiere, da non
sottovalutare! Non ci sar nessuna prova intermedia, l'esame sar
solo finale, a parte il fatto che questanno ho poco tempo anche gli
anni prossimi quando avr pi tempo l'esame sar solo finale e lo
sforzo di memorizzazione che dovete fare utile ai fini
dell'apprendimento della materia. Attenzione non fraintendetemi la
materia non va memorizzata. Un po' di sforzo mnemonico bisogna
comunque compierlo, la materia va capita, quasi tutte le cose che
dico in riferimento ai veicoli, agli autoveicoli usano gli
autoveicoli e i veicoli per parlare di meccanica, quindi per
parlare di questioni ben pi generali applicabili in tanti altri
contesti, cercate di capire i concetti, naturalmente le cose vanno
capite e meditate e non caricate in memoria per poco tempo per poi
scaricarle, secondo me, durante una prova intermedia. Prove
intermedie che per inciso utilizzate nel precedente ordinamento
hanno dato almeno con me risultati poco soddisfacenti quindi
proprio non le faccio pi le prove intermedie, pochi studenti in
percentuale riuscivano a ottenere risultati positivi durante la
prova intermedia cos da poter alleggerire la prova finale. Quanti
di voi si sono laureati non in questo Ateneo? bene grazie, direi
poco meno di met circa un terzo.
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Soprattutto chi viene dall'esterno, ma anche gli altri, invitato
a interrompermi quando non capisce qualcosa a cui magari faccio
cenno senza spiegare niente ad esempio questioni di statica
elementare che io do per note ma magari a chi viene da fuori note
non sono, oppure sempre questioni elementari di cinematica tipo il
centro di istantanea rotazione. Comunque le cose che utilizzer sono
questioni che intervengono in determinati argomenti che anche io
spiegher queste cose e voi non le avete fresche, non le avete
chiare siete invitati a ripassarvele perch poi all'esame contano di
pi in negativo le cose semplici che non si sanno piuttosto che le
cose difficili sofisticate che non si sanno del tutto. L'esame
consiste in quattro domande, le domande possono comportare risposte
lunghe a secondo dell'argomento o risposte brevi, non tutte le
quattro domande richiedono risposte lunghe, si prende un punteggio
per ogni domanda a prescindere dalla difficolt, capiteranno due
domande complesse e due pi semplici alla fine io faccio la media
aritmetica e quello il voto per io faccio la media dei voti
sufficienti, se non si sa rispondere ad una delle quattro domande
non che io consideri zero nella media, l'esame termina l se uno si
ritira, se uno vuole un voto prende un voto insufficiente che non
risulta dalla media. Questo il mio invito a studiare tutto il
programma non alcune parti si ed altre no. Bisogna capire qualcosa
di tutti gli argomenti, la prima occasione per capire di argomenti
durante la lezione quindi cercate di capire se non il 100% almeno
il nocciolo di quello che si dice, la parte pi importante durante
le ore di lezione. Poi cercate di rimanere in pari con lo studio.
Non difficilissimo secondo me rimanere in pari, non che questo
insegnamento sia una sequenza di argomenti, una successione di
argomenti tale che basta non capirne uno tutti quelli che vengono
dopo quello non riescono ad essere capiti, no, ci sono diversi
argomenti ogni tanto diversi sotto argomenti. Quindi quando termino
un capitolo e ne inizio un altro, inizio per cos dire davvero
quindi non costruisco su quanto ho detto fino a quel momento.
Tuttavia cercate di rimanere in pari lo stesso. Quante ore di
lezione avete a settimana voi? non sono poche. 30 adesso, per
caleranno di quattro come vi dicevo nella seconda parte del
semestre.
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Vincoli di mobilit del contatto ruota suolo Inizio con il primo
argomento che riguarda i vincoli di mobilit del contatto ruota
suolo e anche la determinazione del numero di gradi di libert di
semplici veicoli dotati di ruote. Inizier col considerare una sola
ruota senza l'annesso veicolo. Una ruota sottile, circolare,
rigida, sottile. Un disco quindi appoggiato ad una superficie piana
orizzontale. Un disco che viene mantenuto in piedi, che non si pu
inclinare lateralmente. Quanti gradi di libert ha questo disco? Il
che significa chiedersi, in quanti modi pu abbandonare la posizione
di corpo rigido (questo disco un corpo rigido) la posizione di
corpo rigido corrente, quella che ha in un certo istante. Una
seconda domanda forse pi semplice pu essere, quanti sono i
parametri tra loro indipendenti che necessario specificare per
definire la posizione di una ruota sottile appoggiata a un piano
orizzontale, il piano orizzontale lo indico con poi esiste il piano
in cui giace la ruota che potrei chiamarlo 1,
1 sempre perpendicolare a per ipotesi quindi s gi che 1
perpendicolare a . Ma dove sta la ruota? Guardo il piano dall'alto,
istituisco sul piano un sistema di riferimento O, X, Y e questa una
porzione di piano , guardando tutto dall'alto la ruota la vedo di
taglio, la ruota un segmento. Un segmento lungo quanto il diametro
della ruota e vedr sovrapposti l'uno all'altro il centro della
ruota C e il punto di contatto tra ruota e suolo P, il punto medio
di questo segmento indifferentemente C o P, lo indico con P tanto
coincidono in questa rappresentazione. Allora per definire dove si
trova la ruota si pu partire specificando la posizione del punto di
contatto tra ruota e suolo la coordinata X del punto P e la
coordinata Y del punto P. Poi bisognerebbe conoscere la giacitura
del piano medio della ruota, l'angolo , perch a parit di punto a
terra la ruota pu stare lungo direzioni diverse (qui o qui ecc.).
X, Y, , sono i tre parametri che per non definiscono la posizione
della ruota. La ruota un corpo rigido, ad esempio supponiamo di
individuare sulla ruota una direzione radiale di riferimento, ad
esempio in questa zona c' la valvola per gonfiare il pneumatico o
qualcosa del genere, allora a parit di punto a terra e a parit di
giacitura del piano medio della ruota la valvola pu trovarsi vicino
al suolo o da un'altra parte quindi serve anche un altro parametro
ad esempio l'angolo per individuare la posizione di corpo rigido
della ruota. Con quei quattro parametri la posizione della ruota
rimane definita, non ne servono altri.
Y
O X
P
la rotazione su questasse non possibile
rotazione possibile
3RU]LRQHGHOSLDQRYLVWDGDOODOWR
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Se aveste due corpi rigidi delimitati da due superfici a
contatto in un punto P e se uno di questi corpi fosse il telaio,
fosse fisso, e l'altro potesse muoversi rimanendo in contatto col
telaio in un punto, quanti gradi di libert avrebbe questo corpo
mobile? Ne avrebbe cinque, che sono i 6 gradi di libert di un corpo
rigido nello spazio meno un grado di libert tolto dal contatto di
quelle due superfici in un punto.
Supponiamo che questa ruota sia appoggiata a un piano liscio,
nel senso di perfettamente lubrificato (una superficie ghiacciata)
questa ruota un corpo rigido e dovrebbe avere 5 gradi di libert in
base a questo ragionamento, in realt noi vediamo che variando
indipendentemente uno dall'altro questi quattro parametri la ruota
sembra avere solo 4 gradi di libert. Perch questo? Perch la ruota
viene tenuta dritta, cio col suo piano medio ortogonale al piano
d'appoggio da mezzi esterni o per ipotesi, in generale se non
pensassimo a questo ulteriore vincolo, a questa condizione, la
ruota avrebbe 5 gradi di libert come questo corpo rigido (1)
rispetto a questo telaio (0) e occorrerebbe anche specificare un
angolo di questo tipo che definisca l'inclinazione laterale del
piano medio della ruota, occorrerebbe specificare un quinto
parametro. La situazione sembra essere sotto controllo, per inciso
quali sono i 5 gradi di libert del corpo uno rispetto al telaio
zero, il punto P pu spostarsi localmente in direzione tangente
parallelamente al piano tangente alle due superfici in una
direzione o in un'altra ortogonale o meno comunque non coincidente
con la precedente, due spostamenti infinitesimi in due direzioni
che non siano coincidenti. Poi una rotazione infinitesima, per
attorno a un asse passante da P e parallelo al piano tangente,
attorno a un asse perpendicolare al precedente sempre parallelo al
piano tangente e attorno alla normale, rotazione infinitesima per
cos dire di prillamento di uno rispetto a zero attorno a un asse
passante per P e diretto come la normale alle due superfici in P.
Questi cinque movimenti infinitesimi tra loro indipendenti
corrispondono ai 5 gradi di libert che ha uno rispetto a zero. Qui
potremo fare la stessa cosa salvo l'impossibilit di assistere alla
rotazione della ruota attorno a questasse passante per P, il punto
di contatto, e giacente nel piano tangente, giacente in perch per
ipotesi questa ruota non pu coricarsi lateralmente, per questa
rotazione possibile, quest'altra rotazione possibile (il moto di
prillamento), la traslazione di questa ruota possibile, c' ghiaccio
la ruota pu strisciare, in questa direzione la ruota pu strisciare,
quindi 4 gradi di libert. Allora localmente la ruota, questa ruota
pu abbandonare la sua posizione corrente in infiniti alla quattro
modi diversi. Posso scegliere ad arbitrio dx, dy, d e d i
differenziali di questi quattro parametri, quindi infinito elevato
al numero di questi differenziali mi da il numero di possibilit a
disposizione per abbandonare la configurazione corrente, non solo
il numero di questi parametri individua la dimensione dello spazio
delle configurazioni che un modo complicato per dire che servono
quattro parametri per specificare la configurazione di questo
semplice sistema, per specificare la posizione di corpo rigido di
questa ruota rispetto al telaio che il suolo. Adesso per suppongo
che il piano non sia una lastra di ghiaccio ma sia asfalto cemento
quello che volete. La ruota premuta contro il suolo da una certa
forza, la sua forza peso o un'altra forza (non importante) e
suppongo della ruota non possa strisciare sul suolo. Non posso
avere ad esempio traslazione della ruota in questa direzione, non
posso avere traslazione della ruota in questa
P
1
0
6
direzione, posso avere la rotazione d, posso avere la rotazione
d, cio questa direzione radiale di riferimento pu variare la sua
inclinazione rispetto alla verticale a patto di consentire alla
ruota di avanzare o di arretrare, cio non posso far slittare la
ruota sul suolo ruotando la attorno al suo asse fermo tenendo il
punto di contatto con il suolo P. Se l'angolo aumenta di d, e la
ruota rotola cio si muove senza strisciare e rispetto al suolo
allora il punto P si porta in P e la distanza di P da P vale R (il
raggio della ruota) per d (PP = R*d)
Guardo il punto dall'alto, quel punto P, questa la giacitura del
piano medio della ruota, questo un angolo P s porta in P e quindi
se non cambia, se rimane costante avr: dx = R*d*cos dy = R*d*sen Se
cambia, cambia di poco di una quantit infinitesima e P anzich
essere su questa retta si trover leggermente a sinistra o
leggermente a destra ma la vera distanza di P da questa retta avr
un valore infinitesimo del secondo ordine, cio infinitesimo di
ordine superiore alla lunghezza di questo segmento. Se non variasse
P ad esempio potrebbe andare da questa posizione a quest'altra o
quest'altra qui. (illustra sul disegno, P lungo la direzione
parallela a X). Magari varia perch, la traiettoria del punto di
contatto rispetto al suolo una traiettoria circolare
GLUDJJLRTXLQGLORVSRVWDPHQWRVXELWRGDOSXQWRGLFRQWDWWRSHUXQRVVHUYDWRUHVROLGDOHFROVXRORvale
R*d in ogni caso, anzich prendere un segmento rettilineo lungo R*d
prendo un arco di FLUFRQIHUHQ]DGLUDJJLROXQJR5G e vedete che quando
il punto P si spostato in P cambiata la giacitura del piano medio
della ruota sono passato da uguale a zero ad + d.
