1 APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA 3 Appunti di Analisi Matematica 3 APPUNTI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 3 FRANCESCO PERRELLI Capitolo 1: funzioni in campo complesso ( 1 – 52) Capitolo 2: trasformazioni conformi (53 – 63) Capitolo 3: integrazione in campo complesso (64 – 116) Capitolo 4: modelli matematici (117 – 206) Capitolo 5: formula di derivazione sotto integrale (207 –210) Capitolo 6: trasformata di Fourier e di Laplace (211 –239) www.appuntiofficinastudemti.com
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APPUNTI DI ANALISI MATEMATICA 3
Appunti di Analisi
Matematica 3
APPUNTI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 3 FRANCESCO PERRELLI
Capitolo 1: funzioni in campo complesso ( 1 – 52)
Capitolo 2: trasformazioni conformi (53 – 63)
Capitolo 3: integrazione in campo complesso (64 – 116)
Capitolo 4: modelli matematici (117 – 206)
Capitolo 5: formula di derivazione sotto integrale (207 –210)
Capitolo 6: trasformata di Fourier e di Laplace (211 –239)
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CAPITOLO 1: FUNZIONI IN CAMPO COMPLESSO
Capitolo 1: funzioni in
campo complesso
APPUNTI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 3 FRANCESCO PERRELLI
Sommario Numeri complessi ............................................................................................................................................. 4
Introduzione ai numeri complessi ................................................................................................................ 4
Parte reale e parte immaginaria di un numero complesso ......................................................................... 4
Operazioni di somma e prodotto in campo complesso e proprietà ........................................................... 4
Relazione d’ordine in campo complesso ...................................................................................................... 6
Numeri complessi ed estensione dei numeri reali ...................................................................................... 6
Rappresentazione dei numeri complessi ..................................................................................................... 7
Riduzione di un numero complesso alla forma algebrica .................................................................. 8
Numeri complessi in forma trigonometrica .......................................................................................... 8
Formule di passaggio da coordinate polari a cartesiane e viceversa .............................................. 9
Esempi di forma algebrica e forma trigonometrica .......................................................................... 10
Prodotto tra due numeri complessi ..................................................................................................... 10
Potenze di numeri complessi e formula di De Moivré ..................................................................... 11
Radici n-esime di un numero complesso ............................................................................................. 11
Esercizi sulle radici di un numero complesso ..................................................................................... 12
Funzioni in campo complesso ......................................................................................................................... 14
Intorno in campo complesso ...................................................................................................................... 14
Punto interno, punto esterno e punto di frontiera, insieme aperto ........................................................ 15
Limite in campo complesso e continuità .................................................................................................... 16
Campo complesso ampliato ....................................................................................................................... 16
Funzione complessa di variabile complessa ≡ 2 funzioni reali di due variabili reali ............................... 17
Esempi di funzioni ....................................................................................................................................... 18
Funzione 𝒇𝒛 = 𝒛𝟐 .................................................................................................................................................................................... 18
Funzione 𝒇𝒛 = 𝑹𝒆𝒛 .................................................................................................................................................................................. 18
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CAPITOLO 1: FUNZIONI IN CAMPO COMPLESSO
Sommario
Esempi di funzioni ....................................................................................................................................... 18
Funzione 𝒇𝒛 = 𝒛𝟐 .................................................................................................................................................................................... 18
Funzione 𝒇𝒛 = 𝑹𝒆𝒛 .................................................................................................................................................................................. 18
Funzione 𝒇𝒛 = 𝟏/𝒛 ................................................................................................................................................................................... 19
Funzione 𝒇𝒛 = 𝒛𝟐 .................................................................................................................................................................................... 19
Funzione 𝒇𝒛 = 𝐀𝐫𝐠 𝒛 ............................................................................................................................................................................... 19
Derivabilità in campo complesso ................................................................................................................... 20
Proprietà della derivazione in campo complesso ...................................................................................... 20
Teorema di Cauchy-Riemann ......................................................................................................................... 21
Applicazioni del teorema di Cauchy-Riemann ........................................................................................... 22
Dimostrazione della condizione di Cauchy-Riemann ................................................................................ 22
Teorema di Goursat ........................................................................................................................................ 24
Conseguenze del teorema di Cauchy-Riemann ............................................................................................. 24
Jacobiano della trasformazione ................................................................................................................. 24
Condizioni di Cauchy-Riemann in coordinate polari ................................................................................. 25
Armonicità di 𝒖 e 𝒗 ..................................................................................................................................... 25
Serie di funzioni in campo complesso ............................................................................................................ 27
Convergenza totale ..................................................................................................................................... 29
