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Appunti di 03AXPNZ - Fisica II 1
Studente: MACI SamuelePolitecnico di Torino
Anno Accademico 2011/[email protected]
Docente: UMMARINO GiovanniProf. Associato
[email protected]
Ultima revisione: 10 gennaio 2012
1Il presente quaderno di appunti e stato redatto completamente
con l’applicativo TEXnicCenter
mailto:[email protected]:[email protected]
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Indice
I Elettromagnetismo 3
1 Campo Elettrostatico 51.1 Campo Elettrico . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Campo elettrico generato da un corpo qualunque . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 61.1.2 Carica che si muove in un campo
elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3
Campo Elettrico, estensione di un campo puntiforme . . . . . . . .
. . . . . . . . . 6
2 Potenziale 92.1 Energia in un sistema di cariche puntiformi
fisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Potenziale
di un campo macroscopico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 92.3 Dipolo Elettrico . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.1 Potenziale geneato da un dipolo . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 102.3.2 Dipolo all’interno di un
campo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112.3.3 Momento di un dipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 122.3.4 Dipolo in un campo elettrico
non costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.5
Applicazioni del concetto di dipolo . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 12
3 Teorema di Gauss 133.1 Esempi di Applicazione del teorema di
Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.1 Campo elettrico di una carica puntiforme . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 143.1.2 Campo elettrico generato da un
filo carico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.1.3
Campo elettrico generato da un piano infinito . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 143.1.4 Campo elettrico generato da un guscio
carico omogeneo . . . . . . . . . . . . . . . 143.1.5 Campo
elettrico di una sfera carica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 153.1.6 Calcolo del campo generato da una sfera
carica, cava in un punto . . . . . . . . . . 153.1.7 Teorema di
Gauss in forma differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 16
4 Condensatori e Dielettrici 174.1 Conduttori all’interno di un
campo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
174.2 Condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2.1 Collegamento tra condensatori . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 194.3 Lavoro di carica di un
condensatore e densità di energia . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 214.4 Pressione elettrostatica . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5 Dielettrici 235.1 Rigidità dielettrica . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.2
Dipolini all’interno di un dielettrico . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 245.3 Condittori metallici . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 29
5.3.1 Corrente elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 295.3.2 Legge di conservazione
della carica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
305.3.3 Legge di Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 315.3.4 Effetto Joule . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
315.3.5 Resistenze in serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 325.3.6 Resistenze in parallelo . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
325.3.7 Carica di un condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 325.3.8 Scarica di un condensatore .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.3.9
Leggi di Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 33
I
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6 Campo magnetico 356.1 Forza di Lorentz . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.2
Seconda legge di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 366.3 Momento di un dipolo
magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 376.4 Effetto Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.4.1 Spettrometro di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 396.4.2 Selettore di velocità . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
396.4.3 Ciclotrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.5 Prima legge di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.5.1 Formulazione 1−D . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
406.5.2 Formulazione 3−D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 406.5.3 Definizione dell’unità di
misura dell’Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
6.6 Teorema di Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.6.1 Applicazione del
teorema di Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 44
6.7 Flusso e Controflusso . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.7.1 Calcolo di
coefficienti di induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 46
6.8 Comportamento di materiali in un campo magnetico . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 466.8.1 Classificazione dei materiali
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
476.8.2 Ridefinizione del teorema di Ampere . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 486.8.3 Induzione magnetica in presenza
di un’interfaccia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.8.4
Comportamento di χm nei diversi materiali . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 49
6.9 Smagnetizzazione di un magnete . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 526.10 Legame tra campo elettrico
e campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
6.10.1 Esperimenti di Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 526.11 Terza e Quarta equazione di
Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
526.12 Legge di Felici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.13 Forza
elettromotrice e correnti indotte . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 54
6.13.1 Spira rettanglare che ruota attorno al suo asse . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 556.13.2 Energia assorbita nel campo
magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.13.3
Densita di energia magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 596.13.4 Pressione magnetica . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.13.5
Trasformatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 60
6.14 Calcolo della corrente in circuiti RLC . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.14.1 Circuito RLC con
generatore non costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 62
6.15 Cenni di Relatività ristretta . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.15.1 Invarianza di
Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 65
6.16 Fenomeni ondulatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.16.1 Intensità di un’onda
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 696.16.2 Onde sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.16.3 Onde cilindriche . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
696.16.4 Ona di lunghezza finita . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 706.16.5 Somma di onde distinte . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
6.17 Onde elettromagnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.17.1 Relazione tra l’onda
del campo elettrico e l’onda del campo magnetico . . . . . . .
716.17.2 Energia associata all’onda elettromagnetica . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 736.17.3 Vettore di Poynting . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
736.17.4 Riflessione di un’onda elettromagnetica in un metallo . .
. . . . . . . . . . . . . . 746.17.5 Legame tra velocità di gruppo
e velocità di fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.17.6
Spettro di onde elettromagnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 766.17.7 Onda elettromagnetica in un
dielettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
II Ottica 79
7 Riflessione e rifrazione della luce 817.1 Principio di
Huygens-Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 817.2 Teorema di Kirchhoff . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.3 Leggi
di Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 827.4 Intensità delle onde riflesse e
rifratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 83
7.4.1 Onda incidende perpendicolare . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 84
-
Elenco delle figure
6.1 Andamento di I0(ω) in un circuito RLC . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 64
III
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Presentazione
L’esame è composto da una parte scritta (test al computer, con
30 domande a risposta multipla) in cuiil voto = rispesatte −
risperrate3 + 3 e se il voto ≥ 18 si può passare all’esame orale.
L’esame orale consisteil un’orale breve (voto massimo di 24) o si
può accedere all’orale lungo se il voto è di almeno 24.
1
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2
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Parte I
Elettromagnetismo
3
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Capitolo 1
Campo Elettrostatico
Il campo elettrostatico è il risultato analiico effettuato da
Coulomb.In seguito a tutte le prove effettuate si è raggiunti al
risultato che:
~F =1
4 · π · ε0· q1 · q2
r3· ~r = 1
4 · π · ε0· q1 · q2
r2· r̂
dove r̂ indica il versore di r, vettore con modulo unitario e
direzione di r.
analisi dimensionale [ε0] =[
q2
r2 · F
]=
[C2
N ·m2
]ε0 = 8.85 · 10−12
C2
N ·m2Il Coulomb è una unità di misura derivata, in quanto le
unita fondamentali sono:
• Intensità di corrente [A]
• Intensità luminosa [cd]
• Lunghezza [m]
• Massa [kg]
• Quantità di sostanza [mol]
• Temperatura termodinamica [K]
• Tempo [sec]
Poichè [A] =[Cs
]si ha che [C] = [A] · [s].
Un oggetto si dice puntiforme si le sue dimensioni sono molto
trascurabili rispetto all’ambiente in cui sitrovano, pertanto la
legge di coulomb vale solo se le cariche sono molto distanti.
1.1 Campo ElettricoIl campo elettrico indica la modificazione
che si ha nello spazio in presenza di una carica, pertanto sipone
all’interno del campo una carica che non modifichi le
caratteristiche del campo.
~E = limq0→0
~F
q0
~E(x, y, z) = Ex(x, y, z) · î+ Ey(x, y, z) · ĵ + Ez(x, y, z) ·
k̂Supponiamo di avere q1, q2 e q3 e se volessimo determinare la
forza complessiva avenge su q1 si sfrutta ilprincipio di
sovrapposizione delle forze1
~F1 = ~F21 + ~F31
~Etot =
3∑i=1
qi4 · π · ε0
· r̂r
Se volessi calcolare il campo elettrico generato da un corpo
esteso potrei scomporlo in infiniti corpiinfinitesimi
(puntiformi).Ogni zona conterrà una carica
dq = ρ(x, y, z) · d3~x1non in tutti i campi della fisica questo
principio è valido, ma in questo si
5
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dove ρ(x, y, z) indica la densità di carica, dipende dalla
posizione perchè non è deto che sia costante.
Quindi:
Q =
∫∫∫dx dy dz · ρ(x, y, z)
Se la densità fosse costante allora Q = ρ · V .
1.1.1 Campo elettrico generato da un corpo qualunqueLa
definizione compatta è la seguente:
~E(~r) =1
4 · π · ε0·∫d~r′ · ρ(
~r′)
|~r − ~r′|3· (~r − ~r′)
Poichè |~r − ~r′| =√
(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2, allora:
Ex(x, y, z) =1
4 · π · ε0·∫dx′ ·
∫dy′ ·
∫dz′ · ρ(x′, y′, z′) · (x− x
′)
[(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2]32
Ey(x, y, z) =1
4 · π · ε0·∫dx′ ·
∫dy′ ·
∫dz′ · ρ(x′, y′, z′) · (y − y
′)
[(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2]32
Ez(x, y, z) =1
4 · π · ε0·∫dx′ ·
∫dy′ ·
∫dz′ · ρ(x′, y′, z′) · (z − z
′)
[(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2]32
1.1.2 Carica che si muove in un campo elettricoSi sfrutta la
seconda legge della dinamica
m · ~a = ~F = q · ~E
Scomponendo per componenti si ottiene un sistema differenziale
del secondo ordine in tre equazioni.Risolvendolo si può ottenere
x(t), y(t) e z(t) (traiettoria della carica).
d2xdt2 =
qm · Ex
d2ydt2 =
qm · Ey
d2zdt2 =
qm · Ez
1.1.3 Campo Elettrico come estensione del campo elettrico
puntiformePer effettuare tale passaggio dimostrativo è necessario
introdurre una funzione matematica denominatadelta di dirac.
Delta di Dirac
É la formulazione della curva Guassiana in cui σ → 0
δ(x) = limσ→0
1√2 · π · σ
· e−x2
σ2 =
{0 x 6= 0+∞ x = 0
Proprietà del delta di Dirac∫ ba
δ(x− x0) dx ={
1 a < x0 < b0 x0 < a o x0 > b∫ b
a
F (x)δ(x− x0) dx ={F (x0) a < x0 < b0 x0 < a o x0 >
b
δ(x) = δ(−x)
δa · x = 1|a|· δ(x)
δ(~x) = δ(x) · δ(y) · δ(z)
6
-
Poichè la densità di carica in un corpo puntiforme è:
limV→0
ρ = limV→0
Q
V= +∞
quindi ha un corportamento simile al delta di Dirac,
pertanto:
ρ(x′, y′, z′) = q · δ(x− x′) · δ(y − y′) · δ(z − z′)
7
-
8
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Capitolo 2
Potenziale
Si ha potenziale in prsenza di forze conservative, forse che
compiono un lavoro nullo su un percorso chiuso(W =
∫ aaγ~F · d~s = 0).
Una carica q genera un campo elettrico:
~R =1
4 · π · ε0· qr2· r̂
e si pone q0 in a e si osserva che essa subisce uno spostamento,
traslandola in b. DISEGNOWa,b =
∫ ba
~F · d~s = q0 ·∫ ba
~E · d~s
I risultati trovati valdono per tutti i tipi di campi
elettrostatici, poichè vale il principio di sovrapposizione.
Wa,b = q0 ·∫ ba
~E · d~s = q0 · q4 · π · ε0
·∫ rbra
r̂ · d~sr2
=
=q0 · q
4 · π · ε0·∫ rbra
ds · cos(ϑ)r2
=q0 · q
4 · π · ε0·∫ rbra
dr
r2=
q0 · q4 · π · ε0
·[
1
ra− 1rb
]DISEGNO
W = q0 · [Va − Vb] = Ua − UbVa =
q
4 · π · ε0 · raVb =
q
4 · π · ε0 · rbIl potenziale si misura in Volt, grandezza
derivata [V ] = [J ] · [C]−1.Il vantaggio di aggiungere il
potenziale è che essendo una grandezza scalare, legata al campo
elettrico, icalcoli sono estremamente semplificati.