ds
P
P
giacitura di P
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Se questo lasse X del sistema di riferimento solidale col suolo
parallelo alla giacitura del piano 1 quando il punto di contatto P
ed diverso da zero, pari a una quantit infinitesima d, ho esagerato
le cose, questo angolo infinitesimo, perch questo angolo qui tra
l'orizzontale e la normale a questa direzione radiale uguale
all'angolo che c' tra la perpendicolare al orizzontale cio alla
verticale e la direzione radiale, quell'angolo qui d, infinitesimo
perch: in radianti d uguale all'arco diviso il raggio (d =
R*dKDXQYDORUHILQLWRSXUH5DXQYDORUHILQLWRHG una quantit infinitesima.
Quanto vale la distanza di P da questa retta, cio quanto vale lo
sbandamento laterale di P, una quantit infinitesima del primo
ordine o del secondo ordine? Questa distanza si potrebbe calcolare,
la chiamo u, che uguale alla differenza tra le due quote.
R*d lo potrei chiamare ds spostamento nel punto di contatto Lo
sbandamento a destra o sinistra di P rispetto alla traccia del
piano 1 della posizione iniziale della ruota, questa quota qui,
dell'ordine di ds2 mentre questa quota ds, dell'ordine di ds un
infinitesimo del primo ordine, lo sbandamento un infinitesimo del
secondo ordine quindi queste relazioni (A) (dx = R*d*cos e dy =
R*d*sen) al primo ordine sono corrette anche se varia, naturalmente
mentre varia di una quantit infinitesima varier di una quantit
infinitesma. Solo se varia di una quantit infinitesima lo
sbandamento laterale infinitesimo del secondo ordine inverso perch
lo sbandamento laterale potrebbe anche essere in altri casi
infinitesimo del primo ordine inverso. Vediamo subito alcuni di
questi casi, punto di contatto P, ruota vista dall'alto, giacitura
nel piano medio della ruota.
(P)
X
G
G
u
5G
ds
5G
infinitesimo P
P
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Si dice vario di /2 sterzo la ruota e poi aumento di d e quindi
P va a finire in P lo sbandamento trasversale laterale ds
infinitesimo del primo ordine, c' stata una variazione finita di
non infinitesima, le variazioni di questi parametri cambiano
simultaneamente al variare del tempo, mentre la ruota sta
rotolando, quando la ruota rotola (= theta punto) avr un certo
valore diverso da zero, una componente della velocit angolare
assoluta della ruota. Allora se nell'intervallo di tempo dt varia
di d e a questo d corrisponde un ds infinitesimo, nello stesso
intervallo di tempo variato di una quantit finita, /2 in questo
caso. Se il punto di contatto tra ruota e suolo potesse andare da
qui a qui (da P a P) allora si dovrebbe avere una componente di
velocit angolare della ruota infinita che potete vedere come
rapporto tra la variazione finita dell'angolo (/2) e l'intervallo
di tempo dt infinitesimo, una quantit finita diviso una quantit
infinitesima (una quantit dt che dovrete far tendere a zero).
Quindi queste manovre non si possono fare e lo sbandamento laterale
rimane del secondo ordine rispetto all'avanzamento del punto a
terra in direzione parallela alla giacitura iniziale del piano
medio della ruota. Valgono queste due relazioni (A) quindi, che
significa che non possibile scegliere ad arbitrio dx, dy, d, d
perch se li scelgo ad arbitrio cio a caso, queste due relazioni non
sono soddisfatte, vuol dire che la ruota non si mossa rotolando sul
suolo ma si mossa strisciando, violando qualche vincolo di puro
rotolamento. Il numero di gradi di libert che ha la ruota uguale al
numero di questi differenziali che posso scegliere ad arbitrio,
cosa posso scegliere ad arbitrio? d, d e automaticamente dato d
rimangono definiti dx e dy. Quindi scegliendo d e d riesco a
passare dalla configurazione iniziale definita da x y alla nuova
configurazione definita da x+dx, y+dy, +d, +d con d e d scelti ad
arbitrio. Riesco ad abbandonare la configurazione corrente in
infinito alla due modi diversi tante quante sono le scelte di
questi due parametri tra loro indipendenti, posso sceglierne uno
indipendentemente dall'altro come pare a me, ho infinite possibilit
per uno e infinite per l'altro quindi infinito alla due. Quindi il
numero di gradi di libert che ha questa ruota rotolante sul piano e
impossibilitata a coricarsi lateralmente due, la dimensione dello
spazio delle configurazioni, il numero di parametri che necessario
specificare per definire la posizione di corpo rigido della ruota
rispetto al suolo rimane pari a quattro. Il vincolo di puro
rotolamento, cio queste due condizioni, incidono sul moto della
ruota mentre la ruota abbandona la configurazione corrente, ma non
si fanno sentire al finito, non mi trovo due relazioni finite del
tipo ad esempio: X = F1(1, ) Y = F2(1, ) non esistono queste due
relazioni, non ne esiste nemmeno una del tipo (B) F(x, y, , ) = 0 i
vincoli di puro rotolamento sono aggirabili con manovre di
estensione finita, se le manovre sono piccole, infinitesime, per
spostamenti piccoli e infinitesimi queste due relazioni si fanno
sentire. Ad esempio guardiamo la ruota dall'alto, punto di contatto
P, si pu andare in P con uno spostamento piccolo della ruota? No,
non posso far strisciare la ruota lateralmente, violerei il
contatto di puro rotolamento, per da l a l (P a P) si pu andare con
una manovra finita per esempio rotazione finita di /2 cammino di
una quantit infinitesima ds, altra rotazione finita - /2, con una
manovra finita vedete che riesco a passare tra i due punti ma non
con spostamenti infinitesimi oppure potrei prenderla ruota e
far
P
P
ds
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9
percorrere al punto a terra una traiettoria a largo raggio di
lunghezza opportuna pari a multiplo di lunghezza di circonferenza
della ruota, un multiplo di 2R per ritornare quasi al punto di
partenza ma non esattamente e quindi in P, di nuovo una manovra
finita.
Allora quanti gradi di libert ha quella ruota? Ne ha due, mentre
la dimensione dello spazio delle configurazioni quattro. Siamo
proprio sicuri che non esista un legame di questo tipo (tipo una
funzione) o un legame al finito tra qualcuno di questi quattro
parametri? Riscrivo le relazioni: dx = R*d*cos dy = R*d*sen potrei
moltiplicare la prima relazione per il sen e la seconda per il cos
sen *dx = R*d*cos*sen cos *dy = R*d*sen*cos sottraggo la seconda
relazione dalla prima sen *dx - cos *dy = 0 (1) e ottengo
quest'equazione che non contiene pi d ma sicuramente deve essere
soddisfatta perch una conseguenza di relazioni ideali. Questa
relazione, se esistesse un legame di questo tipo (B) tra i quattro
parametri potrebbe derivare dalla differenziazione di questo legame
finito, suppongo che esista un legame di questo tipo in particolare
qui ci sono solamente tre dei quattro parametri, suppongo che
esista una funzione (2) F(x, y, ) = 0 una dipendenza al finito tra
questi tre parametri, allora questa relazione (1) si potrebbe
derivare dalla differenziazione di questa equazione (2), potrebbe
essere il risultato di questa operazione:
e allora sen corrisponderebbe a F/x, -cos a F/y e 0 a F/
Facciamo un caso semplice dato da una relazione del tipo x2y + 2x +
ysen = 0 inventata. differenzio questa relazione: (2xy + 2)dx + (x2
+ sen)dy + ycosd = 0 se la prima relazione vera anche questa lo
poich il primo termine tra parentesi la derivata parziale del primo
membro rispetto a x e cos via. Adesso posso mischiare le carte ad
esempio, moltiplico tutto per x: x*(2xy + 2)dx + x*(x2 + sen)dy +
x*y*cosd = 0
P
P
Ruota vista dallalto
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questa relazione ancora vera per il primo termine non pi la
derivata parziale del primo membro della prima equazione rispetto a
x. Allora io non conosco F, come se conoscessi una relazione di
questo tipo: (3)
questa qui la mia relazione sicuramente vera ma non posso dire
adesso che il primo termine sia la derivata parziale di una F che
non conosco rispetto ad x, perch qualcuno potrebbe aver
moltiplicato la derivata parziale per un fattore che non conosco, l
il fattore era x, qui il fattore non lo conosco, pu essere una
funzione di x, di y e di . = (x, y, ). La relazione (3) corrisponde
alla (2) con e F che non conosco. I termini tra parentesi
corrispondono a: sen, cos e 0. Vado alla ricerca di ed F
soprattutto mi interessa F, vedere se esiste una tale funzione, se
esistesse la posizione della ruota non sarebbe definita da quattro
parametri tra loro indipendenti ma solamente da tra ad esempio: x e
y, una conseguenza dei primi due e poi c' che non compare in questa
relazione. Scrivo: sen = F/x -cos = F/y 0 = F/ anche avendo posto
1/ al posto in sostituzione a la sostanza non cambia: sen non
corrisponde alla derivata parziale rispetto ad x, ecc. ci pu esser
di mezzo un fattore comune che moltiplicato per sen mi d la
derivata parziale. Allora la derivata di F/x rispetto a y dovrebbe
essere uguale a F/y rispetto a x non solo, da derivata di F/x
rispetto a deve essere uguale alla derivata di F/ rispetto a x. Si
pu scambiare l'ordine di derivazione. Scrivo: 2F/(x) = 0 tenendo
conto delle relazioni precedenti, ma 2F/(x) ottenibile anche
derivando sen rispetto ad , quindi posso scrivere: /*sen + cos = 0
analogamente da derivata seconda di F ottenuta dallaltra coppia di
relazioni deve essere uguale 2F/(y) = 0 -/*cos + sen = 0 Ho quindi
ottenuto due equazioni, che posso interpretare come due equazioni
lineari con incognite / e , che scritte in forma matriciale
diventano: [sen cos] (/) [-cos sen] ( ) = 0 quello l un sistema
lineare omogeneo in due incognite, la matrice dei coefficienti ha
determinante pari a: sen2 + cos2 = 1, non singolare, esiste solo la
soluzione ovvia, queste due relazioni sono soddisfatte solo
per:
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/ = 0 e soprattutto la cosa pi interessante per = 0 cio
solamente se si moltiplica l'equazione sendx cosdy = 0 per = 0 si
ottiene un cosiddetto differenziale esatto (C) sendx cosdy = 0
Partendo da una F, differenziando si ottiene un differenziale
esatto, un differenziale esatto che vero cio rispetta questa
scrittura lo si ottiene solamente moltiplicando questa scrittura
per = 0. Con = 0 si ottiene 0dx 0dy = 0, qualcosa sempre
soddisfatto da un dx e un dy ho perso traccia della presenza della
F perch non esiste una F al finito uguagliata a 0 che differenziata
dia anche introducendo un diverso da 0 una relazione di questo tipo
(C). In soldoni le due condizioni: dx = R*d*cos dy = R*d*sen
esprimono due vincoli cosiddetti anolonomi, il che significa non
interi, non esiste la versione al finito di queste due relazioni
che legano quantit infinitesime, i vincoli anolonomi si fanno
sentire solo nel piccolo, solo per piccole variazioni di
configurazione, sono aggirabili come vi dicevo prima con grandi
manovre. Questi vincoli anolonomi per una ruota, vincoli di puro
rotolamento per una ruota non inclinata lateralmente appoggiata a
un piano orizzontale sono in numero di due. Posso scegliere due
parametri tra loro indipendenti per abbandonare la configurazione
corrente, localmente la ruota ha due gradi di libert, al finito la
ruota ne ha due pi gli altri due che derivano dalla possibilit di
aggirare al finito i vincoli di mobilit, questi vincoli di puro
rotolamento, questi vincoli anolonomi. La ruota al finito non ha 4
gradi di libert, al finito cosa significa aver 4 gradi di libert, i
gradi di libert meglio vederli come l'esponente da dare
all'infinito per dare il numero di possibilit a disposizione per
abbandonare la configurazione corrente, 4 il numero di parametri
che servono per dare la posizione della ruota rispetto al suolo,
quattro la dimensione dello spazio delle configurazioni di questo
semplice sistema costituito da una ruota ha appoggiato al suolo.