Relazione tra convergenza totale e convergenza assoluta ....................................................................... 29
Relazione tra convergenza uniforme e convergenza puntuale ................................................................. 29
Relazione tra convergenza uniforme e convergenza totale ...................................................................... 30
Serie di potenze .............................................................................................................................................. 30
Teorema di Abel .......................................................................................................................................... 30
Dimostrazione del primo punto ................................................................................................................................................................ 31
Insieme di convergenza di una serie di potenze ........................................................................................ 33
Calcolo del raggio di convergenza .............................................................................................................. 34
Teorema di Cauchy-Hadamard ................................................................................................................................................................. 34
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CAPITOLO 1: FUNZIONI IN CAMPO COMPLESSO
Teorema di D’Alambert ............................................................................................................................................................................ 34
Teorema di Picard .................................................................................................................................................................................... 34
Esempi di serie di potenze .......................................................................................................................... 34
Convergenza uniforme nel cerchio di convergenza ................................................................................... 37
Teorema di continuità del limite di una serie ............................................................................................ 37
Continuità della somma di una serie di potenze ....................................................................................... 37
Olomorfismo della somma di una serie di potenze ................................................................................... 38
Accenno alla dimostrazione ...................................................................................................................................................................... 38
Derivate n-esime della serie di potenze ..................................................................................................... 40
Funzioni elementari in campo complesso...................................................................................................... 41
Funzione esponenziale in campo complesso ............................................................................................. 41
Proprietà dell’esponenziale in campo complesso ..................................................................................... 42
Esponenziale della somma di due numeri complessi ................................................................................................................................. 42
Modulo della funzione esponenziale ........................................................................................................................................................ 43
Periodicità della funzione esponenziale .................................................................................................................................................... 44
Olomorfia della funzione esponenziale ..................................................................................................................................................... 44
Funzioni seno e coseno ............................................................................................................................... 44
Proprietà delle funzioni seno e coseno ...................................................................................................... 45
Funzione tangente ...................................................................................................................................... 46
Funzione logaritmo ..................................................................................................................................... 47
Isolare una determinazione del logaritmo................................................................................................................................................. 48
Logaritmo principale ................................................................................................................................................................................ 49
Logaritmo come estensione di quello reale ............................................................................................................................................... 49
Olomorfismo della funzione logaritmo (per casa) ...................................................................................................................................... 50
Funzione potenza ........................................................................................................................................ 50
Arcoseno in campo complesso ................................................................................................................... 51
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CAPITOLO 1: FUNZIONI IN CAMPO COMPLESSO
Numeri complessi
Introduzione ai numeri complessi
I numeri complessi vengono introdotti di solito in maniera assiomatica. Si possono paragonare gli assiomi
alle regole di un gioco da tavolo: prima di cominciare a giocare, c’è bisogno di fissare con i giocatori
delle regole che siano le minime possibili. L’impostazione assiomatica fa una cosa analoga: fissa un numero
minimo di regole, che sono gli assiomi, e, con tali assiomi, si comincia ad operare e a vedere cosa si
ottiene. In particolare, i numeri complessi erano stati introdotti in Analisi Matematica 1 come coppie di
numeri reali, per cui l’insieme dei numeri complessi era l’insieme delle coppie di numeri reali.
Definiamo ora invece i numeri complessi come espressioni del tipo 𝑎 + 𝑖𝑏, per cui diciamo che l’insieme
dei numeri complessi ℂ è un insieme di tutte le espressioni del tipo 𝑎 + 𝑖𝑏, dove 𝑎 e 𝑏 sono numeri reali
e 𝑖 è un simbolo, detto unità immaginaria, che ha la proprietà che 𝒊𝟐 = −𝟏
ℂ = {𝑎 + 𝑖𝑏: 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ}, 𝑖2 = −1
Parte reale e parte immaginaria di un numero complesso
Dato un numero complesso 𝑧, esprimibile in forma algebrica, come: 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏
si adottano le seguenti definizioni:
𝒂 si definisce parte reale di 𝒛 e si indica: 𝑎 = Re{𝑧}
𝒃 si definisce coefficiente della parte immaginaria di 𝒛, e si indica: 𝑏 = Im{𝑧}
Operazioni di somma e prodotto in campo complesso e proprietà
Sono definite nell’insieme complesso due operazioni, somma e prodotto, come segue, con le solite regole
del calcolo letterario, o meglio per la somma e il prodotto sono fissate le seguenti definizioni (si tratta di
definizioni, cioè di assiomi, regole di base che fissiamo). Dati due numeri complessi 𝑎 + 𝑖𝑏 e 𝑐 + 𝑖𝑑 (quindi
𝑎, 𝑏 𝑐 e 𝑑 per definizione di numero complesso sono tutti numeri reali):
- si definisce la somma tra i due numeri complessi 𝑎 + 𝑖𝑏 e 𝑐 + 𝑖𝑑 il numero ancora complesso