2.1 Energia in un sistema di cariche puntiformi fisse
U(n) =
n∑i=1
n∑j=1
qi · qj4 · π · ε · ri,j · 2
i 6= j
2.2 Potenziale di un campo macroscopico
V (x, y, z) =1
4 · π · ε0·∫
dx′ ·∫
dy′ ·∫
dz′ρ(x′, y′, z′)√
(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2
Una distribuzione di cariche qualunque mi genera in (x, y, z) un
potenziale nel punto P . Quanto vale ilpotenziale in P ′, punto a
distanza infinitesima da P?
dV = −V (x+ dx, y + dy, z + dz) + V (x, y, z) =
= −V (x, y, z)− ∂V∂x· dx− ∂V
∂y· dy − ∂V
∂z· dz + V (x, y, z)
= −∂V∂x· dx− ∂V
∂y· dy − ∂V
∂z· dz
9
-
dW = q0 · dV = q0 · ~E · d~s⇒ dV = ~E · d~sEx · dx = −∂V∂x ·
dx
Ey · dy = −∂V∂y · dy
Ez · dz = −∂V∂z · dz
Ex = −∂V∂x
Ey = −∂V∂y
Ez = −∂V∂z
~E = −~∇V
Richiamo di Analisi II La circuitazione di un vettore in un
intervallo chiuso, l, è:∮l
~E · d~s =∫
Σ
~∇× ~E · ~n · dΣ
dove Σ è una superficie chiusa da l e ~n è il vettore normale a
Σ. Si definisce rotore di ~E:
~∇× ~E =
∣∣∣∣∣∣∣∣î ĵ k̂∂
∂x
∂
∂y
∂
∂zEx Ey Ez
∣∣∣∣∣∣∣∣Poichè la circuitazione è una scrittura equivalente di
un integrale di curva, se si ha un campo conservativoallora la
circuitazione è nulla.
Dimostrazione 1 ∮l
~E · d~s = 0
Poichè ∀Σ, ~n · d~Σ 6= 0, allora~∇× ~E = 0
Dimostrazione 2 Se il campo è conservativo:
~∇× ~E = =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
−∂V∂x
−∂V∂y
−∂V∂z
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= î ·
[∂
∂y·(−∂V∂z
)− ∂∂z·(−∂V∂y
)]+
−ĵ ·[∂
∂x·(−∂V∂z
)− ∂∂z·(−∂V∂x
)]+ k̂ ·
[∂
∂x·(−∂V∂y
)− ∂∂y·(−∂V∂x
)]=
= î ·[∂2V
∂y · ∂z− ∂
2V
∂z · ∂y
]− ĵ ·
[∂2V
∂x · ∂z− ∂
2V
∂z · ∂x
]+ k̂ ·
[∂2V
∂x · ∂y− ∂
2V
∂y · ∂x
]= 0
[∂2V
∂y · ∂z− ∂
2V
∂z · ∂y
]= 0, se V è una funzione continua.
2.3 Dipolo ElettricoIl dipolo elettrico è un concetto abbastanza
semplice le cui applicazioni sono tantissime.
Definizione 1 Si definisce dipolo elettrico un oggetto
costituito da due cariche, q, uguali e oppostedistanti a.
2.3.1 Potenziale geneato da un dipolo
É possibile calcolare il potenziale generato da un dipolo solo
se il punto, P , si trova a una distanza molto
superiore di a. disegnoV (P ) =
q
4 · π · ε0 · r1− q
4 · π · ε0 · r2=
q
4 · π · ε0·[
1
r1− 1r2
]10
-
Se P è molto lontano, allora ϑ ' ϑ′ e r2 − r1 = a · cos(ϑ).
V (P ) =q
4 · π · ε0·(r2 − r1r2 · r1
)' q
4 · π · ε0· a · cos(ϑ)
r2=
~p · ~r4 · π · ε0
dove ~p = q · ~a indica il momento del dipolo.
Differenziazione dei sistemi coordinati
Sistema di Riferimento Cartesiano Caratterizzato dalla presenza
di tre coordinate x, y e z.
~∇f = ∂f∂x· î+ ∂f
∂y· ĵ + ∂f
∂z· k̂
Sistema di Riferimento Polare o Sferico Caratterizzato dalla
presenza di tre coordinate:
• ρ che indica la distanza euclidea dall’origine (r ∈
[0,+∞[)
• ϑ che indica l’angolo formato con l’asse x (ϑ ∈ [−π,+π[)
• ϕ che indica l’angolo formato con l’asse z (ϕ ∈ [0, 2 ·
π[)
~∇f = ∂f∂r· r̂ + 1
r· ∂f∂ϑ· ϑ̂+ 1
r · sin(ϑ)· ∂f∂ϕ
Sistema di coordinate Cilindriche Caratterizzato dalla presenza
di tre coordinate:
• ρ che indica la distanza euclidea dall’origine (r ∈
[0,+∞[)
• ϑ che indica l’angolo formato con l’asse x (ϑ ∈ [−π,+π[)
• z che indica la distanza del punto dal piano xy (z ∈
[0,+∞[)
~∇f = ∂f∂r· r̂ + 1
r· ∂f∂ϑ· ϑ̂+ ∂f
∂z· k̂
In coordinate sferiche~E = −∂V
∂r· r̂ − 1
r· ∂V∂ϑ· ϑ̂− ∂V
∂z· k̂
Riprendendo il calcolo precedente:
V (P ) =q
4 · π · ε0· a · cos(ϑ)
r2
Er =2 · q · a · cos(ϑ)
4 · π · ε0 · r3=
~p · ~r4 · π · ε0 · r4
Eϑ =q · a sin(ϑ)
4 · π · ε0 · r3
Eϕ = 0
~E(r, ϑ) =p
4 · π · ε0 · r3·[2 · cos(ϑ) · r̂ + sin(ϑ) · ϑ̂
]p = q · a
2.3.2 Dipolo all’interno di un campo elettricoHo un dipolo
immerso in un campo elettrostatico esterno al dipolo. DISEGNO
p1 = (x, y, z)p2 = (x+ ax, y + ay, z + az)
La sua energia elettrostatica vale:
Udipolo = −q · V (p1) + q · V (p2) = −q · V (x, y, z) + q · V
(x+ ax, y + ay, z + az)
Si pone a trascurabile (si può quindi fare lo sviluppo in
serie), si considera il campo conservativo e,pertanto, si ha:
Udipolo = −q · V (x, y, z) + q · V (x, y, z) + q ·(∂V
∂x· ax +
∂V
∂y· ay +
∂V
∂z· az)
= q · (−Ex · ax − Ey · ay − Ez · az) = −(Ex · px + Ey · py + Ez
· pz) =
= −~P · ~E
11
-
2.3.3 Momento di un dipoloIn un campo elettrostatico costante un
dipolo può solo ruotare, non può traslare.
~M = ~r1 × ~F1 + ~r2 × ~F2 = ~r1 × (−q · ~E) + ~r2 × (q · ~E)
=
= (~r2 − ~r1)× (q · ~E) = q · (~r2 − ~r1)× ~E = q · ~a× ~E = ~p×
~E
2.3.4 Dipolo in un campo elettrico non costanteSe un dipolo è
immerso in un campo elettrico non costante, nel quale quindi la
risultante non è nulla~R 6= 0, il dipolo oltre a ruotare può anche
traslare.
~Ftot = ~F1 + ~F2 = −q · ~E1 + q · ~E2
~E1 = ~E(x, y, z) ~E2 = ~E(x+ ax, y + ay, z + az)
Sviluppando in serie ~E2 si ha
~E2 = q ·
(~E(x, y, z) +
∂ ~E
∂x· ax +
∂ ~E
∂y· ay +
∂ ~E
∂z· az
)
~Ftot = q ·
(~E(x, y, z) +
∂ ~E
∂x· ax +
∂ ~E
∂y· ay +
∂ ~E
∂z· az − ~E(x, y, z)
)=
= Px ·∂ ~E
∂x+ Py ·
∂ ~E
∂y+ z ·
∂ ~E
∂z= ~P · ~∇ ~E
In un campo conservativo~Rtot = −~∇U = −~∇
(−~P · ~E
)2.3.5 Applicazioni del concetto di dipoloVoglio conoscere il
potenziale della carica in G.
V (~r) =1
4 · π · ε0·∫d~r′ · ρ(~r′)|~r − ~r′|
=1
4 · π · ε0·∫
d~r′ · ρ(~r′)
r ·∣∣∣1− ~r′~r ∣∣∣
poichè ~r′~r è una quantita molto piccola è possibile effettuare
lo sviluppo in serie1
V (~r) ∼ 14 · π · ε0
·
[1
r·∫d~r′ · ρ(~r′) + 1
r·∫ ~r′
~r· d~r′ · ρ(~r′)
]
=1
4 · π · ε0·[
1
r·∫d~r′ · ρ(~r′) + 1
r2·∫~r′ · d~r′ · ρ(~r′)
]=
q
4 · π · ε0 · r+
~P · ~r4 · π · ε0 · r3
~P = −∫~r′ · ρ(~r′) · d3~r′
Il copenziale di un corpo qualunque posto a grande distanza può
essere visto come il potenziale di unacarica puntiforme a cui viene
aggiunto il potenziale di un dipolo.
1 11−x ∼ 1 + x
12
-
Capitolo 3
Teorema di Gauss
É un teorema di valenza generale, vale in campi in cui si ha un
andamento del tipo 1r2 .Se ho una superficie, Σ, e ne prendo una
parte infinitesima, dΣ, il flusso di ~E attraverso Σ è:
dΦ = ~E · ~n · dΣ
con ~E = ~E(x, y, z) e ~n = ~n(x, y, z).Il teorema di Gauss
afferma che il flusso attraverso una superficie chiusa è:
Φ(~E)
=
∫Σ
~E · ~n · dΣ =n∑i=1
qiε0
con qi interno alla superficie
Nel caso di un corpo macroscopico∫Σ
~E · ~n · dΣ = 1ε0
∫v
ρ(x, y, z) · dx · dy · dz v = volume racchiuso da Σ
Dimostrazione 3 (Teorema di Gauss) Dimostrando il teorema per
una carica puntiforme lo si puòdimostrare anche per n cariche e
quindi anche per un corpo macroscopico.Se q è una carica interna
alla superficie IMAMGINE
dΦ = ~E · ~n · dΣ = q4 · π · ε0 · r2
ûr · ~n · dΣ
ûr · ~n · dΣr2
= dΩ angolo solido
dr · r2 · sin(ϑ) · dϑ · dϕ = dv = dr · dΣdΣ
r2= sin(ϑ) · dϑ · dϕ = dΩ∫
dΩ =
∫ π0
sin(ϑ) · dϑ ·∫ 2·π
0
dϕ = 4 · π
Φ =
∫dΦ =
∫q
4 · π · ε0· ûr · ~n · dΣ
r2=
q
4 · π · ε0·∫dΩ =
q
ε0
Se q fosse una carica esterna alla superficie il flusso è
nullo
Φ = 0
in quanto attraversa, per entrare, la superficie in un punto con
~n in una direzione e la riattraversa lasuperficie, per uscire, con
~n in direzione opposta perciò l’angolo solido che si forma è
nullo.
3.1 Esempi di Applicazione del teorema di Gauss
Il teorema di Gauss è utile nel calcolare in modo semplice, in
determinate condizioni, il campo elettrico.
13
-
3.1.1 Campo elettrico di una carica puntiformeIMMAGINE Per
definire il campo elettrico per una carica puntiforme, poichè la
carica ha simmetriasferica, si sceglie come superficie una
sfera1.