Passo a una ruota adesso che pu anche inclinarsi lateralmente, devo
definire la posizione di corpo rigido della ruota, e l'inclinazione
in un verso e nell'altro del piano medio della ruota 1 rispetto al
piano perpendicolare, al piano d'appoggio e contenente la retta di
intersezione tra il piano 1 e il piano , devo introdurre
un'ulteriore parametro che potrei chiamare beta (), ecco che al
finito la posizione di corpo rigido di quella ruota definita da
cinque parametri, come succedeva per quei due corpi rigidi (quella
specie di sassi) che si toccavano in un punto, un sasso era fisso
l'altro era mobile e vincolato a rimanere a contatto con il sasso
fisso in un punto. Quanti erano i parametri tra loro indipendenti e
sufficienti per determinare la posizione del sasso mobile rispetto
quello fisso? Cinque, e sono cinque anche qui, la ruota un
particolare sasso, per se la ruota non pu strisciare rispetto al
piano d'appoggio allora bisogna rispettare sempre questi due
vincoli scalari di puro rotolamento. Che cosa adesso questa retta?
questa retta rappresenta dell'intersezione del piano medio di
contatto della ruota con il suolo, ma non cambia niente rispetto
prima, lo sbandamento laterale del punto di contatto ancora
infinitesimo di ordine superiore rispetto a ds e mentre il punto di
contatto avanza approssimativamente in questa direzione il
coricamento della ruota potrebbe anche variare, ma non cambia
niente per quanto riguarda la struttura di questa relazione,
valgono ancora.
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Adesso il numero di parametri che necessario specificare al
finito cinque, la configurazione corrente pu essere abbandonata in
infinito alla tre modi, posso scegliere d, dHG ad esempio.
Automaticamente dx e dy derivano da questa relazione, quindi 3
gradi di libert della ruota, al finito non si fanno sentire i due
vincoli anolonomi quindi il numero di parametri, cio la dimensione
dello spazio delle configurazioni di questa ruota coricabile
lateralmente tre pi due uguale cinque, i conti tornano. Quanti
gradi di libert ha una bicicletta con le ruote costrette a non
strisciare sul suolo, sul piano d'appoggio? Considero una
bicicletta semplificata, composta da pochi membri quali: la ruota
anteriore, la ruota posteriore, la forcella anteriore o manubrio
che lo stesso membro, il telaio della bicicletta. Non c' altro, non
ci sono i pedali, non c' il campanello, non c' la catena ecc.
Il telaio il piano d'appoggio indicato con Quanti gradi di
libert alla bicicletta? Si potrebbe utilizzare la formula di
GRUBLER per la determinazione del numero di gradi di libert di un
meccanismo spaziale, il numero di gradi di libert uguale a sei per
il numero complessivo di membri compreso il telaio meno uno, meno
cinque C1 L = 6*(m 1) 5C1 4C2 3C3 2C4 C5 Cosa C1? il numero di
coppie cinematiche che lasciano 1 grado di libert al moto relativo
tra due membri che collegano, ad esempio una coppia rotoidale (ne
ho tre) lascia 1 grado di libert al moto relativo rispetto al
piano, rispetto al telaio la ruota posteriore, il membro uno pu
assumere infinito alla uno configurazioni e cos via. Quindi il
numero di vincoli scalari introdotto da una coppia rotoidale o da
una coppia prismatica o da una coppia elicoidale pari a cinque. Poi
a volte, ma questo non il caso a cui st per accennarvi, questo
calcolo da un risultato errato perch il numero di gradi di libert,
pari al numero di gradi di libert che avrebbero tutti i membri
escluso il telaio qualora fossero liberi di muoversi nello spazio
meno il numero di vincoli introdotti dai collegamenti tra i vari
membri, potenzialmente mobili quindi i collegamenti tra i membri
potenzialmente mobili o anche collegamenti tra i membri
potenzialmente mobili e il telaio il numero di gradi di libert
residuo complessivo che ha il meccanismo.
3 4
2 1
5 (telaio)
P
P rappresenta il piano medio di contatto col suolo
-
13
Vi dicevo questo modo di procedere non sempre da risultato
soddisfacente perch a volte si contano come vincoli indipendenti
dei vincoli che indipendenti non sono, due vincoli che dicono la
stessa cosa. In questo caso non ci sono problemi, come si fa questo
calcolo? L (numero di gradi di libert) uguale a 6 per il numero di
membri mobili quindi (m 1) in questo caso quattro membri, 5
compreso il telaio (m valrebbe cinque, m 1 = 4), meno cinque per il
numero di coppie cinematiche che lasciano 1 grado di libert, ho
coppie rotoidali (C1 vale tre) e poi ci sono anche questi contatti
tra le ruote e il piano d'appoggio, pensiamo a come vincolata una
ruota al suolo, quanti gradi di libert alla ruota? una ruota che pu
coricarsi lateralmente quella della bicicletta? sicuramente. I
gradi di libert sono come nel caso precedente, posso abbandonare la
configurazione corrente in infinito alla tre modi. Quindi questo
contatto toglie 3 gradi di libert e ne lascia tre, C3 vale due,
quali sono i 3 gradi di libert lasciati? Si possono controllare in
qualsiasi istante, cosa pu fare la ruota anteriore? Pu coricarsi
lateralmente quindi una rotazione infinitesima attorno ad un asse
individuato dall'intersezione del piano medio della ruota con il
suolo, poi una componente di rotazione di prillamento, quindi
questo qui (sull'asse di d)
e poi c' d una componente di rotazione di questo tipo associata
obbligatoriamente a uno spostamento del punto di contatto, perch se
c' un d di questo tipo (in quel punto) la ruota avanza, per d ci pu
essere. Tutto qui, come avere in sostanza, pensatela cos per
velocizzare ragionamenti come avere ai fini del calcolo dei gradi
di libert una coppia sferica che non sar proprio sferica perch il
punto di contatto si sposta, quindi per il calcolo di L come avere
una coppia sferica. Quindi questo contatto di puro rotolamento
introduce 3 gradi di vincolo e lascia 3 gradi di libert (- 3*2), L
= 6*4 5*3 3*2 = 3 soddisfacente questo risultato? Quali possono
essere i 3 gradi di libert? Pensate di avere le bicicletta
appoggiata in un altro modo al suolo anche coricata lateralmente e
cos via, cosa pu fare la bicicletta? Avanzare, a manubrio bloccato,
e a pendenza in direzione laterale bloccata, poi si pu ruotare il
manubrio, quindi c' un altro grado di libert di avanzamento, poi
indipendentemente dall'avanzamento che idealmente possiamo far
subire alla bicicletta possiamo far ruotare il manubrio di un
piccolo angolo, poi a parit di avanzamento a parit di rotazione del
manubrio possiamo scegliere come variare l'inclinazione laterale
della bicicletta. I 3 gradi di libert possono essere visti cos,
altri io non ne vedo. Quanti sono i parametri che occorre
specificare per definire la posizione della bicicletta? Cosa
significa definire la posizione della bicicletta? Significa
conoscere la posizione di ogni membro della bicicletta, in base
ragionamenti di prima questo numero dovrebbe essere pari a tre pi
due parametri per ogni punto di contatto ruota suolo, 3 quindi +
2*2, N = 7
d
G G
14
Vediamo se N pu essere uguale a sette, c' il piano d'appoggio ,
scelgo la posizione di corpo rigido della ruota posteriore con il
punto di contatto qui, la direzione radiale di riferimento
inclinata dell'angolo che voglio rispetto al segmento che va dal
centro ruota al punto di contatto, quindi la giacitura cio
inclinazione della ruota come mi pare. Quanti sono i parametri che
ho specificato? Posso fare il conto dall'inizio, ma mi sa che siano
5, due coordinate per questo punto (il punto di contatto della
ruota), la direzione di questa retta (la giacitura) nel piano,
l'angolo , l'inclinazione della ruota, langolo radiale , uguale
cinque. Cinque parametri servono per definire la posizione di corpo
rigido della ruota posteriore rispetto a un osservatore solidale
col suolo. Poi monto il telaio, ma il telaio lo monto idealmente
sulla ruota in modo che le bicicletta rimanga con la ruota
anteriore sollevata dal suolo, poi col telaio cos disposto monto la
forcella anteriore e scelgo di quanto sterzare il manubrio rispetto
al telaio, scelgo un parametro. Un parametro nuovo. Poi monto la
ruota anteriore con la bici impennata, monto la ruota anteriore
sulla forcella decidendo se mettere la valvola del pneumatico
anteriore in una qualsiasi posizione, scelgo la posizione che ha la
ruota anteriore rispetto alla forcella, la scelgo come mi pare, un
parametro. Adesso tenendo bloccati questi cinque parametri cio
tenendo fissa la ruota posteriore rispetto al suolo, tenendo fisso
questo parametro del manubrio rispetto al telaio, tenendo frenata
la ruota anteriore, tenendola ferma rispetto alla forcella abbasso
telaio, manubrio, ruota anteriore in modo da far appoggiare anche
la ruota anteriore al suolo. Questo angolo di rotazione dipende
dalla posizione di montaggio che avevo scelto, ma indipendentemente
dalla posizione di montaggio che avevo scelto la posizione finale
della bicicletta sempre la stessa, posso aver montato tutto questo
a bici pi o meno impennata ma alla fine vado sempre a sbattere con
la ruota anteriore nello stesso punto del suolo. Non devo scegliere
altri parametri, ne dovete scegliere solo sette. Allo stesso modo
potete calcolare il numero di gradi di libert e il numero di
parametri al finito cio la dimensione dello spazio delle
configurazioni per una bicicletta appoggiata col manubrio a una
parete verticale. Per inciso come possono essere lette queste due
relazioni? Le possiamo vedere anche cos, i due vincoli anolonomi di
puro rotolamento corrispondono a dire che non ci sia strisciamento
in direzione longitudinale e non ci sia strisciamento in direzione
trasversale, cio se il punto di contatto si sposta di R*d sulla
ruota rispetto a un osservatore solidale con una ruota, quindi se
il punto di contatto va da qui a qui (un punto allaltro) questo
angolo d e lo spostamento in direzione longitudinale diciamo in
questa direzione del punto di contatto per un osservatore solidale
con la ruota vale R*d, il punto di contatto si sposta di R*d anche
per un osservatore solidale col suolo. Quindi assenza di
strisciamento in direzione longitudinale, una prima condizione,
altra
3 4
2
1
-
15
condizione il punto di contatto non si sposta ortogonalmente al
piano medio per un osservatore solidale con la ruota e non si
sposta neanche per un osservatore solidale col suolo.
P.s. mia domanda sulla formula di grubler, m = numero dei numero
de i membri compreso il telaio, si intende il suolo, il telaio il
suolo, 5 il piano . (m 1) il numero di membri mobili, 6 * il numero
di membri mobili. Non sempre questo vero, nel caso dei meccanismi
piani L = 3*(m 1) 2C1 C2 per un quadrilatero articolato m vale
quattro quindi: 3*3 2*4 (il numero di coppie che lasciano 1 grado
di libert, C1 vale 4) = 1
(m 1) il numero di membri mobili, sarebbe meglio dire (m 1) il
numero di membri escluso il telaio perch in alcuni casi, le
costruisco un esempio ad hoc, (una struttura formata da pi membri)
quanti membri ci sono? Sei compreso il telaio, L = 3*(6 1) 2*7 = 1
(m 1) = 5, che non in numero di membri mobili perch quando si muove
qualcosa si muovono le tre macrostrutture ma cinque e quattro non
si muoveranno mai rispetto al telaio, quella l una struttura un
triangolo rigido, quindi non correttissimo dire che (m 1) numero di
membri mobili, brevemente si dice cos, per sta a significare che il
numero di membri in aggiunta al telaio.
Altra domanda prillamento della ruota posteriore della
bicicletta Se penso a una bicicletta visto dall'alto (bicicletta
semplificata) consideri la ruota anteriore sterzata di 90, cosa fa
questa bicicletta? il punto di contatto della ruota posteriore
quando la bici si muove rimane fermo rispetto al suolo, (questa, la
bici vista dall'alto) la bici devo evitare di farla cadere
lateralmente, la bicicletta ha la ruota anteriore che rotola sul
suolo, il punto a terra descrive una traiettoria circolare centrata
nel punto di contatto della ruota posteriore. Qui tutto moto di
prillamento, ma il moto di prillamento si ha anche quando la bici
avanza normalmente a meno che
5
4 3
2
1
R
d Rd 0
0
16
la bicicletta non vada sempre diritta, se cambia la giacitura
(non cambiando l'inclinazione della bici). Se tengo sotto
osservazione lungo una strada pianeggiante la retta di intersezione
del piano medio della ruota posteriore con il suolo, prima quella
retta l indipendentemente dall'inclinazione laterale poi in un
altra posizione poi in un altra ancora perch la bici avanza
serpeggiando, la componente di rotazione della ruota in direzione
ortogonale al piano il moto di prillamento, la componente di
rotazione di prillamento della ruota, se questa retta non cambia
mai, se la ruota va dritta il moto di prillamento non c'. Se la
retta si sposta tra le due posizioni c' da chiedersi come ci
andiamo dalle due posizioni senza moto di prillamento, e senza far
strisciare la ruota, io non me lo immagino. Per passare tra le due
posizioni serve un moto di prillamento prima orario e poi
antiorario, si ha comunque questo moto.
Altro veicolo a due ruote (introduzione) Rimorchio a due ruote
con un timone e un piedino, guardando tutto dall'alto (questo il
suolo), il cosiddetto carrello appendice o carrello, due ruote
coassiali, sta in piedi a differenza della bicicletta, rimane
fermo, per il suo studio presenta qualche difficolt in pi rispetto
a quello della bicicletta.
Dallalto
-
17
Deriva senza prillamento, = angolo di deriva, si pu avere deriva
senza prillamento se da una posizione A si arriva ad una posizione
B con una traslazione rigida con strisciamento
A
B
-
Lezione 2 02/03/2010
Rimorchio a due ruote
Rimorchio a due ruote con timone dotato di piedino, si appoggia
sul suolo.
C differenza tra il rimorchio e la bicicletta??
Dal punto di vista della formula di Gruber, c una gran
differenza tra rimorchio e bicicletta??
Entrambi hanno due ruote, ma la bicicletta a contatto con il
suolo in due punti, mentre il rimorchio appoggiato in tre punti. La
bicicletta aveva localmente tre gradi di libert. Si pensi per un
attimo ad una bicicletta dotata di piedino, o a una bicicletta che
a contatto con il telaio del meccanismo, cio con il suolo o con
qualcosa solidale con il suolo; quindi una bicicletta appoggiata ad
un punto del manubrio ad una parete verticale o ad una parete
qualsiasi, quanti gradi di libert potrebbe avere?? Pensate a come
si modifica la formula di gruber, il contatto in un punto, tra
manubrio e telaio riduce di uno il numero dei gradi di libert,
quindi i gdl di una bicicletta appoggiata ad una parete dovrebbero
essere due. E quale altra differenza c tra il rimorchio a due ruote
e la bicicletta?? Il rimorchio non snodato, il telaio del rimorchio
un membro solo con il timone, mentre il telaio dellla bicicletta
composto da due membri, telaio propriamete detto pi la forcella
anteriore con annesso manubrio, quindi, da un certo punto di vista,
il rimorchio una bicicletta appoggiata ad una parete con il
manubrio bloccato. La bicicletta appoggiata alla parete, quindi al
posto di tre gradi di libert, due gradi di libert; bloccato il
manubrio, si toglie un ulteriore grado di libert e dovrebbe
rimanere un solo grado di libet per questa bicicletta, ma anche per
il rimorchio a due ruote.
Andiamo a vedere se le cose stanno veramente cos:
Le ruote del rimorchio sono accoppiate in modo rotoidale con il
telaio del rimorchio,essendo un meccanismo spaziale, andiamo a
vedere i gradi di libert con la formula di gruber:
l = 6(4-1) 5*2 - 3*2 1*1 = 1 gdl
Le coppie rotoidali sono due, e lasciano un grado di libert, i
contatti di puro rotolamento tra ruote e suolo che lasciano tre
gradi di libert sono due, e, un contatto tra piedino del timone e
suolo che
lascia cinque gradi di libert perch ci pu essere anche
strisciamento.Otteniamo 1gdl come previsto dalla bicicletta
opportunamente modificata.
Ma vero che questi rimorchi a due ruote hanno 1 gdl??
NO,generalmente hanno due gradi di libet, pensate di avere il
rimorchio in una certa posizione, considerate il punto estremo del
timone, si pu decidere in genere di spostare questo estremo lungo
questa direzione longitudinale, o lungo questa direzione
trasversale, o in qualunque altra direzione. Si pu abbandonare la
posizione lungo una qualsiasi direzione, generalmente il rimorchio
funzione cos, trascinato da una motrice che compie una traettoria
scelta dal guidatore del veicolo, e il rimorchio si adegua, in
particolare pensando che il punto del timone appartenga al punto
del gancio di traino. Quindi, da un punto di vista questo sistema a
due gradi di libert, mentre dal punto di vista della formula di
gruber ne ha uno. Questo calcolo non cambia neanche alterando la
geometria del sistema, anche per questi tipi di rimorchio con il
timone strano(fig.sopra) o anche per un rimorchio con le ruote
montate a caso.
Se considero in particolare il rimorchio con le ruote storte,
questo ha un solo grado di libert, se si pensa al punto di contatto
tra la ruota e il suolo fermo, quel punto si sposta rispetto alla
ruota (1)
-
quando il rimorchio si muove ,si sposta il punto di contatto
rispetto al suolo (0), quando la ruota si muove, ma non si sposta
per un osservatore solidale con il cassone (3), si potrebbe pensare
di saldare la sponda del cassone una specie di puntatore metallico
che indica il punto a terra (cos che quel punto non si sposta
rispetto al cassone), idealmente, lestremo di questa freccia
proprio il punto a terra. Si compie idealmente questa operazione
anche per laltra sponda del cassone con la ruota del lato sinistro
(2). La velocit del punto A valutata rispetto al suolo(0), pensato
appartenente al membro (3) diretta come la retta allintersezione
tra piano medio della ruota (1) e piano di appoggio (0) , questo
punto del cassone non pu avere direzione di velocit ortogonale al
piano medio della ruota, dal momento che la ruota potrebbe non
avere piano medio verticale, non ci pu essere una componente di
velocit del cassone diretta in questa direzione ortogonale, perch
altrimenti la ruota striscerebbe sul suolo, e cos non rispetterei
il vincolo di puro rotolamento , quindi la velocit di questo punto
A pensato appartenente al membro (3) rispetto al suolo diretta come
in figura. Analogamente la velocit di B del membo (3) rispetto al
suolo (0) diretta come in figura, cio come la retta allintersezione
tra piano medio della ruota (2) e piano di appoggio (0).
Guardando tutto dallalto, facile rendersi conto che il moto del
membro (3), un moto piano, questo accade sicuramente se il suolo
piano.
C un punto del membro (3) che ha velocit nulla rispetto al suolo
(0)?? Ovvero, dove si trova il C30??(centro di istantanea rotazione
del membro (3) rispetto a (0) )
Si trova mandando le perpendicolari al vettore velocit di un
qualsiasi punto del membro (3), essendo nota la dir della elocit
del punto A e B,mando le due perpendicolari dalle due direzioni dei
vettori velocit(non noti in intensit e verso ma solo in direzione),
il punto di intersezione delle due perpendicolari il C30. Questo un
punto ben definito del cassone, e del suolo.