Φ(~E)
=
∫~E · ~n · dΣ = q
ε0
Sulla superficie della sfera il campo è costante, quindi lo si
può portare fuori dall’integrale
Φ(~E)
= E ·∫ûr · ~n · dΣ = E ·
∫dΣ = E · Σ
ûr e ~n sono paralleli quindi ûr · ~n = 1In una sfera la
superficie esterna è Σ = 4 · π · r2
E · Σ = 4 · π · r2 = qε0⇒ E = q
4 · π · ε0 · r2
3.1.2 Campo elettrico generato da un filo caricoPoichè un filo
carico ha simmetria cilindrica, si sceglie come superficie un
cilindro coassiale con il filo.IMMAGINE
Φ(~E)
=
∫Σtot
~E · ~n · dΣ = Qε0
Φ(~E)
=
∫Σlaterale
~E · ~n · dΣ =∫
Σsuperiore
~E · ~n · dΣ =∫
Σinferiore
~E · ~n · dΣ∫Σsuperiore
~E · ~n · dΣ =∫
Σinferiore~E · ~n · dΣ = 0
Φ(~E)
= E ·∫dΣlaterale = E · 2 · π · l · r =
Q
ε0⇒ ~E = q
4 · π · ε0 · l· ûr
3.1.3 Campo elettrico generato da un piano infinitoSi ha un
piano infinito uniformemente carico IMMAGINE si pone un cilindro
che attraversa il piano, ilcontributo sarà dato solo dalle
superfici circolari del cilindo (la superficie laterale è
perpendicolare a ~E,quindi prodotto scalare nullo).
Φ = 2 ·∫
Σbase_cilindro~E · ~n · dΣ = 2 · E
∫Σbase_cilindro
dΣ =Q
ε0=σ · Σbase
ε0
2 · E · Σbase = σ ·Σbaseε0
~E =σ
2 · ε0· ûr
3.1.4 Campo elettrico generato da un guscio carico omogeneoSi
prendono sempre superfici concentriche al guscio. IMMAGINE Se r
< R, cioè la superficie è internaal guscio
Φ( ~E) = 0⇒ ~E = 0Se r > R, cioè la superficie è esterna al
guscio
Φ( ~E) =Q
ε0=
∫~E · ~n · dΣ = E ·
∫ûr · ~n · dΣ = E ·
∫dΣ
E · Σ = Qε0⇒ E · 4 · π ·R2 = Q
ε0⇒ E = Q
4 · π · ε0 · r2Il risultato ottenuto è esattamente come se ci
fosse un unica carica puntiforme posta al centro del guscio.
V (r) = −∫E · dr = −
∫Q
4 · π · ε0 · r2dr =
Q
4 · π · ε0 · r
V (r) =
Q
4 · π · ε0 · rr ≥ R
Q
4 · π · ε0 ·Rr < R
1la superficie si può scegliere a piacimento, in quanto il
teorema suppone solo superfici chiuse. Quindi è utile scegliere
lesuperfici atte a semplificare i conti
14
-
3.1.5 Campo elettrico di una sfera caricaIMMAGINE Se P , punto
della carica campione, è esterno alla sfera (cioè r ≥ R). Il flusso
di una sferadi raggio r, concentrica alla sfera carica, è∫
~E · ~n · dΣ = E ·∫dΣ =
Q
ε0
E · Σ = Qε0
E · 4 · π · r2 = Qε0⇒ ~E = Q
4 · π · ε0 · r2· ûr
Se P è interno alla sfera (cioè r ≤ R). Il flusso di una sfera
di raggio r, concentrica alla sfera carica, è∫~E · ~n · dΣ = q
′
ε0q′ carica interna alla sfera di raggio r
E · 4 · π · r2 = q′
ε0⇒ ~E = q
′
4 · π · ε0 · r2· ûr
Poichè q′ non è in funzione dei dati del problema bisogna
ricondurla a tali valori. Si definisce ρ la densitàdi carica la
seguente quantità
ρ =Q
v=
Q43 · πR3
Q =4
3· π ·R3 · ρ⇒ q′ = Q(r) = 4
3· π · r3 · ρ
~E =43 · π · r
3 · ρ4 · π · ε0 · r2
· ûr =ρ
3 · ε0· ~r
L’andamento del campo è completamente diverso all’interno e
all’esterno del campoQ
4 · π · ε0 · r2· ûr r ≥ R
ρ
3 · ε0· ~r r ≤ R
Poichè il potenziale è una funzione continua, in quanto
derivabile ho che
V (+∞)− V (r) = −∫ +∞r
E · dr ⇒ V (r) =∫ +∞r
E · dr =[− q
4 · π · ε0 · r
]+∞r
=Q
4 · π · ε0 · r
V (R) =Q
4 · π · ε0 ·R
V (R)− V (r) = −∫ Rr
E · dr = ρ3 · ε0
·∫ Rr
r · dr = ρ3 · ε0
·[R2
2− r
2
2
]V (r) =
ρ
3 · ε0·[R2
2− r
2
2
]+ V (R) =
ρ
3 · ε0·[R2
2− r
2
2
]+
Q
4 · π · ε0 ·R
V (r) =ρ
ε0·[R2
6− r
2
6+
1
4 · π
]
3.1.6 Calcolo del campo generato da una sfera carica, cava in un
puntoSi utilizza il principio di sovrapposizione degli effetti,
ipotizzando la cavità come una sfera carica ma concarica opposta.
Definiremo quindi R1 il raggio della sfera, R2 il raggio della
cavitò, Q1 la carica dellasfera, Q2 la carica della cavità, ~r1 la
posizione di P rispetto al centro della sfera e ~r2 la posizione di
Prispetto al centro della cavità. Se P è esterno alle sfere (r >
r′)
~E =Q1
4 · π · ε0 · r13· ~r1 +
Q24 · π · ε0 · r23
· ~r2 =43 · π ·R1
3 · ρ4 · π · ε0 · r13
· ~r1 −43 · π ·R2
3 · ρ4 · π · ε0 · r23
· ~r2 =
=ρ
3 · ε0
((R1r1
)3· ~r1 −
(R2r2
)3· ~r2
)
15
-
Se P è interno alla cavità
~E =Q1
4 · π · ε0 · r13· ~r1 +
Q24 · π · ε0 · r23
· ~r2 =43 · π · r1
3 · ρ4 · π · ε0 · r13
· ~r1 −43 · π · r2
3 · ρ4 · π · ε0 · r23
· ~r2 =
=ρ
3 · ε0· [~r1 − ~r2] =
ρ
3 · ε0· ~R
Se il buco è concentrico alla sfera, si ha che il campo
all’interno della cavità è nullo (è un guscio sferico).
3.1.7 Teorema di Gauss in forma differenzialeTeorema di Gauss,
di analisi matematica
Il teorema di Gauss consente di portare un integrale di volume
di un campo vettoriale generico in unintegrale di superficie (se la
superficie è la superficie che racchiude il volume).∫∫∫
v
~∇ · ~E · dx · dy · dz =∫∫
Σ
~E · ~n · dx · dy
~∇ · ~E =(î · ∂∂x
+ ĵ · ∂∂y
+ k̂ · ∂∂z
)·(Ex · î+ Ey · ĵ + Ez · k̂
)T=∂Ex∂x
+∂Ey∂y
+∂Ez∂z
Forma differenziale
In fisica il teorema di Gauss è ∫~E · ~n · dΣ = Q
ε0=
1
ε0·∫ρ · dv∫∫∫
~∇ · ~E · dv = 1ε0·∫∫∫
ρ · dv ⇒∫∫∫ [
~∇ · ~E − ρε0
]· dv = 0⇒ ~∇ · ~E = ρ
ε0
16
-
Capitolo 4
Condensatori e Dielettrici
4.1 Conduttori all’interno di un campo elettrico
Un conduttore è un materiale che può condurre cariche
elettriche. Si tratteranno, nel prosieguo del corso,solo i
conduttori solidi (di tipo metallico).Un metallo può essere
rappresentato mediante il metodo a nuvola di elettroni.Se si pone
un metallo in un campo elettrostatico il campo resta statico (il
sistema si pone immediatamentein equilibrio, in un tempo stimato di
10−13s).L’unica posizione di equilibrio possibile si ha quando nel
metallo si ha un campo elettrico nullo (deveessere così altrimenti
gli elettroni risentono di una forza e quindi si muovono, non è
statico). Se il metalloè carico (vi è un eccesso di elettroni), le
cariche aggiuntive possono stare solo sulla superficie esterna,
inmodo da avere campo nullo all’interno.Se supponessimo di avere un
metallo cavo IMMAGINE
I( ~E) = 0
Calcolando la circuitazione lungo l si ha ∮l
E · dr = 0
ma all’interno della cavità si ha un contributo, mentre
all’interno del metallo non ci sono contributi;pertanto le cariche
si dispongono solo sulla superficie esterna (gabbia di Faraday).
Poiche ~E = 0 alloraall’interno del metallo ho sempre lo stesso
potenziale.Definiamo ~E2 il campo elettrico fuori dal metallo, ~E1
il campo elettrico all’interno del metallo.
E2n − E1n =σ
ε0
ma E1n = 0, mentre
E2t = E1t = 0
All’esterno del metallo il campo è sempre normale al metallo (se
si è vicini).
~E =σ
ε0· ~n legge di Coulomb
Poichè σ = QΣ allora si ha che nelle punte il campo è molto più
intenso che sulle superfici piane.
4.2 Condensatore
Introducendo un metallo in un campo elettrico le cariche si
spostano in modo che il campo all’interno delmetallo sia nullo.
Etot = E + E′ = 0⇒ E′ = −E
17
-
Se ho n conduttori si avrà:
V1 = a11 · q1 +a12 · q2 + . . . +a1n · qn
V2 = a21 · q1 +a22 · q2 + . . . +a2n · qn
......
......
...
Vn = an1 · q1 +an2 · q2 + . . . +ann · qn
aij sono i coefficienti di potenziale (si può dimostrare che aij
= aji, aij > 0, aii > aij)
q1 = c11 · v1 +c12 · v2 + . . . +c1n · vn
q2 = c21 · v1 +c22 · v2 + . . . +c2n · vn
......
......
...
qn = cn1 · v1 +cn2 · v2 + . . . +cnn · vn
cij sono i coefficienti di capacità (si può dimostrare che cij =
cji, cij < 0, cii > 0)Se si mette un metallo in un campo
elettrico occorre usare l’equazione di Laplace con le giuste
condizionia contorno, in quanto per pendere Emet = 0 si crea uno
pseudo-dipolo.
Esercizio 1 In una zona dello spazio è presenta un campo
elettrico il cui potenziale vale
V (x, y) = a · x2 + b · y a, b ∈ R
Calcolare:
• il modulo del campo elettrico nel punto di coordinate P = (x,
y, z)
• la carica complessiva presente in un cubo di lato L con un
vertice nell’origine, gli spigoli paralleliagli assi e giacente nel
primo ottante
~E = −~∇V ⇒
Ex = −2 · a · x
Ey = −b
Ez = 0
~E(x, y, z) = −2 · a · x · î− b · ĵ∣∣∣ ~E(x, y, z)∣∣∣ = √4 ·
a2 · x2 + b2Occorrebbe calcolare il flusso su ogni faccia del cubo,
ma si ottiene un calcolo estremamente lungo, pertantosi prova a
calcolare la divergenza di E, ~∇ · ~E = ρε0 .