Cosa fa questo cassone?? Pu ruotare soltanto attorno allasse
perpendicolare al foglio e passante per C30. Il sistema ha un solo
grado di libert, quindi ha ragione la formula di gruber.
Cosa succede ad un rimorchio avente gli assi delle ruote
paralleli??
Sono parallele le linee di intersezione dei piani medi delle due
ruote rispetto al suolo; ma dove si trova il C30??
Disegnando le rette ortogonali alle direzioni delle velocit di A
e B , il C30 deve stare su entrambe queste due rette che sono a
loro volta parallelle tra di loro che si incontrano allinfinito,
ovvero, il centro di istantanea rotazione infinitesimamente
distante dal cassone. Cosa fa il cassone rispetto al suolo??? Il
cassone trasla in direzione o in direzione , questo un rimorchio
che v sempre dritto. Per trainare questo rimochio lungo un percorso
curvo, occorre far strisciare le ruote, chiaramente alposto del
piedino ci sar contatto tra gancio di traino e timone. Per far
curvare questo rimorchio bisogna far curvare le ruote. Se le ruote
non possono strisciare per ipotesi, allora questo rimorchio v
sempre dritto.(mentre quello di prima gira in-tondo)
Nei rimorchi standard deve dunque accadere qulcosa in
particolare, se si hanno due gradi di libert, le ruote devono
essere montate bene, devono essere coassiali, potrebbero anche
essere camberate, la cosa importante che le rette di intersezione
dei piani medi con il suolo orizzontale piano, siano rette
parallele ma non solo, se rispetto solo questa condizione potrei
avere un rimorchio come quello che v solo dritto, ma deve anche
accadere che i due punti che, noto uno dei due punti di contatto,
ad esempio A, mandando la retta perpendicolare alla direzione della
velocit di A, si deve ottenere una retta su cui si trova anche
altro punto di contatto B. Dove st il C30 nel rimorchi
standard??
Dovrebbe essere determinabile come visto prima, tracciando le
perpendicolari alle direzioni note di A e B, deve stare su entrambe
le rette (che sono coincidenti), ma diversamente da prima che avevo
due rette distinte, ora non le ho, devo intersecare una retta con s
stessa. Tutti i punti di una retta appartengono anche allaltra
retta dal momento che sono coincdenti quinidi i punti di
intersezione
-
sono tanti quanti sono i punti di questa retta, quindi ogni
punto di questa retta un possibile C30 , che rimane
indeterminato.
Nei meccanismi piani, i centri di istantanea rotazione rimango
indeterminati quando:
Non c niente che si pu muovere, una rotazione nulla pu avvenire
attorno ad un punto o ad un asse qualsiasi.
Il meccanismo ha pi di un grado di libert
Questo caso del rimorchio prorpio del secondo tipo, si hanno 2
gradi di libert, un caso particolare ottenuto grazie ad una
geometria particolare, non prevista dalla formula di gruber. Quindi
cosa pu accadere se il rimorchio deve seguire una motrice che
avanza rettilinea???
Si ottiene che il C30 star su quela retta allinfinito.
Se il gancio della motrice descrive una traettoria circolare che
ha un certo raggio,(moto curvo a regime) il C30 star sempre sulla
retta perpendicolare alle direzioni delle due velocit di A e B (che
soo parallele) ma da un altra parte, quindi il rimorchio non
vincolato a ruotare attorno ad un asse fisso al finito o
allinfinito, quindi a traslare.
Cerchiamo di comprendere meglio come una particolare geometria
determini questo risultato,cosa accaduto avendo reso coassiali le
due ruote???
Se prendiamo in considerazione la ruota di destra e poniamo il
puntatore ideale che indica il punto a terra della ruota di destra;
se la ruota di destra rotola sul suolo senza strisciare, la velocit
del punto A, sar diretta come in figura, non presente componenete
di velocit del punto A nella direzione ortogonale. E proprio il
vincolo di puro rotolamento tra ruota e suolo che ci assicura che
questa componente di velocit del punto A nulla, una delle due
condizioni scalari di puro rotolamento, assenza di strisciamento in
direzione trasversale, e laltra sarebbe quella di assenza di
strisciamento tra ruota e suolo ma in direzione longitudinale, ci
significa che lavanzamento del punto a terra deve essere
accompagnato dalla corretta rotazione della ruota. Ora st
considerando solo una delle due condizioni di puro rotolamento,
quella che dice che non ci pu essere strisciamento in direzione
trasversale.(quindi la componente ortogonale della velocit di A non
c). Dallaltra parte, nellaltra ruota, il punto a terra determinato
in B, e anche questa ruota ha due condizioni scalari di puro
rotolamento, assenza di strisciamento in direzione longitudinale e
trasversale rispetto al suolo. C da dire, che questa seconda
condizione superflua, perch, se penso al segmento AB ideale,
solidale al cassone, di lunghezza costante pari alla distanza tra i
due estremi A e B. Se si pensa ad uno spostamento infinitesimo del
punto A valutato rispetto al suolo, pu avvenire solo in direzione
ortogonale al segmento AB perch assnte lo strisciamento tra suolo e
ruota in direzione laterale, quindi se, la velocit di A diretta
come in figura, ortogonale al segmento AB, automaticamente, la
velocit del punto B non pu avere una componente parallela al
segmento AB, altrimenti questo segmento varierebbe la sua
lunghezza.
-
Uno dei due vincoli di puro rotolamento da una parte dice al
segmento AB di spostarsi, ma questo in definitiva il cassone(membro
3), gli viene detto di spostersi, ma con velocit di A
perpendicolare ad AB. Uno dei due vincoli di puro rotolamento
dalaltra parte, dice al segmento AB di spostarsi nello stesso modo,
gli dice che deve essere assente la componente di velocit parallela
al segmento AB di B, ma questa automaticamente assente questa
componente se non presente la medesima componente nel punto A;
quindi uno dei due vincoli di puro rotolamento una ripetizione di
uno dei due vincoli di puro rotolamento dellaltra ruota, sono uno
la ripetizione dellaltro, in questo caso particolare con questa
geometria particolare.
La formula di gruber come nasce??
Nasce pensando che il telaio sempre fermo, e che inizialente,
accanto al telaio ci sono gli altri membri del meccanismo tra di
loro scollegati, svincolati anche al telaio. Ciascuno di questi
membri ha 6 gdl, l = 6(m-1).il numero dei membri sono m-1, e poi si
considerano i vincoli introdotti dalle varie coppie cinematiche -5
gradi di libert per ogni coppia cinematicaecc..ecc Se durante
questa operazione di introduzione di vincoli, introduco un vincolo
che gi era presente, non tolgo un grado di libert, e inizio a
sbagliare il calcolo. Se ripeto un vincolo perch magari la
geometria del sistema particolare,non tolgo un grado di libert.
Suppongo di intodurre un vincolo semplice con lintenzione di
togliere un solo grado di libert ma capta che quel vincolo che
introduco sia una ripetizione di vincoli gi presenti, quindi dovrei
fare matematicamente:
l 1 = 6(m-1) 5C1 4C2 - ..-1
non voglio che l cali di 1, perch l , ripetendo un vincolo non
cambia quindi metto un -1 anche dallaltra parte per mantenere l
inalterato. Introducendo un vincolo ripetuto, succede che introduco
una iperstaticit.
Caso semplice della trave nel piano incernierata ad un estremo
ed appoggiata allaltro estremo, il sistema staticamente
determinato(il meccanismo una struttura in questo caso), il numero
di gdl uguale a zero. Se introduco un altro carrello, il numero di
gradi di libert non cambia per il sistema diventa staticamente
indeterminato, iperstatico. La somma di questi -1 che aggiungo al
primo membro, d il numero di iperstaticit.
Quindi:
l i = 6(m 1) 5C1 4C2 3C3 - 2C4 - 1C5
calcolo comunque in modo uguale il secondo membro, mentre il
risultato da interpretare al primo membro perch non ho l , ma l- i
. Se conoscessi i potrei risalire al numero di gdl; la formula di
gruber generlizzata in questo modo d il numero di gdl meno il
numero di iperstaticit (ripetizioni di vicolo). Si tratta di volta
in volta di ragionare sul significato di l i , che ha sempre un
valore numerico be definito, ma non si sa quanto vale i si potrebbe
comunque intuire come in questo caso. Ci si deve aiutare con le
informazioni disponibili, se l i = 1, con questo ragionamento si
intuisce che l = 2 e i = 1.
In definitiva i rimorchi standard hanno 2 gdl e 1
iperstaticit.
Se carico il rimorchio con una forza laterale F(tipo figura) non
si in grado, con le equazioni della statica, di trovare le reazioni
del suolo sulle ruote. Qual la componente trasversale del suoo
sulla ruota (2) e quella sulla ruota (1)?? Le equazioni della
statica non bastano, c una iperstaticit; non detto che la
componente di reazione sia F/2, potrebbe valere F/3, F/4ed esserci
ancora equilibrio,
-
sapere quante sono le iperstaticit da informazioni utili sulla
difficolt del problema della determinazione delle reazioni.
Per un rimorchi strampalato si hanno 1 gdl e zero
iperstaticit.
Quanti sono i parametri necessari ad individuare la
configurazione del sistema, cio la posizione di corpo rigido di
ogni membro??
Al finito non si fanno sentire i vincoli anolonomi, abbiamo 1
gdl, scompaiono al finito due condizioni anolonome per ogni
contatto ruota-suolo. La dimensione dello spazio delle
configurazioni di questo sistema dovrebbe essere 5 (1 + 2*2 ).
Guardiamo il tutto dallalto,il rimorchio st in una posizione
individuata dalle due cooordinate valutate rispetto ad un sistema
di riferimento solidale con il suolo dellestremo del timone, pi
unangolo che individua la direzione del timone, ho cos la poszione
di corpo rigido del cassone. Essendo che il cassone si muove di
moto piano, bastano 3 parametri per individuare la sua posizione
nel piano. Gli altri due parametri servono per individuare mediante
due angoli , leposizioni angolari di ciascuna delle due ruote
rispetto al cassone. Sapendo dove st il cassone rispetto al suolo,
le ruote rispetto al cassone, so dove so trovano le ruote rispetto
al suolo. Nel caso di geomatria particolare le cose non cambiano a
livello di risultato finale. Tre parametri per individuare la
posizione di corpo rigido del cassone pi dua parametri aggiuntivi
per individuare e definire la posizione di corpo rigido relativa di
ciascuna delle due ruote rispetto al cassone. Questo risultato si
pu raggiungere anche con loperazione 1 gdl + 2*2(condizioni di puro
rotolamento) ; ora dovrei partire da due gradi di libert (2 gdl)
poi tolgo i vincoli di puro rotolamento che non si fanno sentire al
finito, cio due vincoli di puro rotolamento per la ruota di destra
ed uno solo per la ruota di sinistra, perch laltro vincolo una
ripetizione di questi due, quindi non lo devo considerare. Quindi
il conto risulta essere: 5 = 1 + 2 + 2
Triciclo
Considero per il triciclo, come per il rimorchio, privo di
sospensioni.