~∇ · ~E = ∂Ex∂x
+∂Ey∂y
+∂Ez∂z
= −2 · a+ 0 + 0 = ρε0⇒ ρ = −2 · a · ε0
Q =
∫v
ρ · dv = −2 · a · ε0 · L3
Esercizio 2 Data una sfera di raggio a entro cui esiste una
densità di carica
ρ(r) =k
r2
con r pari alla distanza dal centro.Calcolare il campo elettrico
e il potenziale in un generico punto P .Si utilizzano le coordinate
sferiche per semplificare i conti (nel caso specifico è molto
utile).
dv = r2 · dr · sin(ϑ) · dϑ · dϕ
18
-
• r ≥ a
Q =
∫v
dv · ρ =∫ a
0
k
r2· r2 · dr ·
∫ π0
sin(ϑ) · dϑ ·∫ 2·π
0
dϕ = k · a · [−(−1− 1)] · 2 · π = 4 · π · k · a
Φ(~E)
=Q
ε0=
4 · π · k · aε0
E · Σ = 4 · π · k · aε0
⇒ ~E = 4 · π · k · aε0 · 4 · π · r2
· ûr =k · aε0 · r2
· ûr
Φ(~E)
=q′
ε0⇒ E · Σ = q
′
ε0⇒ E = q
′
4 · π · r2 · ε0
V (r) = −∫E · dr = −
∫k · aε0 · r2
dr =k · aε0 · r
• r ≤ a
q′ =
∫ r0
k
r2· r2 · dr ·
∫ π0
sin(ϑ) · dϑ ·∫ 2·π
0
dϕ = k · r · [−(−1− 1)] · 2 · π = 4 · π · k · r
~E =4 · π · k · r
4 · π · r2 · ε0· ûr =
k
ε0 · r· ûr
V (r) = −∫E · dr + V0 = −
∫k
ε0 · rdr = − k
ε0· log(r) + V0
poichè il potenziale è continuo allora
− kε0· log(a) + V0 =
k · aε0 · a
⇒ V0 =k
ε0· (1 + log(a))
Si ha un condensatore ogni volta che si hanno due superfici con
cariche opposte, sono in tale condizionepoichè la carica
complessiva è sempre nulla.
Definizione 2 (Capacità) Si definisce capacità il rapporto tra
la carica e il potenziale, qv , tale rapportoè dipendente solo
dalla forme geometrica del conduttore. Non dipende dalla densità in
quanto le densitàsaranno presenti sia in q che in v e si
semplificano.
C =q
v
La capacità si misura in farad, [F ]; 1 farad indica una
capacità estremamente grande.
4.2.1 Collegamento tra condensatoriDue condensatori possono
essere collegati in serie o in parallelo.
Definizione 3 (Condensatore in serie) Due condensatori si dicono
collegati in serie se sono attra-versati dalla stessa corrente,
pertanto sono attraversati dalla stessa carica. IMMAGINE
vc − va = vc − vb + vb − va =q
C1+
q
C2= q ·
(1
C1+
1
C2
)= q · 1
Ceq
Ceq =
(1
C1+
1
C2
)−1Ovviemnte il discorso può essere estesi a n condensatori in
serie
Ceq =
(n∑i=1
1
Ci
)−1Definizione 4 (Condensatore in parallelo) Due condensatori si
dicono collegati in parallelo se ailoro capi è presente la stessa
differenza di potenziale. IMMAGINE
Ceq = C1 + C2
Ovviemnte il discorso può essere estesi a n condensatori in
serie
Ceq =
n∑i=1
Ci
19
-
Calcolo della capacità di un condensatore sferico
Un condensatore sferico è composto da due sfere concentriche di
raggio r1 e r2, tra le due sfere vi èinduzione completa.
IMMAGINE
−(V2 − V1) =q
4 · π · ε0 · r1− q
4 · π · ε0 · r2= − q(r1 − r2)
4 · π · ε0 · r1 · r2=
q(r2 − r1)4 · π · ε0 · r1 · r2
V1 − V2q
=1
C=
r2 − r14 · π · ε0 · r1 · r2
C = 4 · π · ε0 ·r1 · r2r1 − r2
Se h = r2 − r1 e h� r1, r2 allora r1 ' r2 ' r (r è la media
geometrica tra r1 e r2).
C ' 4 · π · ε0 ·R2
h=ε0 · Σh
si ha quindi che l’area è proporzionale all’area dell’armatura e
inversamente proporzionale alla distanza.
Calcolo della capacità di un condensatore cilindrico
Un condensatore cilindrico è composto da due cilindri coassiali
di raggio r1 e r2, tra i due cilindri vi èinduzione completa.
IMMAGINE
V1 − V2 =∫ r2r1
~E · d~l =∫ r2r1
λ · dr2 · π · ε0 · r
=λ
2 · π · ε0· log
(r2r1
)
q = d · λ V1 − V2q
=log(r2r1
)2 · π · ε0 · d
Se h = r2 − r1 e h� r1, r2 allora r1 ' r2 ' r (r è la media
geometrica tra r1 e r2).
C ' 2 · π · ε0 · d
log(
1 + r2−r1r1
) = 2 · π · ε0 · dlog(1 + hR
)poichè hR → 0 allora
log
(1 +
h
R
)∼ hR
C =2 · π · ε0 · dlog(1 + hR
) ∼ 2 · π · ε0 · d ·Rh
=Σ
h· ε0
Si osserva che il valore di C è dipendende solo dalla
superficie.
Calcolo della capacità di un condensatore piano
Un condensatore piano è composto da due piani infiniti paralleli
tra loro.
V1 − V2 =∫
~E · d~l
Ma abbiamo dimostrato che E è costante tra i piani e vale E =
σε0 , mentre è nullo all’esteno dei piano.
V1 − V2 =σ · hε
=σ · Σ · hε0 · Σ
=q
ε0 · Σ· h
C =q
V1 − V2=ε0 · Σh
Esempio 1 Si calcola la circuitazione di E lungu un percorso
chiuso quadrato di lato l. In un campogenerato da due piani
paralleli è sempre costante e parallelo alle armature.∮
~E · d~l = σε0· l + 0 + 0 + 0 = σ
ε0
Il secondo e il quarto ternine sono entrambi nulli perche
paralleli ai piani, mentre il terzo termine è nulloperchè esterno
al campo.Si ha una contraddizione in quanto la circuitazione non è
nulla, anche se si trova in un campo elettrostati-co. La
contraddizione è spiegabile dal fatto che uscendo dai piani il
campo non è nullo, come considerato,inoltre vicino ai bordi E 6=
σε0 . Le condizioni poste si hanno se i piani sono piani
infiniti.
20
-
4.3 Lavoro di carica di un condensatore e densità di energiaSi
hanno due lastre pooste come le armature di un condensatore piano.
Tali lastre sono inizialmentescariche, se si collega un generatore
di tensione alle piastre tale generatore sposte le cariche dalle
piastreimponendo una differenza di potenziale di V (il condensatore
si carica).Per spostare una carica bisogna compiere un lavoro
dW = dq′ · V ′
ma poiche qV = C allora V′ = q
′
C quindi
dW = dq′ · q′
C⇒W =
∫ q0
q′
C· dq′ = q
2
2 · C=C · V 2
2
poichè in un condensatore piano C = e0·Σd e q = σ · Σ allora si
ha che
W =q2
2 · C=
q2 · d2 · ε0 · Σ
=σ2 · Σ2
2 · ε0 · Σ· d = ε0
2· σ
2
ε02· (Σ · d) = ε0
2· E2 · V
W = U
Si definisce densità di energia il rapporto
W
V=ε02· E2
Dimostrazione 4 Si fa un ragionamento diverso, il cui risultato
può comunque essere esteso, l’energiainterna al sistema è
U =1
2·
N∑i, j = 1i 6= j
qi · qj4 · π · ε0 · rij
=1
2·N∑i=1
qi · vi vi =N∑
j = 1j 6= i
qj4 · π · ε0 · rij
In un campo carioco macroscopico si ha che
U =1
2·∫dq · V = 1
2·∫v
dV · ρ · V
bisogna sempre integrare in coordinate spaziali, dq = ρ · dV
Sfruttando la divergenza di E (teorema di Gauss in forma
differenziale) si ha
~∇ · ~E = ρε0⇒ ρ = ε0 · ~∇ · ~E
1
2·∫v
dV · ρ · V = 12·∫v
dV · ε0 · ~∇ · ~E · V =ε02·∫v
~∇ · ~E · V · dV =
=ε02·∫dV ·
[~∇ ·(~E · V
)− ~∇ ·
(V · ~E
)]=ε02
∫dV · ~∇ ·
(~E · V
)+ε02·∫E2 · dV =
=ε02
∫Σ
dΣ · V · ~E · ~n+ ε02
∫v
E2 · dV
Il risultato ottenuto è più generale in quanto se prendo tutto
il volume il campo sulla superficie è nullo,mentre se non èrendo
tutto il volume il campo non è nullo.
4.4 Pressione elettrostaticaSi otterrà che il campo elettrico
esercita una pressione, in quanto se c’è carica nelle armature le
piastre siattraggono e si si attraggono c’è una forza e quindi
anche una pressione. All’interno di una campo elettricfonon è
intuivito pensare alla presenza di una pressione, ma questo vale
anche per onde elettromagnetichecome il raggio di una luce (essendo
gli effetti troppo bassi si è portati a pensare che non ci
sia).
U =q2
2 · C=
q2
2 · ε0 · Σ· h
21
-
dU =q2
2 · ε0 · Σ· dh
dh < 0 in quanto la lastra muovendosi compie un lavoro.
dU =σ2 · Σ2
2 · ε0 · Σ· dh = ε0
2· σ
2
ε02· Σ · dh
−dUdh
= −ε02· σ
2
ε02· Σ
F = −ε02· E2 · Σ
P =F
Σ= −ε0
2· E2
Si osserva che |P | = |densità di energia|Poichè si hanno solo
forze conservative allora F = −∇U
22
-
Capitolo 5
Dielettrici
I dielettrici sono i materiali isolanti. Gli atomi negli
isolanti (a differenza dei conduttori) si tengono strettiattorino a
loro la nuvola di elettroni (non essendo molto liberi di muoversi
non si ha conduzione), ma sepongoun atomo isolante in un campo
elettrico gli elettroni vengono spostati su un lato, quindi si
generaun dipolo.
Definizione 5 (dielettrico polare) Si definisce polare un
dielettrico che in un campo nullo è un dipolo
Definizione 6 (dielettrico a-polare) Si definisce a-polare un
dielettrico che in un campo nullo non èun dipolo.
Se in un condensatore piano si pone un metallo, lastra (di lato
s), si ha
V0 = Eh
Vm = E · (h− s) = E · h ·h− sh
= v0 ·h− sh
Se invece si pone una lastra di dielettrico (di lato s) si
ha
Vk =E · kk
=V0k
Si ha sempre che Vm < Vk, ponendo un metallo all’interno di
un condensatore si ha un potenziale sempreinferiore al potenziale
che si ottiene mettendo un dielettrico all’interno del
condensatore.Poichè nel dielettrico le cariche non possono muoversi
come è possibile spiegare la riduzione del potenziale?Succede che
ogni atomo diventa un dipolo, ottenendo così equilibrio interno e
resta la carica solo sul bordo(le cariche interne si elidono a due
a due). L’effetto è più piccolo perchè non contribuiscono tutte le
carichema solo quelle esterne.
Dimostrazione 5 Sperimentalmente si ha che k ≥ 1.
k =V0Vk
Vkh
=V0k · h
Ek =E0k
E0 − Ek =σ0ε0− σ0ε0 · k
=σ0ε0·(
1− 1k
)=σ0ε0·(k − 1k
)
Ek = E0 −σ0ε0·(k − 1k
)=σ0ε0− σ0ε0·(k − 1k
)
σp = σ0 ·(k − 1k
)Ek =
σ0ε0− σpε0
23
-
Nella nuova modellizzazione si ha che
V0 → V0k
E0 → E0k
ε0 → ε = k · ε0
Ck =qVk
= k · qV0 = k · C0
Si osserva che la capacità dello stesso condensatore in presenza
di un dielettrico aumenta di un fattore k.k è dipendente dalla
temperatura (le tabelle sono spesso scritte alla temperatura di
20◦C), i k indicatisono unici per materiali isolanti isotropi,
mentre sono due valori (k‖ e k⊥ ai piani).
5.1 Rigidità dielettricaDefinizione 7 (Rigidità dielettrica) Si
definisce rigidità dielettrica il valore massimo di campo
elet-trico che un dielettrico può sopportare
(è dell’ordine di 106 ÷ 107 Vm
).
Se il campo elettrico, nel quale è immerso il dielettrico, è
maggiore della rigidità dielettrica dell’area siha che il campo
distrugge la struttura atomica del dielettrico, si ha la formazione
del plasma.
Esempio 2 (Fulmine) Un esempio tangibile di tale fenomeno è un
fulmine. Il fulmine si ha in presenzadi una grandissima differenza
di potenziale tra nuvole e terreno, pertanto si forma un campo
elettrico moltoelevato che distrugge la struttura atomica
dell’aria, la velocità delle particelle dissociate è
estremamenteelevata quindi aumenta moltissimo anche la temperatura
(temperatura ∝ velocità).
5.2 Dipolini all’interno di un dielettricoCosa succede ai
dipolini elementari che fi formano ponendo un dielettrico
all’interno di un campo elettrico?
Definizione 8 (Momento medio di dipolo elementare) Si definisce
momento medio di dipolo ele-mentare la media del momento di un
numero finito di dipoli, è valido solo se ilo numero di dipoli
elementariha l’ordine di almeno un milione di lementi.
〈p〉
Definizione 9 (Vettore di polarizzazione o momento di dipolo di
un volumetto infinitesimo)
~P =∆N
∆τ· 〈p〉 = n · 〈p〉
con N pari al numero di atomi presenti nel volume, τ il volume
indicato e n il numero di atomi presentiper unità di volume.
Sperimentalmente si ha~P = ε0 · (k − 1) · ~E = ε0 · χ(t) ·
~E
In quasi tutti i materiali ~P ∝ ~E, in generale si ha
~P = ε0 · χ(t, ~E
)· ~E
ma χ(t, ~E
)si può sviluppare in serie, quindi
~P ' ε0 ·[χ(t, 0) +
∂χ(t, E → 0)∂E
· E + . . .]· ~E
In generale ∂χ(t,E→0)∂E · E è molto piccolo (molti ordini di
grandezza inferiori) pertanto lo si ignora, manei materiali ferro
elettrici tale valore non è trascurabile. IMMAGINE
P =dp
dτ⇒ dp = P · dτ = P · dΣ · dh
dp = dq · dh = σp · dΣ · dh
24
-
Si ricava che il vettore di polarizzazione per unità di volume,
~P , è P = σp.Se i campi non hanno una struttura estremamente
regolare come quella dell’immagine precedente si hache
σp = ~P · ~n
IMMAGINE ∫Σ
σp · dΣ =∫~p · ~n · dΣ = 0
La somma delle cariche deve essere nulla, poichè da un lato si
ha +q e dall’altro lato c’è −q pertanto siequivalgono.Se il
materiale è onogeneo la supposizione che i dipoli interni si
annullano è veta, mentre se il materialenon è omogeneo vi saranno
dei termini correttivi.
Analisi con materiale non omogeneo
IMMAGINE dτ è un volumetto infinitesimo Se il materiale non è
omogeneo dqp − dq′p 6= 0, pertanto siavrà una carica netta
dqp − dq′p = −[P ′ − P ] · dΣ
P ′ = σ′p · dΣ
P = σp · dΣ
dΣ = dx · dy · dzP ′ ≡ P (x+ dx+ y + z)
P ≡ P (x, y, z)
P ′ − P = P (x, y, z) + ∂P∂x· dx− P (x, y, z) = ∂P
∂xdx
La carica netta che rimane è
dq = dqp − dq′p = −∂P
∂x· dx · dΣ = −∂P
∂x· dx · dy · dz = −∂P
∂x· dτ
Lo stesso procedimento andrà effettuato anche lungo y e lungo z.
Si avrà quindi che
dq = −[∂P
∂x+∂P
∂y+∂P
∂z
]· dτ = −~∇ · ~P
~∇ · ~P = −ρp
Esempio 3 (applicativo) IMMAGINE Se si vol determinare il
potenziale presente nel punto F , bisognaconsiderare, oltre al
potenziale generato dal campo del corpo C, anche gli effettu delle
cariche presentisull’isolante I.
V (F ) =1
4 · π · ε0·∫
ΣC
σc · dΣcr′︸ ︷︷ ︸
corpo C
+1
4 · π · ε0·∫
Σ
σp · dΣr︸ ︷︷ ︸
isolante I
+1
4 · π · ε0·∫τ
dτ · ρpr︸ ︷︷ ︸
se il materiale non è omogeneo
ρp = ~∇ · ~Pσp = ~P · ~n
non si usa εisolante perche F è fuori dall’isolante
Se ho un campo generato da q esterno all’isolante e
nell’isolante ~E 6= 0, allora nell’isolante avrò dellecariche di
polarizzazione (qp). In tale situazione comunque vale il teorema di
Gauss
Φ(~E)
=
∫~E · ~n · dΣ = q + qp
ε0
~∇ · ~E = ρ− ρpε0
⇒ ε0 · ~∇ · ~E = ρ− ~∇ · ~P
~∇ ·(ε0 · ~E + ~P
)= ρ
25
-
Definizione 10 (Induzione elettrica) Si definisce induzione
elettrica la seguente quantità
~D = ε0 · ~E + ~P
Si ha quindi che {~∇ · ~D = ρΦ(~D)
= q
É possibile quindi definire l’elettrostatica con due
equazioni{~∇ · ~E = ρtotali
ε0~∇× ~E = 0
≡{
~∇ · ~D = ρlibere~∇× ~E = 0
Se si considera la ~∇ · ~E devo avere traccia di tutte le
cariche interne, mentre considerando la ~∇ · ~D devoconsiderare
solo le cariche libere, quelle cariche non appartenenti
all’isolante. É chiaro quindi che è piùsemplice considerare ~∇ ·
~D, non si usa il ~∇× ~D in quanto in genere non è nullo.
Dimostrazione 6 (Conservazione della componente normale di un
campo elettrico) In un cam-po elettrico si è dimostrato che
sull’interfaccia si ha la conservazione dela componente
tangenziale, macosa succede se si considera l’induzione
elettrica?IMMAGINE Per seemplicità di calcolo si pone ~D costante,
ma i risultati trovati sono del tutto generali.
Φ(~D)
= ~D1 · ~n1 · Σ1 + ~D2 · ~n2 · Σ2 = 0
~n1 = − ~n2
Φ(~D)
= D1n · Σ1 −D2n · Σ2 = 0⇒ D1n · Σ1 = D2n · Σ2
Poichè Σ1 = Σ2 si ha cheD1n = D2n
Si ha quindi che la componente normale di ~D si conserva, in
presenza di un’interfaccia.
Osservazione
~D = ε0 · ~E + ~P = ε0 · ~E + ε0 · χ · ~E = ε0 · ~E + ε0 · (k −
1) · ~E = ε0 · k · ~E = εr · ~E ⇒ ~E =~D
εr
~P = ε0 · (k − 1) · ~E = ε0 · (k − 1) · ~E = ε0 · (k − 1)
·~D
εr=ε0 · (k − 1) · ~D
ε0 · k=
(k − 1k
)· ~D
Se il materiale è omogeneo non si hanno cariche libere,
quindi
~∇ · ~P = k − 1k· ~∇ · ~D = 0
mentre se il materiale non è omogeneo
~∇ · ~P = k − 1k· ~∇ · ~D + ~D · ~∇
(k − 1k
)6= 0
Il primo termine è nullo, in quanto non vi sono cariche libere;
mentre il secondo termine vale ~D·~∇(k−1k
)=
−ρpolarizzazione.Nel caso di materiali non isotropi
P1 = ε0 · (χ11 · E1 + χ12 · E2 + χ13 · E3)
P2 = ε0 · (χ21 · E1 + χ22 · E2 + χ23 · E3)
P3 = ε0 · (χ31 · E1 + χ32 · E2 + χ33 · E3)
χij = −χji
Quindi χ è una mtrice quadrata di lato 3, tale matrice è
caratterizzata da 6 elementi distinti.
26
-
Esercizio 3 In un condensatore puiano l’area totale delle
armature è S = 200cm2 e la distanza tra diesse è d = 0.2cm.Se la
distanza tra le armature viene dimezzata, calcolare di quanto varia
l’energia del condensatore neiseguenti casi:
1. il condensatore rimane sempre collegato a una batteria di
forza elettromotrice V = 300V
2. il condensatore, originariamente collegato alla batteria,
viene disconnesso prima di avvicinare learmature.
Ci = ε0 ·S
d
Cf = ε0 ·Sd2
= 2 · ε0 ·S
d= 2 · Ci
Soluzione caso:
1.
Wi =1
2· Ci · V 2
Wf =1
2· Cf · V 2 =
1
2· 2 · Ci · V 2 = Ci · V 2
∆W = Wf −Wi = Ci · V 2 −1
2· Ci · V 2 =
1
2· Ci · V 2
∆W =1
2· ε0 · S · V
2
2 · d=
8.85 · 10−12 · (300)2 · 2 · 10−2
2 · 2 · 10−3=
9.95 · 92
· 10−7J ' 39.83 · 10−7J
2. il sistema viene isolato, quindi si ha la conservazione della
carica
Wi =Q2
2 · C
Wf =Q′2
2 · C=
Q2
4 · C
∆W = Wf −Wi =Q2
2 · C·[
1
2− 1]
= − Q2
4 · C
Q = C · V
∆W = Wf −Wi = −C2 · V 2
4 · C= −C · V
2
4= −ε0 · S · V
2
4 · d' −2 · 10−6J
Si osserva che nel primo caso si ha un lavoro positivo,
effettuato dalla batteria, mentre nel secondo casosi ha un lavoro
negativo in quanto per avvicinare le armature bisogna compiere un
lavoro.
Esercizio 4 Le armature di un condensatore piano sono costutuite
da piastre quadrate di lato l e distantid.Il condensatore viene
caricato alla tensione V , successivamente le armature vengono
isolate in modo chela carica su ogni piastra rimanga costante.Si
introduce, poi, fra le armature e parallelemente ad esse una lamina
metallica piana molto estesa espessa h.Calcolare:
1. il lavoro che si deve effettuare per introdurre tale
lamina
2. la nuova tensione V ′ tra le armature
IMMAGINE
Se interpone una lamina metallica, all’interno della lamina si
ha campo nullo, quindi è come se avessidue condensatori collegati
in serie.
27
-
Wi =1
2· Ci · V 2 =
1
2· ε0 ·
l2
d· V 2
Dopo aver posto la lamina
C1 = ε0 ·l2
d− h− x
C2 = ε0 ·l2
x
1
Cf=
1
C1+
1
C2=d− h− xε0 · l2
+x
ε0 · l2=d− hε0 · l2
⇒ Cf =ε0 · l2
d− h
Wf =1
2· Cf · V 2
∆W = Wf −Wi =Q2
2 · Cf− Q
2
2 · Ci=Q2
2·(
1
Cf− 1Ci
)=Q2
2·(d− hε0 · l2
− dε0 · l2
)= − Q
2
2 · ε0 · l2· h
Poichè Q = Ci · V =ε0 · l2
d· V , allora
∆W = − ε02 · l4 · V 2
2 · d2 · ε0 · l2· h = −ε0 · l
2 · V 2
2 · d2· h
Si ha che ∆W < 0 in quanto tutti i valori sono positivi ed è
presente il segno meno.