Le due ruote posteriori sono coassiali,( potrebbero essere di
diametri diversi) deve accadere che le due rette intersezione dei
piani medi delle ruote con il suolo devono essere parallele, ed
inoltre, la congiungente dei punti a terra tra le due ruote e il
suolo deve essere una retta ortogonale a ciascuna delle due rette
dei piani medi delle ruote. Allanteriore vi un membro (4)(manubrio
o forcella), incernierato al pianale del triciclo. Contando i gradi
di libert del meccanismo con gruber :
l i = 6 (6 1) (5 * 4) (3 * 3) = 1
Il numero di coppie rotoidali che lasciano 1 gdl sono 4 perch ho
i due accoppiamenti tra le ruote posteriori e il telaio, un altro
tra la ruota anteriore e il manubrio, e lultimo tra il manubrio e
il telaio. Ci sono inoltre tre contatti tra ruote e suolo. l i =
1
Guardando la disposizione particolare delle ruote posteriori mi
accorgo che: i = 1 , una delle due condizioni di puro rotolamento
dalla parte di sinistra una ripetizione di uno dei due contatti
della parte di destra. l = 2
Quali sono questi due gradi di libert???
A manubrio bloccato( membro (4) bloccato rispetto a (5)), il
triciclo pu andare avanti e indietro, in rettilineo o in curva.
Si ha la possibilit di ruotare il manubrio
Quanti sono i parametri tra di loro indipendenti necessari per
individuare la configurazione del sistema???
-
Potrei partire dai 2 gdl e togliere i vincoli, le condizioni
scalari di puro rotolamento che al finito sono aggirabili.
Togliendo i vincoli, aggiungo i gradi di libert, che sono due per
la ruota (3), due per la ruota (2) e uno per la ruota (1). Quindi
considero 5 vincoli tra di loro indipendenti che non si fanno
sentire al finito, linsieme dello spazio delle configurazioni : n =
2 + 5 = 7 .
Per un osservatore solidale con il suolo servono:
Tre parametri per individuare la posizione di corpo rigido del
pianale(5) Un angolo per individuare la posizione di corpo rigido
del membro (4) rispetto al (5) Un angolo per definire la posizione
della ruota (3) rispetto al membro (4), quindi conosco
indirettamente la posizione di (3) rispetto al suolo Un angolo
per la ruota (2) Un angolo per la ruota (1)
Servono quindi 7 parametri. Se si cambiassero per esempio le
posizioni delle due ruote posteriori in maniera casuale, n non
cambia(n = 7), ma l cambia ed da determinare(esercizio).
Sterzatura cinematica autoveicoli
CINEMATICA: Rispetto delle condizioni di puro rotolamento tra
ruote e suolo, senza strisciamento. Solo le ruote sottili,
lamellari, infinitesimamente sottili, possono sterzare facendole
rotolare su una superficie piana, facendo percorrere al punto di
contatto ruota suolo una curva piana arbitraria. Se la ruota larga(
un cilindro), rotola rempre in avanti o in dietro senza mai
sterzare, v sempre dritta. Se la ruota la scegliessi conica
curverebbe sempre.
Considero un autoveicolo privo di sospensioni dallalto:
Il veicolo ha un piano di simmetria, che la retta tratteggiata;
la careggiata anteriore potrebbe essere diversa da quella
posteriore. In rettilineo tutte le ruote non sarebbero sterzate,
sarebbero disposte parallelamente al piano di simmetria. Il passo b
la distanza tra i punti a terra(punto medio ruota) delle ruote
posteriori con quelle anteriori. Suppongo che i porta-mozzi delle
ruote anteriori, durante la sterzatura, possono oscillare attorno
ad assi verticali passanti per il punto a
WHUUD/HUXRWHDQWHULRULVDUDQQRVWHU]DWHGHLGXHDQJROLULVSHWWLYDPHQWH1
H2.
Che legame c tra 1 H2??Come devono essere tra di loro??
Si cerca il centro di istantanea rotazione tra telaio(pianale)
del veicolo e suolo. St sicuramente sulla retta ortogonale alla
direzione del piano medio delle ruote posteriori, che essendo
parallele, coincide(retta ortogonale alla direzione della veloci
delunoa erra delle ruote posteriori). Scegliendo DUELWUDULDPHQWH1 ,
introduco un puntatore ideale, solidale con il veicolo, che indica
il punto a terra della ruota anteriore sinistra, quel punto
solidale al pianale del veicolo e la velocit di quel punto valutata
rispetto al suolo un vettore diretto parallelamente alla direzione
di sterzatura della ruota.
-
Il cdr tra pianale del veicolo e il suolo si trova sulla
perpendicolare mandata dal punto a terra di questa ruota anteriore,
ma deve anche stare sulla retta ortogonale alla dir della velocit
delle ruote posteriori, il centro di istantanea rotazione il punto
di intersezioe delle due rette. Scegliere 1
VLJQLILFDVFHJOLHUHLOFGUVXOODVVHGHOOHUXRWHSRVWHULRUL1 = 0 significa
avere cdr00, il pianale trasla). Se 1 un valore costante, il
pianale ruota di corpo rigido attorno allasse fisso passante per
&6HVLVFHJOLH1 2 si avrebbe che il pianale non sa se dar ragione
alla ruota di sinistra e ruotare attorno a C o a ruotare attorno al
nuovo punto dando ragione alla ruota di destra. Siccome per ipotesi
non si deve avere strisciamento, deve dar ragione ad entrambe le
ruote. Se voglio dunque mantenere la posizione di C, si dovr
sterzare la ruota di destra in modo tale che il suo piano medio sia
ortogonale alla retta che congiunge il punto a terra della ruota di
destra con C. Si deve FHUFDUHXQOHJDPHWUD1 H2. Chiamo per adesso con
a la careggiata anteriore, mentre b VHPSUHLOSDVVRGHOYHLFROR6FHOWR1
, si considera sempre la retta perpendicolare al piano medio della
ruota posteriore (coincidente per entrambe le ruote posteriori) e
la retta perpendicolare al
SLDQRPHGLRGHOODUXRWDDQWHULRUHVLQLVWUDVLGHWHUPLQD2 in modo tale da
ottenere il medesimo C , mandando la retta da C verso il punto a
terra della ruota anteriore destra; la perpendicolare atale retta
la direzione di sterzatura della ruota di destra, cio il piano
medio della medesima ruota. Si chiama con R il raggio di curvatura
della traettoria del punto medio dellassale posteriore, cio la
distanza del punto medio dellassale posteriore da C. Si considera
prima il triangolo rettangolo con vertici i due punti a terra delle
ruote di sinistra e C, si pu scrivere:
Se poi si considera il triangolo rettangolo con vertici i due
punti a terra delle ruote di destra e C, si pu scrivere la
relazione:
1RWR5VLSRVVRQRULFDYDUH1 H2 GDOOHGXHUHOD]LRQLRSSXUHQRWR1 si pu
ricavare R dalla prima equazione, e noto R, si pu ricavare poi 2
dalla seconda equazione. Si cerca per una
UHOD]LRQHFKHPLSHUPHWWHGLUFDYDUH2 HVVHQGRQRWR1 e viceversa, senza
passare da R. Si scrive il reciproco della tangente per entrambe le
equazioni, poi si elimina R sottraendo la prima equazione dalla
seconda:
La relazione ottenuta la condizione di sterzatura cinematica, o
condizione di ACKERMANN . Non di fondamentale importanza il
rispetto di questa condizione negli autoveicoli, perch le ruote
degli autoveicoli non sono sottili, non sono rigide, ci possono
essere degli strisciamenti a bassa
-
velocit tra pneumatici e suolo. Se per si ha a che fare con
veicoli lenti, con marcia in deriva delle ruote su angoli molto
piccoli ,curve strette, e se il veicolo molto pesante e dotato di
ruote con pneumatici (muletti) allora conviene rispettare questa
codizione altrimenti le ruote si usurano velocemente e la gomma
rimane in terra. Se poi il suolo uno sterrato o una superficie
ghiaiata, e non rispettano la condizione di Ackermann, scalzano la
ghiaia e lasciano segni per terra.
Difficilmente lasse attorno al quale oscillano i porta-mozzi (o
le ruote) a freni anteriori bloccati il punto a terra . Tale asse
detto anche asse di king-pin. Questi assi di rotazione sono sempre
considerati perpendicolari al suolo in questi casi piani.
Quando la ruota gira, in realt il porta-mozzo che ruota attorno
al proprio asse di king-pin e porta la ruota nella posizione
sterzata. A ruota sterzata si individua la retta intersezione piano
medio della ruota con il suolo, e la normale al vettore velocit
mandata per il punto a terra quella di figura.
4XHVWDUHWWDFRUULVSRQGHDOODUHWWDGHOFDVRSUHFHGHQWHWDOHUHWWDQHOFDVRSUHFHGHQWHSHURJQL1
passava per il punto a terra della ruota di sinistra, e tale punto
era IHUPRDOYDULDUHGL1 , fermo rispetto al pianale. In questo caso,
il punto a terra si sposta rispetto al pianale e descrive una
trettoria circolare, un arco di circonferenza. In ogni caso, la
normale al vettore velocit una retta che passa dalla traccia
dellasse di king-pin; quindi al posto della careggiata data dalla
distanza tra i punti a terra, si prende la distanza tra i due assi
di king-pin di rotazione dei due mozzi-ruota.
Si cerca un modo per un veicolo a quattro ruote standard di
rispetare la condizione di Ackermann. Si adotta il meccanismo di
BOURLET.
Determinati in due assi di king.pin delle due ruote, essi sono a
distanza tale da definire la careggiata a e incernierati al telaio
del meccanismo di bourlet, il braccetto inclinato di : 0). Questo
lasse di una asola di larghezza costante nella quale inserito un
perno, o rullo incernierato a sua volta ad unasta che
perpendicolare asse longitudinale del veicolo,unasta che parallela
agli assi delle ruote sterzanti quando queste ruote sterzanti non
sono sterzate. Questa asta
DFFRSSLDWDSULVPDWLFDPHQWHDOWHODLRGHOYHLFROR6LGLPRVWUDFKHVFHJOLHQGRRSSRUWXQDPHQWH0
si
ULHVFHDVRGGLVIDUHODFRQGL]LRQHGLDFNHUPDQQFRQTXHVWRPHFFDQLVPR/DVFHOWDGL0
non arbitraria, occorre determinarla. Rispetto alla configurazione
del meccanismo relativa a ruote non sterzate, per sterzare devo
spostare lasta verso sinistra o destra. Suppongo di spostarla verso
sinistra di una quantit X VLGHYRQRGHWHUPLQDUH1 e 2 in funzione
dello spostamento X per soddisfare la codizione di Ackermann. Un
parametro geometrico di questo meccanismo C , cio la distanza tra
lasta trasversale dallasse delle ruote anteriori non sterzate.
x Per X = 0 ho un certo triangolo rettangolo per la ruota di
sinistra:
x Quando mi sposto di X lasta, il triangolo della ruota di
sinistra si modifica , il cateto verticale rimane sempre c che
fisso, il cateto orizzontale si accorcia di X. 1 langolo di cui
ruotato nel piano lasse dellasola, ma se lasse dellasola ruota
attorno a quel punto
-
GHOODQJROR1DQFKHODVVHGHOODUXRWDUXRWDDWWRUQRDTXHOSXQWRGLXQDQJROR1,
che langolo di sterzatura della ruota di sinistra.
x Il triangolo della ruota di destra, si avr che il cateto
superiore si allunga di una quantit x :
Per brevit di calcolo si chiama : Si pu scrivere:
Avendo ricavato:
Sommo membro a membro le due relazioni sfruttando la scrittura
semplificata per eliminare il
SDUDPHWUR;SHUOHJDUHGLUHWWDPHQWHWUDGLORUR1 H2.