Cf =ε0 · l2
d− h=ε0 · l2
d· dd− h
= Ci ·d
d− h
V ′ =Q
Cf=
Q
Ci · dd−h=
Q
Ci· d− h
d= V ·
(1− h
d
)Si osserva subito che V ′ < V .
Esercizio 5 Calcolare il valore della capacità se la variazione
dell’energia elettrostatica di un conden-satore piano, con le
armature di area S poste alla distanza d e caricato con una carica
Q, quando siinserisce tra le armature un foglio di materiale
dielettrico di spessore sp < d, avente le stesse dimensionidelle
armature e con costante dielettrica εr. IMMAGINE
Se interpone una lamina di dielettrico, all’interno della lamina
si ha campo non nullo, quindi è come seavessi tre condensatori
collegati in serie, in quanto è come se all’interno del dielettrico
ci fosse un altro
condensatore.
1
Cf=
1
C1+
1
C2+
1
C3=
1ε0·S
d−sp−x+
1εr·Ssp
+1ε0·Sx
=1
S·[d− sp − x
ε0+spεr
+x
ε0
]er = k · ε0
1
Cf=
1
ε0 · S·[d− sp − x+
spk
+ x]
=1
ε0 · S·[d− sp ·
(1− 1
k
)]Ci =
ε0 · Sd
Wi =1
2· Q
2
Ci
Wf =1
2· Q
2
Cf
∆W = Wf −Wi =1
2· Q
2
Cf− 1
2· Q
2
Ci=Q2
2·(
1
Cf− 1Ci
)=
=Q2
2·
[d− sp ·
(1− 1k
)ε0 · S
− dε0 · S
]=
Q2
2 · ε0 · S·[d− sp ·
(1− 1
k
)− d]
=
=Q2
2 · ε0 · S·[−sp ·
(k − 1k
)]=sp · (1− k) ·Q2
2 · ε0 · S · k< 0 poichè k > 1
28
-
Esercizio 6 Tra le armature di un condensatore piano di
larghezza m e lunghezza l, distanti d vieneintrodotto per t < d
un materiale dielettrico di permiabilità εr.Calcolare la forza con
cui il materiale viene risucchiato all’interno del condensatore
all’atto in cui sistabilisce tra le armature una differenza di
potenziale V . IMMAGINE
In tale configurazione, si ha una parte (t) delle armature nel
quale è presente il dielettrico, mentredall’altra parte (l − t) non
vi è il dielettrico, poiche in entrame le parti si ha la stessa V
allora è come
se vi fossero due condensatori in parallelo.εr = k · ε0
Ci =ε0 ·m · l
d
Cf (t) = C1 + C1 =εr ·m · t
d+ε0 ·m · (l − t)
d=
=k · ε0 ·m · t
d+ε0 ·m · (l − t)
d=ε0 ·md· [(k − 1) · t+ l]
Wf (t) =1
2· Cf (t) · V 2 =
ε0 ·m · V 2
2 · d· [(k − 1) · t+ 1]
L’energia prodotta dal generatore è W (t) più l’energia
necessaria per tirare “dentro” il dielettrico.
dWg = V · dq = V · V · dC = V 2 · dC
Wg è l’energia prodotta complessivamente dal generatore.
dWe =V 2
2· dC
We è l’energia elettrostatica immagazinata.
dWg = dW + dWe ⇒ dW = dWg − dWe =V 2
2· dC = V
2
2· dCdt· dt
dq = F · dt⇒ F = dWdt
=V 2
2· dCfdt
=V 2
2· m · (k − 1)
d· ε0
5.3 Condittori metalliciSe ho un metallo in un campo non
conservativo si ha la formazione di ua corrente (l’alettrone
lasciatolibero dall’atomo si muove con una velocità di un ordine di
grandezza inferiore alla velocità della luce, simuove con v ' 106ms
). Questo non è contraddittorio con cià che è stato detto
precedentemente in quantoavere velocità media nulla non imploca
chte tutte le velocità siano nulle.
~vitot = ~vi + ~vderiva ~vderiva velocità casuata dal campo
esterno
1
N·N∑i=1
~vitot =1
N·N∑i=1
~vi + ~vderiva ⇒〈~vtot〉
= 0 + ~vderiva
vderiva ∼ 10−4m
sv ∼ 106m
s
Può sembrare strano ma per le considerazioni che faremo la
grandezza fondamentale è vderiva1.
5.3.1 Corrente elettricaDefinizione 11 (Corrente elettrica) Si
definisce corrente elettrica la variazione temporale della
cari-ca.
i =dq
qt
[i] =[C]
[s]= [A]
[A] è una unità di misura fondamentale.
1Nel proseguo della trattazione vd = vderiva
29
-
Quanto vale la variazione della carica in un filo (cilindro) di
oro? IMMAGINE Si prende un trattoinfinitesimo e si considera la
sezione dΣ.Si considera n densità di elettroni, portatori, per
unità di volume, mentre si considera e la carica di unportatore
(presa in valore assoluto).
∆q = n · e ·∆τpoichè ∆τ = vd ·∆T · dΣ · cos(ϑ)
∆q = n · e · vd ·∆T · dΣ · cos(ϑ)
∆q
∆T= n · e · vd · dΣ · cos(ϑ)
i =
∫Σ
n · e · vd · dΣ · cos(ϑ) =∫
Σ
~J · ~n · dΣ
Definizione 12 (Densità di corrente elettrica) Si definisce
densità di corrente elettrica la seguentequantità
~J = n · e · ~vdSi misura in [A][m]2 .
Se ho un metallo come portatori non si hanno solo gli elettroni
ma possono essere presenti anche deiportatori positivi (generati da
lacune), si ha che
~J = n+ · e · ~vd+ − n− · e · ~vd− = e ·[n+ · ~vd+ − n− ·
~vd−
]Poichè le cariche si muovono con verso opposto allora v̂d+ =
v̂d− .
~J = e · v̂d− ·[n+ · vd+ − n− · vd−
]Pertanto misurando la densità di corrente, non si può sapere se
tale valore è dovuto a portatori positivio portatoni negativi.
5.3.2 Legge di conservazione della caricaIn sistemi isolati si
ha la conservazione di molte caratteristiche del sistema.
Supponiamo di avere un corpo di volume τ e di superficie Σ da
cui esce una carica (se la carica esce siusa il segno negativo).
IMMAGINE
i = −dQdT
−dQ = i · dT =∫
Σ
~J · ~n · dΣ · dT
−dQdT
=
∫Σ
~J · ~n · dΣ
−∂[∫dτ · ρ
]∂T
= −∫dτ · ∂ρ
∂T=
∫Σ
~J · ~n · dΣ
−∫dτ · ∂ρ
∂T=
∫Σ
~J · ~n · dΣ =∫τ
~∇ · ~J · dτ
L’ultima sostituzione la si può fare mediante il teorema di
Gauss di analisi.∫τ
~∇ · ~J · dτ +∫τ
∂ρ
∂T· dτ = 0⇒
∫τ
(~∇ · ~J + ∂ρ
∂T
)· dτ = 0
L’integrale è nullo se la funzione integranda è nulla
~∇ · ~J + ∂ρ∂T
= 0
Nel caso di un campo statico ~∇ · ~J = 0, quindi ~J è un vettore
solenoidale e quindi ~J può essere scrittocome rotore di un altro
vettore. Il flusso di ~J è nullo poichè
~∇ · ~J = 0⇒∫
~J · ~n · dΣ = 0
30
-
Definizione 13 (Vettore solenoidale) É un vettore con divergenza
nulla e tale vettore può esserescritto come rotore di un altro
vettore.
~∇ · ~J = 0⇒ ~J = ~∇× ~V
Definizione 14 (Vettore irrotazionale) É un vettore con rotore
nullo e tale vettore può essere scrittocome l’opposto di una
derivata.
~∇× ~E = − ~∇V
5.3.3 Legge di Ohm∆V = i ·R
Dimostrazione 7 (Legge di Ohm) Supponiamo di avere un filo di
rame con ~J costante, poichè nellatrattazione si lavorerà in una
sistuazione unidimenzionale, semplice, si evita l’uso dei
vettori.
ρ(t) · J = Σh · ρ(t) · J · E = E · h · Σ
poichè ∆V = E · h allorah · ρ(t) · i = ∆V · Σ
∆V = i ·(ρ(t) · h
Σ
)= i ·R
[R] =[∆V ]
[i]=
[V ]
[A]= [Ω]
i calcoli precedenti sono stati effettuati su un filo omogeneo
di sezione costante, in generale
R =
∫dh
Σ· ρ
Si osserva sperimentalmente che la resistività, ρ, è in funzione
della temperatura. IMMAGINE
Definizione 15 (Superconduttore) Si definisce superconduttore
quel conduttore che in determinatiintervalli di temperatura hanno
resistività nulla, un esempio di superconduttore è il piombo al di
sottodella temperatura critica di 2.22K.Vi sono superconduttori con
una temperatura critica molto elevata, intorno agli 138K ma non
sono usatiperche contengono elementi tossici, essi sono composti
da:
• HgSrBaCaO
• TlSrCaBaCuOI conduttori (fatta eccezione dei superconduttori)
hanno sempre una resistività residua ρ0.
5.3.4 Effetto JouleDefinizione 16 (Effetto Joule) L’effetto
Joule in un resistore è
W =
∫ t0
i2 ·R · dt
Dimostrazione 8 (Effetto Joule) Si suppone di avere una carica
dq e la si fa muovere con unadifferenza di potenziale V ,
quindi
dW = V · dq = V · i · dt
P =dW
dt= V · i = i2 ·R
W =
∫ t0
i2 ·R · dt
in genere R la si può portare fuori perchè la si condidera
costante.
In un resistore si ha che la potenza P saràP = i2 ·R
Pertanto si ha che all’aumentare della resistenza si ha una
potenza maggiore, ma potenza maggioresignifica dissipare più
calore, ma poichè all’aumentare della temperatura aumenta il valore
di resistività(e quindi anche la resistenza) il conduttore sarà
costretto a fondere.In tutti gli esercizi si supporrà che ρ sia in
regione lineare (con T ' TAMB).
31
-
5.3.5 Resistenze in serieSi definiscono in serie i resistori
attraversati dalla stessa corrente, quindi per la conservazione
della carica
∆V = i ·R1 + i ·R2
∆V = i ·R = i · (R1 +R2)⇒ R = R1 +R2
5.3.6 Resistenze in paralleloSi definiscono in parallelo i
resistori a cui è applicata la stessa differenza di potenziale
i1 ·R1 + i2 ·R2 = ∆V
ii =∆V
Ri
∆V
R1+
∆V
R2= i1 + i2 = i =
∆V
R(1
R1+
1
R2
)=
1
R⇒ R =
(1
R1+
1
R2
)−1In un circuito ∮
~e · dl = ε
dove ε è la batteria e poichè la circuitazione non è nulla
allora significa che il campo non è conservativo.All’interno dei
calcoli delle potenze per avere il valore corretto occorrre tener
presente che i generatorihanno una resistenza interna e i fili sono
sempre delle resistenze, di solito li si considera nulli perchè è
diordine di grandezza inferiore alla resistenza del circuito, ma
ciò non è sempre vero.
Calcolo del moto di un dipolo all’interno di un campo elettrico
costente Se ho un dipolo inun campo elettrico ~E costante, se
sposto il dipolo dalla sua posizione di equilibrio (lo sposto di un
angoloinfinitesimo), il dipolo subirà di un momento.
~M = I · ~α = −~P × ~E
I · ∂2ϑ
∂t2= −P · E · sin(ϑ)
∂2ϑ
∂t2+P · EI· sin(ϑ) = 0
ma se ϑ→ 0 allora∂2ϑ
∂t2+P · EI· ϑ = 0
si osserva che è l’equazione di un moto armonico con ω =√
P ·EI
ϑ(t) = A · sin
(√P · EI· t+ ϕ
)A e ϕ dipendono dalle condizioni iniziali, il periodo di
oscillazione è
T =2 · πω
= 2 · π ·√
I
P · E
5.3.7 Carica di un condensatoreSia un circuito RC, composto da
resistenza e condensatore, inizialmente aperto e con condensatore
scarico.IMMAGINE Al tempo t = 0 si chiude il circuito, il
condensatore si carica e passerà corrente fino a che latensione ai
capi di C è esattamente ε
ε = VC + VR =q
C+ i ·R⇒ dq
dt+
q
R · C=
ε
R
pertanto è necessaria la condizione a contorno q(0) = 0
dq
dt=ε · C − qR · C
= −q − ε · CR · C
32
-
si osserva che è una equazione differenziale a variabile
separabili si ha
dq
q − ε · C= − dt
R · Cintegrando tra t = 0 e t = t∗ allora ∫ q(t∗)
0
dq
q − ε · C= −
∫ t∗0
dt
R · C
lnq(t∗)− ε · C−ε · C
= − t∗
R · C
q(t∗)− ε · C = −ε · C · e− t∗
R·C
q(t∗) = ε · C ·(
1− e− t∗
R·C
)IMMAGINE
i =dq
dt=
d
dt·(ε · C − ε · C · e− tR·C
)=
ε
R· e− tR·C
IMMAGINE [R · C] = [sec] è necessario in quanto l’argomento
dell’esponenziale deve essere un numeropuro, altrimenti se
l’argomento fosse una quantità dimensionata allora sviluppando la
funzione in serie sisommerebbero quantità diverse, la cui somma non
è lecita.
5.3.8 Scarica di un condensatoreSia un circuito RC, composto da
resistenza e condensatore, inizialmente aperto e con condensatore
carico(q(0) = q0). IMMAGINE Al tempo t > 0 si ha che
Vc + VR = 0 non c’è più il generatore
q
C+dq
dt·R = 0
dq
dt= − q
R · CÉ un integrale a variabili separabili pertanto integrando
tra t = 0 e t = t∗ si ha∫ q(t∗)
q0
dq
q= −
∫ t∗0
dt
R · C
lnq(t∗)
q0= − t
∗
R · C
q(t∗) = q0 · e−t∗R·C
IMMAGINEi(t) =
dq
dt= − q0
R · C· e− tR·C
IMMAGINE
5.3.9 Leggi di KirchhoffSi distinguono due leggi distinte
• la somma di tutte le correnti entranti al nodo2 è nulla
(conservazione della carica)N∑k=1
ik = 0
si considerano positive le correnti entranti al nodo.
• la somma di tutte le tensioni su una maglia è nulla, bisogna
considerare anche le cadute di tensionesui resistori
N∑k=1
Rk · ik =N ′∑n=1
εk
si considerano positive le tensioni con verso uguale alla
percorrenza scelta.
2il ramo è il congiungimento di almeno tre ramo
33
-
34
-
Capitolo 6
Campo magnetico
Il campo magnetico è un campo vettoriale che in qualche modo
altera lo spazio-tempo.Il campo elettrico e il campo magnetico sono
distinguibili dal fatto che ci muoviamo a bassissima
velocità(rispetto alla velocità della luce), ad alta velocità
(comparabile alla velocità della luce) non si ha più ladistinzione
tra i due campo, pertanto in tali situazioni si tratta solo di un
campo elettro-magnetico.Per lo studio del campo magnetico la forma
che più semplifica il problema è una bacchetta molto lunga(nel caso
del campo elettrico l’oggetto più semplificativo è la sfera).In
seguito a molte osservazioni, Coulomb, si è osservato che si
comportavano in molto simile ai dipoli.Coulomb ricavò una formula
che si è dimostrata dare una visione distorta della realtà. I passi
avanti piùimportanti sono stati effettuati dopo la scoperta della
pila di Volta, si osservò che una bussola passandovicino a un filo,
nel quale si ha il passaggio di corrente elettrica, aveva l’ago
“impazzito”.Il campo magnetico si ottiene per mezzo di cariche in
modo, nel caso di conduttori anche se non collegatia batterie
possono realizzare un campo magnetico grazie alla presenza di
correnti a livello atomico.Coulomb osservo che la forza
attrattiva/repulsiva di due macchette magnetiche è sempre uguale,
cioè duebacchette si attraggono e si respingono con la stessa
forza, poichè la forza è uguale allora significa che lacarica della
bacchetta è complessivamente nulla, pertanto ha flusso nullo.∫
Σ
~B · ~n · dΣ = 0⇒ ~∇ · ~B = 0
Poichè ~∇ · ~B = 0 allora B = ~∇× ~A.~A′ = ~A+ ~∇F
con F una funzione scalare qualsiasi
~B′ = ~∇× ~A′ = ~∇× ~A+ ~∇×(~∇F)
= ~B
In fisica vi sono delle grandezze non misurabili ma sono solo
grandezze matametiche.
6.1 Forza di LorentzQuesta forza aggiunta alle quattro equazioni
di Maxwell sono sufficienti per spiegare compiutamente icampi
elettrici e l’ottica.
Definizione 17 (Forza di Lorentz) Si definisce forza di Lorenz
la forza
~FL = q ·(~E + ~v × ~B
)La forza può essere scomposta in due forze, forza elettrica e
forza magnetica
~FL = ~FE + ~FM
~FE = q · ~E~FM = q · ~v × ~B
Si può osservare, analizzando l’espressione di ~FM , che FM = 0
se v = 0 o se ~v‖ ~B. Il lavoro compito dallaforza di Lorentz è
dWM = FM · ds = q · ~v × ~B · d~s = q ·d~s
dt× ~B · d~s
35
-
poichè d~s× ~B ⊥ d~s allora d~s× ~B · d~s = 0 quindi
dWM = 0
Il lavoro, della forza magnetica, è sempre nullo poichè
perpendicolare allo spostamento.Supponiamo che una particella si
muove in una regione di spazio con ~v perpendicolare al campo
magnetico
~F = q · ~v × ~B F = |~F | = q · v ·B
Calcolo del moto di una carica con velocità perpendicolare a un
campo magnetico
Supponendo ~B costante
F = m · a = m · v2
r
si suppone lo spostamento di tipo circolare, perchè sempre
perpendicolare al campo
F = m · v2
r= q · v ·B ⇒ r = m · v
q ·B
q · ~v × ~B = m · ~ω × ~v
~v × (q · ~B) = −~v × (m · ~ω)⇒ q · ~B = −m · ~ω ⇒ ~ω = −q
·~B
m
|~ω| = q ·Bm
T =2 · πω
=2 · π ·mq ·B
La particella si muoverà nel campo magnetico con moto circolare
uniforme di periodo T e raggio dicurvatura r.
Calcolo del moto di una carica con velocità qualsiasi a un campo
magnetico
~FL = q ·((~v⊥ + ~v‖
)× ~B
)= q ·
(~v⊥ × ~B + ~v‖ × ~B
)~v‖ × ~B = 0, poichè parallela a ~B.
~FL = q ·(~v⊥ × ~B
)v⊥ = v · sin(ϑ)
FL = q · v · sin(ϑ) ·B
r =m · v · sin(ϑ)
q ·B
T =2 · πω
=2 · π ·mq ·B
La carica avrà un moto a elica e il passo dell’elica è
v‖ · T =v · cos(ϑ) · 2 · π ·m
q ·B
Questo ci fa capire che il campo magnetico terrestre in qualche
modo ci “protegge”. Le particelle chearrivano verso la Terra si
scontrano con il campo magnetico e le particelle iniziano a ruotare
in una zonadi spazio estremamente limitata.
6.2 Seconda legge di Laplace
Laplace ha formulato due leggi che mettono in relazione il campo
magnetico con la corrente che circolain un circuito.Partendo dalla
forza magnetica di Lorentz, per ogni elettrone si ha
~F = −e · ~vD × ~B
36
-
In un filo scorreranno elettroni (scorre una corrente
elettrica), pertanto si cerca la forza che subiscono glielettroni,
se si prende un pezzo infinitesimo di filo (ds) si ha IMMAGINE
dF = dN ·(−e · ~vD × ~B
)N è il numero di portatori per unità di volume, quindi dN = n ·
dτ = n · ds · Σ
dF = −n · e · ~vD × ~B · Σ · ds = ds · ~J · Σ× ~B = J · Σ · d~s×
~B
d~s‖ ~B
dF = i · d~s× ~B
In generale la seconda legge di Laplace in forma finita è
~F =
∮i · d~s× ~B
Dall’analisi dimensionale si ha che
[F ] = [i] · [ds] · [sin(ϑ)] · [B]⇒ [B] = [F ][i] · [ds] ·
[sin(ϑ)]
=[N ]
[A] · [m]= [T ] [T ] = tesla
6.3 Momento di un dipolo magnetico
Prendiamo una spira rettangolare e la mettiamo in un campo
magnetico costante, la spira è percorsa dacorrente, quindi sarà
sottoposta a delle forze.Se il campo magnetico è costante la forza
totale è nulla quindi la spira1 non trasla ma può ruotare. F1e F3
l’ungo l’asse non hanno braccio, mentre F2 e F4 sono uguali ma di
verso opposto (F2 è uscente,mentre F4 è entrante al piano).
F =
∫a
i · d~s× ~B = i · a ·B · sin(ϑ)
M = F · b = i · a · b ·B · sin(ϑ) = i · Σ ·B · sin(ϑ)⇒ ~M = i ·
Σ · ~n× ~B
Definizione 18 (Momento magnetico) Si definisce momento
magnetico la quantità
~m = i · Σ · ~n
~M = ~m× ~B
Tutte le formule per il dipolo magnetico e campo magnetico sono
uguali a quelle ricavate per il bipolo ecampo elettrico sostituendo
P ed E con n ed B.Se B è costante, si può ricavare il parallelismo
con un campo elettrostatico, ma la stessa legge vale per Bnon
uniforme infatti dividendo le spire in pezzi infinitesimi,
sopravvivono solo le correnti sui bordi esternidi ogni infinitesimo
di spira e le altre si annullano, quindi la formula resta la
stessa.Spostendo un ago in un campo magnetico
M = −I · d2ϑ
dt2
~M = ~m× ~B ⇒ | ~M | = m ·B · sin(ϑ)
−I · d2ϑ
dt2= m ·B · sin(ϑ)⇒ d
2ϑ
dt2+m ·BI· sin(ϑ) = 0
con ϑ sufficientemente piccolo (ϑ < ϑmax = 7◦)
d2ϑ
dt2+m ·BI· ϑ = 0
1la spira è un elemento di forma indeformabile e fissata su un
asse
37
-
Si osserva che è l’equazione di un moto armonico con ω2 =m
·BI
, l’ago quindi oscilla intorno alla posizione
di equilibrio, aggiungendo all’equazione m · dϑdt
si tiene conto anche degli attrici (che ne influenzano
lavelocità).Avendo un circuito immerso in un campo magnetico,
spostandolo si ha una variazione del flusso che ècausato da una
variazione dell’energia interna (si è compiuto lavoro sulle spire).