Razionalizzando:
Svolgendo i calcoli:
Il fattore ( 1 + t02) sicuramente diverso da zero, quindi nella
ricerca della soluzione del meccanismo di Bourlet posso escluderlo
dallequazione.
Dividendo tutto per t1t2 si ottiene:
-
La relazione trovata la condizione di Bourlet:
La condizione di Ackerman invece:
La condizione di Bourlet soddisfa la condizione di Ackerman
quando:
Condizione da ottenere con il meccanismo di Bourlet, per
soddisfare la condizione di Ackermann, 0 dipende dundue dal
rapporto a/b(che caratteristico per ogni autoveicolo).Per
ricordarsi questa relazione si pu costruire un rettangolo con il
lato verticale lungo come il passo b e il lato orizzontale lungo
come la distanza tra gli assi di king-pin cio a,poisi ribalta
questo rettangolo di 180 rispetto al lato superiore(retta
trateggiata) del rettangolo lungo a. Considerando il punto medio
del lato superiore del rettangolo superiore e lo congiungo con i
punti dei due assi di king-pin, questi due segmenti ottenuti sono
gli assi delle due asole del meccanismo di Bourlet a ruote non
sterzate, langolo trovato sar 0, per verifica:
E un meccaniso che dimostra che possibile soddisfare la
condizione di Ackermann, ma non facile da rendere robusto e pulito.
La barra trasversale potrebbe terminare con due perni solidali alla
barra scorrevole rispetto al pianale , ma avremmo attrito tra asta
dotata di perni e porta-mozzi durante la sterzatura, allora si
possono montare delle rotelle con dei cuscinetti a rulli ottenedo
un
piccolo miglioramento ma con linconveniente del contatto
localizzato tra rotella ed asola(di un certo sperrore),contatto non
distribuito su una superficie ma localizzato sui punti di un
segmento(idealmente), necessit di consentire rotolamento della
rotella rispetto allasola, quindi dovremmo avere lasola pi larga
del diametro della rotella, altrimenti, la rotella striscia
sullasola, quindi ci deve essere un minimo di gioco, il ch si
traduce in una piccola imprecisione di sterzatura. Lasola anche da
tenere pulita da agenti che possono eraderla, anche i cuscinetti
vanno tenuti pouliti, ma difficile. E per questo che preferibile
avere delle coppie rotoidali e si adottano soluzioni approssimate(a
casi piani) che per non soddisfano la condizione di Ackermann. Una
di queste soluzoni apprssimate del tipo Jeantaud:
Lasta rigida incernierata in due punti, i due porta-mozzi, in
qualche modo si fa ruotare un portamozzo il quale fa ruotare anche
il portamozzo di destra. Unaltra configurazione pu essere quella di
Panhard:
Lasta in questo caso disposta anteriormente.
Per far sterzare cinematicamente due ruote di un atoveicolo nel
rispetto della condizione di Ackermann ci sarebbe una soluzione
semplice che consiste nellavere un assale rigido anteriore, con
ruote posteriori non sterzanti, facendo ruotare lassale rigido
anteriore attorno allasse di rotazione centrale. Questa soluzione
non adottata perch si dovrebbero avere ampie zone a disposizione
per accogliere le ruote durante la sterzatura.
-
Per veicoli con quattro ruote sterzanti,a due assi, si sceglie
come retta dove far stare il C, la retta trateggiata posta a met
del passo, cio a met tra i due assali. Caso pi complicato ma con
dei vantaggi notevoli soprattutto sei il veicolo molto lungo nelle
curve strette.
Un veicolo che ruota a sinistra in modo standard, pu rasentare
il cordolo interno di un vicolo stretto e con piccoloraggio di
curvatura, con la rua parte posteriore e rasentare il cordolo
esterno con la parte anteriore. Dato il raggio di curvatura del
cordolo interno e dato il veicolo, ne consegue il raggio di
curvatura del cordolo esterno. Lo stesso veicolo a quattro ruote
sterzanti, pu in curva bandire il cordolo interno con il punto
medio della fiancata interna .
Veicolo a tre assi ( sei ruote) con 4 ruote sterzanti,si
applicano pi volte le condizioni di sterzatura
FLQHPDWLFDDYHQGRVFHOWRLOGLXQDUXRWDHWURYDQGRJOLDOWULGLFRQVHJXenza.
-
MECCANICA DEL VEICOLO a.a 2009/2010: Lezione del 3/03/2010
STERZATURA CINEMATICA DEI RIMORCHI
Cosa sono i rimorchi? Ne abbiamo gi visto uno, quello a 2 ruote.
Esistono anche dei rimorchi pi complessi ma molte volte un
rimorchio complesso ottenuto collegando tra loro due rimorchi
semplici. Ad esempio, un rimorchio a 4 ruote, lasciamo perdere le
sospensioni, pu avere un assale fisso cio con ruote non sterzanti,
poi un assale sterzante (un membro rigido oscillante rispetto al
pianale del rimorchio attorno a questasse) e queste sono le due
ruote. A questo assale collegato il
timone dellintero rimorchio; allora, questo qui il primo
rimorchio [rosso] ( un primo rimorchio elementare) e tutto questo
[blu] il secondo rimorchio elementare. Il punto [f][le parentesi []
indicheranno che il nome solo indicativo, per spiegare il disegno,
e non stato definito dal professore] lo si pu vedere come lestremo
anteriore del timone del secondo rimorchio elementare. Quindi per
sapere come questo rimorchio a quattro ruote segue la motrice (la
motrice avr un gancio che descrive una traiettoria nota,
tratteggiata in figura) basta scoprire come questo punto del primo
rimorchio (punto A) si muove nel piano, cio qual la traiettoria di
questo punto. Nota la traiettoria di questo punto si ricondotti a
studiare un problema dello stesso tipo: nota la traiettoria di un
punto di un rimorchio a due ruote, come trovare la traiettoria di
questo punto e di qualsiasi altro punto di un rimorchio a due
ruote. Pertanto, io considero solo un rimorchio a due ruote; ho un
sistema di riferimento fisso, cio solidale con il suolo e guardo
tutto dallalto: sono le due ruote del rimorchio ben piazzate, cio
coassiali. Potrebbero anche essere anche diverse di diametro le
ruote ma vale la condizione di cui ho parlato ieri cio, la
congiungente dei punti a terra deve essere perpendicolare alle
rette di intersezione dei piani medi delle ruote con il suolo.
Quindi questo qui potrebbe essere un assale rigido, un membro a cui
sono incernierate le ruote e poi questo membro potrebbe avere
unappendice (una sorta di timone strano) e questo qui il punto (P)
di cui nota la
traiettoria rispetto al suolo. Questo qui il centro della
cerniera interposta tra motrice e rimorchio; si sa come si muove la
motrice, si sa come si muove quindi ogni punto della motrice, anche
questo punto qui (punto che chiamo P). Proietto P sul segmento che
ieri ho chiamato AB, sul segmento che in questa proiezione
congiunge i due punti a terra del rimorchio. Quindi proietto P su
AB ed ottengo un punto che chiamo Q. In genere Q sta a met strada
tra A e B ma non indispensabile che ci accada. La distanza di P da
Q una caratteristica geometrica del rimorchio, nota e vale a. In un
certo istante so dove si trova la motrice, so dove si trova il
punto P, non so dove si trova il punto Q. So per adesso, almeno che
il punto Q deve stare su di una circonferenza di raggio a centrata
in P. 0DGRYH"1RQORVR6HFRQRVFHVVLTXHVWRDQJRORLQILJXUD YDOHFLUFDHG
positivo), se conoscessi langolo che il vettore P-Q forma con la
direzione dellasse x del sistema di riferimento fisso, saprei
individuare Q sullarco di circonferenza di cui ho parlato prima, ma
Q un punto del rimorchio, P un punto del rimorchio. Se conosco dove
sta nel piano il segmento PQ, so dove si trova lintero rimorchio.
Suppongo di sapere, di
conRVFHUHLOYDORUHGLLQXQFHUWRLVWDQWH4XLQGLLQXQFHUWRLVWDQWHROWUHODSRVL]LRQHGHOSXQWR3FRQRVFRDQFKHLO
YDORUHGL3RL3VLVSRVWDQHOpiano lungo la traiettoria nota
[tratteggiata] e si sposta di una quantit nota; il vettore
spostamento del punto P lo chiamo dP ed un dato del problema.
0LFKLHGRTXDQWRYDOHG"3HUFK se conosco, se riesco a calcolare la
variazione infinitesima
dGHOODQJRORFRQRVFRLOQXRYRYDORUHGHOODQJRORTXDQGR3VLVDU spostato in
P. Ci sar P e il vettore dp e quindi P andr in P ed GLYHQWHU (cio
G%HQHSHUULVROYHUHTXHVWRSUREOHPDSHUWURYDUHGVFULYRLOYHWWRUH3-Q in
questo modo
Poi differenzio questa relazione. Il differenziale del primo
membro :
Quello del secondo membro (a costante):
Quindi
Da qui esplicito dQ
-
x dP sar del tipo:
x GQRQORconosco e dQ quindi non lo posso, per il momento,
calcolare.
Mi serve qualche altra informazione, qualche altra equazione.
Riconsidero il problema e scopro che se le ruote del rimorchio
rotolano sul suolo, il centro di istantanea rotazione tra telaio
del rimorchio e suolo si trova su questa retta [retta *], da
qualche parte. Non so esattamente dove ma sta su questa retta; e
quindi la velocit di un qualsiasi punto del rimorchio ortogonale
alla congiungente, allora la velocit del punto H del timone del
rimorchio ortogonale alla congiungente C con H (C = centro di
istantanea rotazione). Per C non so dove si trova e quindi la
velocit di H com diretta? Non lo so e dipende dalla posizione di C.
Le cose sono diverse per i punti di questa retta qui [retta *]. Ad
esempio come diretta la velocit di Q? La velocit di Q ortogonale
alla congiungente QC. QC dove sta? Qui sopra, qui sotto, non lo so.
Comunque la congiungente QC un segmento che giace su questa retta
[*] e la velocit del punto Q ortogonale a questa retta. Quindi la
velocit del punto Q diretta alla stessa direzione del segmento QP.