La formula è validasolo se la corrente è costante. Ogni volta che
si varia la posizione di un circuito, il flusso genera
dellecorrenti indotte quindi non è più costante, questa corrente
quindi bisogna modificarla esternamente perriequilibrare il
sistema.Poichè
UP = −~P · ~E ⇒ UP = −~m · ~B
In termini infinitesimi si ha
dUP = −d~m · ~B = −i · dΣ · ~n · ~B = −i · dΦ = −dW ⇒ dW = i ·
dΦ
Spostando il circuito si haW = i ·∆Φ = i · (Φfin − Φin)
Supponendo di essere in 1−D allora
dW = F · dx = i · dΦ = i · dΦdx· dx ⇒ F = i · dΦ
dx
Riportandoci in 3−D allora~F = i · ~∇Φ
Se la spira al posto di traslare ruota si ha
dW = M · dϑ = i · dΦ = i · dΦdϑ· ϑ ⇒ M = i · dΦ
dϑ
6.4 Effetto Hall
Tale effetto è molto utile per calcolare la densità dei
portatori o l’intensite del campo magnetico (notealcune condizioni
iniziali). É un effetto della forza di Lorentz (l’effetto è
visibile in materiali semplici).Per semplicità di calcolo si
considera il filo come un nastro, non più un cilindo. Posto il
nastro in uncampo magnetico tra le due facce del nastro si instaura
una differenza di potenziale. IMMAGINE
~vD‖x̂ ~B‖ŷ
~FL = e · ~vD × ~B ⇒FLe
= ~vD × ~B = EH
In base alle ipotesi fissate allora si ha che ~EH‖ẑ.Al campo
sarà associata una forza elettromotrice
εH =
∫EH · dz = vd ·B · b
Si raggiunge l’equilibrio quando~EH + ~Ea = 0
εH = vD ·B · b =j
n · e·B · b = i
a · b· 1n · e
·B · b = i ·Bn · e · a
Con misure dirette di εH note i, B, e ed a allora si ricava la
densità dei potratori nel metallo (n).
εH = α ·B α è una caratteristica dello strumento elettrico
Se si pone il nastro in un campo magnetico con intensità nota,
B, si può ricavare α =εHB
(εH è misurata);
mentre si può calcolare l’intensità di un campo magnetico se è
noto α(B =
εHα
).
38
-
6.4.1 Spettrometro di massa
Il funzionamento di uno spettrometo di massa è basato sulla
forza di Lorentz.Mediante uno spettrometro di massa si riesce a
stabilire il rapporto tra la massa e la carica di un elemento(in
tali condizioni si può anche stabilire l’isotropo
dell’elemento).Differenti isotopi dello stesso elemento hanno il
medesimo comportamento ma ai fini della fisica nuclearehanno un
comportamento completamente diverso.Lo spettrometro di massa è uso
strumento molto semplice: IMMAGINE una carica che entra nel
campomagnetico sottostante, per le condizioni indicate, inizia a
ruotare e colpisce la lastra fotografica, calcolandoil punto in cui
si ha la collisione con la lastra fotografica si può stabilire il
raggio di curvatura, poichèl’energia cinetica è
1
2·m · v2 = q · V
la carica nel campo magnetico ha v = q · B · rm
, sostituendo si ha
1
2·m · q2 · B
2 · r2
m2= q · V
1
2· q · B
2 · r2
m= V ⇒ m
q=B2 · r2
2 · VSe ho due isotropi diversi ho due raggi diversi
m1q
=B2
2 · V· r12
m2q
=B2
2 · V· r22
⇒ m1m2
=
(r1r2
)2
6.4.2 Selettore di velocità
Il selettore di velocità è una modificazione introdotta in
quanto utilizzando lo spettrometro di massa si haun legame di tipo
quadratico (dipendono da r2) e un piccolo errore in r genera una
grande imprecisionenel rapporto mq . Il selettore di velocità ha la
seguente schematizzazione: IMMAGINE Le uniche particelleche
riescono a passare attraverso a sono quelle che subiscono una forza
di Lorentz nulla, cioè E+v ·B = 0
v = −EB
poichè r =m · vq ·B0
r = −mq· EB ·B0
⇒ mq
= −r · B ·B0E
Si osserva ora che il rapporto mq ha un legame lineare con
r.
6.4.3 Ciclotrone
É un accelleratore di particelle ed è necessario nello studio
del nucleo (poichè le forze nucleare sonoestremamente forti occorre
far scontrare le particeelle a velocità prossime a quelle della
luce, in tal modosi genera un’energia così ampia da rompere i
legami nucleari).Per accellerare un fascio di particelle occorre
imporle in una differenza di potenziale, ma per avere
grandiaccellerazioni occorre avere grandi differenze di potenziale
(non si può avere valori alti a piacere in quantovi è il vincolo
imposto dalla rigidità dielettrica). Per ovviare a tale problema si
realizza uno strumento ingrado di modificare la polarità di un
“condensatore” in modo da far andare avanti e indietro le
cariche,accellerandole di volta in volta.Il ciclotrone è realizzato
da due semidischi di raggio R affacciati dal loro diametro.Si
impone tra i dischi una differenza di potenziale V (t) e facendo
passare attraverso l’interfase tra i duedischi si ha una
accellerazione, si ha una modifica dell’energia cinetica
1
2·m · v12 = q · V0
Se sui semidischi è posto un campo magnetico perpendicolare ai
dischi, pertanto per effetto della forza diLorentz si ha la
modifica del verso della velocità (non si modifica il modulo), a
questo punto la particella
39
-
si ritrova all’interfase e attraversandola subisce nuovamente
un’accellerazione (occorre che la polarità siastata invertita)
1
2·m · v22 =
1
2·m · v12 + q · V0
Il tempo di percorrenza della carica sul disco è:
t1 =1
2· 2 · π · r1
v1=π ·m · v1q ·B · v1
=π ·mq ·B
Si osserva che il tempo in cui la carica ruota è indipendente
dalla velocità, pertanto si pone V (t) come unafunzione che cambia
periodicamente la periodicità, si pone una tensione alternata V (T
) = VMAX ·sin(ω ·t)Si osserva che a ogni attraverso il raggio di
curvatura nel campo magnetico aumenta fino a quando nonesce dal
ciclotrone, si può dimostrare che
vMAX =q ·Bm·R
occorre quindi scegliere ω appropriato per poter rendere
possibile il corretto funzionamento:
T =2 · πω
= 2 · t⇒ ω = πt
=q ·Bm
Per ottenere valori di velocità confrontabili con la velocità
della luce la trattazione non è sufficiente inquanto occorre anche
considerare gli effetti relativistici.
6.5 Prima legge di LaplaceUn circuito attarversato da corrente
genera un campo magnetico, per la prima legge di Laplace si
hannodue formulazioni che tengono conto della trascurabilità di
alcuni elementi, si ha la formulazione unidi-mensionale se si
calcola il campo magnetico generato in un punto molto lontano dal
filo conduttore.In generale, in forma infinitesima è
d ~B = km ·i · d~s× ~r
r3
non si può avere una forma finita in quanto è dipendente dalla
forma del circuito.
6.5.1 Formulazione 1−D
dB = km ·i · ds · sin(ϑ) · r
r3= km ·
i · ds · sin(ϑ)r2
[km] =
[dB · r2
i · ds · sin(ϑ)
]=
[dB · r2
i · ds
]=
[T ] · [m]2
[A] · [m]=
[T ] · [m][A]
=[N ]
[A]2
km =µ0
4 · π
Definizione 19 (Permiabilità magnetica) Si definisce
permiabilità magnetica la quantità µ0
~B =µ0
4 · π· i ·∮d~s× ~rr3
~∇ · ~B = ~∇ ·(µ0
4 · π· i ·∮d~s× ~rr3
)=
µ04 · π
· i ·∫ [
ûrr2· ~∇× d~s−
(~∇× ûr
r2
)· d~s]
Ma ~∇× d~s = 0, in quanto tutti gli incrementi sono
indipendenti, mentre ~∇× ûrr2
= ~∇× ~∇ ·(−1r
)= 0
~∇ · ~B = 0
6.5.2 Formulazione 3−DSi usa tale formulazione nel caso in cui
le componenti del circuito non sono trascurabili
~B =µ0
4 · π·∫
Σ
~j · ~n · dΣ ·∫d~s× ûr
r2=
µ04 · π
·∫τ
dτ ·~j × ûrr2
Le quantità dΣ è la sezione del filo, ds è la lunghezza del filo
mentre dτ è il volume del filo, inoltre l’ultimauguaglianza è
valida in quanto d~s‖~j.
40
-
Calcolo di ~B se il circuito non è posto nell’origine
IMMAGINE
~B(~r) =µ0
4 · π
∫τ
dτ ·~j(~r′)×(~r − ~r′
)∣∣∣∣∣∣~r − ~r′∣∣∣∣∣∣3
~B(x, y, z) =µ0
4 · π·∫dx′ ·
∫dy′ ·
∫dz′ ·
~j(x′, y′, z′)×[(x− x′) ·~i+ (y − y′) ·~j + (z − z′) · ~k
][(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2]
32
Un campo magnetico lo si può avere anche con il movimento di una
sola carica (non è necessaria unacorrente elettrica).
d ~B =µ0
4 · π·~j × ~rr3· dτ = µ0
4 · π· n · e~vD × ~r
r3· dτ = µ0
4 · π· e · ~vD × ûr
r2· n · dτ
ma n è il numero di particelle e dτ è il volume infinitesimo,
quindi n · dτ è il numero di cariche per unitàdi volume n · dτ =
dN
d~B =µ0
4 · π· e · ~vD × ûr
r2· dN
d~B = ~B|e · dN
~B|e =µ0
4 · π· e · ~vD × ûr
r2
Si osserva che ~B si può avere anche con una sola carica (dN =
1), l’importante è che vi sia movimento.
~B|e =µ0
4 · π· ~vD × ûr · e
r2= µ0 · ε0 · ~vD ×
ûr · e4 · π · ε0 · r2
= ε0 · µ0 · ~vD × ~E|e
posto per definizione1
c2= ε0 · µ0 si ha
~B|e =~vDc2× ~E|e
Calcolo del campo generato da un filo lungo il suo asse Si
considera un filo di lunghezza 2 · aIMMAGINE
dB =∣∣∣d ~B∣∣∣ = µ0
4 · π· i · ds · sin(ϑ)
r2⇒ B = µ0
4 · π·∫ds · sin(ϑ)
r2
Per poter risolvere l’integrale è necessario definire ds e r in
funzione di ϑ. IMMAGINE
r · sin(π − ϑ) = r · sin(ϑ) = R⇒ 1r
=sin(ϑ)
R⇒ 1
r2=
(sin(ϑ)
R
)2s · tan(π − ϑ) = R
tan(π − ϑ) = − tan(ϑ)
s = − Rtan(ϑ)
= −R · cot(ϑ)
[cot(ϑ)]′
= − 1sin2(ϑ)
ds =R · dϑsin2(ϑ)
ds · sin(ϑ)r2
=R · dϑsin2(ϑ)
· sin(ϑ) · sin2(ϑ)
R2=dϑ · sin(ϑ)
R
B =µ0
4 · π·∫ds · sin(ϑ)
r2=
µ04 · π
·∫dϑ · sin(ϑ)
R=
µ04 · π ·R
∫sin(ϑ) · dϑ
l’integrale ha come estremi di integrazione ϑ1 e ϑ2, ma poichè
ϑ1 e ϑ2 sono simmetrici allora si integratra ϑ1 e π2 e si raddoppia
il valore letto
B =µ0
2 · π ·R·∫ π
2
ϑ1
sin(ϑ) · dϑ = µ02 · π ·R
· [− cos(ϑ)]π2
ϑ1=
µ02 · π ·R
· cos(ϑ1)
41
-
mar · cos(ϑ1) = a⇒ cos(ϑ1) =
a
r=
a√a2 +R2
B =µ0
2 · π ·R· a√
a2 +R2
~B =µ0
2 · π ·R· a√
a2 +R2· ûΦ
ûΦ è un versore perpendicolare a d~s e a ~r
Teorema 1 (Legge di Biot-Savart) Quest’ultima formulazione nota
come la legge di Il campo ge-nerato da un filo rettilineo di
lunghez