Questo angolo qui [segnato con un quadratino] di 90; ho proiettato
P su questa retta per ottenere Q. Quindi dQ comunque parallelo al
vettore P-Q.
Se come caso particolare C cadesse in Q (per adesso non lo so)
allora CQ non sarebbe un segmento, non avrebbe una direzione a cui
far riferimento. Per in questo caso, dQ (la velocit di Q per lo
spostamento infinitesimo del punto Q in un intervallo infinitesimo
di tempo dt) sarebbe uguale a 0 ed il vettore nullo parallelo a
qualsiasi vettore. Se C cadesse qui [punto Q], dQ sarebbe uguale a
0 ed il rimorchio starebbe ruotando attorno a questasse [passante
per Q e parallelo a Z] ( un caso particolare che adesso non
importa). Andiamo avanti con questa relazione: dQ deve essere
parallelo, comunque parallelo, a P-Q. Le mie equazioni ancora non
lo sanno, non ho ancora imposto che dQ sia parallelo a P-Q. Impongo
adesso come? Proviamo a scrivere cos:
Prodotto vettoriale tra quei due vettori uguale a zero.
Significa imporre che quei due vettori siano paralleli. C un
piccolo problema; questi due vettori sono vettori a due componenti
ed il prodotto vettoriale tra vettori a due componenti non
definito. Problema superabile. Aggiungiamo la terza componente,
quella lungo lasse z, a questi due vettori. La terza componente
nulla. Il problema lo considero comunque piano (pu essere anche che
il gancio fosse ad una quota diversa dallasse delle ruote del
rimorchio), proietto comunque prima tutto sul piano xy, quindi P-Q
diventa un segmento giacente sul piano xy, quindi la terza
componente di P-Q nulla. dQ un vettore parallelo al piano xy ed ha
la terza componente nota. Quindi, penso adesso a questa equazione
come scritta sfruttando due vettori, uno finito ed uno
infinitesimo, a tre componenti la cui terza componente nulla. Sono
due vettori paralleli al piano xy. Il prodotto vettoriale tra due
vettori so adesso come calcolarlo e deve essere uguale al vettore
nullo. Questo qui [], questo zero un vettore. Se io partissi da due
vettori paralleli al piano xy e li moltiplicassi tra loro
vettorialmente otterrei il vettore nullo? No, se scelgo a caso i
due vettori paralleli al piano xy. Non ottengo il vettore nullo.
Ottengo comunque un vettore parallelo allasse z di questo sistema
di riferimento. Ottengo un vettore con due componenti nulle, le
prime due componenti nulle sempre. Solo quando
il vettore dQ, parallelo comunque al piano xy, parallelo al
vettore P-Q, parallelo dallinizio al piano xy, ottengo che anche la
terza componente di questo prodotto nulla. In sostanza questo zero
qui equivale al vettore nullo
e questa equazione vettoriale
equivale a tre equazioni scalari, le prime due delle quali sono
sempre soddisfatte (son del tipo 0=0). E la terza equazione scalare
che potrebbe non essere soddisfatta ed soddisfatta quando dQ
parallelo a P-Q. Linformazione utile associata alla terza equazione
scalare di questa condizione vettoriale. Vado a selezionare
linformazione utile per non tirarmi dietro delle identit e come la
seleziono? Moltiplico tutto questo, scalarmente, per k, il versore
dellasse z (il vettore (0,0,1)).
E questa qui diventa una condizione scalare che vado a
riscrivere sottoforma di determinante simbolico.
La prima riga contiene le componenti del versore k, la seconda
contiene le componenti del vettore dQ (che saranno: , la seconda
componente e la terza componente, che qui [Eq.3] non vedo perch il
vettore aveva ancora due componenti, uguale a zero). Terza riga del
determinante simbolico contiene P-Q. Posso dividere lultima riga
per la costante non nulla a, poi sviluppo il determinante secondo
gli elementi o della prima riga o dellultima colonna;
Il determinante di questa matrice 3x3 uguale al determinante di
questa matrice 2x2.
Determinante che eguaglio ancora a zero.
E infine
-
4XHVWDHTXD]LRQHIRUQLVFHODULVSRVWDDOODGRPDQGDFKHLRKRSRVWRDOOLQL]LRTXDQWRYDOHGSHUXQcerto
spostamento dP del punto P. Qui dentro nota la posizione iniziale
del rimorchio (noto noto lo spostamento del punto P (dPx e dPy
VRQRQRWL HGDTXLPL ULFDYRG. Mi diventa nota la posizione del
rimorchio allinizio dellintervallo infinitesimo successivo e cos
posso andare avanti ad integrare.
Se preferite, considerate la posizione di P funzione di un
parametro s che pu essere unascissa curvilinea o pu essere un altro
parametro, quindi P(s) unequazione parametrica di una curva nel
piano. Conoscete la funzione vettoriale dello scalare s e
quindi
Integrate TXHVWD HTXD]LRQHGLIIHUHQ]LDOH H RWWHQHWH V
3HURJQLSRVL]LRQHGHO YHLFROR WUDLQDQWHquindi per ogni posizione del
punto P, avete anche la posizione del rimorchio. Naturalmente
occorre integrare quellequazione e tener conto della condizione
iniziale.
Vediamo subito un caso particolare, per mettere alla prova
questa equazione, per verificarne la correttezza. Come traiettoria
del punto P scelgo una curva molto semplice, una retta, anzi una
semiretta.
Il punto P parte dallorigine del sistema di riferimento fisso e
percorre lasse x. E il rimorchio dove sta? Il rimorchio potrebbe
essere qui [posizione in figura], queste son le ruote, questo il
timone lungo a, c il punto Q e questo 0
(iOYDORUHLQL]LDOHGHOODQJROR.Chiamo:
e dPy vale zero in questo caso:
Pertanto avr
e
W
,QWHJUR LGXHPHPEULGLTXHVWDHTXD]LRQHYDULHU tra 0 ed e x varier da
x0 (cio 0, parto da zero) a .
Lintegrale
dovrebbe avere un aspetto a voi noto. E uguale a
dove la derivata rispetto della
.
Quindi
Log logaritmo naturale, spero non ci siano ambiguit; forse voi
siete abituati a scriverlo ln ma il logaritmo in base 10 di impiego
raro. Il 90% dei casi in cui vedete un logaritmo un logaritmo
naturale.
Allora, al primo membro avr:
Lascio perdere adesso il segno sopra, non c pi ambiguit di
simboli, il valore di questangolo che corrisponde al valore
corrente di x che non chiamo pi x segnato.
E soddisfacente questa relazione? Cosa capita quando x aumenta,
aumenta, aumenta, fino allinfinito? Cosa far questo rimorchio? Si
piazzer a cavallo dellasse x HGRYUHEEH WHQGHUH Dzero. E in effetti
per x che tende allinfinito, questa quantit [
] va a zero quindi WHQGHD]HUR
Ma chi lo dice che il punto P debba procedere verso destra?
Potrebbe spostarsi verso sinistra e allora, x tenderebbe a meno
infinito; dopo un po x diventa molto grande in valore assoluto ma
negativo. Per x che tende a meno infinito, questo esponenziale
tende a infinito, una quantit infinita. La tangente di un angolo, e
quellangolo WHQGHDLQILQLWR
-
Quindi
Anche questo soddisfacente. Disegno gli assi x e y; cosa far da
qui il rimorchio?Il punto Q descriver una traiettoria di questo
tipo
e dopo un p il punto Q si porter praticamente sovrapposto
allasse x e il punto P sar qui e il resto del rimorchio sar qui.
Langolo che il vettore P-Q forma con lasse x sar praticamente
paULDVuol dire che quellequazione va bene anche per questo
caso.
Che cosa capita se facciamo percorrere al punto P una
traiettoria circolare di raggio R? Facciamo percorrere quella
traiettoria tante volte. Ad esempio partiamo da qui [*], con il
rimorchio messo in questa posizione; dopo un po il rimorchio, come
la motrice, sar animato (come moto di corpo rigido), il rimorchio
ruoter attorno a questasse [passante per O]. E quello che ci si
aspetta.
Il punto P andr qui [punto P sul disegno] e qui il punto Q. Il
centro di istantanea rotazione tra rimorchio e suolo coincide, deve
coincidere, con il punto O a regime. Dopo un po il punto P si trova
in moto su questa circonferenza. E ragionevole che le cose debbano
andare cos. Questa equazione compatibile con quella situazione l, a
regime? Facciamo un controllo. Allora,
$EELDPR FKLDPDWR FRQ TXHVWDQJROR, questo segmento lungo R ed il
timone del rimorchio
OXQJRDPLQXVFROR3HUTXHOJHQHULFRYDORUHGLTXDQWRYDOHODQJROR" /DQJROR
questangolo qui, langolo che il vettore P-Q forma con lasse x (nel
caso di figura circa 100/110). uguale D SL questangolino qui ().
Questo langolo tra due segmenti ma anche langolo tra le
perpendicolari a quei due segmenti: considero la perpendicolare a
questo segmento [PQ] che questo e la perpendicolare al segmento
verticale che lorizzontale. Questo angolino qui [] DQFKHTXL4XLQGL
SL questangolo qui che potrei chiamare SKL
Ma quanto vale ? YDOHDVXDYROWDPHQRTXHVWDQJRORTXL [*], che un
angolo di un triangolo rettangolo, che potrei scrivere come larco
il cui seno a (che conosco) diviso R (che conosco).
Vado a sostituire
Riordinando
Il seno del primo membro uguale al seno del secondo membro. Il
seno di pi qualcosa uguale al coseno del qualcosa.
Ho trovato questa relazione basandomi su ci che mi attendo del
comportamento a regime del rimorchio in questo caso particolare.
Questa condizione compatibile con lequazione differenziale del moto
del rimorchio? Andiamo a vedere. Quanto vale dP? Quanto valgono dPx
e dPy? Allora, dP differenziando la prima relazione (Eq.1) uguale
a
Vado a sostituire:
-
A regime quanto YDOH G LQ IXQ]LRQH GL G" 6H LO YHLFROR WUDLQDQWH
UXRWD GHOODQJROR G DWWRUQRallasse di traccia o, la stessa cosa fa
anche il veicolo trainante; dXJXDOHDGDUHJLPH
Quindi semplifico e mi ritrovo
E me lo ritrovo per questa strada, quel risultato l [Eq.22].
Quindi quellequazione l sembra proprio essere corretta, stata
controllata in due casi, in due casi e mezzo, insomma. Chi vuole,
per esercizio, integri quellequazione[Eq.10] in questo caso, cio
partendo ad esempio con il punto P con una posizione
individuDWDGDXJXDOHD]HURHFRQ5QRWR FRQFKHKDXQYDORUHJHQHULFRo. E un
po un esercizio di analisi matematica, lintegrazione di quella
equazione in questo caso. Si riesce a fare aQDOLWLFDPHQWH H
LQL]LDOPHQWH DYUHWH FKH QRQ